Ushbu maqolada biz tekisliklar to'plamining ta'rifini beramiz, berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga nisbatan tekisliklar to'plamining tenglamasini olamiz va tekisliklar to'plami tushunchasiga oid tipik masalalarning echimlarini batafsil ko'rib chiqamiz. .

Sahifani navigatsiya qilish.

Samolyotlar to'plami - ta'rif.

Geometriya aksiomalaridan kelib chiqadiki uch o'lchovli fazo Chiziq orqali faqat bitta tekislik bor va unda bo'lmagan nuqta. Va bu bayonotdan kelib chiqadiki, oldindan belgilangan chiziqni o'z ichiga olgan cheksiz ko'p tekisliklar mavjud. Keling, buni asoslab beraylik.

Bizga a to'g'ri chiziq berilsin. a to'g'rida yotmaydigan M 1 nuqtani olaylik. Keyin a chiziq va M 1 nuqta orqali biz tekislik chizishimiz mumkin va faqat bitta. Keling, uni belgilaymiz. Endi tekislikda yotmaydigan M 2 nuqtani olaylik. a chiziq va M 2 nuqta orqali yagona tekislik o'tadi. Na tekislikda, na tekislikda yotuvchi M 3 nuqtani olsak, u holda a to'g'ri va M 3 nuqtadan o'tuvchi tekislik qurish mumkin. Shubhasiz, berilgan a to'g'ri chiziqdan o'tuvchi tekisliklarni qurish jarayoni cheksiz davom ettirilishi mumkin.

Shunday qilib, biz samolyotlar to'plamining ta'rifiga keldik.

Ta'rif.

Samolyot to'plami- berilgan bitta chiziqdan o'tuvchi uch o'lchovli fazodagi barcha tekisliklar to'plami.

To'plamning barcha tekisliklari joylashgan to'g'ri chiziq ushbu tekisliklar to'plamining markazi deb ataladi. Shunday qilib, "markazi a bo'lgan tekisliklar to'plami" ifodasi sodir bo'ladi.

Samolyotlarning ma'lum bir to'plamini uning markazini ko'rsatish orqali yoki ushbu to'plamning ikkita tekisligini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin, bu aslida bir xil. Boshqa tomondan, har qanday ikkita kesishgan tekislik ma'lum bir tekisliklar to'plamini belgilaydi.

Samolyotlar dastasi tenglamasi - masalalar yechish.

Amaliy maqsadlar uchun geometrik shakldagi tekisliklar to'plami emas, balki qiziqish uyg'otadi.

Keling, darhol mantiqiy savolga javob beraylik: "Samolyotlar nurining tenglamasi nima?"

Buning uchun biz Oxyz uch o'lchovli fazoga kiritilgan va ikkita tekislik va undan ko'rsatilgan tekisliklar to'plami aniqlangan deb faraz qilamiz. Tekislik shakl tekisligining umumiy tenglamasiga, tekislik esa shakl tekisligiga mos kelsin. Demak, tekisliklar nurining tenglamasi bu nurning barcha tekisliklari tenglamalarini aniqlaydigan tenglamadir.

Quyidagi mantiqiy savol tug'iladi: “Oxyz to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi tekisliklar dastasi qanday tenglamadir”?

Samolyotlar qalami uchun tenglama shakli quyidagi teorema bilan berilgan.

Teorema.

Tekislik ikki kesishuvchi tekislik bilan aniqlangan va mos ravishda va tenglamalar bilan berilgan tekisliklar qalamiga tegishli, agar uning umumiy tenglamasi ko'rinishga ega bo'lsa, bu erda va bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy haqiqiy sonlar. (oxirgi shart tengsizlikka ekvivalent ).

Isbot.

Etarlilikni isbotlash uchun siz quyidagilarni ko'rsatishingiz kerak:

Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz. Olingan tenglama umumiy tenglama tekislik, agar ifodalar va bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

Keling, qarama-qarshilik bilan ular haqiqatan ham bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketmasligini isbotlaylik. Keling, shunday da'vo qilaylik. Unda agar, keyin, agar, keyin. Olingan tengliklar vektorlar va degan ma'noni anglatadi munosabatlar bilan bog'liq yoki (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang), shuning uchun va ushlab turadi. Samolyotning normal vektori bo'lgani uchun, - tekislikning normal vektori , va vektorlari va kollinear, keyin tekisliklar va parallel yoki mos keladi (ikki tekislikning parallellik sharti maqolasiga qarang). Va bu bo'lishi mumkin emas, chunki samolyotlar tekisliklar to'plamini belgilaydi va shuning uchun kesishadi.

Demak, tenglama haqiqatan ham tekislikning umumiy tenglamasidir. Ushbu tenglama bilan aniqlangan tekislik va tekisliklarning kesishish chizig'idan o'tishini ko'rsatamiz.

Agar bu to'g'ri bo'lsa, unda ko'rinishdagi tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega. (Agar yozma tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega boʻlsa, u holda tenglamalaridan sistema tuzilgan tekisliklar bitta umumiy nuqtaga ega boʻladi, demak, tekislik kesishuvchi tekisliklar bilan belgilangan toʻgʻri chiziqni kesib oʻtadi va. Agar yozma tenglamalar tizimi yechimlar yo'q, u holda bir vaqtning o'zida barcha uchta tekislikka tegishli nuqta yo'q, shuning uchun tekislik kesishgan tekisliklar tomonidan berilgan to'g'ri chiziqqa parallel va ).

Yozma tenglamalar tizimining birinchi tenglamasi ikkinchi va uchinchi tenglamalarning chiziqli birikmasi bo'lganligi sababli, u ortiqcha va oqibatlarsiz tizimdan chiqarilishi mumkin (bu haqda maqolada gaplashdik). Ya'ni, tenglamalarning dastlabki tizimi shakldagi tenglamalar tizimiga tengdir . Va bu tizim cheksiz ko'p echimlarga ega, chunki tekisliklar va ular kesishganligi sababli cheksiz ko'p umumiy nuqtalarga ega.

Etarliligi isbotlangan.

Keling, zaruriyatning isbotiga o'tamiz.

Zaruriyatni isbotlash uchun shuni ko'rsatish kerakki, oldindan aniqlangan tekislik va tekisliklarning kesishish chizig'idan o'tadigan qanday bo'lishidan qat'i nazar, u va parametrlarining ba'zi qiymatlari uchun tenglama bilan aniqlanadi.

Bir nuqtadan o'tadigan tekislikni oling va tekisliklarning kesishish chizig'i orqali va (M 0 bu tekisliklarning kesishish chizig'ida yotmaydi). Keling, har doim shunday qiymat va parametrlarni tanlash mumkinligini ko'rsatamiz va bunda M 0 nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi, ya'ni tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu etarliligini isbotlaydi.

M 0 : nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtiramiz. Samolyotlar bir vaqtning o'zida M 0 nuqtasidan o'tmaganligi sababli (aks holda bu tekisliklar bir-biriga to'g'ri keladi), u holda iboralardan kamida bittasi yoki noldan farq qiladi. Agar bo'lsa, tenglama sifatida parametrga nisbatan yechish mumkin va parametrga o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan qiymatni berib, biz hisoblaymiz. Agar , keyin parametrga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan qiymatni berib, biz hisoblaymiz .

Teorema to'liq isbotlangan.

Shunday ko'rinadi. U barcha nur tekisliklarini belgilaydi. Agar biz bir necha juft qiymatlarni olsak va ularni tekisliklar dastasi tenglamasiga almashtirsak, shu dastadan bitta tekislikning umumiy tenglamasini olamiz.

Samolyotlar nurining tenglamasida parametrlari va nolga teng bo'lmagani uchun, agar , agar , va agar , shaklida yozilishi mumkin.

Biroq, bu tenglamalar shakldagi tekisliklar nurining tenglamasiga ekvivalent emas, chunki har qanday qiymatlar uchun tenglamadan va har qanday qiymatlar uchun tenglamadan shakl tekisligi tenglamasini olish mumkin emas. shakldagi tekislik tenglamasini olish mumkin emas.

Keling, misollarni echishga o'tamiz.

Misol.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida Oxyz ikkita kesishuvchi tekislik bilan berilgan tekislik to'plami uchun tenglamani yozing. va .

Qaror.

Kesimlardagi tekislikning berilgan tenglamasi shakl tekisligining umumiy tenglamasiga teng. Endi tekisliklar to'plami uchun kerakli tenglamani yozishimiz mumkin: .

Javob:

Misol.

Samolyot markazi bo'lgan samolyotlar to'plamiga tegishlimi?

Qaror.

Agar tekislik qalamga tegishli bo'lsa, unda qalamning markazi bo'lgan chiziq shu tekislikda yotadi. Shunday qilib, chiziqning ikkita aniq nuqtasini olish va ularning tekislikda yotishini tekshirish mumkin. Agar ha bo'lsa, unda samolyot belgilangan tekislik to'plamiga tegishli, agar bo'lmasa, unday emas.

Fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari uning ustida yotgan nuqtalarning koordinatalarini aniqlashni osonlashtiradi. Parametrning ikkita qiymatini (masalan, va ) olamiz va to'g'ri chiziqning ikkita M 1 va M 2 nuqtalarining koordinatalarini hisoblaymiz:

Avvalo, biz samolyot deb aytamiz

tekisliklarning chiziqli birikmasi mavjud

agar (1) tenglama (2) va (3) tenglamalarning chiziqli birikmasi bo'lsa, ya'ni, agar shunday va bo'lsa, xuddi shunday bo'lsa.

(4) tenglamadan kelib chiqadiki, har ikkala tenglamani (2) va (3) qanoatlantiradigan har qanday nuqta (1) tenglamani ham qanoatlantiradi - ikkala (2) va (3) tekislikka tegishli har qanday nuqta ham (1) tekislikka tegishlidir. Boshqa so'z bilan:

Bu samolyot chiziqli birikma berilgan ikkita kesishuvchi tekislik (2) va (3) bu tekisliklarning kesishish chizig'idan o'tadi. Keling, aksincha, berilgan ikkita (2) va (3) tekisliklarning d kesishish chizig'idan o'tuvchi har qanday tekislik (1) bu tekisliklarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik.

Umumiylikni yo'qotmasdan, biz (1) tekislik (2) va (3) tekisliklarning hech biriga to'g'ri kelmaydi deb taxmin qilishimiz mumkin. Dalil satrlar misolida bo'lgani kabi bir xil (V bob, §5).

d to'g'ridan o'tuvchi tekislik uning d to'g'rida yotmaydigan ba'zi nuqtalarini (122-rasm) ko'rsatsak, to'liq aniqlangan bo'ladi.

Keling, (1) tekisligimizdagi shunday nuqtani olaylik va ikkita noma'lum va tenglamani yozamiz:

Farazga ko'ra, nuqta d to'g'rida yotmaganligi sababli (5) tenglamaning chap tomonidagi qavslardan kamida bittasi nolga teng emas; bu tenglamadan (5) nisbat yagona aniqlanadi

Keling va (6) proporsiyani qanoatlantiradigan ba'zi raqamlar. U holda (5) tenglik ham bajariladi, bu nuqta tekislikda yotganligini bildiradi

Lekin bu tekislik (2) va (3) tekisliklarning chiziqli birikmasi boʻlib, d toʻgʻridan oʻtadi va tekislikka tegishli nuqtani oʻz ichiga oladi (-yaʼni (1) tekislik (7) tekislikka toʻgʻri keladi va chiziqli birikma hisoblanadi. tekisliklarning (2) va (3) da'vosi isbotlangan.

Demak, (1) tekislik ikkita (2) va (3) tekislikning kesishish chizig'idan o'tishi uchun (1) tenglama (2) va (3) tenglamalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli. .

Endi (2) va (3) tekisliklar parallel bo'lsin. V bobning 5-bandidagi kabi, biz (2) va (3) tekisliklarning chiziqli birikmasi bo'lgan har qanday tekislik ularga parallel bo'lishiga va aksincha, ikkitaga parallel bo'lgan har qanday tekislik (parallel) bo'lishiga aminmiz. bir-biriga) tekisliklar (2) va (3) - ularning chiziqli birikmasi.

Berilgan d to'g'ri chiziqdan o'tuvchi barcha tekisliklar yig'indisini o'qi bo'lgan tekisliklarning to'g'ri qalami deb ataymiz.Noto'g'ri tekislik qalamini ayrim tekisliklardan biriga parallel (so'zning keng ma'nosida) barcha tekisliklar yig'indisini nomlaylik. Nihoyat, biz har qanday ikkita tekislikning chiziqli birikmasi bo'lgan barcha tekisliklar to'plamini va uning ikkita elementi va tomonidan hosil qilingan tekisliklarning bir o'lchovli ko'pligi deb ataymiz. Biz har qanday tekislik qalami (to'g'ri yoki noto'g'ri) uning har qanday ikkita elementi tomonidan yaratilgan bir o'lchovli ko'p qirrali ekanligini isbotladik.

Aksincha, tekisliklarning har qanday bir o'lchovli kollektori (ba'zi ikkita tekislik va 62 tomonidan yaratilgan) tekisliklar to'plamidir - agar tekisliklar va 62 kesishsa to'g'ri, parallel bo'lsa noto'g'ri.

Ushbu "Ma'ruzalar"ning XXIII bobida biz odatiy fazoni cheksiz uzoq (noto'g'ri) nuqtalar bilan to'ldirib, bu cheksiz uzoq nuqtalarning yig'indisi cheksiz uzoq (noto'g'ri) tekislikni hosil qiladigan tarzda proyektiv fazoni quramiz;

Bu tekislikda yotgan barcha chiziqlar ham cheksiz yoki noto'g'ri deb ataladi. Kosmosning har bir "to'g'ri" (ya'ni oddiy) tekisligi noto'g'ri to'g'ri chiziq bo'ylab noto'g'ri tekislik bilan - berilgan to'g'ri tekislikning yagona noto'g'ri to'g'ri chizig'i bo'ylab kesishadi. Ma'lum bo'lishicha, ikkita to'g'ri tekislik, agar ular (umumiy) chiziq bo'ylab cheksizlikda kesishsa, parallel bo'ladi. Shunday qilib, proyektiv fazoda tekisliklarning to'g'ri va noto'g'ri qalamlari o'rtasidagi farq yo'qoladi: noto'g'ri qalam - o'qi proyektiv fazoning noto'g'ri chiziqlaridan biri bo'lgan tekisliklar qalami.

Maqolada tekislikning ma'lum bir nuqtasida markazlashtirilgan chiziqlar qalamining ta'riflari ko'rib chiqiladi. Demontaj qilingan batafsil yechim ta'rifdan foydalanib, chiziqlar qalami tenglamasini tuzish, koordinatalarini topish masalalari ko'rib chiqiladi.

Chiziqlar qalami tekislikda aniqlanadi, lekin uch o'lchovli fazoda emas. Geometriya aksiomasida aytilishicha, agar tekislikda ikkita tasodifiy bo'lmagan nuqta mavjud bo'lsa, ular orqali faqat bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Agar g tekislikda M 0 va M 1 nuqta berilgan bo'lsa, u holda ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. M 0 M 1 to'g'rida yotmaydigan yana bitta M 2 nuqta mavjud bo'lganda, siz M 0 M 2 chiziq chizishingiz mumkin. Chizilgan chiziqlarning birortasiga tegishli bo'lmagan M 3 nuqtani belgilasak, u orqali M 0 dan o'tuvchi chiziqni ham o'tkazishimiz mumkin.

Bu g tekisligida bir qator chiziqlarni o'tkazish mumkinligini anglatadi berilgan nuqta. Bu chiziqlar qalamining ta'rifiga olib keldi.

Ta'rif 1

G tekislikda yotgan va M 0 nuqtadan o'tuvchi barcha chiziqlar to'plamiga ega bo'lgan g tekislik markazi M 0 nuqtada joylashgan chiziqlar qalami deyiladi.

Ta'rifga asoslanib, biz ushbu qalamning har qanday ikkita chizig'i ushbu qalam chiziqlarining markazida kesishadi. Agar bu nurning markazi ko'rsatilgan bo'lsa, nur aniqlanadi.

Chiziqlar to'plami tenglamasi - masalani yechish

Masalalarni yechish uchun chiziqlar qalami tenglamasidan foydalaniladi, ya’ni qalamning o‘zi tekislikdagi O x y koordinata sistemasiga nisbatan ko‘rib chiqiladi.

Ko'rsatilgan kesishuvchi chiziqlar a 1 va a 2 bo'lgan tekislikda O x y to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga ega bo'lsak, nur bu chiziqlarni aniqlaydi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yoki A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ko'rinishga ega bo'lgan O x y koordinata tizimi uchun javobgardir.

Chiziqlar kesishuvining koordinatalari x 0 va y 0 bo'lgan M 0 nuqtasi sifatida belgilanishini kiritamiz. Bundan kelib chiqadiki, M nuqta M 0 (x 0, y 0) koordinatalariga ega.

To'qimalarda qo'llaniladigan tenglamaning shaklini aniqlash uchun teoremani ko'rib chiqing.

Teorema

Kesishgan ikkita a 1 va 2 to'g'ri berilgan bo'lsa, O x y koordinata tizimida hosil bo'lgan chiziqlar qalamiga kiritilgan chiziqlar mavjud. Ularning tenglamalari A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ko'rinishda bo'ladi, agar a (A 1 x + B 1 y +) chiziq tenglamasi bo'lsa. C 1 = 0) + b (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 unga mos keladi, a va b esa. haqiqiy raqamlar, nolga teng emas. Bu shart quyidagicha yoziladi: a 2 + b 2 ≠ 0.

Isbot

Biz isbotni ko'rib chiqishni ko'rsatilgan qalamdan a qatorini ko'rib chiqishdan boshlaymiz, shundan so'ng uni a (A 1 x + B 1 y + C 1) + b (A 2 x + B) tenglamasi yordamida aniqlash mumkinligini isbotlaymiz. 2 y + C 2) = 0.

Biz nurning markazini koordinatali nuqta sifatida olamiz M 0 = (x 0, y 0) .

Bu yerdan n → = (A 1 , B 1) A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 chiziqning normal vektori, keyin n 2 → = (A 2 , B 2) normal ekanligini tushunamiz. A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 chiziq uchun vektor. Biz n → 1 va n 2 → kollinear bo'lmagan vektorlar ekanligini tushunamiz, chunki a 1 va a 2 chiziqlar umumiy kesishish nuqtalariga ega emas. Demak, normal vektor n → ikkita kollinear bo'lmagan n 1 → va n 2 → ni kengaytirish kerak. Parchalanish n → = a · n 1 → + b · n 2 → formulasiga muvofiq amalga oshirilishi kerak. Natijada n → = (a · A 1 + b · A 2, a · B 1 + b · B 2) ni olamiz.

Hisob-kitoblardan so'ng, n → = a · A 1 + b · A 2, a · B 1 + b · B 2 ga teng a chiziqning normal vektorining koordinatalarini olamiz. M 0 (x 0, y 0) nuqtadagi a chiziq bilan kesishuvchi nuqtaning koordinatalari a chiziqning umumiy tenglamasi yordamida yoziladi. Keyin biz quyidagi kabi ifodani olamiz:

a A 1 + b A 2 x - x 0 + a B 1 + b B 2 y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ a (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + b A 2 x + B 2 y - A 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

By - A 1 x 0 - B 1 y 0 \u003d C 1 va - A 2 x 0 - B 2 y 0 \u003d C 2 biz a (A 1 x +) ko'rinishga ega bo'lgan a chiziqning umumiy tenglamasini olamiz. B 1 y + C 1) + b A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Yuqoridagi zaruriyat isbotlangan.

Etarlilikning isbotini topish qoladi.

Demak, a (A 1 x + B 1 y + C 1) + b A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ifodasini isbotlash kerak, bunda bizda a va b nolga teng bo‘lmagan ba’zi haqiqiy sonlar bilan ifodalanadi. , kesishish nuqtasi M 0 (x 0, y 0) bo'lgan chiziqlar qalamidan tenglama mavjud. Bunday tenglama kesishuvchi ikkita A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 chiziqlar yordamida aniqlanadi.

a (A 1 x + B 1 y + C 1) + b A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tenglamani a A 1 + b A 2 x + a B 1 + b B 2 y + ko‘rinishida yozamiz. a C 1 + b C 2 = 0.

a · A 1 + b · A 2 va a · B 1 + b · B 2 nolga teng bo'lmaganda shart bajarilsa, tenglama umumiy hisoblanadi. Aks holda, a A 1 + b A 2 = 0 ⇔ A 1 = - b a A 2 va a B 1 + b B 2 = 0 ⇔ B 1 = - b a B 2 yoki a A 1 ko'rinishdagi ifodani oldik. + b A 2 = 0 ⇔ A 2 = - a b A 1 va a B 1 + b B 2 = 0 ⇔ B 2 = - a b B 1. Bu vektorlar kollinear emasligini bildiradi.

Bu holda bu mumkin emas, chunki n 1 → va n 2 → kesishuvchi a 1 va a 2 chiziqlarning normal vektorlari.

Bizda a · (A 1 x + B 1 y + C 1) + b · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tenglama to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi ekanligiga egamiz. Keyinchalik, ular kesishgan nuqtaning koordinatalarini, ya'ni M 0 (x 0, y 0) nuqtaning koordinatalarini qondirishni isbotlashingiz kerak. a · (A 1 x + B 1 y + C 1) + b · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tengligi to'g'ri yoki yo'qligini isbotlaylik.

M 0 (x 0 , y 0) - chiziqlarning kesishish nuqtasi, ya'ni uning koordinatalari ikkala kesishuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini qanoatlantirishi kerak.

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 bo'lganda, a A 1 x + B 1 y + C 1 + b A 2 x + B 2 y bo'ladi. + C 2 = a 0 + b 0 = 0.

Q.E.D.

Xulosa qilishimiz mumkinki, a · A 1 x + B 1 y + C 1 + b · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama nurli tenglamadir.

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tenglamalari bilan ushbu to'plamdagi chiziqlarni aniqlash uchun a va b qiymatlari kerak. .

Parametrlardan kamida bittasi nolga teng bo'lmasligi kerak, keyin ifodani soddalashtirish mumkin. a ≠ 0 bo'lishi sharti bilan A 1 x + B 1 y + C 1 + l · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ko'rinishdagi ifodani l = a b bilan olamiz.

b ≠ 0 uchun ifoda m = a b bilan m · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ga aylanadi.

Ular a · A 1 x + B 1 y + C 1 + b · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ko'rinishiga bog'liq bo'lgan chiziqlar qalam tenglamasiga teng emas. l ning har qanday qiymatlari uchun A 1 x + B 1 y + C 1 + l A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tenglamasi A 2 x + B ko'rinishdagi tenglamani olishga imkon bermaydi. 2 y + C 2 = 0.

m ning har qanday qiymati uchun m · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tenglamasi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ga olib kelmaydi.

Keling, misollarni hal qilishni batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol

M 0 (- 1 , 4) , k = 3 nuqtada berilgan markazga ega boʻlgan toʻgʻri nurning tenglamasini yozing.

Qaror

Koordinatalari M 0 (- 1, 4) bo‘lgan qiyalik 3 ga teng bo‘lgan berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq uchun tenglama tuzish kerak. Keyin qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz va y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 ni olamiz.

Javob: y = 3 x + 7 .

2-misol

Agar kesishuvchi x - 4 2 = y + 3 0 va x 2 3 + y - 1 = 1 chiziqlarning ikkita tenglamasi ma'lum bo'lsa, O x y dagi chiziqlar qalami markazining koordinatalarini toping.

Qaror

Nur markazining koordinatalarini topish uchun x - 4 2 = y + 3 0 va x 2 3 + y - 1 = 1 kesishish nuqtalarini topish kerak.

Biz buni tushunamiz kanonik tenglama x - 4 2 = y + 3 0 tekislikdagi to'g'ri chiziq x 2 3 + y - 1 = 1 ga, x 2 3 + y - 1 = 1 segmentlardagi tenglama esa umumiy tenglamaga ekvivalentdir. to'g'ri chiziq 3 2 x - y - 1 = 0.

Endi biz chiziqlar tenglamalarini o'z ichiga olgan tenglamalar tizimini tuzamiz.

Biz buni tushunamiz

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Biz shuni olamiz - 4 3 , - 3 barcha chiziqlar kesishgan markaziy nuqtaning koordinatalari.

Javob: - 4 3 , - 3 .

3-misol

Umumiy kesishish nuqtasiga ega bo'lgan 3 x - 2 y + 1 \u003d 0 va x \u003d - 2 + 2 · l y = 5 · l chiziqlari bilan berilgan O x y dagi chiziqlar qalami tenglamasini tuzing.

Qaror

Avval to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olishingiz kerak. Belgilangan parametrik tenglama x = - 2 + 2 l y = 5 l.

Demak, bundan kelib chiqadi

x = - 2 + 2 l y = 5 l ⇔ l = x + 2 2 l = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 (x + 2) = 2 y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Chiziqli qalam tenglamasini yozamiz va a (3 x - 2 y + 1) + b (5 x - 2 y + 10) = 0 ni olamiz va a va b haqiqiy sonlar, bu erda a 2 + b 2. ≠ 0 bo'lishi shart deb hisoblanadi.

Javob: a (3 x - 2 y + 1) + b (5 x - 2 y + 10) = 0 .

4-misol

M 1 (2, - 1) nuqtadan o'tuvchi va a · (5 x + y - 19) + b · (2 ​​​​x - 3 y) tenglamali chiziqlar qalamiga tegishli bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozing. + 6) = 0 .

Qaror

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi.

Birinchi usul kesishishning markazi bo'lgan M 0 ning ta'rifi bilan boshlanadi. Keyin 5 x + y - 19 = 0 va 2 x - 3 y + 6 = 0 tenglamalarining kesishish nuqtalarini topishingiz kerak va ularning natijasi M 0 uchun koordinatalar bo'ladi.

Olingan tizimni yechish orqali koordinatalarni aniqlaymiz:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x x = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Demak, M 0 nuqtasi koordinatalariga (3, 4) ega. Bu M 0 (3 , 4) shaklida yoziladi. M 0 (3, 4) va M 1 (2, - 1) koordinatali nuqtalardan o'tadigan kerakli tenglamani olish uchun. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

Ikkinchi usul a va b parametrlarni aniqlash zarurligidan boshlanadi, shuning uchun a (5 x + y - 19) + b 2 x - 3 y + 6 = 0 tenglama to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi. M 1 (2, - bir) orqali o'tadi. Buning uchun M 1 koordinatalarini topamiz va buni olamiz

a 5 2 + (- 1) - 19 + b 2 2 - 3 (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 a + 13 b = 0 ⇔ a = 13 b 10

Biz b = 10 qiymatini olamiz, agar xohlasangiz, b ning boshqa har qanday bunday qiymatini tanlashingiz mumkin, bu a ning oddiy hisobini beradi. Biz a \u003d 13 b 10 \u003d 13 10 10 \u003d 13 ni olamiz.

Berilgan nur tenglamasiga a = 13 va b = 10 qiymatlarini almashtirganda, biz quyidagilarni o'zgartiramiz:

13 (5 x + y - 19) + 10 (2 x - 3 y + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 y - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Olingan tenglamalarning ekvivalentligini tekshirish kerak.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 x - 3 = 1 y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Bundan kelib chiqadiki, hamma narsa to'g'ri hal qilinadi.

Javob: 5 x - y - 11 = 0 .

5-misol

3 x - y + 5 = 0 chiziq a · (x - 2 y + 4) + b · (x - y + 4) = 0 chiziqlar qalamchasiga tegishli ekanligini aniqlang.

Qaror

Yechim ikki usulda amalga oshiriladi.

Yechishning birinchi usuli berilgan nur tenglamasining koordinata markazlarini topish va ularni tekshirishdan boshlanadi:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 y - 4 y = 0 ⇔ x = 2 0 - 4 y = 0 ⇔ x = - 4 y = 0 3 (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

3 x - y + 5 = 0 to'g'ri chiziq tenglamasida markaz koordinatalarini almashtirish noto'g'ri tenglikni berishini tushunamiz. Xulosa qilamizki, chiziq nurlarning markazini kesib o'tmaydi va shuning uchun unga tegishli emas.

Ikkinchi usul qavslarni ochib, a · (x - 2 y + 4) + b · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 a + b · y + 4 a + 4 b = 0 kabi atamalarni keltirishdan boshlanadi.

3 x - y + 5 = 0 chizig'i chiziqli qalamga tegishli bo'lsa, u holda a va b qiymatlari mavjud bo'lib, ikkita tenglama a + b x - 2 a + b y + 4 a + 4 b = 0 bo'ladi. va 3 x - y + 5 = 0 ekvivalentdir.

Keyin a + b = 3 2 a + b = 1 4 a + 4 b = 5 uchta tenglamadan iborat sistema olamiz.

Uni o'zgartirish uchun x va y o'zgaruvchilari oldidagi koeffitsientlarni va mavjud tenglamalarning erkin shartlarini tenglashtirish kerak a + b x - 2 a + b y + 4 a + 4 b = 0 va 3 x - y. Eritma natijasini olish uchun + 5 = 0.

Buni tekshirish uchun Kroneker-Kapelli teoremasini qo'llash kerak.

Buning uchun tuzilgan tenglamalar sistemasi uchun asosiy va kengaytirilgan matritsalarni yozish kerak. Biz A = 1 1 2 1 4 4 va T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 ni olamiz.

Kengaytirilgan matritsaning darajasini topish natijasi 3 ga teng, chunki 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0.

Demak, a + b = 3 2 a + b = 1 4 a + 4 b = 5 tenglamalar sistemasi aniqlanmagan, ya’ni uning yechimlari mavjud. Hech qanday yechim yo'qligi sababli, chiziq mavjud chiziqlarning qalamlari chizig'ining markazidan o'tmaydi.

Javob: yo'q, 3 x - y + 5 = 0 qatori a · (x - 2 y + 4) + b · (x - y + 4) = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan yozilgan chiziqlarning berilgan qalamiga tegishli emas. .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

To'g'ri qalam - bu bitta to'g'ri chiziqdan o'tadigan barcha tekisliklar to'plami.

Samolyotlarning noto'g'ri qalami barcha parallel tekisliklar to'plamidir.

Teorema 1. Umumiy tenglamalar bilan berilgan uchta tekislik uchun

umumiy Dekart koordinata tizimiga nisbatan, bir xil nurga tegishli bo'lgan, to'g'ri yoki noto'g'ri, matritsaning darajasi zarur va etarli.

ikkiga yoki birga teng edi.

zaruriyatning isboti. Uchta tekislik (1) bir xil to'plamga tegishli bo'lsin. Buni isbotlash talab qilinadi

Keling, birinchi navbatda berilgan uchta tekislik o'zlarining qalamlariga tegishli deb faraz qilaylik. U holda (1) tizim cheksiz yechimlarga ega (chunki to'g'ri qalamning ta'rifi bo'yicha: uchta tekislik bitta to'g'ri chiziqdan o'tsa, qalamga tegishlidir); noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan determinant noldan farqli yoki nolga teng bo'lishiga qarab (1) sistema yagona yechimga ega bo'lsa yoki nomuvofiq bo'lsa, bu faqat va agar bo'ladi.

Agar berilgan uchta tekislik noto'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa, u holda matritsaning darajasi

1 ga teng, ya'ni matritsaning darajasi M ikkitaga yoki bittaga teng.

Etarlilikni isbotlash. Berilgan: Berilgan uchta tekislik bitta qalamga tegishli ekanligini isbotlash talab qilinadi.

Agar, keyin va. Bo'lsin. U holda (1) sistema mos keladi, cheksiz sonli yechimlarga ega va bu tekisliklar orasida kesishuvchilari ham bor (chunki kesishuvchilari bo'lmaganda ularning hammasi parallel va matritsa darajasi 1 ga teng bo'lar edi), shuning uchun berilgan uchta samolyot o'z to'plamiga tegishli.

Agar a; , keyin barcha tekisliklar kollinear (ulardan ikkitasi majburiy ravishda parallel, uchinchisi esa parallel tekisliklardan biriga to'g'ri kelishi mumkin).

Agar, keyin va, va barcha tekisliklar mos kelsa.

Teorema 2. Umuman olganda Dekart tizimi koordinatalar ikki xil tekislik va umumiy tenglamalar berilgan: ; .

Uchinchi tekislik uchun, shuningdek, umumiy tenglama bilan berilgan

bir xil koordinatalar tizimiga nisbatan, tekisliklar tomonidan aniqlangan qalamga tegishli edi va tekislik tenglamasining chap tomoni tekisliklar tenglamalarining chap tomonlarining chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

zaruriyatning isboti. Berilgan: tekislik u tekisliklar bilan aniqlangan tekisliklar to'plamiga tegishli. Raqamlar mavjudligini isbotlash talab qilinadi va identifikatsiya barcha qiymatlar uchun haqiqiy bo'ladi X, da, z:

Haqiqatan ham, agar uchta samolyot bitta to'plamga tegishli bo'lsa, unda qaerda

Ushbu matritsaning dastlabki ikki qatori chiziqli mustaqil (tekisliklar va har xil bo'lgani uchun) va uchinchi qator birinchi ikkita chiziqli birikma bo'lgani uchun, ya'ni. raqamlar va shunga o'xshashlar mavjud

Birinchi tenglikning ikkala tomonini ko'paytirish X, ikkinchisining ikkala qismi ham da, uchinchisining ikkala qismi ham z va olingan tenglik va tenglik muddatini davr bo'yicha yig'ib, biz isbotlanishi kerak bo'lgan shaxsni olamiz.

Etarlilik isboti. Identifikatsiyaga ruxsat bering

barcha qiymatlar uchun amal qiladi X, da va z. Tekislik u tekisliklar bilan belgilangan qalamga tegishli ekanligini isbotlash talab qilinadi.

Bu o'ziga xoslikdan munosabatlar kelib chiqadi

shuning uchun matritsaning uchinchi qatori M birinchi ikkitasining chiziqli birikmasidir va shuning uchun. Ch.t.d.

Bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lgan va nolga teng bo'lmagan tenglama ikki xil tekislik bilan aniqlangan va umumiy Dekart koordinata tizimidagi tenglamalari quyidagicha bo'lgan tekisliklar to'plamining tenglamasi deb ataladi:

Isbotlanganidek, nurning har qanday tekisligining tenglamasi turli tekisliklar bilan belgilanadi va ko'rinishda yozilishi mumkin.

Aksincha, agar raqamlardan kamida bittasi va nolga teng bo'lmagan tenglama birinchi darajali tenglama bo'lsa, u tekisliklar bilan aniqlangan qalamga tegishli tekislik tenglamasidir. Darhaqiqat, matritsaning uchinchi qatori M, tenglamalar koeffitsientlaridan tuzilgan va shaklga ega

bular. qolgan ikkitasining chiziqli birikmasidir, shuning uchun.

Agar tekisliklar va kesishsa va va bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmasa, u holda barcha koeffitsientlar X, da, z tenglamada nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki munosabatlar bo'lsa

u holda samolyotlar, taxmindan farqli ravishda, kollinear bo'ladi.

Ammo agar tekisliklar parallel bo'lsa, unda bunday raqamlar mavjud va ular orasida kamida bittasi nolga teng bo'lmagan va tenglamadagi barcha koeffitsientlar mavjud. X, da va z nolga teng. Ammo keyin bu noto'g'ri qalam bo'ladi va xuddi chiziqlar qalamida bo'lgani kabi, bu erda juda ehtiyot bo'lish kerak.