Viene fornita una dimostrazione del teorema limite di Weierstrass. sequenza monotona. Si considerano i casi di successioni limitate e illimitate. Si consideri un esempio in cui è necessario, utilizzando il teorema di Weierstrass, dimostrare la convergenza di una successione e trovarne il limite.

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Guarda anche: Limiti delle funzioni monotone

Qualsiasi sequenza delimitata monotona ( x n ) ha un limite finito uguale all'esatto limite superiore, sup ( x n ) per limite inferiore non decrescente ed esatto, inf ( x n ) per una sequenza non crescente.
Qualsiasi sequenza illimitata monotona ha un limite infinito uguale a più infinito per una sequenza non decrescente e meno infinito per una sequenza non crescente.

Prova

1) sequenza limitata non decrescente.

(1.1) .

Poiché la sequenza è limitata, ha un limite superiore esatto finito
.
Significa che:

• per tutti n,
  (1.2) ;
• per chiunque numero positivo, esiste un numero che dipende da ε tale che
  (1.3) .

.
Qui abbiamo anche usato (1.3). Combinando con (1.2), troviamo:
a .
Perché poi
,
o
a .
Si dimostra la prima parte del teorema.

2) Ora lascia che la sequenza sia sequenza limitata non crescente:
(2.1) per tutti n.

Poiché la sequenza è limitata, ha un limite inferiore esatto finito
.
Ciò significa quanto segue:

• per tutti n valgono le seguenti disuguaglianze:
  (2.2) ;
• per ogni numero positivo , esiste un numero dipendente da ε per cui
  (2.3) .

.
Qui abbiamo anche usato (2.3). Tenendo conto della (2.2), troviamo:
a .
Perché poi
,
o
a .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza.
Si dimostra la seconda parte del teorema.

Consideriamo ora le sequenze illimitate.
3) Lascia che sia la sequenza sequenza illimitata non decrescente.

Poiché la sequenza non è decrescente, le seguenti disuguaglianze valgono per tutti n:
(3.1) .

Poiché la sequenza non è decrescente e illimitata, è illimitata sul lato destro. Allora per ogni numero M esiste un numero che dipende da M per cui
(3.2) .

Poiché la sequenza non è decrescente, allora abbiamo:
.
Qui abbiamo anche usato (3.2).

.
Ciò significa che il limite della sequenza è più infinito:
.
Si dimostra la terza parte del teorema.

4) Infine, considera il caso in cui sequenza illimitata non crescente.

Come sopra, poiché la sequenza non è crescente, quindi
(4.1) per tutti n.

Poiché la sequenza non è crescente e illimitata, è illimitata sul lato sinistro. Allora per ogni numero M esiste un numero che dipende da M per cui
(4.2) .

Poiché la sequenza non è crescente, allora abbiamo:
.

Quindi, per ogni numero M, esiste un numero naturale che dipende da M, in modo che le seguenti disuguaglianze valgano per tutti i numeri:
.
Ciò significa che il limite della sequenza è meno infinito:
.
Il teorema è stato dimostrato.

Esempio di soluzione del problema

Tutti gli esempi Utilizzando il teorema di Weierstrass, dimostrare la convergenza della successione:
, , . . . , , . . .
Quindi trova il suo limite.

Rappresentiamo la sequenza sotto forma di formule ricorrenti:
,
.

Dimostriamo che la successione data è delimitata dall'alto dal valore
(P1) .
La dimostrazione viene effettuata con il metodo dell'induzione matematica.
.
Permettere . Quindi
.
La disuguaglianza (A1) è dimostrata.

Dimostriamo che la successione è monotonicamente crescente.
;
(P2) .
Poiché , allora il denominatore della frazione e il primo fattore del numeratore sono positivi. Poiché i termini della successione sono delimitati dalla disuguaglianza (P1), anche il secondo fattore è positivo. Ecco perchè
.
Cioè, la sequenza è rigorosamente crescente.

Poiché la sequenza è crescente e delimitata dall'alto, è una sequenza limitata. Pertanto, per il teorema di Weierstrass, ha un limite.

Troviamo questo limite. Indichiamolo con a:
.
Usiamo cosa
.
Lo applichiamo a (P2) usando le proprietà aritmetiche dei limiti delle successioni convergenti:
.
La radice soddisfa la condizione.

Guarda anche:

Definizione: se tutti n є N, allineato X n є N, poi lo dicono

modulo numerico sotto sequenza.

- membri sequenze

- generale membro sequenze

La definizione introdotta implica che qualsiasi sequenza numerica deve essere infinita, ma non significa che tutti i membri debbano essere numeri distinti.

Viene considerata la sequenza numerica dato, se è specificata una legge con la quale è possibile trovare qualsiasi membro della sequenza.

Membri o elementi di una sequenza (1) tutti numerati numeri naturali in ordine crescente di numeri. Per n+1 > n-1, il termine segue (precede) il termine, indipendentemente dal fatto che il numero stesso sia maggiore, minore o pari al numero.

Definizione: una variabile x che richiede una sequenza (1) valori, noi - seguendo Ch. Meray - chiameremo opzione.

Nel corso di matematica della scuola, puoi trovare variabili proprio di questo tipo, come le opzioni.

Ad esempio, una sequenza come

(aritmetica) o della forma

(progressione geometrica)

Il termine variabile di questa o quella progressione è opzione.

In connessione con la definizione della circonferenza di una circonferenza, si considera solitamente il perimetro di un poligono regolare inscritto in una circonferenza, ottenuto da un esagono raddoppiando successivamente il numero dei lati. Pertanto, questa variante assume la sequenza di valori:

Citiamo anche l'approssimazione decimale (per mancanza) a, con precisione sempre crescente. Richiede una sequenza di valori:

e presenta anche un'opzione.

La variabile x che attraversa la sequenza (1) è spesso indicata con, identificandola con il membro variabile ("comune") di questa sequenza.

A volte la variante x n è data da ciò che l'espressione per x n indica direttamente; così, nel caso dell'aritmetica o progressione geometrica abbiamo, rispettivamente, x n =a+(n-1) d oppure x n =aq n-1 . Usando questa espressione, puoi calcolare immediatamente qualsiasi valore delle varianti in base al numero dato, senza calcolare i valori precedenti.

Per il perimetro di un poligono regolare inscritto, espressione generale possibile solo inserendo il numero p; in generale, il perimetro p m di un m-gon regolare inscritto è dato dalla formula

Definizione 1: Una sequenza numerica ( x n ) è chiamata delimitata dall'alto (dal basso) se esiste un tale numero M (t) che per ogni elemento di questa successione c'è una disuguaglianza, mentre si chiama il numero M(m). superiore (minore) bordo.

Definizione 2: Una sequenza numerica (x n ) si dice limitata se è delimitata sia sopra che sotto, cioè esiste M, m tale che per qualsiasi

Indichiamo A = max (|M|, |m|), allora è ovvio che la sequenza numerica sarà limitata se l'uguaglianza |x n |?A vale per qualsiasi, l'ultima disuguaglianza è la condizione per la limitatezza della sequenza numerica .

Definizione 3: viene chiamata la sequenza numerica infinitamente grande sequenza, se per qualsiasi A>0, puoi specificare un numero N tale che per ogni n>N, ||>A sia vero.

Definizione 4: viene chiamata la sequenza numerica (b n ). infinitamente piccolo sequenza, se per ogni predeterminato e > 0, si può specificare un numero N(e) tale che per ogni n > N(e) la disuguaglianza | b n |< е.

Definizione 5: viene chiamata la sequenza numerica ( x n ). convergente, se esiste un numero a tale che la sequenza (x n - a) è una sequenza infinitesimale. Allo stesso tempo, un - limite originale numerico sequenze.

Ne consegue da questa definizione che tutte le successioni infinitesime sono convergenti e il limite di queste successioni = 0.

Per il fatto che il concetto di successione convergente è legato al concetto di infinito piccola sequenza, allora la definizione di successione convergente può essere data in un'altra forma:

Definizione 6: viene chiamata la sequenza numerica ( x n ). convergente a un numero a se per ogni arbitrariamente piccolo esiste tale che per ogni n > N la disuguaglianza

a - limite di sequenza

Perché è equivalente, e questo significa appartenere all'intervallo x n є (a - e; a + e) ​​​​o, qual è lo stesso, appartiene a e - l'intorno del punto a. Quindi possiamo dare un'altra definizione di sequenza numerica convergente.

Definizione 7: viene chiamata la sequenza numerica ( x n ). convergente, se esiste un punto a tale che in un qualsiasi e-intorno sufficientemente piccolo di questo punto ci siano elementi arbitrariamente di questa sequenza, a partire da un numero N.

Nota: secondo le definizioni (5) e (6), se a è il limite della successione (x n ), allora x n - a è un elemento di una successione infinitamente piccola, cioè x n - a = b n , dove b n è un elemento di una successione infinitesimale. Pertanto, x p \u003d a + b n, e quindi abbiamo il diritto di affermare che se una sequenza numerica (x n) converge, può sempre essere rappresentata come la somma del suo limite e un elemento di una sequenza infinitesimale.

È vero anche il contrario: se un qualsiasi elemento della sequenza (x n) può essere rappresentato come la somma di un numero costante e un elemento di una sequenza infinitamente piccola, allora questa è una costante ed è limite dato sequenze.

Definizione 8. Sequenza non aumenta (non diminuisce), se per.

Definizione 9. Sequenza aumenta (diminuisce), se per.

Definizione 10. Viene chiamata una sequenza strettamente crescente o strettamente decrescente monotono sequenza.