Kirish

Muntazam sirtdagi nuqtalarning tasnifi

Qavariq jismlar va yuzalar

1 Asosiy tushunchalar

2 Egrilik

4 Sharning egiluvchanligi

Egar sirtlari

3 Plato muammosi

Xulosa

Adabiyotlar ro'yxati

Kirish

Ushbu ish doimiy turdagi nuqtalarga ega bo'lgan sirtlarning tashqi geometriyasini o'rganish taqdimotiga bag'ishlangan. Unda konveks va egar sirtlari bilan bog'liq savollar mavjud.

Ushbu tadqiqot muammosi zamonaviy dunyoda dolzarbdir. Ko‘tarilgan masalalarning tez-tez o‘rganilishi, ularni o‘rganishga ko‘plab asarlar bag‘ishlanganligi ham shundan dalolat beradi. Asosan, taqdim etilgan material o'quv adabiyoti, umumiy xususiyatga ega.

19-asrdagi differensial geometriya. mexanika va tahlil bilan, ayniqsa nazariya bilan yaqin aloqada ishlab chiqilgan differensial tenglamalar xususiy derivativlarda. Bu davrda tahlilda formal integrasiya muammolariga katta etibor berilganligi sababli, differensial geometriya uchun formal-analitik yonalish muammolari ham tabiiy edi. Sirt nazariyasining asosiy ob'ekti "kichik" deb hisoblangan muntazam sirtlar edi.

20-asrda, hatto uning boshida ham, rasmiy xarakterdagi savollarni mexanika va tahlil uchun dolzarb deb hisoblash mumkin emas edi. Shu bilan birga, sirtlar nazariyasida tadqiqotlarning aksariyati hali ham 19-asr an'analarini davom ettirdi. Shunday qilib, bir tomondan, yuzalarning klassik nazariyasi, ikkinchi tomondan, tahlil va mexanika o'rtasida bo'shliq paydo bo'ldi. Ko'proq zamonaviy masalalar va tahlil va mexanikaning sifatli usullari begona bo'lib chiqdi klassik nazariya yuzalar. Yuzalarning klassik nazariyasi doirasida esa yangi soha belgilandi, uning mavzusi muntazam sirtlar bo'lib qoldi, lekin "butun holda" o'rganildi; bu tarmoq ham zamonaviy tahlil bilan birlashdi. Ammo bu erda quyidagilarni ta'kidlash juda muhim: qattiq sirtning xususiyatlari o'rganilgan "butun" geometriya bo'limlari uzoq vaqtdan beri umumiy usullarning etarlicha batafsil tizimiga ega bo'lgan (hech bo'lmaganda qavariq yuzalar uchun), sirtlarning deformatsiyalarini va ularning ichki va tashqi xususiyatlari o'rtasidagi munosabatlarni o'rganish ("butunlay") parcha-parcha edi. Bularning barchasi geometriya sohasida ishlagan geometriyachilarning ushbu soha muammolariga hali ham klassik tahlil vositalari bilan yondashganligi bilan izohlanadi, aksariyat hollarda bu erda juda kam qo'llaniladi. Sirtlarning mazmunli nazariyasini muvaffaqiyatli rivojlantirish uchun sirtning ichki xususiyatlarini o'rganishning umumiy to'g'ridan-to'g'ri usullari tizimini yaratish zarur bo'ldi. Buni A. D. Aleksandrov amalga oshirdi (uning shogirdlari I. M. Liberman va S. P. Olovyanishnikovlar ishtirokida). Qavariq yuzalar tabiiy ravishda beton va geometrik jihatdan aniq natijalar uchun ayniqsa qulay maydonni ifodalaydi. Lekin bu faqat individual natijalar emas. Har bir matematika kafedrasining rivojlanishi uchun muhim ahamiyatga ega umumiy daraja uning muammolari va usullari, bu daraja fan taraqqiyotiga mos kelishi muhim. Sirtlar nazariyasini rivojlantirish uchun uning alohida, mustaqil intizom bo'lmasligi kerak. A. D. Aleksandrov, A. V. Pogorelov, A. L. Verner va boshqa matematiklarning tadqiqotlari, aniqrog'i, katta ahamiyatga ega yuzalar nazariyasi uchun ular to'g'ridan-to'g'ri usullar bilan hamnafas bo'lib, ularga mos keladigan muammolar va usullarning yangi sohalarini ochadi. zamonaviy tahlil.

Ushbu ishning dolzarbligi, bir tomondan, ushbu mavzuga bo'lgan katta qiziqish bilan bog'liq zamonaviy fan boshqa tomondan, uning etarli darajada rivojlanmaganligi. Ushbu mavzuga oid masalalarni ko'rib chiqish ham nazariy, ham amaliy ahamiyatga ega.

Tadqiqotning maqsadi “Nuqtalarning doimiy tipidagi sirtlarning tashqi geometriyasi” mavzusining nazariy jihatlarini shu kabi masalalar bo'yicha so'nggi mahalliy va xorijiy tadqiqotlar nuqtai nazaridan o'rganishdir.

1. Muntazam sirtdagi nuqtalarning tasnifi

Vektor tenglama bilan berilgan S sirt , qo'ng'iroq qilamiz -muntazam, agar parametr sozlamalari sohasida D funksiyasi bo'lsa k (k) tartibli uzluksiz hosilalarga ega 2) va tengsizlik D mintaqasining barcha nuqtalarida bajariladi.

S sirtining ikkinchi kvadratik shakli deyiladi skalyar mahsulot vektorlar va n :

. (1)

S sirtning har bir nuqtasida (1) shakl differensiallarga nisbatan kvadratik shakl ekanligini tushunish oson. .

Ikkinchi kvadrat shaklning koeffitsientlari belgilanadi

uni quyidagi shaklda yozish imkonini beradi: .

S muntazam sirt va bo'lsin uning radius vektori.

Keling, S yuzasida biron bir nuqtani tanlaylik va samolyotni ko'rib chiqing shu nuqtada S sirtiga teginish.

Ixtiyoriy nuqta og'ishi tekislikdan S sirt formulani aniqlang

, (2)

qayerda - birlik vektor nuqtada sirt uchun normal.

Mutlaq qiymatda qabul qilingan bu og'ish nuqtadan masofaga teng samolyotgacha . Agar nuqta bo'lsa, og'ish ijobiy bo'ladi va vektorning oxiri samolyotning bir tomonida yoting va agar bu nuqtalar tekislikning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, manfiy (1-rasm).

Keling, (2) formulaga murojaat qilaylik. Farq quyidagi ko'rinishga imkon beradi:

qayerda .

Tenglikning ikkala qismini (3) vektorga skalyar ko'paytiramiz. Keyin, qo'yish

buni tushunamiz

. (4)

Koeffitsientlarga e'tibor bering va formulada (4) nuqtada hisoblanadi.

Shunday qilib, biz rad etishimiz kerak quyidagi vakillik:

, (5)

qayerdan orqali nuqtada hisoblangan sirtning ikkinchi kvadrat shaklini bildiradi va da .

Nuqta yaqinidagi S sirtining tuzilishini o'rganish uchun olingan formuladan (5) foydalanamiz.

Ikkinchi kvadrat shaklning diskriminantini hisoblang

nuqtada . Quyidagi holatlar mumkin.

) belgi-aniq.

Bir nuqtada tuzatish yuzada qandaydir yo'nalish; ishonch uchun.

Keyin nuqtada sirtdagi boshqa har qanday yo'nalish burchak yordamida o'rnatilishi mumkin , u tanlangan yo'nalish bilan hosil qiladi (2-rasm).

Mayli. Keyin

(6)

Buni ko'rsatish oson

doimiysi qayerda

va shartga ko'ra ijobiydir.

Shunday qilib, tengsizlik

burchakni tanlashdan qat'iy nazar amalga oshiriladi.

da nolga moyillik tartibi beri ikkinchi muddat (5) formulaning o'ng tomonida ikkitadan yuqori bo'lsa, oxirgi bahodan quyidagi xulosaga kelish mumkin.

Og'ish ikkinchi kvadrat shaklning belgisi bilan bir xil bo'lgan belgini saqlaydi , barcha etarlicha kichik qiymatlar uchun sirtdagi yo'nalishni tanlashdan qat'i nazar.

Bu shuni anglatadiki, S sirtining barcha nuqtalari nuqtaga etarlicha yaqin tangens tekislikning bir tomonida joylashgan Bu nuqtada S sirt. Sirtdagi bunday nuqta elliptik deb ataladi (3-rasm).

) - nuqtadagi sirtning ikkinchi kvadratik shakli belgisi oʻzgaruvchan.

Keling, buni ushbu holatda ko'rsatamiz Quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan sirtda ikkita kollinear yo'nalishni belgilash mumkin:

a) ushbu yo'nalishlarni belgilaydigan differensiallarning qiymatlari uchun nuqtada hisoblangan sirtning ikkinchi kvadratik shakli , yo'qoladi;

b) bir nuqtada sirtdagi boshqa barcha yo'nalishlar ikki sinfga bo'linadi - sinflardan birining yo'nalishlarini aniqlaydigan differentsiallar uchun, ikkinchi kvadrat shakl boshqalar uchun ijobiy va salbiy.

Bir oz yo'nalish bering ijobiy sinf burchak bilan o'rnatiladi . Formula (6) ga muvofiq bizda mavjud

qayerda.

Formuladan (5) ko'rinib turibdiki, og'ish belgisi barcha etarlicha kichik qiymatlar uchun ko'rib chiqilgan yo'nalishda ikkinchi kvadrat shakl belgisi bilan mos keladi . Shuning uchun, agar nuqta sirt S nuqtaga etarlicha yaqin , keyin bu og'ish ijobiy bo'ladi.

Xuddi shunday bahslashsa, nuqtaga yaqin bo'lgan sirtdagi nuqtalarni ko'rsatish mumkin , buning uchun og'ish salbiy (4-rasm).

Yuqoridagi mulohaza shuni ko'rsatadiki, bu nuqtaga yaqin , S sirt tangens tekislikning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan . Bunda chetlanishlari musbat bo'lgan sirt nuqtalarining teginish tekisligidagi proyeksiyalari rasmda belgilangan to'plamni to'ldiring (5-rasm).

Ko'rib chiqilayotgan holatda, nuqta S sirtining giperbolik nuqtasi deyiladi.

) , lekin koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farq qiladi.

Aniqlik uchun ruxsat bering . Keyin nuqtada sirtning ikkinchi kvadratik shakli S quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

Shunday qilib, belgiga qarab shakl yoki salbiy bo'lmagan ( ) yoki ijobiy emas ( ). Bundan tashqari, nuqtada S yuzasida yo‘nalish berish mumkin , shundayki, uni aniqlovchi differensiallar va ikkinchi kvadrat shaklni o'zgartiring nolga. Bir nuqtada sirtdagi boshqa barcha yo'nalishlar uchun shakl bir xil belgiga ega (belgiga to'g'ri keladi) (6-rasm).

Bu holda, nuqta S sirtining parabolik nuqtasi deyiladi.

Bunday nuqta sirtning tekislanish nuqtasi deyiladi. Bu nuqtada sirtning tangens tekisligiga nisbatan tekislash nuqtasiga yaqin sirt nuqtalarining joylashishi juda xilma-xil bo'lishi mumkin (7-rasm).

Nuqtalarning turiga qarab quyidagi sirt turlari ajratiladi:

· agar sirtning barcha nuqtalari elliptik bo'lsa, u holda sirt qavariq;

· agar sirtning barcha nuqtalari giperbolik bo'lsa, u holda sirt egardir.

2. Qavariq jismlar va yuzalar

1 Asosiy tushunchalar

Uch o'lchovli Evklid fazosidagi M to'plam, agar u X va Y nuqtalarining istalgan ikkitasi bilan birga ularni tutashtiruvchi to'g'ri chiziq bo'lagini o'z ichiga olsa, qavariq deyiladi (8-rasm). Ichki nuqtalari bo'lgan yopiq tekis qavariq to'plam qavariq mintaqa deb ataladi.

Qavariq mintaqa chegarasining tutashgan qismi qavariq egri chiziq deyiladi. Cheklangan qavariq mintaqaning chegarasi yopiq qavariq egri chiziq deyiladi. Yopiq qavariq egri chiziq aylana uchun gomeomorfdir. Qavariq mintaqa G chegarasining X nuqtasidan o'tuvchi g chiziq, agar butun mintaqa ushbu chiziq bilan aniqlangan yarim tekisliklardan birida joylashgan bo'lsa, tayanch chizig'i deb ataladi. Qavariq mintaqaning har bir chegara nuqtasidan kamida bitta mos yozuvlar chizig'i o'tadi.

Qavariq egri chiziq bo'lsa qavariq mintaqaning chegarasi G yoki uning chegarasining bir qismi, keyin egri chiziqning har bir nuqtasida mos yozuvlar chizig'i G mintaqasiga mos yozuvlar to'g'ri egri chizig'i ham deyiladi.

Qavariq egri chiziqning nuqtalari silliq va burchakli nuqtalarga bo'linadi. Ya'ni, qavariq egri chiziqning X nuqtasi bu nuqtadan faqat bitta tayanch chizig'i o'tsa silliq deyiladi. Aks holda, X nuqtasi burchak nuqtasi deb ataladi. DA burchak nuqtasi qo'llab-quvvatlash chiziqlari bu nuqtada ma'lum bir vertikal burchakni vertex bilan to'ldiradi va bu burchakning tomonlari ham qo'llab-quvvatlovchi chiziqlardir (10-rasm).

Har qanday konveks egri to'g'rilanishi mumkin, ya'ni. ma'lum uzunlikka ega. Agar yopiq egri chiziq bo'lsa qavariq egri chiziqni qamrab oladi , keyin uzunlik uzunligidan oshmaydi.

Qavariq jism - bu ichki nuqtalarga ega bo'lgan kosmosga o'rnatilgan yopiq qavariq. Yopiq qavariq to'plam qavariq jism bo'lishi uchun bu to'plamni o'z ichiga olgan tekislik bo'lmasligi zarur va etarli. Qavariq jismlarning har qanday to'plamining kesishishi (umumiy qismi), agar u ichki nuqtalarni o'z ichiga olsa, u ham qavariq tanadir.

Qavariq jismning chegarasidagi mintaqa (bog'langan ochiq to'plam) qavariq sirt deb ataladi. Qavariq jism chegarasining bog'langan komponenti to'liq qavariq sirt deb ataladi. Agar ikkita arzimas holatni istisno qiladigan bo'lsak, qavariq tana butun bo'shliq yoki ikkalasi orasidagi hudud bo'lganida parallel tekisliklar, keyin to'liq qavariq sirtni oddiygina qavariq tananing chegarasi sifatida aniqlash mumkin. Cheklangan qavariq jismning chegarasi sharga gomeomorf bo'lib, yopiq qavariq sirt deb ataladi. Har bir to'liq qavariq sirt tekislikka, sharga yoki silindrga gomeomorfdir. Ikkinchi holda, sirtning o'zi silindrdir.

Qavariq tekis hududlarda bo'lgani kabi, qavariq jismlar uchun ham mos yozuvlar tekisligi tushunchasi kiritilgan. Ya'ni, samolyot , K jismning X chegara nuqtasidan o'tib, jismning barcha nuqtalari tekislikning bir tomonida joylashgan bo'lsa, bu X nuqtadagi mos yozuvlar nuqtasi deb ataladi. , ya'ni. u belgilaydigan yarim bo'shliqlardan birida. Qavariq jismning har bir chegara nuqtasidan kamida bitta mos yozuvlar tekislik o'tadi. Sanoat tekisligiga perpendikulyar bo'lgan va tananing hech qanday nuqtalari bo'lmagan yarim fazoga yo'naltirilgan birlik vektori ushbu mos yozuvlar tekisligiga tashqi normal deyiladi.

S nuqtadan chiquvchi yarim chiziqlardan tashkil topgan qavariq jism V qavariq konus deyiladi; bu V tanasi butun makonga to'g'ri keladigan holatni bartaraf qiladi. Shu tarzda aniqlangan konveks konus tushunchasi, alohida holat sifatida, ikki burchakli burchak va yarim bo'shliqni o'z ichiga oladi. Qavariq konusning yuzasi odatda konveks konus deb ham ataladi. Ushbu ikkita alohida holatda, konusning sirt sifatida dihedral burchakka yoki tekislikka aylanishi haqida gapiriladi.

Qavariq K jism chegarasining har bir S nuqtasi tabiiy ravishda S nuqtadan chiquvchi va K jismni kamida S dan farq qiladigan bir nuqtada kesib o'tuvchi yarim chiziqlardan hosil bo'lgan ma'lum V(S) konus bilan bog'langan (11-rasm). .

Bu konus S nuqtadagi teginish konusi, uning yuzasi esa jismni chegaralovchi qavariq yuzaning teginish konusi deyiladi.

Tangens konusning turiga qarab, qavariq yuzaning nuqtalari konussimon, qovurg'ali va silliq bo'linadi. Bu konveks yuzaning X nuqtasi bo'lib, agar teg konus V(X) bu nuqtada degeneratsiya qilinmasa, konus deyiladi. Agar tangens konus V(X) ikki burchakli burchak yoki tekislikka aylansa, u holda X qovurg'ali yoki mos ravishda silliq nuqta deb ataladi. Qavariq sirtdagi silliq bo'lmagan nuqtalar, ma'lum ma'noda, istisno hisoblanadi. Ya'ni, qovurg'ali nuqtalar to'plamining o'lchovi nolga teng, konussimon nuqtalar to'plami esa eng ko'p hisoblanishi mumkin.

Eng oddiy noaniq qavariq tanasi qavariq ko'pburchakdir - cheklangan miqdordagi yarim bo'shliqlarning kesishishi. Qavariq ko'pburchakning yuzasi qavariq tekis ko'pburchaklardan iborat bo'lib, uni qavariq ko'pburchak deb ham ataladi. Ko'pburchak sirtini tashkil etuvchi ko'pburchaklar ko'pburchakning yuzlari deyiladi, ularning tomonlari ko'pburchakning chetlari, cho'qqilari esa ko'pburchakning uchlaridir.

Qavariq jismlar nazariyasida muhim rol konveks korpus tushunchasini o'ynaydi. M to'plamning qavariq qobig'i M ni o'z ichiga olgan barcha yarim bo'shliqlarning kesishishidir. Shuning uchun u qavariq to'plamdir va bundan tashqari, M ni o'z ichiga olgan barcha qavariq to'plamlar orasida eng kichigi. Har bir qavariq ko'pburchak uning cho'qqilarining qavariq qobig'i (cheklangan) va cheksizlikda) va shuning uchun ular tomonidan noyob tarzda aniqlanadi.

Qavariq yuzalar ketma-ketligi uchun konvergentsiya tushunchasi aniqlanadi. Qavariq yuzalar ketma-ketligi deymiz Agar biron-bir ochiq to'plam bir vaqtning o'zida F sirtini va barcha sirtlarni kesib o'tmasa yoki kesishmasa, F qavariq sirtiga yaqinlashadi. da . Har qanday qavariq yuza qavariq politoplar yoki muntazam qavariq yuzalar chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Qavariq yuzalarning cheksiz to'plamlari ixchamlikning muhim xususiyatiga ega, ya'ni cheksizlikka bormaydigan to'liq qavariq sirtlarning har qanday ketma-ketligidan birlashuvchi pastki ketma-ketlikni har doim qavariq sirt ko'rinishidagi chegara bilan ajratish mumkin, ehtimol degeneratsiya ( ikki barobar qoplangan tekis maydonga , to'g'ri chiziq, yarim chiziq yoki chiziq segmenti).

Biz konveks yuzalarning konvergent ketma-ketligining qo'llab-quvvatlovchi tekisliklarining yaqinlashishining juda keng tarqalgan xususiyatini qayd etamiz. Bo'lsin - qavariq sirt F ga yaqinlashuvchi qavariq yuzalar ketma-ketligi; - yuzadagi nuqta va bu nuqtadagi mos yozuvlar tekisligidir. Keyin nuqtalar ketma-ketligi bo'lsa F sirtining X nuqtasiga va tayanch tekisliklari ketma-ketligiga yaqinlashadi samolyotga yaqinlashadi , u holda bu tekislik X nuqtada F sirt uchun mos yozuvlar tekislikdir. Bundan, xususan, shundan kelib chiqadiki, agar nuqtalar ketma-ketligi qavariq yuzada F bu sirtning X nuqtasiga va mos yozuvlar tekisliklariga yaqinlashadi nuqtalarda samolyotga yaqinlashish , u holda bu tekislik X nuqtada mos yozuvlar bo'ladi.

2 Egrilik

G sirt F yuzasida qandaydir mintaqa bo'lsin. Biz G mintaqasining barcha nuqtalarida F yuzasiga barcha teginish (yo'naltiruvchi) tekisliklarni chizamiz va ba'zi bir birlik sharning markazidan S radiuslarini tashqi normallarga parallel ravishda chizamiz. bu mos yozuvlar tekisliklari. Shu tarzda chizilgan radiuslar uchlari bilan hosil boʻlgan S sohadagi nuqtalar toʻplami G mintaqasining sferik tasviri deb ataladi. G mintaqasining bu sferik tasvirining maydoni ushbu mintaqaning tashqi egri chizigʻi deb ataladi. (12-rasm).

Qavariq sirtning sferik tasviri bilan, sirtdagi maydonning sharsimon tasvirini chetlab o'tish yo'nalishi ushbu maydonni o'zi chetlab o'tish yo'nalishiga to'g'ri keladi. Shuning uchun qavariq sirtning egriligi har doim musbat sondir.

Ma'lum bo'lishicha, tashqi egrilik barcha Borel to'plamlari uchun aniqlangan konveks yuzada to'liq qo'shimcha funktsiyadir.

Bu teoremaning isboti quyidagi ikkita fikrga asoslanadi:

Qavariq sirtdagi yopiq to'plamning sharsimon tasviri yopiq to'plamdir.

Qavariq yuzaning sferik tasviri nuqtalari to'plami, ularning har biri yuzada kamida ikkita oldingi tasvirga ega, nolga teng maydonga ega.

Qavariq sirtlarning tashqi egriliklari uchun quyidagi konvergentsiya teoremalari amal qiladi:

Qavariq yuzalar ketma-ketligi bo'lsa qavariq yuza F va yopiq to'plamlar ketma-ketligiga yaqinlashadi yuzalarida yotish , F ustidagi yopiq M toʻplamga yaqinlashadi, keyin , qayerda mos keladigan to'plamning tashqi egriligini bildiradi.

Qavariq yuzalar ketma-ketligi bo'lsin qavariq F yuzasiga yaqinlashadi, va G sirtlarda ochiq to'plamlardir va F, va va bu to'plamlarning yopilishi. Keyin to'plamlar bo'lsa ga yaqinlashish , va to'plamlar F-G ga yaqinlashadi va to'plamlarning tashqi egriliklari tashqi egrilikka yaqinlashadi , keyin tashqi egriliklar tashqi egrilikka yaqinlashadi G.

Agar X F sirtining konussimon nuqtasi bo'lsa, uning sferik tasvirining o'zi S sferada butun bir mintaqani hosil qiladi (13-rasm). Agar L sirtning to'g'ri chiziqli bo'lmagan qirrasi bo'lsa, uning sferik tasviri S sferadagi butun mintaqani ham qamrab oladi (14-rasm).

Ichki egrilik sirtdagi to'plamning funktsiyasi sifatida aniqlanadi, ya'ni. to'plamlarning ma'lum sinfidan har bir M to'plamiga raqam beriladi - to'plamning egriligi M. Differensial geometriyada qabul qilingan terminologiyaga ko'ra, umumiy (yoki integral) ichki egrilik haqida gapirish kerak, ammo qisqalik uchun biz bu ikkala sifatni ham tashlab qo'yamiz, bu noto'g'ri tushunishga olib kelmaydi, "egrilik" so'zini ishlatmaganimiz uchun uni boshqa narsa deb ataymiz.

Uchburchak - aylanaga gomeomorf bo'lgan va uchta eng qisqa yo'l bilan chegaralangan figura. Eng qisqa egri chiziqlarning o'zi tomonlar deb ataladi va ular juft bo'lib yaqinlashadigan nuqtalar uchburchak cho'qqilari deb ataladi.

Ichki egrilik birinchi navbatda asosiy to'plamlar - nuqtalar, ochiq eng qisqa yo'llar va ochiq uchburchaklar uchun quyidagicha aniqlanadi.

Agar M nuqta va - sirtda uning atrofidagi to'liq burchak, keyin ichki egrilik M ga teng.

Agar M ochiq eng qisqa yo'l bo'lsa, ya'ni. chetlangan uchlari bilan eng qisqa yo'l, keyin .

Agar M ochiq uchburchak bo'lsa, ya'ni. tomonlari va uchlari chiqarib tashlangan uchburchak, keyin , qayerda uchburchakning burchaklaridir.

Bunday to'plamlar uchun.

Shu tarzda aniqlangan elementar to‘plamlarning ichki egriligi to‘plamning asosiy to‘plamlar yig‘indisi sifatida qanday tasvirlanishiga bog‘liq emasligi isbotlangan. Isbot quyidagi teoremaga asoslanadi.

Teorema: P - bo'lsin. ichki qismi burchakli geodezik poligon va Eyler xarakteristikasi . Keyin egrilik R ga teng bo'ladi.

Shubhasiz, elementar to'plamlarning qavariq sirtdagi ichki egriligi qo'shimcha funktsiyadir.

Hozirgacha qavariq sirtning ichki egriligi faqat elementar to'plamlar uchun aniqlangan. Uni yopiq to'plamlar uchun berilgan yopiq to'plamni o'z ichiga olgan elementar to'plamlarning ichki egriliklarining eng kichik pastki chegarasi sifatida belgilaymiz. Va nihoyat, har qanday Borel to'plami uchun biz ichki egrilikni undagi yopiq to'plamlarning ichki egriliklarining eng kichik yuqori chegarasi sifatida aniqlaymiz.

Eslatib o'tamiz, Borel to'plamlari yopiq va dan olinganlardir ochiq to'plamlar birlashma va kesishish operatsiyalarining hisoblangan to'plamidan ko'p bo'lmagan holda qo'llash. Shubhasiz, Borel to'plamlarining hisoblanuvchi to'plamining birlashmasi Borel to'plami bo'ladi.

Yopiq va umuman Borel to'plamlari uchun ichki egrilik ta'rifi avval elementar to'plamlar uchun kiritilgan ichki egrilik ta'rifiga zid kelmasligi quyidagi fundamental teorema bilan kafolatlanadi.

Teorema: Qavariq sirtdagi har qanday Borelning ichki egriligi uning tashqi egriligiga teng, ya'ni. sferik tasvirning maydoni.

3 Qavariq yuzaning xususiy egriligi

Qavariq sirtdagi har bir G mintaqasi ma'lum bir S(G) maydoniga va egrilikka ega . Munosabat G sohasining xususiy egriligi deyiladi. Agar barcha sohalar uchun G qandaydir doimiy bilan chegaralangan bo'lsa, bunday sirt chegaralangan egrilik yuzasi deb ataladi.

Sirtning chegaralangan o'ziga xos egrilikka ega bo'lish xususiyati chegaraga o'tishda saqlanadi. Shuning uchun ham quyidagi teorema amal qiladi.

Teorema: Qavariq yuzalar ketma-ketligi bo'lsa bir xil chegaralangan o'ziga xos egriliklar bilan F sirtga yaqinlashadi, keyin bu sirt cheklangan egrilik yuzasidir.

Isbot qavariq yuzalarning konvergent ketma-ketligining maydonlari va egriliklarining yaqinlashuvi teoremalariga asoslanadi.

X nuqtasida konveks sirtining o'ziga xos egriligi, ya'ni. chegara , G mintaqasi X nuqtaga qisqarganda, bu nuqtada sirtning Gauss egriligi deyiladi. Gauss egriligi sirtning har bir nuqtasida mavjud bo'lsa, u uzluksiz ekanligini isbotlash oson.

Chegaralangan egrilik sirtlari muntazam qavariq sirtlarning bir qator xususiyatlariga ega. Xususan, chegaralangan egrilikning qavariq sirtining har bir nuqtasidan istalgan yo'nalishda faqat sirtning o'ziga xos egriligiga bog'liq bo'lgan masofaga eng qisqa chiziqni chizish mumkin.

Berilgan nuqtadan istalgan yo'nalishda uzunlikgacha bo'lgan eng qisqa yo'lning mavjudligi shu nuqtaga yaqin joyda tanishtirishga imkon beradi qutb koordinatalari . Agar qo'shimcha ravishda sirt har bir nuqtada ma'lum bir Gauss egriligiga ega bo'lsa, u holda parametrlangan qo'shnilikdagi sirt metrikasi chiziq elementi bilan berilishi mumkin. , bu erda G koeffitsienti r ga nisbatan ikki marta differentsiallanuvchi uzluksiz funktsiyadir. Ushbu koeffitsient va sirtning Gauss egriligi o'rtasidagi bog'liqlik taniqli formula bilan belgilanadi.

Agar sirtning Gauss egriligi doimiy va noldan katta bo'lsa, u holda, ko'rish oson bo'lganidek, tenglamani qanoatlantiruvchi G koeffitsienti. , kabi ko'rinishi kerak.

Shuning uchun bunday sirt radiusli sferaga lokal ravishda izometrikdir.

Agar uchburchakda bo'lsa qavariq sirt o'ziga xos egrilikda , keyin uning burchaklari kamida (ko'pi bilan) uchburchakning mos keladigan burchaklaridir radiusli sharda bir xil tomonlari bilan.

Agar uchburchakda bo'lsa qavariq sirt o'ziga xos egrilikda , keyin bu uchburchakning S maydoni kamida (ko'pi bilan) uchburchakning maydonidir radiusli sharda bir xil tomonlari bilan . Bundan tashqari, taxminlar mavjud:

agar uchburchakda bo'lsa o'ziga xos egrilik va

agar uchburchakda bo'lsa o'ziga xos egrilik.

Bo'lsin va - qavariq yuzada O nuqtadan chiqadigan ikkita eng qisqa egri chiziq. Bo'lsin va - o'zgaruvchan nuqtalar yoqilgan va , , , va - tomonlari bo'lgan uchburchakdagi burchak qarama-qarshi tomon , sharda radius . Ular bu metrikani aytishadi sirt K-qavariqlik shartiga javob beradi yoki eng qisqa egri chiziqlar uchun K-qavariq bo'ladi. va in'ektsiya har qanday intervalda ortib bormaydigan funksiyadir , , unda eng qisqasi bor . Ular bu metrikani aytishadi K-botiqlik shartini qanoatlantiradi yoki agar K-botiq bo'lsa ga nisbatan kamaymaydigan funksiya hisoblanadi bir xil oraliqda (15-rasm). Quyidagi teorema amal qiladi.

Teorema: Qavariq yuzada o'ziga xos egrilik bo'lsa , keyin bu sirtda K-qavariqlik (K-bo'g'inlik) sharti bajariladi.

Qavariq yuzadagi nuqtalar uch xil bo'lishi mumkin: konussimon, bunda teginish konus buzilmaydi va shuning uchun umumiy burchak kamroq bo'ladi. , qovurg'ali - tangens konusning dihedral burchakka degeneratsiyasi bilan va tekis, bu erda teginish konusning tekislikka aylanadi. Shubhasiz, chegaralangan egrilik yuzasida konus nuqtalari bo'lishi mumkin emas, chunki bunday nuqtalarda o'ziga xos egrilik cheksizlikka teng. Ribbed nuqtalari cheklangan egrilik yuzasida ham bo'lishi mumkin. Biroq, quyidagi teorema amal qiladi.

Teorema: Agar qavariq yuzada A nuqtani o'z ichiga olgan har qanday etarlicha kichik maydonning solishtirma egri chizig'i qandaydir doimiy sondan oshmasa, u holda A nuqta tekis yoki sirtning to'g'ri qirrasi o'tadi.

Demak, natijada chegaralangan egrilikning yopiq qavariq yuzasi silliq ekanligi ma'lum bo'ladi. Har qanday chekli qismda silindr bo'lmagan, chegaralangan egrilikning cheksiz to'liq qavariq yuzasi silliqdir.

Agar to'g'ri chiziq segmenti qavariq sirtning A nuqtasidan o'tsa, u holda sirtda A nuqtasini o'z ichiga olgan va ixtiyoriy ravishda kichik o'ziga xos egrilikka ega bo'lgan ixtiyoriy kichik hududlar mavjud.

Shuning uchun, agar qavariq sirtning o'ziga xos egriligi sirtdagi barcha joylar uchun ijobiy chegaralarda bo'lsa, unda bunday sirt silliqdir.

4 Sharning egiluvchanligi

Sirtning etarlicha kichik bo'lagi har doim uzunligini saqlaydigan shakli o'zgarishiga duchor bo'lishi mumkin. Bu butun sirt uchun bunday emas. 1838 yilda Minding sfera yuzasining qattiqligi haqidagi fikrni faraz sifatida ilgari surdi. Biroq, faqat 1899 yilda Libman bu fikrni tasdiqladi. Gauss teoremasiga ko'ra, egrilik o'lchovi izometrik xaritalashlar ostida o'zgarmaganligi sababli, Libman teoremasini quyidagicha shakllantirish mumkin: sfera doimiy egrilikka ega bo'lgan yagona yopiq sirtdir.

Agar siz to'g'riligi uchun cheklovchi talablarni kiritmasangiz, unda bu bayonot noto'g'ri. Haqiqatan ham, agar biz shardan segmentni kesib tashlasak va bu segmentni kesma tekisligiga nisbatan oyna tasviri bilan almashtirsak, biz doimiy egrilik o'lchamiga ega bo'lsa-da, chekkaga ega bo'lgan "g'ijimlangan" sharni olamiz. Bundan buyon biz hamma joyda muntazam bo'lgan analitik yuzalar bilan shug'ullanamiz deb taxmin qilamiz.

Agar uchun parametrik chiziqlar sirt, biz uning egrilik chiziqlarini, so'ngra asosiy egrilik formulalaridan olamiz

birinchi navbatda ularni qo'ying va keyin biz quyidagilarni olamiz:

. (1)

O'zaro munosabatlar uchun bizda quyidagilar bo'ladi:

. (2)

Shaklning Codazzi formulalaridan foydalanish

va formulalar (2) ni olamiz, (3)

. (4)

Libman teoremasini isbotlashda biz buni taxmin qilishimiz mumkin . Haqiqatan ham, voqea istisno qilinadi, chunki bu yuzalar to'g'ri chiziqli generatorlarga ega va shuning uchun ular aniq yopiq bo'lmagan sirtlardir. Xuddi shu tarzda, egriligi hamma joyda manfiy bo'lgan yopiq sirt bo'lishi mumkin emas: . Darhaqiqat, bunday sirtning eng yuqori nuqtasida egrilik o'lchovi ijobiy bo'lishi kerak: . Shunday qilib, faqat ishni ko'rib chiqish qoladi , va bu holda o'xshashlikni o'zgartirish har doim amalga oshirilishi mumkin yoki, qaysi bir xil, .

Agar munosabat bizning yuzamizning hamma joyida bo'lsa , keyin sirtning barcha nuqtalari yaxlitlash nuqtalari va shuning uchun biz sharga egamiz. Agar biz shardan boshqa sirtni olsak va ikkinchisini egish orqali olingan bo'lsak, unda bunday sirtda albatta nuqtalar mavjud bo'lishi kerak. . Bu miqdorlarning ikkalasini ham hisobga olish mumkin uzluksiz funktsiyalar; sirtning yopiqligi tufayli, ikkala miqdor ham va yuzasida maksimal darajaga etadi. Bu maksimallardan biri har qanday holatda 1 dan katta. Masalan, miqdor bo'lsin nuqtaga yetadi maksimal, qaysi kattaroqdir 1. Keyin nuqtaning ba'zi mahallasi uchun bizda ... bor: , va qiymati nuqtada minimal darajaga etadi. Sifatida yaxlitlash nuqtasi emas, u holda uning atrofida muntazam egri chiziqlar tarmog'i mavjud.

Nisbat tufayli (3)-(4) formulalar o'rniga tenglamalar yozishimiz mumkin:

. (5)

Ularni birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

. (6)

Egrilik chiziqlarining yoy elementlaridan beri va formulalar bilan ifodalanadi , , keyin bizda bor , va formula (6) munosabatlar tufayli bering: nuqta atrofida.

O'sha paytdan beri kattalik maksimal darajaga etadi va - minimal bo'lsa, bu vaqtda quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Formulalar (3) va (4) keyin bizga beradi: . (7)

O'rnini bosish Gauss formulasiga kiradi

biz nuqtaga erishamiz:

Bu formulaning (7) munosabatlari tufayli o'ng tomoni manfiy, chap tomoni esa bizning taxminimiz bo'yicha musbat va 1 ga teng. Demak, bizning sirtimiz shar emas degan faraz ziddiyatga olib keladi. Dalil to'liq.

Olingan natijani quyidagicha shakllantirish ham mumkin: yaxlitlash nuqtasi bo'lmagan nuqta uchun doimiy musbat egrilik yuzasi bo'lagi ichida asosiy egrilik radiuslarining hech biri maksimal yoki minimal qiymatga ega bo'lishi mumkin emas.

Agar sharning yuzasida o'zboshimchalik bilan kichik teshik kesilsa, u holda sirt kavisli bo'lishi mumkin.

5 Sfera doimiy o'rtacha egrilikning yagona oval yuzasi sifatida

Agar biz sirtdagi egrilik o'lchovi o'rniga o'rtacha egrilik doimiy bo'lishini talab qilsak, avvalgisiga o'xshash teorema ham amal qiladi:

Bu teoremani Libman ham isbotlagan. Yopiq qavariq sirt, biz hamma joyda muntazam va analitik deb hisoblaymiz va bundan tashqari, hamma joyda ijobiy egrilik o'lchoviga ega bo'lsak, biz oval sirt deb ataymiz. Keyin teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: shar - doimiy o'rtacha egrilikka ega bo'lgan yagona oval sirt.

Ushbu teorema Bonnet tomonidan ko'rsatilgan hiyla yordamida oldingisiga qisqartirilishi mumkin. Buning uchun birinchi navbatda quyidagi taklifni o'rnatishimiz kerak: doimiy musbat egrilikning biron bir yuzasiga parallel bo'lgan sirtlar orasida o'rtacha egriligi doimiy bo'lgan va aksincha.

Bo'lsin uchun sirt mavjud , qo'yib yubor o‘rtacha egrilikka ega . Haqiqatan ham, sirt egri chiziqlari uchun

Yuzaki egrilik chiziqlari , kabi

To'g'ridan-to'g'ri tasdiqning isboti to'liq.

Keling, qarama-qarshi taklifni isbotlaylik, ya'ni. doimiy o'rtacha egrilikning ba'zi yuzasiga parallel bo'lgan sirtlar orasida Gauss egriligi doimiy bo'lgan sirt mavjud.

Bizda oval yuza bor, uning o'rtacha egriligi tenglamani qanoatlantiradi , a uning normalining birlik vektoridir. Keyin parallel sirt gauss egriligiga ega . Bu quyidagi fikrlashdan kelib chiqadi. Sirt egri chiziqlari uchun Rodriges formulalari bo'yicha bizda:

Yuzaki egrilik chiziqlari sirtning egrilik chiziqlariga mos keladi , kabi . Tegishli asosiy egrilik radiuslari bilan bog'liq . Shunday qilib, munosabat tufayli bizda quyidagilar mavjud:

Dalil to'liq.

Sharning qattiqligi haqidagi teorema ixtiyoriy oval sirtlarga torroq darajada kengaytirilishi mumkin. Biz bu taqsimotni Liebmanga ham qarzdormiz. Teorema quyidagicha o'qiladi: agar oval sirt duch keladigan o'zgarish uzluksiz va izometrik bo'lishi kerak bo'lsa, u holda bu sirt faqat shunday harakatlanishi mumkin. mustahkam.

3. Egar sirtlari

1 Asosiy tushunchalar va xususiyatlar

Egar sirtlari ma'lum ma'noda o'z xususiyatlariga ko'ra qavariq yuzalarga qarama-qarshidir. Qavariq sirtlar kabi ular sof geometrik tarzda aniqlanishi mumkin va oddiy holatda ular oddiy analitik xususiyatga ega - Gauss egriligining ijobiy emasligi.

Suvga cho'mish bilan aniqlangan sirt F bo'lsin ikki o'lchovli manifold ichida . Aytaymizki, P tekislik F ning yuqori qismini F dan kesadi, agar F\P to'plamining teskari tasviri komponentlari orasida. ixcham yopilgan G komponenti mavjud. Qism sirtining F ushbu komponent G ga mos keladigan qismi tepa deyiladi. Shubhasiz, jo'ja chegarasi bo'lgan sirt bo'ladi tekislikda yotgan P. Pinkies misollari Fig.16 da ko'rsatilgan.

F yuzi Agar u tepalarni biron bir tekislik bilan kesishga imkon bermasa, egar deb ataladi. Bir varaqli giperboloid, giperbolik paraboloid, har qanday chiziqli sirt, katenoid va boshqalarni egar sirtlariga misol qilib keltirish mumkin.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, egar sirtlari orasida yopiq yuzalar yo'q.

Egar sirtlarining ta'rifi, konveks yuzalardagi kabi, har qanday muntazamlik talablari bilan bog'liq emas. Bu tartibsiz egar sirtlarini o'rganish imkonini beradi.

Teorema: Sinfning F yuzasi uchun ichida egar nuqtasi boʻlsa, F sirtning har bir X nuqtasida uning Gauss egriligi K(X) musbat boʻlmasligi zarur va yetarli.

Isbot.

Kerak. F egar yuzasi bo'lsin. Aytaylik, shu nuqtada Gauss egriligi . Keyin bir necha mahalla ball ustida F nuqtada T dan F ga teguvchi tekislikning bir tomonida yotadi , va egar tartibi 0. Har qanday tekislik , T ga parallel, T ga etarlicha yaqin va bilan yotgan T ning bir tomonida F dan qobiqni kesib tashlaydi, bu mumkin emas (17-rasm).

Shuning uchun, hamma joyda F.

Adekvatlik. Bo'lsin F ning hamma joyida. Faraz qilaylik, P tekislik F dan F ning yuqori qismini chegara bilan kesib tashlaydi . F o'rnating ixcham tarzda . Shuning uchun biz P elliptik paraboloidni olishimiz mumkin, undan P bunday tepalikni kesib tashlaydi F orasida joylashgan va R, va - bo'sh to'plam (18-rasm). P tekislikka affin qisqarish orqali P dan olingan paraboloidlar turkumini ko'rib chiqamiz. Bu oilada paraboloid mavjud. , F bilan umumiy nuqtaga ega , lekin F R va pushti o'rtasida joylashgan , F dan R tekislik bilan uzilgan. Nuqtada sirt F va teginish va F ning barcha normal egriliklari va bu nuqtada bir xil belgi bor. Shuning uchun, nuqtada Gauss egriligi . Biz teorema shartiga qarama-qarshilikni oldik. Teorema isbotlangan.

Xulosa: muntazam sirtning har bir tepasida Gauss egriligi musbat bo'lgan nuqta mavjud.

Endi qurilishga o'tamiz Eyler xarakteristikasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan salbiy Gauss egriligining to'liq yuzalariga misollar . Bundan tashqari, tuzilgan misollar orasida har qanday turdagi yuzalar mavjud. Bunday sirtlarni qurish usuli 1898 yilda J. Xadamard tomonidan ko'rsatilgan.

Avvalambor e'tibor bering, agar F giperbolik paraboloid bo'lsa, u holda , va agar F bitta varaqning giperboloidi bo'lsa, u holda . Endi biz F sirtini quramiz, buning uchun.

Ikkita bitta varaqli inqilob giperboloidini oling va tenglamalar bilan berilgan

Giperboloidlar va Q tekisligida kesishadi: giperbola orqali. Sirtga ruxsat bering dan olingan va quyidagicha: dan , ; dan dihedral burchakda yotgan qismini kesib tashlang , ; qolgan qismlar filial bo'ylab yopishtirilgan giperbola , Q tekislikning yuqori yarim tekisligida yotgan (19-rasm). Bo'ylab sirt egarning qirrasi bor va P tekisligi ostida: giperbolaning boshqa tarmog'ida - o'z-o'zidan kesish.

Sirtning chetini tekislang . R samolyoti: xochlar segment ustida egri chiziq bo'ylab tenglama bilan berilgan

(3)

Yuqorida kesilgan funktsiyani o'rnating

(4)

shunday tenglik

(5)

Imkoniyatlar tenglik bilan aniqlanadi (5). Intervalda funktsiyani o'rnating

(6)

(3)-(6) tengliklardan shunday kelib chiqadi va . Buni hisoblash oson . U diapazonida: P tekislikda biz funktsiyani aniqlaymiz

. (7)

Uning grafigi sirt bo'ladi salbiy egrilik, chunki

. (8)

Ip ustida : sirt giperboloid bilan mos tushadi , va chiziq ustida : - giperboloid bilan . Shuning uchun, U chizig'i ustidagi sirtning bir qismini almashtirish , R tekisligidan yuqorida yotgan, sirt tomonidan , biz sirtni olamiz , har bir nuqtasida Gauss egriligi manfiy. F sirt Eyler xarakteristikasiga ega.

Shubhasiz, boshlang'ich giperboloidlar sonini ko'paytirish va hosil bo'lgan qirralarning boshqa sonini tekislash orqali Eylerning har qanday xarakteristikasi F sirtini olish mumkin. va cheksizlikda istalgan sonli nuqtalar bilan har qanday turdagi (20-rasm) Sinfga tekislash muntazamligini oshirish mumkin o'rtacha funktsiyalar bo'yicha keyingi yaqinlashuv tufayli.

Egar yuzalarining tekis qirralarini tekislash uchun E. R. Rozendorn tomonidan bir qator umumiy usullar ishlab chiqilgan. 1961 yilda u o'sha vaqtgacha juda ishonchli deb hisoblangan gipotezani rad etadigan misol yaratdi, bu erda har qanday to'liq egar yuzasi mavjud. cheksiz bo'ladi. Bunday misolni qurish bir qator mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qildi. Bu erda ularni takrorlamasdan, biz E. R. Rozendorn misolini qurish uchun juda batafsil sxemani taqdim etamiz.

Keling, olamiz raqamlar ketma-ketligi ushbu xususiyatlar bilan:

(9)

Keling, quraylik konsentrik sharlar tizimi radiuslar bilan va sobit nuqtada markaz O. uchun chegarasi S sharning radiusi R ga ega. Keling, ichkarida tuzamiz Grafik G to'g'ri chiziq segmentlaridan iborat va quyidagi xususiyatlarga ega:

) grafik G grafigiga gomeomorf - ikki doira guldastasining universal qoplamasi;

) darajali tugunlar G grafigi sharda yotadi (biz buni taxmin qilamiz);

) har qanday to'rt nuqta - bitta tugundan chiqadigan to'rtta segmentning uchlari hisoblash , - tetraedrning uchlari bo'ladi, uning ichida tugun joylashgan ; ichida nuqta joylashgan tetraedr muntazam;

) har qanday darajali bo'g'inning uzunligi grafik G, ya'ni. darajali tugunni bog'lovchi havola tugun darajasi bilan, ko'proq ;

) G grafigining o'z-o'zidan kesishishi yo'q.

G grafigini qurish mumkin. E'tibor bering, shart 4) darajali bog'lanishlar orasidagi burchaklarni ko'rsatadi va shar radiuslari ularning uchlarida tutilgan, moyil , qachon . (9) munosabatlardan siniq chiziq uzunligi kelib chiqadi ulanish nuqtasi bilan Oh, intiladi , A nuqta S sohaga ketganda, ya'ni. grafik G o'zining ichki metrikasiga nisbatan to'liq. Grafik G, go'yo "skelet" bo'lib, uning atrofida kerakli to'liq egar yuzasi quriladi. Ushbu sirt bir xil turdagi qismlardan iborat. Keling, bunday qismning tuzilishini tasvirlaylik. Nuqtalarida uchlari bo'lgan oddiy tetraedr T ni oling . T.ga toʻrtta konusni yozamiz nuqtalarda uchlari bilan , uning qo'llanmalari tepaga qarama-qarshi yuzga yozilgan doiralar bo'ladi . Keling, konusni olaylik va qovurg'alar orqali T tetraedrning mos keladigan dihedral burchaklarining yarmiga bo'linadigan tekisliklarni chizamiz. Bu tekisliklar kesilgan. bir qismi nuqtada tepa bilan , uchlari yuzlarning markazlarida joylashgan ellipslarning uchta yoyi bilan chegaralangan (21-rasm). Qismlar xuddi shu tarzda aniqlanadi. , , konuslar , , . Keling, sirtni quraylik.

Yuzaki to'rtta konussimon nuqtaga ega va yuzalarning chetlarida yotgan oltita tekis egar qovurg'alari . Agar dan nuqtalarni o'chirish va silliq tekis egar qirralari, keyin siz to'rtta chegara nuqtasi bo'lgan silliq egar yuzasini P o'rganishingiz mumkin (22-rasm).

Endi har bir havolada Grafik G ba'zi nuqtani tuzatamiz . to'rt nuqta havolalarda yotadi umumiy cho'qqiga ega bo'lish , tetraedrning uchlari bo'ladi . Bo'lsin - afin transformatsiyasi, bu esa T ni oladi , a . Keling, "sirt" ni quraylik

. (10)

(Bir guruh nuqta bo'lgani uchun sirt bo'lmaydi yo'q doiraga gomeomorf qo‘shni.) Har bir nuqtaning qo‘shnisida sirtni mahkamlang , bu "sirt" ning bir qismini egar halqasi yuzasiga teginish bilan almashtirish . Barcha bunday almashtirishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz S sferaning ichida yotgan, kerakli to'liq silliq egar yuzasi F ni olamiz (23-rasm).

Yuqoridagi konstruktsiyalar biroz o'zgartirilishi va olinishi mumkin sinfning to'liq egar yuzasi , S ichida yotgan, uning Gauss egriligi faqat tetraedr yuzlari markazlariga mos keladigan ajratilgan nuqtalarning sanab o'tilgan to'plamida yo'qoladi.

1915 yilda S.N.Bernshteyn to'liq egar yuzalarining tuzilishini o'rgandi. tenglama bilan berilgan butun samolyot bo'ylab.

1-teorema: tenglamada F sirt berilsin

, (11)

qayerda va butun tekislikda aniqlanadi . Agar P sirtining Gauss egriligi K musbat bo'lmasa va K nuqta bo'lsa<0, то

. (12)

Bu teoremani isbotlashda aslida F sirtning faqat egar shaklidan foydalaniladi.Bu G.M.Adelson-Velskiyga S.N.Bernshteyn teoremasining quyidagi umumlashtirilishini isbotlash imkonini berdi.

2-teorema: Egar yuzasi F ichkariga kirsin tenglama bilan berilgan , bu yerda uzluksiz funksiya butun tekislikda aniqlanadi . Keyin agar , u holda F silindrsimon sirtdir.

Bundan tashqari, S.N.Bernshteyn 1-teoremaning quyidagi umumlashmasini oldi.

3-teorema: Agar F sirt teorema 1 shartlarini qanoatlantirsa, u holda shunday ko‘rsatish mumkin. bu tengsizlik

hamma uchun ham mumkin emas berilgan raqam nima bo'lishidan qat'iy nazar.

1-teoremani qo'llash sifatida biz Bernshteyn teoremasini minimal sirtlarda taqdim etamiz . Eslatib o'tamiz, minimal sirt o'rtacha egrilik bo'lgan sirtdir.

4-teorema: Agar minimal sirt butun samolyot bo'ylab o'rnatiladi tenglama , u holda F tekislikdir.

2 ta cheklanmagan egar naychalari

Chunki ichida yopiq egar sirtlari yo'q, u holda egarning to'liq sirtlarining cheksizligi masalasi egar naychalarining cheksizligi uchun etarli shart-sharoitlarni olish uchun qisqartiriladi. . Egar quvurlari cheklanganligi , E.R.Rozendornning misolini ko'rsatadi.

Keling, egar naychalarining maxsus sinfiga o'tamiz - egar shoxlari. Ya'ni, quyida biz teoremani isbotlaymiz har qanday muntazam egar shoxi T cheksizdir.Bu natijaning o'rnatilishi ikki holatga bo'linadi, ular isbotlash usulida farqlanadi. Birinchidan, biz bunday shoxni ko'rib chiqamiz T , unda kamarlarning uzunligi infimum , keyin esa shox, buning uchun . Agar a , u holda shox T o'tkir deyiladi va agar bo'lsa, u o'tkir emas deb ataladi.

5-teorema (Yu.D. Burago): Agar T sinfning egar shoxi bo'lsa ichida va , keyin shox T ichida chegaralanmagan.

Teorema 6 (A.L. Verner): O'tkir egar muntazam (sinf ) T ning shoxi cheklanmagan.

Bu teoremani isbotlash uchun bizga quyidagi lemmalar kerak.

Lemma 1: Chegaralangan o'tkir egar shoxi T ustidagi yagona A nuqtani kesib bo'lmaydi.

Lemma 2: F to'liq sirt yoki trubka bo'lsin , berilgan -immersion f: F . Agar yo'naltirilmagan sferik xaritalash :F ba'zi bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamga nisbatan G eng ko'p ko'pligiga ega , keyin barcha mumkin bo'lgan divergent ketma-ketliklar uchun barcha chegara nuqtalari to'plami G ning hech bir joyida zich emas, F esa chegaralanmagan.

Teoremani isbotlash 6. T chegaralangan bo'lsin . Keyin, Lemma 1 tufayli, T shoxining yagona A nuqtasini kesib bo'lmaydi va T. A chegarasi L va bitta yagona nuqta - A nuqtasi bo'lgan egar yuzasi bo'ladi.

Taxmin qilishimiz mumkinki, T shoxining cheti cheklangan sondan iborat L egri chiziq bo'ladi. tekis qavariq yoylar , . Bunday L egri chizig'ini asimptotik yo'nalishda ketmaydigan T shoxining normal bo'limlarining qavariq yoylaridan qurish mumkin. Har qanday P tekisligi uchun P to'plami L boshqa yo'q komponent, chunki har bir to'plam P ko'pi bilan ikkita komponentdan iborat.

Keling, xaritalashni ko'rsataylik chekli ko‘plikka ega.

A nuqta kesilmagani uchun chegara to'plamning har bir komponenti G yoki aylanada yoyi bor G= , va shuning uchun komponentlarning umumiy soni va har qanday uchun va Ko'p emas . Xususan, to'plamlarda O nuqtaga va dan ortiq emas komponent, ya'ni. A nuqtasini T ustida egarlanish tartibi eng ko'p bo'lgan egar nuqtasi sifatida ko'rib chiqish mumkin.

Ba'zi yo'nalishlarni tuzatish . T tekisliklar orasiga yotsin va , . tomonidan belgilang o'rnatilgan komponentlar soni . Shubhasiz, , a . Biz ko'paytiramiz dan oldin va o'zgarishlarga rioya qiling . Ma'nosi har safar yangi komponent paydo bo'lishi sababli 1 ga ortadi ba'zi komponentlarga nisbatan L ni mahalliy darajada qo'llab-quvvatlaydi , va komponentga yaqin joyda egri L yuqorida joylashgan , ya'ni. L egri chizig'ining proyeksiyasining minimal nuqtasida . L dagi bunday nuqtalar soni bilan belgilanadi. Shubhasiz, .

Qiymatni kamaytirish hamma uchun sodir bo'ladi samolyot qachon T ga tegadi, har bir aloqa nuqtasi uchun bittadan va at , qachon A nuqtadan o'tadi. Ikkinchi holda tomonidan kamayadi , qayerda - o'rnatilgan komponentlar soni , chegarasida O nuqta joylashgan.

Agar o'tib ketsa T nuqtalari sonini, shu jumladan L nuqtalarini belgilang, bunda T ga teginish tekisliklari ga ortogonal bo'ladi, shunda biz shuni olamiz.

Demak,

Bundan kelib chiqadi bor ko'plik yuqori emas . Lemma 2 ga ko'ra, T shoxi cheksiz bo'lishi kerak. Bizda qarama-qarshilik bor. Teorema isbotlangan.

5 va 6 teoremalar egar shoxi haqidagi umumiy natijani bildiradi.

Teorema 7: Muntazam egar shoxi chegaralanmagan.

Bu teorema egar shoxining tashqi tuzilishini batafsil o'rganish imkonini beradi. Ushbu tadqiqot A.L.Verner tomonidan amalga oshirilgan.

Lemma 3: Kamarlarning ketma-ketligini minimallashtirish oddiy egar shoxida ga ajraladi , ya'ni. da hech qanday cheklov mavjud emas pastki ketma-ketliklar.

Lemma 4: T oddiy egar shoxi bo'lsin , - T va A dagi kamarlarning ketma-ketligini minimallashtirish - har qanday sobit nuqtada . Agar nuqta , keyin segmentlarning istalgan ketma-ketligi da qandaydir nurga yaqinlashadi .

Lemma 5: Oddiy egar shoxi tashqi tomondan to'la , ya'ni. shoxda ajraladigan nuqtalarning har qanday ketma-ketligi -da farqlanadi.

Lemma 6: T shoxini ichkariga qo'ying yuqorida ko'rsatilgan shartlarga javob beradi. Qavariq egri chiziq bo'lsa - chegara , keyin T yo'riqnoma bilan C silindrining ichida yotadi va generatorlar nurga parallel.

8-teorema: T oddiy egar shoxi bo'lsin . Keyin istalgan A nuqta va har qanday nuqtalar ketma-ketligi uchun T da ajralgan segmentlar ma'lum bir nurga yaqinlashadi - shoxning yo'nalishi T. Shox T yopiq silindr ichida yotadi, uning generatorlari nurga parallel.

9-teorema: T oddiy egar shoxi bo'lsin . Keyin shoxning aylanishi bo'lsa , keyin to'plam doira bo'ladi birlik sferasidagi katta doira , uning tekisligi shox T. yo'nalishiga perpendikulyar bo'lsa , keyin yoki , yoki yoy bo'ladi , yarim doiradan kam emas.

Eslatma: Shoxga ega bo'lgan manfiy egrilikning to'liq F yuzasiga misol, buning uchun , silindrsimon koordinatalarda berilgan tenglama shuni ko'rsatadi yarim doira bo'lishi mumkin (24-rasm). F yuzasi birvalent sferik tasvirga ega. Shuni ham ta'kidlaymizki, agar , keyin T ustidagi tekis kamarlarning o'z-o'zidan kesishgan joylari mavjud.

3.3 Plato muammosi

Plato muammosi quyidagicha tuzilgan: Ba'zi yopiq egri chiziq berilgan. Minimal maydon bilan bu kavisli sirt orqali chizish talab qilinadi. Kerakli sirtlarda, munosabat . Tenglama bizning variatsion masalamizning ekstremallarining differensial tenglamasidir. O'rtacha egriligi bir xil nolga teng bo'lgan sirtlar platoning minimal muammosining yechimi bo'lganligi uchun minimal sirtlar deyiladi. Minimal sirtlar bilan bog'liq tadqiqotlar Lagrange, Monge, Riemann, Weierstrass, Schwartz, Beltrami, Lie va Ribaucourt tomonidan amalga oshirildi. Agar biz o'zimizni faqat analitik yuzalar bilan cheklab qo'ysak, minimal sirtlarning ta'rifini izotropik egri chiziqlarni topishga osonlik bilan qisqartirish mumkin. Ba'zi bir egri sirtda biz izotropik egri chiziqlarning ikkita oilasini kiritamiz , parametrik chiziqlar sifatida. Bo'ladi , va o'rtacha egrilik uchun biz quyidagilarni olamiz:

Agar a , keyin munosabat . Differentsial munosabatlar , yoqilgan va , olamiz va . Tenglikni hisobga olgan holda , qayerda - normal vektor birligi, bizda: chiziqli mustaqildir. Demak, bundan kelib chiqadi bir xil tarzda yo'qoladi. Shuning uchun bizda . Tenglik orqali biz olamiz .

Topilgan natijani quyidagicha ifodalash mumkin: minimal sirtlar siljish yuzalari bo'lib, ularning qo'llanmalari izotropik egri chiziqlardir. Shunday qilib, differensial tenglamaning integrasiyasi izotropik egri chiziqlarni aniqlashga qisqartiradi.

4 Yakkama-yakka sferik tasvirga ega bo'lgan to'liq egar sirtlari

Agar muntazam yo'naltiriladigan sirt F ichida mahalliy topologik sferik xaritaga ega , u holda K ning F ning Gauss egriligi belgisini o'zgartirmaydi. Shunga asoslanib, A.L.Verner sferik univalent egar sirtlarining quyidagi tasnifini taklif qildi.

Biz F sirtini tugallangan deb hisoblaymiz. Keyin agar K , u holda F - qavariq sirt, va shuning uchun o'zaro aniq. Agar K , u holda F har qanday Eyler xarakteristikasiga ega bo'lishi mumkin.

To'liq muntazam (sinf ) birma-bir sharsimon xaritalash bilan egar sirtlari. Bunday sirtlar sinfini E bilan belgilaymiz. Bu sinfning sirtlari sferik univalent egar sirtlari deyiladi.

To'liq qavariq yuzalar bilan birgalikda sferik univalent egar sirtlari birma-bir sferik xaritalash bilan to'liq sirtlar sinfini tashkil qiladi.

Lemma 1: Sferik univalent egar yuzasida ikkita ajratilgan oddiy yopiq geodeziya mavjud emas.

Biz sirt deb taxmin qilamiz da belgilangan suvga cho'mish f: . Chunki F va W gomeomorf domenlardir , keyin F va W jinsi nolga ega. Shuning uchun W ni shar bo'ladi deb taxmin qilishimiz mumkin , undan cheklangan miqdordagi nuqtalar olib tashlangan - manifoldning cheksiz uzoq nuqtalari V. Bundan tashqari, , kabi . ball F sirtining cheksizligidagi nuqtalar deb ham ataladi. Cheksizlikdagi har bir nuqta F ustidagi quvurga to'g'ri keladi , bor uning cheksizlik nuqtasi. Bir naycha shox yoki piyola bo'lishi mumkin. Shuning uchun, har bir cheksiz uzoq nuqta uchun F dagi shox yoki piyola mos keladi deymiz. F dagi quvurlar cheksizlikda bir xil nuqtalarga ega bo‘lsa, ekvivalent hisoblanadi, aks holda ekvivalent bo‘lmaydi.

Chegara sharsimon tasvir F yuzasida bir xil miqdordagi komponentlar mavjud , , cheksizlikda qancha nuqta F yuzasiga yaqin. Biz komponent deb faraz qilamiz nuqtaga mos keladi , ya'ni. to'plamdir quvur uchun cheksiz nuqta bilan , va qo'ng'iroq qiling cheksizlikdagi nuqtaning sharsimon tasviri.

Keling, fikrni aytaylik shoxga mos keladi . Keyin to'plam ustida katta doira bo'ladi yoki , qachon nolga teng bo'lmagan aylanishga ega , yoki yarim doiradan kam bo'lmagan katta aylana yoyi, qachon .

To'plamlardan beri juftlikda umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa, yuqoridagilardan va geodeziyaning sferik tasvirining xususiyati quyidagicha bo'ladi.

Lemma 2: Sirtda nolga teng bo'lmagan aylanish shoxiga mos keladigan cheksizlikda ko'pi bilan bitta nuqta bo'lishi mumkin. Agar shunday nuqta mavjud bo'lsa, u holda F sirtining cheksizligidagi qolgan nuqtalar kosalarga to'g'ri keladi va F da oddiy yopiq geodeziya yo'q.

F uchun ruxsat etilgan holatlarni F ustidagi ekvivalent bo'lmagan shoxlar yoki piyolalarning mumkin bo'lgan soniga qarab ko'rib chiqing.

). F sirt gomeomorfdir , cheksizlikda bitta nuqtaga ega , va bu nuqta kosaga to'g'ri keladi. Bunga misol qilib giperbolik paraboloidni keltirish mumkin (25-rasm).

2) . F sirt silindr uchun gomeomorfdir va cheksizlikda ikkita nuqta bor va . Ulardan kamida bittasi piyola mos keladi. Shunday qilib, quyidagi holatlar mumkin:

a) cheksizlikdagi har bir nuqta va kosaga mos keladi, misol: bir varaqli giperboloid (26-rasm);

b) Bir nuqta cheksizlikda, bir nuqtani ayting , nolga teng bo'lmagan aylanish shoxiga to'g'ri keladi va nuqta - kosa. Misol: sirt F: . Ushbu holatda - katta doira , va shuning uchun bilan chegaralangan bir yarim sharda yotadi.

c) nuqta nol aylanish shoxiga va nuqtaga to'g'ri keladi - kosa. Misol: tenglama bilan berilgan sirt . Ko'rib chiqilayotgan turdagi sirt har doim o'z-o'zidan kesishmalarga ega.

) . F yuzasida bir piyola bo'lishi kerak. Ammo F da ikkita ekvivalent kosa yo'q. Lemma 2 ga ko‘ra, F da nolga teng bo‘lmagan aylanish shoxi ham bo‘lishi mumkin emas, chunki F sirt F kosasining kamarlariga gomotopik geodezik siklga ega. Shuning uchun ko‘rib chiqilayotgan holatda cheksizlikda bir nuqta. sirt F kosaga, qolgan ikkitasi esa nolga teng bo'lmagan aylanish shoxlariga to'g'ri keladi.

) . Agar F ning kamida bitta kosasi bo'lsa, u holda F da ikkita bir-biridan ajralgan geodezik sikl mavjud bo'lar edi: ulardan biri bu kosadagi kamarlarga gomotopik bo'lar edi, ikkinchisi esa F dagi bir juft cheksiz nuqtani boshqasidan ajratib turadi. Lemma 1 tomonidan bu mumkin emas. Shuning uchun, F da kosa yo'q va Lemma 2 ga ko'ra, barcha shoxlar faqat nol aylanishga ega bo'lishi mumkin. Bunday sirtlarning mavjud emasligi P.Sh.Rechevskiy va S.Z.Shefel tomonidan isbotlangan.

Shunday qilib, sirt sanab o'tilgan beshta kichik sinfdan faqat bittasiga tegishli bo'lishi mumkin: 1), 2a), b), c) va 3) va 3) kichik sinf sirtlarining namunalari hali topilmagan.

Ushbu kichik sinflarning sirtlari orasida eng oddiy va geometrik jihatdan aniq xususiyatlar nolga teng bo'lmagan aylanish shoxiga ega bo'lganlardir, ya'ni. pastki sinf 2b sirtlari). Bunday sirtni ko'rib chiqing.

Teorema: F sferik univalent egar yuzasi bo'lsin, shoxli aylanma nolga teng bo'lmagan. Agar a - dekart koordinatalari va eksa F sirt shoxining yo'nalishiga ega, u holda bu koordinatalarda F tenglama bilan berilishi mumkin , va funksiya sohasi - R tekislikdagi F proyeksiyasi: - maydon bo'ladi , bu erda M - F sirt shoxining cheksizligidagi nuqtaga to'g'ri keladigan P ga o'rnatilgan cheklangan yopiq qavariq.

Isbot. F ni immersiya orqali berilgan deb faraz qilamiz , va , nuqta shoxga va nuqtaga mos keladi - piyola yuzasi F. Sferik tasvir cheksizlikka nuqta shox shardagi ekvator bo'ladi . Faraz qilamizki, F sferik tasviri shunday yo'naltirilgan sharning yuqori yarim sharida yotadi .

Q tekislik z o'qiga parallel bo'lsin va (Q) - F to'plamining to'liq oldingi tasviri Q in W. Q tekislik F ga tangens bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun to'plamning komponentlari (Q) filial nuqtalari yo'q. Ushbu komponentlar orasida yopiq egri chiziqlar yo'q, chunki F dagi bunday komponentning tasviri vertikal tangens chiziqqa ega bo'ladi, keyin esa F vertikal (ya'ni Z o'qiga parallel) teginish tekisligiga ega bo'ladi, bu mumkin emas. Shuning uchun komponentlar (Q) faqat nuqtalarda tugaydigan oddiy yoylar bo'lishi mumkin va . Bu komponentlarning F dagi tasvirlari oddiy yopiq boʻlmagan egri chiziqlar boʻlib, ular F ga nisbatan toʻliqdir. Ularda vertikal tangenslar yoʻq, shuning uchun har bir bunday egri chiziq P ga oʻziga xos tarzda proyeksiyalanadi.

Bo'lsin - komponent (Q). Egar shoxining xossalaridan (8-teorema, 2.2-band) shundan kelib chiqadiki, ikkala uchi ham bo'lishi mumkin emas , shuning uchun ikkita holat mumkin.

a) ikkala uchi bir nuqtada yotish . Keyin proyeksiya P ustida to'g'ri chiziq bo'ladi, chunki s har ikki yo'nalishda ham cheksiz uzunlikda va s ning tangenslari P bilan burchak hosil qiladi, ba'zi dan katta emas.

b) yoy nuqtadan ketadi nuqtaga . Bunday holda, bir yo'nalishda s shoxga boradi va shuning uchun uning bu tomondan P ga proyeksiyasi chegaralangan va teskari yo'nalishda s ning P ga proyeksiyasi yana chegaralanmagan, ya'ni. bu holda s ning P ga proyeksiyalari nur bo'ladi.

Endi biz F ni P tekisliklari bilan kesishamiz ( ): z= . Bunday samolyotlar orasida, ehtimol, faqat bittasi F ga tangens bo'ladi. Shuning uchun bunday samolyotlar mavjud nima uchun ko'plikda , qayerda , komponentlarning filial nuqtalari va komponentlardan biri yo'q ichida nuqta yotadigan tsikl bo'ladi (8-teorema, 2.2-band). F velosiped yo'lida kamar bo'ladi , F shox T dan uzilib qolgan . F uzilishlarga ruxsat bermagani uchun faqat bitta komponent kiradi tsikl bo'lishi mumkin. Chunki T shoxi z o'qi yo'nalishi bo'yicha, keyin ichkariga kiradi boshqa o'rnatilgan komponentlar mavjud emas . Yopiq qavariq egri chiziq bo'lsin , va C - yo'naltiruvchi G bilan qavariq silindr va z o'qiga parallel bo'lgan generatorlar. Shox T C ichida yotadi . tomonidan belgilang F sirtining C dan tashqarida joylashgan qismi.

Egri chiziq proyeksiyasining yuqoridagi xossalaridan P da bu qismning proyeksiyasi osonlik bilan kelib chiqadi R ustida to'plami bo'ladi P \ .

Endi to'plamni ko'rib chiqing . Bo'lsin - V. To'plamdagi uning preimage Vtda ixchamdir. Shuning uchun faqat tsikllar uning tarkibiy qismlari bo'lishi mumkin. F dagi ushbu tsikllarning tasvirlari vertikal tangenslarga ega bo'lishi mumkin emas va shuning uchun barcha egri chiziqlar ichida nuqta bor , ya'ni. ularning tasvirlari F bo'yicha kamarlar bo'ladi. Agar bir nechta komponentga ega bo'lsa, u holda F da halqasimon domen U bo'lar edi, uning chegarasi C da yotgan ikkita yopiq egri chiziqdan iborat bo'ladi. . Shubhasiz, U C ichida yotadi , chunki U tepalarni kesishga ruxsat bermaydi. Bo'lsin - U ning P ga proyeksiyasi . To'plam chegarasida yotgan X nuqtani oling , lekin G da emas , va X orqali chiziq torting z o'qiga parallel. To'g'riga F ga tangens bo'ladi va shuning uchun U da vertikal tangens tekislik mavjud bo'lib, p

Tsilindrning har bir avlodi C xochlar , va shuning uchun F, bir xil miqdordagi nuqtalarda. Bu raqam (keling, uni bilan belgilaymiz ) aylanishlar soniga teng silindr atrofida. Bu C ni o'z ichiga olgan har qanday C silindr uchun bir xil bo'ladi. va shuning uchun qachon hamma uchun bir xil .

Silliq tsikllar va Vt da gomotopikdir va ichida yotadi . Bo'lsin - Vt oralig'idagi yopiq maydon va , va D - uning F dagi tasviri. D to'plamini cheklangan miqdordagi bunday qismlarga bo'lish mumkin , ularning har biri oʻziga xos tarzda P ga proyeksiyalangan . Ichkariga ulaning chiziqlar va silliq egri chiziqlarning bir parametrli oilasi , qayerda , , , va da chiziqlar ga yaqinlashish tangenslar bilan birga. orqali F dagi egri chiziqlar tasvirlarini belgilang.

Bo'lsin va - prognozlar va R ustida . yoy egri chizig'i ichida yotish , oʻz-oʻzidan kesishmalari yoʻq. Shuning uchun, egri izchil turlar uchun tangens egri chiziqlar maydonlarining aylanishi hammasi bir xil va egri chiziq tangenslar maydonining aylanishiga teng , ya'ni. teng . Va keyin tekis egri chiziqda tashqi normal maydonning aylanishi ham teng . Lekin normalar P ga proyeksiyalardir egri chiziqning mos nuqtalarida normallar F ga teng . Egri chiziqning sharsimon tasviridan beri Iordaniya egri chizig'i bo'ladi , etarlicha kattaligi uchun o'zboshimchalik bilan ekvatorga yaqin , keyin normallar maydonining aylanishi +1 ga teng, ya'ni. . Va bu F ning P ga birma-bir loyihalashini anglatadi.

F ning P ga proyeksiyasi yoki, xuddi shunday, P da shunday mintaqa bo'ladi , bu yopiq to'plamdir yakka-yakka bog'langan va chegaralangan bo'ladi. M to'plam qavariq bo'ladi. Aks holda, V dagi teskari tasviri nuqtada ikkala uchiga ega boʻlgan L tekislik egri chizigʻi bilan chegaralangan U qismini Q vertikal tekislikdan F dan kesish mumkin edi. , bu mumkin emas, yuqorida isbotlangan. Demak, M qavariq. Teorema isbotlangan.

Xulosa

Ushbu ishda men doimiy turdagi nuqtalarga ega bo'lgan sirtlar bilan bog'liq nazariy jihatlarni, xususan, qavariq va egar sirtlari bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqdim. Muntazam sirt nuqtalarining tasnifi, qavariq va egar sirtlarining tashqi geometriyasining ayrim xossalari bilan tanishdim, doimiy tipdagi nuqtalar bilan yuzalarning bog`lanishini sferik tasvir nazariyasi va egrilik nazariyasi bilan ko`rib chiqdim.

Ish materialidan talabalar oliy kasbiy ta'lim olishda, shuningdek o'qituvchilar tomonidan o'quv mashg'ulotlarini o'tkazishda foydalanishlari mumkin.

Adabiyotlar ro'yxati

Aleksandrov A.D. Qavariq yuzalarning ichki geometriyasi. - M.: OGIZ, 1948 yil.

Bakelman I.Ya., Verner A., ​​L., Kantor B.E. Differensial geometriyaga kirish "katta". - M.: Nauka, 1973 yil.

Blashke V. Differensial geometriya. - M.: ONTI, 1935 yil.

Verner A.L. Ijobiy bo'lmagan egrilikning eng oddiy to'liq yuzalarining tashqi geometriyasida. - M., 1968 yil.

Dubrovin A.A. Doimiy egrilikdagi bo'shliqlarda muntazam metrikaga ega bo'lgan qavariq sirtning muntazamligi haqida. - Ukr., 1965 yil.

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. zamonaviy geometriya. - M.: Nauka, 1979 yil.

Efimov N.V. Manfiy egrilik yuzalarida o'ziga xosliklarning paydo bo'lishi. - M., 1964 yil.

Kon-Fossen S.E. "Bir butun sifatida" sirtning moslashuvchanligi. - M.: UMN, 1936 yil.

Mishchenko A.S., Fomenko A.T. Differensial geometriya va topologiya bo'yicha qisqa kurs. - M.: FIZMALIT, 2004 yil.

Norden A.P. Sirtlar nazariyasi. - M.: Gostekhizdat, 1956 yil.

Pogorelov A.V. Qavariq yuzalarning tashqi geometriyasi. - M .: Nauka

Pogorelov A.V. Qavariq yuzalarning egilishi. - M .: Gostekhizdat

Poznyak E.G., Shikin E.V. Differensial geometriya: Birinchi tanishuv. Ed. 2-chi, tuzatilgan. va qo'shimcha - M.: URSS tahririyati, 2003 yil.

Rashevskiy P.K. Differensial geometriya kursi. - M.: Gostekhizdat, 1956. sirt sferasi egrilik egar

Rozendorn E.R. Evklid bo'shliqlarida salbiy egrilikning to'liq yuzalarida. - M., 1962 yil.

http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00015/74000.htm

Repetitorlik

Mavzuni o'rganishda yordam kerakmi?

Mutaxassislarimiz sizni qiziqtirgan mavzularda maslahat beradilar yoki repetitorlik xizmatlarini taqdim etadilar.
Ariza yuboring konsultatsiya olish imkoniyati haqida bilish uchun hozir mavzuni ko'rsating.

Sankt-Peterburg: Politexnika, 2004. - 679 p.
ISBN 5-7325-0236-X
Yuklab oling(to'g'ridan-to'g'ri havola) : spravochniktehnologaoptika2004.djvu Oldingi 1 .. 55 > .. >> Keyingi
Sinov shishasi usulining xatosi sinov oynasining o'zining egrilik radiusini aniqlashdagi xato va kuzatilgan interferentsiya halqalari sonini baholashdagi xatoliklarning yig'indisidir. Ikkinchisi odatda 0,5 halqa yoki 0,14 mikrondan oshmaydi. Sinov qilingan sirtga sinov oynasini qo'llash natijasida olingan interferentsiya naqshining ko'rinishi 2-rasmda ko'rsatilgan. 3.7.
Xatoning belgisini aniqlash uchun mahsulotning o'qi bo'ylab bosim kuchini yo'naltirib, sinov oynasiga bosing. Bosilganda, interferentsiya halqalarining harakati kuzatiladi.
Agar halqalar markazga to'g'ri kelsa, u holda xato ijobiy belgiga ega, ya'ni. tekshirilishi kerak bo'lgan konveks sirtining egrilik radiusi sinov oynasining radiusidan kattaroqdir (konkav uchun, aksincha). Agar bosilganda, halqalar kengayib, markazdan uzoqlashsa, unda xato bo'ladi
Guruch. 3.6. Sinov ko'zoynaklari bilan radiuslarni nazorat qilish sxemasi
141
Guruch. 3.7. Sinov oynasini qo'llashda shovqin namunasi
Guruch. 3.8. Nyuton halqa usulining sxemasi
ka manfiy belgiga ega, ya'ni qavariq yuzaning egrilik radiusi botiq yuzaning egrilik radiusidan kichik.
Sinov ko'zoynaklarining egrilik radiuslarini o'lchash usullari GOST 2786-82 * tomonidan belgilanadi. Jadvalda. 3.11 yo'riqnomada tavsiya etilgan 1-sinf aniqlik darajasidagi sinov oynalarining egrilik radiuslarini o'lchash vositalarini ko'rsatadi. ICG optimetridagi jadvalda ko'rsatilgan o'lchovlar oxirgi o'lchagichlar bilan taqqoslash usuli bilan amalga oshiriladi.
2 va 3-chi aniqlik sinflari sinov oynalari sirtlarining egrilik radiuslarini tekshirish uchun ko'rsatma bir nechta usullarni tavsiya qiladi. Ular orasida mikrometrlar yordamida to'g'ridan-to'g'ri o'lchash usuli (ular odatda ko'zoynakni o'lchash uchun ishlatiladi - kichik egrilik radiusi bo'lgan yarim sharlar), avtokollimatsiya usuli va Nyuton halqalari usuli.
Nyuton halqalari usuli bo'yicha 2000 mm dan ortiq egrilik radiuslari o'lchanadi (3.8-rasm). Tekshiriladigan qism 1 IZA-2, UIM-25, BMI modellari optik o'lchash asboblari ob'ekt stoliga 6 joylashtiriladi, uning ustiga tekis parallel shisha plastinka 5 o'rnatiladi, uning pastki yuzasi minimal og'ishlarga ega. ideal sirtdan (N<0,1). Монохроматическим источником света 2 с помощью по-
3.11-jadval.
SINOV KO'ZALARNING ERILISH RADIUSINI O'LCHISh UChUN ASOBOTLAR
Egrilik radiusi, mm O'lchov asbobi Shisha shakli Maksimal o'lchov xatosi
0,5 dan 37,5 gacha 37,5 dan 4000 gacha Gorizontal ICG optimetri Avtokollimator Qavariq botiq 0,175 dan 4,0 mkm gacha 0,004-0,007%
142
shaffof plastinka 3, plastinka 5 va 1-qism orasidagi bo'shliq yoritilgan.
Bo'shliqda hosil bo'lgan halqasimon interferentsiya sxemasi mikroskop 4 da kuzatiladi va halqalarning radiuslari asboblar stolini 6 harakatlantirish orqali o'lchanadi. Egrilik radiusi formula bo'yicha hisoblanadi.
p Rp-Rp (kn-kp)X’
bu erda pn - interferentsiya halqasining radiusi kn; pp - halqa radiusi kp; X - ishlatiladigan yorug'lik manbasining to'lqin uzunligi; bayram - uzuklarning seriya raqamlari.
Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, agar kn - kp ~ 200 bo'lsa va halqani nishonga olish uning kengligidan 0,1 aniqlik bilan amalga oshirilsa, u holda nisbiy o'lchash xatosi R 0,1% dan oshmaydi. Plastinka 5 ning sinovdan o'tgan va tekis sirtlari nurni ajratuvchi qatlam bilan qoplangan bo'lsa va ikki nurli o'rniga ko'p nurli interferentsiya namunasi olingan bo'lsa, bu xato ikki yoki uch marta kamayishi mumkin.
Egrilik radiuslarini o'lchash uchun avtokollimatsiya usulida qo'llaniladigan qurilmaning sxematik diagrammasi shaklda ko'rsatilgan. 3.9, a, b. U avtokollimatsion mikroskop 1ga asoslangan bo'lib, uning o'qi bo'ylab o'lchov harakati va tekshirilayotgan qismning sferik yuzasi o'qi 2. Mikroskopning eksenel harakati bilan egrilik radiusini o'lchash uchun izchil ravishda keskin avtokollimatsiyaga erishiladi. egrilik markaziga ishora qilganda mikroskop retikulasining tasviri (3.9-rasm, a), keyin esa o'lchangan shar yuzasining yuqori qismiga (3.9-rasm, b). Mikroskoplarning ushbu ekstremal pozitsiyalari uchun o'qishlardagi farq sirtning o'lchangan egrilik radiusiga teng.
Guruch. 3.9. Egrilik radiusini o'lchash uchun avtokollimatsiya usulining sxemasi
143
ness. Avtokollimatsiya usuli bo'yicha o'lchovlarning aniqligi asosan mikroskopni egrilik markaziga qaratishning Dz aniqligiga bog'liq. Bu avtokollimatsiya ta'sirini hisobga olgan holda, mkm, D z = 0,1 / A2, bu erda A - mikroskop mikroob'ektivining samarali diafragma yoki o'lchangan sirtning teshigi (A ning eng kichik qiymati olinadi).
Ishora xatosini kamaytirish uchun (ayniqsa, kichik nisbiy teshiklari bo'lgan sirtlarning egrilik radiuslarini o'lchashda) ba'zi asboblar tasodifiy fokuslash usulidan foydalanadi. Avtokollimatsiya usuli bilan o'lchanadigan sirtlarning egrilik radiuslari diapazoni o'lchov asboblari shkalalarining uzunligiga bog'liq. IZM tipidagi o'lchash mashinalaridan foydalanganda 5000-6000 mm gacha egrilik radiusi bo'lgan konkav sirtlarni o'lchash mumkin. Qulay sharoitlarda o'lchov xatosi 0,004% dan oshmaydi.
Qavariq va konkav yuzalarning egrilik radiuslarini kontaktsiz usulda o'lchash uchun GIP-2 qurilmasi ishlab chiqilgan. Uning sxemasi sintezlangan gologrammalar to'plamiga asoslangan. Ishlash printsipi quyidagicha (3.10-rasm).

5a sinf, 18 YVTO 1-DAIL IZO YETENI.

Quduqlarning egri chizig'ini aniqlash uchun qurilmaning TA'RIFI.

1930 (ariza guvohnomasi No 68898).

Magnit igna yordamida quduqlarning egriligini aniqlash uchun og'ish burchagining azimutini aniqlash uchun asboblar allaqachon ma'lum, shuningdek, bunday asboblarda geografik panjara bosilgan sferik sirtdan foydalanish. yarim sharni quduqning egriligi paytida qabul qilingan holatda mahkamlang, qiya tirqishli klapanlarning pastga qarab harakatlanishidan ta'sir qiluvchi qisqichlar ishlatiladi.lentali va uglerod qog'ozli lenta bilan roliklar, qisqichli yarim sharning yuzasiga biriktirilgan.Bu holda, klapanlarni tushirish, kubni bosish, lentaning rulonlarini aylantirish va hidoyat qanotlarining kengayishi er yuzasidan zanjir uzatmasi bilan aylanadigan rolikdan viteslar bilan burilgan murvat yordamida amalga oshiriladi.

Rasmdagi rasmda. 1-rasmda C - Z chizig'i bo'ylab qurilmaning vertikal qismi tasvirlangan. 2; Anjir. 2 - rasmda A - B chizig'i bo'ylab gorizontal qism. bitta; Anjir. 3 - qurilmaning yuqori ko'rinishi.

Massiv | th mayatnik-yarimshar 1 (2-rasm) o'qning chiqadigan uchlari bilan 2, kirib-. ulash, ikkita qarama-qarshi teshikka 4 halqa 3 (1-rasm), shuningdek, 90 burchak ostida teshiklarning birinchi juftiga joylashgan teshiklari bor, ular eksenel quvurlarni o'z ichiga oladi 5, bir uchida ko'targichlarga biriktirilgan b. Ikki konkav qisqichning 9 oyoqlari 8 o'rnatilgan naychalarda 5, uzunlamasına tirqishlar 7 mavjud. Oyoqlarning 8 boshqa uchida o'tkazgich 10 barmoq bor, u chiqib ketadigan uchlari bilan tirqish 7 bo'ylab harakatlanadi. quvurlar 5. Muqobil ravishda ulangan ikkita valf 11 orqali

U-shaklidagi bar 22, qiyshiq tirqishlari 11, qisqichlar 9 bir yo'nalishda to'pga 1, keyin esa orqaga harakat qiladi.

Yarim sharning 1 ostida (1-rasm) konkav tepasi bo'lgan uchinchi qisqich 14 mavjud. bir xil yarim shar bilan 1. Oyog'i 16 bilan qisqich 14 kolba 17 ichida erkin harakatlanadi, joylashgan bilan disk 18 vidalanadi! ustiga tutqichlar bilan 15, to'xtash joylariga 15 bog'langan. Tutqichlar 15. mandalning 11 bir uchini bosganda, ularning ikkinchi uchi uchinchi qisqichga 14 ta'sir qiladi, buloqlar 19 tomonidan yarim shardan 1 tortib olinadi. 1 yarim sharning markazida uning kesilgan (yuqori gorizontal) tomoniga igna 12 ekilgan. , uning o'tkir uchi tayanch bo'lib xizmat qiladi. magnitlangan va kompas ichi bo'sh yarim shar bo'lib xizmat qiladi 13, uning tashqi qavariq yuzasi kompas qirralariga qavariq konsentrik chiziqlar va darajalar va meridianlarni bildiruvchi raqamlar bilan panjara hisoblanadi. Raqamlar kompasning butun yuzasida joylashgan. 23-o'qlardagi tirqishlardagi novda 22, rulonlar 24 va 24 ularga o'ralgan qog'oz lenta 25 bilan aylanadi; bitta rolik - qabul qiluvchi 24 yon tomondan yivli rolik bilan jihozlangan. O'rtada chiziqlar 22, pastdan kub 28 vilkalar 27 ustida joylashgan bo'lib, eksa 29 bo'ylab aylanadi va xuddi shu o'qda bir tomondan kubga yaqin yivli rolik va 31-gachasi tishli vida joylashgan. boshqasi, kubga mahkamlangan 28, kompasga elastik moslashish uchun to'rtta erkin tomoni kauchuk bilan qoplangan. Uglerod qog'ozi rezina ustiga yopishtiriladi va qog'oz lenta 25 uning ustiga bir valikdan 24 va ikkinchidan o'tadi, qabul qiluvchi rolik 124, kubning pastki qismiga mahkam yopishadi 28. Kubning yivli roliklari 28 va qabul qiluvchi rolik 24 , ularning bir vaqtning o'zida aylanishi uchun, bu roliklar ustiga tashlangan umumiy cheksiz spiral kamon shnuri 30 ga ega. Chap tokchaga biriktirilgan planochka 20 da, buloqli itlar 26 o'rnatilgan. Bar 22 ning tepasida unga mahkamlangan debriyaj 32 mavjud bo'lib, u murvatni 33 aylantirib, kubni kompasdan uzoqlashtiradi, keyin uni kompasga bosadi va klapanlarni 11 harakatlantirish orqali yarim sharni 1 bo'shatadi. va kompas 13 qisqichlardan, keyin ular ham yarim sharni va kompasni qistirib, harakatsiz holga keltiradilar. Bolt 33, disk 35 ning bez 34 (butun tavsiflangan mexanizmni germetik tarzda yopadi) orqali o'tadi, bir uchida yivli rolikning 38 umumiy tokchalarida rulmanlarda spiral o'q 40 tomonidan aylantirilgan tishli g'ildirak 39 bor, alohida rozetkalarga ega. yiv bo'ylab joylashgan zanjirli aloqalar (og'irlikni ko'taruvchi soatlardan g'ildirak kabi). Rolik 38 aylantiriladi

s ikkala tomoni, u orqali zanjirni tortib, quduqning chuqurligiga teng uzunlikdagi kordonlar bilan ikkala uchiga cho'zilgan. Qurilmaning tanasini quduqqa parallel holatga keltirish uchun. tashqi disk 37 ning o'rtasida yivli rolik 44 ning spiral o'qi 43 tomonidan boshqariladigan tishli 42 ning o'qi 46 mavjud, yivli rolik 38 bilan bir xil harakat va xuddi shu tarzda ma'lum bir uzunlikni tortib olish orqali. zanjir, shuningdek, arqonlar bilan ikkala uchiga cho'zilgan. 46-o'qda (3-rasm) qattiq xoch 45 o'rnatilgan bo'lib, uning to'rtta uchi birlashtiruvchi novda 47 bilan bog'langan va bir vaqtning o'zida qanotlari 42 bilan bo'g'imlangan, truba shakliga ega, konkav tomoni ulashgan. asbob korpusining tashqi silindrsimon tomoniga. Qanotlar faqat bo'ylama o'rnatilishi bilan qurilma korpusiga burilish bilan bog'langan va mavjud

Uning qavariq tomonining maqsadi, tanadan uzoqlashib, quduqning devorlariga mahkam o'rnashishi uchun

Qurilmaning 1 korpusi quduq holatiga parallel. Roliklar 49 (1-rasm) qurilmaning quduq devorlariga ishqalanishini bartaraf etish uchun qurilma tanasi bo'ylab rulolarga o'rnatiladi.

Qurilmaning ishlashi quyidagicha. Qurilma quduqqa arqon bilan tushiriladi va tashqi mexanizm shnurining mos keladigan uchi chiqariladi, bu rolikni 42 boshqaradi, qanotlari 48 quduq devorlariga suyangan holda yon tomonlarga ajralib turadi. Ushbu harakat bilan qurilma quduqqa sobit va parallel holatga keltiriladi.

Kompasni tinchlantirish uchun zarur bo'lgan vaqtni kutgandan so'ng, a) yivli tsilindrni 38 orqali ma'lum bir uzunlikka cho'zilgan boshqasini torting, uning tegishli uchi uchun annur qiling, b) ramkani (bar22) va klapanlarni tushiring. Shu bilan birga, 9 va 14 qisqichlar yarim sharni 1 va kompas 13 ni statsionar holatga keltiradi, kub 28, tishli 31 bilan panjalar 26 ga ilgak, burilishning chorak qismini qiladi va shu bilan birga, pastki tomoni bilan u qog'oz tasmasi 25 ni kompasga 13 mahkam bosadi, uning ichki tomonida uglerod qog'oziga tutashgan va kompasning katakchali o'sha qismi va vertikaldan og'ib ketgan raqamlar bosiladi va shuning uchun azimut belgilanadi. Keyin bu shnur boshqa uchi bilan tortiladi, raaa 22 ko'tariladi, kompas 13 va yarim shar 1 qisqichlardan chiqariladi, shundan so'ng birinchi shnur boshqa uchi bilan ham tortiladi va shu bilan qurilma quduq devorlari bilan aloqa qilishdan ozod qilinadi. .

Surat olindi. Ushbu harakat darhol yoki o'z xohishiga ko'ra qurilmani kerakli chuqurlikka tushirish yoki ko'tarish orqali takrorlanishi mumkin. Shunday qilib, qurilmaning bir tushishi uchun bir qator aniqlashlar mumkin, ularning soni faqat qog'oz lentasi uzunligiga bog'liq bo'ladi 25., Ixtiro mavzusi.

Quduqlarning egri chizig'ini aniqlash uchun qurilma, kartaga osilgan yarim shardan iborat bo'lgan vertikal igna bilan mayatnikning yangi doirasi, qavariq geografik panjara qo'yilgan magnitlangan yarim sharni tayanch vazifasini bajaradi, 9-9 va qisqichlar bilan tavsiflanadi. 14 quduqning egriligi paytida qabul qilingan holatda yarim sharni mahkamlash uchun ishlatiladi. panjurlarning pastga qarab harakatlanishidan VA qiyshiq tirqishlari bilan 11 ta'sir qiladi va tarmoqli ustidagi to'rning izini olish uchun vilkalar 27 dagi o'qda 29 o'tirgan kub 28 ishlatiladi, rulolar orasidagi harakatlanuvchi lenta bilan birga bosiladi. 24 va 24 va 9 - 9 va 14 klapanlarni tushirish, kubni 28 bosish, lenta roliklarini aylantirish, shuningdek, hidoyat qanotlarini 48 bir-biridan surish uchun emas, balki 9 - 9 va 14 klapanlarni tushirish uchun ko'proq uglerod qog'ozi bilan qisilgan yarim sharning yuzasiga 13 qoplangan. , murvat 33 ishlatiladi. 38 rolikdan tishli g'ildiraklar orqali aylantirilgan, er yuzasidan zanjirli haydovchi tomonidan aylantirilgan. (2-rasm)

Shunga o'xshash patentlar:

biri). Egri chiziqlar turlari b.3-4.

2). Burilishlar soni b.4-6.

3). Qavariqlik p.6-7.

4). Eng katta savol 7-bet.

5). Kichkintoyning multfilmi 8-10-bet.

6). Egri chiziqlar va tenglamalar 11-bet.

7). bilan misollar. 12.

sakkiz). Adabiyotlar 13-bet

Yer yuzida nechta egri chiziq?

Bu savol g'alati tuyuladi. Siz ta'riflab bo'lmaydigan turli xil egri chiziqlar chizishingiz mumkin. Keling, avvalo, qaysi birini ko'rib chiqishimiz haqida kelishib olaylik. Bu erda kundalik tajriba bizga yordam berishi kerak. Yaxshi elastik arqon yoki simning o'tkir burchaklari yo'q. Shuning uchun biz faqat yer yuzasida chizilgan silliq egri chiziqlarni (hech qanday uzilishlarsiz) o'rganamiz. Bunday egri chiziqlar o'z-o'zidan kesishish nuqtalarining istalgan soniga ega bo'lishiga ruxsat beriladi.

Egri chiziqlar turlari

Egri chiziq - bu juda ko'p qiziqarli xususiyatlarga ega bo'lgan mashhur matematik ob'ekt: egrilik, uzunlik, o'z-o'zidan kesishish nuqtalari soni, burilish va boshqalar. Ularning barchasini o'rganishga arziydi. (Ulardan ba'zilari Tabachnikovning "Kvant" 1988 yil 11-sonli "Teklik egri chizig'ida" maqolasida tasvirlangan.) Va qaysi biri biz uchun muhim? Balki uzunligi? Ammo bir xil uzunlikdagi egri chiziqlar hali ham juda ko'p. Bir xil egrilikka ega bo'lgan egri chiziqlarni bir xil deb hisoblaylikmi? Keyin funktsiyalardan ko'ra ko'proq turli xil egri chiziqlar bo'ladi - biroz ortiqcha ... Endi taxmin qilmaslik uchun, keling, bir vaqtning o'zida egri chiziqning barcha xususiyatlarini unutaylik.

Biz "egri chiziqlar tom ma'noda bir-biridan unchalik farq qilmaydi" iborasini tushunamiz va "kichik bezovtalanish" da farq qiladigan bir xil egri chiziqlarni ko'rib chiqamiz. Endi biz hisoblashimiz kerak har doim silliq bo'lib qolishi uchun bir-biriga deformatsiyalanishi (sudrab tortilishi) mumkin bo'lgan har qanday ikkita egri chiziq (1-rasm) bir xil bo'ladi. Axir, bunday deformatsiyani bir qator "kichik buzilishlar" ga bo'lish mumkin. Biz bunday egri chiziqlarni chaqiramiz bir xil turdagi egri chiziqlar.

Biz egri chiziqlar orasidagi barcha ko'rinadigan farqlarni olib tashladik. Bunday sodda konventsiya ostida barcha egri chiziqlar bir xil turdagi deb taxmin qilish tabiiydir. Yopiq bo'lmagan egri chiziqlar uchun bu to'g'ri. Tasavvur qiling-a, arqon yerda yotgan, bir uchidan tekislana boshlagan. Bunday arqon silliq ravishda tekis chiziqqa aylanadi (2-rasm). Shunday qilib, faqat e'tiborga olish qiziq yopiqs chiziqlar.

Endi hamma narsa jiddiy matematik savolni shakllantirishga tayyor:

Yerda nechta turdagi yopiq egri chiziqlar mavjud?

Bu savol bizni zamonaviy matematikaning juda mashhur sohasiga olib boradigan ko'plab navlar va qo'shimchalarga ega. Biz bu haqda oldinda gaplashamiz, ammo hozircha Yerni tekis ko'rib chiqaylik.

Guruch. 1. rasm. 2.

Guruch. 3.

Inqiloblar soni

"Sakkiz" ni nolga aylantirishga harakat qiling. Bo'ldimi? Keyin yo'lda siz albatta nuqtaga ega bo'lasiz (3-rasm). Egri chiziq silliq qolishi uchun deformatsiya qilish mumkinmi? Bu mumkin emasga o'xshaydi. Buni qanday qilib qat'iy isbotlash mumkin? Birinchi fikr egri chiziqning o'z-o'zidan kesishgan sonini yoki egri tekislikni ajratadigan hududlar sonini hisoblashdir. Ammo bu raqamlar o'zgarishi mumkin. Biz 1-rasmda sakkizinchi raqamning egri chizig'i qanday qilib bir nechta o'z-o'zini kesish nuqtalarini yo'qotganligini ko'rib chiqdik. Bu shuni anglatadiki hattoost raqamlarini o'zimhaqidachorrahalar o'zgarishsiz qoldi. (To'g'ri, birinchi lahzada ikkita nuqta bittaga aylandi, lekin uni birlashtirilgan juftlik deb hisoblash kerak.) Hududlar soni bilan vaziyat aynan bir xil: ular juft bo'lib shakllanadi va yo'qoladi. Shunday qilib, "sakkiz" va "nol" har xil turdagi. Ehtimol, faqat ikkita turdagi egri chiziqlar mavjudmi? Bu kabi hech narsa.

Tekislikda cheksiz ko'p turli xil yopiq egri chiziqlar mavjud.

Bu birinchi teoremamizni isbotlash uchun tekislikdagi har bir yopiq egri chiziqqa natural son beramiz. Egri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi nuqtani ko'rib chiqing (uning tezlik vektori har bir vaqtning har bir lahzasida egri chiziqqa tegadi). Bir muddat nuqta butun egri chiziq bo'ylab harakatlansin va dastlabki holatiga qaytsin.

Egri chiziqning aylanishlar soni biz bu nuqtaning tezlik vektori bajaradigan to'liq aylanishlar sonini chaqiramiz. (Vektorning qaysi yoʻnalishda aylanishi muhim emas. Bu nuqta egri chiziq boʻylab harakatlanish yoʻnalishiga bogʻliq).

Inqiloblar soni - o'zgarmas , ya'ni egri chiziq deformatsiyalanganda o'zgarmaydi. Axir, bu raqam egri chiziqning "kichik bezovtalanishi" bilan keskin o'zgarishi mumkin emas va deformatsiya bunday "bezovtalanishlar" zanjiri hisoblanadi. Shuning uchun turli xil aylanishlar soniga ega egri chiziqlar har xil turdagi.

Cheksiz ko'p turli xil raqamlar mavjud, ya'ni egri chiziqlar ham bor. Teorema isbotlangan.

Aslida, tezlik- yagona invariant tekis egri. Bu shuni anglatadiki, aylanishlar soni bir xil bo'lgan ikkita egri bir xil turga tegishli. O'zingiz dalil topishga harakat qiling, agar u ishlamasa, tajriba qiling. Oxirgi chora sifatida, 1983 yil uchun "Kvant" № 4ni o'qing. Va biz Yer shar ekanligini esga olishimiz kerak.

Va shunga qaramay u aylanadi ...

Yer yuzasi shar shaklida. Uning nechta egri chizig'i bor? Sfera - bu tekislik va yana bitta nuqta (4-rasm). 4-rasm deyiladi stereografik proyeksiya. Egri chiziqda yotmagan nuqtadan stereografik proyeksiya qilaylik. Keyin bu egri chiziq tekislikka tushadi. Bu sferada tekislikdagi kabi ko'p turdagi egri chiziqlar mavjudligini anglatadimi? Ha, biz haqiqatan ham Yerning tekisligiga ishonadiganlardan uzoq emasmiz. Mana to'g'ri javob.

Sferada aniq ikki xil turdagi yopiq egri chiziqlar mavjud.

Keling, rasmdan dalilni yuklab olamiz (5-rasm). Ko'rib turganingizdek, inqiloblar soni endi saqlanmaydi. Bu shardagi egri chiziqlarni tekislikdagi egri chiziqlardan ajratib turadigan narsa. Sfera atrofida "aylanib," egri chiziq ikki burilishni yo'qotdi. Endi ixtiyoriy miqdordagi aylanishlar bilan egri chiziqda bir xil operatsiyani bajarish oson (5-rasmdagi egri chiziqlar yaqinidagi istalgan joyda bir nechta halqa chizishingiz kerak bo'ladi). Biz har qanday egri chiziqni 6-rasmdagi egri chiziqlardan biriga deformatsiya qilish mumkinligini tushundik. Qaysi biri aylanishlar sonining paritetiga bog'liq.

Ammo a) va 6) egri chiziqlar nafaqat tekislikda, balki sharda ham har xil turdagi ekanligini qanday isbotlash mumkin? Darhaqiqat, qat'iy aytganda, bu holatda inqiloblar soni umuman aniqlanmagan. O'z-o'zidan kesishgan raqamning allaqachon tanish bo'lgan pariteti yordamga keladi. b) egri chiziq uchun bu raqam toq, a) egri chiziq uchun esa aniq (nolga teng).

Ixtiro monoxromatik tasvir sifatini yaxshilash bilan birga burchak maydonini oshirish orqali yuqori axborot mazmunini ta'minlaydi. Ixtironing mohiyati: qurilma konsentrik qavariq va botiq oyna komponentlarini o'z ichiga olgan linzani proyeksiyalovchi nur bo'ylab joylashgan interferentsiya filtrini va bir yoki bir guruh fotodetektorlarga ulangan optik tolali elementni o'z ichiga olgan qayd qilish tizimini o'z ichiga oladi. Ob'ektivning konveks komponenti aylana shaffof zonalari bo'lgan ichi bo'sh shaffof sharning tashqi yuzasiga qo'llaniladigan ko'zgu yarim shari shaklida amalga oshiriladi. Konkav komponenti teng diametrli markaziy va periferik kirishlar bilan yarim shar shaklida qilingan. Qavariq komponentdagi halqa shaklidagi shaffof zonalar soni ularning konkav komponentining qarama-qarshi kirishlari soniga teng va shunga mos ravishda kirishlar oldiga o'rnatilgan interferentsiya filtrlari soniga teng. Filtrlar konsentrik menisklarning yuzalarida joylashgan. Meniskuslarning har birining optik yuzalarining umumiy egrilik markazi mos keladigan kirish o'quvchisining markaziga to'g'ri keladi. 7 kasal.

Ixtiro optik va optoelektron asboblar sohasiga, xususan, auroralarda aks ettirilgan magnitosfera-ionosfera jarayonlarini o'rganishda atmosferaning yuqori qatlamlarining monoxromatik tasvirlarini olish uchun mo'ljallangan masofaviy zondlash qurilmalariga tegishli. So'nggi paytlarda masofadan zondlashda ikkita muhim kamchiliklarga ega bo'lgan turli xil optik va optoelektronik qurilmalar qo'llanilmoqda. Ushbu kamchiliklardan biri - ob'ektlar maydonidagi burchak maydonining kichik qiymati. Yana bir muhim kamchilik - bu yaratilgan monoxromatik tasvirlarning sifatini pasaytiradigan past spektral filtrlash qobiliyati. Ma'lum bo'lgan qurilmalardan texnik mohiyati bo'yicha ixtiroga eng yaqini bu Viking kosmik kemasidan qutb nurlarini (auroral emissiyalarni) o'rganish uchun mo'ljallangan monoxromatik tasvirni yaratish uchun qurilma. Ushbu qurilma prototip sifatida tanlangan va tekis-parallel substratda nur bo'ylab joylashgan interferentsiya filtridan, konveks va konkav oynalar ko'rinishidagi ikkita konsentrik optik komponentni o'z ichiga olgan proyeksiyalovchi linzalardan iborat bo'lib, ularning umumiy egrilik markazi. kirish ko'z qorachig'ining markaziga to'g'ri keladi va ketma-ket joylashgan mikrokanal plitasi va ikki o'lchovli CCD massiviga ulangan optik tolali elementni o'z ichiga olgan ro'yxatga olish tizimi. Spektrning ultrabinafsha mintaqasida foydalanish uchun mo'ljallangan bunday qurilma ko'zgularning umumiy egrilik markaziga konsentrik sharda joylashgan va radiusga taxminan proyeksiyalovchi linzaning fokus uzunligiga teng bo'lgan tasvirni hosil qiladi. Ushbu qurilmaning kamchiliklari kichik burchakli maydon, shuningdek, auroral oval chegaralaridagi atmosferaning yuqori qatlamlarining monoxromatik (15 - 30 ta band bilan) tasvirlarini olishning mumkin emasligi. Xususan, ushbu kamchiliklarning oxirgisi, ushbu optik tizimning kirish qismida 25 o ko'rish maydonining ish burchagida o'rnatilgan tekis interferentsiya filtri burchak ostida o'tadigan nurlarning eğimli nurlari uchun xususiyatlarini sezilarli darajada yomonlashtirishi bilan bog'liq. tizimning o'qiga 12,5 o dan. Bunday holda, interferentsiya filtrining spektral o'tkazuvchanligi sezilarli darajada oshadi va nurlarning eğimli nurlari uchun filtrning maksimal o'tkazuvchanligi spektrning qisqa to'lqin uzunlikdagi mintaqasiga mos keladigan maksimal spektral pozitsiyasiga nisbatan o'tkaziladi. odatda tekis interferentsiya filtriga tushadigan eksenel nurga, ya'ni. tizimning optik o'qi bo'ylab. Bu ikkala kamchiliklar ham masofadan zondlashda yuqori axborot mazmunini taqdim etishga imkon bermaydi. Ixtironing maqsadi monoxromatik tasvirlarni yaratuvchi masofaviy zondlash qurilmalarining axborot mazmunini oshirishdan iborat. Yechilgan muammoning texnik natijasi monoxromatik tasvir sifatining bir vaqtning o'zida o'sishi bilan burchak maydonining oshishi hisoblanadi. Ushbu texnik natijaga monoxromatik tasvirni yaratish uchun taklif qilinayotgan qurilmada nur bo'ylab joylashgan interferentsiya filtri, konsentrik qavariq va botiq oyna komponentlarini o'z ichiga olgan proyeksiyalovchi linzalar va linza bilan optik bog'langan ro'yxatga olish tizimidan iborat bo'lganligi bilan erishiladi. , optik tolali elementni o'z ichiga olgan, bir yoki bir guruh fotodetektorlarga ulangan, linzalarning qavariq komponenti halqasimon shaffof zonalarga ega bo'lgan ichi bo'sh shaffof sharning tashqi yuzasiga joylashtirilgan oyna yarim shari shaklida qilingan, ichki diametri ularning har biri D kirish ko'z qorachig'ining diametriga teng, tashqi D n esa nisbatdan aniqlanadi.

Bundan tashqari, ularning markazlarining geometrik o'rni bu teshiklarning markazlarining burchak pog'onasi bo'lgan doiralar bo'lib, nisbatlardan kelib chiqadi.

Shu bilan birga, konveks komponentdagi halqa shaklidagi shaffof zonalar soni konkav komponentning qarama-qarshi kirishlari soniga teng va shunga mos ravishda kirishlar oldida o'rnatilgan, substratlarda sharsimon qilingan interferentsiya filtrlari soniga teng. konsentrik menisklar shaklida, ularning har birining optik sirtlarining umumiy egrilik markazi mos keladigan kirish o'quvchisining markaziga to'g'ri keladi. Da'vo qilingan qurilmada sferik interferentsiya filtri konsentrik meniskusning konveks yoki konkav yuzasida qo'llanilishi mumkin, uning vazifasi nafaqat bunday filtr uchun substrat bo'lib xizmat qilish, balki proyeksiyalovchi linzalarning sharsimon aberatsiyasini tuzatishdir. . Taklif etilayotgan qurilmadagi shunga o'xshash funktsiyani ichi bo'sh shaffof shar bajaradi, u konveks linzalari komponentining oyna yarim shari uchun substrat bo'lib xizmat qiladi va shu bilan birga oxirgi yaqinida hosil bo'lgan monoxromatik tasvirning aberratsional buzilishlarining kompensatori hisoblanadi. proyeksiyalovchi linzaning fokusli optik yuzasi. Bunday holda, konsentrik meniskning yuzalaridan biriga yotqizilgan sferik interferentsiya filtri, kirish ko'z qorachig'ining markaziga konsentrik bo'lib, eksenel va o'qdan tashqari (eğimli) uchun o'z xususiyatlarini (o'tkazish qobiliyati va uzatish maksimalining spektral holati) saqlab qoladi. ) nurlar nurlari. Oxirgi holat qurilmaning spektral filtrlash qobiliyatini sezilarli darajada yaxshilashga olib keladi. Interferentsiya filtrini zararli atmosfera va mexanik ta'sirlardan himoya qilish uchun, hosil bo'lgan tasvir sifatini buzmasdan, dublet shaklida, ya'ni ikkita konsentrik optik element shaklida konsentrik meniskni yasash mumkin. nozik havo bo'shlig'i. Bunday holda, ikkala konsentrik optik elementning umumiy qalinligi asl konsentrik meniskning qalinligiga teng bo'ladi. Bunday holda interferentsiya filtri dublet ichiga ushbu dubletni tashkil etuvchi konsentrik optik elementlarning sferik sirtlaridan biriga joylashtirilishi mumkin. Qavariq komponentda uning ko'zgu doiralarini o'rab turgan va ular atrofida halqasimon shaffof zonalarni tashkil etuvchi shaffof bo'limlari ilgari botiq oyna komponentidan aks ettirilgan nurlarning ichi bo'sh shaffof sferasidan va konkav komponentdagi kirish joylaridan o'tish uchun mo'ljallangan. ularning oldida o'rnatilgan konsentrik menisklar linzalarga nurlarni qabul qilish uchun mo'ljallangan. Ushbu konsentrik menisklarning har birining sirtlarining umumiy egrilik markazining kirish o'quvchisining markazi bilan mos kelishi, ya'ni. konveks komponentining mos keladigan ko'zgu doirasining markazi bilan, kirish ko'z qorachig'ining markaziy qismini himoya qilishni minimallashtirishga va natijada proyeksiyalovchi linzalarning samarali diafragmasini oshirishga imkon beradi. Taklif etilayotgan qurilmada ichi bo'sh shaffof sharning orqasida optik tolali element o'rnatilgan. Shu bilan birga, da'vo qilingan qurilmada proyeksiyalovchi linza linzaning oxirgi optik yuzasi yaqinida, konkav shaklida qilingan optik tolali elementning kirish yuzasida cheksiz uzoqdagi ob'ektning tasvirini hosil qiladi. radiusi linzaning fokus uzunligiga yaqin bo'lgan yarim shar. f ". Optik tolali elementning kirish yuzasi uchun aynan shunday shaklni tanlash aberatsiyani tuzatishni ta'minlash bilan bog'liq (xususan, ob'ektiv uchun kompensatsiya bilan). tasvir yuzasining egriligi), bu o'z navbatida qurilmaning burchak maydonini ko'paytirishga imkon beradi. vakuum uzatish televizor trubkasi yoki qattiq holatdagi video signal yaratuvchining yorug'likka sezgir maydoni, masalan. , ikki o'lchovli CCD matritsasining tasvir maydoni. Taklif etilayotgan qurilmani sintezlangan burchak maydoniga ega optik tizimlarga kiritish mumkin va bu umumiy burchak maydoni - bu strukturaviy ravishda bir butun sifatida tuzilgan proyeksiyalovchi linzalarning tarkibiy qismlarining burchak maydonlarining yig'indisi degan ma'noni anglatadi. Natijada, tizimning chiqishida katta qabul qilish maydoniga ega bo'lgan bitta fotodetektor (yoki fotokatod) yoki fotodetektorlar guruhi ishlatilishi mumkin, bunda har bir sezgir maydonning (har bir fotokatod) o'lchamlari burchak maydoni bilan belgilanadi. linzalarning tarkibiy qismlari va barcha sezgir maydonlarning umumiy sirt maydoni (fotokatodlar) ) umuman optik tizimning umumiy burchak maydoniga mos keladi. Tavsiya etilgan optik tizimning sintezlangan burchak maydoni proyeksiyalovchi linzalarning tarkibiy qismlarining 2w burchak maydonlarining har birining maksimal ruxsat etilgan qiymatini aniqladi va

Shaklda. 2 - sferik interferentsiya filtrlari bilan konsentrik menisklarning tartibi;

Shaklda. 3 - konkav oyna linzalari komponentidagi kirish teshiklarining joylashuvi diagrammasi;

Shaklda. 4 - linzalarning qavariq oyna komponentida ushbu doiralarning har biri yonida hosil bo'lgan oyna doiralari va halqasimon shaffof zonalarning joylashuvi diagrammasi;

Shaklda. 5 - asosiy qismdagi nurlar yo'li bilan qurilmaning optik diagrammasi;

Shaklda. 6 - qurilma variantining dizayn parametrlari bilan jadval;

Shaklda. 7 - tizim linzalarining qoldiq aberratsiyasining grafiklari. Monoxromatik tasvirni yaratish uchun qurilma (1-rasm) konsentrik menisk 2 shaklida substratda yotqizilgan ketma-ket joylashgan sferik interferentsiya filtri 1, konsentrik konveks va botiq oyna komponentlari 3 va 4-ni o'z ichiga olgan proyeksiyalovchi linzalarni o'z ichiga oladi. qavariq oyna komponenti 3 bilan qoplangan ichi bo'sh shaffof shar 5 va optik tolali element 6 va fotodetektorlar guruhi 7 dan iborat ro'yxatga olish tizimi. Konkav komponent 4 yarim shar shaklida qilingan. markaziy va periferik teshiklar 8 (3-rasm), ularning qarshisida qavariq komponentda 3 ko'zgu doiralari 9, ular qavariq aks ettiruvchi elementlar bo'lib, ularning atrofida halqa shaklida bir-biriga yopishgan shaffof zonalar 10 (4-rasm). Monoxromatik tasvirni yaratish uchun qurilma quyidagicha ishlaydi. Ob'ektdan keladigan nurlarning parallel nurlari optik tizimga teshiklar 8 orqali kiradi, ularning har birining oldida konsentrik menisk 2 ko'rinishidagi substratda sferik interferentsiya filtri 1 mavjud bo'lib, u orqali nurlar nurlari qavariqga tushadi. aks ettiruvchi elementlar, ya'ni. qavariq komponentning 3 oyna doiralari 9, uning oyna yuzasi ichi bo'sh shaffof sharning tashqi yuzasiga qo'llaniladi 5. Ko'zgu doiralari 9 dan aks ettirilgandan so'ng, ko'rib chiqilgan nurlar nurlari konkavning oyna yuzasidan ko'proq aks ettiriladi. 4-komponent, shundan so'ng bu nurlar ichi bo'sh shaffof sharda 5 halqa shaklidagi shaffof zonalar 10 orqali o'tadi, ular orqali bu nurlar nurlari optik tolali elementning konkav kirish yuzasida ob'ektning tasvirini hosil qiladi, bu esa uni uzatadi. fotodetektorlarning ishchi guruhining fotosensitiv joylariga tasvir 7. Ikki o'lchovli CCD massivlari, xususan, bunday fotodetektorlar sifatida ishlatilishi mumkin. Keyin ishchi guruhdan turli qabul qiluvchilardan olingan video signallar umumlashtiriladi, masalan, kompyuter xotirasida, natijada biz sintezlangan burchak maydoniga ega tizimdan to'liq ma'lumot olamiz. Taklif etilayotgan qurilma strukturaviy soddaligi bilan ajralib turadi. U bitta shaffof shar atrofida konsentrik ravishda bir-biriga joylashtirilgan ikkita qattiq yarim shardan iborat bo'lib, ularda joylashgan konsentrik menisklar, teshiklar va oyna zonalari ko'rinishidagi substratlarda sferik interferentsiya filtrlari mavjud. Qurilmani ishlab chiqarish texnologiyasini yaxshilash uchun uning ichi bo'sh shaffof sharini kompozitsion qilish mumkin, ya'ni. yopishtirilgan yoki optik kontakt bilan bog'langan ikkita yarmidan iborat. Ushbu qurilma dairesel simmetrik bo'lib, uni yig'ish va tekislashni osonlashtiradi va deyarli o'chirilmaydi. Qo'shni linza elementlari dumaloq simmetriya tufayli bir xil. Qurilma yuqori tasvir sifatiga ega. Bunday holda, 180 ° S gacha bo'lgan sintezlangan burchak maydonlariga erishish mumkin.Konkav linzalari komponenti uchun material sifatida uglerod-uglerodli turdagi kompozitsion material tanlanishi mumkin. Bundan tashqari, bu konkav komponenti titanium yoki berilliy asosidagi shisha-metalldan tayyorlanishi mumkin. Nisbiy diafragma 1: 2,2 bo'lgan linzalarning fokus uzunligi 17,9 mm bo'lgan qurilmani amalga oshirish misollaridan birining dizayn parametrlari 1-rasmdagi jadvalda keltirilgan. 6. Bu erda interferentsiya filtri ko'p qatlamli dielektrik nometall yordamida amalga oshiriladi va 0,5577 mikron to'lqin uzunligini izolyatsiya qilish uchun mo'ljallangan. Bunday qurilmaning linzalari sxemasi rasmda ko'rsatilgan. 5 va shakldagi qoldiq aberatsiya chizmalari. 7. Ushbu linzaning ko'ndalang sferik aberatsiyasi minimallashtiriladi; linzalarda oz miqdorda astigmatizm, koma va buzilish mavjud. Kirish ko'z qorachig'ining joylashuvi proyeksiya linzalarining konveks komponentidagi har bir oyna doirasi bilan mos keladi. Sintezlangan burchak maydonini ta'minlashdan tashqari, ya'ni. keng burchakli, qurilma qo'shimcha texnik afzalliklarga ega, ular fazoviy o'zgarmaslik, ishonchlilik, noaniqlik. Monoxromatik tasvirni yaratish uchun qurilma ultrabinafsha, ko'rinadigan va infraqizil spektral hududlarda kosmik va quruqlikdagi ob'ektlarni masofadan turib zondlash uchun katta burchak maydonlarida ishlash diapazonini oddiy sozlash uchun ishlatilishi kerak. Taklif etilayotgan qurilmadan har tomonlama ko'rish uchun qurilma sifatida foydalanish mumkin, masalan, adaptiv robotlarni sezish uchun robototexnikadagi ko'rish tizimlarida. Axborot manbalari. 1. Goetz A.F.H., Wellmann J.B., Barnes W.L. Yerni optik masofadan zondlash - Proc. IEEE ning 1985 yil iyun, 73-v., № 6, p.p. 950-969. 2. Chikov K.X. Video spektrometrik kompleksning optik tizimi. - Izv. SSSR universitetlari "Instrument Engineering", jild XXXI, N 12, 1988. 3. Avanesov G.A., Chikov K.N. va boshqalar. Fobosning televizor kuzatuvi. - Tabiat, v.341, N 6243, 1989 yil 19 oktyabr, p.585-587. 4. G'azab C. D., Rabey S. K., Broadfoot A. L., Braun R. G., Kogger L.L., Gattinger R., Haslett J.V., King R.A., MakEven D.H.J., Murfri T.S., Richardson E.H., Sandell B.R., Smit K., Jons F.V. Viking kosmik kemasi uchun ultrabinafsha auroral tasvir qurilmasi. - Geophys.Res. Lett., v.l4, No 4, 1987, p.387-390. 5. Rusinov M. M. Optik tizimlar tarkibi. - L .: Mashinostroenie, 1989 yil.

TALAB

Nur bo'ylab joylashgan interferentsion filtrdan, konsentrik qavariq va botiq oyna komponentlarini o'z ichiga olgan proyeksiyalovchi linzadan va optik tolali elementni o'z ichiga olgan linzaga optik bog'langan ro'yxatga olish tizimidan iborat monoxromatik tasvirni yaratish uchun qurilma, uning xususiyati tolaning optik element bir yoki bir nechta fotodetektorlar bilan bog'langan bo'lsa, linzalarning qavariq komponenti har birining ichki diametri halqasimon shaffof zonalari bo'lgan ichi bo'sh shaffof sharning tashqi yuzasiga qo'llaniladigan ko'zgu yarim shar shaklida qilingan. kirish ko'z qorachig'ining diametriga teng D va tashqi diametri D n nisbatdan aniqlanadi.

Bu erda r 3 - qavariq komponentning radiusi;

R 4 - konkav komponentining radiusi,

Va konkav komponenti teng diametrli Dinning markaziy va periferik kirishlari bo'lgan yarim shar shaklida qilingan, nisbati bo'yicha aniqlanadi.

D \u003d Dr 4 / r 3,

Bundan tashqari, ularning markazlarining geometrik o'rni bu teshiklarning markazlarining burchak pog'onasi bo'lgan doiralar bo'lib, munosabatlardan aniqlanadi.

Shu bilan birga, konveks komponentdagi halqa shaklidagi shaffof zonalar soni konkav komponentning qarama-qarshi kirishlari soniga teng va shunga mos ravishda kirishlar oldida o'rnatilgan, substratlarda qilingan interferentsiya filtrlari soniga teng. konsentrik menisklarning shakli, har birining optik yuzalarining umumiy egrilik markazi mos keladigan kirish o'quvchisining markaziga to'g'ri keladi.