1. Spațiul punctelor izolate.
Set arbitrar și
2. Loturi numere reale cu distanta formeaza un spatiu metric.
3. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale c se numește spațiu euclidian aritmetic dimensional.
Dovada.
Pentru a demonstra că un spațiu este metric, este necesar să se verifice satisfacabilitatea axiomelor.
Lăsa , , .
, , …, , adică .
A3. Să verificăm dacă axioma triunghiului este valabilă. Să scriem axioma sub forma:
Presupunând , , obținem și .
Pentru a demonstra această inegalitate, se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky.
Într-adevăr,
În consecință, axioma triunghiului este satisfăcută, iar mulțimea luată în considerare cu o metrică dată este un spațiu metric.
Q.E.D.
4. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .
5. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .
Exemplele 3, 4 și 5 arată că același stoc de puncte poate fi măsurat în moduri diferite.
6. Mulțimea tuturor funcțiilor reale continue definite pe un segment cu distanța . Acest spațiu metric este notat ca mulțime de puncte din spațiul însuși: . În special, ei scriu în loc de .
7. Prin denotă spațiul metric, ale cărui puncte sunt toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția, iar metrica este definită prin formulă.
Dovada.
Din moment ce, are sens pentru toată lumea. Acestea. seria converge dacă și .
Să arătăm ce satisface axiomele.
Axiomele 1, 2 sunt evidente. Axioma triunghiului va lua forma:
Toate seriile sunt convergente.
Inegalitatea este adevărată pentru oricine (vezi exemplul 3). Când obținem inegalitatea pentru .
Q.E.D.
8. Se consideră mulțimea tuturor funcțiilor care sunt continue pe intervalul și . Un astfel de spațiu metric este notat și numit spațiu funcții continue cu o metrică pătratică.
9. Se consideră mulțimea tuturor șirurilor mărginite de numere reale. Să definim. Acest spațiu metric este notat cu .
10. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu distanța , unde este orice număr fix, este un spațiu metric, notat cu .
Metrica considerată în acest exemplu se transformă în metrica euclidiană pentru (vezi exemplul 3) și în metrica exemplului 4 pentru . Se poate demonstra că metrica (vezi exemplul 5) este un caz limitativ.
11. Luați în considerare toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția , unde este un număr fix, iar distanța este determinată de formula . Avem un spațiu metric.
12. Fie mulțimea tuturor secvențelor infinite – numere complexe. Să definim. Avem un spațiu metric.
Definiție: Fie un spațiu metric și orice submulțime de . Apoi, cu aceeași funcție, care este acum definită pentru, este numit un spațiu metric subspațiu spaţiu.
Noțiuni de bază
Să notăm spațiul metric cu .
Definiție: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric fundamental, dacă fiecare corespunde unui număr astfel încât inegalitatea .
Definiție: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric convergent, dacă există astfel încât fiecare să corespundă unui număr astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți. Apoi se numește limită secvente.
Teorema: Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.
Dovada.
Într-adevăr, dacă și , atunci . Din moment ce și , atunci , i.e. .
Teorema a fost demonstrată.
Definiție: Spațiu metric complet este spațiul metric în care converge fiecare succesiune fundamentală.
Teorema: Metrica ca functie a doua argumente este o functie continua, i.e. dacă și , atunci .
Dovada:
Lăsa , , , .
Prin inegalitatea triunghiului:
Din (1) obținem:
Din (2) obținem:
Deoarece ,
Să notăm.
ÎN spațiu metric poate fi considerat diverse seturi, vecinătăți de puncte, puncte limită și alte concepte de analiză clasică.
Definiție: Sub împrejurimi puncte înseamnă o mulțime care conține o bilă deschisă de rază cu centrul în punct, adică
Definiție: Punctul se numește punct limită pentru o mulțime dacă orice vecinătate a unui punct conține cel puțin un punct din , diferit de .
Definiție: Punctul se numește punct intern stabilit dacă este inclus împreună cu o parte din vecinătatea sa.
Definiție: Setul este numit deschis, dacă este format doar din puncte interne. Setul este numit închisîn sine dacă conține toate punctele sale limită.
Spațiu metric este închis.
Subspațiile nu pot fi subseturi închise.
Dacă adăugăm toate punctele sale limită, obținem închidere.
Definiție: Se numește o mulțime situată într-un spațiu metric închis, dacă coincide cu închiderea sa: .
Un set închis este cel mai mic set închis conținând .
Definiție: Lăsa . Setul este numit strâmtîn , dacă . Setul este numit dens peste tot, Dacă . Setul este numit nicăieri dens în, dacă oricare ar fi mingea, există o altă minge liberă din punctele setului.
Definiție: Un spațiu se numește separabil dacă conține o mulțime numărabilă densă peste tot.
ÎN analiză matematică rol important joacă proprietatea de completitudine a dreptei numerice, adică faptul că fiecare succesiune fundamentală de numere reale converge la o anumită limită (criteriul de convergență Cauchy).
Linia numerică servește ca exemplu de spațiu metric complet.
Spațiile punctelor izolate, , , , , , sunt spații metrice complete.
Spaţiu incomplet.
Analiza folosește pe scară largă așa-numitul lema pe segmente imbricate :
Fie un sistem de segmente imbricate. Apoi pentru segmentul pe care îl avem .
Aceasta înseamnă că toate segmentele din set au un punct comun.
În teoria spațiilor metrice, un rol similar îl joacă teorema asupra bilelor încorporate.
Teorema: Pentru ca un spațiu metric să fie complet, este necesar și suficient ca în el fiecare succesiune de bile încorporate una în cealaltă, ale căror raze , să aibă o intersecție nevide.
Dovada:
Necesitate:
Fie un spațiu metric complet și fie o succesiune de bile închise încorporate una în alta.
Fie raza și a centrul mingii.
Succesiunea de centre este fundamentală, deoarece la , și la . Din moment ce - complet, atunci . Să o punem atunci. Într-adevăr, mingea conține toate punctele secvenței, cu posibila excepție a punctelor . Astfel, punctul este punctul de atingere (punctul limită) pentru fiecare minge. Dar din moment ce este un set închis, atunci .
Adecvarea:
Să fie o secvență fundamentală. Să demonstrăm că are o limită. Din cauza fundamentalității, putem alege un punct din succesiune astfel încât pentru toți . Să considerăm că punctul este centrul unei bile închise cu rază. Să notăm această bilă . , încorporate unul în celălalt, iar mingea - o bilă închisă de rază conține un anumit punct prin completare
Engleză: Wikipedia face site-ul mai sigur. Utilizați un browser web vechi care nu se va putea conecta la Wikipedia în viitor. Actualizați-vă dispozitivul sau contactați administratorul IT.
中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Spaniolă: Wikipedia face el sitio mai sigur. Utilizați un browser web care nu va fi capabil să se conecteze la Wikipedia în viitor. Actualice su dispozitiv sau contact a su administrator informático. Mai jos există o actualizare mai lungă și mai tehnică în engleză.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
franceză: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Utilizați în prezent un navigator web ancien, care ne pourra plus se connecter à Wikipédia atunci când va fi făcut. Vă rugăm să puneți în ziua dvs. aparatul sau să contactați administratorul informatic al acestui fin. Informațiile suplimentare plus techniques et en anglais sunt disponibile ci-dessous.
日本語: ???? IT情報は以下に英語で提供しています。
Limba germana: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia va face mai mult pe site. Stay using an browser web che non will will in grado di connettersi a Wikipedia in viitor. Per favore, actualizați dispozitivul sau contactați administratorul informatic. Più in basso è disponibil un aggiornamento più dettagliato e tecnico în engleză.
maghiar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Înlăturăm suportul pentru versiunile de protocol TLS nesigure, în special TLSv1.0 și TLSv1.1, pe care software-ul browserului se bazează pentru a se conecta la site-urile noastre. Acest lucru este cauzat de obicei de browsere învechite sau de smartphone-uri Android mai vechi. Sau ar putea fi interferența din partea software-ului „Web Security” corporativ sau personal, care de fapt scade securitatea conexiunii.
Trebuie să vă actualizați browserul web sau să remediați în alt mod această problemă pentru a accesa site-urile noastre. Acest mesaj va rămâne până la 1 ianuarie 2020. După această dată, browserul dvs. nu va putea stabili o conexiune la serverele noastre.
Înainte de Riemann, Lobachevsky, Einstein și alți camarazi, geometria a fost construită din planuri, puncte invizibile și drepte infinite în ambele direcții. Timpul plutea cu mândrie peste lumea plată tridimensională, percepută de noi ca un anumit proces, cuantificat pentru comoditate în bătăi ale inimii și ticăitul unui ceas. Totul este familiar, simplu, de înțeles, forțele acționează, trei coordonate în spațiu pot fi determinate oriunde - pur și simplu conduceți într-un cuier.
Sfârșitul idilei a venit odată cu apariția matematicienilor care explorează spațiile multidimensionale din vârful stiloului lor. Ei au construit obiecte și sisteme complexe, cu mai multe coordonate, care erau de neconceput pentru ochiul și simțurile umane, de exemplu, celebrul cub cu patru dimensiuni, banda Mobius și așa mai departe. Treptat, a devenit clar că spațiul imaginar nu trebuie să fie neapărat format din plane și linii drepte cu un timp de proces; el poate consta, de exemplu, dintr-o foaie plată rulată într-un tub de formă neregulată, timpul fiind lungimea axa trasată în centrul tubului. Un punct plasat într-un spațiu atât de „greșit” nu va mai avea niciodată cele trei coordonate cu care suntem obișnuiți, deoarece un șurub condus nu va ajuta la măsurarea lor. Poziția unui punct dat în spațiul non-euclidian va trebui reprezentată ca o întreagă matrice de numere, care, de asemenea, se schimbă continuu în conformitate cu anumite reguli. Regulile în sine în fiecare spațiu fictiv sunt diferite. O astfel de matrice de numere se numește tensor; stochează date despre punctele din spațiu aproximativ sub forma în care binecunoscuta jucărie „imaginea cuielor” stochează o imagine: lungimea fiecărei tije este un vector care indică un punct de-a lungul una dintre coordonate, combinația lor oferă o imagine a acesteia, una și singura.
Tensorii sunt obiecte complexe, dar au un lucru în comun - un tensor ca o matrice de vectori tije poate fi „decupat” prin definirea așa-numitei matrice tensorice - un tabel bidimensional în care, în loc de numere obișnuite, există sunt formule care descriu regulile de transformare a acestuia. O matrice este un obiect simplu, operațiile cu care au fost bine dezvoltate cu secole în urmă. Șefii matematicienilor au început să muncească din greu, cel mai mult formule diferite, tensorii au fost construiți pentru punctele din cele mai inimaginabile spații. În cele din urmă, prin eforturile lui Minkowski, Riemann, Lorentz și Einstein, s-au descoperit cei mai simpli tensori care descriu cu suficientă acuratețe spațiul euclidian tridimensional și procesul-timp pe care le percepem. Matricele lor sunt numite metrici.
Ulterior, s-a înțeles că datorită constantei vitezei luminii în vid, luată ca bază de Einstein, metrica Minkowski devine inaplicabilă la distanțe foarte mari între puncte, sau la rate foarte mari de interacțiune gravitațională. Şefii matematicienilor au început să lucreze din nou, acum în alianţă cu fizicienii care căutau confirmarea experimentală a teoriilor. Așa a apărut, de exemplu, metrica Schwarzschild, care descrie lumea noastră prin multiplicarea matricelor de tensori ai unui plan dreptunghiular bidimensional și a unei sfere bidimensionale (este și un cerc familiar, dar sub forma unui întregul spațiu). Metrica Schwarzschild a făcut posibil să descriem de ce percepem mișcarea obiectelor din sfera cerească în acest mod special și nu altfel. Timpul din el este o valoare constantă(!), introdusă separat în fiecare calcul, iar distanța de la un punct la un observator este de fapt un fel de vector care descrie întinderea spațiului (timp) între două nu obiecte, ci evenimente.
Spații funcționale de bază
Cursul 5
Una dintre cele mai importante operațiuni în analiză este trecerea la limită. Această operație se bazează pe faptul că distanța de la un punct la altul este definită pe linia numerică. Multe fapte fundamentale ale analizei nu sunt legate de natura algebrică a numerelor reale (adică de faptul că formează un câmp), ci se bazează doar pe conceptul de distanță. Generalizând ideea numerelor reale ca mulțime în care este introdusă distanța dintre elemente, ajungem la conceptul de spațiu metric - unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne.
Definiție.
Un spațiu metric este o pereche (X, ρ), constând dintr-un set (spațiu) X elemente (puncte) și distanță, adică o funcție reală cu o singură valoare, nenegativă ρ(x,y), definit pentru orice XȘi y din Xși supuse următoarelor axiome;
1. ρ(x,y) ≥ 0 pentru toți X y,
2. ρ(x,y) = 0 atunci și numai când x=y,
3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(axioma de simetrie),
4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(axioma triunghiului).
Spațiul metric însuși, adică perechea (X, ρ), vom desemna de obicei printr-o singură literă R = (X, ρ).
În cazurile în care neînțelegerile sunt excluse, deseori vom desemna spațiul metric cu același simbol ca „stocul de puncte” însuși. X.
Să dăm exemple de spații metrice. Unele dintre aceste spații joacă un rol foarte important în analiză.
1. Setarea elementelor unei mulțimi arbitrare
obţinem, evident, un spaţiu metric. Poate fi numit spațiul punctelor izolate.
2. Set de numere reale cu distanță
formează un spațiu metric R 1.
3. Ansamblul grupurilor ordonate de n numere reale x = (x 1, …, x n) cu distanta
numit n-spaţiu euclidian aritmetic dimensional Rn. Valabilitatea axiomelor 1) - 3) pentru Rn evident. Să arătăm asta în Rn este satisfăcută și axioma triunghiului.
Lăsa x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),
z = (z 1 ,…, z n);
atunci axioma triunghiului se scrie ca
Presupunând , obținem , iar inegalitatea (2) ia forma
Dar această inegalitate decurge imediat din binecunoscuta inegalitate Cauci-Bunyakovsky
Într-adevăr, datorită acestei inegalități avem
Astfel, inegalitatea (3), și deci (2), este dovedită.
4. Luați în considerare același set de grupuri ordonate din n numere reale x = (x 1 ,…, x n) dar definim distanța în ea prin formula
Validitatea axiomelor de aici este evidentă.
Sarcină. Demonstrați axioma 4.
Să notăm acest spațiu metric prin simbolul .
5. Luați din nou același set ca în exemplele 3 și 4 și determinați distanța dintre elementele sale prin formula
Valabilitatea axiomelor 1) - 3) este evidentă.
Sarcină. Demonstrați axioma 4.
Acest spațiu, pe care îl notăm cu , nu este mai puțin convenabil în multe chestiuni de analiză decât spațiul euclidian Rn.
Ultimele trei exemple arată că uneori este într-adevăr important să existe notații diferite pentru spațiul metric însuși și pentru mulțimea punctelor sale, deoarece același stoc de puncte poate fi măsurat în moduri diferite.
6. Loturi C toate funcțiile reale continue definite pe segment , cu distanta
formează și un spațiu metric. Axiomele 1) - 3) sunt verificate direct.
Sarcină. Demonstrați axioma 4.
Acest spațiu joacă un rol foarte important în analiză. Îl vom desemna cu același simbol C, care este setul de puncte al acestui spațiu însuși. În loc de C vom scrie simplu CU.
7. Să notăm prin l 2 spațiu metric ale cărui puncte sunt toate secvențe posibile x=(x 1,...,x n,...) numere reale care satisfac condiția,
iar distanța este determinată de formula
Din inegalitatea elementară rezultă că funcţia ρ(x,y) are sens pentru toată lumea converge dacă
Să arătăm acum că funcția (8) satisface axiomele spațiului metric. Axiomele 1) - 3) sunt evidente, iar axioma triunghiului ia forma aici
Datorită celor de mai sus, fiecare dintre cele trei serii scrise aici converge. Pe de altă parte, de fiecare dată n inegalitatea este adevărată
(vezi exemplul 4). Trecând aici la limită la n®∞ obţinem (8), adică. inegalitatea triunghiulară în l 2.
8. Considerăm, ca în exemplul 6, mulțimea tuturor funcțiilor continue pe interval , dar haideți să definim distanța diferit, și anume, să punem
Vom desemna un astfel de spațiu metric C 2și numiți-l spațiul funcțiilor continue cu metrică pătratică. Aici toate axiomele spațiului metric sunt evidente, iar axioma triunghiului decurge direct din forma integrală a inegalității Cauci-Bunyakovsky
9. Se consideră mulțimea tuturor secvențelor mărginite x = (x 1 , ..., x n , ...) de numere reale.
obținem un spațiu metric, pe care îl notăm m. Valabilitatea axiomelor este evidentă.
10. Ansamblul grupelor ordonate de n numere reale cu distanta
Unde R- orice număr fix ≥ 1 , este un spațiu metric, pe care îl notăm cu .
Să verificăm axioma 4.
Lăsa x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).
Să presupunem atunci inegalitatea
justiţia căreia trebuie să o stabilim va lua forma
Aceasta este așa-numita inegalitate Minkowski. La p= 1 Inegalitatea lui Minkowski este evidentă (modulul sumei nu depășește suma modulelor), așa că vom presupune că p > 1.
Dovada inegalității (13) cu p>1 bazată pe așa-numita inegalitate Hölder
unde sunt numerele p > 1Și q > 1 legat de condiție
Rețineți că inegalitatea (14) este omogenă. Aceasta înseamnă că dacă este satisfăcut pentru oricare doi vectori a = (a 1 ,…, a n),Și b = (b 1 ,…, b n), atunci este valabil și pentru vectori λaȘi μb, Unde λ Și μ - numere arbitrare. Prin urmare, este suficient să se dovedească inegalitatea (14) pentru cazul în care
Deci, condiția (16) să fie satisfăcută; hai sa dovedim asta
Luați în considerare în avion (ξ,η) curba definita de ecuatie η = ξ p -1 (ξ>0), sau, ceea ce este același, prin ecuație ξ p -1 (η >0)(Fig. 1). Din figură reiese clar că pentru orice alegere de valori pozitive AȘi b voi S1 + S2 > ab. Să calculăm aria S 1Și S 2:
Astfel, inegalitatea numerică este adevărată
Înlocuind aici A pe |a k |Și b pe |b k | si insumand prin k de la 1 la n, obținem, ținând cont de (15) și (16),
Inegalitatea (17) și, în consecință, inegalitatea generală (14) au fost dovedite.
La p = 2 Inegalitatea lui Hölder (14) se transformă în inegalitatea Cauci-Bunyakovsky (4).
Să trecem acum la demonstrarea inegalității lui Minkowski. Pentru a face acest lucru, luați în considerare identitatea
Înlocuirea în identitatea scrisă A pe un kȘi b pe b k si insumand prin k din 1 inainte de n primim
Acum aplicând inegalitatea lui Hölder la fiecare dintre cele două sume din dreapta și ținând cont de faptul că (p - 1)q = p, obținem x(t) , obținem
Astfel, s-a dovedit că formula (18), care determină distanța în l p chiar are sens pentru oricine. În același timp, inegalitatea (19) arată că în l p axioma triunghiului este satisfăcută. Axiomele rămase sunt evidente.
Următoarea tehnică oferă un număr nelimitat de exemple suplimentare. Lăsa R = (X, ρ)- spațiu metric și M- orice subset în X. Apoi M cu aceeași funcție ρ(x,y), pe care acum îl considerăm definit pentru XȘi la din M, este, de asemenea, un spațiu metric; se numește subspațiu al spațiului R.