Funkcija y = f(x) naziva se povećanjem (opadanjem) na intervalu (a,b), ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Neka i .

Zatim funkcija povećava između X, ako (snimi na ( a,b)) I smanjuje se, ako (snimi na ( a,b)) (vidi sliku 1).

Snimanje i

Funkcije koje se povećavaju i smanjuju se nazivaju monotono. Monotonske funkcije također uključuju neopadajuće i nerastuće funkcije.

Ograničene karakteristike.

Funkcija se poziva ograničeno između (a,b) ako takav da

Inače, funkcija se naziva neograničena.

Periodična funkcija.

Funkcija se poziva periodični sa tačkom , ako je tačno .

Dati su glavni načini specificiranja funkcija: eksplicitni analitički; interval; parametarski; implicitno; definiranje funkcije pomoću niza; tabelarni; grafički. Primjeri primjene ovih metoda

Vidi također: Definicija funkcije

Postoje sljedeći načini za definiranje funkcije y = f (x):

1. Eksplicitna analitička metoda koja koristi formulu oblika y = f (x).
2. Interval.
3. Parametrijski: x = x (t) , y = y(t).
4. Implicitno, kao rješenje jednačine F (x, y) = 0.
5. U obliku niza sastavljenih od poznatih funkcija.
6. Tabelarni.
7. Graphic.

Eksplicitni analitički način definiranja funkcije

At eksplicitan način, vrijednost funkcije je određena formulom, a to je jednadžba y = f (x). Na lijevoj strani ove jednačine je zavisna varijabla y, a na desnoj strani je izraz sastavljen od nezavisne varijable x, konstante, poznatih funkcija i operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Poznate funkcije su elementarne funkcije i specijalne funkcije čije se vrijednosti mogu izračunati pomoću računalne tehnologije.

Evo nekoliko primjera eksplicitnog definiranja funkcije sa nezavisnom varijablom x i zavisnom varijablom y:
;
;
.

Intervalni način definiranja funkcije

At interval metoda postavljanja funkcije, domen definicije je podijeljen na nekoliko intervala, a funkcija je specificirana posebno za svaki interval.

Evo nekoliko primjera intervalnog načina definiranja funkcije:

Parametarski način definiranja funkcije

At parametarska metoda, uvodi se nova varijabla koja se zove parametar. Zatim se vrijednosti x i y postavljaju kao funkcije parametra, koristeći eksplicitni način postavljanja:
(1)

Evo primjera parametarskog načina definiranja funkcije pomoću parametra t:

Prednost parametarske metode je u tome što se ista funkcija može definirati na beskonačan broj načina. Na primjer, funkcija se može definirati ovako:

A moguće je i ovako:

Takva sloboda izbora, u nekim slučajevima, omogućava primjenu ove metode za rješavanje jednačina (pogledajte "Diferencijalne jednadžbe koje ne sadrže jednu od varijabli"). Suština aplikacije je da u jednadžbu zamjenjujemo dvije funkcije i umjesto varijabli x i y. Zatim jedan od njih postavljamo po vlastitom nahođenju, tako da se drugi može odrediti iz rezultirajuće jednačine.

Takođe, ova metoda se koristi za pojednostavljenje proračuna. Na primjer, ovisnost koordinata tačaka elipse sa poluosama a i b može se predstaviti na sljedeći način:
.
U parametarskom obliku, ovoj zavisnosti se može dati jednostavniji oblik:
.

Jednačine (1) nisu jedini način za parametarsko definiranje funkcije. Možete unijeti ne jedan, već nekoliko parametara povezujući ih dodatnim jednadžbama. Na primjer, možete unijeti dva parametra i . Tada će definicija funkcije izgledati ovako:

Ovdje dolazi dodatna jednadžba koja se odnosi na parametre. Ako je broj parametara n, onda mora postojati n - 1 dodatne jednačine.

Primjer korištenja više parametara dat je na stranici Jacobijeva diferencijalna jednačina. Tu se rješenje traži u sljedećem obliku:
(2) .
Rezultat je sistem jednačina. Da bi se to riješilo, uvodi se četvrti parametar t. Nakon rješavanja sistema dobijaju se tri jednačine koje povezuju četiri parametra i .

Implicitni način definiranja funkcije

At implicitni način, vrijednost funkcije se određuje iz rješenja jednadžbe .

Na primjer, jednadžba za elipsu je:
(3) .
Ovo je jednostavna jednadžba. Ako uzmemo u obzir samo gornji dio elipse, onda možemo izraziti varijablu y kao funkciju x na eksplicitan način:
(4) .
Ali čak i ako je moguće svesti (3) na eksplicitan način specificiranja funkcije (4), posljednja formula nije uvijek zgodna za korištenje. Na primjer, da biste pronašli derivaciju, zgodno je razlikovati jednadžbu (3) umjesto (4):
;
.

Postavljanje funkcije u blizini

Izuzetno važan način definiranja funkcije je da reprezentacija u redovima sastavljena od poznatih funkcija. Ova metoda vam omogućava da istražite funkciju matematičkim metodama i izračunate njene vrijednosti za primijenjene probleme.

Najčešći prikaz je definiranje funkcije pomoću niza stepena. Koristi niz funkcija:
.
Također se koristi niz s negativnim eksponentima:
.
Na primjer, sinusna funkcija ima sljedeće proširenje:
(5) .
Takve ekspanzije se široko koriste u kompjuterskoj tehnologiji, jer omogućavaju da se proračuni svedu na aritmetičke operacije.

Kao ilustraciju, izračunajmo vrijednost sinusa od 30° koristeći ekspanziju (5).
Pretvorite stepene u radijane:
.
Zamjena u (5):



.

U matematici se, uz redove stepena, široko koriste proširenja u trigonometrijske redove u funkcijama i , kao i u drugim specijalnim funkcijama. Uz pomoć serija mogu se napraviti približni proračuni integrala, jednačina (diferencijalnih, integralnih, u parcijalnim izvodima) i istražiti njihova rješenja.

Tabelarni način definiranja funkcije

At tabelarni način postavljanja funkcije imamo tabelu koja sadrži vrijednosti nezavisne varijable x i odgovarajuće vrijednosti zavisne varijable y. Nezavisne i zavisne varijable mogu imati različite oznake, ali ovdje koristimo x i y. Da bismo odredili vrijednost funkcije za datu vrijednost x, koristimo tablicu da pronađemo vrijednost x koja je najbliža našoj. Nakon toga određujemo odgovarajuću vrijednost zavisne varijable y.

Za precizniju definiciju vrijednosti funkcije, smatramo da je funkcija između dvije susjedne vrijednosti x linearna, odnosno ima sljedeći oblik:
.
Ovdje su vrijednosti funkcije pronađene iz tablice, s odgovarajućim vrijednostima argumenata.
Razmotrimo primjer. Trebamo pronaći vrijednost funkcije na . Iz tabele nalazimo:
.
Onda

.
Tačna vrijednost:
.
Iz ovog primjera se može vidjeti da je korištenje linearne aproksimacije dovelo do povećanja tačnosti u određivanju vrijednosti funkcije.

Tabelarni metod se koristi u primenjenim naukama. Prije razvoja kompjuterske tehnologije, široko se koristio u inženjerskim i drugim proračunima. Sada se tabelarni metod koristi u statistici i eksperimentalnim naukama za prikupljanje i analizu eksperimentalnih podataka.

Grafički način definiranja funkcije

At grafički način, vrijednost funkcije se određuje iz grafa, duž čije su apscisne ose iscrtane vrijednosti nezavisne varijable, a duž ordinatne ose - zavisne varijable.

Grafička metoda daje vizualni prikaz ponašanja funkcije. Rezultati proučavanja funkcije često su ilustrirani njenim grafikonom. Iz grafikona možete odrediti približnu vrijednost funkcije. Ovo vam omogućava da koristite grafičku metodu u primenjenim i inženjerskim proračunima.

Jedna od klasičnih definicija pojma "funkcija" su definicije zasnovane na korespondenciji. Predstavljamo niz takvih definicija.

Definicija 1

Poziva se odnos u kojem svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj vrijednosti zavisne varijable funkcija.

Definicija 2

Neka su data dva neprazna skupa $X$ i $Y$. Podudaranje $f$ koje se preslikava na svaki $x\u X$ jedan i samo jedan $y\u Y$ naziva se funkcija($f:X → Y$).

Definicija 3

Neka su $M$ i $N$ dva proizvoljna numerička skupa. Kaže se da je funkcija $f$ definirana na $M$, uzimajući vrijednosti iz $N$ ako je svakom elementu $x\u X$ dodijeljen jedan i samo jedan element iz $N$.

Sljedeća definicija je data kroz koncept varijable. Varijabla je veličina koja u ovoj studiji poprima različite numeričke vrijednosti.

Definicija 4

Neka je $M$ skup vrijednosti varijable $x$. Zatim, ako svaka vrijednost $x\in M$ odgovara jednoj određenoj vrijednosti druge varijable $y$ je funkcija vrijednosti $x$ definirane na skupu $M$.

Definicija 5

Neka su $X$ i $Y$ neki skupovi brojeva. Funkcija je skup $f$ uređenih parova brojeva $(x,\ y)$ tako da $x\in X$, $y\in Y$ i svaki $x$ pripada jednom i samo jednom paru ovih brojeva. skup, a svaki $y$ je u najmanje jednom paru .

Definicija 6

Bilo koji skup $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ uređenih parova $\left(x,\ y\right)$ takav da je za bilo koji par $\left(x",\ y" \desno)\u f$ i $\left(x"",\ y""\right)\u f$ iz uslova $y"≠ y""$ slijedi da je $x"≠x""$ naziva se funkcija ili prikaz.

Definicija 7

Funkcija $f:X → Y$ je skup $f$ uređenih parova $\left(x,\ y\right)\in X\puta Y$ tako da za bilo koji element $x\in X$ postoji jedinstveni element $y\in Y$ takav da je $\left(x,\ y\right)\in f$, to jest, funkcija je skup objekata $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

U ovim definicijama

$x$ je nezavisna varijabla.

$y$ je zavisna varijabla.

Sve moguće vrijednosti varijable $x$ nazivaju se domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable $y$ nazivaju se domenom funkcije.

Analitički način definiranja funkcije

Za ovu metodu potreban nam je koncept analitičkog izraza.

Definicija 8

Analitički izraz je proizvod svih mogućih matematičkih operacija nad bilo kojim brojevima i varijablama.

Analitički način postavljanja funkcije je njeno postavljanje pomoću analitičkog izraza.

Primjer 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Pros:

1. Pomoću formula možemo odrediti vrijednost funkcije za bilo koju vrijednost varijable $x$;
2. Ovako definisane funkcije mogu se proučavati pomoću aparata matematičke analize.

minusi:

1. Mala vidljivost.
2. Ponekad morate izvršiti vrlo glomazne proračune.

Tabelarni način definiranja funkcije

Ovaj način postavljanja je da se za nekoliko vrijednosti nezavisne varijable ispisuju vrijednosti zavisne varijable. Sve ovo se unosi u tabelu.

Primjer 2

Slika 1.

Plus: Za bilo koju vrijednost nezavisne varijable $x$ koja se unese u tablicu, odgovarajuća vrijednost funkcije $y$ se odmah prepoznaje.

minusi:

1. Češće nego ne, ne postoji puna specifikacija funkcije;
2. Mala vidljivost.

Šta riječi znače "postavi funkciju"? Oni znače: objasniti svima, o čemu specifična funkcija priča. Štaviše, objasnite jasno i nedvosmisleno!

Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju?

Možete napisati formulu. Možete nacrtati graf. Možete napraviti sto. Bilo koji način jeste neko pravilo po kojem možete saznati vrijednost igrača za x vrijednost koju smo odabrali. One. "postavi funkciju", to znači - pokazati zakon, pravilo prema kojem se x pretvara u y.

Obično ih ima u raznim zadacima spreman funkcije. Oni nam daju već postavljeno. Odlučite sami, ali odlučite.) Ali ... Najčešće, školarci (i studenti) rade sa formulama. Naviknu se, razumiješ... Toliko se naviknu da svako elementarno pitanje vezano za drugačiji način specificiranja funkcije čovjeka odmah uznemiri...)

Da biste izbjegli takve slučajeve, ima smisla razumjeti različite načine definiranja funkcija. I, naravno, primijeniti ovo znanje na "škakljiva" pitanja. Dovoljno je jednostavno. Ako znate šta je funkcija...)

Ići?)

Analitički način definiranja funkcije.

Najsvestraniji i najmoćniji način. Funkcija definisana analitički, ovo je funkcija koja je data formule. Zapravo, ovo je cijelo objašnjenje.) Svima poznate (želim vjerovati!)) funkcije, na primjer:: y=2x ili y=x2 itd. itd. date su analitički.

Usput, ne može svaka formula definirati funkciju. Ne slijedi svaka formula strogi uvjet definicije funkcije. Naime - za svaki x može postojati samo jedan igra. Na primjer, u formuli y = ±x, za jedan vrijednosti x=2, ispostavilo se dva y vrijednosti: +2 i -2. Nemoguće je definirati jednovrijednu funkciju ovom formulom. A sa viševrijednim funkcijama u ovom dijelu matematike, u matematičkoj analizi, po pravilu ne rade.

Zašto je analitički način definiranja funkcije dobar? Činjenica da ako imate formulu - znate za funkciju sve! Možete napraviti sto. Napravite graf. Istražite ovu funkciju u potpunosti. Predvidite tačno gdje i kako će se ova funkcija ponašati. Sva matematička analiza počiva na ovoj metodi definisanja funkcija. Recimo da je izuzetno teško uzeti derivat tabele...)

Analitička metoda je prilično poznata i ne stvara probleme. Osim možda nekih varijanti ove metode sa kojima se studenti susreću. Govorim o parametarskoj i implicitnoj dodjeli funkcija.) Ali takve funkcije su u posebnoj lekciji.

Prijeđimo na manje poznate načine definiranja funkcije.

Tabelarni način definiranja funkcije.

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavna ploča. U ovoj tabeli svaki x odgovara ( je usklađen) neka vrijednost igrača. Prvi red sadrži vrijednosti argumenta. Drugi red sadrži odgovarajuće vrijednosti funkcije, na primjer:

Tabela 1.

Molimo obratite pažnju! U ovom primjeru, y ovisi o x u svakom slučaju. Namjerno sam smislio ovo.) Nema šablona. U redu je, dešava se. znači, upravo Postavio sam ovu posebnu funkciju. Upravo Postavio sam pravilo po kojem se x pretvara u y.

Može se kompajlirati drugi tanjir sa uzorkom. Ova ploča će se postaviti drugi funkcija, na primjer:

Tabela 2.

Jeste li uhvatili uzorak? Ovdje se sve vrijednosti y dobijaju množenjem x sa dva. Evo prvog "škakljivog" pitanja: može li se funkcija specificirana u Tabeli 2 smatrati funkcijom y = 2x? Razmislite malo, odgovor će biti ispod, na grafički način. Tu je vrlo jasno.)

Šta je dobro tabelarni način postavljanja funkcije? Da, ne morate ništa da brojite. Sve je već izračunato i zapisano u tabeli.) I nema ništa više dobro. Ne znamo vrijednost funkcije za x, kojih nema u tabeli. U ovoj metodi takve x vrijednosti su jednostavno ne postoji. Usput, ovo je trag za škakljivo pitanje.) Ne možemo saznati kako se funkcija ponaša izvan tabele. Ne možemo ništa. Da, i vidljivost u ovoj metodi ostavlja mnogo da se poželi... Radi jasnoće, grafička metoda je dobra.

Grafički način definiranja funkcije.

U ovoj metodi, funkcija je predstavljena grafom. Argument (x) je iscrtan duž apscise, a vrijednost funkcije (y) duž ordinate. Prema rasporedu možete odabrati bilo koji X i pronađite odgovarajuću vrijednost at. Raspored može biti bilo koji, ali... ne bilo koji.) Radimo samo sa jednovrijednim funkcijama. Definicija takve funkcije jasno kaže: svaki X je usklađen jedini at. Jedan jedan, ne dva, ili tri... Na primjer, pogledajmo kružni grafikon:

Krug je kao krug... Zašto ne bi bio grafik funkcije? I hajde da pronađemo koje će y odgovarati vrijednosti x, na primjer, 6? Pomerimo kursor preko grafikona (ili dodirnemo sliku na tabletu) i ... vidimo da ovaj X odgovara dva vrijednosti igrača: y=2 i y=6.

Dva i šest! Stoga, takav graf neće biti grafička dodjela funkcije. Na jedan x obračunava dva igra. Ovaj graf ne odgovara definiciji funkcije.

Ali ako je ispunjen uslov jedinstvenosti, graf može biti apsolutno bilo šta. Na primjer:

Ova vrlo krivulina - i postoji zakon po kojem možete prevesti x u y. Nedvosmisleno. Željeli bismo znati vrijednost funkcije za x = 4, na primjer. Moramo pronaći četiri na x-osi i vidjeti koje y odgovara ovom x. Zadržite pokazivač miša preko slike i vidite da je vrijednost funkcije at za x=4 jednako pet. Ne znamo kojom se formulom daje takva transformacija X u Y. I nije potrebno. Sve je dogovoreno po rasporedu.

Sada se možemo vratiti na "škakljivo" pitanje o y=2x. Nacrtajmo ovu funkciju. evo ga:

Naravno, prilikom crtanja ovog grafikona nismo uzimali beskonačan broj vrijednosti X. Uzeli smo nekoliko vrijednosti, prebrojali y, napravili tanjir - i gotovi ste! Najpismeniji su uglavnom uzimali samo dvije vrijednosti X! I s pravom. Za ravnu liniju, ne treba vam više. Zašto dodatni posao?

Ali mi tačno znaošta x može biti bilo koga. Cijeli, razlomak, negativan... Bilo koji. To je prema formuli y=2x to se vidi. Stoga smo hrabro povezali tačke na grafu punom linijom.

Ako nam je funkcija data tablicom 2, tada ćemo morati uzeti x-vrijednosti samo sa stola. Jer ostali X-ovi (i Y-ovi) nam nisu dati, i nemamo ih gdje uzeti. Ne postoje te vrijednosti u ovoj funkciji. Raspored će se ispostaviti od bodova. Pokazujemo mišem na sliku i vidimo grafik funkcije dat u tabeli 2. Nisam napisao x-y vrijednosti na osi, hoćeš li to shvatiti, hajde, po ćelijama?)

Evo odgovora na škakljivo pitanje. Funkcija data u tablici 2 i funkcija y=2x - drugačije.

Grafička metoda je dobra zbog svoje jasnoće. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša tamo gdje se povećava. gde se smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije. A u temi sa izvodom, zadaci sa grafovima - stalno!

Općenito, analitički i grafički načini definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad sa formulom pomaže u izgradnji grafikona. A graf često predlaže rješenja koja nećete primijetiti u formuli... Bit ćemo prijatelji s grafovima.)

Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koja smo upravo pokrili. Ali na pitanje: "A četvrto!?" - potpuno se zamrzne.)

Postoji takav način.

Verbalni opis funkcije.

Da da! Funkcija se može sasvim nedvosmisleno definirati riječima. Veliki i moćni ruski jezik je sposoban za mnogo!) Na primjer, funkcija y=2x može se dati sljedeći verbalni opis: svakoj realnoj vrijednosti argumenta x dodjeljuje se udvostručena vrijednost. Volim ovo! Pravilo je postavljeno, funkcija je postavljena.

Štaviše, moguće je verbalno specificirati funkciju, što je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, specificirati formulom. Na primjer: svakoj vrijednosti prirodnog argumenta x dodjeljuje se zbir cifara koje čine vrijednost x. Na primjer, ako x=3, onda y=3. Ako x=257, onda y=2+5+7=14. itd. Teško je to zapisati u formulu. Ali sto je lako napraviti. I napravite grafikon. Usput, raspored ispada smiješan ...) Pokušajte.

Metoda verbalnog opisa je prilično egzotična metoda. Ali ponekad se to dogodi. Ovdje sam ga donio da vam dam samopouzdanje u neočekivanim i nestandardnim situacijama. Samo treba da razumete značenje reči "set funkcija..." Evo značenja:

Ako postoji zakon jedan-na-jedan korespondencije između X I at znači da postoji funkcija. Koji zakon, u kom obliku je to izraženo - formulom, tablom, grafom, rečima, pesmama, plesom - ne menja suštinu stvari. Ovaj zakon vam omogućava da odredite odgovarajuću vrijednost y pomoću vrijednosti x. Sve.

Sada ćemo ovo duboko znanje primijeniti na neke nestandardne zadatke.) Kao što je obećano na početku lekcije.

Vježba 1:

Funkcija y = f(x) data je u tabeli 1:

Tabela 1.

Pronađite vrijednost funkcije p(4) ako je p(x)= f(x) - g(x)

Ako uopće ne možete shvatiti šta je šta - pročitajte prethodnu lekciju "Šta je funkcija?" Tamo je vrlo jasno napisano o takvim slovima i zagradama.) A ako vas samo tabelarni oblik zbuni, onda ćemo to shvatiti ovdje.

Iz prethodne lekcije je jasno da ako, p(x) = f(x) - g(x), onda p(4) = f(4) - g(4). Pisma f I g znače pravila prema kojima se svakom X dodjeljuje svoj Y. Za svako slovo ( f I g) - vlastiti pravilo. Što je dato odgovarajućom tabelom.

Vrijednost funkcije f(4) određeno iz Tabele 1. To će biti 5. Vrijednost funkcije g(4) određeno u tabeli 2. Ovo će biti 8. Najteže ostaje.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Ovo je tačan odgovor.

Riješite nejednačinu f(x) > 2

To je to! Potrebno je riješiti nejednakost, koja (u uobičajenom obliku) briljantno izostaje! Ostaje ili napustiti zadatak, ili okrenuti glavu. Mi biramo drugo i raspravljamo se.)

Šta znači riješiti nejednakost? To znači pronaći sve vrijednosti x za koje je uvjet koji nam je dat zadovoljen f(x) > 2. One. sve vrijednosti funkcije ( at) mora biti veći od dva. I imamo svako y na grafikonu... I ima ih više od dva, i manje... I hajde, radi jasnoće, povući liniju na ovo dvoje! Pomeramo kursor preko slike i vidimo ovu ivicu.

Strogo govoreći, ova granica je graf funkcije y=2, ali to nije poenta. Važno je da se sada na grafikonu veoma jasno vidi gde, na kojem x, vrijednosti funkcije, tj. y, više od dva. Oni su više X > 3. At X > 3 cijela naša funkcija prolazi iznad granice y=2. To je cijelo rješenje. Ali još je prerano da isključite glavu!) Još moramo da zapišemo odgovor ...

Grafikon pokazuje da se naša funkcija ne proteže lijevo i desno do beskonačnosti. O tome govore tačke na krajevima grafikona. Funkcija se tu završava. Stoga, u našoj nejednakosti, svi x-ovi koji prelaze granice funkcije nemaju značenje. Za funkciju ovih x-ova ne postoji. I mi, zapravo, rješavamo nejednakost za funkciju ...

Tačan odgovor bi bio:

3 < X ≤ 6

Ili, u drugom obliku:

X ∈ (3; 6]

Sada je sve kako treba. Trojka nije uključena u odgovor, jer izvorna nejednakost je stroga. I šestica se uključuje, jer i funkcija na šest postoji, a uslov nejednakosti je zadovoljen. Uspješno smo riješili nejednakost koja (u svom uobičajenom obliku) ne postoji...

Ovako neko znanje i elementarna logika spašavaju u nestandardnim slučajevima.)