Доказанная в § 89 теорема справедлива для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой имеющую скорость то для этой точки будет

где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

Равенство (49) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна в положение, где значение кинетической энергии становится равным , получим

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях (49) или (50) не исключаются. В самом деле, если - силы взаимодействия между точками системы (рис. 309), то

Но при этом точка может перемещаться по направлению к а точка - по направлению к Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Например, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления пороховых газов, являющиеся для системы снаряд - откатывающиеся части внутренними, совершают работу и сообщают скорости телам системы.

Рассмотрим два важных частных случая.

1. Неизменяемая система. Неизменяемой будем называть механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками остается во все время движения постоянным.

Рассмотрим две точки неизменяемой системы действующие друг на друга с силами (см. рис. 309). Тогда, поскольку при движении отрезка должно быть (см. § 55), то и так как - соответственно скорости и элементарные перемещения точек Кроме того, . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим

Же получится и для всех других взаимодействующих точек системы. В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (49) или (50) принимают вид

2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49) можно представить в виде

где - элементарная работа действующих на точку системы внешних и внутренних активных сил, а - элементарная работа реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.

В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа реакции N равна нулю. Затем в § 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной реакции N и силы трения (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, будет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем то силы будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с учетом сделанных оговорок считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Просмотр: эта статья прочитана 49915 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек:

1. механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения;
2. механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоту, электричество и т.д.).

Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки или механической системы. Мерой действия силы в этом случае является вектор импульса силы.

Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы. Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия это способность тела преодолевать препятствование во время движения.

Кинетическая энергия материальной точки

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, которая равняется половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия:

• характеризует и поступательное, и вращательное движения;
• не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;
• характеризует действие и внутренних, и внешних сил.

Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел системы. Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.

Определение кинетической энергии твердого тела при разных видах движения движениях.

Кинетическая энергия поступательного движения
При поступательном движении кинетическая энергия тела равна Т =m V 2 /2.

Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.

Кинетическая энергия вращательного движения тела

При вращательном движении тела кинетическая энергия равняется половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения и квадрата его угловой скорости.

Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции.

Кинетическая энергия тела не зависит от направления вращения тела.

Кинетическая энергия плоскопаралельного движения тела

При плоскопаралельном движении тела кинетическая энергия равна

Работа силы

Работа силы характеризует действие силы на тело при некотором перемещении и определяет изменение модуля скорости подвижной точки.

Элементарная работа силы

Элементарная работа силы определяется как скалярная величина, равная произведению проекции силы на касательную к траектории, направленную в направлении движения точки, и бесконечно малого перемещения точки, направленного вдоль этой касательной.

Работа силы на конечном перемещении

Работа силы на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных участках.

Работа силы на конечном перемещении М 1 М 0 равняется интегралу вдоль этого перемещения от элементарной работы.

Работа силы на перемещении М 1 М 2 изображается площадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой и ординатами, соответствующими точкам М 1 и М 0 .

Единица измерения работы силы и кинетической энергии в системе СИ 1 (Дж).

Теоремы о работе силы

Теорема 1 . Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

Теорема 2. Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Мощность

Мощность - это величина, которая определяет работу силы за единицу времени.

Единицей измерения мощности есть 1Вт = 1 Дж/с.

Случаи определения работы сил

Работа внутренних сил

Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Работа силы тяжести

Работа силы упругости

Работа силы трения

Работа сил, приложенных к вращающемуся телу

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Сопротивление качению

В зоне контакта неподвижого цилиндра и плоскости возникает местная деформация контактного сжатия, напряжение распределяются по эллиптическому закону и линия действия равнодействующей N этих напряжений совпадает с линией действия силы нагрузки на цилиндр Q. При перекатывании цилиндра распределение нагрузки становится несимметричным с максимумом, смещенным в сторону движения. Равнодействующая N смещается на величину k - плечо силы трения качения, которая еще назвается коэффициентом трения качения и имеет размерность длины (см)

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равняется алгебраической сумме робот всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равняется алгебраической сумме робот внутренних и внешних сил, действующих на материальные точки системы на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела

Изменение кинетической энергии твердого тела (неизменной системы) на некотором перемещении равняется сумме робот внешних сил, действующих на точки системы на том же перемещении.

КПД

Силы, действующие в механизмах

Силы и пары сил (моменты), которые приложены к механизму или машине, можно разделить на группы:

1.Движущие силы и моменты, совершающие положительную работу (приложенные к ведущим звеньям, например, давление газа на поршень в ДВС).

2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрицательную работу:

• полезного сопротивления (совершают требуемую от машины работу и приложены к ведомым звеньям, например сопротивление поднимаемого машиной груза),
• силы сопротивления (например, силы трения, сопротивление воздуха и т.п.).

3. Силы тяжести и силы упругости пружин (как положительная, так и отрицательная работа, при этом работа за полный цикл равна нулю).

4. Силы и моменты, приложенные к корпусу или стойке извне (реакция фундамента и т.п.), которые не совершают работу.

5. Силы взаимодействия между звеньями, действующие в кинематических парах.

6. Силы инерции звеньев, обусловленные массой и движением звеньев с ускорением, могут осуществлять положительную, отрицательную работу и не совершать работы.

Работа сил в механизмах

При установившемся режиме работы машины ее кинетическая энергия не изменяется и сумма работ приложенных к ней движущих сил и сил сопротивления равна нулю.

Работа, затрачиваемая на приведение машины в движение, расходуется на преодоление полезных и вредных сопротивлений.

КПД механизмов

Механический коэффициент полезного действия при установившемся движении равен отношению полезной работы машины к работе, затраченной на приведение машины в движение:

Элементы машины могут соединяться последовательно, параллельно и смешанно.

КПД при последовательном соединении

При последовательном соединении механизмов общий КПД меньше с наименьшего КПД отдельного механизма.

КПД при параллельном соединении

При параллельном соединении механизмов общий КПД больше наименьшего и меньше наибольшего КПД отдельного механизма.

Формат: pdf

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.

Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:

1. Поступательное движение

Скорости всех точек системы равны скорости центра масс . Тогда

Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение (рис. 77)

Скорость любой точки тела: . Тогда

или используя формулу (15.3.1):

Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение

При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений

Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.

Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.

1. Работа сил тяжести . Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет . Тогда полная работа:

где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .

Согласно соотношению (14.3.1) можно записать , но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде - бесконечно малый угол поворота тела. Тогда

Величина называется вращающим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишем как

Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот .

При повороте на конечный угол имеем:

Если вращательный момент постоянен , то

а мощность определим из соотношения (14.3.5)

как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:

или, согласно (19.1.1):

что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав (19.2.2) получаем:

Теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:

В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

П = А (мо) (19.3.1)

Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат

П = П(х,у,z) (19.3.2)

Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.

Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами .

Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.

По формуле (14.3.5) получаем , т.е. dA = dU(x,y,z) и

где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.

В частности работа силы тяжести:

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

где - потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

или окончательно:

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.

Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю . (0,5)

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с . (10,5)

Пример решения задачи с применением теоремы об изменении кинетической энергии системы с твердыми телами, блоками, шкивами и пружиной.

Содержание

Условие задачи

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ 3 = 0,2 м , блока 4 радиуса R 4 = 0,2 м и подвижного блока 5. Блок 5 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения груза 2 о плоскость f = 0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К подвижному блоку 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с = 280 Н/м .

Под действием силы F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M = 1,6 Н·м сил сопротивления (от трения в подшипниках). Массы тел: m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг .

Определить значение центра масс тела 5 V C5 в тот момент времени, когда перемещение s груза 1 станет равным s 1 = 0,2 м .

Указание . При решении задачи использовать теорему об изменении кинетической энергии .

Решение задачи

Дано: R 3 = 0,3 м , r 3 = 0,1 м , ρ 3 = 0,2 м , R 4 = 0,2 м , f = 0,1 , с = 280 Н/м , m 1 = 0 , m 2 = 5 кг , m 3 = 6 кг , m 4 = 0 , m 5 = 4 кг , F = f(s) = 80(6 + 7 s) Н , s 1 = 0,2 м .

Найти: V C5 .

Обозначения переменных

R 3 , r 3 - радиусы ступеней шкива 3;
ρ 3 - радиус инерции шкива 3 относительно оси вращения;
R 5 - радиус блока 5;
V 1 , V 2 - скорости тел 1 и 2;
ω 3 - угловая скорость вращения шкива 3;
V C5 - скорость центра масс C 5 блока 5;
ω 5 - угловая скорость вращения блока 5;
s 1 , s 2 - перемещение тел 1 и 2;
φ 3 - угол поворота шкива 3;
s C5 - перемещение центра масс C 5 блока 5;
s A , s B - перемещение точек A и B.

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Поскольку грузы 1 и 2 связаны одной нитью, то их скорости равны:
V 2 = V 1 .
Поскольку нить, соединяющая грузы 1 и 2 намотана на внешнюю ступень шкива 3, то точки внешней ступени шкива 3 движутся со скоростью V 2 = V 1 . Тогда угловая скорость вращения шкива:
.
Скорость центра масс V C5 блока 5 равна скорости точек внутренней ступени шкива 3:
.
Скорость точки K равна нулю. Поэтому она является мгновенным центром скоростей блока 5. Угловая скорость вращения блока 5:
.
Скорость точки B - свободного конца пружины - равна скорости точки A:
.

Выразим скорости через V C5 .
;
;
.

Теперь установим связи между перемещениями тел и углами поворота шкива и блока. Поскольку скорости и угловые скорости являются производными по времени от перемещений и углов поворота
,
то такие же связи будут между перемещениями и углами поворота:
s 2 = s 1 ;
;
;
.

Определение кинетической энергии системы

Найдем кинетическую энергию системы. Груз 2 совершает поступательное движение со скоростью V 2 . Шкив 3 совершает вращательное движение с угловой скоростью вращения ω 3 . Блок 5 совершает плоскопараллельное движение. Он вращается с угловой скоростью ω 5 и его центр масс движется со скоростью V C5 . Кинетическая энергия системы:
.

Поскольку радиус инерции шкива относительно оси вращения задан, то момент инерции шкива относительно оси вращения определяется по формуле:
J 3 = m 3 ρ 2 3 .
Поскольку блок 5 является сплошным однородным цилиндром, то его момент инерции относительно центра масс равен
.

С помощью кинематических соотношений выражаем все скорости через V C5 и подставляем выражения для моментов инерции в формулу для кинетической энергии.
,
где мы ввели постоянную
кг.

Итак, мы нашли зависимость кинетической энергии системы от скорости центра масс V C5 подвижного блока:
, где m = 75 кг.

Определение суммы работ внешних сил

Рассмотрим внешние силы , действующие на систему.
При этом мы не рассматриваем силы натяжения нитей, поскольку нити нерастяжимые и, поэтому, они не производят работу. По этой причине мы не рассматриваем внутренние напряжения, действующие в телах, поскольку они являются абсолютно твердыми.
На тело 1 (с нулевой массой) действует заданная сила F .
На груз 2 действует сила тяжести P 2 = m 2 g 2 и сила трения F T .
На шкив 3 действует сила тяжести P 3 = m 3 g , сила давления оси N 3 и момент сил трения M .
На шкив 4 (с нулевой массой) действует сила давления оси N 4 .
На подвижный блок 5 действует сила тяжести P 5 = m 5 g , сила упругости F y пружины и сила натяжения нити T K в точке K .

Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними. Заданная сила , приложенная к телу 1, параллельна перемещению тела 1. Поэтому работа, которую совершает сила , при перемещении тела 1 на расстояние s 1 равна:


Дж.

Рассмотрим груз 2. На него действуют сила тяжести P 2 , сила давления поверхности N 2 , силы натяжения нитей T 23 , T 24 и сила трения F T . Поскольку груз не совершает перемещения в вертикальном направлении, то проекция его ускорения на вертикальную ось равна нулю. Поэтому сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:
N 2 - P 2 = 0 ;
N 2 = P 2 = m 2 g .
Сила трения:
F T = f N 2 = f m 2 g .
Силы P 2 и N 2 перпендикулярны перемещению s 2 , поэтому они работу не производят.
Работа силы трения:
Дж.

Если рассматривать груз 2 как изолированную систему, то нужно учитывать работу, произведенную силами натяжения нитей T 23 и T 24 . Однако нас интересует вся система, состоящая из тел 1, 2, 3, 4 и 5. Для такой системы силы натяжения нитей являются внутренними силами. А поскольку нити нерастяжимые, то сумма их работ равна нулю. В случае с грузом 2, нужно еще учесть силы натяжения нитей, действующих на шкив 3 и блок 4. Они равны по величине и противоположны по направлению силам T 23 и T 24 . Поэтому работа, производимая силами натяжения нитей 23 и 24 над грузом 2 равна по величине и противоположна по знаку работе, производимой силами натяжения этих нитей над шкивом 3 и блоком 4. В результате сумма работ, производимая силами натяжения нитей равна нулю.

Рассмотрим шкив 3. Поскольку его центр масс не перемещается, то работа силы тяжести P 3 равна нулю.
Поскольку ось C 3 неподвижна, то сила давления оси N 3 работу не производит.
Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично работе, произведенной силой :
.
В нашем случае, векторы момента сил трения и угла поворота шкива направлены вдоль оси вращения шкива, но противоположны по направлению. Поэтому работа момента сил трения:
Дж.

Рассмотрим блок 5.
Поскольку скорость точки K равна нулю, то сила T K работу не производит.
Центр масс блока C 5 переместился на расстояние s C5 вверх. Поэтому работа силы тяжести блока равна:
Дж.
Работа силы упругости пружины равна изменению потенциальной энергии пружины со знаком минус. Поскольку вначале пружина не деформирована, то
Дж.

Сумма работ всех сил:

Дж.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
.
Поскольку в начале система покоилась, то ее кинетическая энергия в начале движения
T 0 = 0 .
Тогда
.
Отсюда
м/с.

Кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий всех её точек:

Дифференцируя каждую часть этого равенства по времени, получим

Воспользовавшись основным законом динамики для к -й точки системы m k 2i k = Fj., приходим к равенству

Скалярное произведение силы F на скорость v точки её приложения называют мощностью силы и обозначают Р :

Используя это новое обозначение, представим (11.6) в следующем виде:

Полученное равенство выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии: скорость изменения кинетической энергии механической системы равна сумме jмощностей всех действующих на систему cm.

Предс тавив производную f в (8.5) в форме дроби -- и выполнив

затем разделение переменных, получим:

где dT - дифференциал кинетической энергии, т.е. её изменение за бесконечно малый промежуток времени dr, dr k = k dt - элементарное перемещение к- й точки системы, т.е. перемещение за время dt.

Скалярное произведение силы F на элементарное перемещение dr точки её приложения называют элементарной работой силы и обозначают dA:

Используя свойства скалярного произведения можно представить элементарную работу силы также в виде

Здесь ds = dr - длина дуги траектории точки приложения силы, соответствующая её элементарному перемещению с/г; а - угол между направлениями вектора силы F и вектора элементарного перемещения c/r; F„ F y , F, - проекции вектора силы F на декартовы оси; dx, dy, dz - проекции на декартовы оси вектора элементарного перемещения с/г.

С учетом обозначения (11.9) равенство (11.8) можно представить в следующей форме:

т.е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему. Это равенство, так же как и (11.7), выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии, но отличается от (11.7) тем, что использует не производные, а бесконечно малые приращения - дифференциалы.

Выполняя почленное интегрирование равенства (11.12), получаем

где в качестве пределов интегрирования использованы: 7 0 - кинетическая энергия системы в момент времени? 0 ; 7) - кинетическая энергия системы в момент времени t x .

Определенные интегралы по временному отрезку или A(F):

Замечание 1. Для вычисления работы иногда удобнее использовать не дуговую параметризацию траектории M(s), а координатную M(x{t), у(/), z(f)). В этом случае для элементарной работы естественно взять представление (11.11), а криволинейный интеграл представить в виде:

С учетом обозначения (11.14) работы на конечном перемещении равенство (11.13) принимает вид

и представляет собой конечную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема 3. Изменение кинетической энергии механической системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы на этом перемещении.

Замечание 2. В правой части равенства (11.16) учитываются работы всех сил , действующих на систему, как внешних, так и внутренних. Тем не менее существуют такие механические системы, для которых суммарная работа всех внутренних сил равна нулю. Эго гак называемые неизменяемые системы , у которых расстояния между взаимодействующими материальными точками не меняются. Например, система твердых тел, связанных шарнирами без трения или гибкими нерастяжимыми нитями. Для таких систем в равенстве (11.16) достаточно учесть лишь работы внешних сил, т.е. теорема (11.16) принимает вид: