M-am uitat din nou la farfurie... Și, să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Așteptaţi un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? La fel! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet independent:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Amintiți-vă că formula vedere generala arata asa:

Și asta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la exemple:

Asta e toată știința. Și iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă expresia arată astfel:

Trebuie doar să aplicați formula invers:

Și iată un exemplu:

Puteți vedea și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini într-o anumită măsură.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

Totul este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Respectați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni extrem de clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extragi rădăcina dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvă propriile exemple:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcinii

Ceea ce pur și simplu nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este destul de ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem intra decât sub semnul rădăcinii pătrate numere pozitive.

Încercați acest exemplu pentru dvs.:
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci un număr sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - luați în considerare cum să comparați numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparație rădăcină

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta e!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină?

Apoi înainte:

Ei bine, evident ce mai mult număr sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. dacă înseamnă .

De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne speriam, actionam! Descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Și acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, ai dreptate!

Acum încearcă acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, suntem în dinți.

Ei bine, să începem factorizarea, nu? Imediat, observăm că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, ai dreptate!

Rezumând

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ se numește astfel număr nenegativ, al cărui pătrat este .
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. La comparare rădăcini pătrate trebuie amintit că cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes la examene!

În această secțiune, vom lua în considerare rădăcinile pătrate aritmetice.

În cazul unei expresii radicale literale, vom presupune că literele conținute sub semnul rădăcinii denotă numere nenegative.

1. Rădăcina lucrării.

Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Pe de altă parte, rețineți că numărul 2601 este produsul a doi factori, din care rădăcina este ușor de extras:

Luați rădăcina pătrată a fiecărui factor și înmulțiți aceste rădăcini:

Am obținut aceleași rezultate când am luat rădăcina din produsul de sub rădăcină și când am luat rădăcina de la fiecare factor separat și am înmulțit rezultatele.

În multe cazuri, a doua modalitate de a găsi rezultatul este mai ușoară, deoarece trebuie să luați rădăcina numerelor mai mici.

Teorema 1. Pentru a extrage rădăcina pătrată a produsului, o puteți extrage din fiecare factor separat și înmulți rezultatele.

Vom demonstra teorema pentru trei factori, adică vom demonstra validitatea egalității:

Vom efectua demonstrația prin verificare directă, pe baza definiției rădăcinii aritmetice. Să presupunem că trebuie să dovedim egalitatea:

(A și B sunt numere nenegative). Prin definiția rădăcinii pătrate, aceasta înseamnă că

Prin urmare, este suficient să pătrați latura dreaptă a egalității care se dovedește și să vă asigurați că se obține expresia rădăcină a părții stângi.

Să aplicăm acest raționament la demonstrația egalității (1). Să pătram partea dreaptă; dar produsul este pe partea dreaptă, iar pentru a pătra produsul este suficient să pătrați fiecare factor și să înmulțiți rezultatele (vezi § 40);

Sa dovedit o expresie radicală, stând pe partea stângă. Prin urmare, egalitatea (1) este adevărată.

Am demonstrat teorema pentru trei factori. Dar raționamentul va rămâne același dacă există 4 și așa mai departe factori sub rădăcină. Teorema este valabilă pentru orice număr de factori.

Rezultatul este ușor de găsit pe cale orală.

2. Rădăcina fracției.

Calcula

Examinare.

Pe de altă parte,

Să demonstrăm teorema.

Teorema 2. Pentru a extrage rădăcina unei fracții, puteți extrage rădăcina separat de numărător și numitor și împărțiți primul rezultat la al doilea.

Este necesar să se dovedească valabilitatea egalității:

Pentru demonstrație, aplicăm metoda în care a fost demonstrată teorema anterioară.

Să pătram partea dreaptă. Vom avea:

Avem expresia radicală în partea stângă. Prin urmare, egalitatea (2) este adevărată.

Deci am dovedit următoarele identități:

și a formulat regulile corespunzătoare pentru extragerea rădăcinii pătrate din produs și coeficient. Uneori, atunci când se efectuează transformări este necesar să se aplice aceste identități, citindu-le „de la dreapta la stânga”.

Rearanjand părțile stânga și dreaptă, rescriem identitățile dovedite după cum urmează:

Pentru a multiplica rădăcinile, puteți înmulți expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din produs.

Pentru a separa rădăcinile, puteți împărți expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din coeficient.

3. Rădăcina gradului.

Calcula

În acest articol, vom analiza principalele proprietățile rădăcinii. Să începem cu proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice, să dăm formulările lor și să dăm dovezi. După aceea, ne vom ocupa de proprietățile rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea.

Navigare în pagină.

Proprietățile rădăcinii pătrate

În această secțiune, ne vom ocupa de următoarele principale proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice:

În fiecare dintre egalitățile scrise, părțile din stânga și din dreapta pot fi schimbate, de exemplu, egalitatea poate fi rescrisă ca . În această formă „inversă”, proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice sunt aplicate atunci când simplificarea expresiilor la fel de des ca în forma „directă”.

Dovada primelor două proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate aritmetice și pe . Și pentru a justifica ultima proprietate a rădăcinii pătrate aritmetice, trebuie să vă amintiți.

Deci, să începem cu dovada proprietății rădăcinii pătrate aritmetice a produsului a două numere nenegative: . Pentru a face acest lucru, conform definiției rădăcinii pătrate aritmetice, este suficient să arătăm că este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a b . Hai să o facem. Valoarea expresiei este nenegativă ca produsul numerelor nenegative. Proprietatea gradului produsului a două numere ne permite să scriem egalitatea , și deoarece prin definiția rădăcinii pătrate aritmetice și , atunci .

În mod similar, se demonstrează că rădăcina pătrată aritmetică a produsului k factori nenegativi a 1 , a 2 , …, a k este egală cu produsul rădăcinilor pătrate aritmetice ale acestor factori. Într-adevăr, . Din această egalitate rezultă că .

Iată câteva exemple: și .

Acum să demonstrăm proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a unui coeficient: . proprietate privată în grad natural ne permite să scriem egalitatea , A , în timp ce există un număr nenegativ. Aceasta este dovada.

De exemplu, și .

Este timpul să dezasamblați proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a pătratului unui număr, sub formă de egalitate se scrie ca . Pentru a o demonstra, luăm în considerare două cazuri: pentru a≥0 și pentru a<0 .

Este evident că pentru a≥0 egalitatea este adevărată. De asemenea, este ușor de observat că pentru a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 și (−a) 2 =a 2 . În acest fel, , ceea ce urma să fie dovedit.

Aici sunt cateva exemple: și .

Proprietatea rădăcinii pătrate tocmai demonstrată ne permite să justificăm următorul rezultat, unde a este orice număr real și m este oricare. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m cu expresia (a m) 2 , atunci .

De exemplu, și .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Să enumeram mai întâi principalele proprietățile rădăcinilor a n-a:

Toate egalitățile scrise rămân valabile dacă părțile din stânga și din dreapta sunt schimbate în ele. În această formă, ele sunt, de asemenea, adesea folosite, în principal la simplificarea și transformarea expresiilor.

Dovada tuturor proprietăților vocale ale rădăcinii se bazează pe definirea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea, pe proprietățile gradului și pe definirea modulului numărului. Să le demonstrăm în ordinea priorităților.

Să începem cu dovada proprietățile rădăcinii a n-a a unui produs . Pentru a și b nenegative, valoarea expresiei este, de asemenea, nenegativă, la fel ca produsul numerelor nenegative. Proprietatea de produs a puterilor naturale ne permite să scriem egalitatea . Prin definiția rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și, prin urmare, . Aceasta dovedește proprietatea considerată a rădăcinii.

Această proprietate este demonstrată în mod similar pentru produsul k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , …, a n și .

Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcinii gradului al n-lea al produsului: și .

Să demonstrăm proprietatea rădăcină a coeficientului. Pentru a≥0 și b>0, condiția este îndeplinită și .

Să arătăm exemple: și .

Mergem mai departe. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii a n-a a unui număr la puterea lui n. Adică vom demonstra asta pentru orice a real și m natural . Pentru a≥0 avem și , care demonstrează egalitatea , și egalitatea evident. Pentru o<0 имеем и (ultima tranziție este valabilă datorită proprietății puterii cu exponent par), ceea ce demonstrează egalitatea , și este adevărat datorită faptului că atunci când vorbim despre rădăcina unui grad impar, am luat pentru orice număr nenegativ c .

Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcină analizată: și .

Se trece la demonstrarea proprietății rădăcinii de la rădăcină. Să schimbăm părțile din dreapta și din stânga, adică vom demonstra validitatea egalității, ceea ce va însemna valabilitatea egalității inițiale. Pentru un număr nenegativ a, rădăcina pătrată a formei este un număr nenegativ. Amintindu-ne de proprietatea de a ridica o putere la o putere și folosind definiția rădăcinii, putem scrie un lanț de egalități de forma . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Proprietatea unei rădăcini dintr-o rădăcină dintr-o rădăcină este dovedită în mod similar și așa mai departe. Într-adevăr, .

De exemplu, și .

Să demonstrăm următoarele proprietatea de reducere a exponentului rădăcină. Pentru a face acest lucru, în virtutea definiției rădăcinii, este suficient să arătăm că există un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la puterea lui n m, este egal cu a m . Hai să o facem. Este clar că dacă numărul a este nenegativ, atunci rădăcina a n-a a numărului a este un număr nenegativ. în care , care completează dovada.

Iată un exemplu de utilizare a proprietății rădăcină analizată: .

Să demonstrăm următoarea proprietate, proprietatea rădăcinii gradului formei . Este evident că pentru a≥0 gradul este un număr nenegativ. Mai mult, puterea sa a n-a este egală cu a m , într-adevăr, . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, .

Sa trecem peste. Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive a și b pentru care condiția a , adică a≥b . Și aceasta contrazice condiția a

De exemplu, dăm inegalitatea corectă .

În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima proprietate a rădăcinii a n-a. Să demonstrăm mai întâi prima parte a acestei proprietăți, adică vom demonstra că pentru m>n și 0 . Apoi, datorită proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea , adică a n ≤ a m . Și inegalitatea rezultată pentru m>n și 0

În mod similar, prin contradicție, se demonstrează că pentru m>n și a>1 condiția este îndeplinită.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății dovedite a rădăcinii în numere concrete. De exemplu, inegalitățile și sunt adevărate.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 79. Extragerea rădăcinilor dintr-o lucrare și un coeficient

Teorema 1. Rădăcină P a-a putere a produsului numerelor pozitive este egală cu produsul rădăcinilor P -al-lea grad al factorilor, adică când A > 0, b > 0 și natural P

n √ab = n √A n √b . (1)

Dovada. Amintiți-vă că rădăcina P puterea a unui număr pozitiv ab există un număr pozitiv P -al cărui grad este egal cu ab . Prin urmare, demonstrarea egalității (1) este același lucru cu demonstrarea egalității

(n √A n √b ) n = ab .

Prin proprietatea gradului produsului

(n √A n √b ) n = (n √A ) n (n √b ) n =.

Dar prin definiția rădăcinii P gradul ( n √A ) n = A , (n √b ) n = b .

De aceea ( n √A n √b ) n = ab . Teorema a fost demonstrată.

Cerinţă A > 0, b > 0 este esențial doar pentru par P , pentru că pentru negativ A și b și chiar P rădăcini n √A și n √b nedefinit. Dacă P impar, atunci formula (1) este valabilă pentru oricare A și b (atât pozitiv, cât și negativ).

Exemple: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formula (1) este utilă la calcularea rădăcinilor, când expresia rădăcinii este reprezentată ca produs de pătrate exacte. De exemplu,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Am demonstrat teorema 1 pentru cazul în care semnul radical din partea stângă a formulei (1) este produsul a două numere pozitive. De fapt, această teoremă este valabilă pentru orice număr de factori pozitivi, adică pentru orice natură k > 2:

Consecinţă. Citind această identitate de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru înmulțirea rădăcinilor cu aceiași exponenți;

Pentru a înmulți rădăcinile cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți expresiile rădăcinii, lăsând exponentul rădăcinii același.

De exemplu, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Teorema 2. Rădăcină P a-a putere a unei fracții al cărei numărător și numitor sunt numere pozitive este egală cu câtul împărțirii rădăcinii de același grad de la numărător la rădăcina de același grad de la numitor, adică când A > 0 și b > 0

(2)

A demonstra egalitatea (2) înseamnă a arăta că

Conform regulii ridicării unei fracții la o putere și determinării rădăcinii n gradul avem:

Astfel se demonstrează teorema.

Cerinţă A > 0 și b > 0 este esențial doar pentru par P . Dacă P impar, atunci formula (2) este valabilă și pentru valori negative A și b .

Consecinţă. Identitatea citirii de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru împărțirea rădăcinilor cu aceiași exponenți:

Pentru a împărți rădăcinile cu aceiași exponenți, este suficient să împărțiți expresiile rădăcinii, lăsând exponentul rădăcinii același.

De exemplu,

Exerciții

554. Unde în demonstrarea teoremei 1 am folosit faptul că A și b pozitiv?

De ce cu un ciudat P formula (1) este valabilă și pentru numerele negative A și b ?

La ce valori X datele de egalitate sunt corecte (nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Calculați:

A) √ 173 2 - 52 2 ; în) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. În triunghi dreptunghic ipotenuza este de 205 cm, iar unul dintre catete are 84 cm. Găsiți celălalt catete.

563. De câte ori:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - orice număr. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - orice număr. 563. a) De trei ori.