Oh-oh-oh-oh-oh... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molimo zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se javljati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i smanjite sve koeficijente jednačine za 2, dobićete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Saznajte relativni položaj linija:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razloga da ponudim nešto za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka Slavuj razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su prave paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "te".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je dobro poznat iz školskog programa:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijsko značenje sistema od dve linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je da jednostavno nacrtate date linije i saznate tačku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Zadatak se zgodno može podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu smo naučili kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, iznijet ću algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju puno pomaže mikrokalkulator, koji vam omogućava da brojite obične razlomke. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov „zeleni“ susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći kutove lako može dobiti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao, neophodno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje i Prvi metod

Razmotrimo dvije prave date jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac - to je upravo tako skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti prave linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

\(\blacktroangleright\) Diedarski ugao je ugao koji čine dvije poluravnine i prava linija \(a\), koja je njihova zajednička granica.

\(\blacktriangleright\) Da biste pronašli ugao između ravni \(\xi\) i \(\pi\) , morate pronaći linearni ugao ljuto ili ravno) diedarskog ugla koji formiraju ravni \(\xi\) i \(\pi\):

Korak 1: neka \(\xi\cap\pi=a\) (linija presjeka ravnina). U ravni \(\xi\) označimo proizvoljnu tačku \(F\) i nacrtamo \(FA\perp a\) ;

Korak 2: nacrtajte \(FG\perp \pi\) ;

Korak 3: prema TTP (\(FG\) - okomito, \(FA\) - koso, \(AG\) - projekcija) imamo: \(AG\perp a\) ;

Korak 4: Ugao \(\ugao FAG\) naziva se linearni ugao diedarskog ugla koji formiraju ravni \(\xi\) i \(\pi\) .

Imajte na umu da je trokut \(AG\) pravokutni trokut.
Imajte na umu da je ravan \(AFG\) konstruisana na ovaj način okomita na ravni \(\xi\) i \(\pi\) . Dakle, može se reći na drugi način: ugao između ravni\(\xi\) i \(\pi\) je ugao između dvije prave koje se seku \(c\in \xi\) i \(b\in\pi\) , koje formiraju ravan okomitu na \(\xi\ ) i \(\pi\) .

Zadatak 1 #2875

Nivo zadatka: Teži od ispita

Zadana je četverokutna piramida, čiji su svi rubovi jednaki, a osnova je kvadrat. Pronađite \(6\cos \alpha\) , gdje je \(\alpha\) ugao između njegovih susjednih bočnih strana.

Neka je \(SABCD\) data piramida (\(S\) je vrh) čije su ivice jednake \(a\) . Dakle, sve bočne strane su jednaki jednakostrani trouglovi. Pronađite ugao između lica \(SAD\) i \(SCD\) .

Nacrtajmo \(CH\perp SD\) . Jer \(\trougao SAD=\trougao SCD\), tada će \(AH\) također biti visina \(\trougao SAD\) . Prema tome, po definiciji, \(\ugao AHC=\alpha\) je linearni diedralni ugao između strana \(SAD\) i \(SCD\) .
Pošto je baza kvadrat, onda \(AC=a\sqrt2\) . Imajte na umu da je \(CH=AH\) visina jednakostraničnog trougla sa stranom \(a\) , dakle \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Zatim po kosinusnom teoremu iz \(\trokut AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Odgovor: -2

Zadatak 2 #2876

Nivo zadatka: Teži od ispita

Ravni \(\pi_1\) i \(\pi_2\) seku se pod uglom čiji je kosinus jednak \(0,2\) . Ravni \(\pi_2\) i \(\pi_3\) seku se pod pravim uglom, a linija preseka ravni \(\pi_1\) i \(\pi_2\) je paralelna sa linijom preseka ravni \(\pi_2\) i \(\ pi_3\) . Pronađite sinus ugla između ravni \(\pi_1\) i \(\pi_3\) .

Neka linija presjeka \(\pi_1\) i \(\pi_2\) bude prava \(a\), a linija presjeka \(\pi_2\) i \(\pi_3\) prava \ (b\) , a linija presjeka \(\pi_3\) i \(\pi_1\) su prava linija \(c\) . Budući da \(a\paralelno b\) , onda \(c\paralelno a\paralelno b\) (prema teoremi iz dijela teorijske reference „Geometrija u prostoru“ \(\rightarrow\) „Uvod u stereometriju, paralelizam”).

Označite tačke \(A\in a, B\in b\) tako da je \(AB\perp a, AB\perp b\) (ovo je moguće jer \(a\parallel b\) ). Obratite pažnju na \(C\in c\) tako da je \(BC\perp c\) , dakle \(BC\perp b\) . Zatim \(AC\perp c\) i \(AC\perp a\) .
Zaista, pošto je \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada je \(b\) okomito na ravan \(ABC\) . Budući da su \(c\paralelno a\paralelno b\) , tada su prave \(a\) i \(c\) također okomite na ravan \(ABC\) , a time i svaka prava iz ove ravni, posebno, linija \ (AC\) .

Otuda to sledi \(\ugao BAC=\ugao (\pi_1, \pi_2)\), \(\ugao ABC=\ugao (\pi_2, \pi_3)=90^\krug\), \(\ugao BCA=\ugao (\pi_3, \pi_1)\). Ispada da je \(\trougao ABC\) pravougaonog oblika, što znači \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Odgovor: 0.2

Zadatak 3 #2877

Nivo zadatka: Teži od ispita

Date prave \(a, b, c\) koje se sijeku u jednoj tački, a ugao između bilo koje dvije od njih jednak je \(60^\circ\) . Pronađite \(\cos^(-1)\alpha\) , gdje je \(\alpha\) ugao između ravni koju čine prave \(a\) i \(c\) i ravni koju čine prave \(b\ ) i \(c\) . Odgovor dajte u stepenima.

Neka se prave sijeku u tački \(O\) . Pošto je ugao između bilo koje dvije od njih jednak \(60^\circ\) , tada sve tri prave ne mogu ležati u istoj ravni. Označimo tačku \(A\) na pravoj \(a\) i nacrtajmo \(AB\perp b\) i \(AC\perp c\) . Onda \(\trokut AOB=\trokut AOC\) kao pravougaoni po hipotenuzi i oštrom uglu. Stoga \(OB=OC\) i \(AB=AC\) .
Uradimo \(AH\perp (BOC)\) . Zatim prema teoremu o tri okomice \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Pošto je \(AB=AC\) , onda \(\trokut AHB=\trokut AHC\) kao pravougaoni duž hipotenuze i kraka. Prema tome, \(HB=HC\) . Dakle, \(OH\) ​​je simetrala ugla \(BOC\) (pošto je tačka \(H\) jednako udaljena od stranica ugla).

Imajte na umu da smo na ovaj način konstruisali i linearni ugao diedarskog ugla formiranog od ravni koju čine prave \(a\) i \(c\) i ravni koju čine prave \(b\) i \( c\) . Ovo je ugao \(ACH\) .

Nađimo ovaj kutak. Pošto smo tačku \(A\) izabrali proizvoljno, onda je izaberimo tako da je \(OA=2\) . Zatim u pravokutnom \(\trokut AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Pošto je \(OH\) ​​simetrala, onda \(\ugao HOC=30^\circ\) , dakle, u pravougaonom \(\trokutu HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Zatim iz pravougaonog \(\trokuta ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Odgovor: 3

Zadatak 4 #2910

Nivo zadatka: Teži od ispita

Ravni \(\pi_1\) i \(\pi_2\) seku se duž prave \(l\) , koja sadrži tačke \(M\) i \(N\) . Segmenti \(MA\) i \(MB\) su okomiti na pravu \(l\) i leže u ravnima \(\pi_1\) i \(\pi_2\), respektivno, i \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Pronađite \(3\cos\alpha\) , gdje je \(\alpha\) ugao između ravni \(\pi_1\) i \(\pi_2\) .

Trougao \(AMN\) je pravougli, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , odakle \ Trougao \(BMN\) je pravougao, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , odakle \ Pišemo kosinus teoremu za trougao \(AMB\): \ Onda \ Pošto je ugao \(\alpha\) između ravnina oštar ugao, a \(\ugao AMB\) se pokazao tup, tada je \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Onda \

Odgovor: 1.25

Zadatak 5 #2911

Nivo zadatka: Teži od ispita

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je paralelepiped, \(ABCD\) je kvadrat sa stranom \(a\), tačka \(M\) je osnova okomice spuštene iz tačke \(A_1\) na ravan \ ((ABCD)\) , štaviše, \(M\) je presjek dijagonala kvadrata \(ABCD\) . To je poznato \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Pronađite ugao između ravni \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) . Odgovor dajte u stepenima.

Konstruiramo \(MN\) okomito na \(AB\) kao što je prikazano na slici.

Pošto je \(ABCD\) kvadrat sa stranicom \(a\) i \(MN\perp AB\) i \(BC\perp AB\) , tada \(MN\paralelno BC\) . Budući da je \(M\) presjek dijagonala kvadrata, tada je \(M\) središte \(AC\) , stoga je \(MN\) srednja linija i \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcija \(A_1N\) na ravan \((ABCD)\) , a \(MN\) je okomito na \(AB\), tada, prema teoremi o tri okomite, \( A_1N\) je okomit na \(AB \) i ugao između ravni \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) je \(\ugao A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \ugao A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\ugao A_1NM = 60^(\circ)\]

Odgovor: 60

Zadatak 6 #1854

Nivo zadatka: Teži od ispita

U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) je presjek dijagonala; \(S\) nije u ravni kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Pronađite ugao između ravnina \(ASD\) i \(ABC\) ako je \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .

Pravokutni trougao \(\trokut SAO\) i \(\trokut SDO\) jednaki su po dvije stranice i ugao između njih (\(SO \perp ABC\) \(\Strelica desno\) \(\ugao SOA = \ugao SOD = 90^\krug\); \(AO = DO\) , jer \(O\) je tačka presjeka dijagonala kvadrata, \(SO\) je zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = SD\) \(\Strelica desno\) \(\trokut ASD\) je jednakokračan. Tačka \(K\) je središte \(AD\) , tada je \(SK\) visina trougla \(\trokut ASD\) , a \(OK\) je visina trougla \ (AOD\) \(\ Desno\) ravan \(SOK\) je okomita na ravni \(ASD\) i \(ABC\) \(\Strelica desno\) \(\ugao SKO\) je linearni ugao jednak do traženog diedralnog ugla.

U \(\trokut SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Strelica desno\) \(\trougao SOK\) je jednakokraki pravougaoni trougao \(\Strelica desno\) \(\ugao SKO = 45^\circ\) .

Odgovor: 45

Zadatak 7 #1855

Nivo zadatka: Teži od ispita

U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) je presjek dijagonala; \(S\) nije u ravni kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Pronađite ugao između ravni \(ASD\) i \(BSC\) ako je \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .

Pravokutni trougao \(\trokut SAO\) , \(\trokut SDO\) , \(\trokut SOB\) i \(\trokut SOC\) jednaki su po dvije stranice i ugao između njih (\(SO \perp ABC) \) \(\Strelica desno\) \(\ugao SOA = \ugao SOD = \ugao SOB = \ugao SOC = 90^\krug\); \(AO = OD = OB = OC\) , jer \(O\) je tačka presjeka dijagonala kvadrata, \(SO\) je zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Strelica desno\) \(\trougao ASD\) i \(\trougao BSC\) su jednakokračne. Tačka \(K\) je središte \(AD\) , tada je \(SK\) visina trougla \(\trokut ASD\) , a \(OK\) je visina trougla \ (AOD\) \(\ Strelica desno\) ravan \(SOK\) je okomita na ravan \(ASD\) . Tačka \(L\) je središte \(BC\) , tada je \(SL\) visina trougla \(\trokut BSC\) , a \(OL\) visina trokuta \ (BOC\) \(\ Strelica desno\) ravan \(SOL\) (aka ravan \(SOK\) ) je okomita na ravan \(BSC\) . Tako dobijamo da je \(\ugao KSL\) linearni ugao jednak željenom diedralnom uglu.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Strelica desno\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - visine u jednakim jednakokračnim trokutima, koje se mogu naći pomoću Pitagorine teoreme: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). To se vidi \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Strelica desno\) za trougao \(\trougao KSL\) važi inverzna Pitagorina teorema \(\Rightarrow\) \(\trougao KSL\) je pravougaoni trougao \(\Strelica desno\) \(\ugao KSL = 90^\ circ\) .

Odgovor: 90

Priprema učenika za ispit iz matematike, u pravilu, počinje ponavljanjem osnovnih formula, uključujući i one koje vam omogućavaju da odredite ugao između ravnina. Uprkos činjenici da je ovaj dio geometrije dovoljno detaljno obrađen u okviru školskog programa, mnogi maturanti moraju ponoviti osnovno gradivo. Razumijevajući kako pronaći ugao između ravnina, srednjoškolci će moći brzo izračunati tačan odgovor u toku rješavanja zadatka i računati na pristojne ocjene na osnovu jedinstvenog državnog ispita.

Glavne nijanse

Kako pitanje kako pronaći diedralni kut ne izaziva poteškoće, preporučujemo da slijedite algoritam rješenja koji će vam pomoći da se nosite sa zadacima ispita.

Prvo morate odrediti liniju duž koje se sijeku ravnine.

Zatim na ovoj liniji trebate odabrati tačku i nacrtati dvije okomice na nju.

Sljedeći korak je pronalaženje trigonometrijske funkcije diedralnog ugla, koji formiraju okomite. Najprikladnije je to učiniti uz pomoć rezultirajućeg trokuta, čiji je ugao dio.

Odgovor će biti vrijednost ugla ili njegova trigonometrijska funkcija.

Priprema za ispit zajedno sa Školkovom je ključ vašeg uspjeha

U procesu učenja uoči polaganja ispita, mnogi studenti se suočavaju s problemom pronalaženja definicija i formula koje vam omogućavaju da izračunate ugao između 2 ravnine. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci tačno kada je potreban. A da biste pronašli potrebne formule i primjere njihove ispravne primjene, uključujući i pronalaženje ugla između ravnina na Internetu, ponekad morate potrošiti puno vremena.

Matematički portal "Školkovo" nudi novi pristup pripremama za državni ispit. Časovi na našoj web stranici pomoći će učenicima da identificiraju najteže dijelove za sebe i popune praznine u znanju.

Pripremili smo i jasno prezentirali sav potreban materijal. Osnovne definicije i formule su predstavljene u odjeljku "Teorijska referenca".

Radi bolje asimilacije gradiva predlažemo i vježbanje odgovarajućih vježbi. Veliki izbor zadataka različitog stepena složenosti, na primjer, prikazan je u odjeljku Katalog. Svi zadaci sadrže detaljan algoritam za pronalaženje tačnog odgovora. Lista vježbi na stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

Uvježbavajući se u rješavanju zadataka u kojima je potrebno pronaći ugao između dvije ravni, učenici imaju mogućnost da bilo koji zadatak sačuvaju na mreži u "Favorite". Zahvaljujući tome, moći će mu se vraćati potreban broj puta i razgovarati o napretku njegovog rješenja sa učiteljem ili nastavnikom.

Biću kratak. Ugao između dve prave jednak je uglu između njihovih vektora pravca. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a = (x 1; y 1; z 1) i b = (x 2; y 2; z 2), možete pronaći kut. Preciznije, kosinus ugla prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Tačke E i F označene su u kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Pošto ivica kocke nije specificirana, postavljamo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sistem: ishodište je u tački A, a ose x, y, z su usmjerene duž AB, AD i AA 1, respektivno. . Jedinični segment je jednak AB = 1. Sada ćemo pronaći koordinate vektora smjera za naše linije.

Pronađite koordinate vektora AE. Da bismo to učinili, potrebne su nam tačke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Pošto je tačka E sredina segmenta A 1 B 1, njene koordinate su jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Imajte na umu da se početak vektora AE poklapa sa ishodištem, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Sada se pozabavimo BF vektorom. Slično analiziramo tačke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus ugla između pravih je kosinus ugla između vektora pravca, tako da imamo:

Zadatak. U pravilnoj triedačkoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke D i E - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AD i BE.

Uvodimo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x-osa je usmjerena duž AB, z - duž AA 1 . Usmjeravamo y os tako da se ravan OXY poklapa sa ravninom ABC. Jedinični segment je jednak AB = 1. Pronađite koordinate vektora smjera za željene linije.

Prvo, pronađimo koordinate AD vektora. Razmotrimo tačke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1 . Pošto se početak vektora AD poklapa sa ishodištem, dobijamo AD = (0,5; 0; 1).

Sada pronađimo koordinate vektora BE. Tačku B = (1; 0; 0) je lako izračunati. Sa tačkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - malo teže. Imamo:

Ostaje pronaći kosinus ugla:

Zadatak. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke K i L - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AK i BL.

Uvodimo standardni koordinatni sistem za prizmu: početak koordinata postavljamo u centar donje baze, usmjeravamo x-os duž FC, y-os kroz sredine segmenata AB i DE, a z-os vertikalno prema gore. Jedinični segment je opet jednak AB = 1. Napišimo koordinate tačaka koje nas zanimaju:

Tačke K i L su sredine segmenata A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Poznavajući tačke, nalazimo koordinate vektora pravca AK i BL:

Sada pronađimo kosinus ugla:

Zadatak. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke E i F - sredine stranica SB i SC, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Uvodimo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x i y ose su usmerene duž AB i AD, respektivno, a z osa je usmerena vertikalno nagore. Jedinični segment je jednak AB = 1.

Tačke E i F su sredine segmenata SB i SC, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapisujemo koordinate tačaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Poznavajući tačke, nalazimo koordinate vektora smjera AE i BF:

Koordinate vektora AE poklapaju se sa koordinatama tačke E, pošto je tačka A ishodište. Ostaje pronaći kosinus ugla:

ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:

Dva ravno su paralelne ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralela l 2 ako i samo ako je paralelno .

Dva ravno okomito ako i samo ako je zbir proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

At cilj između linije i ravni

Pusti liniju d- nije okomito na ravan θ;
d′− projekcija prave linije d na ravan θ;
Najmanji od uglova između pravih linija d i d′ zvaćemo ugao između prave i ravni.
Označimo to sa φ=( d,θ)
Ako a d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravougaoni koordinatni sistem.
Jednačina ravni:

θ: Sjekira+By+cz+D=0

Smatramo da je prava data tačkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati ugao između vektora n→ i str→, označimo ga kao γ=( n→,str→).

Ako je ugao γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je ugao γ>π/2 , tada je traženi ugao φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

onda, ugao između prave i ravni može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+k.č 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje 29. Koncept kvadratne forme. Znak-određenost kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se zbir oblika
, (1)

gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti aij = a ji.

Kvadratni oblik se zove validan, ako aij O GR. Matrica kvadratne forme naziva se matrica sastavljena od njenih koeficijenata. Kvadratični oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici
tj. A T = A. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( X) = x T Ah, gdje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do notacije varijabli.

Rang kvadratnog oblika naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegenerisan, ako je njegova matrica nesingularna ALI. (podsjetimo da je matrica ALI naziva se nedegenerisanim ako mu je determinanta različita od nule). Inače, kvadratni oblik je degenerisan.

pozitivno definitivno(ili striktno pozitivno) ako

j ( X) > 0 , za bilo koga X = (X 1 , X 2 , …, x n), Osim toga X = (0, 0, …, 0).

Matrix ALI pozitivno određen kvadratni oblik j ( X) se također naziva pozitivno određen. Prema tome, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) se zove negativno određeno(ili strogo negativno) ako

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Osim toga X = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, negativno-definirana kvadratna matrica se također naziva negativno-definirana.

Dakle, pozitivno (negativno) određen kvadratni oblik j ( X) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratnih oblika nije predznakom određena, odnosno da nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u početku koordinatnog sistema, već iu drugim tačkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznačne određenosti kvadratnog oblika. Hajde da ih razmotrimo.

Major Minors kvadratni oblici se nazivaju minori:

odnosno radi se o maloletnicima reda 1, 2, …, n matrice ALI, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih se poklapa sa determinantom matrice ALI.

Kriterijum za pozitivnu određenost (Sylvesterov kriterijum)

X) = x T Ah je pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice ALI bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterijum negativne sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( X) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da su njegovi glavni minori parnog reda pozitivni, a neparnog negativni, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Članak govori o pronalaženju ugla između ravnina. Nakon donošenja definicije postavićemo grafičku ilustraciju, razmotriti detaljan metod za pronalaženje koordinata metodom. Dobijamo formulu za ravnine koje se sijeku, koja uključuje koordinate vektora normale.

U materijalu će se koristiti podaci i koncepti koji su prethodno proučavani u člancima o ravni i pravoj u prostoru. Za početak, potrebno je prijeći na razmišljanje koje omogućava određeni pristup određivanju ugla između dvije ravnine koje se sijeku.

Date su dvije ravnine koje se seku γ 1 i γ 2. Njihova raskrsnica će dobiti oznaku c. Konstrukcija χ ravni je povezana sa presekom ovih ravni. Ravan χ prolazi kroz tačku M kao prava c. Ravnine γ 1 i γ 2 će se preseći pomoću χ ravni. Prihvatamo oznake prave koja seče γ 1 i χ za pravu a, i koja seče γ 2 i χ za pravu b. Dobijamo da presjek pravih a i b daje tačku M.

Položaj tačke M ne utiče na ugao između pravih a i b koji se seku, a tačka M se nalazi na pravoj c kojom prolazi ravan χ.

Potrebno je konstruisati ravan χ 1 okomitu na pravu c i različitu od ravni χ . Presjek ravnina γ 1 i γ 2 uz pomoć χ 1 će dobiti oznaku pravih a 1 i b 1 .

Vidi se da su pri konstruisanju χ i χ 1, prave a i b okomite na pravu c, tada su a 1, b 1 okomite na pravu c. Nalazeći prave a i a 1 u ravni γ 1 sa okomitom na pravu c, onda se mogu smatrati paralelnim. Na isti način, položaj b i b 1 u ravni γ 2 sa okomitom prave c ukazuje na njihov paralelizam. To znači da je potrebno izvršiti paralelni prijenos ravni χ 1 u χ, pri čemu dobijamo dvije podudarne prave a i a 1 , b i b 1 . Dobijamo da je ugao između pravih a i b 1 jednak kutu pravih a i b koji se seku.

Razmotrite sliku ispod.

Ovaj sud dokazuje činjenica da između pravih a i b koji se seku postoji ugao koji ne zavisi od lokacije tačke M, odnosno tačke preseka. Ove linije se nalaze u ravninama γ 1 i γ 2 . U stvari, rezultujući ugao se može zamisliti kao ugao između dve ravnine koje se seku.

Pređimo na određivanje ugla između postojećih ravnina γ 1 i γ 2 .

Definicija 1

Ugao između dvije ravnine koje se seku γ 1 i γ 2 nazovimo ugao nastao presekom pravih a i b, gde se ravni γ 1 i γ 2 seku sa ravninom χ okomitom na pravu c.

Razmotrite sliku ispod.

Definicija se može dostaviti u drugom obliku. Na presjeku ravnina γ 1 i γ 2, gdje je c prava na kojoj se sijeku, označite tačku M, kroz koju povucite prave a i b, okomite na pravu c i koje leže u ravninama γ 1 i γ 2, tada će ugao između pravih a i b biti ugao između ravnina. U praksi, ovo je primjenjivo za konstruiranje ugla između ravnina.

Na raskrsnici se formira ugao koji je manji od 90 stepeni po vrednosti, odnosno stepen mera ugla važi na intervalu ovog tipa (0, 90 ). Istovremeno, ove ravni se nazivaju okomite ako se na raskrsnici formira pravi ugao.Ugao između paralelnih ravnina smatra se jednakim nuli.

Uobičajeni način pronalaženja ugla između ravnina koje se seku je izvođenje dodatnih konstrukcija. To pomaže da se to odredi s točnošću, a to se može učiniti pomoću znakova jednakosti ili sličnosti trokuta, sinusa, kosinusa kuta.

Razmotrite rješavanje problema koristeći primjer iz zadataka Jedinstvenog državnog ispita bloka C 2.

Primjer 1

Dat je pravougaoni paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, gdje stranica A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, tačka E razdvaja stranu A A 1 u omjeru 4: 3. Pronađite ugao između ravnina A B C i B E D 1 .

Rješenje

Radi jasnoće, potrebno je da napravite crtež. Shvatili smo to

Vizuelni prikaz je neophodan kako bi bio pogodniji rad sa uglom između ravnina.

Dajemo definiciju prave linije duž koje se sijeku ravni A B C i B E D 1. Tačka B je zajednička tačka. Trebalo bi pronaći još jednu zajedničku tačku raskrsnice. Razmotrimo prave D A i D 1 E , koje se nalaze u istoj ravni A D D 1 . Njihova lokacija ne ukazuje na paralelizam, što znači da imaju zajedničku tačku raskrsnice.

Međutim, prava D A nalazi se u ravni A B C, a D 1 E u B E D 1 . Otuda dobijamo da su linije D A i D 1 E imaju zajedničku tačku preseka, što je takođe uobičajeno za ravnine A B C i B E D 1 . Označava tačku preseka linija D A i D 1 E slovo F. Odavde dobijamo da je B F prava linija duž koje se sijeku ravni A B C i B E D 1.

Razmotrite sliku ispod.

Da bi se dobio odgovor, potrebno je konstruisati prave koje se nalaze u ravninama A B C i B E D 1 sa prolazom kroz tačku koja se nalazi na pravoj B F i okomita na nju. Tada se rezultujući ugao između ovih linija smatra željenim uglom između ravnina A B C i B E D 1.

Iz ovoga se vidi da je tačka A projekcija tačke E na ravan A B C. Potrebno je povući pravu koja seče pravu B F pod pravim uglom u tački M. Vidi se da je prava A M je projekcija prave E M na ravan A B C, na osnovu teoreme o tim okomitima A M ⊥ B F . Razmotrite sliku ispod.

∠ A M E je željeni ugao koji čine ravnine A B C i B E D 1 . Iz dobijenog trougla A E M možemo pronaći sinus, kosinus ili tangent ugla, nakon čega je i sam ugao, samo sa svoje dvije poznate stranice. Pod uslovom imamo da se dužina A E nađe na ovaj način: prava A A 1 podijeljena je točkom E u omjeru 4: 3, što znači da je ukupna dužina prave 7 dijelova, zatim A E \u003d 4 dijela. Nalazimo A.M.

Potrebno je uzeti u obzir pravougli trokut A B F. Imamo pravi ugao A sa visinom A M. Iz uslova A B = 2, tada možemo pronaći dužinu A F po sličnosti trokuta D D 1 F i A E F. Dobijamo da je A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Potrebno je pronaći dužinu stranice B F iz trougla A B F koristeći Pitagorinu teoremu. Dobijamo da je B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Dužina stranice A M nalazi se kroz površinu trokuta A B F. Imamo da površina može biti jednaka i S A B C = 1 2 · A B · A F , i S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dobijamo da je A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Tada možemo pronaći vrijednost tangente ugla trougla A E M. Dobijamo:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Željeni ugao dobijen presjekom ravnina A B C i B E D 1 jednak je a r c t g 5, onda, kada se pojednostavi, dobijamo a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

odgovor: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Neki slučajevi pronalaženja ugla između linija koje se seku date su pomoću koordinatne ravni O x y z i koordinatnog metoda. Razmotrimo detaljnije.

Ako je dat problem gdje je potrebno pronaći ugao između ravnina koje se seku γ 1 i γ 2, željeni ugao označavamo sa α.

Tada dati koordinatni sistem pokazuje da imamo koordinate vektora normale ravnina koje se seku γ 1 i γ 2 . Zatim označavamo da je n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z normalni vektor ravni γ 1 , a n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - za ravan γ 2 . Razmotrite detaljan nalaz ugla koji se nalazi između ovih ravni prema koordinatama vektora.

Pravu liniju duž koje se sijeku ravnine γ 1 i γ 2 potrebno je označiti slovom c. Na pravoj sa imamo tačku M kroz koju povlačimo ravan χ, okomitu na c. Ravan χ duž pravih a i b siječe ravnine γ 1 i γ 2 u tački M . iz definicije proizilazi da je ugao između ravnina koje se seku γ 1 i γ 2 jednak uglu pravih a i b koje se seku tim ravnima, respektivno.

U χ ravni odvajamo normalne vektore iz tačke M i označavamo ih n 1 → i n 2 →. Vektor n 1 → nalazi se na pravoj okomitoj na pravu a, a vektor n 2 → na pravoj okomitoj na pravu b. Odavde dobijamo da data ravan χ ima vektor normale prave a jednak n 1 → a za pravu b jednak n 2 → . Razmotrite sliku ispod.

Odavde dobijamo formulu po kojoj možemo izračunati sinus ugla linija koje se seku koristeći koordinate vektora. Otkrili smo da je kosinus ugla između pravih a i b isti kao što je kosinus između ravnina koje se seku γ 1 i γ 2 izveden iz formule cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , gdje imamo da je n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) i n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) su koordinate vektora predstavljenih ravni.

Ugao između linija koje se sijeku izračunava se pomoću formule

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Primjer 2

Pod uslovom je dat paralelepiped A V S D A 1 B 1 C 1 D 1 , gdje A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, a tačka E razdvaja stranu A A 1 4: 3. Pronađite ugao između ravnina A B C i B E D 1 .

Rješenje

Može se vidjeti iz uvjeta da su njegove stranice parno okomite. To znači da je potrebno uvesti koordinatni sistem O x y z sa vrhom u tački C i koordinatnim osama O x, O y, O z. Potrebno je postaviti smjer na odgovarajuće strane. Razmotrite sliku ispod.

Ukrštanje ravni A B C i B E D 1 formiraju ugao, koji se može naći po formuli 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , gdje je n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) i n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) su normalni vektori ovih ravni. Potrebno je odrediti koordinate. Sa slike vidimo da se koordinatna osa O x y poklapa u ravni A B C, što znači da su koordinate vektora normale k → jednake vrijednosti n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Vektor normale ravni B E D 1 je vektorski proizvod B E → i B D 1 → , pri čemu se njihove koordinate nalaze koordinatama ekstremnih tačaka B, E, D 1 , koje se određuju na osnovu uslova zadatka.

Dobijamo da je B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Budući da je A E E A 1 = 4 3 , iz koordinata tačaka A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 nalazimo E 2 , 3 , 4 . Dobijamo da je B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Pronađene koordinate potrebno je zamijeniti u formulu za izračunavanje ugla kroz arc kosinus. Dobijamo

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinatna metoda daje sličan rezultat.

odgovor: a r c cos 6 6 .

Konačni problem se razmatra kako bi se pronašao ugao između ravnina koje se seku sa dostupnim poznatim jednačinama ravnina.

Primjer 3

Izračunajte sinus, kosinus ugla i vrijednost ugla kojeg formiraju dvije prave koje se seku, koje su definisane u koordinatnom sistemu O x y z i date jednadžbama 2 x - 4 y + z + 1 = 0 i 3 y - z - 1 = 0 .

Rješenje

Prilikom proučavanja teme opšte jednadžbe prave linije oblika A x + B y + C z + D = 0, otkriveno je da su A, B, C koeficijenti jednaki koordinatama vektora normale. Dakle, n 1 → = 2 , - 4 , 1 i n 2 → = 0 , 3 , - 1 su normalni vektori datih linija.

U formulu za izračunavanje željenog ugla ravnina koje se sijeku potrebno je zamijeniti koordinate vektora normale ravnina. Onda to shvatamo

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Otuda imamo da kosinus ugla ima oblik cos α = 13 210 . Tada ugao linija koje se seku nije tup. Zamjenom u trigonometrijski identitet dobijamo da je vrijednost sinusa ugla jednaka izrazu. Računamo i dobijamo to

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

odgovor: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter