1-12. Nuqtaning tekislik yoki chiziqqa proyeksiyasi
MUAMMONI TOPLANTIRISH. P(^PiURCHzp) nuqtaning Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O tekisligiga P" proyeksiyasining koordinatalarini toping,
YECHIM REJASI. P nuqtaning tekislikka proyeksiyasi P" bu tekislikka P nuqtadan tushirilgan perpendikulyar asosdir.
1. Berilgan tekislikka perpendikulyar P nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzamiz. Buning uchun tekislikning normal vektorini to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olamiz: a = n = (A, B, C). Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklga ega bo'ladi
X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.
3. Tekis tenglamaga x^y^z ni qo‘yib, t ga nisbatan yechish orqali chiziq va tekislik kesishgan t = parametrining qiymatini topamiz.
4. Topilgan ^o qiymati to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga almashtiriladi va biz nuqtaning kerakli koordinatalarini olamiz. R".
Izoh. Nuqtaning chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini topish masalasi ham xuddi shunday hal qilinadi.
MISOL. P (1,2, -1) nuqtaning ZJ - 2/4-22 tekisligiga P "proyeksiyasining koordinatalarini toping: - 4 \u003d 0.
1. Berilgan tekislikka perpendikulyar P nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzamiz. Buning uchun tekislikning normal vektorini to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olamiz: a = n =
Ch. 1. Ansiitik geometriya |
||||
= (3, -1,2). Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklga ega bo'ladi |
||||
U-2 _ z-hl |
||||
2. Ushbu chiziqning P "kesishish nuqtasining berilgan bilan koordinatalarini toping |
||||
samolyot. Keling, qo'ying |
||||
x-~1 __ y-2 __ Z + 1 _ |
||||
Keyin to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari ko'rinishga ega bo'ladi |
||||
3. Bu ifodalarni x^ y va z o‘rniga tekislik tenglamasiga qo‘yib, chiziq va tekislik kesishgan ^ parametrining qiymatini topamiz:
3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => dan = 2 gacha.
4. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga topilgan qiymatni = 2 ga almashtirib, x0 = 7, y0 = 0, y0 = 1 ni olamiz.
Demak, chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi va demak, P nuqtaning tekislikka proyeksiyasi (7,0,1) koordinatalariga ega.
Javob. P” proyeksiyasi koordinatalariga (7,0,1) ega.
VAZIFALAR SHARTLARI. Koordinatalarni toping |
I ^ nuqtaning tekislikdagi proyeksiyasi |
||||
4x + boo -f 4z - |
|||||
2x + 6y "-2g-\-11 |
|||||
4 x - 5 2 / - g - 7 |
|||||
f-f-42/+ Z2: 4-5 = 0. |
|||||
2x -h Yuu + lOz - |
|||||
2x -MO2 / -f- lOz - |
|||||
Javoblar. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).
1.13. Chiziq yoki tekislikka nisbatan simmetriya
MUAMMONI TOPLANTIRISH. Q nuqtaning koordinatalarini toping, simmetrik
YECHIM REJASI. Kerakli Q nuqta berilganga perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotadi va uni P" nuqtada kesib o'tadi. P" nuqta PQ segmentini yarmiga bo'lganligi uchun Q NOKTAning w, w va ZQ koordinatalari quyidagilardan aniqlanadi. sharoitlar
2 "^, ur" = |
2 ~ ^ . ^ P" = |
||||
bu erda xp, yp, zp |
P nuqtaning koordinatalari va xp^^ypf^zp/ - koordinatalari |
||||
uning proyeksiyasi P" berilgan chiziqqa.
1. Nuqtaning proyeksiyasini toping R berilgan to'g'ri chiziqqa, ya'ni. nuqta P "(1.12 muammoga qarang). Buning uchun:
a) berilgan chiziqqa perpendikulyar P nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing. Ushbu tekislikning normal vektor p sifatida, biz berilgan chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olishimiz mumkin, ya'ni. n = a = (l^m^n). olamiz
1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;
b) ushbu tekislikning P " kesilgan nuqtasini berilgan chiziq bilan koordinatalarini topamiz. Buning uchun chiziq tenglamalarini parametrik shaklda yozamiz.
X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.
Tekislik tenglamasiga x^y^z ni qo‘yib, t ga nisbatan yechish orqali chiziq va tekislik kesishgan t = to parametrining qiymatini topamiz;
v) topilgan qiymatni to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga almashtiramiz va R" nuqtaning kerakli koordinatalarini olamiz.
2. Berilgan chiziqqa nisbatan R nuqtaga simmetrik bo lgan Q nuqtaning koordinatalari (1) shartlardan aniqlanadi. olamiz
XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;p/ - zp.
Izoh. Berilgan nuqtaning tekislikka nisbatan simmetrik koordinatalarini topish masalasi ham xuddi shunday yechilgan.
MISOL. Chiziqga nisbatan P(2, -1,2) nuqtaga simmetrik Q nuqtaning koordinatalarini toping.
X - 1 _ y __ Z -\-1
YECHIMA.
1. Nuqtaning proyeksiyasini toping R berilgan to'g'ri chiziqqa, ya'ni. P nuqtasi. Buning uchun:
a) berilgan chiziqqa perpendikulyar P nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing. Bu tekislikning normal vektor p sifatida ushbu chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olishimiz mumkin: n = a = (1,0,-2). Keyin
Bu ifodalarni x, y va z larni tekislik tenglamasiga qo'yib, chiziq va tekislik kesishgan t parametrining qiymatini topamiz: to = -1;
v) to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga topilgan qiymatni = -1 ga almashtirib, hosil bo'lamiz
zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.
Demak, chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi va demak, P nuqtaning chiziqqa proyeksiyasi P"(0,0,1) ga teng.
2. Berilgan to'g'ri chiziqqa nisbatan R nuqtaga simmetrik bo'lgan Q nuqtaning koordinatalari (1) shartlardan aniqlanadi:
XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,
VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,
ZQ = 2zpf - zp = 0.
Javob. Q nuqtasi koordinatalariga ega (-2,1,0).
VAZIFALAR SHARTLARI. Berilgan chiziqqa nisbatan P nuqtaga simmetrik nuqtaning koordinatalarini toping.
X - 1 |
||||||||
Ushbu maqolada nuqtaning to'g'ri chiziqqa (o'qga) proyeksiyasi tushunchasi ko'rib chiqiladi. Biz buni tushuntiruvchi raqam yordamida aniqlaymiz; nuqtaning to'g'ri chiziqdagi (tekislikda yoki tekislikda) proyeksiyasining koordinatalarini aniqlash usulini o'rganamiz. uch o'lchovli bo'shliq); misollarni ko'rib chiqamiz.
“Nuqtaning tekislikka proyeksiyasi, koordinatalar” maqolasida figuraning proyeksiyasi perpendikulyar yoki ortogonal proyeksiyaning umumlashgan tushunchasi ekanligini aytib o‘tgan edik.
Hammasi geometrik raqamlar nuqtalardan iborat, mos ravishda bu raqamning proyeksiyasi uning barcha nuqtalarining proyeksiyalari to'plamidir. Shuning uchun figurani to'g'ri chiziqqa proyeksiya qila olish uchun nuqtani to'g'ri chiziqqa proyeksiyalash malakasini egallash kerak.
Ta'rif 1
Nuqtaning chiziqqa proyeksiyasi- bu nuqtaning o'zi, agar u berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lsa yoki bu nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asos.
Quyidagi rasmni ko'rib chiqaylik: H 1 nuqta M 1 nuqtaning a to'g'riga proyeksiyasi bo'lib xizmat qiladi va chiziqqa tegishli M 2 nuqta o'zining proyeksiyasidir.
Bu ta'rif tekislikdagi va uch o'lchovli fazodagi holat uchun to'g'ri keladi.
M 1 nuqtaning tekislikdagi a to‘g‘riga proyeksiyasini olish uchun berilgan M 1 nuqtadan b o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar chiziq o‘tkaziladi. Shunday qilib, a va b chiziqlarning kesishish nuqtasi M 1 nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasi bo'ladi.
Uch o‘lchamli fazoda a to‘g‘ri chiziq bilan M 1 nuqtadan o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan a to‘g‘rining kesishish nuqtasi nuqtaning to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasi bo‘lib xizmat qiladi.
Nuqtaning to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini topish
O'ylab ko'ring bu savol tekislikda va uch o'lchovli fazoda proyeksiyalash holatlarida.
Bizga O x y to'rtburchak koordinatalar sistemasi, M 1 (x 1, y 1) nuqta va a to'g'ri chiziq berilsin. M 1 nuqtaning a to'g'ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini topish kerak.
Berilgan M 1 (x 1, y 1) nuqta orqali a to‘g‘riga perpendikulyar b chiziqni yotqizamiz. Biz kesishish nuqtasini H 1 deb belgilaymiz. H 1 nuqta M 1 nuqtaning a to'g'ri chiziqqa proyeksiyalash nuqtasi bo'ladi.
Ta'riflangan konstruktsiyadan M 1 (x 1, y 1) nuqtaning a chizig'iga proyeksiyasining koordinatalarini topishga imkon beruvchi algoritmni shakllantirishimiz mumkin:
To'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz (agar u o'rnatilmagan bo'lsa). Ushbu harakatni bajarish uchun tekislikda asosiy tenglamalarni tuzish mahorati talab qilinadi;
b to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz (M 1 nuqtadan o'tuvchi va a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar). Bu yerda berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi haqidagi maqola yordam beradi;
Biz kerakli proyeksiya koordinatalarini a va b chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalari sifatida belgilaymiz. Buning uchun tenglamalar sistemasini yechamiz, uning komponentlari a va b chiziqlar tenglamalaridir.
1-misol
O x y tekislikda M 1 (1, 0) nuqtalar va a to'g'ri chiziq berilgan (umumiy tenglama 3 x + y + 7 = 0). M 1 nuqtaning a to'g'ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini aniqlash kerak.
Yechim
Berilgan chiziqning tenglamasi ma'lum, shuning uchun algoritmga ko'ra, biz b chiziq tenglamasini yozish bosqichiga o'tamiz. b chiziq a chiziqqa perpendikulyar, ya'ni a chiziqning normal vektori b chiziqning yo'nalish vektori bo'lib xizmat qiladi. U holda b to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini quyidagicha yozish mumkin b → = (3 , 1) . Biz b chiziqning kanonik tenglamasini ham yozamiz, chunki bizga b chiziq o'tadigan M 1 nuqtaning koordinatalari ham berilgan:
Yakuniy bosqich - a va b chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini aniqlash. dan davom etaylik kanonik tenglamalar uning umumiy tenglamasiga b to'g'ri chiziq:
x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0
a va b chiziqlarning umumiy tenglamalaridan tenglamalar tizimini tuzamiz va uni yechamiz:
3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2
Oxir-oqibat, M 1 (1, 0) nuqtaning 3 x + y + 7 = 0 chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini oldik: (- 2, - 1) .
Javob: (- 2 , - 1) .
Keling, proyeksiya koordinatalarini aniqlash zarur bo'lgan holatni batafsil ko'rib chiqaylik berilgan nuqta koordinatali chiziqlar va ularga parallel chiziqlar ustida.
O x va O y koordinata chiziqlari, shuningdek M 1 (x 1 , y 1) nuqta berilsin. Ko'rinib turibdiki, berilgan nuqtaning y = 0 ko'rinishdagi O x koordinata chizig'iga proyeksiyasi koordinatalari (x 1 , 0) bo'lgan nuqta bo'ladi. Demak, berilgan nuqtaning O y koordinata chizig‘idagi proyeksiyasi 0, y 1 koordinatalariga ega bo‘ladi.
Har qanday ixtiyoriy chiziq o'qiga parallel abscissa, uni to'liqsiz belgilash mumkin umumiy tenglama B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B va ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.
Keyin M 1 (x 1, y 1) nuqtasining y \u003d - C B va x \u003d - C A chiziqlaridagi proyeksiyalari x 1, - C B va - C A, y 1 koordinatali nuqtalar bo'ladi.
2-misol
M 1 (7, - 5) nuqtaning O y koordinata chizig`idagi, shuningdek, O y 2 y - 3 = 0 to`g`ri chiziqqa parallel bo`lgan chiziqdagi proyeksiyasining koordinatalarini aniqlang.
Yechim
Berilgan nuqtaning O y to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini yozamiz: (0 , - 5) .
2 y - 3 = 0 to'g'ri chiziq tenglamasini y = 3 2 ko'rinishda yozamiz. Berilgan nuqtaning y = 3 2 chiziqqa proyeksiyasi 7, 3 2 koordinatalariga ega bo'lishi aniq bo'ladi.
Javob:(0 , - 5) va 7 , 3 2 .
Uch o'lchovli fazoda to'rtburchak koordinatalar sistemasi O x y z, M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta va a chiziq berilgan bo'lsin. M 1 nuqtaning a to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini topamiz.
M 1 nuqtadan o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan a tekislik yasaymiz. Berilgan nuqtaning a to'g'riga proyeksiyasi a to'g'ri va a tekislikning kesishish nuqtasi bo'ladi. Shunga asoslanib, M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini topish algoritmini keltiramiz:
a to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz (agar u berilmagan bo'lsa). Ushbu muammoni hal qilish uchun siz fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalari haqidagi maqolani o'qishingiz kerak;
M 1 nuqtadan o‘tuvchi va a to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan a tekislikning tenglamasini tuzamiz (“Belgilangan nuqtadan o‘tgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan tekislik tenglamasi” maqolasiga qarang);
M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasining kerakli koordinatalarini toping - bular a chiziq va a tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalari bo'ladi (yordam berish uchun - "Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalari" maqolasi).
3-misol
To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi O x y z berilgan va unda M 1 (0, 1, - 1) nuqta va to'g'ri chiziq a. a chizig'i quyidagi ko'rinishdagi kanonik tenglamalarga mos keladi: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . M 1 nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasining koordinatalarini aniqlang.
Yechim
Biz yuqoridagi algoritmdan foydalanamiz. a chizig'ining tenglamalari ma'lum, shuning uchun biz algoritmning birinchi bosqichini o'tkazib yuboramiz. a tekislikning tenglamasini yozamiz. Buning uchun tekislikning normal vektorining koordinatalarini aniqlaymiz a . A chiziqning berilgan kanonik tenglamalaridan ushbu chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini tanlaymiz: (3 , - 4 , 1) , a to'g'riga perpendikulyar a tekislikning normal vektori bo'ladi. Keyin n → = (3 , - 4 , 1) a tekislikning normal vektori. Shunday qilib, a tekislikning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:
3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0
Endi biz a chiziq va a tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz, buning uchun ikkita usuldan foydalanamiz:
- Berilgan kanonik tenglamalar a chiziqni aniqlaydigan ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalarini olish imkonini beradi:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0
4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 va 3 x - 4 y + z + 5 = 0 tekislikning kesishish nuqtalarini topish uchun tenglamalar tizimini yechamiz:
4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5
Bunday holda biz Kramer usulidan foydalanamiz, ammo har qanday qulay usulni qo'llash mumkin:
∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z = 0 - 78 = 0
Shunday qilib, berilgan nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasi koordinatalari (1 , 2 , 0) boʻlgan nuqtadir.
- Berilgan kanonik tenglamalar asosida fazoda to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish oson:
x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 l y = 6 - 4 l z = - 1 + l
3 x - 4 y + z + 5 = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tekislik tenglamasiga x, y va z o'rniga ularning ifodalarini parametr orqali almashtiramiz:
3 (- 2 + 3 l) - 4 (6 - 4 l) + (- 1 + l) + 5 = 0 ⇔ 26 l = 0 ⇔ l = 1
dan foydalanib a chiziq va a tekislikning kesishish nuqtasining kerakli koordinatalarini hisoblaymiz parametrik tenglamalar l = 1 uchun a qatori:
x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0
Shunday qilib, berilgan nuqtaning a chiziqqa proyeksiyasi koordinatalariga (1 , 2 , 0) ega.
Javob: (1 , 2 , 0)
Nihoyat, M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtaning O x, O y va O z koordinata chiziqlariga proyeksiyalari (x 1, 0, 0) , (0) koordinatali nuqtalar bo‘lishini ta’kidlaymiz. , y 1 , 0 ) va (0 , 0 , z 1) mos ravishda.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Nuqtaning to'g'ri chiziqqa proyeksiyasi juda oddiy va ba'zi amallarni bajarishda nolga yaqinlik nuqtaning teginish chizig'iga proyeksiyasi sifatida hisoblanadi. Umumiy muammoning ushbu alohida holatini ko'rib chiqing.
To'g'ri chiziq berilgan bo'lsin
va nuqta. W chiziq vektori ixtiyoriy uzunlikka ega deb faraz qilamiz. To'g'ri chiziq t parametri nolga teng bo'lgan nuqtadan o'tadi va w vektorining yo'nalishiga ega. To'g'ri chiziqdagi nuqtaning proyeksiyasini topish talab qilinadi. Bu muammoning o'ziga xos yechimi bor. To'g'ri chiziq nuqtasidan nuqtaga vektor quramiz va hisoblaymiz skalyar mahsulot bu vektor va chiziqli vektor w. Shaklda. 4.5.1 to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini ko'rsatadi w, uning boshlang'ich nuqtasi Co va proyeksiya; berilgan nuqta. Agar bu skalyar ko'paytmani w vektor uzunligiga bo'lsak, vektorning to'g'ri chiziqqa proyeksiyasining uzunligini olamiz.
Guruch. 4.5.1. Nuqtaning to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasi
Agar bu skalyar ko'paytmani w vektor uzunligi kvadratiga bo'lsak, u holda vektorning to'g'ri chiziqqa proyeksiyasining uzunligi w vektor uzunligining birliklarida, ya'ni t parametrini olamiz. nuqtaning to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasi.
Shunday qilib, nuqtaning to'g'ri chiziqqa proyeksiya parametri va proyeksiyaning radius vektori; formulalar bo'yicha hisoblanadi
(4.5.3)
Agar w vektorining uzunligi birga teng bo'lsa, u holda (4.5.2) ga bo'linish shart emas. Nuqtadan uning egri chiziqqa proyeksiyasigacha bo'lgan masofa odatda vektor uzunligi sifatida hisoblanadi. Nuqtadan uning toʻgʻri chiziqqa proyeksiyasigacha boʻlgan masofani nuqta proyeksiyasini hisoblamasdan, balki formuladan foydalanib aniqlash mumkin.
Maxsus holatlar.
Nuqtaning analitik egri chiziqlarga proyeksiyasini raqamli usullardan foydalanmasdan ham topish mumkin. Masalan, nuqtaning konus kesimga proyeksiyasini topish uchun proyeksiyalangan nuqtani konus kesimining mahalliy koordinata tizimiga o‘tkazish, bu nuqtani konus kesimi tekisligiga proyeksiya qilish va ikkitasining parametrini topish kerak. -berilgan nuqtaning o‘lchovli proyeksiyasi.
Umumiy holat.
Egri chiziqqa nuqtaning barcha proyeksiyalarini topish talab qilinsin Egri chiziqning har bir kerakli nuqtasi tenglamani qanoatlantiradi.
(4.5.5)
Bu tenglama bitta noma'lum miqdorni - t parametrini o'z ichiga oladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, biz ushbu muammoni hal qilishni ikki bosqichga ajratamiz. Birinchi bosqichda biz nuqtaning egri chiziqqa proyeksiyalari parametrlarining nolga yaqinligini aniqlaymiz, ikkinchi bosqichda esa berilgan nuqtaning proyeksiyalarini aniqlaydigan egri chiziq parametrlarining aniq qiymatlarini topamiz. bilan egri chiziqqa
Buning yordamida onlayn kalkulyator nuqtaning chiziqqa proyeksiyasini toping. Berilgan batafsil yechim tushuntirishlar bilan. Nuqtaning to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyasini hisoblash uchun o‘lchamni ko‘rsating (2-agar to‘g‘ri chiziq tekislikda ko‘rib chiqilsa, 3- to‘g‘ri chiziq fazoda ko‘rib chiqilsa), nuqta koordinatalarini va uning elementlarini kiriting. hujayralardagi tenglamani o'rnating va "Yechish" tugmasini bosing.
×
Ogohlantirish
Barcha hujayralar tozalansinmi?
Yopish Tozalash
Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bunda a va b (b>0) butun sonlar yoki o'nlik sonlar. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.
Nuqtaning chiziqqa proyeksiyasi - nazariya, misollar va yechimlar
Keling, bu masalani ikki o'lchovli va uch o'lchovli fazolarda ko'rib chiqaylik.
1. Ikki o'lchovli fazoda nuqta berilgan bo'lsin M 0 (x 0 , y 0) va to'g'ridan-to'g'ri L:
To'g'ri chiziqdagi nuqtaning proyeksiyasini topish algoritmi L quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:
- to'g'ri chiziq qurish L 1 nuqtadan o'tish M 0 va chiziqqa perpendikulyar L,
- chiziqlarning kesishishini toping L va L 1 (nuqta M 1)
Nuqtadan o`tuvchi chiziq tenglamasi M 0 (x 0 , y 0) quyidagi shaklga ega:
Qavslarni ochamiz
 | (5) |
Qiymatlarni almashtiring x va y 4 da):
qayerda x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".
Misol 1. Nuqtaning proyeksiyasini toping M 0 (1, 3) to'g'ridan-to'g'ri
Bular. m=4, p=5. (6) to’g’ri chiziq tenglamasidan uning nuqtadan o’tishini ko’rish mumkin M" (x", y")=(2, −3)(buni tekshirish oson - bu qiymatlarni (6) ga almashtirib, biz 0=0 identifikatorini olamiz), ya'ni. x"=2, y"=-3. Qiymatlarni almashtiring m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5" da):
2. Uch o‘lchamli fazoda nuqta berilgan bo‘lsin M 0 (x 0 , y 0 , z 0) va to'g'ridan-to'g'ri L:
Nuqtaning chiziqqa proyeksiyasini topish L quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:
- samolyot qurish α nuqtadan o'tish M 0 va chiziqqa perpendikulyar L,
- tekislikning kesishmasini toping α va to'g'ridan-to'g'ri L(nuqta M 1)
Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) quyidagi shaklga ega:
Qavslarni ochamiz
| (10) |
Qiymatlarni almashtiring x va y 9 da):
| m(mt+x")+p(pt+y")+l(lt+z")−mx 0 −py 0 −lz 0 =0 |
| m 2 t+mx"+p 2 t+py"+l 2 t+ly"−mx 0 −py 0 −lz 0 =0 |