Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyalarining qisman hosilalari bir xil o'zgaruvchilarning funktsiyalari hisoblanadi. Bu funktsiyalar, o'z navbatida, qisman hosilalarga ega bo'lishi mumkin, biz ularni asl funktsiyaning ikkinchi qisman hosilalari (yoki ikkinchi tartibli qisman hosilalari) deb ataymiz.
Masalan, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi to'rtta ikkinchi darajali qisman hosilalarga ega bo'lib, ular quyidagicha aniqlanadi va belgilanadi:
Uch o'zgaruvchining funktsiyasi to'qqizta ikkinchi darajali qisman hosilaga ega:
Uchinchi va boshqalarning qisman hosilalari yuqori tartib bir nechta o'zgaruvchining funksiyalari: bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning tartibli qisman hosilasi bir xil funktsiyaning tartibli qisman hosilasining birinchi tartibli qisman hosilasidir.
Masalan, funksiyaning uchinchi tartibli qisman hosilasi ikkinchi tartibli qisman hosilasining y ga nisbatan birinchi tartibli qisman hosilasidir.
Bir necha xil oʻzgaruvchilarga nisbatan olingan ikkinchi yoki undan yuqori qisman hosila aralash qisman hosila deyiladi.
Masalan, qisman hosilalar
ikki oʻzgaruvchili funksiyaning aralash qisman hosilalaridir.
Misol. Funksiyaning ikkinchi tartibli aralash qisman hosilalarini toping
Yechim. Birinchi tartibli qisman hosilalarni topish
Keyin ikkinchi tartibli aralash qisman hosilalarni topamiz
Biz aralash qisman hosilalar va faqat differentsiallanish tartibida, ya'ni turli o'zgaruvchilarga nisbatan differensiatsiya qilish ketma-ketligida bir xil teng bo'lib chiqqanini ko'ramiz. Bu natija tasodifiy emas. Aralash qisman hosilalarga kelsak, quyidagi teorema amal qiladi, biz buni isbotsiz qabul qilamiz.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya berilgan bo‘lsin. Keling, argumentni oshiramiz va argumentni o'zgarishsiz qoldiramiz. Keyin funktsiya o'sishni oladi, bu o'zgaruvchiga nisbatan qisman o'sish deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:
Xuddi shunday, argumentni tuzatish va argumentga o'sish berish orqali biz o'zgaruvchiga nisbatan funktsiyaning qisman o'sishini olamiz:
Qiymat nuqtadagi funktsiyaning to'liq o'sishi deb ataladi.
Ta'rif 4. Ikki o'zgaruvchining funksiyasining ushbu o'zgaruvchilardan biriga nisbatan qisman hosilasi - bu funksiyaning mos keladigan qisman o'sishining berilgan o'zgaruvchining o'sishiga nisbati chegarasi, agar ikkinchisi nolga moyil bo'lsa (agar bu chegara bo'lsa). mavjud). Qisman hosila quyidagicha ifodalanadi: yoki, yoki.
Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, bizda:
Funksiyaning qisman hosilalari bir o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir xil qoida va formulalar bo‘yicha hisoblab chiqiladi, bunda o‘zgaruvchiga nisbatan differensiallashda doimiy, o‘zgaruvchiga nisbatan farqlashda esa u hisobga olinishi hisobga olinadi. doimiy.
3-misol. Funksiyalarning qisman hosilalarini toping:
Yechim. a) Topish uchun biz doimiy qiymatni qabul qilamiz va bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida farqlaymiz:
Xuddi shunday, doimiy qiymatni qabul qilib, biz quyidagilarni topamiz:
Ta'rif 5. Funktsiyaning to'liq differentsiali - bu funktsiyaning qisman hosilalari va mos keladigan mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishlari yig'indisi, ya'ni.
Mustaqil o'zgaruvchilarning differentsiallari ularning o'sishiga to'g'ri kelishini hisobga olsak, ya'ni. , jami differensial formulani quyidagicha yozish mumkin
4-misol. Funksiyaning to‘liq differentsialini toping.
Yechim. O'shandan beri umumiy differentsial formulasi bo'yicha topamiz
Yuqori darajadagi qisman hosilalar
Qisman hosilalar birinchi tartibli qisman hosilalar yoki birinchi qisman hosilalar deb ham ataladi.
Ta'rif 6. Funksiyaning ikkinchi tartibli qisman hosilalari birinchi tartibli qisman hosilalarining qisman hosilalaridir.
To'rtta ikkinchi tartibli qisman hosilalar mavjud. Ular quyidagicha belgilanadi:
3, 4 va undan yuqori darajalarning qisman hosilalari xuddi shunday aniqlanadi. Masalan, funksiya uchun bizda:
Turli oʻzgaruvchilarga nisbatan olingan ikkinchi yoki undan yuqori tartibli qisman hosilalar aralash qisman hosilalar deyiladi. Funktsiya uchun bu hosilalardir. E'tibor bering, agar aralash hosilalar uzluksiz bo'lsa, tenglik sodir bo'ladi.
5-misol. Funksiyaning ikkinchi tartibli qisman hosilalarini toping
Yechim. Bu funksiya uchun birinchi tartibli qisman hosilalar 3-misolda keltirilgan:
X va y o'zgaruvchilarga nisbatan farqlash va biz olamiz
Va hech narsa izlashning hojati yo'q: bizning alohida maqolamizda biz buni qila olishingiz uchun hamma narsani tayyorladik. Endi qisman hosilalar haqida gapiraylik.
Foydali xabarlar va dolzarb talabalar yangiliklari uchun telegram kanalimizga xush kelibsiz.
Ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilar funktsiyasi
Qisman hosilalar haqida gapirishdan oldin, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasi tushunchasiga to'xtalib o'tishimiz kerak, ularsiz qisman hosiladan hech qanday ma'no yo'q. Maktabda biz bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlashga odatlanganmiz:
Biz ilgari bunday funktsiyalarning hosilalarini ko'rib chiqdik. Bitta o'zgaruvchining funksiya grafigi tekislikdagi chiziq: to'g'ri chiziq, parabola, giperbola va boshqalar.
Agar boshqa o'zgaruvchini qo'shsak nima bo'ladi? Siz shunday funktsiyani olasiz:
Bu ikkita mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi x Va y. Bunday funktsiyaning grafigi in sirtidir uch o'lchovli fazo: shar, giperboloid, paraboloid yoki vakuumdagi boshqa sharsimon ot. Qisman hosila funksiyalar z x va y uchun mos ravishda quyidagicha yoziladi:
Bundan tashqari, uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari mavjud. To'g'ri, bunday funktsiyaning grafigini chizish mumkin emas: buning uchun kamida to'rt o'lchovli bo'shliq kerak bo'ladi, uni tasvirlab bo'lmaydi.
Birinchi tartibli qisman hosila
Asosiy qoidani eslang:
O'zgaruvchilardan biriga nisbatan qisman hosilani hisoblashda ikkinchi o'zgaruvchi doimiy sifatida qabul qilinadi. Aks holda, lotinni hisoblash qoidalari o'zgarmaydi.
Ya'ni, qisman hosila odatdagidan deyarli farq qilmaydi. Shunday qilib, derivativlar jadvalini ko'zingiz oldida saqlang elementar funktsiyalar va oddiy hosilalarni hisoblash qoidalari. Buni aniqroq qilish uchun bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz quyidagi funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini hisoblamoqchisiz:
Birinchidan, y ni oddiy son sifatida hisobga olib, x ga nisbatan qisman hosila olamiz:
Endi x ni doimiy sifatida olib, y ga nisbatan qisman hosilani ko'rib chiqamiz:
Ko'rib turganingizdek, bu borada hech qanday murakkab narsa yo'q va ko'proq muvaffaqiyat murakkab misollar faqat amaliyot masalasidir.
Ikkinchi tartibli qisman hosila
Ikkinchi tartibli qisman hosila nima? Xuddi birinchisi kabi. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topish uchun birinchi tartibli hosilaning hosilasini olish kifoya. Keling, yuqoridagi misolga qaytaylik va ikkinchi tartibli qisman hosilalarni hisoblaymiz.
O'yin bo'yicha:
Uchinchi va undan yuqori tartiblarning qisman hosilalari hisoblash printsipida farq qilmaydi. Keling, qoidalarni tashkil qilaylik:
- Bitta mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda ikkinchisi doimiy sifatida qabul qilinadi.
- Ikkinchi tartibli hosila birinchi tartibli hosiladir. Uchinchi tartib ikkinchi tartib hosilaning hosilasi va hokazo.
Funktsiyaning qisman hosilalari va to'liq differentsiallari
Amaliy topshiriqlarda tez-tez uchraydigan savol funksiyaning umumiy differentsialini topishdir. Bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funktsiya uchun umumiy differentsial argumentlar o'sishiga nisbatan funktsiyaning kichik umumiy o'sishining asosiy chiziqli qismi sifatida aniqlanadi.
Ta'rif og'ir tuyuladi, lekin harflar bilan hamma narsa osonroq. Bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funktsiyaning umumiy birinchi darajali differensialligi quyidagicha ko'rinadi:
Qisman hosilalar qanday hisoblanganligini bilgan holda, umumiy differentsialni hisoblashda hech qanday muammo yo'q.
Qisman lotinlar unchalik keraksiz mavzu emas. Misol uchun, differensial tenglamalar ikkinchi tartibli qisman hosilalarda real fizik jarayonlarni matematik tavsiflash uchun keng foydalaniladi.
Bu erda biz birinchi va ikkinchi darajali qisman hosilalar haqida faqat umumiy, yuzaki fikr berdik. Siz ushbu mavzuga qiziqasizmi yoki aniq savollaringiz bormi? Izohlarda ulardan so'rang va o'qishingizda malakali va tezkor yordam uchun professional talabalar xizmati mutaxassislariga murojaat qiling. Biz bilan siz muammo bilan yolg'iz qolmaysiz!
Misol. y x yxz funksiyaning qisman hosilalarini toping
Yechim. Sozlama y = const , biz xy x z ni topamiz
x =const ni o'rnatsak, biz 2 2) 1 (1 y x x y xx y z ni topamiz.
Misol. M (1, - 1, 0) nuqtasida funksiyaning qisman hosilalarining qiymatlarini toping. xyzyxu)ln(
Yechim. y = const , z = const ni o‘rnatish, biz 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u ni topamiz.
Xuddi shunday 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z u ni topamiz.
Qisman hosilaning geometrik ma'nosi (masalan,) M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtasida y \u003d y 0 tekislik bilan sirt kesimiga chizilgan tangensning qiyaligining tangensidir. xz
Faraz qilaylik, z = f (x , y) funksiya uzluksiz qisman hosilalarga ega, (yxf x z x), (yxf y z y)
Bu hosilalar, o'z navbatida, x va y mustaqil o'zgaruvchilarning funktsiyalari hisoblanadi. 1-tartibdagi qisman hosilalarni ham chaqiramiz.), (yxf x), (yxf y).
2-tartibli qisman hosilalarga 1-tartibli qisman hosilalarning qisman hosilalari deyiladi. Ikki o'zgaruvchining z \u003d f (x, y) funktsiyasi uchun 2-tartibdagi to'rtta qisman hosilalarni topish mumkin, ular quyidagi mod bilan belgilanadi:
Umumiy holatda aralash qisman hosilalar mos kelmasligi mumkin, lekin ular uchun quyidagi teorema to'g'ri keladi: Teorema. Agar aralash qisman hosilalar va M (x, y) nuqtada uzluksiz bo'lsa, ular teng bo'ladi, ya'ni xyfyxf), (yxfyxf yxxy).
n-tartibning qisman hosilalari (n-1)-tartibdagi qisman hosilalarning qisman hosilalaridir. Ular belgilanadi va hokazo 221 , yx z x z n n n.
Misol. Funksiyaning 2-tartibli qisman hosilalarini toping)1 sin(23 xyyxz
Yechim. ketma-ket toping); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx
); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx
)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx
z = f(x, y) funksiyani ko‘rib chiqaylik. X argumentiga D x argumentini, y argumentiga D y ortishini beraylik. Keyin z z funksiyasining umumiy o'sish deb ataladigan o'sish qismini oladi.), (yxfyyxxfz
M(x, y) nuqtadagi f(x, y) uzluksiz qisman hosilalarga ega deb faraz qilaylik.
Ta'rif. z \u003d f (x, y) funktsiyasining 1-tartibli differentsiali D x va D y ga nisbatan chiziqli, dz yoki df belgisi bilan belgilanadigan ushbu funktsiyaning D z umumiy o'sishining asosiy qismidir va hisoblanadi yyzxxz zd formulasi bo'yicha
Mustaqil o'zgaruvchilarning differensiallari ularning o'sishiga to'g'ri kelganligi sababli, ya'ni dx = D x, dy = D y, bu formulani quyidagicha yozish mumkin: dy y z dx x z zd.
Ikki o'zgaruvchili f (x, y) funksiyaning (x 0, y 0) nuqtadagi to'liq differentsialining geometrik ma'nosi o'tish paytida teginish tekisligining ilovasi (z-koordinatasi)ning sirtga o'sishidir. (x 0, y 0) nuqtadan (x 0 + x, y 0 + y) nuqtaga.
Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsialining geometrik ma'nosi fazoviy analogdir geometrik ma'no bir o'zgaruvchining funksiyasining differentsial.
z \u003d f (x, y) funksiyaning 2-tartibli differensiali uning 1-tartibli differentsialining differensialidir va belgilanadi) (zzddd
Agar z \u003d f (x, y) funktsiyasining 2-tartibdagi barcha qisman hosilalari uzluksiz bo'lsa, u holda formula sodir bo'ladi: 2 2 2 y y y z yx yx z x x z zddddd
Misol. y x yz 2 x funksiyaning 1 va 2 tartibli differentsiallarini toping
Yechim. 1 va 2 tartibli qisman hosilalarni toping: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z
; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy
Shuning uchun 1 va 2 tartibli differensiallar quyidagicha yoziladi: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd.
f(x, y) funksiya (x, y) nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keling, topamiz to'liq o'sish bu funksiya :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (
Agar bu formulaga ifodani almashtirsak, taxminiy formulaga ega bo‘lamiz: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (
Misol. Funksiyaning x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y lndagi qiymatiga qarab taxminiy qiymatni hisoblang.
Yechim. Berilgan ifodadan biz x \u003d 1, 04 - 1 \u003d 0,04, y \u003d 1,99 - 2 \u003d -0,01, z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02 ni aniqlaymiz. Funktsiyaning x, qiymatini toping. y, z) = 11 ln
Qisman hosilalarni toping: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y.
u funksiyaning to‘liq differentsiali: 2 1 ln 2 1 zx z z u y.
05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu
Bu ifodaning aniq qiymati: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu
M 0 nuqtasida sirtga teguvchi tekislik bu nuqta orqali sirtga chizilgan egri chiziqlarga barcha teginishlarni o'z ichiga olgan tekislikdir.
M 0 nuqtadagi sirtning normali shu nuqtadan o'tuvchi va berilgan nuqtada chizilgan tangens tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqdir.
Agar sirt F (x, y, z) \u003d 0 tenglamasi bilan berilgan bo'lsa, u holda M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadagi tangens tekisligining tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 0)) ( (00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx
M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtada sirtga chizilgan normalning tenglamalari quyidagicha yoziladi:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx.
Agar sirt z \u003d f (x, y) tenglamasi bilan berilgan bo'lsa, u holda M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadagi tangens tekislik tenglamasi :)) (, (000) ko'rinishga ega bo'ladi. 0000 yyyxf xxyxfzz yx
va normal tenglamalar quyidagicha yoziladi: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx.
Misol. M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtada teginish tekisligi va sirt normalining tenglamalarini tuzing, agar 01332 22 yzxzxyyx. 1, 200yx
Yechim. Sirt tenglamasiga x 0 va y 0 ni qo‘yib, z 0 qiymatini topamiz: bu yerdan z 0 = 1 ni topamiz. Shuning uchun M 0 (2, - 1, 1) kontakt nuqtasidir. 01)1(32)1(23)1(2400 2zz
Muammoning shartiga ko'ra, sirt bilvosita beriladi. M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx) nuqtadagi qisman hosilalarni belgilang va toping.
, 32 zix. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z
Biz qisman hosilalarning topilgan qiymatlarini tangens tekislik tenglamasiga almashtiramiz 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx.
Oddiy tenglamalar 1 1 5 1 2 2 zyx ko'rinishga ega
Ta'rif. z = f (x , y) funksiya M 0 (x 0, y 0) nuqtada maksimalga ega bo‘ladi, agar shu nuqtaning shunday qo‘shnisi bo‘lsa, bu qo‘shnilikdan har qanday M (x , y) nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. ), (00 yxfyxf
Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasi tushunchasi
n-o'zgaruvchilar bo'lsin va ma'lum bir x to'plamdagi har bir x 1, x 2 ... x n ga ta'rif beriladi. Z raqami, keyin x to'plamida ko'p o'zgaruvchilarning Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) funktsiyasi berilgan.
X - belgilangan funktsiyalar maydoni
x 1, x 2 ... x n - mustaqil o'zgaruvchi (argumentlar)
Z - funksiya Misol: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (silindr hajmi)
Z \u003d f (x; y) ni ko'rib chiqing - 2 ta o'zgaruvchining f-tion x (x 1, x 2 o'rniga x, y). Natijalar analogiya bo'yicha ko'plab o'zgaruvchilarning boshqa funktsiyalariga o'tkaziladi. 2 o'zgaruvchining funktsiyasini aniqlash maydoni kvadratning butun shnuri (ooh) yoki uning bir qismidir. Mn-2 o'zgaruvchining th funksiyasi qiymatida - 3 o'lchovli fazodagi sirt.
Grafiklarni qurish texnikasi: - Kvadrat yuzasi ustidagi Rassm-t kesma || koordinatali kvadratlar.
Misol: x \u003d x 0, zn. kvadrat X || 0yz y \u003d y 0 0xz Funktsiya turi: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Masalan: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Parabola doirasi(markazi(0;1)
Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning chegaralari va uzluksizligi
Z = f (x; y) berilgan bo'lsin, u holda A f-tsionning m dagi chegarasi (x 0, y 0), agar har qanday ixtiyoriy kichik qo'yish uchun. soni E>0 ot-t musbat son b>0, bu barcha x,y uchun qanoatlantiruvchi |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) t.da uzluksiz (x 0, y 0), agar: - bu t.da aniqlangan; - chegarasi bor x da chegara, x 0 ga va y dan y 0 ga moyil; - bu chegara = qiymat t.dagi funksiyalar (x 0, y 0), ya'ni. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Funktsiya har birida uzluksiz bo'lsa. t.mn-va X, keyin bu sohada uzluksiz Differensial funksiya, uning geomanosi. Taxminiy qiymatlarda dif-la dan foydalanish. dy=f’(x)∆x – differentsial funksiya dy=dx, ya'ni. dy=f '(x)dx, agar y=x bo'lsa Geolog nuqtai nazaridan funksiya differensiali funksiya grafigiga abtsissa x 0 bo‘lgan nuqtada chizilgan tangens ordinatasidagi o‘sishdir. Dif-l taxminan hisoblashda ishlatiladi. formula bo'yicha funktsiya qiymatlari: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f'(x 0)∆x ∆x x ga qanchalik yaqin bo'lsa, natija shunchalik aniq bo'ladi. Birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalar Birinchi tartibli hosila (bu xususiy deb ataladi) O. X va y mustaqil oʻzgaruvchilarning X mintaqasining qaysidir nuqtasida oʻsishlari x, y boʻlsin. U holda z = f(x + x, y + y) = f(x, y) ga teng qiymat deyiladi. x 0 nuqtadagi umumiy o'sish, y 0. Agar x o'zgaruvchisi o'zgarmas bo'lsa va y o'zgaruvchisi y ga oshirilsa, u holda zu = f(x, y, + y) – f(x, y) ni olamiz. y o'zgaruvchining qisman hosilasi xuddi shunday aniqlanadi, ya'ni. 2 o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasi bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan bir xil qoidalarga muvofiq topiladi. Farqi shundaki, funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan differensiallashda y const, y ga nisbatan differensiallashda esa x const hisoblanadi. Izolyatsiya qilingan konstlar qo'shish/ayirish amallari bilan funksiyaga bog'langan. Bog'langan konstlar funktsiyaga ko'paytirish/bo'lish amallari bilan bog'langan. Izolyatsiya qilingan const = 0 hosilasi 1.4.2 o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsiali va uning qo'llanilishi
U holda z = f(x,y) bo‘lsin tz = 2-tartibning qisman hosilasi 2 o'zgaruvchining uzluksiz funktsiyalari uchun 2-tartibdagi aralash qisman hosilalar va mos keladi. Maks va min funksiyalarning qisman hosilalarini aniqlash uchun qisman hosilalardan foydalanish ekstremama deyiladi. A. Nuqtalar max yoki min z = f(x,y) deyiladi, agar shunday segmentlar mavjudki, shunday segmentlar mavjudki, bu qo'shnilikdagi barcha x va y uchun f(x,y) T. Agar 2 oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum nuqtasi berilgan boʻlsa, bu nuqtadagi qisman hosilalarning qiymati 0 ga teng, yaʼni. , Birinchi tartibli qisman hosilalar statsionar yoki kritik deb ataladi. Shuning uchun 2 o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun etarli ekstremum shartlar qo'llaniladi. z = f(x,y) funksiya ikki marta differentsiallansin va statsionar nuqta, 1) , va maxA<0, minA>0. 1.4.(*)to'liq differentsial. Differensialning geometrik ma'nosi. Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash
O. y = f(x) funksiya nuqtalarda qandaydir qo'shnilikda aniqlansin. f(x) funksiya nuqtadagi differensiallanuvchi deyiladi, agar uning shu nuqtadagi o'sishi Bu yerda A ga bog'liq bo'lmagan doimiy qiymat, sobit x nuqtada, - da cheksiz kichik. Nisbatan chiziqli A funksiya f(x) funksiyaning nuqtadagi differensiali deyiladi va df() yoki dy bilan belgilanadi. Shunday qilib, (1) ifodani shunday yozish mumkin (1) ifodadagi funktsiya differentsial dy = A ko'rinishga ega. Har qanday chiziqli funktsiya singari, u har qanday qiymat uchun aniqlanadi Differensialni belgilash qulayligi uchun o'sish dx bilan belgilanadi va mustaqil x o'zgaruvchining differensiali deb ataladi. Shuning uchun differentsial dy = Adx shaklida yoziladi. Agar f(x) funksiya qaysidir oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, uning differentsiali ikki o‘zgaruvchining – x nuqta va dx o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi: T. y = g(x) funksiya qaysidir nuqtada differensiallanuvchi boʻlishi uchun uning shu nuqtada hosilasi boʻlishi zarur va yetarlidir. (*) Isbot. Kerak. f(x) funksiya nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lsin, ya’ni, Demak, f'() hosilasi mavjud va A ga teng. Demak, dy = f'()dx Adekvatlik. f'() hosilasi bo'lsin, ya'ni. = f'(). U holda y = f(x) egri chiziq tangens segmentdir. Funksiyaning x nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uning ba’zi qo‘shnisidagi nuqtani oling, shunda f() va f’()/ ni topish qiyin bo‘lmaydi.
- to'liq o'sish deyiladi
, bu erda (1) shaklda ifodalangan
().
funktsiyaning o'sishini faqat f(x) funksiya sohasiga + tegishli bo'lganlar uchun hisobga olish kerak.. Keyin