Funcţie y = f(x) se numește crescător (descrescător) pe interval (a,b), dacă valoarea mai mare a argumentului din acest interval corespunde valorii mai mari (mai mici) a funcției.

Lasă și .

Apoi funcția crește intre X, dacă (înregistrați pe ( a,b)) și in scadere, dacă (înregistrați pe ( a,b)) (vezi Fig. 1).

Înregistrarea și

Funcțiile care cresc și descresc sunt numite monoton. Funcțiile monotone includ, de asemenea, funcții nedescrescătoare și necrescătoare.

Caracteristici limitate.

Funcția este numită limitat intre (a,b) dacă așa că

În caz contrar, funcția se numește nemărginită.

Funcția periodică.

Funcția este numită periodic cu punct, dacă este adevărat.

Principalele moduri de precizare a funcţiilor sunt date: analitice explicite; interval; parametrice; implicit; definirea unei funcții folosind o serie; tabular; grafic. Exemple de aplicare a acestor metode

Vezi si: Definirea functiei

Există următoarele moduri de a defini funcția y = f (X):

1. O metodă analitică explicită folosind o formulă de forma y = f (X).
2. Interval.
3. Parametric: x = x (t), y = y(t).
4. Implicit, ca soluție a ecuației F (x, y) = 0.
5. Sub forma unei serii compuse din functii cunoscute.
6. Tabular.
7. Grafic.

Mod analitic explicit de definire a unei funcții

La mod explicit, valoarea funcției este determinată de formula, care este ecuația y = f (X). În partea stângă a acestei ecuații se află variabila dependentă y, iar în partea dreaptă este o expresie compusă din variabila independentă x, constantă, funcții cunoscute și operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Funcțiile cunoscute sunt funcții elementare și funcții speciale, ale căror valori pot fi calculate folosind tehnologia computerizată.

Iată câteva exemple de definire explicită a unei funcții cu o variabilă independentă x și o variabilă dependentă y:
;
;
.

Mod interval de definire a unei funcții

La metoda intervalului de setare a unei funcții, domeniul de definiție este împărțit în mai multe intervale, iar funcția este specificată separat pentru fiecare interval.

Iată câteva exemple de modul în care se definește o funcție pe intervale:

Mod parametric de definire a unei funcții

La metoda parametrica, este introdusă o nouă variabilă, care se numește parametru. În continuare, valorile x și y sunt setate ca funcții ale parametrului, folosind modul explicit de setare:
(1)

Iată exemple de modalitate parametrică de definire a unei funcții folosind parametrul t:

Avantajul metodei parametrice este că aceeași funcție poate fi definită într-un număr infinit de moduri. De exemplu, o funcție poate fi definită astfel:

Și este posibil așa:

O astfel de libertate de alegere, în unele cazuri, vă permite să aplicați această metodă pentru a rezolva ecuații (vezi „Ecuații diferențiale care nu conțin una dintre variabile”). Esența aplicației este că înlocuim două funcții și în loc de variabilele x și y în ecuație. Apoi o setăm pe una dintre ele la discreția noastră, astfel încât celălalt să poată fi determinat din ecuația rezultată.

De asemenea, această metodă este folosită pentru a simplifica calculele. De exemplu, dependența coordonatelor punctelor unei elipse cu semiaxele a și b poate fi reprezentată după cum urmează:
.
Într-o formă parametrică, această dependență poate primi o formă mai simplă:
.

Ecuațiile (1) nu sunt singura modalitate de a defini parametric o funcție. Puteți introduce nu unul, ci mai mulți parametri legându-i cu ecuații suplimentare. De exemplu, puteți introduce doi parametri și . Apoi, definiția funcției va arăta astfel:

Aici vine o ecuație suplimentară care leagă parametrii. Dacă numărul de parametri este n, atunci trebuie să existe n - 1 ecuații suplimentare.

Un exemplu de utilizare a mai multor parametri este prezentat pe pagina Ecuație diferențială Jacobi. Acolo se caută soluția sub următoarea formă:
(2) .
Rezultatul este un sistem de ecuații. Pentru a o rezolva, se introduce un al patrulea parametru t. După rezolvarea sistemului se obțin trei ecuații care leagă patru parametri și .

Mod implicit de a defini o funcție

La mod implicit, valoarea funcției se determină din soluția ecuației .

De exemplu, ecuația pentru o elipsă este:
(3) .
Aceasta este o ecuație simplă. Dacă luăm în considerare doar partea superioară a elipsei, , atunci putem exprima variabila y în funcție de x într-un mod explicit:
(4) .
Dar chiar dacă este posibil să se reducă (3) la un mod explicit de specificare a funcției (4), ultima formulă nu este întotdeauna convenabilă de utilizat. De exemplu, pentru a găsi derivata , este convenabil să diferențiem ecuația (3) mai degrabă decât (4):
;
.

Setarea unei funcții în apropiere

O modalitate extrem de importantă de a defini o funcție este să reprezentare pe rând compus din functii cunoscute. Această metodă vă permite să explorați funcția prin metode matematice și să calculați valorile acesteia pentru problemele aplicate.

Cea mai comună reprezentare este definirea unei funcții folosind o serie de puteri. Acesta folosește o serie de funcții:
.
Se folosește și o serie cu exponenți negativi:
.
De exemplu, funcția sinus are următoarea expansiune:
(5) .
Astfel de extinderi sunt utilizate pe scară largă în tehnologia computerelor, deoarece permit reducerea calculelor la operații aritmetice.

Ca o ilustrare, să calculăm valoarea sinusului de 30° folosind expansiunea (5).
Convertiți grade în radiani:
.
Înlocuitor în (5):



.

În matematică, împreună cu seriile de putere, extinderile în serii trigonometrice în funcții și , precum și în alte funcții speciale, sunt utilizate pe scară largă. Cu ajutorul seriei se pot face calcule aproximative de integrale, ecuații (diferențiale, integrale, în derivate parțiale) și se pot investiga soluțiile acestora.

Mod tabelar de definire a unei funcții

La mod tabelar de setare a unei funcții avem un tabel care conține valorile variabilei independente x și valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. Variabilele independente și dependente pot avea denumiri diferite, dar aici folosim x și y. Pentru a determina valoarea unei funcții pentru o valoare dată a lui x, folosim tabelul pentru a găsi valoarea lui x care este cea mai apropiată de a noastră. După aceea, determinăm valoarea corespunzătoare a variabilei dependente y .

Pentru o definiție mai precisă a valorii funcției, considerăm că funcția dintre două valori adiacente ale lui x este liniară, adică are următoarea formă:
.
Iată valorile funcției găsite din tabel, cu valorile corespunzătoare ale argumentelor.
Să luăm în considerare un exemplu. Trebuie să găsim valoarea funcției la . Din tabel găsim:
.
Apoi

.
Valoare exacta:
.
Din acest exemplu, se poate observa că utilizarea aproximării liniare a condus la o creștere a preciziei în determinarea valorii funcției.

Metoda tabelară este folosită în științele aplicate. Înainte de dezvoltarea tehnologiei informatice, aceasta a fost utilizată pe scară largă în inginerie și alte calcule. Acum metoda tabulară este folosită în statistică și științe experimentale pentru a colecta și analiza date experimentale.

Mod grafic de a defini o funcție

La mod grafic, valoarea funcției este determinată din grafic, de-a lungul axei de abscisă a căreia sunt reprezentate valorile variabilei independente, iar de-a lungul axei ordonatelor - variabila dependentă.

Metoda grafică oferă o reprezentare vizuală a comportamentului funcției. Rezultatele studiului unei funcții sunt adesea ilustrate de graficul acesteia. Din grafic, puteți determina valoarea aproximativă a funcției. Acest lucru vă permite să utilizați metoda grafică în calcule aplicate și de inginerie.

Una dintre definițiile clasice ale conceptului de „funcție” sunt definițiile bazate pe corespondențe. Vă prezentăm o serie de astfel de definiții.

Definiția 1

Se numește o relație în care fiecare valoare a variabilei independente corespunde unei singure valori a variabilei dependente funcţie.

Definiția 2

Să fie date două seturi nevide $X$ și $Y$. Se numește o potrivire $f$ care se mapează la fiecare $x\în X$ unul și numai unul $y\în Y$ funcţie($f:X → Y$).

Definiția 3

Fie $M$ și $N$ două seturi numerice arbitrare. Se spune că o funcție $f$ este definită pe $M$, luând valori de la $N$ dacă fiecare element al lui $x\în X$ este asociat cu unul și doar un element din $N$.

Următoarea definiție este dată prin conceptul de variabilă. O variabilă este o mărime care în acest studiu ia diverse valori numerice.

Definiția 4

Fie $M$ setul de valori ale variabilei $x$. Atunci, dacă fiecare valoare $x\în M$ corespunde unei valori definite a altei variabile $y$ este o funcție a valorii $x$ definită pe mulțimea $M$.

Definiția 5

Fie $X$ și $Y$ niște seturi de numere. O funcție este o mulțime $f$ de perechi ordonate de numere $(x,\ y)$ astfel încât $x\în X$, $y\în Y$ și fiecare $x$ aparține uneia și numai uneia dintre aceste perechi. set, iar fiecare $y$ este în cel puțin o pereche de .

Definiția 6

Orice set $f=\(\left(x,\y\right)\)$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)$ astfel încât pentru orice perechi $\left(x",\y" \right)\în f$ și $\left(x"",\ y""\right)\în f$ rezultă din condiția $y"≠ y""$ că $x"≠x""$ este numită funcție sau afișaj.

Definiția 7

O funcție $f:X → Y$ este o mulțime $f$ de perechi ordonate $\left(x,\ y\right)\în X\time Y$ astfel încât pentru orice element $x\în X$ există o element unic $y\in Y$ astfel încât $\left(x,\y\right)\in f$, adică funcția este un tuplu de obiecte $\left(f,\X,\Y\right) $.

În aceste definiţii

$x$ este o variabilă independentă.

$y$ este variabila dependentă.

Toate valorile posibile ale variabilei $x$ sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei $y$ sunt numite domeniul funcției.

Mod analitic de definire a unei funcții

Pentru această metodă, avem nevoie de conceptul de expresie analitică.

Definiția 8

O expresie analitică este produsul tuturor operațiilor matematice posibile asupra oricăror numere și variabile.

Modul analitic de setare a unei funcții este setarea acesteia folosind o expresie analitică.

Exemplul 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Pro:

1. Cu formule, putem determina valoarea unei funcții pentru orice valoare dată a variabilei $x$;
2. Funcțiile astfel definite pot fi studiate folosind aparatul de analiză matematică.

Minusuri:

1. Vizibilitate redusă.
2. Uneori trebuie să efectuați calcule foarte greoaie.

Mod tabelar de definire a unei funcții

Acest mod de setare este că pentru mai multe valori ale variabilei independente, valorile variabilei dependente sunt scrise. Toate acestea sunt introduse în tabel.

Exemplul 2

Poza 1.

La care se adauga: Pentru orice valoare a variabilei independente $x$ care este introdusă în tabel, valoarea corespunzătoare a funcției $y$ este imediat recunoscută.

Minusuri:

1. De cele mai multe ori, nu există o specificație completă a funcției;
2. Vizibilitate redusă.

Ce înseamnă cuvintele „setare funcție”? Ele înseamnă: a explica tuturor, despre ce functie specifica vorbeste. Mai mult, explicați clar și fără ambiguitate!

Cum pot face acest lucru? Cum setați o funcție?

Puteți scrie o formulă. Puteți desena un grafic. Puteți face o masă. Oricum este o regulă prin care poți afla valoarea jucătorului pentru valoarea x pe care am ales-o. Acestea. "setare functie", aceasta înseamnă - a arăta legea, regula conform căreia x se transformă într-un y.

De obicei, într-o varietate de sarcini există gata funcții. Ei ne dau deja setat. Decideți singuri, dar decideți.) Dar... Cel mai adesea, școlarii (și elevii) lucrează cu formule. Se obișnuiesc, înțelegi... Se obișnuiesc atât de mult încât orice întrebare elementară legată de un alt mod de a specifica o funcție supără imediat o persoană...)

Pentru a evita astfel de cazuri, este logic să înțelegem diferitele moduri de definire a funcțiilor. Și, bineînțeles, aplicați aceste cunoștințe la întrebări „delicate”. Este destul de simplu. Dacă știi ce este o funcție...)

Merge?)

Mod analitic de definire a unei funcții.

Cel mai versatil și mai puternic mod. Funcție definită analitic, aceasta este funcția care este dată formule. De fapt, aceasta este întreaga explicație.) Funcții familiare tuturor (vreau să cred!)), de exemplu: y=2x sau y=x2 etc. etc. sunt date analitic.

Apropo, nu orice formulă poate defini o funcție. Nu orice formulă urmează condiția strictă a definiției funcției. Și anume - pentru fiecare x nu poate exista decât unu joc. De exemplu, în formula y = ±x, pentru unu valorile x=2, se dovedește Două valori y: +2 și -2. Este imposibil să definiți o funcție cu o singură valoare cu această formulă. Și cu funcții multivalorice din această secțiune a matematicii, în analiza matematică, ele nu funcționează, de regulă.

De ce este bun modul analitic de a defini o funcție? Faptul că dacă ai o formulă - știi despre funcție toate! Puteți face o masă. Construiți un grafic. Explorați această funcție în întregime. Preziceți exact unde și cum se va comporta această funcție. Toată analiza matematică se bazează pe această metodă de definire a funcțiilor. Să spunem că este extrem de dificil să iei derivatul unui tabel...)

Metoda analitică este destul de familiară și nu creează probleme. Cu excepția, poate, a unor varietăți ale acestei metode pe care le întâlnesc elevii. Vorbesc despre atribuirea parametrică și implicită a funcțiilor.) Dar astfel de funcții sunt într-o lecție specială.

Să trecem la moduri mai puțin familiare de a defini o funcție.

Mod tabelar de definire a unei funcții.

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. În acest tabel, fiecare x corespunde cu ( este aliniat) o anumită valoare a jucătorului. Prima linie conține valorile argumentului. A doua linie conține valorile funcției corespunzătoare, de exemplu:

Tabelul 1.

Vă rugam să acordați atentie! În acest exemplu, y depinde de x în orice caz. Am venit cu asta intenționat.) Nu există niciun model. E în regulă, se întâmplă. Mijloace, exact Am setat această funcție specială. Exact Am stabilit o regulă prin care x se transformă într-un y.

Poate fi compilat o alta o farfurie cu model. Această farfurie se va întări o alta functie, de exemplu:

Masa 2.

Ai prins modelul? Aici, toate valorile lui y sunt obținute prin înmulțirea x cu doi. Iată prima întrebare „delicată”: funcția specificată folosind Tabelul 2 poate fi considerată o funcție y = 2x? Gândește-te puțin, răspunsul va fi mai jos, într-un mod grafic. E foarte clar acolo.)

Ce este bun mod tabelar de a seta o funcție? Da, nu trebuie să numeri nimic. Totul a fost deja calculat și scris în tabel.) Și nu este nimic mai bun. Nu știm valoarea funcției pentru x, care nu sunt în tabel.În această metodă, astfel de valori x sunt pur și simplu nu exista. Apropo, acesta este un indiciu pentru întrebarea dificilă.) Nu putem afla cum se comportă funcția în afara tabelului. Nu putem face nimic. Da, iar vizibilitatea în această metodă lasă de dorit... Pentru claritate, o metodă grafică este bună.

Mod grafic de a defini o funcție.

În această metodă, funcția este reprezentată printr-un grafic. Argumentul (x) este reprezentat de-a lungul abscisei, iar valoarea funcției (y) este reprezentată de-a lungul ordonatei. După program, puteți alege și oricare Xși găsiți valoarea corespunzătoare la. Programul poate fi oricare, dar... nu oricare.) Lucrăm doar cu funcții cu o singură valoare. Definiția unei astfel de funcții spune clar: fiecare X este aliniat singurul la. unu unul, nu doi sau trei... De exemplu, să ne uităm la graficul cercului:

Un cerc este ca un cerc... De ce nu ar trebui să fie un grafic al unei funcții? Și să aflăm care y va corespunde valorii lui x, de exemplu, 6? Mutăm cursorul peste diagramă (sau atingem poza de pe tabletă) și... vedem că acest X îi corespunde Două valorile jucatorului: y=2 și y=6.

Doi și șase! Prin urmare, un astfel de grafic nu va fi o atribuire grafică a unei funcții. Pe unu x a luat în considerare Două joc. Acest grafic nu corespunde definiției funcției.

Dar dacă condiția de unicitate este îndeplinită, graficul poate fi absolut orice. De exemplu:

Aceasta chiar krivulina - și există o lege prin care puteți traduce x într-un y. Fără ambiguitate. Am dori să știm valoarea funcției pt x = 4, De exemplu. Trebuie să găsim cele patru pe axa x și să vedem care y corespunde acestui x. Treceți mouse-ul peste figură și vedeți că valoarea funcției la pentru x=4 este egal cu cinci. Nu știm prin ce formulă este dată o astfel de transformare a lui X în Y. Nu e nevoie. Totul este stabilit de program.

Acum putem reveni la întrebarea „delicată” despre y=2x. Să diagramăm această funcție. Iată-l:

Desigur, la desenarea acestui grafic, nu am luat un număr infinit de valori X. Am luat mai multe valori, numărate y, a făcut o farfurie - și gata! Cei mai alfabetizați au luat în general doar două valori ale lui X! Și pe bună dreptate. Pentru o linie dreaptă, nu ai nevoie de mai mult. De ce muncă suplimentară?

Dar noi știa exact ce poate fi x oricine.Întregul, fracționat, negativ... Oricare. Aceasta este conform formulei y=2x este văzut. Prin urmare, am conectat cu îndrăzneală punctele din grafic cu o linie continuă.

Dacă funcția ne este dată de Tabelul 2, atunci va trebui să luăm valorile x numai de la masă. Căci alte X (și Y) nu ne sunt date și nu există unde să le luăm. Nu există, aceste valori, în această funcție. Programul se va dovedi din puncte.Îndreptăm mouse-ul spre imagine și vedem graficul funcției din tabelul 2. Nu am scris valorile x-y pe axe, vă veți da seama, mergeți, după celule?)

Iată răspunsul la întrebarea dificilă. Funcția dată de Tabelul 2 și funcție y=2x - variat.

Metoda grafică este bună pentru claritatea ei. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția acolo unde crește. unde scade. Din grafic, puteți afla imediat câteva caracteristici importante ale funcției. Și în subiectul cu derivatul, sarcini cu grafice - tot timpul!

În general, modurile analitice și grafice de definire a unei funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Și graficul sugerează adesea soluții pe care nu le vei observa în formulă... Vom fi prieteni cu graficele.)

Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție pe care tocmai le-am acoperit. Dar la întrebarea: „Și al patrulea!?” - îngheață bine.)

Există o astfel de cale.

Descrierea verbală a funcției.

Da Da! O funcție poate fi definită fără ambiguitate în cuvinte. Marea și puternica limbă rusă este capabilă de multe!) De exemplu, funcția y=2x i se poate da următoarea descriere verbală: fiecărei valori reale a argumentului x i se atribuie valoarea sa dublată. Ca aceasta! Regula este stabilită, funcția este stabilită.

Mai mult, este posibilă precizarea verbală a unei funcții, ceea ce este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de precizat printr-o formulă. De exemplu: fiecărei valori a argumentului natural x i se atribuie suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, apoi y=3.În cazul în care un x=257, apoi y=2+5+7=14. etc. Este dificil să notezi asta într-o formulă. Dar masa este ușor de făcut. Și construiește o diagramă. Apropo, programul se dovedește a fi amuzant...) Încearcă.

Metoda descrierii verbale este o metodă destul de exotică. Dar uneori se întâmplă. Aici l-am adus pentru a vă oferi încredere în situații neașteptate și nestandardizate. Trebuie doar să înțelegi sensul cuvintelor "set de funcții..." Iată sensul:

Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între Xși laînseamnă că există o funcție. Ce lege, sub ce formă este exprimată - printr-o formulă, o tabletă, un grafic, cuvinte, cântece, dansuri - nu schimbă esența materiei. Această lege vă permite să determinați valoarea corespunzătoare a lui y cu valoarea lui x. Tot.

Acum vom aplica aceste cunoștințe profunde unor sarcini non-standard.) După cum am promis la începutul lecției.

Exercitiul 1:

Funcția y = f(x) este dată în tabelul 1:

Tabelul 1.

Aflați valoarea funcției p(4) dacă p(x)= f(x) - g(x)

Dacă nu vă puteți da seama ce este deloc - citiți lecția anterioară „Ce este o funcție?” Acolo, este scris foarte clar despre astfel de litere și paranteze.) Și dacă doar forma tabelară vă încurcă, atunci o vom înțelege aici.

Este clar din lecția anterioară că dacă, p(x) = f(x) - g(x), apoi p(4) = f(4) - g(4). Scrisori fși gînseamnă regulile conform cărora fiecărui X i se atribuie propriul Y. Pentru fiecare literă ( fși g) - proprii regulă. Care este dat de tabelul corespunzător.

Valoarea funcției f(4) determinată din Tabelul 1. Aceasta va fi 5. Valoarea funcției g(4) determinat de Tabelul 2. Acesta va fi 8. Cel mai dificil rămâne.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Acesta este răspunsul corect.

Rezolvați inegalitatea f(x) > 2

Asta e! Este necesar să se rezolve inegalitatea, care (în forma obișnuită) este genial absentă! Rămâne fie să renunți la sarcină, fie să întorci capul. O alegem pe a doua și ne certăm.)

Ce înseamnă să rezolvi o inegalitate? Aceasta înseamnă să găsim toate valorile lui x pentru care este îndeplinită condiția dată nouă f(x) > 2. Acestea. toate valorile funcției ( la) trebuie să fie mai mare de două. Și avem fiecare y pe diagramă... Și sunt mai mult de doi, și mai puțin... Și haideți, pentru claritate, să trasăm o linie pe acești doi! Mutăm cursorul peste imagine și vedem acest chenar.

Strict vorbind, această limită este graficul funcției y=2, dar nu asta e ideea. Este important ca acum pe grafic să fie foarte clar vizibil unde, la ce x, valorile funcției, de ex. y, mai mult de doi. Ele sunt mai multe X > 3. La X > 3 întreaga noastră funcție trece superior frontiere y=2. Asta e toata solutia. Dar este încă prea devreme să-ți închizi capul!) Încă trebuie să scriem răspunsul...

Graficul arată că funcția noastră nu se extinde la stânga și la dreapta la infinit. Punctele de la sfârșitul graficului vorbesc despre acest lucru. Funcția se termină acolo. Prin urmare, în inegalitatea noastră, toate x-urile care depășesc limitele funcției nu au sens. Pentru funcția acestor x-uri nu exista.Și noi, de fapt, rezolvăm inegalitatea pentru funcția ...

Raspunsul corect ar fi:

3 < X ≤ 6

Sau, sub altă formă:

X ∈ (3; 6]

Acum totul este așa cum ar trebui să fie. Triplul nu este inclus în răspuns, pentru că inegalitatea originală este strictă. Și cei șase se aprind, pentru că iar funcția la șase există, iar condiția de inegalitate este îndeplinită. Am rezolvat cu succes o inegalitate care (în forma ei obișnuită) nu există...

Acesta este modul în care unele cunoștințe și logica elementară salvează în cazuri non-standard.)