Asosiy komponentlar tahlili - bu ko'p sonli o'zaro bog'liq (bog'liq, korrelyatsiya) o'zgaruvchilarni kamroq miqdordagi mustaqil o'zgaruvchilarga aylantiradigan usul, chunki ko'p sonli o'zgaruvchilar ko'pincha ma'lumotni tahlil qilish va sharhlashni qiyinlashtiradi. To'g'ridan-to'g'ri aytganda, bu usul faktor tahliliga taalluqli emas, garchi u bilan juda ko'p umumiylik mavjud. O'ziga xosligi shundaki, birinchidan, hisoblash protseduralari jarayonida barcha asosiy komponentlar bir vaqtning o'zida olinadi va ularning soni dastlab boshlang'ich o'zgaruvchilar soniga teng; ikkinchidan, barcha boshlang'ich o'zgaruvchilar dispersiyasining to'liq parchalanishi ehtimoli taxmin qilinadi, ya'ni. uning yashirin omillar (umumlashtirilgan xususiyatlar) orqali to'liq izohlanishi.
Misol uchun, biz tadqiqot o'tkazganimizni tasavvur qiling, unda biz Wechsler testi, Eysenck testi, Raven testi bo'yicha talabalarning intellektini, shuningdek, ijtimoiy, kognitiv va umumiy psixologiya. Turli xil razvedka testlarining bajarilishi bir-biri bilan bog'liq bo'lishi mumkin, chunki ular sub'ektning bir xususiyatini - uning intellektual qobiliyatlarini, garchi turli yo'llar bilan bo'lsa ham o'lchaydi. Agar tadqiqotda juda ko'p o'zgaruvchilar bo'lsa ( x 1 , x 2 , …, x p ) , va ularning ba'zilari bir-biriga bog'langan, tadqiqotchi ba'zan o'zgaruvchilar sonini kamaytirish orqali ma'lumotlarning murakkabligini kamaytirish istagiga ega. Bir nechta yangi o'zgaruvchilarni yaratadigan asosiy komponent usuli aynan shu uchun mo'ljallangan. y 1 , y 2 , …, y p, ularning har biri asl o'zgaruvchilarning chiziqli birikmasidir x 1 , x 2 , …, x p :
y 1 =a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1p x p
y 2 \u003d a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2p x p
… (1)
y p =a p1 x 1 +a p2 x 2 +…+a pp x p
O'zgaruvchilar y 1 , y 2 , …, y p asosiy komponentlar yoki omillar deyiladi. Shunday qilib, omil korrelyatsiya matritsasining maxsus o'zgarishlari natijasida yuzaga keladigan sun'iy statistik ko'rsatkichdir. . Faktorlarni ajratib olish tartibi matritsali faktorizatsiya deb ataladi. Faktorizatsiya natijasida korrelyatsiya matritsasidan dastlabki o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan songacha turli xil sonli omillarni olish mumkin. Biroq, faktorizatsiya natijasida aniqlangan omillar, qoida tariqasida, ularning qiymati bo'yicha ekvivalent emas.
Imkoniyatlar a ij, yangi o'zgaruvchini aniqlash, yangi o'zgaruvchilar (asosiy komponentlar, omillar) ma'lumotlar o'zgaruvchanligining maksimal miqdorini tavsiflaydigan va bir-biri bilan korrelyatsiya qilinmaydigan tarzda tanlanadi. Ko'pincha koeffitsientlarni ifodalash foydalidir a ij shunday qilib, ular dastlabki o'zgaruvchi va yangi o'zgaruvchi (omil) o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientini ifodalaydi. Bunga ko'paytirish orqali erishiladi a ij ustida standart og'ish omil a. Bu ko'pgina statistik paketlarda (STATISTICA dasturida ham) amalga oshiriladi. Imkoniyatlara ij Odatda ular jadval ko'rinishida taqdim etiladi, bu erda omillar ustunlar, o'zgaruvchilar esa qatorlar sifatida joylashtirilgan:
Bunday jadval omillar yuklamalari jadvali (matritsasi) deb ataladi. Unda berilgan raqamlar koeffitsientlardir a ij.0,86 raqami birinchi omil va Wechsler test qiymati o'rtasidagi korrelyatsiya 0,86 ekanligini bildiradi. Mutlaq qiymatdagi omil yuki qanchalik yuqori bo'lsa, o'zgaruvchi va omil o'rtasidagi bog'liqlik shunchalik kuchli bo'ladi.
ASOSIY KOMPONENT USULNI QO'LLASH
KO'P OLCHALIK STATISTIK MA'LUMOTLARINI QAYTA QILISH UCHUN
Asosiy komponentlar usulini qo'llash asosida talabalarni reyting baholashning ko'p o'lchovli statistik ma'lumotlarini qayta ishlash masalalari ko'rib chiqiladi.
Kalit so'zlar: ko'p o'lchovli ma'lumotlarni tahlil qilish, o'lchamlarni kamaytirish, asosiy komponentlar tahlili, reyting.
Amaliyotda ko'pincha o'rganish ob'ekti har xil parametrlar bilan tavsiflangan, ularning har biri o'lchanadigan yoki baholanadigan vaziyatga duch keladi. Bir xil turdagi bir nechta ob'ektlarni o'rganish natijasida olingan dastlabki ma'lumotlar massivini tahlil qilish amalda hal qilib bo'lmaydigan vazifadir. Shuning uchun tadqiqotchi, agar iloji bo'lsa, ulardagi barcha ma'lumotlarni saqlab qolgan holda, ularning ba'zilarini olib tashlash yoki ulardan kamroq miqdordagi biron bir funksiya bilan almashtirish uchun dastlabki parametrlar orasidagi bog'lanish va o'zaro bog'liqlikni tahlil qilishi kerak.
Shu munosabat bilan, o'lchamlarni kamaytirish vazifalari paydo bo'ladi, ya'ni dastlabki ma'lumotlar massividan asl ko'rsatkichlar orasidan tanlangan yoki biron bir o'zgartirish natijasida olingan sezilarli darajada kamroq ko'rsatkichlarga o'tish (asl massivda mavjud bo'lgan ma'lumotlarning eng kam yo'qolishi bilan). ), va tasniflash - ko'rib chiqilayotgan ob'ektlar to'plamini bir hil (qaysidir ma'noda) guruhlarga ajratish. Agar tomonidan katta raqam heterojen va stoxastik o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar, ob'ektlarning butun majmuasini statistik tekshirish natijalari olindi, keyin tasniflash va o'lchamlarni qisqartirish muammolarini hal qilish uchun ko'p o'lchovli statistik tahlil vositalaridan, xususan, statistik tahlil usulidan foydalanish kerak. asosiy komponentlar.
Maqolada ko'p o'lchovli statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun asosiy komponent usulini qo'llash texnikasi taklif etiladi. Misol tariqasida, talabalar reytingining ko'p o'lchovli natijalarini statistik qayta ishlash masalasining echimi keltirilgan.
1. Asosiy komponentlarning ta'rifi va hisobi..png" height="22 src="> xususiyatlar. Natijada biz ko'p o'lchovli kuzatishlarni olamiz, ularning har biri vektor kuzatuvi sifatida ifodalanishi mumkin.
bu erda https://pandia.ru/text/79/206/images/image005.png" height="22 src=">.png" height="22 src="> - transpozitsiya operatsiyasi belgisi.
Olingan ko'p o'lchovli kuzatishlar statistik qayta ishlanishi kerak..png" height="22 src=">.png" height="22 src=">.png" width="132" height="25 src=">.png" width ="33" height="22 src="> o'rganilayotgan xususiyatlarni o'zgartirishga ruxsat berilgan 0 " style="border-collapse:collapse">
normallashtirish sharti hisoblanadi; | ||
| - ortogonallik holati |
Shunga o'xshash o'zgartirish orqali olingan https://pandia.ru/text/79/206/images/image018.png" width="79" height="23 src="> va asosiy komponentlarni ifodalaydi. Ulardan minimal o'zgaruvchilar. dispersiya keyingi tahlildan chiqarib tashlanadi , ya'ni bu matritsaning transformatsiyasida (2)..png" eni="13" balandligi="22 src=">, ya'ni.png" width="131" height="22 src=">). asosiy komponentlarning tafovutlariga teng.
Shunday qilib, birinchi asosiy komponent https://pandia.ru/text/79/206/images/image013.png" width="80" height="23 src="> bu ko'rsatkichlarning bunday normallashtirilgan markazlashtirilgan chiziqli birikmasi deyiladi. boshqa shunga o'xshash kombinatsiyalar eng katta dispersiyaga ega..png" width="12" height="22 src="> – maxsus matritsa vektori https://pandia.ru/text/79/206/images/image025.png" width="15" height="22 src=">.png" width="80" height="23 src=" "> bu https://pandia.ru/text/79/206/images/image013.png" width="80" height="23 src=" bilan bog'liq bo'lmagan bu ko'rsatkichlarning shunday normallashtirilgan markazlashtirilgan chiziqli birikmasidir. ">. png" width="80" height="23 src="> turli birliklarda o'lchanadi, keyin asosiy komponentlardan foydalangan holda tadqiqot natijalari sezilarli darajada shkalani tanlashga va o'lchov birliklarining tabiatiga bog'liq bo'ladi. , va olingan natijalar chiziqli birikmalar asl o'zgaruvchilarni izohlash qiyin bo'ladi. Shu munosabat bilan, DIV_ADBLOCK310 "> boshlang'ich xususiyatlarining turli o'lchov birliklari bilan
https://pandia.ru/text/79/206/images/image030.png" width="17" height="22 src=">.png" width="56" height="23 src=">. Bunday o'zgartirishdan so'ng, asosiy komponentlar qiymatlarga nisbatan tahlil qilinadi https://pandia.ru/text/79/206/images/image033.png" width="17" height="22 src="> , bu ham korrelyatsiya matritsasi https://pandia.ru/text/79/206/images/image035.png" width="162" height="22 src=">.png" width="13" height="" 22 src="> ga i- th manba xususiyati ..png" width="14" height="22 src=">.png" width="10" height="22 src="> dispersiyaga teng v- th asosiy komponenthttps://pandia.ru/text/79/206/images/image038.png" width="10" height="22 src="> asosiy komponentlarni mazmunli talqin qilishda foydalaniladi..png" eni ="20" balandligi="22 src=">.png" kengligi="251" balandligi="25 src=">
Hisob-kitoblar uchun vektor kuzatuvlari namunaviy matritsaga birlashtiriladi, unda qatorlar boshqariladigan xususiyatlarga mos keladi va ustunlar o'rganish ob'ektlariga mos keladi (matritsaning o'lchami https://pandia.ru/text/ 79/206/images/image043.png" eni="348"balandligi="67 src=">
Dastlabki ma'lumotlarni markazlashtirgandan so'ng, biz formuladan foydalanib, namunaviy korrelyatsiya matritsasini topamiz
https://pandia.ru/text/79/206/images/image045.png" width="204" height="69 src=">
Diagonal matritsa elementlari https://pandia.ru/text/79/206/images/image047.png" width="206" height="68 src=">
Ushbu matritsaning diagonaldan tashqari elementlari mos keladigan xususiyatlar juftligi o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientlarining namunaviy bahosidir.
Kompilyatsiya xarakterli tenglama matritsa uchun 0 " style="margin-left:5.4pt;border-collapse:collapse">
Uning barcha ildizlarini toping:
Endi asosiy vektorlarning tarkibiy qismlarini topish uchun biz ketma-ket raqamli qiymatlarni almashtiramiz https://pandia.ru/text/79/206/images/image065.png" width="16" height="22 src=" >.png" width="102"height="24 src=">
Masalan, https://pandia.ru/text/79/206/images/image069.png" width="262" height="70 src="> bilan
Ko'rinib turibdiki, hosil bo'lgan tenglamalar tizimi bir xillik tufayli izchil va noaniq, ya'ni cheksiz sonli echimlarga ega. Bizni qiziqtirgan yagona echimni topish uchun biz quyidagi qoidalardan foydalanamiz:
1. Tizimning ildizlari uchun munosabat yozilishi mumkin
https://pandia.ru/text/79/206/images/image071.png" width="20" height="23 src="> - algebraik qo'shish j-har qanday elementning elementi i tizim matritsasining 1-qatori.
2. Normalizatsiya shartining mavjudligi (2) ko'rib chiqilayotgan tenglamalar sistemasi yechimining o'ziga xosligini ta'minlaydi..png" width="13" height="22 src=">, yagona aniqlanadi, bundan tashqari ularning barchasi bir vaqtning o'zida belgini o'zgartirishi mumkin.Ammo komponentlarning xos vektor belgilari muhim rol o'ynamaydi, chunki ularning o'zgarishi tahlil natijasiga ta'sir qilmaydi, ular faqat mos keladigan asosiy komponentda qarama-qarshi tendentsiyalarni ko'rsatish uchun xizmat qilishi mumkin.
Shunday qilib, biz o'z vektorimizni olamiz https://pandia.ru/text/79/206/images/image025.png" width="15" height="22 src=">:
https://pandia.ru/text/79/206/images/image024.png" width="12" height="22 src="> tenglik bilan tekshiring
https://pandia.ru/text/79/206/images/image076.png" width="503" height="22">
… … … … … … … … …
https://pandia.ru/text/79/206/images/image078.png" width="595" height="22 src=">
https://pandia.ru/text/79/206/images/image080.png" width="589" height="22 src=">
qaerda https://pandia.ru/text/79/206/images/image082.png" width="16" height="22 src=">.png" width="23" height="22 src="> mos keladigan dastlabki xususiyatlarning standartlashtirilgan qiymatlari.
Biz ortogonal matritsa tuzamiz chiziqli transformatsiya https://pandia.ru/text/79/206/images/image086.png" width="94" height="22 src=">
Asosiy komponentlarning xossalariga ko'ra, boshlang'ich belgilarning dispersiyalari yig'indisi barcha asosiy komponentlarning dispersiyalari yig'indisiga teng bo'lganligi sababli, biz normallashtirilgan dastlabki xususiyatlarni hisobga olgan holda, biz qaysi qismni taxmin qilishimiz mumkin. boshlang'ich xususiyatlarning umumiy o'zgaruvchanligi asosiy komponentlarning har birini tushuntiradi. Masalan, dastlabki ikkita asosiy komponent uchun bizda:
|
|
Shunday qilib, korrelyatsiya matritsasidan topilgan asosiy komponentlar uchun ishlatiladigan informativlik mezoniga muvofiq, birinchi etti asosiy komponent o'n besh boshlang'ich xususiyatning umumiy o'zgaruvchanligining 88,97% ni tushuntiradi.
Chiziqli transformatsiya matritsasidan foydalanish https://pandia.ru/text/79/206/images/image038.png" width="10" height="22 src="> (birinchi ettita asosiy komponent uchun):
https://pandia.ru/text/79/206/images/image090.png" width="16" height="22 src="> - ilmiy va tezislar tanlovida olingan diplomlar soni; https:/ /pandia .ru/text/79/206/images/image092.png" width="16" height="22 src=">.png" width="22" height="22 src=">.png" kengligi =" 22" height="22 src=">.png" width="22" height="22 src="> - viloyat, viloyat va shahar sport musobaqalarida olingan mukofot va sovrinlar.
3..png" width="16" height="22 src=">(ilmiy va ilmiy ishlarda ishtirok etish natijalari bo'yicha sertifikatlar soni tezislar).
4..png" width="22" height="22 src=">(universitet musobaqalarida olingan mukofot va sovrinlar).
6. Oltinchi asosiy komponent DIV_ADBLOCK311"> bilan ijobiy korrelyatsiya qilinadi.
4. Uchinchi asosiy komponent - o'quvchilarning ta'lim jarayonidagi faolligi.
5. To'rtinchi va oltinchi komponentlar mos ravishda bahor va kuz semestrlarida talabalarning mehnatsevarligi.
6. Beshinchi asosiy komponent - universitet sport musobaqalarida qatnashish darajasi.
Kelajakda asosiy tarkibiy qismlarni aniqlashda barcha kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun tahlil jarayonini sezilarli darajada osonlashtiradigan STATISTICA kabi ixtisoslashtirilgan statistik dasturiy ta'minot tizimlaridan foydalanish taklif etiladi.
Talabalar reytingi misolida ushbu maqolada tasvirlangan asosiy tarkibiy qismlarni aniqlash jarayoni bakalavrlar va magistrlarni attestatsiyadan o'tkazishda qo'llanilishi taklif etiladi.
ADABIYOTLAR RO'YXATI
1. Amaliy statistika: Tasniflash va o'lchamlarni qisqartirish: Ref. ed. / , ; ed. . - M .: Moliya va statistika, 1989. - 607 b.
2. Amaliy statistika bo'yicha qo'llanma: 2 jildda: [per. Ingliz tilidan] / ed. E. Lloyd, V. Lederman, . - M.: Moliya va statistika, 1990. - T. 2. - 526 b.
3. Amaliy statistika. Ekonometrika asoslari. 2 jildda T.1. Ehtimollar nazariyasi va amaliy statistika: Proc. universitetlar uchun / , V. S. Mxitaryan. - 2-nashr, Rev. - M: UNITY-DANA, 2001. - 656 p.
4. Afifi, A. Statistik tahlil: kompyuter yordamidagi yondashuv: [tarjima. ingliz tilidan] / A. Afifi, S. Eisen. - M .: Mir, 1982. - 488 b.
5. Dronlar, statistik tahlil: o'qish. nafaqa /. - Barna 3. – 213 b.
6. Anderson, T. Ko'p o'lchovli statistik tahlilga kirish / T. Anderson; boshiga. ingliz tilidan. [va boshq.]; ed. . - M .: Davlat. Fizika-matematika nashriyoti. lit., 1963. - 500 b.
7. Louli, D. Faktorli tahlil statistik usul sifatida / D. Louli, A. Maksvell; boshiga. ingliz tilidan. . – M.: Mir, 1967. – 144 b.
8. Dubrov, statistik usullar: darslik / , . - M.: Moliya va statistika, 2003. - 352 b.
9. Kendall, M. Ko'p o'zgaruvchan statistik tahlil va vaqt seriyalari / M. Kendall, A. Stuart; per. ingliz tilidan. , ; ed. , . – M.: Nauka, 1976 yil. – 736 b.
10. Beloglazov, Ta'lim kvalimetriyasi muammolarida tahlil, Izv. RAN. Nazariya va boshqaruv tizimlari. - 2006. - 6-son. - S. 39 - 52.
Material tahririyatga 2011 yil 8 noyabrda kelib tushgan.
Ish 2009-2013 yillarga mo'ljallangan "Innovatsion Rossiyaning ilmiy va ilmiy-pedagogik kadrlari" federal maqsadli dasturini amalga oshirish doirasida amalga oshirildi. (P770-sonli davlat shartnomasi).
Komponentlarni tahlil qilish ko'p o'lchovli o'lchovlarni kamaytirish usullarini anglatadi. U bitta usulni o'z ichiga oladi - asosiy komponent usuli. Asosiy komponentlar ortogonal tizim komponentlarning dispersiyalari ularning statistik xususiyatlarini tavsiflovchi koordinatalar.
Iqtisodiyotda o'rganish ob'ektlari ta'siriga ta'sir qiladigan katta, ammo cheklangan miqdordagi xususiyatlar bilan tavsiflanganligini hisobga olsak. katta raqam tasodifiy sabablar.
Asosiy komponentni hisoblash
O'rganilayotgan X1, X2, X3, X4, ..., Xn xususiyatlar tizimining birinchi asosiy Z1 komponenti bu xususiyatlarning shunday markazlashtirilgan - normalangan chiziqli birikmasi bo'lib, u boshqa markazlashtirilgan - normalangan chiziqli birikmalar qatoriga kiradi. eng o'zgaruvchan farq.
Z2 ning ikkinchi asosiy komponenti sifatida biz ushbu xususiyatlarning markazlashtirilgan - normallashtirilgan kombinatsiyasini olamiz, bu:
birinchi asosiy komponent bilan bog'liq emas,
birinchi asosiy komponent bilan korrelyatsiya qilinmaydi, bu kombinatsiya eng yuqori dispersiyaga ega.
K-chi asosiy komponent Zk (k=1…m) biz bunday markazlashtirilgan - normalangan xususiyatlar birikmasini chaqiramiz, ular:
k-1 oldingi asosiy komponentlar bilan bog'liq emas,
bo'lmagan dastlabki xususiyatlarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari orasida
k-1 oldingi asosiy komponentlar bilan bog'liq emas, bu kombinatsiya eng yuqori dispersiyaga ega.
Biz ortogonal U matritsasini kiritamiz va X o'zgaruvchilardan Z o'zgaruvchilarga o'tamiz va
Vektor dispersiya maksimal bo'lishi uchun tanlanadi. Olingandan so'ng, u o'zaro bog'liq bo'lmagan taqdirda, dispersiya maksimal bo'lishi uchun tanlanadi va hokazo.
Belgilar beqiyos qiymatlarda o'lchanganligi sababli, markazlashtirilgan normallashtirilgan qiymatlarga o'tish qulayroq bo'ladi. Biz munosabatlardan boshlang'ich markazlashtirilgan-normallashtirilgan xususiyat qiymatlari matritsasi topamiz:
xolis, izchil va samarali baholovchi qayerda matematik kutish,
Farqning xolis, izchil va samarali bahosi.
Dastlabki xususiyatlarning kuzatilgan qiymatlari matritsasi Ilovada keltirilgan.
Markazlash va normalizatsiya "Stadia" dasturi yordamida amalga oshirildi.
Xususiyatlar markazlashtirilgan va normallashtirilganligi sababli, korrelyatsiya matritsasi quyidagi formula yordamida baholanishi mumkin:
Komponent tahlilini o'tkazishdan oldin biz dastlabki xususiyatlarning mustaqilligini tahlil qilamiz.
Uilks testi yordamida juftlik korrelyatsiya matritsasining ahamiyatini tekshirish.
Biz gipotezani ilgari suramiz:
H0: ahamiyatsiz
H1: muhim
125,7; (0,05;3,3) = 7,8
chunki > bo'lsa, H0 gipotezasi rad etiladi va matritsa muhim bo'ladi, shuning uchun komponent tahlilini o'tkazish mantiqan to'g'ri keladi.
Keling, kovariatsiya matritsasining diagonalligi haqidagi gipotezani tekshiramiz
Biz gipotezani ilgari suramiz:
Biz statistik ma'lumotlarni tuzamiz, qonun bo'yicha erkinlik darajasi bilan taqsimlanadi.
123,21, (0,05;10) =18,307
dan > bo'lsa, H0 gipotezasi rad etiladi va komponentli tahlilni o'tkazish mantiqan to'g'ri keladi.
Faktor yuklamalari matritsasini qurish uchun tenglamani yechish orqali matritsaning xos qiymatlarini topish kerak.
Ushbu operatsiyani bajarish uchun biz matritsaning o'ziga xos qiymatlarini qaytaradigan MathCAD tizimining xos qiymatlari funksiyasidan foydalanamiz:
Chunki Dastlabki ma'lumotlar umumiy populyatsiyadan olingan namuna bo'lganligi sababli, biz matritsaning o'ziga xos qiymatlari va xos vektorlarini emas, balki ularning taxminlarini oldik. Biz statistik nuqtai nazardan namunaviy xarakteristikalar umumiy populyatsiya uchun mos keladigan parametrlarni qanchalik "yaxshi" tasvirlashi bilan qiziqamiz.
i-chi xos qiymat uchun ishonch oralig'i quyidagi formula bo'yicha izlanadi:
Ishonch oraliqlari uchun xos qiymatlar Oxir-oqibat shaklni oling:
Bir nechta o'ziga xos qiymatlarning qiymatini baholash boshqa o'ziga xos qiymatlarning ishonch oralig'iga to'g'ri keladi. Xususiy qiymatlarning ko'pligi haqidagi gipotezani sinab ko'rish kerak.
Ko'plik statistika yordamida tekshiriladi
bu erda r - bir nechta ildizlar soni.
Bu statistik ma'lumotlar adolatli bo'lsa, qonunga muvofiq erkinlik darajalari soni bilan taqsimlanadi. Faraz qilaylik:
Chunki, gipoteza rad etilgan, ya'ni o'z qiymatlari va ko'p emas.
Chunki, gipoteza rad etilgan, ya'ni o'z qiymatlari va ko'p emas.
0,85 axborot mazmuni darajasida asosiy komponentlarni ajratib ko'rsatish kerak. Axborot mazmunining o'lchovi dastlabki xususiyatlarning dispersiyaning qaysi qismi yoki qaysi nisbati birinchi k-asosiy komponentlar ekanligini ko'rsatadi. Axborotlilik o'lchovi qiymat deb ataladi:
Ma'lum bir ma'lumot darajasida uchta asosiy komponent ajralib turadi.
= matritsasini yozamiz
Boshlang'ich xususiyatlardan asosiy komponentlarga normalangan o'tish vektorini olish uchun tenglamalar tizimini yechish kerak: , bu erda mos keladigan xos qiymat. Tizimning yechimini olgandan so'ng, natijada vektorni normallashtirish kerak.
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz mos keladigan xos qiymat uchun normallashtirilgan vektorni qaytaruvchi MathCAD tizimining xos vek funksiyasidan foydalanamiz.
Bizning holatda, ma'lumotlar mazmunining ma'lum darajasiga erishish uchun dastlabki to'rtta asosiy komponent etarli, shuning uchun U matritsasi (asl asosdan xos vektorlar asosiga o'tish matritsasi)
Biz U matritsasini quramiz, uning ustunlari xos vektorlardir:
Og'irlik matritsasi:
Matritsa A koeffitsientlari markazlashtirilgan - normallashtirilgan boshlang'ich xususiyatlar va normallashtirilmagan asosiy komponentlar o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientlari bo'lib, mavjudligi, kuchi va yo'nalishini ko'rsatadi. chiziqli ulanish tegishli dastlabki xususiyatlar va tegishli asosiy komponentlar o'rtasida.
Ishlab chiqarish va iqtisodiy jarayonlarni modellashtirishda ko'rib chiqilayotgan ishlab chiqarish quyi tizimi (tarkibiy bo'linma, o'rganilayotgan jarayon) darajasi qanchalik past bo'lsa, kirish parametrlari uchun ularni belgilovchi omillarning nisbiy mustaqilligi shunchalik xarakterlidir. Korxona ishining asosiy sifat ko'rsatkichlarini (mehnat unumdorligi, ishlab chiqarish xarajatlari, foyda va boshqa ko'rsatkichlar) tahlil qilishda kirish parametrlarining (omillarining) o'zaro bog'langan tizimi bilan modellashtirish jarayonlari bilan shug'ullanish kerak. Shu bilan birga, tizimlarni statistik modellashtirish jarayoni kuchli korrelyatsiya bilan tavsiflanadi va ba'zi hollarda deyarli chiziqli bog'liqlik aniqlash omillari (jarayonning kirish parametrlari). Bu multikollinearlik holati, ya'ni. kirish parametrlarining sezilarli o'zaro bog'liqligi (korrelyatsiyasi), bu erda regressiya modeli o'rganilayotgan real jarayonni etarli darajada aks ettirmaydi. Agar siz bir qator omillarni qo'shish yoki rad etishdan foydalansangiz, dastlabki ma'lumotlar miqdorining ko'payishi yoki kamayishi (kuzatishlar soni), unda bu o'rganilayotgan jarayonning modelini sezilarli darajada o'zgartiradi. Bunday yondashuvdan foydalanish o'rganilayotgan omillarning ta'sirini tavsiflovchi regressiya koeffitsientlarining qiymatlarini va hatto ularning ta'sir yo'nalishini keskin o'zgartirishi mumkin (birdan o'tishda regressiya koeffitsientlarining belgisi teskari tomonga o'zgarishi mumkin). modeli boshqasiga).
Tajribadan ilmiy tadqiqot Ma'lumki, ko'pchilik iqtisodiy jarayonlar har xil yuqori daraja parametrlarning (o'rganilayotgan omillar) o'zaro ta'siri (o'zaro bog'liqligi). Ushbu omillar uchun modellashtirilgan ko'rsatkichlarning regressiyasini hisoblashda modeldagi koeffitsientlarning qiymatlarini izohlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Model parametrlarining bunday multikollinearligi ko'pincha mahalliy xarakter, ya'ni barcha o'rganilgan omillar bir-biri bilan sezilarli darajada bog'liq emas, balki kirish parametrlarining alohida guruhlari. Multikollinear tizimlarning eng umumiy holati shunday o'rganilgan omillar majmui bilan tavsiflanadi, ularning ba'zilari o'zaro mustahkam bog'langan ichki tuzilishga ega bo'lgan alohida guruhlarni tashkil qiladi va bir-biri bilan deyarli bog'liq emas, ba'zilari esa bloklarga shakllanmagan va alohida omillardir. bir-biri bilan ham, qolganlari bilan ham sezilarli darajada bog'liq emas.. kuchli o'zaro bog'liqlikka ega bo'lgan guruhlarga kiritilgan omillar.
Ushbu turdagi jarayonlarni modellashtirish uchun bir-biri bilan sezilarli darajada bog'langan omillar to'plamini bitta muhim xususiyatga ega bo'lgan boshqa bog'liq bo'lmagan parametrlar to'plami bilan qanday almashtirish masalasini hal qilish kerak: mustaqil parametrlarning yangi to'plami barcha kerakli ma'lumotlarni o'z ichiga olishi kerak. o'rganilayotgan jarayon omillarining dastlabki to'plamining o'zgarishi yoki dispersiyasi. Bunday muammoni hal qilishning samarali vositasi asosiy komponent usulidan foydalanish hisoblanadi. Ushbu usuldan foydalanganda asosiy komponentlar to'plamiga kiritilgan boshlang'ich omillar kombinatsiyasini iqtisodiy talqin qilish muammosi paydo bo'ladi. Usul modelni kiritish parametrlari sonini kamaytirishga imkon beradi, bu esa olingan regressiya tenglamalaridan foydalanishni soddalashtiradi.
Asosiy komponentlarni hisoblashning mohiyati X j boshlang'ich omillari uchun korrelyatsiya (kovariatsiya) matritsasini aniqlash va matritsaning xarakterli raqamlarini (o'ziga xos qiymatlari) va mos vektorlarni topishdan iborat. Xarakterli raqamlar yangi o'zgartirilgan o'zgaruvchilarning dispersiyalari bo'lib, har bir xarakteristik raqam uchun mos vektor eski o'zgaruvchilar yangilariga kiradigan og'irlikni beradi. Asosiy komponentlar dastlabki statistik ma'lumotlarning chiziqli birikmalaridir. Boshlang'ich (kuzatilgan) omillardan asosiy komponent vektorlariga o'tish aylanish yo'li bilan amalga oshiriladi koordinata o'qlari.
Regressiya tahlili uchun, qoida tariqasida, faqat dastlabki bir necha asosiy komponentlar qo'llaniladi, ular birgalikda omillarning dastlabki o'zgarishining 80 dan 90% gacha tushuntiradi, qolganlari esa yo'q qilinadi. Agar barcha komponentlar regressiyaga kiritilgan bo'lsa, uning dastlabki o'zgaruvchilar orqali ifodalangan natijasi ko'p regressiya tenglamasi bilan bir xil bo'ladi.
Asosiy komponentni hisoblash algoritmi
Aytaylik, bor m o'lchovli vektorlar (boshlang'ich omillar). n X matritsasini tashkil etuvchi (o'lchamlar soni):
Simulyatsiya jarayonining asosiy omillari, qoida tariqasida, turli o'lchov birliklariga ega bo'lganligi sababli (ba'zilari kg, boshqalari km, boshqalari pul birliklari va boshqalar), ularni solishtirish, ta'sir darajasini, operatsiyani solishtirish. masshtablash va markazlashtirishdan foydalaniladi. O'zgartirilgan kiritish omillarini quyidagicha belgilaymiz yij. Tarozi sifatida ko'pincha standart (ildiz-o'rtacha kvadrat) og'ishlarning qiymatlari tanlanadi:
bu erda s j - X j ning standart og'ishi; s j 2 - dispersiya; - berilgan j-chi kuzatuvlar seriyasidagi boshlang'ich omillarning o'rtacha qiymati
(Markazlangan tasodifiy o'zgaruvchiga og'ish deyiladi tasodifiy o'zgaruvchi uning matematik kutilmasidan. X qiymatini normallashtirish yangi y qiymatiga o'tishni anglatadi, buning uchun o'rtacha qiymat nolga teng va dispersiya bitta).
Juftlik korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasini aniqlaymiz
bu erda y ij - i-o'lchov uchun x j -th tasodifiy o'zgaruvchining normallashtirilgan va markazlashtirilgan qiymati; y ik – qiymati k-chi tasodifiy miqdorlar.
r jk qiymati regressiya chizig'iga nisbatan nuqtalarning tarqalish darajasini tavsiflaydi.
F asosiy komponentlarning kerakli matritsasi quyidagi munosabatdan aniqlanadi (bu erda biz transpozitsiyalangan, - “90 0 ga aylantirilgan” - y ij qiymatlari matritsasidan foydalanamiz):
yoki vektor shaklidan foydalanish:
,
Bu erda F - to'plamni o'z ichiga olgan asosiy komponentlar matritsasi n uchun olingan qiymatlar m asosiy komponentlar; A matritsasining elementlari - har bir asosiy komponentning dastlabki omillardagi ulushini aniqlaydigan og'irlik koeffitsientlari.
A matritsaning elementlari quyidagi ifodadan topiladi
bu yerda u j korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasining xos vektori R; l j - mos keladigan xos qiymat.
Ru = lu bo'ladigan m o'lchovli nolga teng bo'lmagan u xos vektorni tanlash mumkin bo'lsa, l soni m tartibli R kvadrat matritsaning xos qiymati (yoki xarakteristik soni) deb ataladi.
R matritsasining barcha xos qiymatlari toʻplami |R - lE| tenglamaning barcha yechimlari toʻplamiga toʻgʻri keladi. = 0. Determinant det |R - lE|ni kengaytirib, R matritsaning xarakterli ko'phadini olamiz. |R - lE| tenglamasi. = 0 R matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni aniqlashga misol. Matritsa berilgan.
Uning xarakteristik tenglamasi
Bu tenglamaning ildizlari l 1 =18, l 2 =6, l 3 =3. l 3 ga mos keladigan xos vektorni (yo'nalishni) toping. Tizimga l 3 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
8u 1 – 6u 2 +2u 3 = 0
6u 1 + 7u 2 - 4u 3 = 0
2u 1 - 4u 2 + 3u 3 = 0
Ushbu tizimning determinanti nolga teng bo'lganligi sababli, chiziqli algebra qoidalariga ko'ra, siz oxirgi tenglamadan voz kechishingiz va natijada olingan tizimni ixtiyoriy o'zgaruvchiga nisbatan echishingiz mumkin, masalan, u 1 \u003d c \u003d 1
6u2 + 2u3 = - 8c
7 u 2 - 4 u 3 \u003d 6 s
Bu yerdan l 3 =3 uchun xos yo‘nalish (vektor) olamiz
1 xuddi shu tarzda xos vektorlarni topishingiz mumkin
Umumiy tamoyil, asosiy komponentlarni topish tartibi 2-rasmda ko'rsatilgan. 29.
 |
Guruch. 29. Asosiy komponentlarning o‘zgaruvchilar bilan bog‘lanish sxemasi
Og'irlik koeffitsientlari ushbu "yashirin" umumlashtiruvchi xususiyatning (global kontseptsiya) o'lchangan ko'rsatkichlar qiymatlariga ta'sir qilish darajasini (va yo'nalishini) tavsiflaydi X j .
Komponentlarni tahlil qilish natijalarini sharhlashga misol:
F 1 asosiy komponentining nomi uning tarkibida X 1, X 2, X 4, X 6 muhim xususiyatlarning mavjudligi bilan belgilanadi, ularning barchasi ishlab chiqarish faoliyati samaradorligining xususiyatlarini ifodalaydi, ya'ni. F1- ishlab chiqarish samaradorligi.
Asosiy komponentning nomi F 2 uning tarkibida X 3, X 5, X 7 muhim xususiyatlar mavjudligi bilan belgilanadi, ya'ni. F 2 ishlab chiqarish resurslarining hajmi.
XULOSA
Qo'llanmada berilgan o'quv materiallari, boshqaruv qarorlarini asoslash uchun iqtisodiy va matematik modellashtirishni o'zlashtirish uchun mo'ljallangan. Matematik dasturlash, jumladan, butun sonli dasturlash, chiziqli bo'lmagan dasturlash, dinamik dasturlash, transport tipidagi masalalar, navbat nazariyasi, asosiy komponentlar tahliliga katta e'tibor beriladi. Modellashtirish ishlab chiqarish tizimlarini tashkil etish va boshqarish amaliyotida, tadbirkorlik faoliyati va moliyaviy menejmentda batafsil ko'rib chiqiladi. Taqdim etilgan materialni o'rganish PRIMA dasturiy paketidan foydalangan holda va Excel elektron jadval muhitida modellashtirish va hisoblash texnikasidan keng foydalanishni o'z ichiga oladi.
Asosiy komponentlar
5.1 Ko'p regressiya va kanonik korrelyatsiya usullari mavjud xususiyatlar to'plamini ikki qismga bo'lishni o'z ichiga oladi. Biroq, har doim ham bunday bo'linish ob'ektiv asosli bo'lishi mumkin emas, shuning uchun ko'rsatkichlar o'zaro bog'liqligini tahlil qilishda xususiyat vektorini bir butun sifatida ko'rib chiqishni o'z ichiga olgan bunday yondashuvlarga ehtiyoj bor. Albatta, bunday yondashuvlarni amalga oshirishda, bir nechta o'zgaruvchilar guruhlari ob'ektiv ravishda aniqlanganda, ushbu xususiyatlar batareyasida ma'lum bir heterojenlik aniqlanishi mumkin. Bunday guruhning xususiyatlari uchun o'zaro bog'liqliklar turli guruhlardagi ko'rsatkichlar kombinatsiyasiga nisbatan ancha yuqori bo'ladi. Biroq, bu guruhlash tadqiqotchining apriori o'zboshimchalik bilan emas, balki ma'lumotlarni ob'ektiv tahlil qilish natijalariga asoslanadi.
5.2 Ba'zilar ichidagi korrelyatsiyalarni o'rganayotganda yagona to'plam m xususiyatlari
X"= X 1 X 2 X 3 ... X m
siz ko'p regressiya tahlilida qo'llanilgan usuldan va kanonik korrelyatsiya usulidan foydalanishingiz mumkin - yangi o'zgaruvchilarni olish, ularning o'zgarishi ko'p o'lchovli korrelyatsiyalar mavjudligini to'liq aks ettiradi.
Yagona xususiyatlar to'plamining guruh ichidagi munosabatlarini ko'rib chiqishdan maqsad bu o'zgaruvchilarning korrelyativ o'zgarishining ob'ektiv mavjud asosiy yo'nalishlarini aniqlash va vizualizatsiya qilishdir. Shuning uchun, ushbu maqsadlar uchun siz X xususiyatlarining asl to'plamining chiziqli kombinatsiyasi sifatida topilgan ba'zi yangi o'zgaruvchilarni kiritishingiz mumkin Y i .
Y 1 = b 1"X= b 11 X 1 + b 12 X 2 + b 13 X 3 + ... + b 1m X m
Y 2 = b 2"X= b 21 X 1 + b 22 X 2 + b 23 X 3 + ... + b 2m X m
Y 3 = b 3"X= b 31 X 1 + b 32 X 2 + b 33 X 3 + ... + b 3m X m (5.1)
... ... ... ... ... ... ...
Y m = b m "X= b m1 X 1 + b m2 X 2 + b m3 X 3 + ... + b m m X m
va bir qator kerakli xususiyatlarga ega. Aniqlik uchun yangi xususiyatlar soni dastlabki ko'rsatkichlar soniga (m) teng bo'lsin.
Bunday maqbul xususiyatlardan biri yangi o'zgaruvchilarning o'zaro korrelyatsiyasi, ya'ni ularning kovariatsiya matritsasining diagonal shakli bo'lishi mumkin.
S y1 2 0 0 ... 0
0 s y2 2 0 ... 0
Sy= 0 0 s y3 2 ... 0 , (5.2)
... ... ... ... ...
0 0 0 … s ym 2
Bu yerda s yi 2 - i-yangi xususiyat Y i dispersiyasi. Yangi o'zgaruvchilarning korrelyatsiyasizligi, aniq qulaylikdan tashqari, muhim xususiyatga ega - har bir yangi xususiyat Y i dastlabki X ko'rsatkichlarining o'zgaruvchanligi va korrelyatsiyasi haqidagi ma'lumotlarning faqat mustaqil qismini hisobga oladi.
Yangi belgilarning ikkinchi zaruriy xususiyati dastlabki ko'rsatkichlarning o'zgarishini tartibli hisobga olishdir. Shunday qilib, birinchi yangi o'zgaruvchi Y 1 X xususiyatlarning umumiy o'zgarishining maksimal ulushini hisobga olaylik. Bu, keyinroq ko'rib chiqamiz, Y 1 maksimal mumkin bo'lgan dispersiya s y1 2 bo'lishi talabiga ekvivalentdir. Tenglikni (1.17) hisobga olgan holda, bu shartni quyidagicha yozish mumkin
s y1 2 = b 1 "Sb 1= maksimal, (5,3)
qayerda S- X boshlang'ich xususiyatlarining kovariatsiya matritsasi, b 1- b 11 , b 12 , b 13 , ..., b 1m koeffitsientlarini o'z ichiga olgan vektor, bu bilan X 1 , X 2 , X 3 , ..., X m qiymatlari bo'yicha qiymatni olishingiz mumkin Y 1 .
Ikkinchi yangi o'zgaruvchi Y 2 birinchi yangi xususiyat Y 1 o'zgaruvchanligida uning eng katta ulushini hisobga olgandan keyin qolgan jami o'zgarishlarning ushbu komponentining maksimal qismini tasvirlab bersin. Bunga erishish uchun shartni bajarish kerak
s y2 2 = b 2 "Sb 2= maksimal, (5,4)
nol ulanishda Y 1 Y 2 bilan, (ya'ni r y1y2 = 0) va s y1 2 > s y2 2 da.
Xuddi shunday, uchinchi yangi xususiyat Y 3 asl xususiyatlar o'zgarishining uchinchi eng muhim qismini tavsiflashi kerak, buning uchun uning dispersiyasi ham maksimal bo'lishi kerak.
s y3 2 = b 3 "Sb 3= maksimal, (5,5)
sharti bilan Y 3 birinchi ikkita yangi xususiyat Y 1 va Y 2 (yaʼni r y1y3 = 0, r y2y3 = 0) va s y1 2 > s y2 > s y3 2 bilan korrelyatsiya qilinmagan boʻlsa.
Shunday qilib, barcha yangi o'zgaruvchilarning dispersiyalari kattalikdagi tartib bilan tavsiflanadi
s y1 2 > s y2 2 > s y3 2 > ... > s y m 2. (5.6)
5.3 Formuladan vektorlar (5.1) b 1 , b 2 , b 3 , ..., b m , uning yordamida Y i yangi o'zgaruvchilarga o'tish amalga oshirilishi kerak, matritsa shaklida yozilishi mumkin.
B = b 1 b 2 b 3 ... b m . (5.7)
Dastlabki xususiyatlar to'plamidan o'tish X yangi o'zgaruvchilar to'plamiga Y matritsa formulasi sifatida ifodalanishi mumkin
Y = B" X , (5.8)
va yangi xususiyatlarning kovariatsion matritsasini olish va (1.19) formulaga muvofiq korrelyatsiya qilinmagan yangi o'zgaruvchilar shartiga (5.2) erishish quyidagicha ifodalanishi mumkin.
B"SB= Sy , (5.9)
yangi o'zgaruvchilarning kovariatsiya matritsasi qayerda Sy ularning o'zaro bog'liqligi tufayli u diagonal shaklga ega. Matritsalar nazariyasidan (bo'lim A.25 Ilova A) ma'lumki, qandaydir simmetrik matritsa uchun olingan A xos vektorlar u i va l i va raqamlari
ulardan matritsalarni chaqirish U va L, (A.31) formulaga muvofiq natijani olish mumkin
U "AU= L ,
qayerda L simmetrik matritsaning xos qiymatlarini o'z ichiga olgan diagonal matritsadir A. Oxirgi tenglik (5.9) formulaga to'liq mos kelishini ko'rish oson. Shuning uchun quyidagi xulosaga kelish mumkin. Yangi o'zgaruvchilarning kerakli xususiyatlari Y vektorlar bo'lsa, ta'minlanishi mumkin b 1 , b 2 , b 3 , ..., b m , ularning yordami bilan ushbu o'zgaruvchilarga o'tish amalga oshirilishi kerak, dastlabki xususiyatlarning kovariatsiya matritsasining xos vektorlari bo'ladi. S. Keyin yangi xususiyatlarning dispersiyalari s yi 2 xos qiymatlar bo'ladi
s y1 2 = l 1 , s y2 2 = l 2 , s y3 2 = l 3 , ... , s ym 2 = l m (5.10)
(5.1) va (5.8) formulalar bo'yicha o'tish dastlabki xususiyatlarning kovariatsiya matritsasining xos vektorlari yordamida amalga oshiriladigan yangi o'zgaruvchilar asosiy komponentlar deb ataladi. Kovariatsiya matritsasining xos vektorlari soni odatda m ga teng bo'lganligi sababli - bu matritsa uchun boshlang'ich xususiyatlar soni, asosiy komponentlar soni ham m ga teng.
Matritsalar nazariyasiga muvofiq, kovariatsiya matritsasining xos qiymatlari va vektorlarini topish uchun tenglamani yechish kerak.
(S-l i I)b i = 0 . (5.11)
Determinantning nolga tengligi sharti bajarilsa, bu tenglama yechimga ega bo‘ladi
½ S-l i I½ = 0. (5.12)
Bu holat mohiyatan, shuningdek, ildizlari kovariatsiya matritsasining barcha xos qiymatlari l 1 , l 2 , l 3 , ..., l m boʻlgan tenglama boʻlib, bir vaqtning oʻzida asosiy komponentlarning dispersiyalariga toʻgʻri keladi. Ushbu raqamlarni olgandan so'ng, ularning har bir i uchun, (5.11) tenglamaga muvofiq, tegishli xos vektorni olishingiz mumkin. b men. Amalda, xususiy qiymatlar va vektorlarni hisoblash uchun maxsus iterativ protseduralar qo'llaniladi (B ilovasi).
Barcha xos vektorlarni matritsa sifatida yozish mumkin B, bu ortonormal matritsa bo'ladi, shuning uchun (bo'lim A.24 Buning uchun A) ilovasi bajariladi
B"B = bb" = I . (5.13)
Ikkinchisi shuni anglatadiki, har qanday o'z vektorlar juftligi uchun, b i "b j= 0, va har qanday bunday vektor uchun tenglik b i "b i = 1.
5.4 Keling, X 1 va X 2 ikkita boshlang'ich xususiyatning eng oddiy holati uchun asosiy komponentlarning hosilasini ko'rsatamiz. Ushbu to'plam uchun kovariatsiya matritsasi
bu erda s 1 va s 2 - X 1 va X 2 xususiyatlarining standart og'ishlari va r - ular orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti. U holda (5.12) shartni quyidagicha yozish mumkin
S 1 2 - l i rs 1 s 2
rs 1 s 2 s 2 2 - l i
5.1-rasm.Asosiy komponentlarning geometrik ma’nosi
Determinantni kengaytirib, biz tenglamani olishimiz mumkin
l 2 - l(s 1 2 + s 2 2) + s 1 2 s 2 2 (1 - r 2) = 0,
hal qilib, siz ikkita ildizni olishingiz mumkin l 1 va l 2 . (5.11) tenglamani quyidagicha yozish ham mumkin
s 1 2 - l i r s 1 s 2 b i1 = 0
r s 1 s 2 s 2 2 - l i b i2 0
Ushbu tenglamaga l 1 ni qo'yib, biz olamiz chiziqli tizim
(s 1 2 - l 1) b 11 + rs 1 s 2 b 12 = 0
rs 1 s 2 b 11 + (s 2 2 - l 1)b 12 = 0,
yechimi b 11 va b 12 birinchi xos vektorning elementlari. Ikkinchi ildiz l 2 ni xuddi shunday almashtirishdan keyin ikkinchi xos vektor b 21 va b 22 elementlarini topamiz.
5.5 Keling, bilib olaylik geometrik ma'no asosiy komponentlar. Buni faqat ikkita xususiyatning eng oddiy holati uchun vizual tarzda amalga oshirish mumkin X 1 va X 2 . Ular ikki o'lchovli bilan tavsiflanadi normal taqsimot korrelyatsiya koeffitsientining ijobiy qiymati bilan. Agar barcha individual kuzatishlar xususiyat o'qlari hosil qilgan tekislikka qo'llanilsa, u holda ularga mos keladigan nuqtalar ma'lum bir korrelyatsiya ellipsi ichida joylashgan bo'ladi (5.1-rasm). Y 1 va Y 2 yangi funksiyalari ham yangi o'qlar bilan bir xil tekislikda ko'rsatilishi mumkin. Usulning ma'nosiga ko'ra, X 1 va X 2 xususiyatlarining maksimal mumkin bo'lgan umumiy dispersiyasini hisobga oladigan birinchi asosiy komponent Y 1 uchun uning maksimal dispersiyasiga erishish kerak. Bu shuni anglatadiki, Y 1 uchun bunday topish kerak
o'qi, shuning uchun uning qiymatlarini taqsimlash kengligi eng katta bo'ladi. Shubhasiz, agar bu o'q korrelyatsiya ellipsining eng katta o'qi bilan yo'nalish bo'yicha mos tushsa, bunga erishiladi. Haqiqatan ham, agar biz individual kuzatishlarga mos keladigan barcha nuqtalarni ushbu koordinataga proyeksiya qilsak, biz eng katta diapazon va eng katta dispersiya bilan normal taqsimotni olamiz. Bu Y 1 ning birinchi asosiy komponentining individual qiymatlarini taqsimlash bo'ladi.
Y 2 ikkinchi asosiy komponentiga mos keladigan o'q birinchi o'qga perpendikulyar bo'lishi kerak, chunki bu o'zaro bog'liq bo'lmagan asosiy komponentlar holatidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, bu holda biz korrelyatsiya ellipsi o'qlari yo'nalishi bo'yicha Y 1 va Y 2 o'qlari bilan yangi koordinatalar tizimini olamiz. Ko'rinib turibdiki, korrelyatsiya ellipsi, ichida ko'rib chiqilsa yangi tizim koordinatalar Y 1 va Y 2 ning o'zaro bog'liq bo'lmagan individual qiymatlarini ko'rsatadi, asl xususiyatlar qiymatlari uchun X 1 va X 2 korrelyatsiyasi kuzatildi.
X 1 va X 2 asl xususiyatlari bilan bog'langan o'qlardan Y 1 va Y 2 asosiy komponentlariga yo'naltirilgan yangi koordinatalar tizimiga o'tish eski o'qlarni qandaydir j burchak bilan aylantirishga teng. Uning qiymatini formula bo'yicha topish mumkin
Tg 2j =. (5.14)
X 1 va X 2 xususiyatlar qiymatlaridan asosiy tarkibiy qismlarga o'tish shakldagi analitik geometriya natijalariga muvofiq amalga oshirilishi mumkin.
Y 1 \u003d X 1 cos j + X 2 sin j
Y 2 \u003d - X 1 sin j + X 2 cos j.
Xuddi shu natijani matritsa shaklida yozish mumkin
Y 1 \u003d cos j sin j X 1 va Y 2 \u003d -sin j cos j X 1,
bu Y 1 = o'zgarishiga to'liq mos keladi b 1"X va Y 2 = b 2"X. Boshqa so'zlar bilan aytganda,
= B" . (5.15)
Shunday qilib, xos vektor matritsasi ham o'z ichiga olgan sifatida ko'rib chiqilishi mumkin trigonometrik funktsiyalar dastlabki xususiyatlar bilan bog'liq bo'lgan koordinatalar tizimidan asosiy komponentlar asosida yangi o'qlarga o'tish uchun bajarilishi kerak bo'lgan burilish burchagi.
Agar bizda X 1, X 2, X 3, ..., X m m boshlang‘ich xususiyatlari bo‘lsa, u holda ko‘rib chiqilayotgan namunani tashkil etuvchi kuzatishlar qandaydir m o‘lchamli korrelyatsiya ellipsoidi ichida joylashadi. Keyin birinchi asosiy komponentning o'qi ushbu ellipsoidning eng katta o'qi bilan yo'nalish bo'yicha mos keladi, ikkinchi asosiy komponentning o'qi ushbu ellipsoidning ikkinchi o'qi bilan mos keladi va hokazo. X 1 , X 2 , X 3 , ..., X m xususiyatlarning o'qlari bilan bog'liq bo'lgan dastlabki koordinatalar tizimidan asosiy komponentlarning yangi o'qlariga o'tish eski o'qlarning bir nechta aylanishini amalga oshirishga teng bo'ladi. burchaklar j 1 , j 2 , j 3 , .. ., va oʻtish matritsasi B o'chirilgan X asosiy komponentlar tizimiga Y, o'z qovoqlaridan iborat -
kovariatsiya matritsasining tori, original xususiyatlarning eski o'qlari bilan yangi koordinata o'qlari burchaklarining trigonometrik funktsiyalarini o'z ichiga oladi.
5.6 Xususiy qiymatlar va vektorlarning xususiyatlariga ko'ra, boshlang'ich xususiyatlar va asosiy komponentlarning kovariatsiya matritsalarining izlari tengdir. Boshqa so'zlar bilan aytganda
tr S= tr S y = tr L (5.16)
s 11 + s 22 + ... + s mm \u003d l 1 + l 2 + ... + l m,
bular. kovariatsiya matritsasining xos qiymatlari yig'indisi barcha boshlang'ich xususiyatlarning dispersiyalari yig'indisiga teng. Shuning uchun biz tr ga teng bo'lgan boshlang'ich xususiyatlar dispersiyasining ba'zi umumiy qiymati haqida gapirishimiz mumkin S, va xususiy qiymatlar tizimi tomonidan hisobga olinadi.
Birinchi asosiy komponentning l 1 ga teng maksimal dispersiyaga ega bo'lishi avtomatik ravishda u asl xususiyatlar tr umumiy o'zgarishining maksimal ulushini tavsiflashini anglatadi. S. Xuddi shunday, ikkinchi asosiy komponent ikkinchi eng katta dispersiyaga ega l 2 , bu asl xususiyatlarning umumiy o'zgarishining ikkinchi eng katta hisoblangan ulushiga to'g'ri keladi va hokazo.
Har bir asosiy komponent uchun u tavsiflaydigan dastlabki xususiyatlarning o'zgaruvchanligi umumiy qiymatining ulushini aniqlash mumkin.
5.7 Shubhasiz, tr qiymati bilan o'lchanadigan X 1, X 2, X 3, ..., X m boshlang'ich xususiyatlar to'plamining umumiy o'zgarishi g'oyasi. S, bu barcha xususiyatlar bir xil birliklarda o'lchangandagina mantiqiy bo'ladi. Aks holda, siz turli xil xususiyatlarning dispersiyalarini qo'shishingiz kerak bo'ladi, ularning ba'zilari millimetr kvadratlarida, boshqalari kilogramm kvadratlarida, boshqalari radian yoki daraja kvadratlarida va hokazolarda ifodalanadi. Agar X ij xususiyatlarning nomlangan qiymatlaridan ularning normallashtirilgan qiymatlari z ij = (X ij - M i) ga o'tsa, bu qiyinchilikdan osongina qochish mumkin./ S i bu erda M i va S i o'rtacha arifmetik va i-xususiyatining standart og'ishi. Normallashtirilgan xususiyatlar z nol o'rtacha, birlik dispersiyalariga ega va hech qanday o'lchov birliklari bilan bog'liq emas. Dastlabki xususiyatlarning kovariatsiya matritsasi S korrelyatsiya matritsasiga aylanadi R.
Kovariatsiya matritsasi uchun topilgan asosiy komponentlar haqida aytilganlarning barchasi matritsa uchun to'g'ri bo'lib qoladi. R. Bu erda korrelyatsiya matritsasining xos vektorlariga tayangan holda ham mumkin b 1 , b 2 , b 3 , ..., b m , dastlabki xususiyatlardan z i asosiy komponentlarga o'ting y 1 , y 2 , y 3 , ..., y m.
y 1 = b 1 "z
y 2 = b 2 "z
y 3 = b 3 "z
y m = b m "z .
Bu transformatsiyani ixcham shaklda ham yozish mumkin
y = B"z ,
5.2-rasm. Ikki normalangan xususiyat uchun asosiy komponentlarning geometrik ma'nosi z 1 va z 2
qayerda y- asosiy komponentlar qiymatlari vektori, B- matritsa, shu jumladan xos vektorlar; z- boshlang'ich normalangan xususiyatlar vektori. Tenglik ham to'g'ri
B "RB= ... ... … , (5.18)
bu yerda l 1, l 2, l 3, ..., l m korrelyatsiya matritsasining xos qiymatlari.
Korrelyatsiya matritsasi tahlilida olingan natijalar kovariatsiya matritsasi uchun o'xshash natijalardan farq qiladi. Birinchidan, endi turli birliklarda o'lchangan xususiyatlarni ko'rib chiqish mumkin. Ikkinchidan, matritsalar uchun topilgan xos vektorlar va sonlar R va S, ham har xil. Uchinchidan, korrelyatsiya matritsasi bilan aniqlangan va z xususiyatlarining normallashtirilgan qiymatlariga asoslangan asosiy komponentlar markazlashtirilgan bo'lib chiqadi - ya'ni. nol o'rtacha qiymatlarga ega.
Afsuski, korrelyatsiya matritsasi uchun xos vektorlar va raqamlarni aniqlagandan so'ng, ulardan kovariatsiya matritsasining o'xshash vektorlari va raqamlariga o'tish mumkin emas. Amalda, korrelyatsiya matritsasiga asoslangan asosiy komponentlar odatda universalroq bo'lganlar sifatida ishlatiladi.
5.8 Korrelyatsiya matritsasidan aniqlangan asosiy komponentlarning geometrik ma'nosini ko'rib chiqamiz. Bu erda ikkita xususiyat z 1 va z 2 misoli tasvirlangan. Ushbu normallashtirilgan xususiyatlar bilan bog'liq koordinatalar tizimi grafikning markazida joylashgan nol nuqtasiga ega (5.2-rasm). Korrelyatsiya ellipsining markaziy nuqtasi,
barcha individual kuzatishlarni o'z ichiga olgan holda, koordinata tizimining markaziga to'g'ri keladi. Shubhasiz, maksimal o'zgarishlarga ega bo'lgan birinchi asosiy komponentning o'qi korrelyatsiya ellipsining eng katta o'qi bilan mos keladi va ikkinchi asosiy komponentning koordinatasi ushbu ellipsning ikkinchi o'qi bo'ylab yo'naltiriladi.
z 1 va z 2 asl xususiyatlari bilan bog'liq bo'lgan koordinatalar tizimidan asosiy komponentlarning yangi o'qlariga o'tish birinchi o'qlarni qandaydir j burchak bilan aylantirishga teng. Normallashtirilgan xususiyatlarning dispersiyalari 1 ga teng va (5.14) formula bo'yicha j 45 o ga teng aylanish burchagi qiymatini topish mumkin. Shunda (5.15) formuladan foydalanib, ushbu burchakning trigonometrik funktsiyalari bo'yicha aniqlanishi mumkin bo'lgan xos vektorlar matritsasi teng bo'ladi.
Cos j sin j 1 1 1
B" = = .
Sin j cos j (2) 1/2 -1 1
Ikki o'lchovli holat uchun xos qiymatlarning qiymatlarini topish ham oson. (5.12) shart shaklga ega bo'ladi
bu tenglamaga mos keladi
l 2 - 2l + 1 - r 2 \u003d 0,
ikkita ildizga ega
l 1 = 1 + r (5.19)
Shunday qilib, ikkita normallashtirilgan xususiyat uchun korrelyatsiya matritsasining asosiy komponentlarini juda oddiy formulalar yordamida topish mumkin
Y 1 = (z 1 + z 2) (5.20)
Y 2 \u003d (z 1 - z 2)
Ularning o'rtacha arifmetik qiymatlari nolga teng, standart og'ishlar esa
s y1 = (l 1) 1/2 = (1 + r) 1/2
s y2 = (l 2) 1/2 = (1 - r) 1/2
5.9 Xususiy qiymatlar va vektorlarning xususiyatlariga ko'ra, boshlang'ich xususiyatlarning korrelyatsiya matritsasi va xos qiymatlar matritsasi izlari tengdir. m normallashtirilgan xususiyatlarning umumiy o'zgarishi m ga teng. Boshqa so'zlar bilan aytganda
tr R= m = tr L (5.21)
l 1 + l 2 + l 3 + ... + l m = m.
Keyin i-chi asosiy komponent bilan tavsiflangan boshlang'ich xususiyatlarning umumiy o'zgarishi ulushi teng bo'ladi
Shuningdek, siz P cn kontseptsiyasini kiritishingiz mumkin - dastlabki n ta asosiy komponent tomonidan tavsiflangan asl xususiyatlarning umumiy o'zgarishining ulushi,
n l 1 + l 2 + ... + l n
P cn = S P i =. (5.23)
Xususiy qiymatlar uchun l 1 > l 2 > > l 3 > ... > l m shaklidagi tartib mavjudligi, shunga o'xshash munosabatlar o'zgaruvchanlikning asosiy komponentlari tomonidan tavsiflangan ulushlarga ham xos bo'lishini anglatadi.
P 1 > P 2 > P 3 > ... > P m. (5.24)
Mulk (5.24) to'plangan ulush P sn ning n ga bog'liqligining o'ziga xos shaklini nazarda tutadi (5.3-rasm). Bunday holda, dastlabki uchta asosiy komponent xususiyatlarning o'zgaruvchanligining asosiy qismini tavsiflaydi. Bu shuni anglatadiki, ko'pincha bir nechta birinchi asosiy komponentlar birgalikda xususiyatlarning umumiy o'zgarishining 80-90% gacha bo'lishi mumkin, har bir keyingi asosiy komponent esa bu ulushni juda biroz oshiradi. Keyinchalik, batafsil ko'rib chiqish va talqin qilish uchun faqat ushbu bir nechta birinchi asosiy komponentlar guruh ichidagi o'zgaruvchanlik va korrelyatsiyaning eng muhim naqshlarini tavsiflashiga ishonch bilan ishlatilishi mumkin.
5.3-rasm. Xususiyatlarning umumiy o'zgarishi nisbati P cn , n ta birinchi asosiy komponentlar tomonidan tasvirlangan, n qiymatiga bog'liqligi. Xususiyatlar soni m = 9
5.4-rasm. Asosiy komponentlarni saralash mezonini qurishni aniqlash
belgilar. Buning yordamida ishlash uchun informatsion yangi o'zgaruvchilar sonini 2 - 3 marta kamaytirish mumkin. Shunday qilib, asosiy komponentlar yana bir muhim va bor foydali mulk- ular asl xususiyatlarning o'zgarishi tavsifini sezilarli darajada soddalashtiradi va uni yanada ixcham qiladi. O'zgaruvchilar sonining bunday qisqarishi har doim ma'qul, ammo bu ba'zi buzilishlar bilan bog'liq. nisbiy pozitsiya dastlabki xususiyatlarning m o'lchovli fazosiga nisbatan bir nechta birinchi asosiy komponentlar fazosida individual kuzatishlarga mos keladigan nuqtalar. Ushbu buzilishlar xususiyat maydonini birinchi asosiy komponentlar maydoniga siqib chiqarishga urinishdan kelib chiqadi. Biroq, matematik statistikada isbotlanganki, o'zgaruvchilar sonini sezilarli darajada kamaytirishi mumkin bo'lgan barcha usullardan asosiy komponentlarga o'tish bu pasayish bilan bog'liq bo'lgan kuzatishlar strukturasida eng kam buzilishlarga olib keladi.
5.10 Asosiy tarkibiy qismlarni tahlil qilishda muhim masala - keyingi ko'rib chiqish uchun ularning sonini aniqlash muammosi. Shubhasiz, asosiy komponentlar sonining ko'payishi ko'rib chiqilayotgan o'zgaruvchanlik P cn ning yig'indisi ulushini oshiradi va uni 1 ga yaqinlashtiradi. Shu bilan birga, natijada tavsifning ixchamligi pasayadi. Bir vaqtning o'zida tavsifning to'liqligi va ixchamligini ta'minlaydigan asosiy komponentlar sonini tanlash amalda qo'llaniladigan turli mezonlarga asoslanishi mumkin. Biz ulardan eng keng tarqalganini sanab o'tamiz.
Birinchi mezon hisobga olingan asosiy komponentlar soni tavsifning etarli ma'lumotli to'liqligini ta'minlashi kerakligini hisobga olishga asoslanadi. Boshqacha qilib aytganda, ko'rib chiqilayotgan asosiy komponentlar dastlabki xususiyatlarning umumiy o'zgaruvchanligining ko'p qismini tavsiflashi kerak: 75 - 90% gacha. P cn to'plangan ulushning ma'lum bir darajasini tanlash sub'ektiv bo'lib qoladi va tadqiqotchining fikriga ham, hal qilinayotgan muammoga ham bog'liq.
Yana bir shunga o'xshash mezon (Kaiser mezoni) bizga xos qiymatlari 1 dan katta bo'lgan asosiy komponentlarni kiritish imkonini beradi. U 1 - bitta normallashtirilgan boshlang'ich xususiyatning dispersiyasi degan taxminga asoslanadi. Shoir-
Shuning uchun, o'z qiymati 1 dan katta bo'lgan barcha asosiy komponentlarni keyingi ko'rib chiqishga kiritish, biz faqat kamida bitta asl xususiyatning farqiga ega bo'lgan yangi o'zgaruvchilarni hisobga olishimizni anglatadi. Kayzer mezoni juda keng tarqalgan bo'lib, undan foydalanish statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun ko'plab dasturiy ta'minot paketlariga kiritilgan, agar ko'rib chiqilayotgan xususiy qiymatning minimal qiymatini belgilash zarur bo'lsa va standart qiymat ko'pincha 1 ga teng bo'ladi.
Cattellning elakdan o'tkazish mezoni nazariy jihatdan birmuncha yaxshiroq asoslanadi. Uning qo'llanilishi barcha xos qiymatlarning qiymatlari kamayish tartibida chizilgan grafikni ko'rib chiqishga asoslangan (5.4-rasm). Cattell mezoni olingan o'z qiymatlari qiymatlarining chizilgan ketma-ketligi odatda konkav chiziq hosil qilishiga asoslanadi. Birinchi bir nechta o'z qiymatlari ularning darajasining to'g'ri chiziqli bo'lmagan pasayishini ko'rsatadi. Biroq, ba'zi bir o'ziga xos qiymatdan boshlab, bu darajaning pasayishi taxminan to'g'ri chiziqli va ancha tekis bo'ladi. Ko'rib chiqishga asosiy komponentlarning kiritilishi o'z qiymati grafikning to'g'ri chiziqli tekis qismidan boshlanadigan bilan tugaydi. Shunday qilib, 5.4-rasmda, Kettell mezoniga muvofiq, faqat birinchi uchta asosiy komponentni ko'rib chiqishga kiritish kerak, chunki uchinchi xos qiymat grafikning to'g'ri chiziqli tekis qismining eng boshida joylashgan.
Cattell mezoni quyidagilarga asoslanadi. Agar normal taqsimlangan jadvaldan sun'iy ravishda olingan m xususiyatlar haqidagi ma'lumotlarni ko'rib chiqsak tasodifiy raqamlar, u holda ular uchun xususiyatlar orasidagi korrelyatsiyalar butunlay tasodifiy bo'ladi va 0 ga yaqin bo'ladi.Bu erda asosiy komponentlar topilganda, ularning to'g'ri chiziqli xarakterga ega bo'lgan xos qiymatlari kattaligining bosqichma-bosqich kamayishini aniqlash mumkin bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, o'z qiymatlarining to'g'ri chiziqli pasayishi tasodifiy bo'lmagan munosabatlar belgilarining korrelyatsiyasi to'g'risidagi tegishli ma'lumotlarning yo'qligini ko'rsatishi mumkin.
5.11 Asosiy komponentlarni talqin qilishda ko'pincha yuklar deb ataladigan shaklda taqdim etilgan xos vektorlardan foydalaniladi - asl xususiyatlarning asosiy komponentlar bilan korrelyatsiya koeffitsientlari. Xususiy vektorlar b i qanoatlantiruvchi tenglik (5.18) normalangan shaklda olinadi, shuning uchun b i "b i= 1. Demak, har bir xos vektor elementlari kvadratlari yig‘indisi 1 ga teng. Elementlari yuk bo‘lgan xos vektorlarni formula orqali oson topish mumkin.
a i= (l i) 1/2 b i . (5.25)
Boshqacha qilib aytganda, xos vektorning normallashtirilgan shaklini uning xos qiymatining kvadrat ildiziga ko'paytirish orqali mos keladigan asosiy komponentga dastlabki xususiyat yuklari to'plamini olish mumkin. Yuk vektorlari uchun tenglik to'g'ri bo'ladi a i "a i= l i , ya'ni kvadrat yuklarning yig'indisi i-asosiy komponent i-chi xos qiymatga teng. Kompyuter dasturlari odatda xos vektorlarni yuk ko'rinishida chiqaradi. Agar bu vektorlarni normallashtirilgan shaklda olish kerak bo'lsa b i Bu oddiy formula bilan amalga oshirilishi mumkin b i = a i/ (l i) 1/2 .
5.12 Xususiy qiymatlar va vektorlarning matematik xususiyatlari bo'limga muvofiq shundaydir A.25 Ilova A boshi korrelyatsiya matritsasi R shaklida taqdim etilishi mumkin R = BLB", deb ham yozilishi mumkin
R= l 1 b 1 b 1 "+ l 2 b 2 b 2 "+ l 3 b 3 b 3 "+ ... + lm b m b m " . (5.26)
Shuni ta'kidlash kerakki, har qanday atama l i b i b i ", mos keladi i-asosiy komponent hisoblanadi kvadrat matritsa
L i b i1 2 l i b i1 b i2 l i b i1 b i3 … l i b i1 b im
l i b i b i "= l i b i1 b i2 l i b i2 2 l i b i2 b i3 ... l i b i2 b im. (5.27)
... ... ... ... ...
l i b i1 b im l i b i2 b im l i b i3 b im ... l i b im 2
Bu yerda b ij - j- asl xususiyatning i- xos vektorining elementi. Bunday l i b ij 2 matritsaning har qanday diagonal hadi i-bosh komponent bilan tavsiflangan j- atributning o‘zgarishining qaysidir qismidir. U holda har qanday j-xususiyatning dispersiyasi quyidagicha ifodalanishi mumkin
1 = l 1 b 1j 2 + l 2 b 2j 2 + l 3 b 3j 2 + ... + l m b mj 2 , (5.28)
bu barcha asosiy komponentlarga qarab badallar bo'yicha uning kengayishini anglatadi.
Xuddi shunday, (5.27) matritsaning diagonaldan tashqari har qanday l i b ij b ik termini i-bosh komponent tomonidan hisobga olingan j-chi va k-chi xususiyatlarning korrelyatsiya koeffitsienti r jk ning maʼlum qismidir. Keyin bu koeffitsientning kengayishini yig'indi sifatida yozishimiz mumkin
r jk = l 1 b 1j b 1k + l 2 b 2j b 2k + ... + l m b mj b mk , (5.29)
unga barcha m asosiy komponentlarning hissasi.
Shunday qilib, (5.28) va (5.29) formulalardan har bir asosiy komponent har bir boshlang'ich xususiyat dispersiyasining ma'lum qismini va ularning har bir kombinatsiyasining korrelyatsiya koeffitsientini tavsiflashini aniq ko'rish mumkin.
B ij xos vektorlarning normalangan shakli elementlari a ij yuklarga oddiy munosabat (5.25) orqali bogʻlanganligini hisobga olib, kengayishni (5.26) yuklamalarning xos vektorlari boʻyicha ham yozish mumkin. R = AA", deb ham ifodalanishi mumkin
R = a 1 a 1" + a 2 a 2" + a 3 a 3" + ... + a m a m" , (5.30)
bular. m asosiy komponentlarning har birining hissalari yig'indisi sifatida. Ushbu hissalarning har biri a men va men" matritsa shaklida yozish mumkin
A i1 2 a i1 a i2 a i1 a i3 ... a i1 a im
a i1 a i2 a i2 2 a i2 a i3 ... a i2 a im
a men va men"= a i1 a i3 a i2 a i3 a i3 2 ... a i3 a im , (5.31)
... ... ... ... ...
a i1 a im a i2 a im a i3 a im ... a im 2
diagonallarida a ij 2 joylashtirilgan - j-chi boshlang'ich xususiyatning dispersiyasiga hissasi va diagonaldan tashqari a ij a ik elementlari - j-chi va k-ning r jk korrelyatsiya koeffitsientiga o'xshash hissalardir. xususiyatlari.