A matematikában sokféle matematikai kifejezés létezik, és némelyiknek saját rögzített neve van. Meg kell ismerkednünk az egyik ilyen fogalommal – ez egy monom.

A monomiális olyan matematikai kifejezés, amely számok, változók szorzatából áll, amelyek mindegyike bizonyos mértékig beépíthető a szorzatba. Az új koncepció jobb megértése érdekében több példát is meg kell ismernie.

Példák a monomokra

Kifejezések 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 egyszemélyesek. Amint láthatja, egy szám vagy egy változó önmagában (hatalommal vagy anélkül) szintén monom. De például a 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 kifejezések már nem monomiálisak mert nem felelnek meg a definíciónak. Az első kifejezés az „összeg” kifejezést használja, ami nem megengedett, a második az „osztást”, a harmadik pedig a különbséget.

Fontolgat még néhány példa.

Például a 2*a^3*b/3 kifejezés is monomiális, bár ott van osztás. De ebben az esetben az osztás egy számmal történik, ezért a megfelelő kifejezés a következőképpen írható át: 2/3*a^3*b. Még egy példa: A 2/x és x/2 kifejezések közül melyik monomiális és melyik nem? helyesen válaszolja meg, hogy az első kifejezés nem monomiális, hanem a második.

A monom szabványos formája

Tekintse meg a következő két monomiális kifejezést: ¾*a^2*b^3 és 3*a*1/4*b^3*a. Valójában ez két egyforma monom. Nem igaz, hogy az első kifejezés kényelmesebbnek tűnik, mint a második?

Ennek az az oka, hogy az első kifejezés szabványos formában van írva. A polinom standard formája egy számszerű tényezőből és különböző változók hatványaiból álló szorzat. A numerikus tényezőt monomiális együtthatónak nevezzük.

Ahhoz, hogy a monomot a szabványos formájába hozzuk, elegendő a monomban jelenlévő összes numerikus tényezőt megszorozni, és a kapott számot az első helyre tenni. Ezután szorozzuk meg az azonos betűalappal rendelkező hatványokat.

Egy monom visszaszorítása szabványos formájára

Ha a példánkban a második kifejezésben az összes numerikus tényezőt megszorozzuk 3 * 1/4-gyel, majd megszorozzuk a * a-t, akkor megkapjuk az első monomit. Ezt a műveletet a monom szabványos formájára való visszaállításának nevezik.

Ha két monom csak numerikus együtthatóban különbözik, vagy egyenlő egymással, akkor az ilyen monomokat a matematikában hasonlónak nevezik.

A mononomok az egyik fő kifejezéstípus, amelyet az iskolai algebratanfolyam részeként tanulmányoznak. Ebben az anyagban elmondjuk, mik ezek a kifejezések, meghatározzuk standard formájukat és példákat mutatunk be, valamint foglalkozunk a kapcsolódó fogalmakkal, mint például a monom mértéke és együtthatója.

Mi az a monomiális

Az iskolai tankönyvek általában a következő meghatározást adják ennek a fogalomnak:

1. definíció

A monomerek közé tartozik számok, változók, valamint ezek fokozatai természetes mutatóés különböző típusok belőlük készült alkotások.

E meghatározás alapján tudunk példákat mondani ilyen kifejezésekre. Tehát minden 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 szám monomokra fog vonatkozni. Minden változó, például x , a , b , p , q , t , y , z definíció szerint szintén monom lesz. Ez magában foglalja a változók és számok hatványait is, például 6 3 , (− 7 , 41 ) 7 , x 2 és t 15, valamint olyan kifejezéseket, mint 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z stb. Kérjük, vegye figyelembe, hogy egy monom tartalmazhat egy számot vagy változót, vagy több, és többször is megemlíthető egy polinom részeként.

Az olyan típusú számok, mint az egész számok, a racionális számok, a természetesek, szintén a monomokhoz tartoznak. Tartalmazhat valódi és komplex számok. Tehát az olyan kifejezések, mint a 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3, szintén monomiálisak lesznek.

Mi a monomiális standard formája, és hogyan alakíthatunk át kifejezést erre

A kényelem kedvéért minden monom először ide vezet különleges fajta szabványnak nevezik. Pontosítsuk, mit jelent ez.

2. definíció

A monom szabványos formája nevezzük olyan alaknak, amelyben egy numerikus tényező szorzata és természetes fokok különböző változók. A numerikus tényezőt, más néven monomiális együtthatót általában először a bal oldalról írják fel.

Az áttekinthetőség kedvéért kiválasztunk több standard alakú monomit: 6 (ez egy változó nélküli monom), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7 . Ide tartozik a kifejezés is x y(itt az együttható 1 lesz), − x 3(itt az együttható - 1).

Most példákat adunk azokra a monomokra, amelyeket szabványos formába kell hozni: 4 a 2 a 3(itt ugyanazokat a változókat kell kombinálni), 5 x (− 1) 3 y 2(itt össze kell kapcsolni a bal oldali numerikus tényezőket).

Általában abban az esetben, ha egy monominál több változó is van betűkkel írva, a betűtényezőket ábécé sorrendben írjuk. Például a preferált bejegyzés 6 a b 4 c z 2, hogyan b 4 6 a z 2 c. A sorrend azonban ettől eltérő lehet, ha a számítás célja ezt megkívánja.

Bármely monom lecsökkenthető szabványos formára. Ehhez el kell végeznie az összes szükséges azonos átalakítást.

A monomiális fok fogalma

A monomiális fok kísérő fogalma nagyon fontos. Írjuk le ennek a fogalomnak a definícióját.

3. definíció

A monom mértéke, szabványos formában írva, a rekordjában szereplő összes változó kitevőjének összege. Ha nincs benne egyetlen változó sem, és maga a monom eltér 0-tól, akkor a foka nulla lesz.

Mondjunk példákat a monomiális fokokra.

1. példa

Tehát az a monomiumnak 1 foka van, mert a = a 1 . Ha van egy monomunk 7, akkor annak nulla foka lesz, mivel nincs változója és különbözik 0-tól. És itt a bejegyzés 7 a 2 x y 3 a 2 8. fok monomija lesz, mert a benne szereplő változók összes fokának kitevőinek összege 8 lesz: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

A szabványosított monom és az eredeti polinom azonos fokszámú lesz.

2. példa

Mutatjuk, hogyan kell kiszámítani a monom fokát 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 év. Szabványos formában így írható − 6 x 8 év 4. Kiszámoljuk a fokozatot: 8 + 4 = 12 . Ezért az eredeti polinom foka is egyenlő 12-vel.

A monomiális együttható fogalma

Ha van egy szabványosított monomiunk, amely legalább egy változót tartalmaz, akkor egy számtényezős szorzatként beszélünk róla. Ezt a tényezőt numerikus együtthatónak vagy monomiális együtthatónak nevezik. Írjuk le a definíciót.

4. definíció

A monom együtthatója a monom numerikus tényezője szabványos alakra redukálva.

Vegyük például a különböző monomok együtthatóit.

3. példa

Tehát a kifejezésben 8 és 3 az együttható a 8-as szám lesz, és in (− 2 , 3) ​​× y z fognak − 2 , 3 .

Különös figyelmet kell fordítani az egy és mínusz egy együtthatókra. Általában nincsenek kifejezetten feltüntetve. Úgy gondolják, hogy egy szabványos formájú monomban, amelyben nincs numerikus tényező, az együttható 1, például az a, x z 3, a t x kifejezésekben, mivel ezek 1 a, x z 3 -nak tekinthetők. mint 1 x z 3 stb.

Hasonlóképpen, azoknál a monomoknál, amelyeknek nincs numerikus tényezője, és amelyek mínusz előjellel kezdődnek, figyelembe vehetjük az -1 együtthatót.

4. példa

Például a − x, − x 3 y z 3 kifejezéseknek lesz ilyen együtthatója, mivel ezek a következőképpen ábrázolhatók: − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 stb.

Ha egy monomiálisnak egyáltalán nincs egyetlen literális szorzója, akkor ebben az esetben is lehet együtthatóról beszélni. Az ilyen monomiális számok együtthatói maguk ezek a számok lesznek. Így például a 9 monom együtthatója 9 lesz.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A monom fogalma

A monomiális definíció: A monom egy algebrai kifejezés, amely csak szorzást használ.

A monom szabványos formája

Mi a monomiális standard formája? A monomot szabványos formában írjuk, ha numerikus tényezője van először és ez a tényező, akkor a monom együtthatójának nevezzük, a monomban csak egy van, a monom betűi ábécé sorrendbe vannak rendezve és minden betű csak egyszer fordul elő.

Példa egy szabványos formájú monomióra:

itt az első helyen a szám, a monom együtthatója van, és ez a szám csak egy a mi monomunkban, minden betű csak egyszer fordul elő, és a betűk ábécé sorrendbe vannak rendezve, jelen esetben ez a latin ábécé.

Egy másik példa a szabványos formájú monomokra:

minden betű csak egyszer fordul elő, latin ábécé sorrendben vannak, de hol van a monomiális együtthatója, i.e. számtényező, aminek elsőnek kell lennie? Itt egyenlő eggyel: 1adm.

Lehet-e negatív a monomiális együttható? Igen, talán, például: -5a.

Lehet-e egy monomiális együttható tört? Igen, talán, például: 5.2a.

Ha a monomiális csak egy számból áll, pl. nem tartalmaz betűket, hogyan lehet szabványos űrlapra hozni? Bármely szám, amely szám, már szabványos formában van, például: az 5-ös szám szabványos formájú monom.

A monomok szabványos formára való redukálása

Hogyan lehet a monomit szabványos formába hozni? Vegye figyelembe a példákat.

Legyen adott a 2a4b monomiális, ezt standard formára kell hoznunk. Két numerikus tényezőjét megszorozzuk, és 8ab-t kapunk. Most a monom a szabványos formában van írva, azaz. csak egy numerikus tényezője van, először írva, a monom minden betűje csak egyszer fordul elő, és ezek a betűk ábécé sorrendbe vannak rendezve. Tehát 2a4b = 8ab.

Adott: 2a4a monomiális, állítsa a monomiált szabványos formára. A 2 és 4 számokat megszorozzuk, az aa szorzatot a második hatvány a 2 helyettesíti. Kapunk: 8a 2 . Ez a monom szabványos formája. Tehát 2a4a = 8a 2 .

Hasonló monomok

Mik a hasonló monomok? Ha a monomiumok csak együtthatókban különböznek egymástól, vagy egyenlőek, akkor hasonlónak nevezzük őket.

Példa hasonló monomokra: 5a és 2a. Ezek a monomiumok csak együtthatókban különböznek, ami azt jelenti, hogy hasonlóak.

Az 5abc és a 10cba monomiumok hasonlóak? A második monomit a standard formára hozzuk, 10abc-t kapunk. Most már világos, hogy az 5abc és 10abc monomiumok csak az együtthatójukban különböznek, ami azt jelenti, hogy hasonlóak.

Monomok hozzáadása

Mennyi a monomok összege? Csak hasonló monomokat tudunk összeadni. Tekintsük a monomok összeadásának példáját. Mennyi az 5a és 2a monomok összege? Ezeknek a monomoknak az összege egy hozzájuk hasonló monom lesz, amelynek együtthatója megegyezik a tagok együtthatóinak összegével. Tehát a monomiálisok összege 5a + 2a = 7a.

További példák a monomok hozzáadására:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Újra. Csak hasonló monomokat adhat hozzá; az összeadás az együtthatóik hozzáadására csökken.

Monomok kivonása

Mi a különbség a monomok között? Csak hasonló monomokat vonhatunk ki. Vegyünk egy példát a monomiumok kivonására. Mi a különbség az 5a és 2a monomok között? Ezeknek a monomoknak a különbsége egy hozzájuk hasonló monom lesz, amelynek együtthatója egyenlő a különbséggel ezeknek a monomoknak az együtthatói. Tehát a monomiálisok különbsége egyenlő 5a - 2a = 3a.

További példák a monomok kivonására:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Monomiálisok szorzása

Mi a monomiális szorzat? Vegyünk egy példát:

azok. a monomiumok szorzata egyenlő azzal a monomimmal, amelynek tényezői az eredeti monomiumok tényezőiből állnak.

Egy másik példa:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Hogyan született ez az eredmény? Minden tényező fokszámában „a” van: az elsőben – „a” a 2-es, a másodikban pedig „a” fokban az 5. Ez azt jelenti, hogy a szorzat fokszáma „a” lesz. 7-ből, mert az azonos betűk szorzásakor a kitevőik összeadódnak:

A 2 * a 5 = a 7 .

Ugyanez vonatkozik a "b" tényezőre is.

Az első tényező együtthatója kettő, a második pedig egy, így 2 * 1 = 2-t kapunk.

Így került kiszámításra a 2a 7 b 12 eredmény.

Ezekből a példákból látható, hogy a monomiálisok együtthatóit megszorozzuk, és ugyanazokat a betűket a fokszámaik összegével helyettesítjük a szorzatban.

ÉN. Azokat a kifejezéseket, amelyek számokból, változókból és azok hatványaiból szorzás segítségével épülnek fel, monomiálisoknak nevezzük.

Példák a monomokra:

a) a; b) ab; ban ben) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5 z; g) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3).

II. Az ilyen típusú monomokat, amikor a numerikus tényező (együttható) van az első helyen, majd ezt követik a változók hatványaikkal, standard típusú monomnak nevezzük.

Tehát a fent megadott monomiumok, a betűk alatt a B C), G)és e) szabványos formában vannak írva, a monomok pedig a betűk alatt e)és g) szabványos formára kell hozni, vagyis olyan alakra, amikor a numerikus tényező van az első helyen, és utána írják a literális tényezőket a mutatóikkal, ráadásul a betű szerinti tényezők ábécé sorrendben vannak. Megadjuk a monomokat e)és g) a standard nézetre.

e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;

g) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .

III.A monomot alkotó összes változó kitevőjének összegét a monom fokának nevezzük.

Példák. Milyen fokozatúak a monomiumok a) - g)?

a) a. Első;

b) ab. Második: a első fokon és b első fokon - a mutatók összege 1+1=2 ;

ban ben) 12. Nulla, mivel nincsenek alfabetikus tényezők;

G) -3c. Első;

e) -85,75a 2 b 3 .Ötödik. Ezt a monomiumot lecsökkentettük a standard formára, megvan a másodfokon és b a harmadikban. Mutatók hozzáadása: 2+3=5 ;

e) -123,45xy 5 z. Hetedik. Hozzáadtuk a szó szerinti tényezők kitevőit: 1+5+1=7 ;

g) -60a 3 c 3 . A hatodik, mivel a szó szerinti szorzók mutatóinak összege 3+3=6 .

IV. Az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonló monomoknak nevezzük.

Példa. Jelölje meg a hasonló monomokat az adott monomok között 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.

Megadjuk a monomokat 1), 4) és 5) a standard nézetre. Ekkor ezeknek a monomoknak a sora így fog kinézni:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.

Hasonlóak lesznek azok, amelyeknek azonos a betűrésze, pl. 1) és 3) ; 2) és 4); 5) és 6).

1) 3a 2 b 2 c és 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3bc és 4) 98,7a 3bc;

5) 10a 4 x és 6) -2,3a 4x.

Megjegyeztük, hogy bármilyen monom lehet szabványos formába hozza. Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, mit nevezünk a monom szabványos formára való redukálásának, milyen műveletek teszik lehetővé ennek a folyamatnak a végrehajtását, és megfontoljuk a példák megoldásait részletes magyarázatokkal.

Oldalnavigáció.

Mit jelent egy monom szabványos formába hozása?

Kényelmes a monomokkal dolgozni, ha szabványos formában írják őket. A monomokat azonban gyakran a szokásostól eltérő formában adják meg. Ezekben az esetekben azonos transzformációk végrehajtásával mindig át lehet lépni az eredeti monomból a standard alakú monomiumba. Az ilyen átalakítások végrehajtásának folyamatát a monomiális standard formába hozásának nevezzük.

Általánosítsuk a fenti érvelést. Hozd a monomit szabványos formára- ez azt jelenti, hogy olyan azonos átalakításokat kell végrehajtani vele, hogy az szabványos formát öltsön.

Hogyan lehet a monomit szabványos formába hozni?

Ideje kitalálni, hogyan lehet a monomokat szabványos formába hozni.

Amint az a definícióból ismeretes, a nem szabványos alak monomiumai számok, változók és hatványaik szorzatai, esetleg ismétlődők. A standard forma monomiálisa pedig csak egy számot és nem ismétlődő változókat vagy azok fokozatait tartalmazhatja. Most már meg kell érteni, hogyan lehet az első típusú termékeket a második formájára redukálni?

Ehhez a következőket kell használnia a monom szabványos formára való redukálásának szabálya két lépésből áll:

• Először a numerikus tényezők, valamint az azonos változók és azok fokszámainak csoportosítása történik;
• Másodszor, a számok szorzatát kiszámítjuk és alkalmazzuk.

A megadott szabály alkalmazása következtében minden monom a szabványos formára csökken.

Példák, megoldások

Továbbra is meg kell tanulni az előző bekezdés szabályának alkalmazását a példák megoldása során.

Példa.

Hozd a 3·x·2·x 2 monomiált szabványos formára.

Döntés.

Csoportosítsuk a numerikus tényezőket és az x változós tényezőket. A csoportosítás után az eredeti monomiális alakja (3 2) (x x 2) lesz. Az első zárójelben lévő számok szorzata 6, és a hatványok azonos alapokkal való szorzására vonatkozó szabály lehetővé teszi, hogy a második zárójelben lévő kifejezést x 1 +2=x 3-ként ábrázoljuk. Ennek eredményeként egy 6·x 3 standard alakú polinomot kapunk.

Íme a megoldás összefoglalása: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Válasz:

3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Tehát ahhoz, hogy egy monomot szabványos formára hozzunk, szükséges a tényezők csoportosítása, a számok szorzása és a hatványokkal való munka.

Az anyag egységesítése érdekében oldjunk meg még egy példát.

Példa.

Adja meg a monomiot szabványos formában, és adja meg együtthatóját.

Döntés.

Az eredeti monom jelölésében egyetlen numerikus tényező –1 van, tegyük át az elejére. Ezt követően a faktorokat külön csoportosítjuk az a változóval, külön - a b változóval, és nincs mivel csoportosítani az m változót, hagyjuk úgy, ahogy van, megvan . A zárójelben lévő fokokkal végzett műveletek végrehajtása után a monomiális a számunkra szükséges szabványos formát ölti, ahonnan láthatja a monom együtthatóját, amely egyenlő -1. A mínusz egyet mínuszjellel helyettesíthetjük: .