Rețineți că elementele matricei pot fi nu numai numere. Imaginează-ți că descrii cărțile care se află pe raftul tău. Lasă-ți raftul în ordine și toate cărțile stau în locuri strict definite. Tabelul care va conține descrierea bibliotecii tale (după rafturi și succesiunea cărților de pe raft) va fi și el o matrice. Dar o astfel de matrice nu va fi numerică. Alt exemplu. În loc de numere, există funcții diferite, unite între ele printr-o oarecare dependență. Tabelul rezultat va fi numit și matrice. Cu alte cuvinte, Matrix este orice masă dreptunghiulară formată din omogen elemente. Aici și mai jos vom vorbi despre matrici compuse din numere.

În loc de paranteze, matricele sunt scrise folosind paranteze drepte sau linii verticale duble drepte.

(2.1*)

Definiția 2. Dacă în expresie(1) m = n , apoi vorbesc despre matrice pătrată, și dacă , ceva despre dreptunghiular.

În funcție de valorile lui m și n, există câteva tipuri speciale de matrice:

Cea mai importantă caracteristică pătrat matricea este a ei determinant sau determinant, care este compus din elemente de matrice și este notat

Evident, D E =1; .

Definiția 3. În cazul în care un , apoi matricea A numit nedegenerat sau Nimic special.

Definiția 4. În cazul în care un detA = 0, apoi matricea A numit degenerat sau special.

Definiția 5. Două matrice A și B numit egal si scrie A=B dacă au aceleași dimensiuni și elementele lor corespunzătoare sunt egale, i.e..

De exemplu, matricele și sunt egale, deoarece au dimensiuni egale și fiecare element al unei matrice este egal cu elementul corespunzător al celeilalte matrice. Dar matricele nu pot fi numite egale, deși determinanții ambelor matrici sunt egale, iar dimensiunile matricelor sunt aceleași, dar nu toate elementele din aceleași locuri sunt egale. Matricele sunt diferite deoarece au dimensiuni diferite. Prima matrice este 2x3 și a doua 3x2. Deși numărul de elemente este același - 6 și elementele în sine sunt aceleași 1, 2, 3, 4, 5, 6, dar sunt în locuri diferite în fiecare matrice. Dar matricele și sunt egale, conform definiției 5.

Definiția 6. Dacă fixăm un anumit număr de coloane matrice A și același număr de rânduri, apoi elementele de la intersecția coloanelor și rândurilor specificate formează o matrice pătrată n- ordinul al cărei determinant numit minor k- matricea de ordinul al-lea A.

Exemplu. Scrieți trei minore de ordinul doi al matricei

O matrice este un tabel dreptunghiular umplut cu unele obiecte matematice. În cea mai mare parte, vom considera matrici cu elemente dintr-un anumit domeniu, deși multe propoziții rămân valabile dacă considerăm elemente ale unui inel asociativ (nu neapărat comutativ) ca elemente ale matricelor.

Cel mai adesea, elementele unei matrice sunt notate cu o literă cu doi indici care indică „adresa” elementului - primul index oferă numărul rândului care conține elementul, al doilea - numărul coloanei. Astfel, matricea (de dimensiuni ) se scrie sub forma

Matricele inserate din numere apar în mod natural atunci când se consideră sisteme ecuatii lineare

Intrarea în această problemă este un set de coeficienți care formează în mod natural o matrice

și un set de termeni liberi care formează o matrice care are o singură coloană. Se dorește un set de valori necunoscute, care, după cum se dovedește, este, de asemenea, convenabil de reprezentat ca o matrice constând dintr-o coloană.

Un rol important îl joacă așa-numitele matrici diagonale. Acest nume se referă la matrici pătrate care au toate elementele egale cu zero, cu excepția elementelor diagonalei principale, adică a elementelor aflate în poziții.

Se notează o matrice diagonală D cu intrări diagonale

O matrice compusă din elemente situate la intersecțiile mai multor rânduri selectate ale matricei A și mai multe coloane selectate se numește submatrice pentru matricea A. Dacă sunt numerele rândurilor selectate și sunt numerele coloanelor selectate, atunci submatricea corespunzătoare este

În special, rândurile și coloanele unei matrice pot fi considerate submatrice ale acesteia.

Matricele sunt în mod natural legate de substituția liniară ( transformare liniară) variabile. Acest nume se referă la trecerea de la sistemul original de variabile la altul, nou, conectat prin formule

Substituția liniară a variabilelor este dată de matricea coeficienților

Dintre sistemele de ecuații liniare cea mai mare valoare au sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Dintre substituțiile liniare de variabile, rolul principal îl au substituțiile în care numărul de variabile inițiale și noi este același. În aceste situații, matricea coeficienților se dovedește a fi pătrată, adică având același număr de rânduri și coloane; acest număr se numește ordinea matricei pătrate.

În loc să spună „o matrice formată dintr-un rând” și „o matrice formată dintr-o coloană”, ei spun pe scurt: rând, coloană.

Matrice dimensiunea se numește masă dreptunghiulară, constând din elemente dispuse în m linii şi n coloane.

Elemente de matrice (primul index i− numărul rândului, al doilea indice j− numărul coloanei) pot fi numere, funcții etc. Matricele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin.

Matricea se numește pătrat dacă numărul său de rânduri este egal cu numărul de coloane ( m = n). În acest caz, numărul n se numește ordinea matricei, iar matricea însăși se numește matrice n-a comanda.

Elemente cu același indice formă diagonala principală matrice pătrată și elementele (adică având suma indicilor egală cu n+1) − diagonala secundara.

Solitar matrice numit matrice pătrată, toate elementele diagonalei principale ale cărora sunt egale cu 1, iar elementele rămase sunt egale cu 0. Se notează cu litera E.

Zero matrice este o matrice, toate elementele care sunt egale cu 0. Matricea zero poate fi de orice dimensiune.

La număr operații liniare pe matrici raporta:

1) adunarea matricei;

2) înmulțirea matricelor cu un număr.

Operația de adăugare a matricei este definită numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

Suma a două matrice DARși LA numită matrice DIN, ale căror toate elementele sunt egale cu sumele elementelor corespunzătoare ale matricelor DARși LA:

.

Produs Matrix DAR pe număr k numită matrice LA, ale căror toate elementele sunt egale cu elementele corespunzătoare ale matricei date DARînmulțit cu numărul k:

Operațiune inmultirile matriceale se introduce pentru matricele care îndeplinesc condiția: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri al celei de-a doua.

Produs Matrix DAR dimensiuni la matrice LA dimensiunea se numește matrice DIN dimensiune, element i-a linia și j a cărei coloană este egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei DAR asupra elementelor relevante j-a coloană a matricei LA:

Produsul matricelor (spre deosebire de produsul numerelor reale) nu se supune legii comutative, i.e. în general DAR LA LA DAR.

1.2. Determinanți. Proprietăți calificative

Conceptul de determinant introdus numai pentru matrice pătrată.

Determinantul unei matrice de ordinul 2 este un număr calculat conform următoarei reguli

.

Determinant matricei de ordinul 3 este un număr calculat după următoarea regulă:

Primul dintre termenii cu semnul „+” este produsul elementelor situate pe diagonala principală a matricei (). Celelalte două conțin elemente situate la vârfurile triunghiurilor cu o bază paralelă cu diagonala(e) principal(e). Cu semnul „-” sunt incluse produsele elementelor diagonalei secundare () și elementele care formează triunghiuri cu baze paralele cu această diagonală (și).

Această regulă pentru calcularea determinantului de ordinul 3 se numește regula triunghiurilor (sau regula lui Sarrus).

Proprietăți calificative Luați în considerare exemplul determinanților de ordinul 3.

1. Când înlocuiți toate rândurile determinantului cu coloane cu aceleași numere ca și rândurile, determinantul nu își modifică valoarea, adică. rândurile și coloanele determinantului sunt egale

.

2. Când două rânduri (coloane) sunt schimbate, determinantul își schimbă semnul.

3. Dacă toate elementele unui anumit rând (coloană) sunt zerouri, atunci determinantul este 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (coloană) poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul care conține două rânduri (coloane) identice este 0.

6. Determinantul care conține două rânduri (coloane) proporționale este egal cu zero.

7. Dacă fiecare element al unei anumite coloane (rând) a unui determinant reprezintă suma a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, dintre care unul conține primii termeni din aceeași coloană (rând), iar al doilea - al doilea. Elementele rămase ale ambilor determinanți sunt aceleași. Asa de,

.

8. Determinantul nu se modifică dacă elementele corespunzătoare unei alte coloane (rânduri) înmulțite cu același număr sunt adăugate elementelor oricăreia dintre coloanele (rândurile) acesteia.

Următoarea proprietate a determinantului este legată de conceptele de complement minor și algebric.

Minor elementul unui determinant este determinantul obținut din dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

De exemplu, elementul minor al determinantului se numeste determinant.

Adunarea algebrică elementul determinantului se numește minorul său înmulțit cu unde i− numărul rândului, j− numărul coloanei la intersecția căreia se află elementul. Complementul algebric este de obicei notat. Pentru un element determinant de ordinul 3, complementul algebric

9. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și adunările algebrice corespunzătoare.

De exemplu, determinantul poate fi extins peste elementele primului rând

,

sau a doua coloană

Proprietățile determinanților sunt utilizate pentru a le calcula.

Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice, transpunerea matricei. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.

Adunarea și scăderea matricelor.

Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.

O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:

Diferența $A-B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Intrarea „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ se modifică de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ spune că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitiv clare, deoarece înseamnă, de fapt, doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.

Exemplul #1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\time 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, i.e. operația $A+F$ pentru aceste matrice nu este definită.

Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. datele matricei conțin cantitate egală rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare le este aplicabilă.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Găsiți matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Mai simplu spus, a înmulți o matrice cu un anumit număr înseamnă a înmulți fiecare element al matricei date cu acel număr.

Exemplul #2

Dată o matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notația $-A$ este prescurtarea pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). De fapt, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba la opus:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produsul a două matrici.

Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, voi sublinia mai întâi definiție generală, iar apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă și cum să lucrăm cu el.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$ pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor corespunzătoare elementele i-ale rânduri ale matricei $A$ de elementele coloanei j-a a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pas cu pas, vom analiza multiplicarea matricelor folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrice sunt adesea numite de acord). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane de matricea $A $ nu este egală cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar este posibil să se înmulțească matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane al matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $A$. matricea $B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ este matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:

Exemplul #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.

Pentru început, determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$ și matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, dimensiunea matricei $C$ este $3\x 2$:

Deci, ca rezultat al produsului dintre matricele $A$ și $B$, ar trebui să obținem matricea $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matriceale. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.

Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:

Similar cu precedenta, avem:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se găsesc toate elementele primului rând al matricei $C$. Trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Următorul element $c_(22)$ se găsește prin înmulțirea elementelor celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pentru a găsi $c_(31)$ înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Și, în sfârșit, pentru a găsi elementul $c_(32)$, trebuie să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ sunt găsite, rămâne doar să notăm că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) ) \dreapta)$ . Sau, pentru a o scrie integral:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matrice, a căror dimensiune este mică, puteți face următoarele:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) și 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 și 324 \\ -56 și -333 \end(array) \right) $$

De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutațional(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii se cere să indice exact modul în care înmulțim expresia cu una sau alta matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele în care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Mai simplu spus, pentru a obține matricea transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare după acest principiu: a existat primul rând - prima coloană va deveni; a existat un al doilea rând - a doua coloană va deveni; a existat un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În consecință, dacă matricea inițială a avut dimensiunea $3\times 5$, atunci matricea transpusă are dimensiunea $5\times 3$.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.

Se presupune aici că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.