To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarida har bir kasrni qandaydir parametrga tenglashtirish t:
Parametr orqali to'g'ri chiziqning har bir nuqtasining joriy koordinatalarini ifodalovchi tenglamalarni olamiz t.
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari.
Ikki nuqta M 1 bo'lsin (x1,y1,z1) va M 2 (x2,y2,z2). Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamalari xuddi tekislikdagi oʻxshash tenglamaga oʻxshab olinadi. Shuning uchun biz darhol ushbu tenglamaning shaklini beramiz.
Ikki tekislikning kesishmasidagi to'g'ri chiziq. Fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Agar ikkita parallel bo'lmagan tekislikni ko'rib chiqsak, ularning kesishishi to'g'ri chiziq bo'ladi.
Agar normal vektorlar va 
kollinear bo'lmagan.
Quyida misollarni ko'rib chiqayotganda bunday to'g'ri chiziq tenglamalarini ga o'zgartirish usulini ko'rsatamiz kanonik tenglamalar.
5.4 Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti.
Fazodagi ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak ma'lumotlarga parallel bo'lgan ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan burchaklarning istalganidir.
Ikki chiziq ularning kanonik tenglamalari bilan berilgan bo'lsin.
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak uchun biz yo'nalish vektorlari orasidagi burchakni olamiz.
Va 
Ikki to'g'ri chiziqning perpendikulyarlik sharti ularning yo'nalish vektorlarining perpendikulyarlik shartiga va , ya'ni skalyar ko'paytmaning nolga tengligiga keltiriladi: yoki koordinatali shaklda: .
Ikki chiziqning parallellik sharti ularning yo'nalish vektorlarining parallellik shartiga keltiriladi va
5.5 O'zaro tartibga solish tekis va tekis.
To'g'ri chiziq tenglamalari berilgan bo'lsin:
va samolyotlar. Chiziq va tekislik orasidagi burchak chiziq va uning tekislikka proyeksiyasidan hosil bo'lgan qo'shni ikkita burchakning har qandayi bo'ladi (5.5-rasm).
 |
|||||||
5.5-rasm
Agar chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, chiziqning yo'naltiruvchi vektori va tekislikka normal vektor kollineardir. Shunday qilib, to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik sharti kollinear vektorlar holatiga keltiriladi.
To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligida ularning yuqorida ko'rsatilgan vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun to'g'ri chiziq va tekislikning parallellik sharti vektorlarning perpendikulyarlik shartiga keltiriladi; bular. ular skalyar mahsulot nol yoki koordinatali shaklda: .
Quyida 5-bob mavzusiga oid masalalarni yechish misollari keltirilgan.
1-misol:
Tenglama orqali berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar A (1,2,4) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing:
Yechim:
U orqali o'tadigan tekislik tenglamasidan foydalanamiz berilgan nuqta berilgan vektorga perpendikulyar.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Nuqta sifatida biz A (1,2,4) nuqtani olamiz, u orqali tekislik shart bo'yicha o'tadi.
Chiziqning kanonik tenglamalarini bilib, biz chiziqqa parallel vektorni bilamiz.
Shartga ko'ra, to'g'ri chiziq kerakli tekislikka perpendikulyar bo'lganligi sababli, yo'nalish vektorini tekislikning normal vektori sifatida olish mumkin.
Shunday qilib, tekislik tenglamasini quyidagi shaklda olamiz:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
2-misol:
Samolyotda toping 4x-7y+5z-20=0 OP koordinata o'qlari bilan teng burchaklar hosil qiladigan P nuqta.
Yechim:
Keling, sxematik chizma tuzamiz. (5.6-rasm)
 |
da
5.6-rasm
Bo'sh nuqta R koordinatalariga ega. Vektor koordinata o'qlari bilan bir xil burchaklarni hosil qilganligi sababli, bu vektorning yo'nalish kosinuslari bir-biriga teng.
Vektorning proyeksiyalarini topamiz:
u holda bu vektorning yo'nalish kosinuslari osongina topiladi.
Yo'nalish kosinuslarining tengligidan tenglik quyidagicha bo'ladi:
x p \u003d y p \u003d z p
P nuqta tekislikda yotganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga qo'yish uni o'ziga xoslikka aylantiradi.
4x p -7x p +5x p -20=0
2x p \u003d 20
x p \u003d 10
Mos ravishda: y r=10; z p=10.
Shunday qilib, istalgan P nuqta P koordinatalariga ega (10; 10; 10)
3-misol:
A (2, -1, -2) va B (8, -7,5) ikkita nuqta berilgan. AB segmentiga perpendikulyar B nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini toping.
Yechim:
Masalani yechish uchun berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Nuqta sifatida biz B nuqtasini (8, -7,5) va vektor sifatida tekislikka perpendikulyar vektorni ishlatamiz. Vektorning proyeksiyalarini topamiz:
u holda tekislikning tenglamasini quyidagi shaklda olamiz:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6x-48-6y-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
4-misol:
OY o'qiga parallel va K(1,-5,1) va M(3,2,-2) nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.
Yechim:
Tekislik OY o'qiga parallel bo'lgani uchun biz tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasidan foydalanamiz.
Ax+Cz+D=0
K va M nuqtalar tekislikda yotganligi sababli ikkita shartga erishamiz.
Bu shartlardan A va C koeffitsientlarni D ko'rinishida ifodalaymiz.
Topilgan koeffitsientlarni tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasiga almashtiramiz:
dan beri, keyin D ni kamaytiramiz:
5-misol:
M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.
Yechim:
Berilgan 3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz.
koordinatalarini almashtirish M, K, R nuqtalari birinchi, ikkinchi va uchinchi sifatida biz olamiz:
determinantni 1-satr bo'ylab kengaytiring.
6-misol:
M 1 (8, -3,1) nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping; M 2 (4,7,2) va tekislikka perpendikulyar 3x+5y-7z-21=0
Yechim:
Keling, sxematik chizma tuzamiz (5.7-rasm)
5.7-rasm
Berilgan P 2 tekislikni va kerakli P 2 tekislikni belgilaymiz. Tenglamadan berilgan samolyot R 1 vektorning R 1 tekislikka perpendikulyar proyeksiyalarini aniqlaymiz.
Vektor usuli parallel uzatish ni P 2 tekisligiga ko'chirish mumkin, chunki masalaning shartiga ko'ra, P 2 tekislik P 1 tekislikka perpendikulyar, ya'ni vektor P 2 tekislikka parallel.
R 2 tekislikda yotgan vektorning proyeksiyalarini topamiz:
endi biz ikkita vektorga egamiz va R 2 tekislikda yotamiz. Shubhasiz, vektorlarning vektor mahsulotiga teng vektor va P 2 tekislikka perpendikulyar bo'ladi, chunki u P 2 tekislikka perpendikulyar va shuning uchun uning normal vektori.
Vektorlar va ularning proyeksiyalari bilan berilgan, shuning uchun:
Keyinchalik vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz. Nuqta sifatida siz M 1 yoki M 2 nuqtalarining istalganini olishingiz mumkin, masalan, M 1 (8, -3.1); Tekislikka normal vektor sifatida R 2 ni olamiz.
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
7-misol:
To'g'ri chiziq ikki tekislikning kesishishi bilan belgilanadi. Chiziqning kanonik tenglamalarini toping.
Yechim:
Bizda quyidagi shaklda tenglama mavjud:
Bir nuqtani topish kerak x 0, y 0, z 0) u orqali to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori o'tadi.
Biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz. Misol uchun, z=1, keyin ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz:
Shunday qilib, biz kerakli chiziqda yotgan nuqtani topdik (2,0,1).
Kerakli to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida biz va vektorlarning ko'ndalang ko'paytmasini olamiz, chunki ular normal vektorlardir. 
, bu kerakli chiziqqa parallel degan ma'noni anglatadi.
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori proyeksiyalarga ega. Berilgan vektorga parallel berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib:
Shunday qilib, kerakli kanonik tenglama quyidagi shaklga ega:
8-misol:
Chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping 
va samolyot 2x+3y+3z-8=0
Yechim:
Keling, yozamiz berilgan tenglama to'g'ridan-to'g'ri parametrik shakl.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi parametrning bitta qiymatiga mos keladi t. Parametrni topish uchun t chiziq va tekislikning kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi, biz ifodani tekislik tenglamasiga almashtiramiz. x, y, z parametr orqali t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
keyin kerakli nuqtaning koordinatalari
kerakli kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (1;1;1).
9-misol:
Parallel chiziqlardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.
Keling, sxematik chizma tuzamiz (5.9-rasm)
5.9-rasm
Berilgan chiziqlar tenglamalaridan va biz ushbu chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining proyeksiyalarini aniqlaymiz. P tekislikda yotgan vektorning proyeksiyalarini topamiz va M 1 (1, -1,2) va M 2 (0,1, -2) chiziqlarning kanonik tenglamalaridan nuqta va nuqtalarni olamiz.
To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari elementar ravishda ushbu to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan olinadi, u shaklga ega. Parametr sifatida kanonik tenglamaning chap va o'ng qismlarini ko'paytirish mumkin bo'lgan qiymatni olaylik.
Maxrajlardan biri noldan mutlaqo farq qilganligi sababli va tegishli hisoblagich har qanday qiymatlarni olishi mumkinligi sababli, parametr o'zgarishi maydoni butun o'qdir. haqiqiy raqamlar: .
Biz qabul qilamiz yoki nihoyat
(1) tenglamalar to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalaridir. Bu tenglamalar mexanik talqin qilish imkonini beradi. Agar parametrni qandaydir boshlang‘ich momentdan o‘lchangan vaqt deb hisoblasak, parametrik tenglamalar harakat qonunini aniqlaydi. moddiy nuqta to'g'ri chiziqda doimiy tezlikda (bunday harakat inertsiya bilan sodir bo'ladi).
1-misol Bir nuqtadan o'tuvchi va yo'nalish vektoriga ega bo'lgan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tekislikda tuzing.
Yechim. (1) dagi nuqta va yo'nalish vektorining ma'lumotlarini almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:
Ko'pincha masalalarda to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini boshqa turdagi tenglamalarga aylantirish va boshqa turdagi tenglamalardan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini olish talab etiladi. Keling, bir nechta bunday misollarni ko'rib chiqaylik. Konvertatsiya qilish uchun parametrik tenglamalar to'g'ridan-to'g'ri to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi avval ularni kanonik ko'rinishga keltirish kerak, keyin esa kanonik tenglamadan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olish kerak.
2-misol To'g'ri chiziq tenglamasini yozing
umuman.
Yechim. Birinchidan, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini kanonik tenglamaga keltiramiz:
Keyingi o'zgarishlar tenglamani umumiy shaklga keltiradi:
Umumiy tenglamani to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga aylantirish biroz qiyinroq, ammo bu harakat uchun aniq algoritm ham tuzilishi mumkin. Birinchidan, biz umumiy tenglamani o'zgartirishimiz mumkin qiyalik tenglamasi va undan koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, chiziqqa tegishli biror nuqtaning koordinatalarini toping. Nuqta va yo‘nalish vektorining koordinatalari ma’lum bo‘lganda (umumiy tenglamadan) to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish mumkin.
3-misol To‘g‘ri chiziq tenglamasini parametrik tenglamalar ko‘rinishida yozing.
Yechim. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini qiyalikli tenglamaga keltiramiz:
Chiziqga tegishli biror nuqtaning koordinatalarini topamiz. Nuqta koordinatalaridan biriga ixtiyoriy qiymat bering
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan biz nuqtaning boshqa koordinatasini olamiz:
Shunday qilib, biz nuqta va yo'nalish vektorini bilamiz. Biz ularning ma'lumotlarini (1) ga almashtiramiz va to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalarini olamiz:
4-misol Parametrik tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping
Yechim. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini avval kanonik, so'ngra umumiy va nihoyat qiyalik tenglamasiga aylantirish kerak.
Shunday qilib, berilgan to'g'ri chiziqning qiyaligi:
5-misol Nuqtadan va perpendikulyar chiziqdan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzing
To'g'ri chiziq nuqta bilan birgalikda geometriyaning muhim elementlari bo'lib, ular yordamida kosmosda va tekislikda ko'plab figuralar qurilgan. Ushbu maqolada parametrik va uning ushbu geometrik element uchun boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqasi batafsil ko'rib chiqiladi.
To'g'ri chiziq va uni tasvirlash uchun tenglamalar
Geometriyada toʻgʻri chiziq fazodagi ixtiyoriy ikkita nuqtani eng kichik uzunlikdagi segment bilan bogʻlaydigan nuqtalar yigʻindisidir. Ushbu segment to'g'ri chiziqning bir qismidir. Kosmosdagi ikkita sobit nuqtani bog'laydigan har qanday boshqa egri chiziqlar katta uzunlikka ega bo'ladi, shuning uchun ular to'g'ri chiziqlar emas.
Yuqoridagi rasmda ikkita qora nuqta ko'rsatilgan. Ularni bog'laydigan ko'k chiziq to'g'ri, qizil chiziq esa kavisli. Shubhasiz, qora nuqta orasidagi qizil chiziq ko'kdan uzunroq.
To'g'ri chiziqni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir necha turdagi to'g'ri chiziq tenglamalari mavjud uch o'lchovli fazo yoki ikki o'lchamda. Quyida ushbu tenglamalarning nomlari keltirilgan:
- vektor;
- parametrik;
- segmentlarda;
- nosimmetrik yoki kanonik;
- umumiy turi.
Ushbu maqolada biz to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini ko'rib chiqamiz, lekin biz uni vektor tenglamasidan olamiz. Parametrik va simmetrik yoki kanonik tenglamalar o'rtasidagi munosabatni ham ko'rsatamiz.
vektor tenglamasi
Ko'rib chiqilayotgan geometrik element uchun yuqoridagi barcha turdagi tenglamalar o'zaro bog'liqligi aniq. Shunga qaramay, vektor tenglama ularning barchasi uchun asosiy hisoblanadi, chunki u to'g'ridan-to'g'ri to'g'ri chiziq ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, geometriyaga qanday kiritilganligini ko'rib chiqaylik.
Faraz qilaylik, bizga P(x 0 ; y 0 ; z 0) fazoda nuqta berilgan. Ma'lumki, bu nuqta chiziqqa tegishli. U orqali nechta chiziq chizish mumkin? Cheksiz to'plam. Shuning uchun bitta to'g'ri chiziq chizish imkoniyatiga ega bo'lish uchun ikkinchisining yo'nalishini belgilash kerak. Yo'nalish, siz bilganingizdek, vektor tomonidan belgilanadi. Uni v¯(a; b; c) bilan belgilaymiz, bu erda qavs ichidagi belgilar uning koordinatalaridir. Ko'rib chiqilayotgan chiziqda joylashgan har bir Q(x; y; z) nuqta uchun tenglikni yozishimiz mumkin:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + a × (a; b; c)
Bu erda a belgisi mutlaqo har qanday haqiqiy qiymatni qabul qiluvchi parametrdir (vektorni raqamga ko'paytirish uning modulini yoki yo'nalishini faqat teskari tomonga o'zgartirishi mumkin). Bu tenglik uch o‘lchamli fazodagi to‘g‘ri chiziq uchun vektor tenglamasi deyiladi. a parametrini o'zgartirib, biz ushbu chiziqni tashkil etuvchi barcha nuqtalarni (x; y; z) olamiz.
Tenglamadagi v¯(a; b; c) vektor yo'nalish vektori deyiladi. To'g'ri chiziqning alohida yo'nalishi yo'q va uning uzunligi cheksizdir. Bu faktlar shuni anglatadiki, v¯ dan ko'paytirish yo'li bilan olingan har qanday vektor haqiqiy raqam, shuningdek, to'g'ri chiziq uchun ko'rsatma bo'ladi.
P(x 0; y 0; z 0) nuqtaga kelsak, uning o‘rniga to‘g‘ri chiziqda yotgan tenglamaga ixtiyoriy nuqta qo‘yilishi mumkin va ikkinchisi o‘zgarmaydi.
Yuqoridagi rasmda kosmosda yo'nalish vektori (qizil chiziq segmenti) orqali aniqlangan to'g'ri chiziq (ko'k chiziq) ko'rsatilgan.
Ikki o'lchovli holat uchun xuddi shunday tenglikni olish qiyin emas. Shunga o'xshash fikrlashdan foydalanib, biz quyidagi iboraga erishamiz:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + a × (a; b)
Ko'ramizki, u avvalgisi bilan butunlay bir xil, nuqta va vektorlarni ko'rsatish uchun uchta o'rniga faqat ikkita koordinatadan foydalaniladi.
Parametrik tenglama
Birinchidan, fazoda to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini olamiz. Yuqorida, vektor tengligi yozilganda, unda mavjud bo'lgan parametr haqida allaqachon aytib o'tilgan edi. Parametrik tenglamani olish uchun vektorni kengaytirish kifoya. Biz olamiz:
x = x 0 + a × a;
y = y0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Har birida bitta oʻzgaruvchan koordinata va a parametrga ega boʻlgan ushbu uchta chiziqli tenglik toʻplami odatda fazodagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataladi. Aslida, biz hech qanday yangilik qilmadik, lekin shunchaki mos keladigan vektor ifodasining ma'nosini aniq qayd etdik. Biz faqat bir nuqtaga e'tibor qaratamiz: a soni, garchi u ixtiyoriy bo'lsa ham, barcha uchta tenglik uchun bir xil. Masalan, agar 1-tenglik uchun a \u003d -1,5 bo'lsa, nuqta koordinatalarini aniqlashda uning bir xil qiymati ikkinchi va uchinchi tengliklarga almashtirilishi kerak.
Tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi fazoviy holatga o'xshaydi. U quyidagicha yoziladi:
x = x 0 + a × a;
y = y0 + a × b
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun uning vektor tenglamasini aniq ko'rinishda yozish kerak.
Kanonik tenglamani olish
Yuqorida ta'kidlanganidek, fazoda va tekislikda to'g'ri chiziqni belgilovchi barcha tenglamalar bir-biridan olinadi. Parametrik tenglamadan kanonik to'g'ri chiziqni qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz. Fazoviy holat uchun bizda:
x = x 0 + a × a;
y = y0 + a × b;
z = z 0 + a × c
Har bir tenglikdagi parametrni ifodalaymiz:
a \u003d (x - x 0) / a;
a \u003d (y - y 0) / b;
a \u003d (z - z 0) / c
Chap tomonlari bir xil bo'lganligi sababli, tengliklarning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Bu kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun kanonik tenglama. Har bir ifodadagi maxrajning qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir oʻzgaruvchidan ayiriladigan paydagi qiymatlar shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalaridir.
Samolyotdagi holat uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b
2 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi
Ma'lumki, tekislikda ham, fazoda ham ikkita qo'zg'almas nuqta to'g'ri chiziqni o'ziga xos tarzda belgilaydi. Samolyotda quyidagi ikkita nuqta berilgan deb faraz qilaylik:
Ulardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi? Birinchi qadam yo'nalish vektorini aniqlashdir. Uning koordinatalari quyidagicha:
PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 - y 1)
Endi siz tenglamani yuqoridagi paragraflarda muhokama qilingan uchta shakldan birida yozishingiz mumkin. Masalan, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi quyidagi shaklni oladi:
x \u003d x 1 + a × (x 2 - x 1);
y \u003d y 1 + a × (y 2 - y 1)
Kanonik shaklda siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:
(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)
Ko'rinib turibdiki, kanonik tenglama ikkala nuqtaning koordinatalarini o'z ichiga oladi va bu nuqtalarni hisoblagichda o'zgartirish mumkin. Shunday qilib, oxirgi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)
Barcha yozma ifodalar 2 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamalari deyiladi.
Uch nuqta muammosi
Quyidagi uchta nuqtaning koordinatalari berilgan:
Bu nuqtalar bir chiziqda yotadi yoki yo'qligini aniqlash kerak.
Bu masalani quyidagicha yechish kerak: avval istalgan ikkita nuqta uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing, so‘ngra unga uchinchisining koordinatalarini qo‘ying va ular hosil bo‘lgan tenglikni qanoatlantirayotganligini tekshiring.
Parametrik shaklda M va N ko'rinishida tenglama tuzamiz. Buning uchun biz yuqoridagi paragrafda olingan formulani qo'llaymiz, biz uni uch o'lchovli holatga umumlashtiramiz. Bizda ... bor:
x = 5 + a × (-3);
y = 3 + a × (-1);
z = -1 + a × 1
Endi bu ifodalarga K nuqtaning koordinatalarini qo‘yamiz va ularga mos keluvchi alfa parametr qiymatini topamiz. Biz olamiz:
1 = 5 + a × (-3) => a = 4/3;
1 = 3 + a × (-1) => a = 4;
5 = -1 + a × 1 => a = -4
Biz shuni aniqladikki, agar ularning har biri a parametrining har xil qiymatini oladigan bo'lsa, uchta tenglik ham haqiqiy bo'ladi. Oxirgi fakt to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasining shartiga zid keladi, bunda a barcha tenglamalar uchun teng bo'lishi kerak. Demak, K nuqta MN to‘g‘riga tegishli emas, ya’ni uch nuqta ham bir to‘g‘rida yotmaydi.
Parallel chiziqlar muammosi
Chiziqlarning ikkita tenglamasi parametrik shaklda berilgan. Ular quyida keltirilgan:
x = -1 + 5 × a;
x = 2 - 6 × l;
y = 4 - 3,6 × l
Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak. Ikki chiziqning parallelligini aniqlashning eng oson usuli bu yo'nalish vektorlarining koordinatalaridan foydalanishdir. Ikki o'lchovli fazodagi parametrik tenglamaning umumiy formulasiga murojaat qilib, har bir to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega bo'lishini olamiz:
Ikki vektor parallel bo'ladi, agar ulardan birini ikkinchisini qandaydir songa ko'paytirish orqali olish mumkin bo'lsa. Biz vektorlarning koordinatalarini juftlarga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:
Bu shuni anglatadiki:
v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯
Yo‘nalish vektorlari v 2 ¯ va v 1 ¯ parallel, ya’ni masala bayonidagi chiziqlar ham parallel.
Keling, ular bir xil chiziq emasligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun tenglamadagi istalgan nuqtaning koordinatalarini boshqasiga almashtirish kerak. (-1; 3) nuqtani oling, uni ikkinchi to'g'ri chiziq uchun tenglamaga almashtiring:
1 = 2 - 6 × l => l = 1/2;
3 \u003d 4 - 3,6 × l => l ≈ 0,28
Ya'ni, chiziqlar boshqacha.
Chiziqlarning perpendikulyarligi muammosi
Ikki to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan:
x = 2 + 6 × l;
y = -2 - 4 × l
Bu chiziqlar perpendikulyarmi?
Agar ularning yo'nalish vektorlarining nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa, ikkita chiziq perpendikulyar bo'ladi. Keling, ushbu vektorlarni yozamiz:
Keling, ularning skalyar mahsulotini topamiz:
(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0
Shunday qilib, biz ko'rib chiqilgan chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqladik. Ular yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.
Samolyotlar orasidagi burchak
Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:
ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki 
. Shunung uchun 
. Chunki 
Va 
, keyin
.
Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.
Ikki tekislikning parallellik sharti.
Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. 
.
Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel bo'ladi, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:
yoki
Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.
Ko'rinib turibdiki, ikkita tekislik perpendikulyar bo'ladi, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .
Shunday qilib, .
Misollar.
To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.
VEKTOR TENGLASHISHI TO'g'ridan-to'g'ri.
PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI
To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.
To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.
Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.
Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin 
.
Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashishiga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.
Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, 
va bu yerdan
Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.
Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va nuqta M to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi.
KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri
Bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va 
uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.
Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun
– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.
Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz 
yoki .
Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing 
parametrik usulda.
Belgilamoq 
, shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Izoh 2. Chiziq biriga perpendikulyar bo'lsin koordinata o'qlari, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalish vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, Binobarin, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi
Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz
Biroq, bu holatda ham biz to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz 
. Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.
Xuddi shunday, kanonik tenglamalar 
o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz Va Oy yoki o'q parallel Oz.
Misollar.
UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.
Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.
Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik
ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.
Misollar.
Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing 
Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning kesishish nuqtalarini tanlash koordinata tekisliklari. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:
Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).
Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.
Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang 
Va 
. Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l olishingiz mumkin vektor mahsuloti Oddiy vektorlar:
.
Misol. Qo'rg'oshin umumiy tenglamalar Streyt 
kanonik shaklga.
To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:
Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega 
Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi
. Binobarin, l: 
.
HUQUQLAR ORASIDAGI BURChAK
burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.
Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:
Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri , keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga muvofiq olamiz
Noma'lum miqdorga qo'shimcha ravishda ma'lum bir mintaqadan turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan boshqa qo'shimcha miqdorni ham o'z ichiga olgan tenglama deyiladi. parametrik. Tenglamadagi bu qo'shimcha miqdor deyiladi parametr. Aslida, har bir parametrik tenglama bilan ko'plab tenglamalar yozilishi mumkin. Parametrik tenglamaning moduli va oddiy parametrik tenglamalar yechimini ko‘rib chiqamiz.
Vazifa 1$x$ ga nisbatan tenglamalarni yeching
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$
Yechim:
A) $x + a = 7 \Chap o'q x = 7 – a$, ya'ni bu tenglamaning yechimi topildi.
Har xil parametr qiymatlari uchun yechimlar $x = 7 – a$
B) $2x + 8a = 4 \Chapga o'q 2x = 4 - 8a \Chapga o'q x = 2 – 4a$
C) $x + a = 2a – x \Chap o‘q x + x = 2a – a \Chap o‘q 2x = a \Chap o‘q x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, agar a 0 dan farq qilsa, ikkala qismni ham a ga bo'lamiz va $x = 5$ olamiz.
Agar $a = 0$ bo'lsa, biz $0.x = 5$ kabi yechimga ega bo'lmagan tenglamani olamiz;
E) $a – x = x + b \Chap o'ng yo'l a - b = x + x \Chap o'ng strelka 2x = a - b \Chap o'q x = \frac(a-b)(2)$
F) a = 0 bo'lganda ax = 3a tenglama 0.x = 0 bo'ladi
Shuning uchun har qanday x yechimdir. Agar a 0 dan farq qilsa
$ax = 3a \Chap o'q x = \frac(3a)(a) \Chap o'q x = 3$
Vazifa 2 Agar a parametr bo'lsa, tenglamani yeching:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = bolta + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
Yechim:
A) Agar $a + 1$ 0 dan farq qilsa, ya'ni $a \neq -1$,
keyin $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
agar $a + 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = - 1$
tenglama $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \chap o'ngga $ ga aylanadi
$0\cdot x = 1$, buning yechimi yo'q;
B) $2a + x = bolta + 4 \Chap o'q $
$x – bolta = 4 - 2a \Chapga o'q $
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Agar $(1 – a) \neq 0$, u holda $\neq 1$; qaror qabul qiladi
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Agar $a = 1$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = 2(2 - 1) \chap o'ngga $ ga aylanadi.
$0\cdot x = 2$, buning yechimi yo'q
C) $a^2x – x = a \Chap o‘q $
$x(a^2 -1) = a \Chapga oʻq $
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Agar $a - 1 \neq 0$ va $a + 1 \neq 0$, ya'ni $a \neq 1, -1$,
yechim $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Agar $a = 1$ yoki $a = -1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = \pm 1$ boʻladi, uning yechimi yoʻq.
D) $a^2x + x = a \Chap o'ng strelka $
$(a^2 + 1)x = a$
Bu holda har qanday $a$ uchun $a^2 + 1 \neq 0$, chunki u musbat son (1) va bitta manfiy sonning yig'indisidir.
$(a^2 \geq 0)$ shuning uchun $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
Vazifa 3 Agar a va b parametrlar bo'lsa, tenglamalarni yeching:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
Yechim:
A) $ax + b = 0 \Chap o'ng o'q bolta = -b$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, yechim $x = -\frac(b)(a)$ bo'ladi.
Agar $a = 0, b \neq 0$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = -b$ bo'ladi va yechimi yo'q.
Agar $a = 0$ va $b = 0$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = 0$ boʻladi va har qanday $x$ yechim hisoblanadi;
B) $ax + 2b = x \Chap o'q bolta – x = -2b \Chap o'q (a - 1)x = -2b$
Agar $a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq 1$, yechim $x = -\frac(2b)(a-1)$
Agar $a - 1 = 0$, ya'ni $a = 1$ va $b \neq 0$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = - 2b$ bo'ladi va yechimi yo'q.
C) Agar $b - 1 \neq 0$, bu $b \neq 1$,
yechim $y = \frac(1-a)(b-1)$
Agar $b - 1 = 0$, ya'ni $b = 1$, lekin $1 \neq 0$ bo'lsa,
ya'ni $a \neq 1$ bo'lsa, tenglama $0\cdot y = 1 - a$ bo'ladi va hech qanday yechimga ega emas.
Agar $b = 1$ va $a = 1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot y = 0$ boʻladi va har qanday $y$ yechim hisoblanadi.
D) har qanday $b$ uchun $b^2 + 1 \neq 0$ (nima uchun?), shuning uchun
$y = \frac(a+2)(b^2)$ - tenglamaning yechimi.
Muammo $4$$x$ ning qaysi qiymatlari uchun quyidagi iboralar teng ma'noga ega:
A) $5x + a$ va $3ax + 4$
B) $2x - 2$ va $4x + 5a$
Yechim:
Xuddi shu qiymatlarni olish uchun biz tenglamalarning yechimlarini topishimiz kerak
$5x + a = 3ax + 4$ va $2x - 2 = 4x + 5a$
A) $5x + a = 3ax + 4 \Chap o'q $
$5x - 3ax = 4 - a \Chap o'q $
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Agar $5 - 3a \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(5)(3)$, yechimlar $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Agar $5 - 3a = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = \frac(5)(3)$, tenglama $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$ boʻladi.
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, buning yechimi yo'q
B) $2x - 2 = 4x + 5a \Chapga o'q $
$-2 - 5a = 4x - 2x \Chapga o'q $
$2x = - 2 - 5a \Chapga o'q $
$x = -\frac(2+5a)(2)$
Vazifa 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$
Yechim:
A) $|ax + 2| = 4 \Chap o'q bolta + 2 = 4$ yoki $ax + 2 = -4 \Chap o'q$
$ax = 2$ yoki $ax = - 6$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, tenglamalar $x = \frac(2)(a)$ yoki $x = -\frac(6)(a)$ bo'ladi.
Agar $a = 0$ bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q
B) Agar $a Agar $a > 0$ boʻlsa, bu $2x + 1 = 3a$ ga teng.
yoki $2x + 1 = -3a \Chap o'q 2x = 3a - 1 \Chap o'q x = \frac(3a-1)(2)$ yoki
$2x = -3a - 1 \Chap o'q x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
C) $|ax + 2a| = 3 \Chapga o'q bolta + 2a = 3$ yoki $ax + 2a = - 3$,
va $ax = 3 - 2a $ yoki $ax = -3 - 2a $ ni topamiz
Agar a = 0 bo'lsa, $a \neq 0$ bo'lsa, hech qanday yechim yo'q
yechimlari: $x = \frac(3-2a)(a)$ va $x = -\frac(3+2a)(a)$
Vazifa 6$2 - x = 2b - 2ax$ tenglamasini yeching, bunda a va b haqiqiy parametrlar. Tenglamaning qanday qiymatlari yechim sifatida borligini toping natural son, agar $b = 7$ bo'lsa
Yechim:
Bu tenglamani quyidagi shaklda ifodalaymiz: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Quyidagi variantlar mumkin:
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglama yagona yechimga ega
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Agar $a = \frac(1)(2)$ va $b = 1$ boʻlsa, tenglama $0\cdot x = 0$ boʻladi va har qanday $x$ yechim boʻladi.
Agar $a = \frac(1)(2)$ va $b \neq 1$ bo'lsa, biz $0\cdot x = 2(b - 1)$ olamiz, bu erda $2(b - 1) \neq 0$
Bunday holda, tenglamaning yechimi yo'q.
Agar $b = 7$ va $a \neq \frac(1)(2)$ yagona yechim bo'lsa
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Agar a butun son bo'lsa, u holda $2a - 1$ ham butun son bo'ladi va yechim
$x = \frac(12)(2a-1)$ - bu natural son
$2a - 1$ $12$ uchun musbat boʻluvchidir.
a butun son bo'lishi uchun $12$ ning bo'luvchisi toq bo'lishi kerak. Lekin faqat $1$ va $3$ 12 ga boʻlinadigan musbat toq sonlardir
Shuning uchun $2a - 1 = 3 \Chap o'q a = 2$ yoki $2a - 1 = 1 \Chap o'q$
$a = 1 a = 2$ yoki $2a - 1 = 1 \Chapga oʻq a = 1$
Vazifa 7$|ax - 2 – a| tenglamasini yeching = 4$, bu erda a - parametr. Tenglama ildizlari a ning qaysi qiymatlari manfiy butun sonlar ekanligini toping.
Yechim:
Modul ta'rifidan biz olamiz
$|ax - 2 – x| = 4 \Chap o'q bolta - 2 - x = 4$ yoki $ax - 2 - x = - 4$
Birinchi tenglikdan $x(a - 1) - 2 = 4 \chap o'ngga $ ni olamiz.
$(a - 1)x = 4 + 2 \Chapga o'q (a - 1)x = 6$
Ikkinchi tenglikdan $(a - 1)x = -2$ ni olamiz
Agar $a - 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = 1$, oxirgi tenglama yechimga ega emas.
Agar $a \neq 1$ bo'lsa, biz $x = \frac(6)(a-1)$ yoki $x = -\frac(2)(a-1)$ ekanligini topamiz.
Ushbu ildizlar butun manfiy sonlar bo'lishi uchun quyidagilar bo'lishi kerak:
Birinchisi uchun $a - 1$ 6 ning manfiy bo'luvchisi, ikkinchisi uchun esa 2 ning musbat bo'luvchisi bo'lishi kerak.
Keyin $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ yoki $a - 1 = 1; 2$
Biz $a ni olamiz - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Chapga o'q $
$a = -1; a - 1 = -3 \Chapga o'q a = -2; a - 1 = -6 \Chapga o'q a = -5$
yoki $a - 1 = 1 \Chapga o'q a = 2; a - 1 = 2 \Chapga o'q a = 3$
Keyin $a = -5; -2; - bitta; 0; 2; 3$ - bu muammoning echimi.
Vazifa 8 Tenglamani yeching:
A) $3ax - a = 1 - x$, bu yerda a parametr;
B) $2ax + b = 2 + x$ bu yerda a va b parametrlar
Yechim:
A) $3ax + x = 1 + a \Chap o'q (3a + 1)x = 1 + a$.
Agar $3a + 1 \neq 0$ bo'lsa, ya'ni. $a \neq -11 /3 /3$ , yechim bor
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Agar $a = -\frac(1)(3)$ bo'lsa, tenglama $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ bo'ladi, uning yechimi yo'q.
B) $2ax – x = 2 – b \Chap o‘q (2a - 1)x = 2 – b$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ yechimdir.
Agar $a = \frac(1)(2)$ boʻlsa, tenglama $0.x = 2 – b$ boʻladi.
Agar $b = 2$ bo'lsa, har qanday x yechimdir, agar $b \neq 2$ bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q.
9-topshiriq$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ tenglama berilgan, bu yerda k butun son. K ning qaysi qiymatlari uchun tenglamani toping:
A) $-\frac(4)(3)$ ildizga ega
B) yechimi yo‘q;
C) natural son sifatida ildizga ega.
Yechim:
Tenglamani $6kx - 36 + 24 = 5kx \Chapga o'q kx = 12$ shaklida qayta yozing.
A) Agar $x = -\frac(4)(3)$ bo‘lsa, k uchun $-\frac(4)(3k) = 12 \Chap o‘q k = - 9$ tenglamani olamiz.
B) $kx = 12$ tenglama $k = 0$ bo‘lganda yechimga ega emas
C) $k \neq 0$ ildiz $x = \frac(12)(k)$ bo'lsa va u natural son bo'lsa, k musbat butun son 12 ga bo'linadigan bo'lsa, ya'ni. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$
10-topshiriq Tenglamani yeching:
A) $2ax + 1 = x + a$, bu yerda a - parametr;
B) $2ax + 1 = x + b$, bu erda a va b parametrlar.
Yechim:
A) $2ax + 1 = x + a \Chap o'q 2ax – x = a - 1 \Chap o'q$
$(2a - 1)x = a - 1$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglamaning yagona yechimi
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Agar $2a - 1 = 0$ bo'lsa, ya'ni. $a = \frac(1)(2)$, tenglama bo'ladi
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, buning yechimi yoʻq
B) $2ax + 1 = x + b \Chapga o'q $
$2ax – x = b - 1 \Chapga o'q$
$(2a - 1)x = b - 1$
Agar $2a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, yechim shunday
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Agar $a = \frac(1)(2)$ bo'lsa, tenglama $0.x = b - 1$ ga ekvivalent bo'ladi.
Agar b = 1 bo'lsa, har qanday x yechim bo'lsa, $b \neq 1$ bo'lsa, yechim yo'q.
11-topshiriq$3(ax - 4) + 4 = 2ax$ tenglamasi berilgan, bunda parametr butun sondir. Tenglamaning qaysi qiymatlari ildiz bo‘lishini toping:
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
B) butun son
C) natural son
Yechim:
A) Agar $x = -\frac(2)(3)$ tenglamaning yechimi bo‘lsa, u to‘g‘ri bo‘lishi kerak.
$3\chap + 4 = 2a\chap(-\frac(2)(3)\o'ng) \chap o'ngga$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \chap oʻngga$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \chap o'q \frac(4a-6a)(3) = 8 \chap o'q$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Chapga o'q a = -12$
B) $3(bolta - 4) + 4 = 2ax \Chap o'q 3ax - 2ax = 12 - 4 \Chap o'q bolta = 8$
Agar $a \neq 0$ yechim $x = \frac(8)(a)$ bo'lsa, a $8$ ga bo'linadigan bo'lsa, u butun son bo'ladi.
Shunung uchun; $±2; ±4; ±8$
Agar $a=0$ boʻlsa, tenglamaning yechimi yoʻq
C) Ushbu yechim uchun natural (musbat butun) sonni olish uchun $x=\frac(8)(a)$ boʻlishi kerak: $a=1, 2, 4, 8$
12-topshiriq$2 – x = 2b – 2ax$ tenglamasi berilgan, bunda $a$ va $b$ parametrlardir. Agar $b = 7$ boʻlsa, tenglamaning qaysi qiymatlari uchun natural son koʻrinishidagi yechimlari borligini toping.
Yechim:
Tenglamada $b = 7$ o'rniga qo'yamiz va $2 – x = 2,7 - 2ax \Chap o'q $ ni olamiz.
$2ax – x = 14 – 2 \Chapga oʻq (2a - 1)x = 12$
Agar $2a -1 \neq 0$ bo'lsa, ya'ni. $a \neq \frac(1)(2)$, tenglama bo'ladi
$x = \frac(12)(2a-1)$ va u natural son bo'ladi, agar $2a - 1$ maxraji $12$ musbat bo'linuvchi bo'lsa va butun son bo'lishdan tashqari, $2a - 1$ toq raqam edi.
Shunday qilib, $2a - 1$ $1$ yoki $3$ boʻlishi mumkin
$2a dan - 1 = 1 \Chapga o'q 2a = 2 \Chapga a = 1$ va $2a - 1 = 3$
$\Chapga o'q 2a = 4 \Chapga o'q a = 2$
13-topshiriq$f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ funksiya berilgan, bunda a parametrdir. Funktsiya grafigining qaysi qiymatlari uchun toping:
A) x o'qini kesib o'tadi;
B) x o'qini kesib o'tadi
Yechim:
Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tishi uchun bu kerak
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ yechimga ega edi va x o'qini kesib o'tmaslik uchun hech qanday yechimga ega emas edi.
Tenglamadan $(3a - 1)x = 2a - 1$ ni olamiz
Agar $3a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq \frac(1)(3)$, tenglamaning yechimlari bor
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, shuning uchun funksiya grafigi x o'qini kesib o'tadi.
Agar $a = \frac(1)(3)$ bo'lsa, biz $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$ ni olamiz, bu emas yechimlari bor.
Demak, agar $a = \frac(1)(3)$ bo'lsa, funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi.
14-topshiriq Parametrik tenglamani yeching:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - $2
Yechim:
A) Agar $a 0$ bo‘lsa, biz:
$|x - 2| = a \Chapga o'q x - 2 = a$ yoki $x - 2 = -a$
$x dan - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, va dan
$x - 2 = -a \O'ng strelka x = 2 – a$
Agar $a = 0$ boʻlsa, $x - 2 = 0$ yoki $x = 2$ boʻladi
B) $|ax - 1| = 3 \Chapga o'q bolta - 1 = 3$ yoki $ax - 1 = -3$
qaerdan $ax = 4$ yoki $ax = - 2$
Agar $a \neq 0$ bo'lsa, echimlar: $x = \frac(4)(a)$ yoki $x = -\frac(2)(a)$
Agar $a = 0$ bo'lsa, bu erda hech qanday yechim yo'q
C) Agar $a - 2 bo'lsa, $a - 2 > 0$ bo'lsa, ya'ni. $a > 2$ olamiz
$|ax - 1| = a - 2 \Chapga o'q bolta - 1 = a - 2$ yoki $ax - 1 = 2 – a$
Shunday qilib, biz $ax = a - 1$ yoki $ax = 3 – a$ ni olamiz
Chunki $a > 2, a \neq 0$, shuning uchun
$ x = \ frac (a-1) (a) $ yoki $ x = \ frac (3-a) (a) $.
Agar $a = 2$ bo'lsa, tenglamalar ekvivalentdir
$2x - 1 = 0 \Chapga 2x = 1 \Chapga o'q x = \frac(1)(2)$
15-topshiriq m (a) parametrining qaysi qiymatlari uchun ikkita tenglama ekvivalentligini toping:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ va $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ va $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ va $ax + 2a = 1 + x$, agar $x > 3$ boʻlsa
Yechim:
A) Ikkinchi tenglamani yechamiz. Keling, uni quyidagi shaklda yozamiz:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Chapga o'q $
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Chap o'ngga $
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Chapga o'q $
$2x = 0 \Chapga o'q x = 0$
Birinchisi uchun biz olamiz
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Chap oʻq x + m = 2 - 2m \Chap oʻq x = 2 - 3m$
Bu ikki tenglama, agar ular bir xil ildizlarga ega bo'lsa, ekvivalentdir, ya'ni.
$2 - 3m = 0 \Chap o'q$ $m = \frac(2)(3)$
B) Birinchi tenglama uchun yechim $x = 2 - 3m$, ikkinchisi uchun esa olamiz.
$x – m = 3 - 6m \Chap oʻng oʻq$ $x = 3 – 5m$
Ular qachon bir xil ildizlarga ega
$2 - 3m = 3 - 5m \Chap o'ng 5m - 3m = 3 - 2 \Chap o'ng 2m = 1 \Chap o'q m = \frac(1)(2)$
C) $x > 3 bo‘lgani uchun 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - $3
Birinchi tenglama quyidagicha ko'rinadi: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Chap o'q$
$x^2 - 4x – 0 \Chapga o'q x(x - 4) = 0 \Chapga o'q$
$x = 0$ yoki $x = 4$
$x > 3$ bo'lishi sharti bilan faqat $x = 4$ yechim bo'ladi. Ikkinchi tenglama uchun biz olamiz
$ax – x = 1 - 2a \Chapga o'q (a - 1)x = 1 - 2a$
Agar $a - 1 = 0$ bo'lsa, yechim yo'q (Nima uchun?), agar $a - 1 \neq 0$, ya'ni. $a \neq 1$, yechim bor
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Agar $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ boʻlsa, bu ikki tenglama teng boʻladi. Chap o'ng strelka 4a + 2a = 1 + 4 \Chapga o'q 6a = 5 \Chap o'q a = \frac(5)(6)$