haqida vebinar ehtimollik nazariyasini qanday tushunish va biznesda statistikadan qanday foydalanishni boshlash. Bunday ma'lumotlar bilan qanday ishlashni bilib, siz o'z biznesingizni qilishingiz mumkin.
Mana, siz o'ylamasdan hal qiladigan muammoning misoli. 2015-yilning may oyida Rossiya “Progress” kosmik kemasini uchirdi va uning ustidan nazoratni yo‘qotdi. Bu metall uyumi Yerning tortishish kuchi taʼsirida sayyoramizga qulashi kerak edi.
Diqqat, savol: Progress okeanga emas, balki quruqlikka tushishi ehtimoli qanday edi va biz xavotirlanishimiz kerakmi?
Javob juda oddiy - quruqlikka tushish ehtimoli 3 dan 7 gacha edi.
Mening ismim Aleksandr Skakunov, men olim yoki professor emasman. Men shunchaki hayron bo‘ldim, ehtimollar nazariyasi va statistika bizga nima uchun kerak, nega ularni universitetda oldik? Shu sababli, bir yil ichida men ushbu mavzu bo'yicha yigirmadan ortiq kitoblarni o'qidim - "Qora oqqush" dan "Xning zavqi"gacha. Hatto o'zimga 2 nafar repetitor yolladim.
Ushbu vebinarda men o'z topilmalarimni siz bilan baham ko'raman. Masalan, Yaponiyadagi iqtisodiy mo‘jizani ro‘yobga chiqarishga statistika qanday yordam bergani va u “Kelajakka qaytish” filmi ssenariysida qanday aks etganini bilib olasiz.
Endi men sizga ko'cha sehrini ko'rsataman. Qanchangiz ushbu vebinarga yozilishingizni bilmayman, lekin faqat 45% ishtirok etadi.
Bu qiziqarli bo'ladi. Ro'yxatdan o'tish!
Ehtimollar nazariyasini tushunishning 3 bosqichi
Ehtimollar nazariyasi bilan tanishgan har bir kishi 3 bosqichdan o'tadi.
1-bosqich. “Men kazinoda g'alaba qozonaman!”. Inson tasodifiy hodisalarning natijasini bashorat qila olishiga ishonadi.
2-bosqich. “Men hech qachon kazinoda yuta olmayman!..” Odam hafsalasi pir bo'lib, hech narsani oldindan aytib bo'lmaydi, deb hisoblaydi.
Va bosqich 3. “Keling, kazino tashqarisida harakat qilaylik!”. Biror kishi tasodiflar olamining betartibligida atrofdagi dunyoda yaxshi harakat qilish imkonini beradigan naqshlarni topish mumkinligini tushunadi.
Bizning vazifamiz faqat 3-bosqichga o'tishdir, shunda siz ehtimollik nazariyasi va statistikaning asosiy qoidalarini o'zingiz va biznesingiz manfaati uchun qanday qo'llashni o'rganasiz.
Demak, “ehtimollik nazariyasi nima uchun kerak” degan savolga javobni ushbu vebinarda bilib olasiz.
Matematika barcha fanlarning malikasi bo'lib, ko'pincha yoshlar tomonidan sinovdan o'tkaziladi. Biz "Matematikaning foydasi yo'q" tezisini ilgari surdik. Va biz eng qiziqarli sirli va qiziqarli nazariyalardan biri misolida rad etamiz. Qanday ehtimollik nazariyasi hayotda yordam beradi, dunyoni qutqaradi, qanday texnologiyalar va yutuqlar bu nomoddiy tuyulgan va hayotdan uzoqda bo'lgan formulalar va murakkab hisob-kitoblarga asoslangan.
Ehtimollar nazariyasi tarixi
Ehtimollar nazariyasi- tasodifiy hodisalarni va, albatta, ularning ehtimolini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Bunday matematika umuman zerikarli kulrang ofislarda emas, balki ... qimor zallarida tug'ilgan. Voqea ehtimolini baholashning birinchi yondashuvlari O'rta asrlarda o'sha davrning "hamlerlari" orasida mashhur bo'lgan. Biroq, keyin ular faqat empirik tadqiqotga ega edilar (ya'ni amaliyotda, tajriba usuli bilan baholash). Ehtimollik nazariyasi muallifligini ma'lum bir shaxsga bog'lash mumkin emas, chunki u ustida ko'plab taniqli odamlar ishlagan, ularning har biri o'z ulushini qo'shgan.
Bu odamlarning birinchisi Paskal va Fermat edi. Ular zarlar statistikasi bo'yicha ehtimollik nazariyasini o'rgandilar. U birinchi qonuniyatlarni kashf etdi. X.Gyuygens bundan 20 yil avval ham xuddi shunday ish qilgan, ammo teoremalar aniq shakllantirilmagan. Yakob Bernulli, Laplas, Puasson va boshqalar ehtimollar nazariyasiga muhim hissa qo'shgan.
Per Fermat
Hayotda ehtimollar nazariyasi
Men sizni hayratda qoldiraman: biz hammamiz, u yoki bu darajada, hayotimizda sodir bo'lgan voqealarni tahlil qilish asosida ehtimollik nazariyasidan foydalanamiz. Biz bilamizki, avtohalokatdan o'lim chaqmoq urishidan ko'ra ko'proq, chunki birinchisi, afsuski, juda tez-tez sodir bo'ladi. Qanday bo'lmasin, biz xatti-harakatlarimizni bashorat qilish uchun narsalarning ehtimolligiga e'tibor beramiz. Ammo bu erda haqorat, afsuski, har doim ham odam muayyan voqealar ehtimolini aniq aniqlay olmaydi.
Masalan, statistik ma'lumotlarni bilmasdan, ko'pchilik samolyot halokatida o'lish ehtimoli avtohalokatga qaraganda ko'proq deb o'ylashadi. Endi biz faktlarni o'rganib chiqqach (menimcha, ko'pchilik eshitgan), bu umuman bunday emasligini bilamiz. Gap shundaki, bizning hayotiy "ko'zimiz" ba'zan muvaffaqiyatsizlikka uchraydi, chunki havo transporti erda qattiq yurishga odatlangan odamlarga ancha dahshatliroq ko'rinadi. Va ko'pchilik bu transport turidan tez-tez foydalanmaydi. Agar biz biron bir hodisaning ehtimolini to'g'ri baholay olsak ham, bu juda noto'g'ri bo'lishi mumkin, bu, masalan, millioninchi odamlar ko'p narsani hal qiladigan kosmik muhandislikda hech qanday ma'noga ega bo'lmaydi. Va aniqlik kerak bo'lganda, kimga murojaat qilamiz? Albatta, matematikaga.
Ehtimollar nazariyasining hayotda haqiqiy qo'llanilishiga ko'plab misollar mavjud. Deyarli butun zamonaviy iqtisodiyot bunga asoslanadi. Muayyan mahsulotni bozorga chiqarishda vakolatli tadbirkor, albatta, xavflarni, shuningdek, ma'lum bir bozorda, mamlakatda va hokazolarni sotib olish ehtimolini hisobga oladi. Ularning hayotini jahon bozorlarida ehtimollik brokerlari nazariyasisiz deyarli tasavvur qilmang. Pul optsionlari yoki mashhur Forex bozoridagi pul kursini (bunda siz, albatta, ehtimollar nazariyasisiz qila olmaysiz) bashorat qilish ushbu nazariya bo'yicha jiddiy pul ishlash imkonini beradi.
Ehtimollik nazariyasi deyarli har qanday faoliyatning boshlanishida, shuningdek, uni tartibga solishda muhim ahamiyatga ega. Muayyan nosozlik (masalan, kosmik kema) ehtimolini baholash tufayli biz Yerdan minglab kilometr uzoqlikda qanday harakatlar qilishimiz kerakligini, aniq nimani tekshirish kerakligini va umuman nimani kutish kerakligini bilamiz. Metroda terrorchilik hujumi, iqtisodiy inqiroz yoki yadro urushi ehtimoli - bularning barchasini foiz sifatida ifodalash mumkin. Va eng muhimi, olingan ma'lumotlarga asoslanib, tegishli qarshi choralar ko'rish.
Mening shahrimning matematika ilmiy konferentsiyasiga borish baxtiga muyassar bo'ldim, u erda g'olib bo'lgan maqolalardan biri amaliy ahamiyati haqida gapirdi. hayotdagi ehtimollar nazariyasi. Ehtimol, siz, barcha odamlar kabi, uzoq vaqt davomida navbatda turishni yoqtirmaysiz. Bu ish, agar biz navbatdagi odamlarni sanash ehtimoli nazariyasi va faoliyatni tartibga solish (kassalarni ochish, sotuvchilarni ko'paytirish va h.k.) dan foydalansak, sotib olish jarayonini qanday tezlashtirish mumkinligini isbotladi. Afsuski, hozir ko'pchilik hatto yirik tarmoqlar ham bu haqiqatni e'tiborsiz qoldirib, faqat o'zlarining vizual hisob-kitoblariga tayanadi.
Har qanday sohadagi har qanday faoliyatni statistika yordamida tahlil qilish, ehtimollik nazariyasi yordamida hisoblash va sezilarli darajada yaxshilash mumkin.
“Tasodifiylik tasodifiy emas”... Bir faylasuf aytgandek tuyuladi, lekin aslida tasodiflarni o‘rganish buyuk matematika fanining taqdiridir. Matematikada tasodif - ehtimollik nazariyasi. Maqolada formulalar va vazifalar misollari, shuningdek, ushbu fanning asosiy ta'riflari keltirilgan.
Ehtimollar nazariyasi nima?
Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.
Buni biroz aniqroq qilish uchun kichik bir misol keltiraylik: agar siz tangani yuqoriga tashlasangiz, u bosh yoki dumga tushishi mumkin. Tanga havoda ekan, bu ikkala imkoniyat ham mumkin. Ya'ni, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlar ehtimoli 1: 1 nisbatda. Agar bitta karta 36 ta kartadan iborat bo'lsa, unda ehtimollik 1:36 sifatida ko'rsatiladi. Ayniqsa, matematik formulalar yordamida kashf qilish va bashorat qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Shunga qaramay, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, unda siz ma'lum bir naqshni aniqlab olishingiz va uning asosida boshqa sharoitlarda voqealar natijasini taxmin qilishingiz mumkin.
Yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirish uchun klassik ma'noda ehtimollik nazariyasi son ma'nosida mumkin bo'lgan hodisalardan birining sodir bo'lish imkoniyatini o'rganadi.
Tarix sahifalaridan
Ehtimollar nazariyasi, formulalar va birinchi vazifalarning misollari uzoq o'rta asrlarda, karta o'yinlarining natijalarini oldindan aytishga urinishlar paydo bo'lgan paytda paydo bo'lgan.
Dastlab, ehtimollar nazariyasi matematikaga hech qanday aloqasi yo'q edi. Bu amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning empirik faktlari yoki xususiyatlari bilan oqlandi. Matematik fan sifatida bu sohadagi birinchi ishlar 17-asrda paydo boʻlgan. Ta'sischilar Blez Paskal va Per Ferma edi. Uzoq vaqt davomida ular qimor o'yinlarini o'rganishdi va ma'lum naqshlarni ko'rishdi, ular haqida jamoatchilikka aytib berishga qaror qilishdi.
Xuddi shu texnikani Kristian Gyuygens ixtiro qilgan, garchi u Paskal va Fermatning tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmasa ham. Fan tarixida birinchi sanalgan «ehtimollar nazariyasi» tushunchasi, formulalar va misollar u tomonidan kiritilgan.
Jeykob Bernulli, Laplas va Puasson teoremalarining ishlarining ahamiyati kam emas. Ular ehtimollik nazariyasini ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalar misollari Kolmogorov aksiomalari tufayli hozirgi ko'rinishga ega bo'ldi. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollar nazariyasi matematika sohalaridan biriga aylandi.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Ishlanmalar
Bu fanning asosiy tushunchasi “hodisa”dir. Voqealar uch xil bo'ladi:
- Ishonchli. Baribir sodir bo'ladiganlar (tanga tushadi).
- Mumkin emas. Hech qanday stsenariyda sodir bo'lmaydigan voqealar (tanga havoda osilgan holda qoladi).
- Tasodifiy. Bo'ladigan yoki bo'lmaydiganlar. Ularga bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillar ta'sir qilishi mumkin. Agar biz tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar: tanganing jismoniy xususiyatlari, shakli, dastlabki holati, otish kuchi va boshqalar.
Misollardagi barcha hodisalar katta lotin harflari bilan belgilanadi, R bundan mustasno, boshqa rolga ega. Misol uchun:
- A = "talabalar ma'ruzaga kelishdi."
- Ā = "talabalar ma'ruzaga kelmadi".
Amaliy topshiriqlarda voqealar odatda so'z bilan qayd etiladi.
Hodisalarning eng muhim xususiyatlaridan biri ularning teng imkoniyatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, u tushgunga qadar dastlabki tushishning barcha variantlari mumkin. Ammo voqealar ehtimoli ham teng emas. Bu, kimdir qasddan natijaga ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Masalan, "belgilangan" o'yin kartalari yoki zarlar, unda tortishish markazi siljiydi.
Voqealar ham mos keladi va mos kelmaydi. Mos keladigan hodisalar bir-birining paydo bo'lishini istisno qilmaydi. Misol uchun:
- A = "talaba ma'ruzaga keldi."
- B = "talaba ma'ruzaga keldi."
Bu hodisalar bir-biridan mustaqil bo'lib, ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishiga ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan hodisalar birining sodir bo'lishi ikkinchisining yuzaga kelishiga to'sqinlik qilishi bilan belgilanadi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda "dumlar" ning yo'qolishi bir xil tajribada "boshlar" paydo bo'lishini imkonsiz qiladi.
Voqealar bo'yicha harakatlar
Hodisalar ko'paytirilishi va qo'shilishi mumkin, mos ravishda "VA" va "OR" mantiqiy bog'lovchilari fanga kiritiladi.
Miqdor A yoki B hodisasi yoki ikkalasi bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkinligi bilan belgilanadi. Agar ular mos kelmasa, oxirgi variantni amalga oshirish mumkin emas, A yoki B yo'q bo'lib ketadi.
Hodisalarning ko'payishi bir vaqtning o'zida A va B ning paydo bo'lishidan iborat.
Endi siz asoslarni, ehtimollik nazariyasini va formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun bir nechta misollar keltirishingiz mumkin. Quyida muammolarni hal qilish misollari.
1-mashq: Firma uch turdagi ish bo'yicha shartnomalar bo'yicha tenderda qatnashmoqda. Bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar:
- A = "firma birinchi shartnomani oladi."
- A 1 = "firma birinchi shartnomani olmaydi."
- B = "firma ikkinchi shartnoma oladi."
- B 1 = "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
- C = "firma uchinchi shartnomani oladi."
- C 1 = "firma uchinchi shartnomani olmaydi."
Keling, hodisalardagi harakatlar yordamida quyidagi vaziyatlarni ifodalashga harakat qilaylik:
- K = "firma barcha shartnomalarni oladi."
Matematik shaklda tenglama quyidagicha ko'rinadi: K = ABC.
- M = "firma bitta shartnoma olmaydi."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Biz vazifani murakkablashtiramiz: H = "firma bitta shartnoma oladi." Firma qaysi shartnomani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi noma'lum bo'lganligi sababli, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha hodisalarni qayd etish kerak:
H \u003d A 1 BC 1 y AB 1 C 1 y A 1 B 1 C.
Va 1 BC 1 - firma birinchi va uchinchi shartnomani olmagan, ikkinchisini oladigan voqealar seriyasidir. Boshqa mumkin bo'lgan hodisalar ham tegishli usul bilan qayd etiladi. Intizomdagi y belgisi "YOKI" ning bir to'plamini bildiradi. Agar yuqoridagi misolni inson tiliga tarjima qilsak, u holda kompaniya uchinchi shartnomani yoki ikkinchisini yoki birinchisini oladi. Xuddi shunday, "Ehtimollar nazariyasi" fanida boshqa shartlarni yozishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan muammolarni hal qilishning formulalari va misollari buni o'zingiz qilishingizga yordam beradi.
Aslida, ehtimollik
Ehtimol, ushbu matematik intizomda hodisaning ehtimolligi markaziy tushunchadir. Ehtimollikning 3 ta ta'rifi mavjud:
- klassik;
- statistik;
- geometrik.
Ehtimollarni o'rganishda har birining o'z o'rni bor. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan klassik ta'rifdan foydalanadi, bu quyidagicha eshitiladi:
- A vaziyatining ehtimoli uning yuzaga kelishiga yordam beradigan natijalar sonining barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatiga teng.
Formula quyidagicha ko'rinadi: P (A) \u003d m / n.
Va, aslida, voqea. Agar A ning teskarisi yuzaga kelsa, uni Ā yoki A 1 shaklida yozish mumkin.
m - mumkin bo'lgan qulay holatlar soni.
n - sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar.
Masalan, A \u003d "yurak kostyumi kartasini chiqarib oling." Standart kartada 36 ta karta mavjud, ulardan 9 tasi yurak. Shunga ko'ra, muammoni hal qilish formulasi quyidagicha ko'rinadi:
P(A)=9/36=0,25.
Natijada, kemadan yurakka mos keladigan kartani olish ehtimoli 0,25 ga teng bo'ladi.
oliy matematikaga
Endi ehtimollik nazariyasi nima ekanligi, formulalar va maktab o'quv dasturida uchraydigan vazifalarni hal qilish misollari biroz ma'lum bo'ldi. Biroq ehtimollik nazariyasi oliy o‘quv yurtlarida o‘qitiladigan oliy matematikada ham uchraydi. Ko'pincha ular nazariyaning geometrik va statistik ta'riflari va murakkab formulalar bilan ishlaydi.
Ehtimollar nazariyasi juda qiziq. Formulalar va misollar (yuqori matematika) o'rganishni kichikdan - ehtimollikning statistik (yoki chastotali) ta'rifidan boshlash yaxshiroqdir.
Statistik yondashuv klassik yondashuvga zid emas, balki uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda hodisaning qanday ehtimollik darajasi bilan sodir bo'lishini aniqlash kerak bo'lsa, unda bu usulda uning qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatish kerak. Bu erda W n (A) bilan belgilanishi mumkin bo'lgan "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi kiritiladi. Formula klassikadan farq qilmaydi:
Agar prognoz qilish uchun klassik formula hisoblansa, statistik formula tajriba natijalariga ko'ra hisoblanadi. Masalan, kichik bir vazifani olaylik.
Texnologik nazorat bo'limi mahsulot sifatini tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 tasi sifatsiz deb topildi. Sifatli mahsulotning chastota ehtimolini qanday topish mumkin?
A = "sifatli mahsulotning ko'rinishi."
W n (A)=97/100=0,97
Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. 97 ni qayerdan oldingiz? Tekshirilgan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifatsiz bo‘lib chiqdi. 100 dan 3 ni olib tashlaymiz, 97 ni olamiz, bu sifatli mahsulot miqdori.
Kombinatorika haqida bir oz
Ehtimollar nazariyasining yana bir usuli kombinatorika deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundan iboratki, agar ma'lum bir A tanlovi m xil yo'l bilan va B tanlovi n xil yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lsa, u holda A va B ni ko'paytirish orqali tanlash mumkin.
Masalan, A shahridan B shahriga 5 ta yo‘l bor. B shahridan C shahriga 4 ta yo'nalish mavjud. A shahridan C shahriga qancha yo'l bor?
Bu oddiy: 5x4 = 20, ya'ni A nuqtadan C nuqtaga o'tishning yigirma xil usuli mavjud.
Keling, vazifani qiyinlashtiraylik. Jungleda karta o'ynashning nechta usuli bor? 36 ta kartadan iborat palubada bu boshlang'ich nuqtadir. Yo'llar sonini bilish uchun siz boshlang'ich nuqtadan bitta kartani "ayirish" va ko'paytirishingiz kerak.
Ya'ni, 36x35x34x33x32...x2x1= natija kalkulyator ekraniga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun uni oddiygina 36 deb belgilash mumkin!. Belgisi "!" raqamning yonida raqamlarning butun qatori o'zaro ko'paytirilishini bildiradi.
Kombinatorikada almashtirish, joylashtirish va kombinatsiya kabi tushunchalar mavjud. Ularning har biri o'z formulasiga ega.
To'plam elementlarining tartiblangan to'plami tartib deyiladi. Joylashuvlar takrorlanishi mumkin, ya'ni bitta element bir necha marta ishlatilishi mumkin. Va takrorlanmasdan, elementlar takrorlanmasa. n - barcha elementlar, m - joylashtirishda ishtirok etadigan elementlar. Takrorlashsiz joylashtirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:
A n m =n!/(n-m)!
Faqat joylashtirish tartibida farq qiluvchi n ta elementning ulanishlari almashtirishlar deyiladi. Matematikada bu shunday ko'rinadi: P n = n!
n ta elementning m ga teng birikmalari shunday birikmalar bo'lib, ularda qaysi elementlar bo'lganligi va ularning umumiy soni qancha ekanligi muhim ahamiyatga ega. Formula quyidagicha ko'rinadi:
A n m =n!/m!(n-m)!
Bernoulli formulasi
Har bir fanda bo‘lgani kabi ehtimollar nazariyasida ham o‘z sohasi bo‘yicha uni yangi bosqichga olib chiqqan taniqli tadqiqotchilarning asarlari mavjud. Ushbu ishlardan biri Bernulli formulasi bo'lib, u mustaqil sharoitda ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlash imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, tajribada A ning paydo bo'lishi xuddi shu hodisaning oldingi yoki keyingi sinovlarda ko'rinishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq emas.
Bernulli tenglamasi:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
Hodisa (A) sodir bo'lish ehtimoli (p) har bir sinov uchun o'zgarmasdir. Vaziyatning n ta tajribada aynan m marta sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formula bo'yicha hisoblanadi. Shunga ko'ra, q sonini qanday topish mumkinligi haqida savol tug'iladi.
Agar A hodisasi p marta sodir bo'lsa, shunga ko'ra, u sodir bo'lmasligi mumkin. Birlik - bu fandagi vaziyatning barcha natijalarini belgilash uchun ishlatiladigan raqam. Demak, q hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimolini ko'rsatadigan sondir.
Endi siz Bernulli formulasini bilasiz (ehtimollar nazariyasi). Muammoni hal qilish misollari (birinchi daraja) quyida ko'rib chiqiladi.
2-topshiriq: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan xarid qiladi. Do'konga 6 nafar tashrif buyuruvchi mustaqil ravishda kirdi. Tashrifchining xarid qilish ehtimoli qanday?
Yechim: Qancha tashrif buyuruvchi sotib olishi kerakligi ma'lum emas, bitta yoki oltitasi, Bernulli formulasi yordamida barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisoblash kerak.
A = "tashrif buyuruvchi xarid qiladi."
Bunday holda: p = 0,2 (topshiriqda ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (chunki do'konda 6 ta mijoz bor). m raqami 0 dan (hech bir mijoz xarid qilmaydi) 6 ga o'zgaradi (barcha do'konga tashrif buyuruvchilar biror narsa sotib oladi). Natijada biz yechimni olamiz:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.
Xaridorlarning hech biri 0,2621 ehtimollik bilan xarid qilmaydi.
Bernulli formulasidan (ehtimollar nazariyasi) yana qanday foydalaniladi? Quyida muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi daraja).
Yuqoridagi misoldan keyin C va p qaerga ketganligi haqida savollar tug'iladi. p ga nisbatan 0 ning darajasiga teng bo'lgan raqam bittaga teng bo'ladi. C ga kelsak, uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
C n m = n! /m!(n-m)!
Birinchi misolda m = 0, mos ravishda C=1 bo'lgani uchun, bu printsipial jihatdan natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, ikkita tashrif buyuruvchi tomonidan tovarlarni sotib olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Ehtimollar nazariyasi unchalik murakkab emas. Yuqorida misollari keltirilgan Bernulli formulasi buning bevosita dalilidir.
Puasson formulasi
Puasson tenglamasi tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.
Asosiy formula:
P n (m)=l m /m! × e (-l) .
Bu holda, l = n x p. Mana shunday oddiy Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi). Muammoni hal qilish misollari quyida ko'rib chiqiladi.
Vazifa 3 Javob: Zavod 100 000 ta detal ishlab chiqardi. Buzuq qismning ko'rinishi = 0,0001. Partiyada 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimoli qanday?
Ko'rib turganingizdek, nikoh ehtimol bo'lmagan hodisadir va shuning uchun hisoblash uchun Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi) qo'llaniladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari fanning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz kerakli ma'lumotlarni yuqoridagi formulaga almashtiramiz:
A = "tasodifiy tanlangan qism nuqsonli bo'ladi."
p = 0,0001 (topshiriq sharti bo'yicha).
n = 100000 (qismlar soni).
m = 5 (nuqsonli qismlar). Biz formuladagi ma'lumotlarni almashtiramiz va olamiz:
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.
Xuddi Bernulli formulasi (ehtimollar nazariyasi), yuqorida yozilgan yechimlar misollari kabi, Puasson tenglamasi ham noma'lum e ga ega. Mohiyatan, uni quyidagi formula bilan topish mumkin:
e -l = lim n ->∞ (1-l/n) n .
Biroq, e ning deyarli barcha qiymatlarini o'z ichiga olgan maxsus jadvallar mavjud.
De Moivr-Laplas teoremasi
Agar Bernulli sxemasida sinovlar soni yetarlicha ko‘p bo‘lsa va barcha sxemalarda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli bir xil bo‘lsa, u holda bir qator sinovlarda A hodisasining ma’lum bir necha marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Laplas formulasi:
R n (m)= 1/√npq x s(X m).
Xm = m-np/√npq.
Laplas formulasini (ehtimollar nazariyasini) yaxshiroq eslab qolish uchun quyida yordam beradigan vazifalar misollari.
Avval biz topamiz X m , biz ma'lumotlarni (ularning barchasi yuqorida ko'rsatilgan) formulaga almashtiramiz va 0,025 ni olamiz. Jadvallardan foydalanib, qiymati 0,3988 bo'lgan s (0,025) raqamini topamiz. Endi siz formuladagi barcha ma'lumotlarni almashtirishingiz mumkin:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Shunday qilib, flyerning 267 marta urilish ehtimoli 0,03 ga teng.
Bayes formulasi
Bayes formulasi (ehtimollar nazariyasi), quyida keltirilgan vazifalarni hal qilish misollari, u bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarga asoslangan hodisaning ehtimolini tavsiflovchi tenglamadir. Asosiy formula quyidagicha:
P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).
A va B aniq hodisalardir.
P(A|B) - shartli ehtimollik, ya'ni B hodisa rost bo'lishi sharti bilan A hodisasi sodir bo'lishi mumkin.
R (V|A) - V hodisaning shartli ehtimoli.
Shunday qilib, "Ehtimollar nazariyasi" qisqa kursining yakuniy qismi Bayes formulasi bo'lib, quyida muammolarni hal qilish misollari keltirilgan.
Vazifa 5: Omborga uchta kompaniyaning telefonlari keltirildi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlarning bir qismi 25%, ikkinchisida - 60%, uchinchisida - 15% ni tashkil qiladi. Shuningdek, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha ulushi 2%, ikkinchisida - 4%, uchinchisida - 1% ni tashkil etishi ma'lum. Tasodifiy tanlangan telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topish kerak.
A = "tasodifiy olingan telefon."
B 1 - birinchi zavod ishlab chiqargan telefon. Shunga ko'ra, kirish B 2 va B 3 paydo bo'ladi (ikkinchi va uchinchi zavodlar uchun).
Natijada biz quyidagilarni olamiz:
P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.
Endi siz istalgan hodisaning shartli ehtimollarini, ya'ni firmalarda nuqsonli mahsulotlarning paydo bo'lish ehtimolini topishingiz kerak:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Endi biz ma'lumotlarni Bayes formulasiga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:
P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Maqolada ehtimollik nazariyasi, formulalar va masalani echish misollari keltirilgan, ammo bu keng fanning aysbergining faqat uchi. Va bularning barchasi yozilganidan keyin, ehtimollik nazariyasi hayotda kerakmi, degan savolni berish mantiqan to'g'ri keladi. Oddiy odamga javob berish qiyin, uning yordami bilan jekpotni bir necha marta urgan odamdan so'rash yaxshidir.
1.2. Ehtimollar nazariyasining qo'llanilishi
Ehtimollar nazariyasi usullari tabiiy fan va texnologiyaning turli sohalarida keng qo'llaniladi:
ishonchlilik nazariyasida;
navbat nazariyasi,
nazariy fizika;
geodeziya;
astronomiya;
tortishish nazariyasi,
kuzatish xatolari nazariyasi;
Avtomatik boshqaruv nazariyalari;
aloqaning umumiy nazariyasi va boshqa ko‘plab nazariy va amaliy fanlarda.
Ehtimollar nazariyasi, shuningdek, matematik va amaliy statistikani asoslash uchun xizmat qiladi, bu esa, o'z navbatida, ishlab chiqarishni rejalashtirish va tashkil etishda, texnologik jarayonlarni tahlil qilishda, mahsulot sifatini profilaktika va qabul qilish nazoratida va boshqa ko'plab maqsadlarda qo'llaniladi.
So'nggi yillarda ehtimollar nazariyasi usullari fan va texnikaning turli sohalariga tobora ko'proq kirib, ularning rivojlanishiga hissa qo'shmoqda.
1.3. Qisqacha tarixiy ma'lumot
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari tug'ilgan dastlabki ishlar qimor o'yinlari nazariyasini yaratishga urinishlardir (16—17-asrlarda Kardano, Gyuygens, Paskal, Ferma va boshqalar).
Ehtimollar nazariyasi rivojlanishining keyingi bosqichi Yakob Bernulli (1654 - 1705) nomi bilan bog'liq. U isbotlagan, keyinchalik «katta sonlar qonuni» deb atalgan teorema avval to‘plangan faktlarning birinchi nazariy asoslanishi edi.
Ehtimollar nazariyasi keyingi muvaffaqiyatlar uchun Moivre, Laplas, Gauss, Puasson va boshqalarga qarzdor. Lyapunov (1857 - 1918). Bu davrda ehtimollar nazariyasi izchil matematik fanga aylanadi. Uning keyingi rivojlanishi birinchi navbatda rus va sovet matematiklari (S.N.Bernshteyn, V.I.Romanovskiy, A.N.Kolmogorov, A.Ya.Xinchin, B.V.Gnedenko, N.V.Smirnov va boshqalar) hisobiga bog'liq. ).
1.4. Testlar va voqealar. Hodisa turlari
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari elementar hodisa tushunchasi va elementar hodisalar fazosi tushunchasidir. Yuqorida, hodisa tasodifiy deyiladi, agar ma'lum bir shartlar to'plami amalga oshirilgan bo'lsa S bu sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Kelajakda "shartlar to'plami" deyish o'rniga S amalga oshirildi", biz qisqacha aytamiz: "sinovdan o'tgan". Shunday qilib, hodisa test natijasi sifatida qabul qilinadi.
Ta'rif. tasodifiy hodisa tajriba natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan har qanday fakt deyiladi.
Bunday holda, tajribaning u yoki bu natijasini turli darajadagi imkoniyatlar bilan olish mumkin. Ya'ni, ba'zi hollarda bir voqea deyarli albatta sodir bo'ladi, ikkinchisi deyarli hech qachon sodir bo'lmaydi, deb aytish mumkin.
Ta'rif. Elementar natijalar maydoniŌ ma'lum tasodifiy tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalarini o'z ichiga olgan to'plam bo'lib, ulardan aynan bittasi tajribada uchraydi. Ushbu to'plamning elementlari deyiladi elementar natijalar va ō ("omega") harfi bilan belgilanadi.
Keyin Ō to'plamning kichik to'plamlari hodisalar deyiladi. Tajriba natijasida A to'plamga kiritilgan elementar natijalardan biri tajribada ro'y bergan bo'lsa, A Ō hodisa sodir bo'lganligi aytiladi.
Oddiylik uchun biz elementar hodisalar soni cheklangan deb faraz qilamiz. Elementar hodisalar fazosining kichik to'plami tasodifiy hodisa deyiladi. Ushbu hodisa sinov natijasida sodir bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin (o'lik rulondagi uchta nuqta, ayni paytda telefon qo'ng'irog'i va boshqalar).
1-misol Otuvchi to'rt hududga bo'lingan nishonga o'q uzadi. Otish - bu sinov. Nishonning ma'lum bir joyiga zarba berish - bu hodisa.
2-misol Idishda rangli sharlar bor. Bitta to'p urnadan tasodifiy ravishda olinadi. To'pni urnadan olib tashlash sinovdir. Muayyan rangdagi to'pning paydo bo'lishi hodisadir.
Matematik modelda aniqlanmagan va faqat o'ziga xos xususiyatlar bilan tavsiflangan hodisa tushunchasini boshlang'ich tushuncha sifatida qabul qilish mumkin. Hodisa tushunchasining haqiqiy ma’nosidan kelib chiqib, hodisalarning har xil turlarini belgilash mumkin.
Ta'rif. Tasodifiy hodisa deyiladi haqiqiy, agar u sodir bo'lishi ma'lum bo'lsa (matritsaning rulosida birdan oltitagacha nuqtani siljitish), va imkonsiz, agar bu, albatta, tajriba natijasida sodir bo'lmasa (o'limni otishda etti ball o'ralgan). Bunda ma'lum bir hodisa elementar hodisalar fazosining barcha nuqtalarini o'z ichiga oladi, mumkin bo'lmagan hodisa esa bu fazoning biron bir nuqtasini o'z ichiga olmaydi.
Ta'rif. Ikki tasodifiy hodisa chaqiriladi mos kelmaydigan agar ular bir xil test natijasi uchun bir vaqtning o'zida sodir bo'lmasa. Va umuman olganda, har qanday miqdordagi hodisalar chaqiriladi mos kelmaydigan agar ulardan birining paydo bo'lishi boshqalarning paydo bo'lishini istisno qilsa.
Ajratilgan hodisalarning klassik namunasi tanga otish natijasidir - tanganing old tomonining tushishi teskari tomonining tushishini istisno qiladi (xuddi shu tajribada).
Yana bir misol, qismlar qutisidan tasodifiy olingan qism. Standart qismning ko'rinishi nostandart qismning ko'rinishini istisno qiladi. "Standart qism paydo bo'ldi" va "nostandart qism paydo bo'ldi" hodisalari mos kelmaydi.
Ta'rif. Bir nechta hodisalar shakllanadi to'liq guruh, agar ulardan kamida bittasi test natijasida paydo bo'lsa.
Boshqacha aytganda, to'liq guruh hodisalaridan kamida bittasining sodir bo'lishi ma'lum bir hodisadir. Xususan, agar to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalar juftlik mos kelmaydigan bo'lsa, unda test natijasida bu hodisalardan bittasi va faqat bittasi paydo bo'ladi. Ushbu alohida holat eng katta qiziqish uyg'otadi, chunki u quyida qo'llaniladi.
Misol. Pul va kiyim-kechak lotereyasining ikkita chiptasini sotib oldim. Quyidagi voqealardan biri va faqat bittasi albatta sodir bo'ladi: "yutuq birinchi chiptaga tushmadi va ikkinchisiga tushmadi", "yutuq birinchi chiptaga tushmadi va ikkinchisiga tushdi", "yutuq tushdi" ikkala chiptada”, “yutuq ikkala chiptada ham yutmagan”. Bu hodisalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
Misol. Otuvchi nishonga qarata o‘q uzdi. Quyidagi ikkita hodisadan biri albatta sodir bo'ladi: urish, miss. Bu ikki ajralgan hodisa to'liq guruhni tashkil qiladi.
Misol. Agar bitta to'p faqat qizil va yashil to'plar bo'lgan qutidan tasodifiy chizilgan bo'lsa, unda chizilgan to'plar orasida oq to'pning paydo bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisadir. Qizilning ko'rinishi va yashil to'plarning paydo bo'lishi hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
Ta'rif. Voqealarning hech biri boshqasidan ko'ra mumkin emasligiga ishonish uchun asos bo'lsa, hodisalar teng darajada sodir bo'ladi.
Misol."Gerb" ning paydo bo'lishi va tanga otilganda yozuvning paydo bo'lishi bir xil ehtimolli hodisalardir. Haqiqatan ham, tanga bir hil materialdan tayyorlanganligi, muntazam silindrsimon shaklga ega ekanligi, tanganing mavjudligi tanganing u yoki bu tomonining yo‘qolishiga ta’sir qilmaydi, deb taxmin qilinadi.
Misol. Otilgan zarda bir yoki bir nechta nuqtalarning paydo bo'lishi bir xil ehtimoliy hodisalardir. Haqiqatan ham, matritsa bir hil materialdan tayyorlangan, muntazam ko'pburchak shakliga ega va nuqtalarning mavjudligi hech qanday yuzning yo'qolishiga ta'sir qilmaydi deb taxmin qilinadi.
Yuqoridagi to'p misolida, agar qutida bir xil miqdordagi qizil va yashil to'plar bo'lsa, qizil va yashil to'plarning paydo bo'lishi bir xil ehtimollik bilan sodir bo'ladi. Agar qutidagi qizil to'plar yashildan ko'ra ko'proq bo'lsa, yashil to'pning paydo bo'lishi qizil rangga qaraganda kamroq bo'ladi.
Tarkib
Kirish 3
1. Voqea tarixi 4
2. Ehtimolning klassik ta'rifining paydo bo'lishi 9
3. Ehtimollar nazariyasining predmeti 11
4. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari 13
5. Ehtimollar nazariyasining zamonaviy dunyoda qo'llanilishi 15
6. Ehtimollik va havo transporti 19 Xulosa 20
Adabiyotlar 21
Kirish
Imkoniyat, tasodif - biz ular bilan har kuni uchrashamiz: tasodifiy uchrashuv, tasodifiy buzilish, tasodifiy topilma, tasodifiy xato. Bu seriyani cheksiz davom ettirish mumkin. Aftidan, matematikaga joy yo'qdek tuyuladi, ammo bu erda fan qiziqarli naqshlarni kashf etdi - ular tasodifiy hodisalar bilan uchrashganda odamga o'zini ishonchli his qilish imkonini beradi.
Ehtimollar nazariyasini tasodifiy hodisalarga xos bo'lgan naqshlarni o'rganadigan matematikaning bir tarmog'i sifatida aniqlash mumkin. Ehtimollar nazariyasi usullari o'lchov natijalarini matematik qayta ishlashda, shuningdek, iqtisodiyot, statistika, sug'urta va ommaviy xizmatlarning ko'plab muammolarida keng qo'llaniladi. Shunday qilib, ehtimollik nazariyasi aviatsiyada juda keng qo'llanilishini taxmin qilish qiyin emas.
Mening kelajakdagi dissertatsiya ishim sun'iy yo'ldosh navigatsiyasi bilan bog'liq bo'ladi. Nafaqat sun'iy yo'ldosh navigatsiyasida, balki an'anaviy navigatsiya vositalarida ham ehtimollik nazariyasi juda keng qo'llanilishini oldi, chunki radiotexnika qurilmalarining ekspluatatsion va texnik xususiyatlarining aksariyati ehtimollik orqali aniqlanadi.
1. Vujudga kelish tarixi
Tasodifiy hodisa ehtimolini miqdoriy o'lchash imkoniyati to'g'risida, garchi nomukammal shaklda bo'lsa ham, savolni kim birinchi bo'lib qo'yganligini aniqlash allaqachon qiyin. Bir narsa ravshanki, bu savolga ozmi-koʻpmi qoniqarli javob berish uchun koʻp vaqt va koʻzga koʻringan tadqiqotchilar avlodlarining katta saʼy-harakatlari zarur edi. Uzoq vaqt davomida tadqiqotchilar turli xil o'yinlarni, ayniqsa zar o'yinlarini ko'rib chiqish bilan cheklanib qolishdi, chunki ularni o'rganish oddiy va shaffof matematik modellar bilan cheklanish imkonini beradi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p odamlar keyinchalik Kristian Gyuygens tomonidan ishlab chiqilgan narsalarni juda yaxshi tushundilar: "... Menimcha, mavzuni sinchkovlik bilan o'rganib chiqqach, o'quvchi nafaqat o'yin bilan shug'ullanayotganini, balki o'yin bilan ham shug'ullanayotganini sezadi. Bu yerda juda qiziqarli va chuqur nazariyaning asoslari qo'yilmoqda."
Ko'ramizki, ehtimollar nazariyasining yanada rivojlanishi bilan tabiiy-ilmiy va umumiy falsafiy chuqur mulohazalar muhim rol o'ynagan. Bu tendentsiya hozirgi kungacha davom etmoqda: biz amaliyot masalalari - ilmiy, ishlab chiqarish, mudofaa - ehtimollik nazariyasi uchun qanday yangi muammolarni ilgari surayotganini va g'oyalar, tushunchalar va tadqiqot usullari arsenalini kengaytirish zarurligiga olib kelishini doimiy ravishda kuzatib boramiz.
Ehtimollar nazariyasining rivojlanishi va u bilan birga ehtimollik tushunchasining rivojlanishini quyidagi bosqichlarga bo'lish mumkin.
1. Ehtimollar nazariyasining tarixdan oldingi davri. Boshlanishi asrlar davomida yo'qolgan bu davrda elementar masalalar qo'yildi va yechildi, keyinchalik ular ehtimollar nazariyasiga tegishli bo'ladi. Bu davrda maxsus usullar mavjud emas. Bu davr Kardano, Pasioli, Tartalya va boshqalarning asarlari bilan yakunlanadi.
Biz antik davrda ehtimollik tasavvurlarini uchratamiz. Demokrit, Lukretsiy Kara va boshqa qadimgi olimlar va mutafakkirlar kichik zarrachalarning (molekulalarning) tasodifiy harakati bilan materiyaning tuzilishi haqida chuqur bashorat qilish, teng darajada mumkin bo'lgan natijalar haqida fikr yuritish va hokazo. Qadim zamonlarda ham ba'zi statistik materiallarni to'plash va tahlil qilishga urinishlar qilingan - bularning barchasi (shuningdek, tasodifiy hodisalarga e'tiborning boshqa ko'rinishlari) yangi ilmiy tushunchalarni, jumladan, ehtimollik tushunchasini ishlab chiqish uchun asos yaratdi. Ammo qadimgi ilm-fan bu tushunchani ajratib olish darajasiga yetmagan.
Falsafada tasodifiy, zaruriy va mumkin bo'lgan masalalar doimo asosiy masalalardan biri bo'lib kelgan. Bu muammolarning falsafiy rivojlanishi ehtimollik tushunchasining shakllanishiga ham ta'sir ko'rsatdi. Umuman olganda, o'rta asrlarda duch kelgan ehtimollik asoslarini aks ettirishga faqat tarqoq urinishlar mavjud.
Pacioli, Tartaglia va Cardano asarlarida bir qator aniq muammolarni, birinchi navbatda, kombinatsion muammolarni hal qilishda yangi kontseptsiyani - odds nisbatini ajratib ko'rsatishga harakat qilinmoqda.
2. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida vujudga kelishi. XVII asrning o'rtalariga kelib. statistik amaliyotda, sug‘urta kompaniyalari amaliyotida, kuzatish natijalarini qayta ishlashda va boshqa sohalarda yuzaga keladigan ehtimollik savollari va muammolari dolzarb masalalarga aylangani bilan olimlarning e’tiborini tortdi. Avvalo, bu davr Paskal, Ferma va Gyuygens nomlari bilan bog'liq. Bu davrda matematik kutish va ehtimollik (imkoniyatlar nisbati sifatida) kabi maxsus tushunchalar ishlab chiqiladi, ehtimollikning birinchi xossalari o'rnatiladi va qo'llaniladi: ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari. Hozirgi vaqtda ehtimollik teoremasi sug'urta biznesida, demografiyada, kuzatish xatolarini baholashda, ehtimollik tushunchasidan keng foydalanishda qo'llaniladi.
3. Keyingi davr Bernullining «Tahminlar san'ati» (1713) asari paydo bo'lishi bilan boshlanadi, unda birinchi chegara teoremasi birinchi marta - katta sonlar qonunining eng oddiy holi isbotlangan. 19-asrning oʻrtalarigacha davom etgan bu davr De Movr, Laplas, Gauss va boshqalarning asarlarini oʻz ichiga oladi.Oʻsha davrda chegara teoremalari diqqat markazida edi. Ehtimollar nazariyasi tabiatshunoslikning turli sohalarida keng qo'llanila boshlandi. Va bu davrda turli xil ehtimollik tushunchalari (geometrik ehtimollik, statistik ehtimollik) qo'llanila boshlangan bo'lsa-da, ehtimollikning klassik ta'rifi ustun mavqeni egallaydi.
4. Ehtimollar nazariyasi rivojlanishining keyingi davri birinchi navbatda Sankt-Peterburg matematika maktabi bilan bog'liq. Ehtimollar nazariyasining ikki asrlik rivojlanishi davomida uning asosiy yutuqlari chegara teoremalari bo'ldi, ammo ularni qo'llash chegaralari va keyingi umumlashtirish imkoniyatlari aniqlanmagan. Muvaffaqiyatlar bilan bir qatorda, uni asoslashda jiddiy kamchiliklar ham aniqlandi, bu ehtimollik to'g'risida etarli darajada aniq bo'lmagan g'oyada ifodalangan. Ehtimollar nazariyasida shunday vaziyat yuzaga keldiki, uning keyingi rivojlanishi asosiy qoidalarni aniqlashtirish va tadqiqot usullarini kuchaytirishni talab qildi.
Buni Chebishev boshchiligidagi rus matematika maktabi amalga oshirdi. Uning eng yirik vakillari orasida Markov va Lyapunov bor.
Bu davrda ehtimollik nazariyasi chegara teoremalarining yaqinlashuvini baholashni, shuningdek, chegara teoremalariga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchilar sinfini kengaytirishni o'z ichiga oladi. Bu vaqtda ehtimollar nazariyasida ba'zi bir bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilar (Markov zanjirlari) ko'rib chiqila boshlandi. Ehtimollar nazariyasida “xarakterli funksiyalar nazariyasi”, “momentlar nazariyasi” kabi yangi tushunchalar vujudga keladi va shu munosabat bilan u tabiiy fanlarda, birinchi navbatda, fizikada keng tarqaldi. Bu davrda statistik fizika yaratiladi. Ammo ehtimollik usullari va tushunchalarining fizikaga kiritilishi ehtimollar nazariyasi yutuqlaridan ancha uzoqda bo'ldi. Fizikada ishlatiladigan ehtimollar matematikada bo'lgani kabi bir xil emas edi. Mavjud ehtimol tushunchalari tabiiy fanlar ehtiyojlarini qondira olmadi va natijada ehtimolning turli talqinlari paydo bo'la boshladi, ularni yagona ta'rifga qisqartirish qiyin edi.
19-asr boshlarida ehtimollar nazariyasining rivojlanishi. Bu uning mantiqiy asoslarini, birinchi navbatda, ehtimollik tushunchasini qayta ko'rib chiqish va aniqlashtirish zaruriyatiga olib keldi. Bu fizikani rivojlantirish va unda ehtimollik tushunchalari va ehtimollar nazariyasi apparatini qo'llashni talab qildi; Laplas tipining klassik asoslanishidan norozilik hissi paydo bo'ldi.
5. Ehtimollar nazariyasi rivojlanishining zamonaviy davri aksiomatikaning (aksiomatika - har qanday fanning aksiomalar tizimi) asos solishi bilan boshlandi. Buni birinchi navbatda amaliyot talab qildi, chunki ehtimollik nazariyasini fizika, biologiya va fanning boshqa sohalarida, texnika va harbiy ishlarda muvaffaqiyatli qoʻllash uchun uning asosiy tushunchalarini aniqlashtirish va izchil tizimga keltirish zarur edi. . Aksiomatika tufayli ehtimollar nazariyasi to'plamlar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan mavhum-deduktiv matematik intizomga aylandi. Bu ehtimollik nazariyasi bo'yicha tadqiqotlarning kengligiga olib keldi.
Bu davrning birinchi asarlari Bernshteyn, Mizes, Borel nomlari bilan bog'liq. Aksiomatikaning yakuniy o'rnatilishi XX asrning 30-yillarida sodir bo'lgan. Ehtimollar nazariyasining rivojlanish tendentsiyalarini tahlil qilish Kolmogorovga umumiy qabul qilingan aksiomatikani yaratishga imkon berdi. Ehtimoliy tadqiqotlarda to'plamlar nazariyasi bilan o'xshashliklar muhim rol o'ynay boshladi. Funksiyalarning metrik nazariyasi g‘oyalari ehtimollar nazariyasiga borgan sari chuqurroq kira boshladi. To‘plam-nazariy tushunchalar asosida ehtimollar nazariyasini aksiomatizatsiya qilish zarurati tug‘ildi. Bunday aksiomatika Kolmogorov tomonidan yaratilgan va ehtimollik nazariyasi oxir-oqibat to'liq matematika fani sifatida mustahkamlanishiga hissa qo'shgan.
Bu davrda ehtimollik tushunchasi inson faoliyatining barcha sohalarida deyarli hamma narsaga kirib boradi. Ehtimollikning turli xil ta'riflari mavjud. Asosiy tushunchalarning ta'riflarining xilma-xilligi zamonaviy fanning muhim xususiyatidir. Fandagi zamonaviy ta'riflar har qanday fundamental kontseptsiya uchun juda ko'p bo'lishi mumkin bo'lgan tushunchalar, nuqtai nazarlarning taqdimoti bo'lib, ularning barchasi ta'riflanayotgan tushunchaning qandaydir muhim jihatini aks ettiradi. Bu ehtimollik tushunchasiga ham tegishli.
2. Ehtimolning klassik ta'rifining paydo bo'lishi
Ehtimollik tushunchasi zamonaviy fanda juda katta rol o'ynaydi va shuning uchun butun zamonaviy falsafa sifatida zamonaviy dunyoqarashning muhim elementi hisoblanadi. Bularning barchasi fanning umumiy harakati bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ehtimollik tushunchasini ishlab chiqishga e'tibor va qiziqish uyg'otadi. Ehtimollik tushunchalariga ko'pgina fanlarning yutuqlari sezilarli ta'sir ko'rsatdi, ammo bu tushuncha, o'z navbatida, ularni dunyoni o'rganishga bo'lgan yondashuvlarini takomillashtirishga majbur qildi.
Asosiy matematik tushunchalarning shakllanishi matematik rivojlanish jarayonining muhim bosqichlarini ifodalaydi. 17-asrning oxirigacha fan ehtimollikning klassik ta'rifini kiritishga yaqinlashmadi, balki tadqiqotchilarni qiziqtirgan u yoki bu hodisani ma'qullaydigan imkoniyatlar soni bilan ishlashda davom etdi. Kardano va keyingi tadqiqotchilar tomonidan qayd etilgan alohida urinishlar ushbu yangilikning ahamiyatini aniq tushunishga olib kelmadi va tugallangan ishlarda begona jism bo'lib qoldi. Biroq, 18-asrning 30-yillarida klassik ehtimollik tushunchasi keng tarqalgan bo'lib qo'llanila boshlandi va o'sha yillardagi olimlarning hech biri hodisa uchun qulay imkoniyatlar sonini hisoblash bilan cheklana olmadi. Ehtimollikning klassik ta'rifini joriy etish bir harakat natijasida ro'y bermadi, balki uzoq vaqt davom etdi, bu davrda formulani doimiy ravishda takomillashtirish, alohida muammolardan umumiy holatga o'tish sodir bo'ldi.
Ehtiyotkorlik bilan o'rganish shuni ko'rsatadiki, hatto X. Gyuygensning "Qimor o'yinlarida hisob-kitoblar to'g'risida" (1657) kitobida ham ehtimollik tushunchasi 0 dan 1 gacha bo'lgan va hodisa uchun qulay imkoniyatlar sonining nisbatiga teng bo'lgan son sifatida hech qanday tushuncha yo'q. barcha mumkin bo'lganlar soni. J. Bernullining “Taxminlar sanʼati” (1713) risolasida esa bu tushuncha juda nomukammal shaklda boʻlsa-da, kiritilgan boʻlsa-da, ayniqsa muhimi, u keng qoʻllaniladi.
A. De Moivr Bernulli tomonidan berilgan ehtimollikning klassik ta'rifini oldi va hodisa ehtimolini deyarli biz hozirgidek aniqladi. U shunday deb yozgan edi: "Binobarin, biz kasr qurmoqdamiz, uning numeratori voqea sodir bo'lgan necha marta bo'ladi va maxraj - u paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan barcha holatlar soni, bunday kasr uning yuzaga kelishining haqiqiy ehtimoli.
3. Ehtimollar nazariyasining predmeti
Biz kuzatgan hodisalarni (hodisalar) quyidagi uch turga bo'lish mumkin: ishonchli, imkonsiz va tasodifiy.
Muayyan hodisa S shartlar majmui bajarilsa, albatta sodir bo'ladigan muayyan hodisa deyiladi.Masalan, idishda normal atmosfera bosimi va 20 ° haroratda suv bo'lsa, u holda hodisa "idishdagi suv" suyuq holatda” degani aniq. Ushbu misolda belgilangan atmosfera bosimi va suv harorati S shartlar to'plamini tashkil qiladi.
Agar S shartlar to'plami bajarilsa, hodisa imkonsiz deb ataladi.
Tasodifiy hodisa - S shartlar majmuini amalga oshirishda sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. Masalan, agar tanga tashlansa, u gerb yoki yozuv bo'lishi uchun tushishi mumkin. Shuning uchun, "tanga otishda" gerb yiqilib tushishi tasodifiy hodisa. Har bir tasodifiy hodisa, xususan, "gerb" ning qulashi juda ko'p tasodifiy sabablar ta'sirining natijasidir (bizning misolimizda: tanga otilgan kuch, tanga shakli va boshqalar. ). Bu sabablarning barchasining natijaga ta'sirini hisobga olishning iloji yo'q, chunki ularning soni juda ko'p va ularning harakat qonunlari noma'lum. Shuning uchun ehtimollik nazariyasi o'z oldiga bitta hodisa sodir bo'ladimi yoki yo'qligini bashorat qilish vazifasini qo'ymaydi - u shunchaki qila olmaydi.
Agar S bir xil sharoitda qayta-qayta kuzatilishi mumkin bo'lgan tasodifiy hodisalarni ko'rib chiqsak, ya'ni massiv bir jinsli tasodifiy hodisalar haqida gapiradigan bo'lsak, vaziyat boshqacha. Ma'lum bo'lishicha, etarlicha katta miqdordagi bir hil tasodifiy hodisalar, ularning o'ziga xos xususiyatidan qat'i nazar, ma'lum qonunlarga, ya'ni ehtimollik qonunlariga bo'ysunadi. Bu qonuniyatlarni o'rnatish bilan aynan ehtimollar nazariyasi shug'ullanadi.
Demak, ehtimollar nazariyasining predmeti massiv bir hil tasodifiy hodisalarning ehtimollik qonuniyatlarini o'rganishdir.
4. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari
Muayyan hodisalar doirasining umumiy nazariyasini ishlab chiqadigan har bir fan o'z asosini tashkil etadigan bir qator asosiy tushunchalarni o'z ichiga oladi. Bunday asosiy tushunchalar ehtimollar nazariyasida ham mavjud. Ular: hodisa, hodisaning ehtimolligi, hodisaning chastotasi yoki statistik ehtimollik va tasodifiy o'zgaruvchidir.
Tasodifiy hodisalar - bu hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli bilan bog'liq bo'lgan shartlar to'plami amalga oshirilganda sodir bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar.
Tasodifiy hodisalar A, B, C, ... harflari bilan belgilanadi. Ko'rib chiqilgan to'plamning har bir amalga oshirilishi test deb ataladi. Sinovlar soni cheksiz ko'payishi mumkin. Berilgan testlar seriyasida berilgan tasodifiy A hodisasining m sonining ushbu seriyadagi sinovlarning umumiy soni n ga nisbati berilgan sinovlar seriyasida A hodisaning sodir bo'lish chastotasi (yoki oddiygina chastotasi) deb ataladi. hodisaning A) va P * (A) bilan belgilanadi. Shunday qilib, P*(A)=m/n.
Tasodifiy hodisaning chastotasi har doim nol va bir orasida bo'ladi: 0 ? P*(A) ? bitta.
Ommaviy tasodifiy hodisalar chastota barqarorligi xususiyatiga ega: bir hil testlarning turli seriyalarida (har bir seriyada etarlicha ko'p miqdordagi testlar bilan) kuzatilgan, berilgan tasodifiy hodisaning chastota qiymatlari seriyadan seriyaga juda tor chegaralarda o'zgarib turadi.
Aynan shu holat tasodifiy hodisalarni o'rganishda matematik usullarni qo'llash imkonini beradi, har bir ommaviy tasodifiy hodisaga uning ehtimolini bog'laydi, bu hodisaning kuzatilgan chastotasi o'zgarib turadigan (odatda oldindan noma'lum) raqam sifatida qabul qilinadi.
A tasodifiy hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi. Tasodifiy hodisaning ehtimoli, xuddi chastotasi kabi, noldan birgacha: 0 ? P(A) ? bitta .
Tasodifiy o'zgaruvchi - bu bajarilgan operatsiya natijasini tavsiflovchi va ularni amalga oshirish shartlari qanchalik bir xil bo'lishidan qat'i nazar, turli operatsiyalar uchun turli qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir.
5. Ehtimollar nazariyasining zamonaviy dunyoda qo'llanilishi
Biz haqli ravishda statistik fizikadan boshlashimiz kerak. Zamonaviy tabiatshunoslik barcha tabiat hodisalari statistik xususiyatga ega va qonunlarni faqat ehtimollar nazariyasi nuqtai nazaridan aniq shakllantirish mumkin degan fikrdan kelib chiqadi. Statistik fizika barcha zamonaviy fizikaning asosiga, ehtimollar nazariyasi esa uning matematik apparatiga aylandi. Statistik fizikada ko'p sonli zarrachalarning harakati bilan belgilanadigan hodisalarni tavsiflovchi muammolar ko'rib chiqiladi. Statistik fizika fizikaning turli sohalarida juda muvaffaqiyatli qo'llaniladi. Molekulyar fizikada uning yordami bilan issiqlik hodisalari, elektromagnetizmda jismlarning dielektrik, o'tkazuvchanlik va magnit xossalari tushuntiriladi, optikada issiqlik nurlanishi, yorug'likning molekulyar tarqalishi nazariyasini yaratishga imkon berdi. So'nggi yillarda statistik fizikani qo'llash doirasi kengayishda davom etdi.
Statistik ko'rinishlar yadro fizikasi hodisalarini matematik o'rganishni tezda rasmiylashtirishga imkon berdi. Radiofizikaning paydo bo'lishi va radiosignallarning uzatilishini o'rganish nafaqat statistik tushunchalarning ahamiyatini oshirdi, balki matematika fanining o'zi ham taraqqiyotga - axborot nazariyasining paydo bo'lishiga olib keldi.
Kimyoviy reaksiyalarning tabiatini tushunish, dinamik muvozanatni statistik tushunchalarsiz ham mumkin emas. Barcha fizik kimyo, uning matematik apparati va u taklif qilayotgan modellar statistikdir.
Kuzatish natijalarini qayta ishlash, ular har doim ham tasodifiy kuzatish xatolari, ham kuzatuvchi uchun tajriba sharoitida tasodifiy o'zgarishlar bilan birga bo'lib, 19-asrda tadqiqotchilarni kuzatish xatolari nazariyasini yaratishga olib keldi va bu nazariya to'liq asoslanadi. statistik tushunchalar.
Astronomiya o'zining bir qator bo'limlarida statistik apparatlardan foydalanadi. Yulduzlar astronomiyasi, materiyaning fazoda tarqalishini oʻrganish, kosmik zarrachalar oqimini oʻrganish, quyosh dogʻlarining (quyosh faolligi markazlari) Quyosh yuzasida taqsimlanishi va boshqa koʻp fanlar statistik tasvirlardan foydalanishni talab qiladi.
Biologlar bir xil turdagi tirik mavjudotlar organlarining o'lchamlarida tarqalishi umumiy nazariy va ehtimollik qonunlariga to'liq mos kelishini payqashdi. Mendelning zamonaviy genetikaga asos solgan mashhur qonunlari ehtimollik-statistik fikrlashni talab qiladi. Biologiyaning qo'zg'alishning uzatilishi, xotira tuzilishi, irsiy xususiyatlarning o'tkazilishi, hayvonlarning hududda tarqalishi, yirtqich va o'lja o'rtasidagi munosabatlar kabi muhim muammolarini o'rganish ehtimollik nazariyasi va matematik bilimlarni yaxshi bilishni talab qiladi. statistika.
Gumanitar fanlar tilshunoslik va adabiyotdan psixologiya va iqtisodgacha bo'lgan juda xilma-xil fanlarni birlashtiradi. Tarixiy tadqiqotlarda, ayniqsa arxeologiyada statistik usullardan tobora ko'proq foydalanilmoqda. Qadimgi xalqlar tilidagi yozuvlarni ochishda statistik yondashuv qo‘llaniladi. J. Champollionni shifrlashda rahbarlik qilgan g'oyalarqadimgi ieroglif yozuvi, asosan statistik hisoblanadi. Shifrlash va shifrni ochish san'ati tilning statistik naqshlaridan foydalanishga asoslangan. Boshqa sohalar so'z va harflarning chastotasini o'rganish, so'zlardagi urg'u taqsimoti, aniq yozuvchi va shoirlar tilining informativligini hisoblash bilan bog'liq. Mualliflikni aniqlash va adabiy soxtalikni fosh qilish uchun statistik usullardan foydalaniladi. Misol uchun,mualliflik M.A. Sholoxov "Donning sokin oqimlari" romani asosidaehtimollik-statistik usullar yordamida o'rnatildi. Og'zaki va yozma nutqda til tovushlarining paydo bo'lish chastotasini aniqlash ma'lumotni uzatish uchun ushbu til harflarini optimal kodlash masalasini ko'tarishga imkon beradi. Harflardan foydalanish chastotasi matn terish kassasidagi belgilar sonining nisbatini aniqlaydi. Yozuv mashinkasida va kompyuter klaviaturasida harflarning joylashishi ma'lum bir tildagi harf birikmalarining chastotasini statistik o'rganish orqali aniqlanadi.
Pedagogika va psixologiyaning ko'pgina muammolari ham ehtimollik-statistik apparatni jalb qilishni talab qiladi. Iqtisodiy masalalar jamiyatni qiziqtirmay qolishi mumkin emas, chunki uning rivojlanishining barcha jabhalari u bilan bog'liq. Statistik tahlilsiz aholi soni, uning ehtiyojlari, bandlik xarakteridagi o'zgarishlarni, ommaviy talabning o'zgarishini oldindan ko'rish mumkin emas va busiz iqtisodiy faoliyatni rejalashtirish mumkin emas.
To'g'ridan-to'g'ri ehtimollik-statistik usullar bilan mahsulot sifatini tekshirish masalalari bog'liq. Ko'pincha mahsulotni ishlab chiqarish uning sifatini tekshirishdan ko'ra beqiyos kamroq vaqtni oladi. Shu sababli, har bir mahsulot sifatini tekshirish mumkin emas. Shuning uchun partiyaning sifatini namunaning nisbatan kichik qismiga qarab baholash kerak. Statistik usullar mahsulot sifatini tekshirishda ularning shikastlanishiga yoki o'limiga olib kelganda ham qo'llaniladi.
Qishloq xo'jaligiga oid savollar uzoq vaqtdan beri statistik usullardan keng foydalanish bilan hal qilingan. Hayvonlarning yangi zotlarini, o'simliklarning yangi navlarini ko'paytirish, hosildorlikni taqqoslash - bu statistik usullar bilan hal qilinadigan vazifalarning to'liq ro'yxati emas.
Mubolag'asiz aytish mumkinki, bugungi kunda butun hayotimiz statistik usullar bilan singib ketgan. Materialist shoir Lukretsiy Karaning "Narsalar tabiati to'g'risida" nomli mashhur asarida chang zarralarining Broun harakati hodisasi yorqin va she'riy tasvirlangan:
“Bu yerga qarang: qachon quyosh nuri kirsa
Bizning uylarimizda va zulmat nurlari bilan kesib o'tadi,
Bo'shliqda ko'plab mayda jismlar miltillayotganini ko'rasiz,
Yorug'likning yorqin nurida oldinga va orqaga shoshilish;
Go'yo abadiy kurashda ular jang va janglarda kurashadilar.
To'satdan ular tinchlikni bilmay, guruh bo'lib jangga shoshilishadi.
Yoki birlashuvchi, yoki bir-biridan ajralib, doimiy ravishda yana tarqalib ketadi.
Bundan tushuna olasizmi, qanday tinimsiz
Keng bo'shliqdagi narsalarning boshlanishi notinch.
Shunday qilib, buyuk narsalar haqida ular tushunishga yordam beradi
Kichik narsalar, muvaffaqiyatga erishish yo'lini belgilaydi,
Bunga qo'shimcha ravishda, chunki siz e'tibor berishingiz kerak
Quyosh nurida miltillovchi jismlardagi tartibsizliklarga
Undan bilasizmi, gap ham harakatda.
Ayrim zarrachalarning tasodifiy harakati va ularning yirik agregatlarining muntazam harakati oʻrtasidagi bogʻliqlikni eksperimental oʻrganish uchun birinchi imkoniyat 1827-yilda botanik R.Braun oʻzining nomi bilan atalgan “Braun harakati” hodisasini kashf qilganda paydo boʻldi. Jigarrang mikroskop ostida suvda to'xtatilgan gul changlarini kuzatdi. Ajablanarlisi shundaki, u suvda muallaq bo'lgan zarralar uzluksiz tasodifiy harakatda ekanligini aniqladi, bu har qanday tashqi ta'sirni bartaraf etish uchun eng ehtiyotkorlik bilan harakat qilsa ham to'xtatib bo'lmaydi. Tez orada ma'lum bo'ldiki, bu suyuqlikda to'xtatilgan har qanday etarlicha kichik zarralarning umumiy xususiyatidir. Broun harakati tasodifiy jarayonning klassik namunasidir.
6. Ehtimollik va havo transporti
Oldingi bobda ehtimollar nazariyasi va statistikaning fanning turli sohalarida qo‘llanilishini ko‘rib chiqdik. Ushbu bobda ehtimollar nazariyasining havo transportida qo'llanilishiga misollar keltirmoqchiman.
Havo transporti - bu samolyotning o'zini ham, ularning ishlashi uchun zarur bo'lgan infratuzilmani: aeroportlar, dispetcherlik va texnik xizmatlarni o'z ichiga olgan tushuncha. Ma'lumki, parvoz o'z faoliyatida fanning turli sohalaridan foydalanadigan ko'plab aeroport xizmatlarining birgalikdagi faoliyati natijasidir va bu sohalarning deyarli barchasida ehtimollik nazariyasi mavjud. Men navigatsiya sohasidan bir misol keltirmoqchiman, bu erda ehtimollik nazariyasi ham keng qo'llaniladi.
Sun'iy yo'ldosh navigatsiyasi, qo'nish va aloqa tizimlarining rivojlanishi munosabati bilan tizimning yaxlitligi, uzluksizligi va mavjudligi kabi yangi ishonchlilik ko'rsatkichlari joriy etildi. Ushbu ishonchlilik ko'rsatkichlarining barchasi ehtimollik nuqtai nazaridan miqdoriy hisoblanadi.
Butunlik - radiotizimdan olingan va keyinchalik havo kemasi tomonidan qo'llaniladigan ma'lumotlarga ishonch darajasi. Butunlik ehtimoli muvaffaqiyatsizlik ehtimoli va nosozlikni aniqlamaslik ehtimoli ko'paytmasiga teng va parvoz soatiga 10 -7 ga teng yoki undan kam bo'lishi kerak.
Xizmatning uzluksizligi - rejalashtirilgan operatsiyani bajarishda to'liq tizimning ish rejimini to'xtatmasdan o'z funktsiyasini bajarish qobiliyati. Bu kamida 10-4 bo'lishi kerak.
Mavjudlik - bu tizimning operatsiya boshlanishida o'z funktsiyalarini bajarish qobiliyati. Onam kamida 0,99 bo'lishi kerak.
Xulosa
Ehtimoliy g'oyalar bugungi kunda jonsiz tabiat haqidagi fanlardan tortib, jamiyat haqidagi fanlargacha bo'lgan butun bilimlar majmuasining rivojlanishini rag'batlantiradi. Zamonaviy tabiatshunoslikning taraqqiyoti ehtimollik g'oyalari va usullarini qo'llash va rivojlantirishdan ajralmasdir. Bizning zamonamizda ehtimollik usullari qo'llanilmaydigan biron bir tadqiqot sohasini nomlash qiyin.
Adabiyotlar ro'yxati
1. Wentzel E.S. Ehtimollar nazariyasi: Oliy maktablar uchun darslik. Moskva: Oliy maktab, 2006;
2. Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Proc. universitetlar uchun nafaqa. M: Oliy maktab, 1998;
3. Gnedenko B.V. Ehtimollar nazariyasi bo'yicha esse. M.: URSS tahririyati, 2009;
4. Maistrov L.E. Ehtimollar nazariyasining rivojlanishi. M.: Nauka, 1980;
5. Maistrov L.E. Ehtimollar nazariyasi. Tarixiy insho. Moskva: Nauka, 1967 yil
6. Sobolev E.V. Parvozlarni radiotexnik ta'minlashni tashkil etish (1-qism). Sankt-Peterburg, 2008 yil;
7.
http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966