Questa legge, chiamata la legge gravità, in forma matematica si scrive così:
dove m 1 e m 2 sono le masse dei corpi, R è la loro distanza (vedi Fig. 11a), e G è la costante gravitazionale pari a 6.67.10-11 N.m 2 /kg2.
La legge della gravitazione universale fu formulata per la prima volta da I. Newton quando cercò di spiegare una delle leggi di I. Keplero, che afferma che per tutti i pianeti il rapporto tra il cubo della loro distanza R dal Sole e il quadrato del periodo T di la rivoluzione attorno ad esso è la stessa, cioè
Deriviamo la legge di gravitazione universale come fece Newton, supponendo che i pianeti si muovano in circolo. Quindi, secondo la seconda legge di Newton, un pianeta di massa mPl che si muove lungo un cerchio di raggio R con velocità v e accelerazione centripeta v2/R deve subire l'azione di una forza F diretta verso il Sole (vedi Fig. 11b) e pari a:
La velocità v del pianeta può essere espressa in termini di raggio R dell'orbita e periodo di rivoluzione T:
Sostituendo la (11.4) nella (11.3) otteniamo la seguente espressione per F:
Dalla legge di Keplero (11.2) segue che T2 = const.R3 . Pertanto, la (11.5) può essere trasformata in:
Pertanto, il Sole attrae il pianeta con una forza direttamente proporzionale alla massa del pianeta e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. La formula (11.6) è molto simile alla (11.1), manca solo la massa del Sole nel numeratore della frazione a destra. Tuttavia, se la forza di attrazione tra il Sole e il pianeta dipende dalla massa del pianeta, allora questa forza deve dipendere anche dalla massa del Sole, il che significa che la costante a destra della (11.6) contiene la massa del Sole come uno dei fattori. Pertanto, Newton avanzò la sua famosa ipotesi che la forza gravitazionale dovesse dipendere dal prodotto delle masse dei corpi e la legge divenne il modo in cui l'abbiamo scritta in (11.1).
La legge di gravitazione universale e la terza legge di Newton non si contraddicono a vicenda. Secondo la formula (11.1), la forza con cui il corpo 1 attrae il corpo 2 è uguale alla forza con cui il corpo 2 attrae il corpo 1.
Per corpi di dimensioni ordinarie, le forze gravitazionali sono molto piccole. Quindi due auto adiacenti sono attratte l'una dall'altra con una forza pari al peso di una goccia di pioggia. Da quando G. Cavendish nel 1798 determinò il valore della costante gravitazionale, la formula (11.1) ha contribuito a fare molte scoperte nel "mondo di enormi masse e distanze". Ad esempio, conoscendo l'accelerazione caduta libera(g=9.8 m/s2) e raggio della Terra (R=6.4.106 m), la sua massa m3 può essere calcolata come segue. Ogni corpo di massa m1 vicino alla superficie della Terra (cioè a distanza R dal suo centro) risente della forza gravitazionale della sua attrazione pari a m1g, la cui sostituzione nella (11.1) al posto di F dà:
da cui si ricava che m З = 6,1024 kg.
Domande di revisione:
· Formulare la legge di gravitazione universale?
· Qual è la costante gravitazionale?
Riso. 11. (a) - alla formulazione della legge di gravitazione universale; (b) - alla derivazione della legge di gravitazione universale dalla legge di Keplero.
§ 12. FORZA DI GRAVITÀ. IL PESO. ASSENZA DI PESO. PRIMA VELOCITÀ SPAZIALE.
dove G=6.67×10 -11 N×m 2 /kg 2 è la costante gravitazionale universale.
Questa legge è chiamata legge di gravitazione universale.
La forza con cui i corpi sono attratti dalla Terra si chiama gravità. La caratteristica principale della gravità è il fatto sperimentale che questa forza tutti i corpi, indipendentemente dalla loro massa, riporta la stessa accelerazione diretta al centro della Terra.
Ne consegue che l'antico filosofo greco Aristotele si sbagliava quando affermava che i corpi pesanti cadono sulla Terra più velocemente di quelli leggeri. Non ha tenuto conto del fatto che oltre alla forza di gravità, il corpo è influenzato dalla forza di resistenza contro l'aria, che dipende dalla forma del corpo.
Un proiettile di moschetto e una pesante palla di cannone lanciata dal fisico italiano Galileo Galilei con famosa torre 54,5 m di altezza, situato nella città di Pisa, ha raggiunto la superficie terrestre quasi contemporaneamente, cioè cadde con la stessa accelerazione (Fig. 4.27).
I calcoli effettuati da G. Galileo hanno dimostrato che l'accelerazione acquisita dai corpi sotto l'influenza della gravità terrestre è di 9,8 m/s 2 .
Ulteriori esperimenti più accurati furono condotti da I. Newton. Prese un lungo tubo di vetro, nel quale mise una pallina di piombo, sughero e piuma (Fig. 4.28).
Questo tubo è ora chiamato "tubo di Newton". Capovolgendo il tubo, vide che cadeva prima la palla, poi il tappo e solo allora la piuma. Se, tuttavia, l'aria viene prima evacuata dal tubo mediante una pompa, dopo aver capovolto il tubo tutti i corpi cadranno contemporaneamente sul fondo del tubo. E questo significa che nel secondo caso tutti i corpi hanno aumentato la loro velocità allo stesso modo, cioè ottenere la stessa accelerazione. E questa accelerazione è stata impartita loro da un'unica forza: la forza di attrazione dei corpi sulla Terra, ad es. gravità. I calcoli effettuati da Newton confermarono la correttezza dei calcoli di G. Galileo, che ottenne anche il valore dell'accelerazione acquisita dai corpi in caduta libera nel "tubo di Newton", pari a 9,8 m/s 2 . Questa accelerazione costante è chiamata accelerazione in caduta libera sulla Terra ed è indicato dalla lettera g(dalla parola latina "gravitas" - pesantezza), cioè g \u003d 9,8 m / s 2.
La caduta libera è intesa come il movimento di un corpo che avviene sotto l'influenza di un'unica forza: la gravità (le forze di resistenza contro l'aria non vengono prese in considerazione).
Su altri pianeti o stelle, il valore di questa accelerazione è diverso, poiché dipende dalle masse e dai raggi dei pianeti e delle stelle.
Ecco i valori dell'accelerazione in caduta libera su alcuni pianeti sistema solare e sulla luna:
1. Sole g = 274 N/kg
2. Venere g \u003d 8,69 N / kg
3. Marte g = 3,86 N/kg
4. Giove g = 23 N/kg
5. Saturno g = 9,44 N/kg
6. Luna (satellite terrestre) g = 1.623 N/kg
Come si può spiegare il fatto che l'accelerazione di tutti i corpi che cadono liberamente sulla Terra è la stessa? Dopotutto, maggiore è la massa del corpo, maggiore è la forza di gravità che agisce su di esso. Tu ed io sappiamo che 1 N è una forza che imprime un'accelerazione pari a 1 m / s 2 a un corpo con una massa di 1 kg. Allo stesso tempo, gli esperimenti di G. Galileo e I. Newton hanno dimostrato che la gravità cambia la velocità di qualsiasi corpo 9,8 volte di più. Di conseguenza, una forza di 9,8 N agisce su un corpo con una massa di 1 kg, e una forza di gravità pari a 19,6 N agirà su un corpo con una massa di 2 kg, ecc. Cioè, maggiore è la massa del corpo, maggiore sarà la forza di gravità che agirà su di esso e il coefficiente di proporzionalità sarà un valore pari a 9,8 N / kg. Quindi sembrerà la formula per calcolare la forza di gravità o dentro vista generale:
Misurazioni accurate hanno dimostrato che l'accelerazione della caduta libera diminuisce con l'altezza e cambia leggermente con i cambiamenti di latitudine a causa del fatto che la Terra non è un corpo strettamente sferico (è leggermente appiattito ai poli). Inoltre, può dipendere dalla posizione geografica sul pianeta, poiché la densità delle rocce che compongono lo strato superficiale della Terra è diversa. Ultimo fatto permette di scoprire giacimenti minerari.
Ecco alcuni valori dell'accelerazione in caduta libera sulla Terra:
1. Al Polo Nord g = 9,832 N/kg
2. All'equatore g = 9,780 N/kg
3. Alla latitudine 45 circa g \u003d 9,806 N / kg
4. A livello del mare g = 9,8066 N/kg
5. Al picco Khan-Tengri, alto 7 km, g = 9,78 N/kg
6. Ad una profondità di 12 km g = 9,82 N/kg
7. Ad una profondità di 3000 km g = 10,20 N/kg
8. Ad una profondità di 4500 km g = 6,9 N/kg
9. Al centro della Terra g = 0 N/kg
L'attrazione della Luna porta alla formazione di flussi e riflussi nei mari e negli oceani sulla Terra. La marea in mare aperto è di circa 1 me al largo della baia di Fundy nell'Oceano Atlantico raggiunge i 18 metri.
La distanza dalla Terra alla Luna è enorme: circa 384.000 km. Ma la forza gravitazionale tra la Terra e la Luna è grande e ammonta a 2 × 10 20 N. Ciò è dovuto al fatto che le masse della Terra e della Luna sono grandi.
In caso di risoluzione dei problemi, se non ci sono particolari riserve, il valore di 9,8 N/kg può essere arrotondato a 10 N/kg.
Il ritardo dei pendoli dell'orologio sincronizzati al primo piano di un grattacielo è associato a una variazione del valore g. Dal valore g diminuisce all'aumentare dell'altezza, quindi l'orologio all'ultimo piano inizierà a rimanere indietro.
Esempio. Determinare la forza con cui un secchio di acciaio del peso di 500 g, con un volume di 12 litri, completamente riempito d'acqua, preme sul supporto.
La forza di gravità è uguale alla somma della forza di gravità del secchio stesso, pari a F heavy1 = m 1 g, e la gravità dell'acqua versata nel secchio, pari a F heavy1 = m 2 g= ρ2 v 2 g, cioè.
filo F = m 1 g+ p2 v 2 g
Sostituendo valori numerici otteniamo:
F trefolo \u003d 0,5 kg 10N / kg + 10 3 kg / m 3 12 10 -3 m 3 10N / kg = \u003d 125 N.
Risposta: filo F = 125 N
Domande per l'autocontrollo:
1. Quale forza è chiamata gravitazionale? Qual è la ragione di questo potere?
2. Cosa dice la legge di gravitazione universale?
3. Quale forza si chiama gravità? Qual è la sua caratteristica principale?
4. La gravità esiste su altri pianeti? Giustifica la risposta.
5. A quale scopo G. Galileo condusse esperimenti sulla Torre Pendente di Pisa?
6. Cosa ci dimostrano gli esperimenti condotti da Newton con il "tubo di Newton"?
7. Quale accelerazione è chiamata accelerazione di caduta libera?
8. Hai due fogli di carta identici. Perché un foglio accartocciato cade a terra più velocemente, nonostante ogni foglio abbia la stessa forza di gravità?
9. Qual è la differenza fondamentale nella spiegazione della caduta libera di Aristotele e Newton?
10. Fai una presentazione su come Aristotele, Galileo e Newton studiarono la caduta libera.
"I corpi sono attratti l'uno dall'altro con una forza il cui modulo è proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro." A chi appartiene questa dichiarazione? "I corpi sono attratti l'uno dall'altro con una forza il cui modulo è proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro." A chi appartiene questa dichiarazione? Galileo Galilei Galileo Galilei Newton Newton Archimede Archimede Torricelli Torricelli
La legge... è la seguente: La legge... è la seguente: "La pressione nei liquidi e nei gas si trasmette senza variazioni ad ogni punto del liquido o del gas". "La pressione nei liquidi e nei gas viene trasmessa senza modifiche a ogni punto del liquido o del gas." Archimede Archimede Newton Newton Pascal Pascal Ampere Ampere
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Sir Isaac Newton, colpito alla testa con una mela, dedusse la legge di gravitazione universale, che recita:
Due corpi qualsiasi sono attratti l'uno dall'altro con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse del corpo e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro:
F = (Gm 1 m 2)/R 2 , dove
m1, m2- masse di corpi
R- distanza tra i centri dei corpi
G \u003d 6,67 10-11 Nm 2 / kg- costante
Determiniamo l'accelerazione della caduta libera sulla superficie della Terra:
F g = m corpo g = (Gm corpo m Terra)/R 2
R (raggio della Terra) = 6,38 10 6 m
m Terra = 5,97 10 24 kg
m corpo g = (Gm corpo m Terra)/R 2 o g \u003d (Gm Earth) / R 2
Si noti che l'accelerazione di gravità non dipende dalla massa del corpo!
g \u003d 6,67 10 -11 5,97 10 24 / (6,38 10 6) \u003d 398,2 / 40,7 \u003d 9,8 m / s 2
Abbiamo detto prima che si chiama la forza di gravità (attrazione gravitazionale). pesatura.
Sulla superficie della Terra, peso e massa di un corpo hanno lo stesso significato. Ma man mano che ci si allontana dalla Terra, il peso del corpo diminuirà (poiché la distanza tra il centro della Terra e il corpo aumenterà) e la massa rimarrà costante (poiché la massa è espressione dell'inerzia del corpo) . La massa è misurata in chilogrammi, ingrassare newton.
Grazie alla forza di gravità, i corpi celesti ruotano l'uno rispetto all'altro: la Luna intorno alla Terra; Terra intorno al Sole; Il Sole attorno al centro della nostra Galassia, ecc. In questo caso, i corpi sono trattenuti dalla forza centrifuga, fornita dalla forza di gravità.
Lo stesso vale per i corpi artificiali (satelliti) che ruotano attorno alla Terra. Il cerchio lungo il quale ruota il satellite è chiamato orbita di rotazione.
In questo caso la forza centrifuga agisce sul satellite:
F c \u003d (m satellite V 2) / R
Forza di gravità:
F g \u003d (Gm satellite m della Terra) / R 2
F c \u003d F g \u003d (m satellite V 2) / R \u003d (Gm satellite m Terra) / R 2
V2 = (Gm Terra)/R; V = √(Gm Terra)/R
Usando questa formula, puoi calcolare la velocità di qualsiasi corpo che ruota in un'orbita con un raggio R intorno alla Terra.
Il satellite naturale della Terra è la Luna. Determiniamo la sua velocità lineare in orbita:
Massa della Terra = 5,97 10 24 kg
Rè la distanza tra il centro della terra e il centro della luna. Per determinare questa distanza, dobbiamo aggiungere tre grandezze: il raggio della Terra; il raggio della luna; distanza dalla terra alla luna.
R luna = 1738 km = 1,74 10 6 m
R terra \u003d 6371 km \u003d 6,37 10 6 m
R zl \u003d 384400 km \u003d 384,4 10 6 m
La distanza totale tra i centri dei pianeti: R = 392,5 10 6 m
Velocità lineare della luna:
V \u003d √ (Gm della Terra) / R \u003d √6,67 10 -11 5,98 10 24 / 392,5 10 6 \u003d 1000 m / s \u003d 3600 km / h
La luna si muove in un'orbita circolare attorno alla terra velocità lineare in 3600 chilometri all'ora!
Determiniamo ora il periodo di rivoluzione della Luna intorno alla Terra. Durante il periodo di rivoluzione, la Luna supera una distanza pari alla lunghezza dell'orbita - 2πR. Velocità orbitale della luna: V = 2πR/T; Dall'altro lato: V = √(Gm Terra)/R:
2πR/T = √(Gm Terra)/R quindi T = 2π√R 3 /Gm Terra
T \u003d 6,28 √ (60,7 10 24) / 6,67 10 -11 5,98 10 24 \u003d 3,9 10 5 s
Il periodo di rivoluzione della Luna intorno alla Terra è di 2.449.200 secondi, o 40.820 minuti, o 680 ore, o 28,3 giorni.
1. Rotazione verticale
In precedenza nei circhi c'era un trucco molto popolare in cui un ciclista (motociclista) faceva un giro completo all'interno di un cerchio situato verticalmente.
Qual è la velocità minima che deve avere l'imbroglione per non cadere nel punto più alto?
Per superare il punto più alto senza cadere, il corpo deve avere una velocità che lo crei forza centrifuga per compensare la forza di gravità.
Forza centrifuga: F c \u003d mV 2 / R
Gravità: F g = mg
F c \u003d F g; mV 2 /R = mg; V = √Rg
E ancora, nota che non c'è massa corporea nei calcoli! Va notato che questa è la velocità che dovrebbe avere il corpo in alto!
Diciamo che nell'arena del circo è ambientato un cerchio con un raggio di 10 metri. Calcoliamo la velocità sicura per il trucco:
V = √Rg = √10 9,8 = 10 m/s = 36 km/h
Nel corso di fisica della seconda media hai studiato il fenomeno della gravitazione universale. Sta nel fatto che tra tutti i corpi dell'universo ci sono forze di attrazione.
Newton è giunto alla conclusione sull'esistenza di forze gravitazionali universali (sono anche chiamate forze gravitazionali) come risultato dello studio del movimento della Luna attorno alla Terra e dei pianeti attorno al Sole.
Il merito di Newton non sta solo nella sua brillante congettura sull'attrazione reciproca dei corpi, ma anche nel fatto che è stato in grado di trovare la legge della loro interazione, cioè la formula per calcolare forza gravitazionale tra due corpi.
La legge di gravità dice:
- due corpi qualsiasi sono attratti l'uno dall'altro con una forza direttamente proporzionale alla massa di ciascuno di essi e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro
dove F è il modulo del vettore forza di attrazione gravitazionale tra corpi di massa m 1 e m 2, r è la distanza tra i corpi (i loro centri); G è il coefficiente, che viene chiamato costante gravitazionale.
Se m 1 \u003d m 2 \u003d 1 kg e g \u003d 1 m, allora, come si può vedere dalla formula, la costante gravitazionale G è numericamente uguale alla forza F. In altre parole, la costante gravitazionale è numericamente uguale alla forza F di attrazione di due corpi di massa 1 kg posti a 1 m di distanza l'uno dall'altro. Le misurazioni lo dimostrano
G \u003d 6,67 10-11 Nm 2 / kg 2.
La formula fornisce un risultato accurato nel calcolo della forza di gravitazione universale in tre casi: 1) se le dimensioni dei corpi sono trascurabilmente piccole rispetto alla distanza tra loro (Fig. 32, a); 2) se entrambi i corpi sono omogenei e hanno una forma sferica (Fig. 32, b); 3) se uno dei corpi interagenti è una palla, le cui dimensioni e massa sono molto più grandi di quelle del secondo corpo (di qualsiasi forma) situato sulla superficie di questa palla o vicino ad essa (Fig. 32, c).
Riso. 32. Condizioni che determinano i limiti di applicabilità della legge di gravitazione universale
Il terzo dei casi considerati è la base per calcolare la forza di attrazione sulla Terra di uno qualsiasi dei corpi situati su di essa utilizzando la formula sopra. In questo caso, il raggio della Terra dovrebbe essere preso come distanza tra i corpi, poiché le dimensioni di tutti i corpi situati sulla sua superficie o vicino ad essa sono trascurabili rispetto al raggio terrestre.
Secondo la terza legge di Newton, una mela appesa a un ramo o che cade da esso con l'accelerazione della caduta libera attira a sé la Terra con lo stesso modulo di forza con cui la Terra la attrae. Ma l'accelerazione della Terra, causata dalla forza della sua attrazione per la mela, è prossima allo zero, poiché la massa della Terra è incommensurabilmente maggiore della massa della mela.
Domande
- Quella che si chiamava gravitazione universale?
- Qual è un altro nome per la forza di gravità?
- Chi e in quale secolo ha scoperto la legge di gravitazione universale?
- Formulare la legge di gravitazione universale. Scrivi una formula che esprima questa legge.
- In quali casi dovrebbe essere applicata la legge di gravitazione universale per calcolare le forze gravitazionali?
- La Terra è attratta da una mela appesa a un ramo?
Esercizio 15
- Fornisci esempi della manifestazione della forza di gravità.
- La stazione spaziale vola dalla Terra alla Luna. Come cambia in questo caso il modulo del vettore della forza della sua attrazione verso la Terra; alla luna? La stazione è attratta dalla Terra e dalla Luna con forze di modulo uguali o diverse quando si trova nel mezzo tra di loro? Se le forze sono diverse, quale è maggiore e di quante volte? Giustifica tutte le risposte. (È noto che la massa della Terra è circa 81 volte la massa della Luna.)
- È noto che la massa del Sole è 330.000 volte la massa della Terra. È vero che il Sole attrae la Terra 330.000 volte più forte di quanto la Terra attragga il Sole? Spiega la risposta.
- La palla lanciata dal ragazzo si è spostata verso l'alto per un po'. Allo stesso tempo, la sua velocità è diminuita continuamente fino a diventare uguale a zero. Quindi la palla iniziò a cadere con velocità crescente. Spiega: a) se la forza di attrazione verso la Terra ha agito sulla palla durante il suo movimento verso l'alto; fino in fondo; b) cosa ha causato la diminuzione della velocità della palla quando si alza; aumentando la sua velocità quando si scende; c) perché, quando la palla sale, la sua velocità diminuisce e quando scende, aumenta.
- Una persona in piedi sulla Terra è attratta dalla Luna? Se sì, allora da cosa è attratto di più: dalla Luna o dalla Terra? La luna è attratta da questa persona? Giustificare le risposte.