8-bobda noaniq tabiatga ega ob'ektlarning noaniq va tasodifiy to'plamlar turlari ko'rib chiqildi. Ushbu ilovaning maqsadi loyqa to'plamlarning xususiyatlarini chuqurroq o'rganish va ma'lum ma'noda loyqa to'plamlar nazariyasi tasodifiy to'plamlar nazariyasiga qisqartirilganligini ko'rsatishdir. Ushbu maqsadga erishish uchun teoremalar zanjiri shakllantiriladi va isbotlanadi.
Keyinchalik, barcha ko'rib chiqilgan loyqa to'plamlar bir xil to'plamning kichik to'plamlari deb taxmin qilinadi Y.
P2-1. Loyqa to'plamlar uchun De Morgan qonunlari
Ma'lumki, to'plamlar algebrasining quyidagi o'ziga xosliklari Morgan qonunlari deyiladi
Teorema 1.Loyqa to'plamlar uchun identifikatsiyalar
(3)
1-teoremaning isboti 8-bobda keltirilgan ta'riflar asosida ushbu munosabatlarda ishtirok etuvchi loyqa to'plamlarning a'zolik funktsiyalari qiymatlarini hisoblash yo'li bilan (2) va (3) munosabatlarning haqiqiyligini bevosita tekshirishdan iborat.
(2) va (3) identifikatorlari chaqiriladi loyqa to'plamlar uchun de Morgan qonunlari. Munosabatlarning klassik holatidan (1) farqli o'laroq, ular to'rtta o'ziga xoslikdan iborat bo'lib, ularning bir jufti birlashma va kesish amallariga, ikkinchi jufti esa ko'paytma va yig'indi amallariga tegishli. Toʻplamlar algebrasidagi (1) munosabat kabi, loyqa toʻplamlar algebrasidagi de Morgan qonunlari ham inkor amallarini oʻz ichiga olgan ifoda va formulalarni oʻzgartirishga imkon beradi.
P2-2. Loyqa to'plamlar uchun taqsimot qonuni
To'plam operatsiyalarining ba'zi xususiyatlari loyqa to'plamlarga mos kelmaydi. Ha, bundan tashqari LEKIN- "aniq" to'plam (ya'ni a'zolik funktsiyasi faqat 0 va 1 qiymatlarini oladi).
Loyqa to'plamlar uchun distributiv qonun to'g'rimi? Adabiyotda ba'zida "har doim ham emas" degan noaniq ta'kidlanadi. Keling, buni to'liq aniqlaylik.
Teorema 2.Har qanday loyqa to'plamlar uchun A, B va C
Shu bilan birga, tenglik
to'g'ri bo'lsa va faqat hamma uchun
Isbot. Biz ixtiyoriy elementni tuzatamiz. Belgilanishni qisqartirish uchun biz belgilaymiz Aynilikni isbotlash uchun (4), shuni ko'rsatish kerak
Uchta raqamning turli tartiblarini ko'rib chiqing a, b, c. Birinchi bo'lsin Keyin munosabatning chap tomoni (6) va o'ng tomoni ya'ni. tenglik (6) amal qiladi.
Let Keyin munosabatda (6) chapda va o'ngda turadi, ya'ni. munosabat (6) yana tenglikdir.
Agar u holda munosabatda (6) chapda va o'ngda tursa, ya'ni. ikkala qism yana mos keladi.
Raqamlarning yana uchta tartibi a, b, c demontaj qilishning hojati yo'q, chunki (6) raqamlarga nisbatan b va c nosimmetrik tarzda kiriting. Shaxs (4) isbotlangan.
2-teoremaning ikkinchi tasdig'i shundan kelib chiqadiki, loyqa to'plamlar ustidagi operatsiyalar ta'riflariga muvofiq (8-bobga qarang).
Bu ikki ibora bir-biriga to'g'ri keladi, agar va faqat qachon isbotlanishi kerak bo'lsa.
Ta'rif 1.Loyqa A to'plamining tashuvchisi barcha nuqtalarning yig'indisidir , buning uchun
2-teoremaning xulosasi.Agar B va C loyqa to'plamlarning tayanchlari Y ga to'g'ri kelsa, u holda (5) tenglik A "aniq" (ya'ni, oddiy, klassik, noaniq) to'plam bo'lgan taqdirdagina bajariladi.
Isbot. Shart bo'yicha 
hamma bilan. Keyin 2-teoremadan kelib chiqadiki 
bular. yoki , bu shuni anglatadi LEKIN- aniq to'plam.
P2-3. Noaniq to'plamlar tasodifiy to'plamlarning proyeksiyalari sifatida
Ko'rinishning boshidanoq zamonaviy nazariya 1960-yillarda loyqalik uning ehtimollar nazariyasi bilan aloqasi haqida bahslasha boshladi. Gap shundaki, loyqa to'plamning a'zolik funksiyasi ehtimollik taqsimotiga o'xshaydi. Yagona farq shundaki, tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari bo'yicha ehtimollar yig'indisi (yoki integral, agar mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami sanab bo'lmaydigan bo'lsa) har doim 1 ga teng va yig'indisi S a'zolik funktsiyasining qiymatlari (uzluksiz holatda - a'zolik funktsiyasining integrali) har qanday bo'lishi mumkin manfiy bo'lmagan raqam. A'zolik funktsiyasini normallashtirish uchun vasvasa mavjud, ya'ni. uning barcha qiymatlarini taqsimlang S(da S 0) uni ehtimollik taqsimotiga (yoki ehtimollik zichligiga) kamaytirish uchun. Biroq, loyqalik bo'yicha mutaxassislar bunday "ibtidoiy" qisqartirishga haqli ravishda e'tiroz bildiradilar, chunki u har bir loyqalik (loyqa to'plam) uchun alohida amalga oshiriladi va loyqa to'plamlar bo'yicha oddiy amallarning ta'riflarini u bilan kelishib bo'lmaydi.Oxirgi bayonot quyidagilarni anglatadi. Loyqa to'plamlarning a'zolik funksiyalari bo'lsin LEKIN va DA. Bu holda a'zolik funktsiyalari qanday o'zgartiriladi? Uni o'rnating printsipial jihatdan mumkin emas. Oxirgi bayonot a'zolik funktsiyalari qiymatlarining bir xil yig'indisiga ega bo'lgan, lekin ular bo'yicha to'plam-nazariy operatsiyalarning turli xil natijalari va tegishli a'zolik funktsiyalari qiymatlari yig'indisiga ega bo'lgan loyqa to'plamlarning bir nechta misollarini ko'rib chiqqandan so'ng aniq bo'ladi. to'plam nazariy amallarining bu natijalari uchun, masalan, to'plamlarning kesishishlari uchun ham har xil.
Loyqa to'plamlar bo'yicha ishlarda loyqalik nazariyasi amaliy matematikaning mustaqil bo'limi ekanligi va ehtimollar nazariyasiga hech qanday aloqasi yo'qligi ko'pincha ta'kidlanadi (masalan, monografiyalardagi adabiyotlar sharhiga qarang). Loyqa nazariya va ehtimollar nazariyasini taqqoslagan mualliflar odatda nazariy va amaliy tadqiqotlarning ushbu sohalari o'rtasidagi farqni ta'kidladilar. Odatda, aksiomatika solishtiriladi va qo'llash sohalari taqqoslanadi. Darhol shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchi turdagi taqqoslashdagi dalillar isbotlovchi kuchga ega emas, chunki ehtimollik-statistik usullar kabi uzoq vaqtdan beri mavjud bo'lgan ilmiy sohaning qo'llanilishi chegaralari haqida turli xil fikrlar mavjud. Eslatib o'tamiz, eng mashhur frantsuz matematiklaridan biri Anri Lebesgning arifmetikaning qo'llanilishi chegaralari haqidagi mulohazalari natijasi quyidagicha: "Arifmetika qo'llanilishi mumkin bo'lganda amal qiladi" (uning monografiyasiga qarang).
Loyqa nazariya va ehtimollar nazariyasining turli aksiomalarini solishtirganda, aksiomalar ro'yxati bir-biridan farq qilishini ko'rish oson. Biroq, bundan kelib chiqadiki, bu nazariyalar o'rtasida Evklid geometriyasini arifmetikaga (aniqrog'i, sanoq tizimi nazariyasiga) ma'lum bo'lgan tekislikda qisqartirish kabi aloqa o'rnatish mumkin emas. , masalan, monografiya). Eslatib o'tamiz, bu ikki aksiomatika - Evklid geometriyasi va arifmetika - birinchi qarashda juda farq qiladi.
Yangi tendentsiya ishqibozlarining o'zlarining ilmiy apparatlarining fundamental yangiligini ta'kidlash istagini tushunish mumkin. Biroq, yangi yondashuv va ilgari ma'lum bo'lganlar o'rtasida aloqalarni o'rnatish bir xil darajada muhimdir.
Ma'lum bo'lishicha, loyqa to'plamlar nazariyasi tasodifiy to'plamlar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq. 1974 yilda ishda loyqa to'plamlarni tasodifiy to'plamlarning "proyeksiyalari" deb hisoblash tabiiy ekanligi ko'rsatilgan. Keling, noaniq to'plamlar nazariyasini tasodifiy to'plamlar nazariyasiga qisqartirishning ushbu usulini ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 2.Mayli - chekli Y to'plamining tasodifiy kichik to'plami. Y da aniqlangan loyqa B to'plami A proyeksiyasi deb ataladi va agar bo'lsa, proj A bilan belgilanadi.
(7)
Barcha uchun
Shubhasiz, har bir tasodifiy to'plam LEKIN(7) formula yordamida noaniq to'plamni yozish mumkin B = ProjA. Ma’lum bo‘lishicha, buning aksi ham bor ekan.
Teorema 3. Cheklangan Y to'plamining har qanday noaniq B kichik to'plami uchun Y to'plamining tasodifiy A kichik to'plami mavjud bo'lib, B = Proj A bo'ladi.
Isbot. Tasodifiy to'plamning taqsimlanishini aniqlab olish kifoya LEKIN. Mayli 1- tashuvchi DA(yuqoridagi 1 ta'rifga qarang). Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin 
ba'zilarida m va elementlar 1 shunday raqamlangan
Keling, to'plamlar bilan tanishtiramiz
Boshqa barcha kichik to'plamlar uchun X to'plamlar Da qo'yaylik P(A=X)=0. Elementdan beri y t to'plamga kiritilgan Y(1), Y(2),…, Y(t) va tarkibiga kirmaydi
to'plamlar Y(t+1),…, Y(m), keyin
yuqoridagi formulalardan kelib chiqadiki 
Agar shunday bo'lsa, 3-teorema isbotlangan bo'ladi.
8-bob mulohazalaridan kelib chiqqan holda, mustaqil elementlarga ega tasodifiy to'plamning taqsimlanishi uning proyeksiyasi bilan to'liq aniqlanadi. Cheklangan tasodifiy to'plam uchun umumiy ko'rinish bu unday emas. Aytilganlarni aniqlashtirish uchun bizga quyidagi teorema kerak.
Teorema 4. Y to'plamining A tasodifiy kichik to'plami uchun cheklangandan elementlar soni raqamlar to'plami 
va 
bir biri orqali ifodalanadi.
Isbot. Ikkinchi to'plam birinchisi bilan quyidagicha ifodalanadi:
Birinchi to'plamning elementlari ikkinchisi bo'yicha rasmiy mantiqdan qo'shilish va istisnolar formulasi yordamida ifodalanishi mumkin, unga ko'ra
Ushbu formulada, birinchi summada da to'plamning barcha elementlaridan o'tadi Y\X, ikkinchi yig'indida, yig'ish o'zgaruvchilari 1 va 2 da bir-biriga to'g'ri kelmaydi va shu to'plam orqali ham o'ting va hokazo. Kiritish va chiqarib tashlash formulasiga havola 4-teoremaning isbotini to'ldiradi.
4-teoremaga muvofiq, tasodifiy A to'plami nafaqat taqsimot, balki raqamlar to'plami bilan ham tavsiflanishi mumkin. 
Bu a to'plamda tenglik tipidagi boshqa munosabatlar mavjud emas. Ushbu to'plam raqamlarni o'z ichiga oladi, shuning uchun tasodifiy to'plamning proyeksiyasini aniqlash fiksatsiyaga tengdir k = Karta(Y) dan parametrlar (2k-1) tasodifiy to'plamning taqsimlanishini belgilovchi parametrlar LEKIN umuman.
Quyidagi teorema foydali bo'ladi.
Teorema 5. Agar a Loyiha A = B, keyin
Buni isbotlash uchun tasodifiy to‘plamlar nazariyasidan olingan o‘ziga xoslikdan, 8-bobdagi qamrab olish ehtimoli formulasidan, loyqa to‘plamni inkor etish ta’rifidan va barcha P(A=) yig‘indisidan foydalanish kifoya. X) 1 ga teng.
P2-4. Loyqa va tasodifiy to'plamlarning kesishuvlari va mahsuloti
Tasodifiy to'plamlardagi amallar ularning proyeksiyalari bilan bog'liqligini bilib olaylik. De Morgan qonunlari (1-teorema) va 5-teorema tufayli tasodifiy to'plamlarning kesishish operatsiyasini ko'rib chiqish kifoya.
Teorema 6. Agar chekli to'plamning tasodifiy kichik to'plamlari A 1 va A 2 bo'lsa mustaqil, keyin loyqa to'plam mahsulot hisoblanadi loyqa to'plamlar Proj A 1 va Proj A 2.
Isbot. Biz buni har kimga ko'rsatishimiz kerak
Nuqtani tasodifiy to'plam bilan qoplash ehtimoli formulasiga ko'ra (8-bob)
Ma'lumki, tasodifiy to'plamlarning kesishish taqsimotini ularning qo'shma taqsimoti nuqtai nazaridan quyidagicha ifodalash mumkin:
(9) va (10) munosabatlardan kelib chiqadiki, tasodifiy to'plamlarning kesishishini qoplash ehtimoli ikki tomonlama yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin.
E'tibor bering, formulaning (11) o'ng tomonini quyidagicha qayta yozish mumkin:
(12)
Haqiqatan ham, (11) formula (12) formuladan faqat yig'indisi o'zgaruvchilarning kesishishi doimiy qiymatni qabul qiladigan shartlarni o'z ichiga olganligi bilan farq qiladi. Tasodifiy to'plamlarning mustaqilligi ta'rifi va yig'indilarni ko'paytirish qoidasidan foydalanib, biz (11) va (12) dan tenglikni olamiz
6-teoremani isbotlashni yakunlash uchun nuqtaning tasodifiy to‘plam bilan qoplanishi ehtimoli formulasiga yana bir bor murojaat qilish kifoya (8-bob).
Ta'rif 3. Tasodifiy C to'plamining tashuvchisi bu barcha elementlarning to'plamidir buning uchun
Teorema 7.Tenglik
Tasodifiy to'plamlarning tayanchlari kesishgan taqdirdagina to'g'ri bo'ladi va bo'sh.
Isbot. Qaysi sharoitlarda ekanligini aniqlash kerak
Keyin tenglik (13) shartga kamayadi
Ko'rinib turibdiki, (14) munosabat qanoatlansa va faqat bo'lsa R 2 R 3=0 hamma uchun, ya'ni. bir vaqtning o'zida bunday element yo'q 
va 
, va bu tasodifiy to'plamlarning tayanchlari kesishuvining bo'shligiga tengdir va .
7-teorema isbotlangan.
P2-5. Loyqa to'plamlarda amallar ketma-ketligini qisqartirish
tasodifiy to'plamlar bo'yicha operatsiyalar ketma-ketligiga
Yuqorida loyqa va tasodifiy to'plamlar orasidagi ba'zi bog'lanishlar olingan. Shuni ta'kidlash kerakki, ishda ushbu munosabatlarni o'rganish (bu ish 1974 yilda amalga oshirilgan va "Ko'p o'lchovli" seminarda ma'lum qilingan. statistik tahlil va real jarayonlarni probabilistik modellashtirish "1974 yil 18 dekabr - qarang) loyqa to'plamlar apparatini ishlab chiqish va umumlashtirish maqsadida tasodifiy to'plamlarni kiritish bilan boshlandi L. Zade. Gap shundaki, loyqa to'plamlarning matematik apparati imkon bermaydi. hisobga ol turli xil variantlar uning yordamida modellashtirilgan tushunchalar (ob'ektlar) o'rtasidagi bog'liqliklar etarlicha moslashuvchan emas. Shunday qilib, ikkita loyqa to'plamning "umumiy qismi" ni tavsiflash uchun faqat ikkita operatsiya mavjud - mahsulot va kesishish. Agar ulardan birinchisi qo'llanilsa, u holda to'plamlar aslida mustaqil tasodifiy to'plamlarning proyeksiyalari sifatida harakat qiladi deb taxmin qilinadi (yuqoridagi 6-teoremaga qarang). Kesishmaning ishlashi to'plamlar orasidagi bog'liqlik turiga ham aniq cheklovlar qo'yadi (yuqoridagi 7-teoremaga qarang) va bu holda hatto zarur va etarli shartlar topiladi. To'plamlar (tushunchalar, ob'ektlar) o'rtasidagi bog'liqlikni modellashtirish uchun ko'proq imkoniyatlarga ega bo'lish maqsadga muvofiqdir. Foydalanish matematik apparat tasodifiy to'plamlar bunday imkoniyatlarni beradi.
Loyqa to'plamlarni tasodifiy to'plamlarga qisqartirishdan maqsad, biz tasodifiy o'zgaruvchini ehtimollik taqsimoti zichligi bo'yicha ko'rganimiz kabi, loyqa to'plamlardan har qanday konstruktsiya ortida birinchisining xususiyatlarini aniqlaydigan tasodifiy to'plamlardan konstruktsiyani ko'rishdir. Ushbu kichik bo'limda biz loyqa to'plamlar algebrasini tasodifiy to'plamlar algebrasiga qisqartirish bo'yicha natijalarni taqdim etamiz.
Ta'rif 4.Ehtimollar maydoni { V, G, P)har qanday o'lchanadigan X G va har qanday to'plam uchun bo'linuvchi deb ataymiz ijobiy raqam , P(X) dan kichik bo'lsa, shunday o'lchanadigan to'plamni belgilash mumkin
Misol. Cheklangan o'lchamli birlik kubi bo'lsin chiziqli fazo, G Borel to'plamlarining sigma-algebrasidir va P Lebeg o'lchovidir. Keyin { V, G, P)- bo'linadigan ehtimollik fazosi.
Shunday qilib, bo'linadigan ehtimollik maydoni ekzotik emas. Muntazam kub bunday bo'shliqqa misoldir.
Misolda shakllantirilgan tasdiqning isboti o'lchanadigan to'plamni o'zboshimchalik bilan aniqlik bilan yaqinlashtirish mumkinligiga asoslangan standart matematik usullar bilan amalga oshiriladi. ochiq to'plamlar, ikkinchisi ochiq to'plarning sanoqli sonidan ko'p bo'lmagan yig'indisi sifatida ifodalanadi va to'plar uchun bo'linuvchanlik to'g'ridan-to'g'ri tekshiriladi (hajm tanasi X to'pdan mos keladigan tekislik bilan ajratiladi).
Teorema 8.Tasodifiy to'plam A bo'linadigan ehtimollar fazosida berilgan bo'lsin (V, G, P) chekli sonli elementlarning Y to'plamining barcha kichik to'plamlari to'plamidagi qiymatlar va Y ustida noaniq D to'plami bilan. Keyin tasodifiy to'plamlar ~ 1 bo'ladi., 2 dan, 3 dan, C 4 bir xil ehtimollik fazosida shunday
bu erda B = ProjA.
Isbot. De Morgan qonunlarining loyqa (yuqoridagi 1-teoremaga qarang) va tasodifiy toʻplamlar uchun, shuningdek, yuqoridagi 5-teorema (inkorlar haqida) uchun toʻgʻriligi tufayli tasodifiy toʻplamlar mavjudligini isbotlash kifoya. 1 dan va 2 dan .
To'plamning barcha kichik to'plamlari to'plamidagi ehtimollik taqsimotini ko'rib chiqing Da, tasodifiy to'plamga mos keladi FROM shu kabi Loyiha C = D(3-teorema tufayli mavjud). Keling, tasodifiy to'plam quraylik C 2 Elementni faqat uchun chiqarib tashlang 
bir xil Y to'plamining shunday
va bundan tashqari, to'plam-nazariy amallar natijalari o'xshash munosabatlar bilan bog'liq
Bunda belgi ko'rib chiqilayotgan joy tasodifiy to'plamlar kesishish belgisi ekanligini bildiradi, agar B m ta'rifida kesishish belgisi yoki loyqa to'plamlar mahsulotining belgisi va shunga mos ravishda birlashma belgisi mavjud bo'lsa. tasodifiy to'plamlar, agar B m birlashma belgisini yoki loyqa to'plamlar yig'indisining belgisini o'z ichiga olgan bo'lsa.
De Morgan qonunlari mantiqiy qoidalar, Shotlandiya matematigi Avgust de Morgan tomonidan o'rnatilgan, mantiqiy inkor yordamida mantiqiy operatsiyalar juftlarini bog'laydi.
Avgust de Morgan klassik mantiqda quyidagi munosabatlar to'g'ri ekanligini ta'kidladi:
emas (A va B) = (A emas) yoki (B emas)
emas (A yoki B) = (A emas) va (B emas)
Biz uchun ko'proq tanish shaklda bu nisbatlarni quyidagi shaklda yozish mumkin:
De Morgan qonunlarini quyidagicha shakllantirish mumkin:
I de Morgan qonuni: Ikki oddiy gapning diszyunksiyasining inkori bu gaplarning inkorlarining birikmasiga teng.
II de Morgan qonuni: Ikki oddiy gapning birikmasining inkori bu gaplarning inkorlarining diszyunksiyasiga tengdir.
Muayyan misollarda de Morgan qonunlarini qo'llashni ko'rib chiqing.
1-misol Murakkab gaplarning inkorlari bo'lmasligi uchun formulani o'zgartiring.
Birinchi de Morgan qonunidan foydalanamiz, biz quyidagilarni olamiz:
B va C oddiy gaplar birikmasini inkor qilish uchun ikkinchi de Morgan qonunini qo‘llaymiz, biz quyidagilarni olamiz:
,
Shunday qilib:
.
Natijada, biz ekvivalent bayonot oldik, unda qo'shma gaplarning inkorlari mavjud emas va barcha inkorlar faqat oddiy gaplarga tegishli.
Haqiqat jadvallari yordamida yechimning haqiqiyligini tekshirishingiz mumkin. Buning uchun biz asl bayonot uchun haqiqat jadvallarini tuzamiz:
va de Morgan qonunlari yordamida amalga oshirilgan transformatsiyalar natijasida olingan bayonot uchun:
.
1-jadval.
|
B/\C |
A\/B/\C |
||||
Jadvallardan ko'rinib turibdiki, de Morgan qonunlari yordamida olingan dastlabki mantiqiy bayonot va mantiqiy bayonot ekvivalentdir. Bu haqiqat jadvallarida biz bir xil qiymatlar to'plamini olganimizdan dalolat beradi.
Mantiq formulalari va qonunlari
Ustida kirish darsi ga bag'ishlangan matematik mantiq asoslari, biz matematikaning ushbu bo'limining asosiy tushunchalari bilan tanishdik va endi mavzu tabiiy davomini oladi. Yangi nazariy, aniqrog'i nazariy emas, balki umumiy o'quv materialiga qo'shimcha ravishda, bizni amaliy vazifalar kutmoqda va shuning uchun agar siz ushbu sahifaga qidiruv tizimidan kelgan bo'lsangiz va/yoki materialga yomon yo'naltirilgan bo'lsangiz, havolaga o'ting. yuqorida va oldingi maqoladan boshlang. Bundan tashqari, amaliyot uchun bizga 5 ta kerak bo'ladi haqiqat jadvallari mantiqiy operatsiyalar qaysi men juda tavsiya eting qo'lda qayta yozing.
Esingizda bo'lmasa, chop etmang, ya'ni o'z qo'lingiz bilan yana bir bor tushunib oling va qog'ozga qayta yozing - ular sizning ko'zingiz oldida:
- jadval YO'Q;
- jadval I;
– OR jadvali;
- implikatsiyalar jadvali;
- Ekvivalentlik jadvali.
Bu juda muhim. Aslida, ularni raqamlash qulay bo'ladi "1-jadval", "2-jadval" va boshqalar., lekin men bu yondashuvdagi nuqsonni bir necha bor ta'kidladim - ular aytganidek, bir manbada jadval birinchi bo'lib, ikkinchisida esa yuz birinchi bo'ladi. Shuning uchun biz "tabiiy" nomlardan foydalanamiz. Davom etamiz:
Aslida, siz mantiqiy formula tushunchasi bilan allaqachon tanishsiz. Men standartni beraman, lekin juda aqlli ta'rifi: formulalar taklif algebralari deyiladi:
1) har qanday elementar (oddiy) bayonotlar;
2) agar va formulalar bo'lsa, formulalar ham shaklning ifodasidir
.
Boshqa formulalar yo'q.
Xususan, formula har qanday mantiqiy operatsiya, masalan, mantiqiy ko'paytirish. Ikkinchi nuqtaga e'tibor bering - bu imkon beradi rekursiv o'zboshimchalik bilan uzun formulani "yaratish" usuli. Chunki 
formulalar bo'lsa, u ham formuladir; chunki va formulalar, keyin 
- shuningdek, formula va boshqalar. Har qanday elementar bayonot (yana ta'rif bo'yicha) formulani bir necha marta kiritishi mumkin.
Formula emas bu, masalan, rekord - va bu erda "algebraik axlat" bilan aniq o'xshashlik mavjud bo'lib, undan raqamlarni qo'shish yoki ko'paytirish kerakmi, aniq emas.
Mantiqiy formulani shunday tasavvur qilish mumkin mantiqiy funktsiya. Xuddi shu qo‘shma gapni funksional shaklda yozamiz: 
Bu holda elementar bayonotlar klassik mantiqda 2 ta qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan argumentlar (mustaqil o'zgaruvchilar) rolini ham o'ynaydi: rost yoki Yolg'on. Qulaylik uchun men ba'zan oddiy iboralarni chaqiraman o'zgaruvchilar.
Mantiqiy formulani (funktsiyani) tavsiflovchi jadval, yuqorida aytib o'tilganidek, deyiladi: haqiqat jadvali. Iltimos - tanish rasm: 
Haqiqat jadvalini shakllantirish printsipi quyidagicha: "kirishda" siz ro'yxatlashingiz kerak barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar elementar takliflar (argumentlar) qabul qilishi mumkin bo'lgan haqiqat va yolg'on. Bunday holda, formula ikkita bayonotni o'z ichiga oladi va to'rtta bunday kombinatsiya mavjudligini aniqlash oson. "Chiqishda" biz butun formulaning (funktsiyaning) mos keladigan mantiqiy qiymatlarini olamiz.
Aytishim kerakki, bu erda "chiqish" "bir qadamda" bo'lib chiqdi, ammo umumiy holatda mantiqiy formula murakkabroq. Va bunday "qiyin holatlarda" kuzatish kerak mantiqiy amallarni bajarish tartibi:
- birinchi navbatda inkor qilish amalga oshiriladi;
- ikkinchidan - birikma;
- keyin - disjunktsiya;
- keyin ma'no;
- va nihoyat, eng past ustuvorlik ekvivalentiga ega.
Shunday qilib, masalan, kirish siz avval mantiqiy ko'paytirishni, keyin esa - mantiqiy qo'shishni amalga oshirishingiz kerakligini anglatadi. Xuddi "oddiy" algebrada bo'lgani kabi - "avval biz ko'paytiramiz, keyin esa qo'shamiz".
Harakatlar tartibi odatiy tarzda o'zgartirilishi mumkin - qavslar:
- bu erda, birinchi navbatda, dis'yunktsiya amalga oshiriladi va shundan keyingina yanada "kuchli" operatsiya qilinadi.
Ehtimol, hamma tushunadi, lekin faqat o't o'chiruvchi bo'lsa: va bu ikki xil formulalar! (rasmiy va mazmunan)
Formula uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Ushbu formula ikkita elementar iborani o'z ichiga oladi va "kirishda" biz birlar va nollarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini sanab o'tishimiz kerak. Chalkashlik va nomuvofiqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun biz kombinatsiyalarni ro'yxatga olishga rozimiz qat'iy ravishda shu tartibda (aslida men boshidanoq de-fakto ishlataman):
Formula ikkita mantiqiy operatsiyani o'z ichiga oladi va ularning ustuvorligiga ko'ra, birinchi navbatda, siz bajarishingiz kerak inkor qilish bayonotlar. Xo'sh, biz "pe" ustunini rad qilamiz - biz birliklarni nolga, nollarni esa birliklarga aylantiramiz: 
Ikkinchi bosqichda biz ustunlarni ko'rib chiqamiz va ularga amal qilamiz YOKI operatsiya. Bir oz oldinga qarab, men ayrilish o'zgaruvchan ekanligini aytaman (va bir xil narsa), va shuning uchun ustunlar odatdagi tartibda tahlil qilinishi mumkin - chapdan o'ngga. Mantiqiy qo'shishni amalga oshirishda quyidagi amaliy fikrlashdan foydalanish qulay: "Agar ikkita nol bo'lsa, biz nol qo'yamiz, agar kamida bitta birlik bo'lsa, bittasini qo'yamiz":
Haqiqat jadvali tuzilgan. Va endi eski yaxshi ma'noni eslaylik: 
…diqqat bilan-diqqat bilan… yakuniy ustunlarga qarang…. Takliflar algebrasida bunday formulalar deyiladi ekvivalent yoki bir xil:
(uchta gorizontal chiziq identifikatsiya belgisidir)
Darsning 1-qismida men asosiy mantiqiy amallar orqali ma'noni ifodalashga va'da berdim va va'daning bajarilishi uzoq kutilmadi! Xohlaganlar ma'noga mazmunli ma'no qo'yishlari mumkin (masalan, "Yomg'ir yog'ayotgan bo'lsa, tashqarida nam") va ekvivalent bayonotni mustaqil tahlil qilish.
Keling, shakllantiramiz umumiy ta'rif : ikkita formula deyiladi ekvivalent (bir xil), agar ular ushbu o'zgaruvchan formulalarga kiritilgan qiymatlar to'plami uchun bir xil qiymatlarni olsalar (asosiy bayonotlar). Ular ham shunday deyishadi "Agar ularning haqiqat jadvallari bir xil bo'lsa, formulalar ekvivalentdir" lekin menga bu ibora unchalik yoqmaydi.
1-mashq
Formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va o'zingiz bilgan shaxsning haqiqat ekanligiga ishonch hosil qiling.
Muammoni hal qilish tartibini takrorlaymiz:
1) Formula ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olganligi sababli, jami 4 ta nol va birlik to'plami bo'lishi mumkin. Biz ularni yuqorida ko'rsatilgan tartibda yozamiz.
2) Ma’nolar qo‘shma gaplarga qaraganda “zaifroq”, lekin ular qavs ichida joylashgan. Biz ustunni to'ldiramiz, shu bilan birga quyidagi amaliy fikrlashdan foydalanish qulay: "agar nol bittadan kelib chiqsa, biz nolni qo'yamiz, qolgan barcha holatlarda - bitta". Keyin, imo-ishora uchun ustunni to'ldiring va shu bilan birga, Diqqat!- ustunlar va "o'ngdan chapga" tahlil qilinishi kerak!
3) Va yakuniy bosqichda oxirgi ustunni to'ldiring. Va bu erda shunday bahslashish qulay: "Agar ustunlarda ikkitasi bo'lsa, biz bittasini qo'yamiz, qolgan barcha holatlarda - nol".
Va nihoyat, biz haqiqat jadvalini tekshiramiz ekvivalentlar .
Takliflar algebrasining asosiy ekvivalentlari
Biz ulardan ikkitasi bilan yaqinda tanishdik, lekin masala, albatta, ular bilan cheklanmaydi. Bir nechta identifikatsiyalar mavjud va men ulardan eng muhimi va eng mashhurlarini sanab o'taman:
Konyunksiyaning kommutativligi va diszyunksiyaning kommutativligi
kommutativlik almashtirish hisoblanadi:
1-sinf qoidalaridan tanish: "Omillarni (shartlarni) qayta joylashtirishdan mahsulot (sum) o'zgarmaydi". Ammo bu xususiyatning barcha ko'rinadigan elementarligiga qaramay, u har doim ham to'g'ri emas, xususan, u o'zgarmasdir. matritsalarni ko'paytirish (umuman, ularni qayta tartibga solish mumkin emas), a vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi- antikommutativ (vektorlarni almashtirish belgining o'zgarishiga olib keladi).
Bundan tashqari, men bu erda yana matematik mantiqning rasmiyatchiligini ta'kidlamoqchiman. Masalan, iboralar "Talaba imtihondan o'tdi va ichdi" va "Talaba ichdi va imtihondan o'tdi" mazmun nuqtai nazaridan farq qiladi, lekin rasmiy haqiqat nuqtai nazaridan farqlanmaydi. ... Har birimiz bunday talabalarni bilamiz va axloqiy sabablarga ko'ra aniq nomlarni aytmaymiz =)
Mantiqiy ko'paytirish va qo'shishning assotsiativligi
Yoki, agar "maktab uslubi" assotsiativ xususiyat bo'lsa:
Tarqatish xususiyatlari
E'tibor bering, ikkinchi holatda "qavslarni ochish" haqida gapirish noto'g'ri bo'ladi, ma'lum ma'noda bu erda "fantastika" - axir, ularni butunlay olib tashlash mumkin: ko'paytirish kuchliroq operatsiya hisoblanadi.
Va yana - bu "banal" ko'rinadigan xususiyatlar umuman amalga oshirilmaydi algebraik tizimlar, va bundan tashqari, isbot talab qiladi (bu haqda biz tez orada gaplashamiz). Aytgancha, ikkinchi distributiv qonun hatto bizning "oddiy" algebramizda ham amal qilmaydi. Va haqiqatan ham:
Idempotentlik qonuni
Nima qilish kerak, lotin....
Faqat sog'lom psixikaning ba'zi printsiplari: "Men va men menman", "men yoki men ham menman" =)
Va bu erda bir nechta o'xshash identifikatsiyalar mavjud: 
... yaxshi, men hatto go'shakni qo'yib qo'ydim ... shuning uchun ertaga siz PhD bilan uyg'onishingiz mumkin =)
Ikkilamchi inkor qonuni
Xo'sh, bu erda rus tilidagi misol allaqachon o'zini ko'rsatmoqda - hamma ikki zarracha "yo'q" "ha" degan ma'noni anglatishini juda yaxshi biladi. Va rad etishning hissiy rangini kuchaytirish uchun ko'pincha uchta "yo'q" ishlatiladi:
- ozgina isbot bo'lsa ham, u ishladi!
Absorbsiya qonunlari
- O'g'il bolami? =)
To'g'ri identifikatsiyada qavslar qoldirilishi mumkin.
De Morgan qonunlari
Aytaylik, qattiqqo'l o'qituvchi (kimning ismini ham bilasiz :)) imtihon topshiradi, agar - Talaba 1-savolga javob berdi va – Talaba 2-savolga javob berdi. Keyin bu haqdagi bayonot Talaba emas imtihondan o'tdi, bayonotga teng bo'ladi - Talaba emas 1-savolga javob berdi yoki 2-savolga.
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, ekvivalentlar isbotlanishi kerak, bu odatda haqiqat jadvallari yordamida amalga oshiriladi. Darhaqiqat, biz ma'no va ekvivalentlikni ifodalovchi ekvivalentlarni allaqachon isbotladik va endi bu muammoni hal qilish texnikasini tuzatish vaqti keldi.
Keling, shaxsni isbotlaylik. U bitta bayonotni o'z ichiga olganligi sababli, "kirishda" faqat ikkita variant mavjud: bitta yoki nol. Keyinchalik, biz bitta ustunni tayinlaymiz va ularga amal qilamiz qoida VA:
Natijada, "chiqishda" formula olinadi, uning haqiqati bayonotning haqiqatiga to'g'ri keladi. Ekvivalentligi isbotlangan.
Ha, bu dalil ibtidoiy (va kimdir buni "ahmoqlik" deb aytadi), lekin odatiy matematik mantiq o'qituvchisi uning uchun ruhini silkitadi. Shuning uchun, hatto bunday oddiy narsalarga ham mensimaslik kerak.
Endi, masalan, de Morgan qonunining haqiqiyligiga ishonch hosil qilaylik.
Birinchidan, chap tomon uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Ajralish qavs ichida bo'lgani uchun biz birinchi navbatda uni bajaramiz, shundan so'ng biz ustunni rad etamiz: 
Keyinchalik, o'ng tomon uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Bu erda ham hamma narsa shaffof - birinchi navbatda biz ko'proq "kuchli" negativlarni bajaramiz, keyin ustunlarga qo'llaymiz. qoida VA:
Natijalar mos keldi, shuning uchun shaxs isbotlandi.
Har qanday ekvivalentlik sifatida ifodalanishi mumkin bir xil to'g'ri formula. Bu shuni anglatadiki HAR QANDAY boshlang'ich nol va birliklar to'plami UCHUN"chiqishda" qat'iy birlik olinadi. Va buning juda oddiy tushuntirishi bor: haqiqat jadvallari va bir-biriga to'g'ri kelganligi sababli, albatta, ular ekvivalentdir.Masalan, de Morgan shaxsining chap va o'ng qismlarini ekvivalentlik yo'li bilan birlashtiramiz: 
Yoki ixchamroq:
Vazifa 2
Quyidagi ekvivalentlarni isbotlang:
b) 
Dars oxirida qisqacha yechim. Keling, dangasa bo'lmaylik! Faqat haqiqat jadvallarini tuzishga harakat qiling, balki aniq xulosalarni shakllantirish. Yaqinda ta'kidlaganimdek, oddiy narsalarni e'tiborsiz qoldirish juda qimmatga tushishi mumkin!
Biz mantiq qonunlari bilan tanishishda davom etamiz!
Ha, mutlaqo to'g'ri - biz ular bilan allaqachon kuchli va asosiy bilan ishlamoqdamiz:
To'g'ri da , deyiladi bir xil to'g'ri formula yoki mantiq qonuni.
Ekvivalentlikdan bir xil haqiqiy formulaga ilgari oqlangan o'tish tufayli yuqorida sanab o'tilgan barcha o'ziga xosliklar mantiq qonunlari hisoblanadi.
Qiymat qabul qiluvchi formula Yolg'on da unga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari to'plami, deyiladi xuddi shunday noto'g'ri formula yoki qarama-qarshilik.
Qadimgi yunonlardan qarama-qarshilikning ajoyib namunasi:
Hech qanday bayonot bir vaqtning o'zida to'g'ri va yolg'on bo'lishi mumkin emas.
Dalil ahamiyatsiz: 
"Chiqish" faqat nollarni oldi, shuning uchun formula haqiqatan ham bir xil yolg'on.
Biroq, har qanday qarama-qarshilik ham mantiq qonunidir, xususan: 
Bitta maqolada bunday keng mavzuni yoritib bo'lmaydi, shuning uchun men yana bir nechta qonunlar bilan cheklanaman:
Cheklangan o'rta qonuni
- klassik mantiqda har qanday bayonot to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lib, uchinchi yo'l yo'q. "Bo'lish yoki bo'lmaslik" - bu savol.
O'zingizning haqiqat jadvalingizni tuzing va shundayligiga ishonch hosil qiling xuddi shunday haqiqat formula.
Qarama-qarshilik qonuni
Ushbu qonunning mohiyatini muhokama qilganimizda faol ravishda bo'rttirildi zarur shart, esda tuting: "Agar yomg'ir paytida tashqarida nam bo'lsa, demak, agar tashqarida quruq bo'lsa, demak yomg'ir yog'magan".
Bundan tashqari, bu qonundan kelib chiqadiki, agar adolatli bo'lsa To'g'riga teorema, keyin ba'zan deyiladi bayonot qarama-qarshi teorema.
Agar rost bo'lsa teskari teorema bo'lsa, qarama-qarshilik qonuni tufayli teorema ham haqiqiydir, qarama-qarshi teskari:
Va keling, mazmunli misollarimizga qaytaylik: bayonotlar uchun - son 4 ga bo'linadi, - son 2 ga bo'linadi adolatli To'g'riga va qarama-qarshi teoremalar, lekin noto'g'ri teskari va qarama-qarshi teskari teoremalar. Pifagor teoremasining "kattalar" formulasi uchun barcha 4 "yo'nalish" to'g'ri.
Sillogizm qonuni
Shuningdek, janrning klassikasi: "Barcha emanlar daraxtlardir, barcha daraxtlar o'simliklardir, shuning uchun barcha emanlar o'simliklardir".
Xo'sh, bu erda yana bir bor matematik mantiqning formalizmini ta'kidlamoqchiman: agar bizning qattiqqo'l O'qituvchimiz ma'lum bir Talabani eman deb hisoblasa, rasmiy nuqtai nazardan, bu Talaba, albatta, o'simlikdir =) ... garchi, agar Siz bu haqda o'ylaysiz, bu norasmiy bo'lishi mumkin = )
Formula uchun haqiqat jadvalini tuzamiz. Mantiqiy operatsiyalarning ustuvorligiga muvofiq biz quyidagi algoritmga amal qilamiz:
1) ta'sirlarni bajarish va . Umuman olganda, siz darhol uchinchi implikatsiyani amalga oshirishingiz mumkin, ammo u bilan qulayroqdir (va ruxsat berilgan!) buni birozdan keyin aniqlang
2) ustunlar uchun amal qiladi qoida VA;
3) endi biz bajaramiz;
4) va oxirgi bosqichda ustunlarga implikatsiyani qo'llang 
va .
Jarayonni ko'rsatkich va o'rta barmoqlaringiz bilan boshqarishingiz mumkin :)) 
Oxirgi ustundan menimcha, sharhlarsiz hamma narsa aniq:
, bu isbotlanishi kerak edi.
Vazifa 3
Bu mantiq qonuni yoki yo'qligini aniqlang quyidagi formula:
Dars oxirida qisqacha yechim. Ha, va men deyarli unutib qo'ydim - keling, nol va birliklarning dastlabki to'plamlarini sillogizm qonunining isbotida bo'lgani kabi bir xil tartibda sanab o'tishga rozi bo'laylik. Albatta, chiziqlarni qayta tartibga solish mumkin, ammo bu mening yechimim bilan yarashishni juda qiyinlashtiradi.
Mantiqiy formulalarni konvertatsiya qilish
Ekvivalentlar "mantiqiy" maqsadiga qo'shimcha ravishda formulalarni o'zgartirish va soddalashtirish uchun keng qo'llaniladi. Taxminan aytganda, identifikatsiyaning bir qismini boshqasiga almashtirish mumkin. Shunday qilib, masalan, agar siz mantiqiy formulada bo'lakka duch kelsangiz, unda idempotentlik qonuniga ko'ra, uning o'rniga oddiygina yozishingiz mumkin (va kerak). Agar siz ni ko'rsangiz, u holda yutilish qonuniga ko'ra, yozuvni soddalashtiring. Va hokazo.
Bundan tashqari, yana bir muhim narsa bor: identifikatsiyalar faqat elementar takliflar uchun emas, balki ixtiyoriy formulalar uchun ham amal qiladi. Masalan:
, qayerda (siz xohlaganingizcha murakkab) formulalar.
Keling, masalan, murakkab ta'sirni o'zgartiraylik 
(1-identifikatsiya):
Bundan tashqari, biz "murakkab" de Morgan qonunini qavsga qo'llaymiz, shu bilan birga, operatsiyalar ustuvorligi sababli, bu qonun 
:
Qavslarni olib tashlash mumkin, chunki ichida ko'proq "kuchli" birikma mavjud:
Xo'sh, kommutativlik bilan, umuman olganda, hamma narsa oddiy - siz hech narsani belgilashingiz shart emas ... nimadir mening qalbimga sillogizm qonunini singdirdi :))
Shunday qilib, qonun yanada murakkab shaklda qayta yozilishi mumkin:
"Eman, daraxt, o'simlik bilan" mantiqiy zanjirni baland ovozda gapiring va siz qonunning mazmunli ma'nosi oqibatlarni qayta tashkil etishdan umuman o'zgarmaganligini tushunasiz. Bu so'zlar yanada original bo'lib qoldi.
Trening sifatida biz formulani soddalashtiramiz.
Qayerdan boshlash kerak? Avvalo, harakatlar tartibini tushunish uchun: bu erda inkor butun qavsga nisbatan qo'llaniladi, u gap bilan "biroz kuchsizroq" birikma bilan "bog'lanadi". Aslini olganda, oldimizda ikkita omilning mantiqiy mahsuli turibdi: . Qolgan ikkita amaldan implikatsiya eng past ustuvorlikka ega va shuning uchun butun formula quyidagi tuzilishga ega: .
Qoidaga ko'ra, birinchi qadamda (qadamlarda) ekvivalentlik va imo-ishoradan xalos bo'ling (agar ular bo'lsa) va formulani uchta asosiy mantiqiy amalga qisqartiring. Nima deyishim mumkin.... Mantiqan.
(1) Biz identifikatsiyadan foydalanamiz 
. Va bizning holatlarimizda.
Buning ortidan, odatda, qavslar bilan "demontaj" amalga oshiriladi. Avval butun yechim, keyin sharhlar. "Sariq moy" ni olmaslik uchun men "odatiy" tenglik belgilaridan foydalanaman: 
(2) Biz de Morgan qonunini tashqi qavslarga qo'llaymiz, bu erda.
Absorbsiya teoremasi ikki shaklda yoziladi - ajratuvchi va
mos ravishda konjunktiv:
A + AB \u003d A (16)
A(A + B)=A (17)
Birinchi teoremani isbotlaylik. Qavslar ichidan A harfini chiqaramiz:
LEKIN + AB \u003d A (1 + B)
(3) teoremaga muvofiq 1+ B = 1, shuning uchun
A(1 + B) = A 1 = A
Ikkinchi teoremani isbotlash uchun qavslarni kengaytiramiz:
A(A + B) = A A + AB = A + AB
Natija hozirgina isbotlangan ifodadir.
Yutish teoremasini qo'llashning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik
mantiqiy formulalarni soddalashtirish.
Yelimlash teoremasi shuningdek, ikkita shaklga ega - ajratuvchi va
kon'yunktiva:
Birinchi teoremani isbotlaymiz:
chunki (5) va (4) teoremalarga muvofiq
Ikkinchi teoremani isbotlash uchun qavslarni ochamiz:
(6) teoremaga muvofiq, shuning uchun:
Yutish teoremasiga ko'ra (16) A + AB \u003d A
Yelimlash teoremasi kabi yutilish teoremasi soddalashtirilganda qo'llaniladi
Boolean formulalar, masalan:
De Morgan teoremasi mantiqiy algebraning barcha uchta asosiy amallarini bog'laydi
Dizyunksiya, konyunksiya va inversiya:
Birinchi teorema quyidagicha o'qiladi: birikmaning inversiyasi - bu dis'yunksiya
inversiyalar. Ikkinchidan, dis'yunksiyaning inversiyasi inversiyalarning birikmasidir. Siz Morgan teoremalarini chap va o'ng tomonlar uchun haqiqat jadvallari yordamida isbotlashingiz mumkin.
De Morgan teoremasi uchun ham amal qiladi Ko'proq o'zgaruvchilar:
5-ma'ruza
Invert murakkab ifodalar
De Morgan teoremasi faqat bitta birikmalarga taalluqli emas
yoki ajralishlar, balki murakkabroq ifodalarga ham.
Keling, ifodaning teskarisini topamiz AB + CD , qo‘shma gaplarning diszyunksiyasi sifatida ifodalanadi. Agar salbiy belgilar faqat o'zgaruvchilardan yuqori bo'lsa, inversiya to'liq hisoblanadi. Keling, belgi bilan tanishamiz: AB = X;
CD=Y keyin
Toping va ifodani (22) almashtiring:
Shunday qilib:
Konyunktiv shaklda berilgan iborani ko'rib chiqing:
(A + B) (C + D)
Uning inversiyasini shaklda topamiz
Keling, belgi bilan tanishamiz: A + B = X; C + D \u003d Y, keyin
Ularni toping va ifodaga almashtiring
Shunday qilib:
Murakkab iboralarni invertatsiya qilishda siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin. Inversiyani topish uchun birikma belgilarini ayirma belgilariga, ayirma belgilarini birikma belgilariga almashtirish va har bir o‘zgaruvchiga inversiyalarni qo‘yish kerak:
Mantiqiy funktsiya tushunchasi
DA umumiy holatda funksiya (lot. functio - ishlash, muvofiqlik,
xaritalash) ma'lum bir qoida (qonun) bo'lib, unga ko'ra to'plamning har bir elementi x, bu mustaqil o'zgaruvchining diapazoni X, to'plamning ma'lum bir elementi tayinlanadi F,
qaram o'zgaruvchining qiymatlari oralig'i sifatida tushuniladi f . Boolean funksiyalar holatida X=F = (0,1). Funktsiyani belgilash qoidasi har qanday mantiqiy formula bo'lishi mumkin, masalan:
Belgi f bu erda funksiya A ning argumentlari kabi, B, C, ikkilik o'zgaruvchi.
Argumentlar mustaqil o'zgaruvchilar bo'lib, ular har qanday qiymatni olishlari mumkin - 0 yoki 1. Funktsiya f - qaram o'zgaruvchi. Uning ma'nosi o'zgaruvchilarning qiymatlari va ular orasidagi mantiqiy aloqalar bilan to'liq aniqlanadi.
Funktsiyaning asosiy xususiyati shundaki, uning qiymatini aniqlash uchun umumiy holda, u bog'liq bo'lgan barcha argumentlarning qiymatlarini bilish kerak. Masalan, yuqoridagi funktsiya uchta A argumentiga bog'liq, V, S. Agar A = 1 ni olsak, biz olamiz
ya'ni nolga yoki ga teng bo'lmagan yangi ifoda olinadi
birlik. Keling DA= 1. Keyin
ya'ni, bu holda, funktsiya nolga yoki birga teng ekanligi ma'lum emas.
Nihoyat, olaylik FROM= 0. Keyin biz olamiz: f = 0. Shunday qilib, agar dastlabki ifodada A = 1 ni olsak, DA= 1, FROM = 0 bo'lsa, funktsiya nol qiymatini oladi: f= 0.
O'ylab ko'ring o'zgaruvchan qiymatlar to'plami tushunchasi .
Agar funktsiya bog'liq bo'lgan barcha argumentlarga ma'lum qiymatlar berilgan bo'lsa, u holda argument qiymatlari to'plami haqida gapiriladi.
shunchaki to'plam deb atash mumkin. Argument qiymatlari to'plami nollar va birlar ketma-ketligidir, masalan, 110, bu erda birinchi raqam birinchi argumentga, ikkinchisi ikkinchisiga va uchinchisi uchinchisiga to'g'ri keladi. Shubhasiz, birinchi, ikkinchi yoki, aytaylik, beshinchi dalil nima ekanligini oldindan kelishib olish kerak. Buning uchun harflarning alifbo tartibida joylashishidan foydalanish qulay.
Masalan, agar 
keyin lotin alifbosiga ko'ra birinchi dalil R, ikkinchi -
Q, uchinchi - x, to'rtinchi - U. Keyin, argumentlar qiymatlari to'plamiga ko'ra, bu oson
funksiyaning qiymatini toping. Masalan, 1001 to'plami berilsin.Uning fikricha
yozuvlar, ya'ni 1001-to'plamda berilgan funksiya birga teng.
Yana bir bor e'tibor bering, argument qiymatlari to'plami to'plamdir
nollar va birliklar. Ikkilik sonlar ham nollar va birliklar to'plamidir.
Bu savol tug'iladi - to'plamlarni ikkilik deb hisoblash mumkinmi?
raqamlar? Bu mumkin va ko'p hollarda bu juda qulay, ayniqsa, ikkilik bo'lsa
sonni kasrga aylantiring. Masalan, agar
A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,
0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6
ya'ni berilgan to'plam o'nli kasrda 6 raqamiga ega.
Agar siz argumentlarning qiymatlarini kasr soni bo'yicha topmoqchi bo'lsangiz, unda
kiramiz teskari ketma-ketlik: avval biz o'nlik sonni ikkilik sanoqqa aylantiramiz, so'ngra chap tomonga shuncha nol qo'shamiz, shunda raqamlarning umumiy soni argumentlar soniga teng bo'ladi, shundan so'ng biz argumentlarning qiymatlarini topamiz.
Masalan, A argumentlarining qiymatlarini topish talab qilinsin, B, C, D, E, F 23 sonli to'plam bo'yicha. Usul yordamida 23 sonini ikkilik tizimga aylantiramiz
ikkiga bo'lish:
Natijada, biz 23 10 = 10111 2 ni olamiz. Bu besh xonali raqam va jami
oltita argument bor, shuning uchun chap tomonda bitta nol yozilishi kerak:
23 10 = 010111 2 . Bu yerdan biz topamiz:
A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.
Agar raqam ma'lum bo'lsa, nechta to'plam mavjud P argumentlar? Shubhasiz, qancha n-bitli ikkilik raqamlar mavjud bo'lsa, ya'ni 2 n
6-ma'ruza
Mantiqiy funktsiyani o'rnatish
Biz allaqachon bir yo'lni bilamiz. Bu analitik, ya'ni ikkilik o'zgaruvchilar va mantiqiy amallar yordamida matematik ifoda shaklida. Bunga qo'shimcha ravishda, boshqa usullar ham mavjud, ularning eng muhimi jadvaldir. Jadvalda hammasi ko'rsatilgan mumkin bo'lgan to'plamlar argumentlarning qiymatlari va har bir to'plam uchun funktsiyaning qiymati ko'rsatilgan. Bunday jadval yozishma (haqiqat) jadvali deb ataladi.
Funktsiya misolida
Keling, buning uchun qidiruv jadvalini qanday yaratishni aniqlaylik.
Funktsiya uchta argumentga bog'liq A, B, C. Shuning uchun, jadvalda
uchun uchta ustunni taqdim eting argumentlar A, B, C va f funktsiyasi qiymatlari uchun bitta ustun. A ustunining chap tomoniga boshqa ustunni qo'yish foydalidir. Unda biz yozamiz o'nlik sonlar, ular uch xonali ikkilik raqamlar sifatida qaralganda to'plamlarga mos keladi. Bu kasr
ustun jadval bilan ishlash qulayligi uchun kiritilgan, shuning uchun printsipial ravishda,
uni e'tiborsiz qoldirish mumkin.
Jadvalni to'ldiramiz. MChJ raqami ko'rsatilgan qatorda:
A = B = C = 0.
Keling, ushbu to'plamdagi funktsiyaning qiymatini aniqlaymiz:
F ustunida 000 to'plamiga ega bo'lgan qatorga nol yozamiz.
Keyingi to'plam: 001, ya'ni. e. A = B = 0, C = 1. Funktsiyaning qiymatini toping
ushbu to'plamda:
001 to'plamida funktsiya 1 ga teng, shuning uchun f ustunida bilan qatorda
001 raqami biz birlikni yozamiz.
Xuddi shunday, biz boshqa barcha to'plamlardagi funktsiyalar qiymatlarini hisoblaymiz va
butun jadvalni to'ldiring.