1. Prostor izolovanih tačaka.

Proizvoljan skup i

2. Lots realni brojevi sa udaljenosti formira metrički prostor.

3. Skup uređenih grupa realnih brojeva c naziva se dimenzionalni aritmetički euklidski prostor.

Dokaz.

Da bi se dokazalo da je prostor metrički, potrebno je provjeriti zadovoljivost aksioma.

Neka , , .

, , …, , tj.

A3. Provjerimo da li aksiom trougla vrijedi. Zapišimo aksiom u obliku:

Uz pretpostavku , , Dobivamo i .

Za dokazivanje ove nejednakosti koristi se nejednakost Cauchy–Bunyakovsky.

stvarno,

Prema tome, aksiom trougla je zadovoljen, a skup koji se razmatra sa datom metrikom je metrički prostor.

Q.E.D.

4. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .

5. Skup uređenih grupa realnih brojeva sa . Ovaj metrički prostor je označen sa .

Primjeri 3, 4 i 5 pokazuju da se ista količina bodova može mjeriti na različite načine.

6. Skup svih kontinuiranih realnih funkcija definiranih na segmentu s udaljenosti . Ovaj metrički prostor se označava kao skup tačaka u samom prostoru: . Konkretno, pišu umjesto .

7. Kroz označava metrički prostor, čije tačke su svi mogući nizovi realnih brojeva koji zadovoljavaju uslov, a metrika je definisana formulom.

Dokaz.

Pošto, ima smisla za sve. One. serija konvergira ako i .

Hajde da pokažemo šta zadovoljava aksiome.

Aksiomi 1, 2 su očigledni. Aksiom trougla će poprimiti oblik:

Svi nizovi su konvergentni.

Nejednakost je tačna za svakoga (vidi primjer 3). Kada dobijemo nejednakost za .

Q.E.D.

8. Razmotrimo skup svih funkcija koje su kontinuirane na intervalu i . Takav metrički prostor se označava i naziva prostor kontinuirane funkcije sa kvadratnom metrikom.

9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova realnih brojeva. Hajde da definišemo. Ovaj metrički prostor je označen sa .

10. Skup uređenih grupa realnih brojeva s udaljenosti , gdje je bilo koji fiksni broj, je metrički prostor, označen sa .

Metrika razmatrana u ovom primjeru pretvara se u euklidsku metriku za (vidi primjer 3) i u metriku primjera 4 za . Može se pokazati da je metrika (vidi primjer 5) ograničavajući slučaj.

11. Razmotrimo sve moguće nizove realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet , gdje je neki fiksni broj, a udaljenost je određena formulom . Imamo metrički prostor.

12. Neka je skup svih beskonačnih nizova – kompleksni brojevi. Hajde da definišemo. Imamo metrički prostor.

definicija: Neka biti metrički prostor i biti bilo koji podskup od . Zatim se sa istom funkcijom, koja je sada definirana za, zove metrički prostor podprostor prostor.

Osnovni koncepti

Označimo metrički prostor sa .

definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove fundamentalno, ako svaki odgovara broju takav da je nejednakost .

definicija: Niz koji pripada metričkom prostoru se zove konvergentan, ako postoji takav da svakom odgovara broj takav da nejednakost vrijedi za sve. Onda se zove limit sekvence.

Teorema: Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Dokaz.

Doista, ako i , Tada . Budući da i , Tada , tj. .

Teorema je dokazana.

definicija: Pun metrički prostor je metrički prostor u kojem konvergira svaki osnovni niz.

Teorema: metrika kao funkcija dva argumenta je kontinuirana funkcija, tj. ako i , onda .

dokaz:

Neka , , , .

Po nejednakosti trougla:

Iz (1) dobijamo:

Iz (2) dobijamo:

jer ,

Označimo .

IN metrički prostor može se uzeti u obzir razni setovi, okoline tačaka, granične tačke i drugi koncepti klasične analize.

definicija: Ispod okolina tačke označavaju skup koji sadrži otvorenu kuglu poluprečnika sa centrom u tački, tj.

definicija: Tačka se zove granična tačka za skup ako bilo koje susjedstvo točke sadrži barem jednu točku iz , različit od .

definicija: Tačka se zove unutrašnja tačka postavljeno ako je uključeno zajedno sa nekim svojim susjedstvom.

definicija: Skup se zove otvoren, ako se sastoji samo od unutrašnjih točaka. Skup se zove zatvoreno samo po sebi ako sadrži sve svoje granične tačke.

Metrički prostor je zatvoren.

Podprostori ne smiju biti zatvoreni podskupovi.

Ako dodamo sve njegove granične tačke na, dobijamo zatvaranje.

definicija: Skup koji leži u metričkom prostoru naziva se zatvoreno, ako se poklapa s njegovim zatvaranjem: .

Zatvoreni skup je najmanji zatvoren set koji sadrže .

definicija: Neka . Skup se zove čvrsto u , ako . Skup se zove svuda gusto, Ako . Skup se zove nigdje gusto unutra, ako je kakva god lopta, postoji još jedna lopta slobodna od poena u setu.

definicija: Prostor se naziva odvojivim ako sadrži svuda gust prebrojiv skup.

IN matematička analiza važnu ulogu igra svojstvo potpunosti brojevne prave, odnosno činjenicu da svaki osnovni niz realnih brojeva konvergira do određene granice (Cauchyjev kriterij konvergencije).

Brojevna prava služi kao primjer potpunog metričkog prostora.

Prostori izolovanih tačaka, , , , , , su potpuni metrički prostori.

Space nije kompletan.

U analizi se naširoko koristi tzv lema o ugniježđenim segmentima :

Neka je sistem ugniježđenih segmenata. Zatim za segment imamo .

To znači da svi segmenti iz skupa imaju zajedničku tačku.

U teoriji metričkih prostora sličnu ulogu ima teorema o umetnutim kuglicama.

Teorema: Da bi metrički prostor bio potpun, potrebno je i dovoljno da u njemu svaki niz kuglica ugrađenih jedna u drugu, čiji radijusi , imaju neprazan presek.

dokaz:

Potreba:

Neka je kompletan metrički prostor i neka je niz zatvorenih kuglica ugrađenih jedna u drugu.

Neka je polumjer i a biti centar lopte.

Niz centara je fundamentalan, budući da na , i na . Pošto - kompletno, onda . Hajdemo onda. Zaista, lopta sadrži sve tačke niza, sa mogućim izuzetkom tačaka . Tako je tačka dodirna tačka (granična tačka) za svaku loptu. Ali budući da je zatvoren skup, onda .

Adekvatnost:

Neka je osnovni niz. Dokažimo da ima granicu. Zbog fundamentalnosti, možemo odabrati tačku u nizu tako da je za sve . Uzmimo tačku kao centar zatvorene lopte poluprečnika. , ugrađene jedna u drugu, i lopta - neka zatvorena lopta poluprečnika sadrži određenu tačku po završetku

engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web pretraživač koji se neće moći povezati na Wikipediju u budućnosti. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器,这在将来无法迿来无法迿来无法迻以下提供更长,更具技术性的更新 (仅英语）。)

španski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el el futuro. Actualice su dispositivo ili contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Iskoristite aktuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus tehnike i englais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Ostanite korišteni u web pretraživaču da ne budete povezani sa Vikipedijom u budućnosti. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico na engleskom.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia se nalazi na stranici. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Ažurirajte podatke ili kontakte kod IT administratora. Det finns en längre i mer tehnisk förklaring na engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg pretraživača oslanja za povezivanje s našim web lokacijama. Ovo je obično uzrokovano zastarjelim pretraživačima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja od korporativnog ili ličnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova poruka će ostati do 1. januara 2020. Nakon tog datuma, vaš pretraživač neće moći uspostaviti vezu s našim serverima.

Prije Riemana, Lobačevskog, Ajnštajna i nekih drugih drugova, geometrija se gradila od ravni, nevidljivih tačaka i pravih linija beskonačnih u oba smjera. Vrijeme je ponosno lebdjelo nad ravnim trodimenzionalnim svijetom, koji mi doživljavamo kao određeni proces, kvantiziran radi pogodnosti u otkucaje srca i otkucaje sata. Sve je poznato, jednostavno, razumljivo, sile djeluju, tri koordinate u prostoru mogu se odrediti bilo gdje - samo zabijte klin.

Kraj idile došao je dolaskom matematičara koji su istraživali višedimenzionalne prostore na vrhu svog pera. Izgradili su složene, višekoordinatne objekte i sisteme koji su bili nezamislivi za ljudsko oko i čula, na primjer, čuvenu četverodimenzionalnu kocku, Mobiusovu traku i tako dalje. Postupno je postalo jasno da se imaginarni prostor ne mora nužno sastojati od ravnina i pravih linija s vremenom procesa, on se može sastojati, na primjer, od ravnog lima umotanog u cijev nepravilnog oblika, pri čemu je vrijeme dužina dužine; osa nacrtana u sredini cijevi. Tačka postavljena u tako "pogrešan" prostor više nikada neće imati tri koordinate na koje smo navikli, jer zabijeni klin neće pomoći u njihovom mjerenju. Položaj date tačke u neeuklidskom prostoru treba da bude predstavljen kao čitav niz brojeva, koji se takođe kontinuirano menja u skladu sa određenim pravilima. Sama pravila u svakom izmišljenom prostoru su različita. Takav niz brojeva naziva se tenzor, on pohranjuje podatke o tačkama u prostoru otprilike u obliku u kojem poznata igračka "slika eksera" pohranjuje sliku: dužina svakog štapa je vektor koji pokazuje na tačku duž; jedna od koordinata, njihova kombinacija daje jednu njenu sliku, jednu jedinu.

Tenzori su složeni objekti, ali imaju jednu zajedničku stvar - tenzor kao niz štapićastih vektora može se "prerezati" definiranjem takozvane tenzorske matrice - dvodimenzionalne tablice u kojoj se umjesto običnih brojeva nalaze su formule koje opisuju pravila za njegovu transformaciju. Matrica je jednostavan objekt, operacije s kojim su bile dobro razvijene prije nekoliko stoljeća. Šefovi matematičara su počeli da se trude, najviše različite formule, tenzori su konstruisani za tačke u najnezamislivijim prostorima. Na kraju, trudom Minkowskog, Riemanna, Lorentza i Einsteina, otkriveni su najjednostavniji tenzori koji s dovoljnom preciznošću opisuju trodimenzionalni euklidski prostor i vremenski proces koji opažamo. Njihove matrice se nazivaju metrike.

Kasnije se shvatilo da zbog konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu, koju je Ajnštajn uzeo kao osnovu, metrika Minkowskog postaje neprimjenjiva na vrlo velikim udaljenostima između tačaka, ili pri vrlo visokim stopama gravitacijske interakcije. Šefovi matematičara su ponovo počeli da rade, sada u savezu sa fizičarima koji su tražili eksperimentalnu potvrdu teorija. Tako se, na primjer, pojavila Schwarzschildova metrika, koja opisuje naš svijet kroz množenje matrica tenzora dvodimenzionalne pravokutne ravni i dvodimenzionalne sfere (to je također poznati krug, ali u obliku ceo prostor). Schwarzschildova metrika je omogućila da se opiše zašto percipiramo kretanje objekata u nebeskoj sferi na ovaj poseban način, a ne drugačije. Vrijeme u njemu je konstantna vrijednost(!), koja se posebno uvodi u svaki proračun, a udaljenost od tačke do posmatrača je zapravo neka vrsta vektora koji opisuje opseg prostora (vremena) između dva ne objekta, već događaja.

Osnovni funkcionalni prostori

Predavanje 5

Jedna od najvažnijih operacija u analizi je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane s algebarskom prirodom realnih brojeva (tj. sa činjenicom da oni čine polje), već se oslanjaju samo na koncept udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.

Definicija.

Metrički prostor je par (X, ρ), koji se sastoji od određenog skupa (prostora) X elemente (tačke) i udaljenost, tj. jednovrijednu, nenegativnu, realnu funkciju ρ(x,y), definiran za bilo koji x I y od X i podložni sljedećim aksiomima;

1. ρ(x,y) ≥ 0 za svakoga x,y,

2. ρ(x,y) = 0 tada i samo kada x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksiom simetrije),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(aksiom trougla).

Sam metrički prostor, tj. par (X, ρ), obično ćemo označavati jednim slovom R = (X, ρ).

U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam „stok tačaka“. X.

Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi.

1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa

dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.

2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem

formira metrički prostor R 1.

3. Skup uređenih grupa od n realni brojevi x = (x 1, …, x n) sa udaljenosti

pozvao n-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor Rn. Valjanost aksioma 1) - 3) za Rn očigledno. Hajde da to pokažemo u Rn aksiom trougla je takođe zadovoljen.

Neka x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1 ,…, z n);

tada se aksiom trougla zapisuje kao

Uz pretpostavku , dobijamo , i nejednakost (2) poprima oblik

Ali ova nejednakost odmah slijedi iz dobro poznate nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

Zaista, zbog ove nejednakosti imamo

Time je dokazana nejednakost (3), a time i (2).

4. Razmotrimo isti skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (x 1 ,…, x n) ali udaljenost u njemu definiramo formulom

Valjanost aksioma ovdje je očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Označimo ovaj metrički prostor simbolom .

5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli

Valjanost aksioma 1) - 3) je očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor, koji označavamo sa , nije ništa manje pogodan u mnogim pitanjima analize od Euklidovog prostora Rn.

Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se ista količina tačaka može mjeriti na različite načine.

6. Lots C sve kontinuirane realne funkcije definirane na segmentu , sa udaljenosti

takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) se direktno provjeravaju.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom C, što je skup tačaka samog ovog prostora. Umjesto C pisaćemo jednostavno WITH.

7. Označimo sa l 2 metrički prostor čije su tačke svi mogući nizovi x=(x 1,...,x n,...) realni brojevi koji zadovoljavaju uslov,

a udaljenost je određena formulom

Iz elementarne nejednakosti slijedi da je funkcija ρ(x,y) ima smisla za sve konvergira ako

Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očigledni, a aksiom trougla ovdje ima oblik

Zbog gore navedenog, svaka od tri ovdje zapisane serije konvergiraju. S druge strane, svaki put n nejednakost je tačna

(vidi primjer 4). Prelazak ovdje do granice u n®∞ dobijamo (8), tj. nejednakost trougla u l 2.

8. Razmotrimo, kao u primjeru 6, skup svih funkcija kontinuiranih na intervalu , ali hajde da odredimo udaljenost drugačije, naime, stavimo

Takav metrički prostor ćemo označiti C 2 i nazovimo ga prostorom kontinuiranih funkcija s kvadratnom metrikom. Ovdje su svi aksiomi metričkog prostora očigledni, a aksiom trokuta direktno slijedi iz integralnog oblika nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova x = (x 1 , ..., x n , ...) realnih brojeva.

dobijamo metrički prostor, koji označavamo m. Valjanost aksioma je očigledna.

10. Skup uređenih grupa od n realni brojevi sa rastojanjem

Gdje r- bilo koji fiksni broj ≥ 1 , je metrički prostor, koji označavamo sa .

Provjerimo aksiom 4.

Neka x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Pretpostavimo onda nejednakost

pravda koju moramo uspostaviti poprimiće oblik

Ovo je takozvana nejednakost Minkowskog. At p= 1 Minkowskijeva nejednakost je očigledna (modul zbira ne prelazi zbir modula), pa ćemo pretpostaviti da p > 1.

Dokaz nejednakosti (13) sa p>1 na osnovu takozvane Hölderove nejednakosti

gdje su brojevi p > 1 I q > 1 vezan uslovom

Imajte na umu da je nejednakost (14) homogena. To znači da ako je zadovoljeno za bilo koja dva vektora a = (a 1 ,…, a n), I b = (b 1 ,…, b n), onda važi i za vektore λa I μb, Gdje λ I μ - proizvoljnim brojevima. Stoga je dovoljno dokazati nejednakost (14) za slučaj kada

Dakle, neka je uslov (16) zadovoljen; dokažimo to

Razmislite u avionu (ξ,η) kriva definisana jednadžbom η = ξ p -1 (ξ>0), ili, što je isto, po jednačini ξ p -1 (η >0)(Sl. 1). Iz slike je jasno da je za svaki izbor pozitivne vrijednosti a I bće S 1 + S 2 > ab. Izračunajmo površinu S 1 I S 2:

Dakle, numerička nejednakost je tačna

Zamjena ovdje a on |a k | I b on |b k | i sumiranje po k od 1 do n, dobijamo, uzimajući u obzir (15) i (16),

Nejednakost (17), a samim tim i opća nejednakost (14) je dokazana.

At p = 2 Hölderova nejednakost (14) pretvara se u nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (4).

Pređimo sada na dokaz nejednakosti Minkowskog. Da biste to učinili, razmotrite identitet

Zamjena u pisanom identitetu a on a k I b on b k i sumiranje po k od 1 to n dobijamo

Sada primjenjujući Hölderovu nejednakost na svaki od dva zbroja s desne strane i uzimajući to u obzir (p - 1)q = p, dobijamo x(t) , dobijamo

Tako je dokazano da formula (18) određuje udaljenost u l str zaista ima smisla za svakoga. Istovremeno, nejednakost (19) pokazuje da u l str aksiom trougla je zadovoljen. Preostali aksiomi su očigledni.

Sljedeća tehnika pruža neograničen broj daljnjih primjera. Neka R = (X, ρ)- metrički prostor i M- bilo koji podskup u X. Onda M sa istom funkcijom ρ(x,y), za koji sada smatramo definisanim x I at od M, je također metrički prostor; naziva se podprostor prostora R.