Внутренние силы. Метод сечений

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела) которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

Мысленно разрезают тело по интересующему нас сечению.

Отбрасывают одну из частей (независимо какую).

Заменяют действие отброшенной части тела на оставшуюся системой сил, которые в данном случае переходят в разряд внешних. Силы упругости по принципу действия и противодействия всегда взаимны и представляют непрерывно распределенную по сечению систему сил. Их значение и ориентация в каждой точке сечения произвольны, зависят от ориентации сечения относительно тела, величины и направления внешних сил, геометрических размеров тела. Внутренние силы можно привести к главному векторуR и главному моменту М. За точку приведения обычно принимают центр тяжести сечения. Выбрав систему координат Х, У, Z (Z – продольная ось по нормали к поперечному сечению, Х и У – в плоскости этого сечения) и начало системы в центре тяжести, обозначим проекции главного вектора R на координатные оси через N, Q x , Q y , а проекции главного момента М – М х, М у, М k . Эти три силы и три момента называют внутренними силовыми факторами в сечении :

N – продольная сила,

Q x , Q y – поперечные силы,

M k – крутящий момент,

M x , M y – изгибающие моменты.

4. Так как внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

Р z =0, P y =0, P x =0,

 M x =0, M y =0, M z =0.

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних силовых факторов, действующих с одной стороны от сечения.

Внутренний силовой фактор в сечении численно равен интегральной сумме соответствующих элементарных внутренних сил или моментов по всей площади сечения:

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N, а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N. Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q, называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к, то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню возникает только изгибающий момент М х (или М у), то такой вид нагружения называют чистым изгибом в плоскости уz (или xz). Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у, называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением сжатием или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на всё тело и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Понятие о напряжениях

Величина внутренних силовых факторов не отражает интенсивности
напряженного состояния тела, близости к опасному состоянию (разрушению). Для оценки интенсивности внутренних сил вводится критерий (числовая мера), называемый напряжением. Если в поперечном сечении F некоторо-го тела выделим элементарную пло-щадку F, рис.1.1, в пределах которой выявлена внутрен-няя сила R, то за среднее напряжение на площадке F может быть принято отношение:

Истинное напряжение в точке можно определить, уменьшая площадку:

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке. Размерность напряжения принима-ется в Па (Паскаль) или МПа (Мегапас-каль). Полное напря-жение обычно в расчетах не применя-ется, а определяется его нормальная к сечению составля-ющая  - нормальное напряжение, и каса-тельные   ,   – касательные напряжения (рис.1.2). Полные напряжения, приходящиеся на единицу площади, можно выразить через нормальные и касательные напряжения:

Между действующими напряжениями и внутренними силовыми факторами существует следующая связь:

;

Нормальные и касательные напряжения являются функцией внутренних силовых факторов и геометрических характеристик сечения. Эти напряжения, вычисленные по соответствующим формулам, можно назвать фактическими или рабочими.

Наибольшее значение фактических напряжений ограничено предельным напряжением, при котором материал разрушается или появляются недопустимые пластические деформации. Первая из этих границ существует у любого хрупкого материала и называется пределом прочности ( в,  в), вторая имеет место только у пластичных материалов и называется пределом текучести ( т,  т). При действии циклически изменяющихся напряжениях разрушение происходит при достижении так называемого предела выносливости ( R ,  R), значительно меньшего, чем соответствующие пределы прочности.

Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость конструкций, сооружений, машин и механизмов.

Прочность – способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку не разрушаясь.

Жесткость - способность конструкции и ее элементов сопротивляться деформации (изменению формы и размеров).

Устойчивость - способность конструкции и ее элементов сохранять определенную начальную форму упругого равновесия.

Для того чтобы конструкции в целом отвечали требованиям прочности, жесткости и устойчивости, необходимо придать их элементам наиболее рациональную форму и определить соответствующие размеры. Сопротивление материалов решает указанные задачи, основываясь на теоретических и опытных данных.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики и математического анализа, используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов, материаловедения и других наук. К тому же сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Модели прочностной надежности

Оценка прочностной надежности элемента конструкции начинается с выбора расчетной модели (схемы). Моделью называют совокупность представлений, условий и зависимостей, описывающих объект, явление.

Модели материала.

В расчетах прочностной надежности материал детали представляют однородной сплошной средой, что позволяет рассматривать тело как непрерывную среду и применять методы математического анализа.

Под однородностью материал понимают независимость его свойств от размеров выделенного объема.

Расчетная модель материала наделяется такими физическими свойствами, как упругость, пластичность и ползучесть.

Упругость – свойство тела (детали) восстанавливать свою форму после снятия внешней нагрузки.

Пластичность – свойство тела сохранять после разгрузки полностью или частично деформацию, полученную при нагружении.

Ползучесть – свойство тела увеличивать со временем деформацию при действии внешних сил.

Модели формы.

Конструкции имеют в большинстве случаев сложную форму, отдельные элементы которой можно свести к основным типам:

1. Стержнем или брусом называют тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим.

Стержни могут быть с прямолинейными и криволинейными осями, а также постоянного или переменного сечения.

К прямым стержням относятся балки, оси, валы; к кривым – грузоподъемные крюки, звенья цепей и т.п.

2. Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами.

Оболочки бывают цилиндрические, конические, сферические. К оболочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, корпуса судов, обшивки фюзеляжей, крыльев и т.п.

3. Пластина - тело, ограниченное двумя плоскими или слабоизогнутыми поверхностями, имеющее малую толщину.

Пластинами являются плоские днища и крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений и т.п.

4. Массив или массивное тело – тело, у которого все три размера одного порядка.

Относятся: фундаменты сооружений, подпорные стенки и т.п.

Модели нагружения.

Силы являются мерой механического взаимодействия элементов конструкций. Силы бывают внешние и внутренние.

Внешние силы – это силы взаимодействия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.

Внешние силы бывают объемными и поверхностными.

Объемные силы – это силы инерции и силы тяжести. Они действуют на каждый бесконечно малый элемент объема.

Поверхностные силы обнаруживаются при контактном взаимодействии данного тела с другими телами.

Поверхностные силы бывают сосредоточенными и распределенными.

Р – сосредоточенная сила, Н. Она действует на небольшую часть поверхности тела.

q – интенсивность распределенной нагрузки, Н/м.

Внешние силы могут быть представлены в виде сосредоточенного момента М (Н·м) или распределенного момента m (Н·м/м).

По характеру изменения во времени нагрузки подразделяют на статические и переменные.

Статической называют нагрузку, которая медленно возрастает от нуля до своего номинального значения и остается постоянной в процессе работы детали.

Переменной называют нагрузку, периодически меняющуюся во времени.

Модели разрушения.

Моделям нагружения соответствуют модели разрушения – уравнения (условия), связывающие параметры работоспособности элемента конструкции в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность.

В зависимости от условий нагружения рассматривают модели разрушения: статического , малоциклового и усталостного (многоциклового).

Внутренние силы. Метод сечений

Взаимодействие между частями (частицами) внутри элемента конструкции характеризуется внутренними силами.

Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия (связей), возникающие при воздействии на тело внешних нагрузок.

Практика показывает, что внутренние силы определяют прочностную надежность детали (тела).

Для нахождения внутренних сил используют метод сечений . Для этого мысленно рассекают тело на две части, одну часть отбрасывают, другую рассматривают совместно с внешними силами. Внутренние силы распределены по сечению некоторым сложным образом. Поэтому систему внутренних сил приводят к центру тяжести сечения, чтобы можно было определить главный вектор и главный момент М внутренних сил, действующих по сечению. Затем раскладываем главный вектор и главный момент на составляющие по трем осям и получаем внутренние силовые факторы сечения: составляющая N z называется нормальной , или продольной си­лой в сечении, силы Q x и Q y называются поперечными силами , момент M z (или M к ) называется крутящим моментом , а моменты M х и M y - изгибающими моментами относительно осей х и y , соответственно.

Таким образом, если внешние силы заданы, то внутренние силовые факторы вычисляются как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела.

После определения числовых значений внутренних сил строят эпюры – графики (диаграммы), показывающие как изменяются внутренние силы при переходе от сечения к сечению.

Взаимодействие между частями конструкции (тела) характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри нее под действием внешних нагрузок.

Определяются внутренние силы с помощью метода сечений . Суть метода сечения в следующем: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также будет находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия. То есть, не влияют на условия равновесия тела, так как являются самоуравновешенными.

Рассмотрим тело, к которому приложена некоторая система внешних сил F 1 , F 2 , …, F n , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия. Если необходимо, то определяются опорные реакции из уравнений равновесия (берем объект, отбрасываем связи, заменяем отброшенные связи реакциями, составляем уравнения равновесия и ). Реакции можно не находить, если они не входят в число внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.

Мысленно рассекаем тело произвольным сечением, отбрасываем левую часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся части.

Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил. Для сохранения равновесия, действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами приложенными к каждой частице тела.

Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора сил \vec{R} и главного момента сил \vec{M} (теорема Пуансо). Модуль и направление этих векторов неизвестны.

Удобнее всего определять эти вектора через их проекции на оси x,y,z. $$\vec{R} = \vec{N} + \vec{Q_x}+\vec{Q_y}, \ \ \vec{M} = \vec{M_k} + \vec{M_x}+\vec{M_y} $$ или

Проекции векторов \vec{R} и \vec{M} носят следующие названия:

• N - продольное усилие,
• Q x и Q y - поперечные (перерезывающие) силы соответственно вдоль осей x и y,
• M k - крутящий момент (обозначается иногда буквой T),
• M x , M y - изгибающие моменты соответственно вокруг осей x и y

В общем случае для определения внутренних усилий имеем 6 неизвестных, которые можно определить из 6 уравнений равновесия.

где \sum F_i, \sum M(F)_i – внешние силы и моменты, действующие на оставленную часть тела.

Решив систему из 6-и уравнений с 6-ю неизвестными, определяем все внутренние усилия. В сечении могут присутствовать не все шесть внутренних
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения.

Пример: для стержня

Общее правило определения любого внутреннего усилия:

Усилия Q x , Q y , N равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси x, y или z .

Моменты M x , M y , M k равняются алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно относительно осей x, y или z, проходящих через центр тяжести выбранного сечения.

При использовании приведенного правила необходимо принять правило знаков для внутренних усилий.

Правило знаков

• Нормальная растягивающая сила (направлена от сечения) считается положительной, а сжимающая – отрицательной.
• Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
• Положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному – снизу.
• Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения: если по часовой стрелке - сила считается положительной, против часовой стрелки - отрицательной.

1 График изменения внутреннего усилия по заданной оси тела называется эпюрой.

Находящемся в равновесии под действием .

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б ). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Внутри любого материала имеются внутренние междуатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. В сопротивлении материалов они называются просто внутренними силами.

Внутренние силы – силы взаимодействия между отдельными элементами конструкций или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Чтобы численно установить величину внутренних сил пользуются методом сечений.

Метод сечений сводится к четырем действиям:

Рис. 7

Отбрасывают любую отрезанную часть тела (желательно наиболее сложную), а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии (рис.8);

Рис. 8

Полученные силы (N, Qy, Qz) (рис. 9) и моменты (Мк, Мy, Mz) называют внутренними силовыми факторами в сечении

Рис. 9

Для внутренних силовых факторов приняты следующие названия:

-продольная или осевая сила;

и-поперечные силы ;

-крутящий момент ;

и
-изгибающие моменты .

Находят внутренние силовые факторы, составляя шесть уравнений равновесия статики для рассматриваемой части рассеченного тела.

Напряжение

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку
и предположить, что внутренние силы, приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и направлению, то равнодействующая их
будет проходить через центр тяжести элемента
(рис. 10).

Рис. 10

Проекциями
на оси,ибудут элементарная продольная сила
, и элементарные поперечные силы
и
.

Разделим эти элементарные силы на площадь
, получим величины, называемые напряжениями в точке проведенного сечения.

;
;
,

где - нормальное напряжение;- касательное напряжение.

Напряжение – внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжение измеряется в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему – (кПа, МПа)

Иногда кроме нормальных и касательных напряжений рассматривают еще и полное напряжение

Понятие «напряжение » играет очень важную роль в расчетах на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления материалов отводится изучению способов вычисления напряженийи.

Растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая и сжимающая) а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Продольные силы определяются с помощью метода сечений.

Пример

Пусть имеется ступенчатый стержень, нагруженный силами
,
и
вдоль оси стержня, показанного на рис. 11, а. Определить величину продольных сил.

Решение . Стержень может быть разделен на участки по местам приложения нагрузок и по местам изменения поперечного сечения.

Первый участок ограничен точками приложения сил и. Направим ось(начало первого участка). Мысленно рассечем первый участок поперечным сечением на расстоянииот начала первого участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина первого участка.

;
, кН

Положительный знак продольной силы говорит о том, что первый участок растянут.

Значение продольной силы не зависит от координаты , поэтому на всем участке значение продольной силы постоянно и равно.

Рис. 11

Второй участок ограничен точками приложения сил и. Направим осьвдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы(начало второго участка).

Мысленно рассечем второй участок поперечным сечением на расстоянии от начала второго участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина второго участка.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой
, предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.

Из условия равновесия статики:

;

Знак минус говорит о том, что второй участок сжат.

Аналогично для третьего участка:

;

Полученные результаты для большей наглядности удобней представить в виде графика (эпюры N ), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис.1.11, д). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а в нутрии эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («N») и через запятую - единицы измерения (кН)