BobI. TASOSODIY HODISALAR. EHTIMOLLIK

1.1. Aniq fanlarda, biologiya va tibbiyotda muntazamlik va tasodifiylik, tasodifiy o'zgaruvchanlik

Ehtimollar nazariyasi matematikaning tasodifiy hodisalardagi naqshlarni o'rganadigan bo'limidir. Tasodifiy hodisa - bu bir xil tajribani takroran takrorlash bilan har safar biroz boshqacha tarzda davom etishi mumkin bo'lgan hodisa.

Shubhasiz, tabiatda biron bir hodisa yo'qki, unda tasodifiy elementlar u yoki bu darajada bo'lmaydi, lekin turli vaziyatlarda biz ularni turli yo'llar bilan hisobga olamiz. Shunday qilib, bir qator amaliy masalalarda ularni e'tiborsiz qoldirish va haqiqiy hodisa o'rniga uning soddalashtirilgan sxemasini - "model" ni ko'rib chiqish mumkin, agar berilgan eksperimental sharoitda hodisa to'liq aniq tarzda davom etadi deb faraz qilish mumkin. Shu bilan birga, hodisani tavsiflovchi eng muhim, hal qiluvchi omillar ajratiladi. Fizika, texnologiya va mexanikada eng ko'p qo'llaniladigan hodisalarni o'rganish uchun ushbu sxema; asosiy naqsh ana shunday ochiladi , ma'lum bir hodisaning xarakteristikasi va berilgan dastlabki shartlarga ko'ra tajriba natijasini taxmin qilish imkonini beradi. Tasodifiy, ikkilamchi, omillarning tajriba natijasiga ta'siri bu erda tasodifiy o'lchash xatolari bilan hisobga olinadi (biz ularni hisoblash usulini quyida ko'rib chiqamiz).

Biroq, aniq fanlar deb ataladigan tasvirlangan klassik sxema ko'p sonli, chambarchas bog'langan tasodifiy omillar sezilarli (ko'pincha hal qiluvchi) rol o'ynaydigan ko'plab muammolarni hal qilish uchun yomon moslashtirilgan. Bu erda hodisaning tasodifiy tabiati birinchi o'ringa chiqadi, uni endi e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Bu hodisa tasodifiy hodisa sifatida unga xos bo'lgan qonuniyatlar nuqtai nazaridan aniq o'rganilishi kerak. Fizikada bunday hodisalarga misol qilib, Broun harakati, radioaktiv parchalanish, bir qator kvant mexanik jarayonlari va boshqalarni keltirish mumkin.

Biologlar va shifokorlarning o'rganish predmeti tirik organizm bo'lib, uning kelib chiqishi, rivojlanishi va mavjudligi juda ko'p va xilma-xil, ko'pincha tasodifiy tashqi va ichki omillar bilan belgilanadi. Shuning uchun ham tirik olamning hodisa va hodisalari ham asosan tasodifiy xarakterga ega.

Tasodifiy hodisalarga xos bo'lgan noaniqlik, murakkablik, ko'p sabablilik elementlari ushbu hodisalarni o'rganish uchun maxsus matematik usullarni yaratishni taqozo etadi. Bunday usullarni ishlab chiqish, tasodifiy hodisalarga xos bo'lgan o'ziga xos qonuniyatlarni o'rnatish, ehtimollik nazariyasining asosiy vazifalari hisoblanadi. Bu qonuniyatlar tasodifiy hodisalar massiv bo'lgandagina amalga oshishi xarakterlidir. Bundan tashqari, individual holatlarning individual xususiyatlari, go'yo bir-birini bekor qiladi va tasodifiy hodisalar massasi uchun o'rtacha natija endi tasodifiy emas, balki mutlaqo tabiiydir. . Ko'p jihatdan, bu holat keng tarqalishiga sabab bo'ldi ehtimollik usullari biologiya va tibbiyot sohasidagi tadqiqotlar.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini ko'rib chiqing.

1.2. Tasodifiy hodisa ehtimoli

Hodisalarning ma’lum doirasining umumiy nazariyasini ishlab chiqadigan har bir fan bir qancha asosiy tushunchalarga asoslanadi. Masalan, geometriyada bu nuqta, to'g'ri chiziq tushunchalari; mexanikada - kuch, massa, tezlik va hokazo tushunchalar. Ehtimollar nazariyasida asosiy tushunchalar mavjud, ulardan biri tasodifiy hodisadir.

Tasodifiy hodisa - tajriba (sinov) natijasida yuzaga kelishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan har qanday hodisa (fakt).

Tasodifiy hodisalar harflar bilan belgilanadi A, B, C… va hokazo. Mana bir nechta misollar tasodifiy hodisalar:

LEKIN- standart tanga otishda burgutni (gerbni) yo'qotish;

DA- bu oilada qiz tug'ilishi;

Bilan- oldindan belgilangan tana vazniga ega bo'lgan bolaning tug'ilishi;

D- ma'lum bir hududda ma'lum vaqt oralig'ida epidemik kasallikning paydo bo'lishi va boshqalar.

Tasodifiy hodisaning asosiy miqdoriy xarakteristikasi uning ehtimolligidir. Bo'lsin LEKIN ba'zi tasodifiy hodisa. Tasodifiy hodisaning ehtimoli A - uning paydo bo'lish imkoniyatini aniqlaydigan matematik qiymat. Belgilangan R(LEKIN).

Ushbu qiymatni aniqlashning ikkita asosiy usulini ko'rib chiqing.

Tasodifiy hodisa ehtimolining klassik ta'rifi odatda spekulyativ eksperimentlar (testlar) tahlili natijalariga asoslanib, ularning mohiyati vazifaning sharti bilan belgilanadi. Bunday holda, tasodifiy hodisaning ehtimoli P(A) teng:

qayerda m- voqea sodir bo'lishi uchun qulay bo'lgan holatlar soni LEKIN; n teng ehtimoliy holatlarning umumiy soni.

1-misol Laboratoriya kalamushi labirintga joylashtiriladi, unda to'rtta mumkin bo'lgan yo'ldan faqat bittasi oziq-ovqat mukofotiga olib keladi. Kalamushning bunday yo'lni tanlash ehtimolini aniqlang.

Qaror: muammoning shartiga ko'ra to'rtta mumkin bo'lgan holatlardan ( n=4) hodisa LEKIN(kalamush ovqat topadi)
faqat bittasini afzal ko'radi, ya'ni. m= 1 Keyin R(LEKIN) = R(kalamush ovqat topadi) = = 0,25 = 25%.

2-misol. Urunda 20 ta qora va 80 ta oq shar bor. Undan tasodifiy bitta to'p olinadi. Ushbu to'pning qora bo'lish ehtimolini aniqlang.

Qaror: urnadagi barcha to'plar soni bir xil ehtimoliy holatlarning umumiy soni n, ya'ni. n = 20 + 80 = 100, shundan voqea LEKIN(qora to'pni chizish) faqat 20 da mumkin, ya'ni. m= 20. Keyin R(LEKIN) = R(H.W.) = = 0,2 = 20%.

Biz ehtimollikning klassik ta'rifidan kelib chiqadigan xususiyatlarini sanab o'tamiz - formula (1):

1. Tasodifiy hodisaning ehtimolligi o'lchovsiz kattalikdir.

2. Tasodifiy hodisaning ehtimoli har doim ijobiy va birdan kichik, ya'ni 0 ga teng< P (A) < 1.

3. Muayyan hodisaning, ya'ni tajriba natijasida albatta sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli ( m = n) birga teng.

4. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli ( m= 0) nolga teng.

5. Har qanday hodisaning ehtimoli salbiy emas va birdan oshmaydi:
0 £ P (A) £ 1.

Tasodifiy hodisa ehtimolini statistik aniqlash klassik ta'rifdan foydalanish mumkin bo'lmaganda ishlatiladi (1). Bu ko'pincha biologiya va tibbiyotda uchraydi. Bunday holda, ehtimollik R(LEKIN) haqiqatda o'tkazilgan testlar (tajribalar) seriyasining natijalarini umumlashtirish yo'li bilan aniqlanadi.

Tasodifiy hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasini kiritamiz. Bir qator deylik N tajribalar (raqam N oldindan tanlanishi mumkin) bizni qiziqtirgan voqea LEKIN yilda sodir bo'lgan M ulardan ( M < N). Tajribalar sonining nisbati M, bu hodisa sodir bo'lgan, bajarilgan tajribalarning umumiy soniga N tasodifiy hodisaning nisbiy chastotasi deyiladi LEKIN ushbu tajribalar seriyasida R* (LEKIN)

R*(LEKIN) = .

Eksperimental ravishda aniqlanganki, agar bir qator sinovlar (tajribalar) o'tkazilsa bir xil sharoitlar va ularning har birida raqam N etarlicha katta bo'lsa, nisbiy chastota barqarorlik xususiyatini namoyon qiladi : epizoddan epizodga ko'p o'zgarmaydi. , tajribalar sonining ma'lum bir doimiy qiymatga ko'payishi bilan yaqinlashadi . U tasodifiy hodisaning statistik ehtimoli sifatida qabul qilinadi LEKIN:

R(LEKIN)= lim , qachon N , (2)

Shunday qilib, statistik ehtimollik R(LEKIN) tasodifiy hodisa LEKIN sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan ushbu hodisaning nisbiy chastotasi tendentsiyasiga ega bo'lgan chegarani chaqiring (bilan N → ∞).

Taxminan, tasodifiy hodisaning statistik ehtimolligi ushbu hodisaning sodir bo'lishining nisbiy chastotasiga teng. katta raqamlar testlar:

R(LEKIN)≈ R*(LEKIN)= (katta uchun N) (3)

Masalan, tanga otish bo‘yicha o‘tkazilgan tajribalarda gerbning 12 000 marta otishda tushishi nisbiy chastotasi 0,5016, 24 000 otishda esa 0,5005 ga teng bo‘lgan. Formula (1) bo'yicha:

P(gerb) == 0,5 = 50%

Misol . 500 kishi tibbiy ko‘rikdan o‘tkazilganda ularning 5 nafarida o‘pkada shish (o.l.) aniqlangan. Ushbu kasallikning nisbiy chastotasi va ehtimolini aniqlang.

Qaror: muammoning holatiga ko'ra M = 5, N= 500, nisbiy chastota R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; kabi N etarlicha katta bo'lsa, o'pkada shish paydo bo'lish ehtimoli ushbu hodisaning nisbiy chastotasiga teng ekanligini yaxshi aniqlik bilan ko'rib chiqish mumkin:

R(o.l.) = R* (o.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Yuqorida sanab o'tilgan tasodifiy hodisa ehtimolining xususiyatlari ham saqlanadi statistik ta'rif berilgan qiymat.

1.3. Tasodifiy hodisalarning turlari. Ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalari

Barcha tasodifiy hodisalarni quyidagilarga bo'lish mumkin:

¾ mos kelmaydigan;

¾ mustaqil;

¾ bog'liq.

Har bir hodisa turining o'ziga xos xususiyatlari va ehtimollar nazariyasi teoremalari mavjud.

1.3.1. Mos kelmaydigan tasodifiy hodisalar. Qo'shish teoremasi

Tasodifiy hodisalar (A, B, C,D…) nomuvofiq deb ataladi , agar ulardan birining sodir bo'lishi xuddi shu sud muhokamasida boshqa hodisalarning sodir bo'lishini istisno qilsa.

Misol 1 . Tanga tashlandi. U tushganda, "gerb" ning ko'rinishi "dumlar" (tanga narxini belgilovchi yozuv) ko'rinishini istisno qiladi. "Gerb tushib ketdi" va "dumlar tushib ketdi" voqealari bir-biriga mos kelmaydi.

2-misol . Talabaning bitta imtihonda "2" yoki "3" yoki "4" yoki "5" bahosini olishi - hodisalar mos kelmaydi, chunki bu baholardan biri bir xil imtihonda ikkinchisini istisno qiladi.

Mos kelmaydigan tasodifiy hodisalar uchun, qo'shish teoremasi: yuzaga kelish ehtimoli biri, lekin shunga qaramay, qaysi bir nechta mos kelmaydigan hodisalar A1, A2, A3 ... Ak ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

P(A1 yoki A2 ... yoki Ak) = R(A1) + R(A2) + …+ R(Ak). (4)

3-misol. Bir urnada 50 ta shar bor: 20 ta oq, 20 ta qora va 10 ta qizil. Oq rangning paydo bo'lish ehtimolini toping (hodisa LEKIN) yoki qizil shar (voqea DA) urnadan tasodifiy to'p chiqarilganda.

Yechim: R(A yoki B)= P(LEKIN)+ P(DA);

R(LEKIN) = 20/50 = 0,4;

R(DA) = 10/50 = 0,2;

R(LEKIN yoki DA)= P(b. sh. yoki k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

4-misol . Sinfda 40 nafar bola bor. Ulardan 7 yoshdan 7,5 yoshgacha bo'lgan 8 nafar o'g'il bolalar ( LEKIN) va 10 ta qiz ( DA). Sinfda shu yoshdagi bolalar borligi ehtimolini toping.

Yechim: R(LEKIN)= 8/40 = 0,2; R(DA) = 10/40 = 0,25.

P(A yoki B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Keyingi muhim tushuncha hodisalarning to'liq guruhi: bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi, agar har bir sinov ushbu guruhdagi hodisalardan faqat bittasiga olib kelishi mumkin bo'lsa va boshqasi bo'lmasa.

5-misol . Otuvchi nishonga qarata o‘q uzdi. Quyidagi voqealardan biri albatta sodir bo'ladi: "o'n", "to'qqiz", "sakkizta" ni urish, .., "bir" yoki o'tkazib yuborish. Ushbu 11 ta ajratilgan hodisa to'liq guruhni tashkil qiladi.

6-misol . Universitetda imtihonda talaba quyidagi to'rtta bahodan birini olishi mumkin: 2, 3, 4 yoki 5. Bu to'rtta qo'shma bo'lmagan hodisalar ham to'liq guruhni tashkil qiladi.

Mos kelmaydigan hodisalar bo'lsa A1, A2 ... Ak to'liq guruh hosil qiling, keyin bu hodisalarning ehtimollik yig'indisi har doim birga teng bo'ladi:

R(A1)+ P(A2)+ … P(LEKINk) = 1, (5)

Ushbu bayonot ko'pincha ko'plab amaliy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Agar ikkita hodisa yagona va bir-biriga mos kelmasa, ular qarama-qarshi deb ataladi va belgilanadi LEKIN va . Bunday hodisalar to'liq guruhni tashkil qiladi, shuning uchun ularning ehtimollik yig'indisi har doim bittaga teng:

R(LEKIN)+ P() = 1. (6)

7-misol. Keling R(LEKIN) ma'lum bir kasallikda o'limga olib keladigan natija ehtimoli; ma'lum va 2% ga teng. Keyin ushbu kasallikda muvaffaqiyatli natija ehtimoli 98% ni tashkil qiladi ( R() = 1 – R(LEKIN) = 0,98), beri R(LEKIN) + R() = 1.

1.3.2. mustaqil tasodifiy hodisalar. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

Tasodifiy hodisalar mustaqil deyiladi, agar ulardan birining paydo bo'lishi boshqa hodisalarning yuzaga kelish ehtimoliga ta'sir qilmasa.

1-misol . Agar rangli sharlari bo'lgan ikki yoki undan ortiq urna bo'lsa, u holda bitta urnadan biron bir to'pni chizish qolgan urnalardan boshqa sharlarni chizish ehtimoliga ta'sir qilmaydi.

Mustaqil tadbirlar uchun, ehtimollarni ko'paytirish teoremasi: ehtimollik birikmasi(bir vaqtda)Bir nechta mustaqil tasodifiy hodisalarning paydo bo'lishi ularning ehtimoli ko'paytmasiga teng:

P(A1 va A2 va A3 ... va Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(A)k). (7)

Hodisalarning birgalikda (bir vaqtning o'zida) sodir bo'lishi hodisalarning sodir bo'lishini anglatadi va A1, va A2, va A3... va LEKINk .

2-misol . Ikkita urna bor. Birida 2 ta qora va 8 ta oq shar, ikkinchisida 6 ta qora va 4 ta oq shar bor. Tadbirga ruxsat bering LEKIN- birinchi urnadan oq to'pni tasodifiy tanlash, DA- ikkinchisidan. Ushbu urnalardan tasodifiy oq sharni tanlash ehtimoli qanday, ya'ni nima? R (LEKIN va DA)?

Qaror: birinchi urnadan oq to'pni chizish ehtimoli
R(LEKIN) = = ikkinchidan 0,8 - R(DA) = = 0,4. Ikkala urnadan bir vaqtning o'zida oq to'pni olish ehtimoli
R(LEKIN va DA) = R(LEKIN)· R(DA) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

3-misol Yod miqdori kamaytirilgan dieta katta populyatsiyadagi hayvonlarning 60 foizida qalqonsimon bezning kengayishiga olib keladi. Tajriba uchun 4 ta kattalashgan bez kerak. Tasodifiy tanlangan 4 ta hayvonlarda qalqonsimon bez kattalashishi ehtimolini toping.

Qaror: Tasodifiy hodisa LEKIN- qalqonsimon bez kattalashgan hayvonning tasodifiy tanlanishi. Muammoning shartiga ko'ra, bu hodisaning ehtimoli R(LEKIN) = 0,6 = 60%. Keyin to'rtta mustaqil hodisaning birgalikda yuzaga kelish ehtimoli - qalqonsimon bez kattalashgan 4 ta hayvonni tasodifiy tanlash - quyidagilarga teng bo'ladi:

R(LEKIN 1 va LEKIN 2 va LEKIN 3 va LEKIN 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. bog'liq hodisalar. Bog'liq hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

A va B tasodifiy hodisalar, agar ulardan birining sodir bo'lishi, masalan, A boshqa hodisaning - B sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirsa, bog'liq deb ataladi. Shuning uchun, bog'liq hodisalar uchun ikkita ehtimollik qiymati qo'llaniladi: shartsiz va shartli ehtimollar .

Agar a LEKIN va DA bog'liq hodisalar, keyin voqea sodir bo'lish ehtimoli DA birinchi (ya'ni, voqea oldidan LEKIN) deyiladi shartsiz ehtimollik ushbu voqea va belgilangan R(DA). Voqea ehtimoli DA hodisa sharti bilan LEKIN allaqachon sodir bo'lgan, deyiladi shartli ehtimollik voqealar DA va belgilandi R(DA/LEKIN) yoki RA(DA).

Shartsiz - R(LEKIN) va shartli - R(A/B) hodisaning ehtimoli LEKIN.

Ikki bog'liq hodisa uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi: ikkita bog'liq hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli A va B birinchi hodisaning shartsiz ehtimoli ikkinchisining shartli ehtimolligi ko'paytmasiga teng:

R(A va B)= P(LEKIN)∙P(B/A) , (8)

LEKIN, yoki

R(A va B)= P(DA)∙P(A/B), (9)

agar voqea birinchi bo'lib sodir bo'lsa DA.

1-misol. Urunda 3 ta qora shar va 7 ta oq shar bor. Shu urnadan birin-ketin 2 ta oq sharning chiqarilishi (birinchi to‘p urnaga qaytarilmaydi) ehtimolini toping.

Qaror: birinchi oq to'pni chizish ehtimoli (hodisa LEKIN) 7/10 ga teng. Uni olib chiqqandan keyin urnada 9 ta shar qoladi, ulardan 6 tasi oq. Keyin ikkinchi oq to'pning paydo bo'lish ehtimoli (hodisa DA) ga teng R(DA/LEKIN) = 6/9, va ikkita oq sharni ketma-ket olish ehtimoli

R(LEKIN va DA) = R(LEKIN)∙R(DA/LEKIN) = = 0,47 = 47%.

Bog'liq hodisalar uchun berilgan ehtimolliklarni ko'paytirish teoremasi har qanday hodisalar soniga umumlashtirilishi mumkin. Xususan, bir-biri bilan bog'liq uchta voqea uchun:

R(LEKIN va DA va Bilan)= P(LEKIN)∙ P(B/A)∙ P(KABINA). (10)

2-misol. Har birida 100 nafar bola bor bo‘lgan ikkita bog‘chada yuqumli kasallik avj oldi. Ishlarning nisbati mos ravishda 1/5 va 1/4 ni tashkil qiladi va birinchi muassasada 70%, ikkinchisida - 60% hollarda 3 yoshgacha bo'lgan bolalar. Bir bola tasodifiy tanlanadi. Buning ehtimolini aniqlang:

1) tanlangan bola birinchi bolalar bog'chasiga tegishli (voqea LEKIN) va kasal (voqea DA).

2) ikkinchisidan bola tanlanadi bolalar bog'chasi(voqea Bilan), kasal (voqea D) va 3 yoshdan katta (voqea E).

Qaror. 1) kerakli ehtimollik -

R(LEKIN va DA) = R(LEKIN) ∙ R(DA/LEKIN) = = 0,1 = 10%.

2) kerakli ehtimollik:

R(Bilan va D va E) = R(Bilan) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Bayes formulasi

Agar bog'liq hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli LEKIN va DA ular sodir bo'lish tartibiga bog'liq emas, keyin R(LEKIN va DA)= P(LEKIN)∙P(B/A)= P(DA) × R(A/B). Bunday holda, hodisalardan birining shartli ehtimolligini ikkala hodisaning ehtimolini va ikkinchisining shartli ehtimolligini bilish orqali topish mumkin:

R(B/A) = (11)

Ko'pgina hodisalar uchun bu formulani umumlashtirish Bayes formulasidir.

bo'lsin" n» mos kelmaydigan tasodifiy hodisalar H1, H2, …, Hn, hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi. Ushbu hodisalarning ehtimoli R(H1), R(H2), …, R(Hn) ma'lum va ular to'liq guruhni tashkil qilgani uchun = 1.

ba'zi tasodifiy hodisa LEKIN hodisalar bilan bog'liq H1, H2, …, Hn, va hodisaning yuzaga kelishining shartli ehtimollari ma'lum LEKIN har bir voqea bilan Hi, ya'ni ma'lum R(A/H1), R(A/H2), …, R(A/Nn). Bu holda shartli ehtimollar yig'indisi R(A/Ni) birga teng bo'lmasligi mumkin, ya'ni. ≠ 1.

Keyin hodisaning yuzaga kelishining shartli ehtimoli Hi tadbir amalga oshirilganda LEKIN(ya'ni, voqea sodir bo'lishi sharti bilan LEKIN sodir bo'ldi) Bayes formulasi bilan aniqlanadi :

Va bu shartli ehtimollar uchun .

Bayes formulasi nafaqat matematikada, balki tibbiyotda ham keng qo'llanilishini topdi. Misol uchun, u ma'lum kasalliklarning ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi. Shunday qilib, agar H 1,…, Hn- ushbu bemor uchun taxminiy tashxislar, LEKIN- ular bilan bog'liq ba'zi belgilar (alomat, qon testining ma'lum bir ko'rsatkichi, siydik, rentgenogrammaning tafsilotlari va boshqalar) va shartli ehtimollar R(A/Ni) har bir tashxisda ushbu belgining namoyon bo'lishi Hi (i = 1,2,3,…n) oldindan ma'lum bo'lsa, Bayes formulasi (12) kasalliklarning (tashxislarning) shartli ehtimolini hisoblash imkonini beradi. R(Hi/ AMMO) xarakterli xususiyat aniqlangandan keyin LEKIN bemorda mavjud.

Misol 1. Bemorni dastlabki tekshirishda 3 ta tashxis qo'yiladi H 1, H 2, H 3. Ularning ehtimoli shifokorning fikricha, quyidagicha taqsimlanadi: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Shuning uchun birinchi tashxis taxminiy ko'rinadi. Bunga aniqlik kiritish uchun, masalan, qon testi buyuriladi, unda ESR ko'payishi kutiladi (hodisalar). LEKIN). Oldindan ma'lum (tadqiqot natijalariga ko'ra) shubhali kasalliklarda ESRning ko'payishi ehtimoli quyidagilarga teng:

R(LEKIN/H 1) = 0,1; R(LEKIN/H 2) = 0,2; R(LEKIN/H 3) = 0,9.

Olingan tahlilda ESR ning ortishi qayd etilgan (hodisa LEKIN sodir bo'ldi). Keyin Bayes formulasi (12) bo'yicha hisob-kitoblar ESR ko'tarilgan da'vo qilingan kasalliklarning ehtimollik qiymatlarini beradi: R(H 1/LEKIN) = 0,13; R(H 2/LEKIN) = 0,09;
R(H 3/LEKIN) = 0,78. Bu raqamlar shuni ko'rsatadiki, laboratoriya ma'lumotlarini inobatga olgan holda, birinchi emas, balki uchinchi tashxis, ehtimollik hozir ancha yuqori bo'lib chiqdi.

Berilgan misol Bayes formulasidan foydalanib, tashxis qo'yishda shifokor mantiqini qanday rasmiylashtirish va buning natijasida kompyuter diagnostikasi usullarini yaratish mumkinligi haqidagi eng oddiy misoldir.

2-misol. Anatomik tos suyagi bo'lgan ayollarda bolaning perinatal* o'limi xavfi darajasini baholovchi ehtimollikni aniqlang.

Qaror: hodisaga ruxsat bering H 1 - xavfsiz yetkazib berish. Klinik ma'lumotlarga ko'ra, R(H 1) = 0,975 = 97,5%, agar bo'lsa H2- perinatal o'lim fakti, keyin R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Belgilamoq LEKIN- tug'ruq paytida ayolda tor tos suyagi mavjudligi fakti. O'tkazilgan tadqiqotlardan ma'lumki: a) R(LEKIN/H 1) - qulay tug'ilish bilan tor tos suyagi ehtimoli; R(LEKIN/H 1) = 0,029, b) R(LEKIN/H 2) - perinatal o'limda tor tos bo'shlig'i ehtimoli;
R(LEKIN/H 2) = 0,051. Keyin tug'ruq paytida ayolning tor tos bo'shlig'ida perinatal o'limning istalgan ehtimoli Bays formulasi (12) bo'yicha hisoblanadi va quyidagilarga teng:

Shunday qilib, anatomik jihatdan tor tos bo'shlig'ida perinatal o'lim xavfi o'rtacha xavfdan (4,4% ga nisbatan 2,5%) sezilarli darajada yuqori (deyarli ikki marta).

Odatda kompyuter yordamida amalga oshiriladigan bunday hisob-kitoblar u yoki bu og'irlashtiruvchi omil mavjudligi bilan bog'liq yuqori xavf ostida bo'lgan bemorlar guruhlarini shakllantirish usullarining asosini tashkil qiladi.

Bayes formulasi boshqa ko'plab biomedikal vaziyatlarni baholash uchun juda foydali bo'lib, ular qo'llanmada berilgan vazifalarni hal qilishda aniq bo'ladi.

1.5. 0 yoki 1 ga yaqin ehtimoli bo'lgan tasodifiy hodisalar haqida

Ko'pgina amaliy masalalarni yechishda ehtimolligi juda kichik, ya'ni nolga yaqin bo'lgan hodisalar bilan shug'ullanish kerak. Bunday hodisalarni o'tkazish tajribasiga asoslanib, quyidagi tamoyil qabul qilindi. Agar tasodifiy hodisaning ehtimoli juda past bo'lsa, u holda amalda biz uni bir sinovda sodir bo'lmaydi, deb taxmin qilishimiz mumkin, boshqacha aytganda, uning yuzaga kelish ehtimolini e'tiborsiz qoldirish mumkin. Ushbu ehtimollik qanchalik kichik bo'lishi kerakligi haqidagi savolga javob hal qilinayotgan muammolarning mohiyati, bashorat natijasi biz uchun qanchalik muhim ekanligi bilan belgilanadi. Masalan, sakrash paytida parashyutning ochilmasligi ehtimoli 0,01 ga teng bo'lsa, bunday parashyutlardan foydalanish qabul qilinishi mumkin emas. Biroq, uzoq masofali poezdning kechikib kelishining bir xil 0,01 ehtimolligi bizni uning o'z vaqtida kelishiga deyarli ishonch hosil qiladi.

Hodisani (ma'lum bir muammoda) amalda imkonsiz deb hisoblash mumkin bo'lgan etarlicha kichik ehtimollik deyiladi ahamiyat darajasi. Amalda, odatda, ahamiyatlilik darajasi 0,01 (bir foizli muhimlik darajasi) yoki 0,05 (besh foizli muhimlik darajasi), kamroq hollarda 0,001 sifatida qabul qilinadi.

Muhimlik darajasining kiritilishi, agar biron bir voqea sodir bo'lsa, buni tasdiqlashga imkon beradi LEKIN amalda imkonsiz, keyin teskari hodisa - amaliy jihatdan ishonchli, ya'ni uning uchun R() » 1.

BobII. TASOSODIY QIYMATLAR

2.1. Tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning turlari

Matematikada miqdor har xilning umumiy nomidir miqdoriy xarakteristikalar ob'ektlar va hodisalar. Uzunlik, maydon, harorat, bosim va boshqalar turli miqdorlarga misol bo'la oladi.

Turli xil qiymatlarni qabul qiladi tasodifiy holatlar ta'siri ostidagi raqamli qiymatlar tasodifiy o'zgaruvchi deb ataladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: shifokor kabinetidagi bemorlar soni; odamlarning ichki organlarining aniq o'lchamlari va boshqalar.

Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarni farqlang .

Tasodifiy o'zgaruvchi diskret deb ataladi, agar u faqat bir-biridan ajratilgan, o'rnatilishi va sanab o'tilishi mumkin bo'lgan ma'lum qiymatlarni qabul qilsa.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

- auditoriyadagi talabalar soni - faqat butun son bo'lishi mumkin ijobiy raqam: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- uloqtirilganda yuqori yuzda paydo bo'ladigan raqam zar– faqat 1 dan 6 gacha butun sonlarni qabul qilishi mumkin;

- nishonga 10 marta zarba berishning nisbiy chastotasi - uning qiymatlari: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- bir xil vaqt oralig'ida sodir bo'ladigan hodisalar soni: yurak urish tezligi, tez yordam chaqiruvlari soni soatiga, oyiga o'lim bilan yakunlangan operatsiyalar soni va boshqalar.

Tasodifiy o'zgaruvchi, agar u ma'lum bir oraliqda har qanday qiymatlarni qabul qila olsa, ba'zida keskin chegaralarga ega, ba'zan esa yo'q, uzluksiz deb ataladi.*. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga, masalan, kattalarning tana vazni va bo'yi, tana vazni va miya hajmi, sog'lom odamlarda fermentlarning miqdoriy tarkibi, qon hujayralari hajmi, R H qon va boshqalar.

tushuncha tasodifiy o'zgaruvchi hal qiluvchi rol o‘ynaydi zamonaviy nazariya tasodifiy hodisalardan tasodifiy o'zgaruvchilarga o'tishning maxsus usullarini ishlab chiqqan ehtimollar.

Agar tasodifiy miqdor vaqtga bog'liq bo'lsa, unda biz tasodifiy jarayon haqida gapirishimiz mumkin.

2.2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifini berish uchun uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini va ularning ehtimolliklarini ko'rsatish kerak.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik ushbu o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni deb ataladi.

Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini belgilang X orqali Xi, va orqali mos keladigan ehtimollar Ri *. Shunda diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini uch xil usulda: jadval, grafik yoki formula ko’rinishida ko’rsatish mumkin.

deb nomlangan jadvalda yaqin tarqatish, diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilgan X va bu qiymatlarga mos keladigan ehtimollar R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

Bu holda, barcha ehtimolliklarning yig'indisi Ri birga teng bo'lishi kerak (normalizatsiya sharti):

Ri = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

Grafik jihatdan qonun siniq chiziq bilan ifodalanadi, bu odatda taqsimlash ko'pburchagi deb ataladi (1-rasm). Bu erda gorizontal o'q bo'ylab tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari chiziladi Xi, , va vertikal o'qda - mos keladigan ehtimollar Ri

Analitik tarzda qonun formula bilan ifodalanadi. Misol uchun, agar bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli bo'lsa R, keyin nishonga 1 marta tegish ehtimoli n zarbalar formula bo'yicha beriladi R(n) = n qn-1 × p, qayerda q= 1 - p- bitta zarba bilan o'tkazib yuborish ehtimoli.

2.3. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni. Ehtimollik zichligi

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun yuqorida keltirilgan shakllarda taqsimlash qonunini qo'llash mumkin emas, chunki bunday o'zgaruvchida ma'lum bir intervalni to'liq to'ldiradigan mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami ("hisoblab bo'lmaydigan") mavjud. Shuning uchun, uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari sanab o'tilgan jadvalni tuzish yoki tarqatish poligonini qurish mumkin emas. Bundan tashqari, har qanday muayyan qiymat ehtimoli juda kichik (0 ga yaqin)*. Shu bilan birga, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining turli sohalari (intervallari) bir xil ehtimolga ega emas. Shunday qilib, bu holatda ham, avvalgi ma'noda bo'lmasa-da, ma'lum bir taqsimot qonuni ishlaydi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalni to'liq to'ldiradi (a, b)**. Bunday qiymatning ehtimollik taqsimoti qonuni uning qiymatining har qanday berilgan oraliqga tushishi ehtimolini topishga imkon berishi kerak ( x1, x2) ichkarida yotish ( a,b), 2-rasm.

Bu ehtimollik R(x1< Х < х2 ), yoki
R(x1£ X£ x2).

Avval qiymatlarning juda kichik diapazonini ko'rib chiqing X-dan X oldin ( x +DX); 2-rasmga qarang. past ehtimollik dR bu tasodifiy o'zgaruvchi X intervaldan bir oz qiymat oladi ( x, x +DX), bu intervalning qiymatiga proportsional bo'ladi DX:dR~ DX, yoki proportsionallik omilini kiritish orqali f, buning o'zi bog'liq bo'lishi mumkin X, biz olamiz:

dP =f(X) × D x =f(x) × dx (14)

Funktsiya bu erda kiritilgan f(X) deyiladi ehtimollik zichligi tasodifiy o'zgaruvchi X, yoki qisqasi, ehtimollik zichligi, tarqatish zichligi. (13) tenglama differensial tenglama bo'lib, uning yechimi qiymatga tegish ehtimolini beradi. X oraliqda ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)

Grafik ehtimollik R(x1<X<x2) abscissa o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng, egri chiziq. f(X) va to'g'ridan-to'g'ri X = x1 va X = x2(3-rasm). Bu aniq integral (15) egri chiziqning geometrik ma'nosidan kelib chiqadi f(X) taqsimot egri chizig'i deyiladi.

(15) dan funktsiya bo'lsa, degan xulosa kelib chiqadi f(X), keyin, integratsiya chegaralarini o'zgartirib, bizni qiziqtirgan har qanday intervallar uchun ehtimolini topishimiz mumkin. Shuning uchun bu funktsiyaning vazifasidir f(X) uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunini to‘liq aniqlaydi.

Ehtimollik zichligi uchun f(X) normallashtirish sharti quyidagi shaklda bajarilishi kerak:

f(X) dx = 1, (16)

barcha qiymatlari ma'lum bo'lsa X oraliqda yotish ( a,b), yoki quyidagi shaklda:

f(X) dx = 1, (17)

qiymatlar uchun interval chegaralari bo'lsa X aniq belgilanmagan. Ehtimollik zichligini (16) yoki (17) normallashtirish shartlari tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari natijasidir. X ichida ishonchli tarzda yotish ( a,b) yoki (-¥, +¥). (16) va (17) dan kelib chiqadiki, taqsimot egri chizig'i va x o'qi bilan chegaralangan rasmning maydoni har doim 1 ga teng. .

2.4. Tasodifiy miqdorlarning asosiy sonli xarakteristikalari

2.2 va 2.3-bo'limlarda keltirilgan natijalar diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning to'liq tavsifini ularning taqsimlanish qonuniyatlarini bilish orqali olish mumkinligini ko'rsatadi. Biroq, ko'pgina amaliy ahamiyatga ega bo'lgan holatlarda tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli tavsiflari qo'llaniladi, bu xususiyatlarning asosiy maqsadi tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining eng muhim xususiyatlarini ixcham shaklda ifodalashdir. Ushbu parametrlar tajribalarda olingan ma'lumotlardan foydalangan holda baholanishi mumkin bo'lgan o'ziga xos (doimiy) qiymatlar bo'lishi muhimdir. Ushbu hisob-kitoblar tavsiflovchi statistika tomonidan amalga oshiriladi.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada juda ko'p turli xil xususiyatlar qo'llaniladi, ammo biz faqat eng ko'p ishlatiladiganlarini ko'rib chiqamiz. Va faqat ulardan ba'zilari uchun biz ularning qiymatlari hisoblangan formulalarni beramiz, boshqa hollarda biz hisob-kitoblarni kompyuterga qoldiramiz.

O'ylab ko'ring pozitsiya xususiyatlari - matematik kutish, rejim, median.

Ular tasodifiy o'zgaruvchining sonlar o'qidagi o'rnini tavsiflaydi , ya'ni ular tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan ba'zi taxminiy qiymatni ko'rsatadi. Ular orasida matematik kutish eng muhim rol o'ynaydi. M(X).

Ehtimollik nima?

Bu atama bilan birinchi marta duch kelganimda, bu nima ekanligini tushunmadim. Shuning uchun men tushunarli tarzda tushuntirishga harakat qilaman.

Ehtimollik - istalgan voqea sodir bo'lish ehtimoli.

Masalan, siz do'stingizga tashrif buyurishga qaror qildingiz, kirish joyini va hatto u yashaydigan qavatni eslang. Lekin kvartiraning raqamini va manzilini unutibman. Va endi siz zinapoyada turibsiz va sizning oldingizda tanlash uchun eshiklar mavjud.

Agar siz birinchi eshik qo'ng'irog'ini bossangiz, do'stingiz uni sizga ochishi ehtimoli (ehtimoli) qanday? Butun kvartira va do'st ulardan faqat bittasining orqasida yashaydi. Teng imkoniyat bilan biz har qanday eshikni tanlashimiz mumkin.

Lekin bu qanday imkoniyat?

Eshiklar, o'ng eshik. Birinchi eshikni jiringlash orqali taxmin qilish ehtimoli: . Ya'ni, uchtadan bir marta siz aniq taxmin qilasiz.

Biz bir marta qo'ng'iroq qilib bilmoqchimiz, eshikni qanchalik tez-tez taxmin qilamiz? Keling, barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

1. chaqirgansiz 1 eshik
2. chaqirgansiz 2 eshik
3. chaqirgansiz 3 eshik

Va endi do'st bo'lishi mumkin bo'lgan barcha variantlarni ko'rib chiqing:

a. Orqada 1 eshik
b. Orqada 2 eshik
ichida. Orqada 3 eshik

Keling, barcha variantlarni jadval shaklida taqqoslaylik. Shomil sizning tanlovingiz do'stingizning joylashuviga to'g'ri kelganda variantlarni ko'rsatadi, xoch - mos kelmasa.

Siz hamma narsani qanday ko'rasiz ehtimol variantlar do'stingizning joylashuvi va qaysi eshikni qo'ng'iroq qilishni tanlash.

LEKIN hamma uchun ijobiy natijalar . Ya'ni, siz eshikni bir marta jiringlash orqali vaqtlarni taxmin qilasiz, ya'ni. .

Bu ehtimollik - qulay natijaning (sizning tanlovingiz do'stingiz joylashgan joyga to'g'ri kelganda) mumkin bo'lgan voqealar soniga nisbati.

Ta'rif formuladir. Ehtimollik odatda p bilan belgilanadi, shuning uchun:

Bunday formulani yozish unchalik qulay emas, shuning uchun keling - qulay natijalar sonini, va uchun - natijalarning umumiy sonini olaylik.

Ehtimollik foiz sifatida yozilishi mumkin, buning uchun natijani ko'paytirish kerak:

Ehtimol, "natijalar" so'zi sizning e'tiboringizni tortdi. Matematiklar turli harakatlarni (biz uchun bunday harakat eshik qo'ng'irog'i) tajribalar deb ataganligi sababli, bunday tajribalar natijasini natija deb atash odatiy holdir.

Xo'sh, natijalar ijobiy va salbiy.

Keling, misolimizga qaytaylik. Aytaylik, biz eshiklardan biriga qo'ng'iroq qildik, lekin biz uchun notanish odam eshikni ochdi. Biz taxmin qilmadik. Qolgan eshiklardan birini qo'ng'iroq qilsak, do'stimiz biz uchun eshikni ochishi ehtimoli qanday?

Agar siz shunday deb o'ylasangiz, bu xato. Keling, buni aniqlaylik.

Bizda ikkita eshik qoldi. Shunday qilib, bizda mumkin bo'lgan qadamlar mavjud:

1) qo'ng'iroq qiling 1 eshik
2) Qo'ng'iroq qiling 2 eshik

Do'st, bularning barchasi bilan, shubhasiz, ulardan birining orqasida (axir, u biz chaqirganning orqasida emas edi):

a) do'st 1 eshik
b) do'st uchun 2 eshik

Jadvalni yana chizamiz:

Ko'rib turganingizdek, barcha variantlar mavjud, ulardan qulay. Ya'ni, ehtimollik teng.

Nega yo'q?

Biz ko'rib chiqqan vaziyat bog'liq hodisalarga misol. Birinchi hodisa - birinchi eshik qo'ng'irog'i, ikkinchi voqea - ikkinchi eshik qo'ng'irog'i.

Va ular qaram deb ataladi, chunki ular quyidagi harakatlarga ta'sir qiladi. Axir, agar do'stingiz birinchi qo'ng'iroqdan keyin eshikni ochsa, u qolgan ikkitadan birining orqasida bo'lish ehtimoli qanday bo'ladi? To'g'ri, .

Ammo agar qaram hodisalar mavjud bo'lsa, unda bo'lishi kerak mustaqil? To'g'ri, bor.

Darslik misoli tanga tashlashdir.

1. Biz tanga tashlaymiz. Masalan, boshlarning paydo bo'lish ehtimoli qanday? To'g'ri - chunki har bir narsa uchun variantlar (boshlar yoki dumlar, biz tanganing chetida turish ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz), lekin faqat bizga mos keladi.
2. Ammo dumlari tushib ketdi. Mayli, yana qilaylik. Endi boshga tushish ehtimoli qanday? Hech narsa o'zgarmadi, hammasi bir xil. Qancha variant? Ikki. Biz qanchalik mamnunmiz? Bir.

Va quyruqlar ketma-ket kamida ming marta tushsin. Bir vaqtning o'zida boshlarning tushishi ehtimoli bir xil bo'ladi. Har doim variantlar mavjud, ammo qulaylari.

Bog'liq hodisalarni mustaqil hodisalardan ajratish oson:

1. Agar tajriba bir marta o'tkazilsa (tanga tashlangandan keyin eshik qo'ng'irog'i bir marta jiringlaydi va hokazo), u holda voqealar doimo mustaqil bo'ladi.
2. Agar tajriba bir necha marta o'tkazilsa (tanga bir marta tashlansa, eshik qo'ng'irog'i bir necha marta chalinadi), unda birinchi hodisa har doim mustaqil bo'ladi. Va keyin, agar ijobiy yoki barcha natijalar soni o'zgarsa, voqealar bog'liq, agar bo'lmasa, ular mustaqildir.

Keling, ehtimollikni aniqlash uchun biroz mashq qilaylik.

1-misol

Tanga ikki marta tashlanadi. Ketma-ket ikki marta bosh ko'tarish ehtimoli qanday?

Qaror:

Barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqing:

1. burgut burgut
2. dumli burgut
3. dumlar - burgut
4. Quyruq-dumlar

Ko'rib turganingizdek, barcha variantlar. Ulardan faqat biz qoniqamiz. Bu ehtimollik:

Agar shart shunchaki ehtimollikni topishni so'rasa, javob o'nlik kasr sifatida berilishi kerak. Agar javob foiz sifatida berilishi kerakligi ko'rsatilgan bo'lsa, biz ko'paytiramiz.

Javob:

2-misol

Bir quti shokoladda barcha konfetlar bir xil o‘ramga qadoqlangan. Biroq, shirinliklardan - yong'oq, konyak, gilos, karamel va nougat bilan.

Bitta konfet olib, yong'oq bilan konfet olish ehtimoli qanday? Javobingizni foizda bering.

Qaror:

Qancha mumkin bo'lgan natijalar mavjud? .

Ya'ni, bitta konfet olib, qutidagilardan biri bo'ladi.

Va qancha ijobiy natijalar?

Chunki qutida faqat yong‘oqli shokoladlar bor.

Javob:

3-misol

To'plar qutisida. ulardan oq va qora.

1. Oq sharni chizish ehtimoli qanday?
2. Biz qutiga yana qora to'p qo'shdik. Endi oq sharni chizish ehtimoli qanday?

Qaror:

a) Qutida faqat to'plar bor. ulardan oq.

Ehtimollik:

b) Endi qutida to'plar bor. Va shuncha oqlar qolgan.

Javob:

To'liq ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli ().

Misol uchun, qizil va yashil to'plar qutisida. Qizil sharni chizish ehtimoli qanday? Yashil to'p? Qizil yoki yashil to'p?

Qizil to'pni chizish ehtimoli

Yashil to'p:

Qizil yoki yashil to'p:

Ko'rib turganingizdek, barcha mumkin bo'lgan hodisalar yig'indisi () ga teng. Ushbu fikrni tushunish sizga ko'p muammolarni hal qilishga yordam beradi.

4-misol

Qutida flomasterlar bor: yashil, qizil, ko'k, sariq, qora.

Qizil markerni EMAS chizish ehtimoli qanday?

Qaror:

Keling, raqamni hisoblaylik qulay natijalar.

Qizil marker EMAS, bu yashil, ko'k, sariq yoki qora degan ma'noni anglatadi.

Barcha hodisalarning ehtimoli. Va biz noqulay deb hisoblagan hodisalarning ehtimoli (biz qizil flomasterni chiqarganimizda) .

Shunday qilib, qizil flomasterni EMAS chizish ehtimoli -.

Javob:

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli - bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli minus.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Siz mustaqil hodisalar nima ekanligini allaqachon bilasiz.

Va agar siz ikkita (yoki undan ko'p) mustaqil hodisaning ketma-ket sodir bo'lish ehtimolini topishingiz kerak bo'lsa?

Aytaylik, biz tangani bir marta tashlaganimizda, burgutni ikki marta ko'rishimiz ehtimoli qanday?

Biz allaqachon ko'rib chiqdik - .

Agar tanga tashlasak nima bo'ladi? Burgutni ketma-ket ikki marta ko'rish ehtimoli qanday?

Jami mumkin bo'lgan variantlar:

1. Burgut-burgut-burgut
2. Burgut-bosh-dumlar
3. Bosh-dumlar-burgut
4. Bosh-dumlar-dumlar
5. dumlar-burgut-burgut
6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
7. Dumlar-dumlar-boshlar
8. Quyruq-quyruq-dumlar

Siz haqingizda bilmayman, lekin men bu ro'yxatni bir marta noto'g'ri tuzganman. Voy-buy! Va faqat variant (birinchi) bizga mos keladi.

5 ta rulon uchun siz o'zingiz mumkin bo'lgan natijalar ro'yxatini tuzishingiz mumkin. Ammo matematiklar siz kabi mehnatkash emas.

Shuning uchun ular mustaqil hodisalarning ma'lum bir ketma-ketligining ehtimoli har safar bitta hodisaning ehtimolligi bilan kamayishini birinchi marta payqashdi va keyin isbotladilar.

Boshqa so'z bilan,

Xuddi shu, baxtsiz, tanga misolini ko'rib chiqing.

Sud jarayonida bosh ko'tarilish ehtimoli bormi? . Endi biz tanga tashlaymiz.

Ketma-ket quyruq olish ehtimoli qanday?

Bu qoida bizdan bir xil hodisaning ketma-ket bir necha marta sodir bo'lish ehtimolini topish so'ralgandagina ishlamaydi.

Agar biz ketma-ket burilishlarda TAILS-EGLE-TAILS ketma-ketligini topmoqchi bo'lsak, biz ham xuddi shunday qilamiz.

Quyruqlarni olish ehtimoli - , boshlar - .

TAILS-EGLE-TAILS-TAILS ketma-ketligini olish ehtimoli:

Jadval tuzib, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish qoidasi.

Shunday qilib, to'xtang! Yangi ta'rif.

Keling, buni aniqlaylik. Keling, eskirgan tangamizni olib, bir marta aylantiraylik.
Mumkin variantlar:

1. Burgut-burgut-burgut
2. Burgut-bosh-dumlar
3. Bosh-dumlar-burgut
4. Bosh-dumlar-dumlar
5. dumlar-burgut-burgut
6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
7. Dumlar-dumlar-boshlar
8. Quyruq-quyruq-dumlar

Shunday qilib, bu erda mos kelmaydigan hodisalar mavjud, bu ma'lum, berilgan voqealar ketma-ketligi. mos kelmaydigan hodisalardir.

Ikki (yoki undan ortiq) mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli nima ekanligini aniqlamoqchi bo'lsak, biz ushbu hodisalarning ehtimollarini qo'shamiz.

Burgut yoki quyruqning yo'qolishi ikkita mustaqil hodisa ekanligini tushunishingiz kerak.

Agar ketma-ketlikning (yoki boshqa har qanday) tushib qolish ehtimoli nima ekanligini aniqlamoqchi bo'lsak, ehtimolliklarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz.
Birinchi otishda boshlar, ikkinchi va uchinchilarda esa dumlar tushishi ehtimoli qanday?

Ammo agar biz bir nechta ketma-ketliklardan birini olish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchi bo'lsak, masalan, boshlar aynan bir marta kelganda, ya'ni. variantlar va, keyin biz bu ketma-ketliklarning ehtimolliklarini qo'shishimiz kerak.

Jami variantlar bizga mos keladi.

Har bir ketma-ketlikning paydo bo'lish ehtimolini qo'shib, xuddi shu narsani olishimiz mumkin:

Shunday qilib, biz ba'zi, mos kelmaydigan, hodisalar ketma-ketligining ehtimolini aniqlamoqchi bo'lganimizda, ehtimollarni qo'shamiz.

Qachon ko'paytirish va qachon qo'shish kerakligini chalkashtirmaslik uchun ajoyib qoida mavjud:

Keling, bir marta tanga tashlagan va boshlarni bir marta ko'rish ehtimolini bilmoqchi bo'lgan misolga qaytaylik.
Nima bo'ladi?

Tutish kerak:
(boshlar VA dumlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA boshlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA dumlar VA boshlar).
Va shunday bo'ladi:

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

5-misol

Qutida qalamlar bor. qizil, yashil, to'q sariq va sariq va qora. Qizil yoki yashil qalamlarni chizish ehtimoli qanday?

Qaror:

Nima bo'ladi? Biz tortib olishimiz kerak (qizil YOKI yashil).

Endi aniq, biz ushbu hodisalarning ehtimolini qo'shamiz:

Javob:

6-misol

O'lim ikki marta tashlanadi, jami 8 tasi kelishi ehtimoli qancha?

Qaror.

Qanday qilib ochko olishimiz mumkin?

(va) yoki (va) yoki (va) yoki (va) yoki (va).

Bir (har qanday) yuzdan tushish ehtimoli .

Biz ehtimollikni hisoblaymiz:

Javob:

Tayyorlamoq.

O'ylaymanki, endi sizga qachon ehtimollarni qanday hisoblash, qachon qo'shish va qachon ko'paytirish kerakligi aniq bo'ldi. Shunday emasmi? Keling, biroz mashq qilaylik.

Vazifalar:

Keling, kartalar palubasini olaylik, unda kartalar belkurak, yurak, 13 ta klub va 13 dafdir. Har bir kostyumdan Acegacha.

1. Klublarni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (birinchi chizilgan kartani maydonchaga qo'yamiz va aralashtiramiz)?
2. Qora kartochka (belkurak yoki to'qmoq) chizish ehtimoli qanday?
3. Rasmni (jak, malika, qirol yoki eys) chizish ehtimoli qanday?
4. Ikkita rasmni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (biz pastki chizilgan birinchi kartani olib tashlaymiz)?
5. Ikkita kartani olib, kombinatsiyani to'plash ehtimoli qanday - (Jek, Qirolicha yoki Qirol) va Ace Kartalar qanday ketma-ketlikda tortilishi muhim emas.

Javoblar:

1. Har bir qiymatdagi kartalar to'plamida bu quyidagilarni anglatadi:
2. Voqealar bog'liqdir, chunki birinchi chizilgan kartadan keyin kemadagi kartalar soni (shuningdek, "rasmlar" soni) kamaydi. Dastlab kemadagi jami jaklar, malikalar, qirollar va eyslar, bu birinchi karta bilan "rasm" ni chizish ehtimolini anglatadi:

   Biz kemadan birinchi kartani olib tashlayotganimiz sababli, bu kemada allaqachon karta qolganligini anglatadi, uning rasmlari bor. Ikkinchi karta bilan rasm chizish ehtimoli:

   Biz kemadan chiqqanimizda vaziyatga qiziqqanimiz uchun: "rasm" VA "rasm" , keyin biz ehtimolliklarni ko'paytirishimiz kerak:

   Javob:

3. Birinchi karta tortilgandan so'ng, palubadagi kartalar soni kamayadi, shuning uchun bizda ikkita variant bor:
   1) Birinchi karta bilan biz Aceni, ikkinchisini - jak, malika yoki qirolni chiqaramiz
   2) Birinchi karta bilan biz jek, malika yoki qirolni, ikkinchisi - aceni chiqaramiz. (ace va (jak yoki malika yoki qirol)) yoki ((jak yoki malika yoki qirol) va ace). Deckdagi kartalar sonini kamaytirishni unutmang!

Agar siz barcha muammolarni o'zingiz hal qila olgan bo'lsangiz, unda siz ajoyib odamsiz! Endi imtihonda ehtimollik nazariyasi bo'yicha topshiriqlar siz yong'oq kabi bosasiz!

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. O'RTACHA DARAJASI

Bir misolni ko'rib chiqing. Aytaylik, biz o'limni tashladik. Bu qanaqa suyak, bilasizmi? Bu yuzlarida raqamlar bo'lgan kubning nomi. Qancha yuz, shuncha raqam: dan nechtaga? Oldin.

Shunday qilib, biz o'limni aylantiramiz va uning yoki bilan kelishini xohlaymiz. Va biz tushamiz.

Ehtimollar nazariyasida ular nima bo'lganini aytishadi qulay voqea(yaxshilik bilan adashtirmaslik kerak).

Agar u tushib qolsa, voqea ham xayrli bo'lar edi. Hammasi bo'lib, faqat ikkita qulay hodisa yuz berishi mumkin.

Qancha yomon? Barcha mumkin bo'lgan voqealar sababli, ularning noqulaylari hodisalardir (agar u tushib qolsa yoki).

Ta'rifi:

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati.. Ya'ni, ehtimollik barcha mumkin bo'lgan hodisalarning qaysi nisbati qulay ekanligini ko'rsatadi.

Ular ehtimollikni lotin harfi bilan ifodalaydi (aftidan, inglizcha probability - probability so'zidan).

Ehtimollikni foiz sifatida o'lchash odatiy holdir (qarang va mavzular). Buning uchun ehtimollik qiymatini ko'paytirish kerak. Zar misolida, ehtimollik.

Va foizda: .

Misollar (o'zingiz qaror qiling):

1. Tanga otishning boshlarga tushishi ehtimoli qanday? Va quyruqning ehtimoli qanday?
2. Zar otilganda juft son kelishi ehtimoli qanday? Va nima bilan - g'alati?
3. Oddiy, ko'k va qizil qalamlar tortmasida. Biz tasodifiy bitta qalam chizamiz. Oddiysini tortib olish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

1. Qancha variant bor? Boshlar va quyruqlar - faqat ikkitasi. Va ularning qanchasi qulay? Faqat bittasi burgut. Shunday qilib, ehtimollik

   Quyruqlar bilan bir xil: .

2. Jami variantlar: (kubning nechta tomoni bor, juda ko'p turli xil variantlar). Qulay bo'lganlar: (bularning barchasi juft raqamlar :).
   Ehtimollik. G'alati, albatta, xuddi shu narsa bilan.
3. Jami: . Qulay: . Ehtimollik: .

To'liq ehtimollik

Jadvaldagi barcha qalamlar yashil rangda. Qizil qalam chizish ehtimoli qanday? Hech qanday imkoniyat yo'q: ehtimollik (axir, qulay voqealar -).

Bunday hodisa imkonsiz deb ataladi.

Yashil qalam chizish ehtimoli qanday? Jami hodisalar bo'lganidek, shunchalik qulay voqealar mavjud (barcha hodisalar qulay). Demak, ehtimollik yoki.

Bunday hodisa aniq deb ataladi.

Agar qutida yashil va qizil qalamlar bo'lsa, yashil yoki qizil qalamni chizish ehtimoli qanday? Yana. Quyidagi narsaga e'tibor bering: yashil rangni chizish ehtimoli teng, qizil esa .

Xulosa qilib aytganda, bu ehtimollar to'liq tengdir. Ya'ni, barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi yoki ga teng.

Misol:

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil rangni chizmaslik ehtimoli qanday?

Qaror:

Esda tutingki, barcha ehtimollar qo'shiladi. Va yashil rangni chizish ehtimoli teng. Bu yashil rangni chizmaslik ehtimoli teng ekanligini anglatadi.

Ushbu hiylani eslang: Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli - bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli minus.

Mustaqil hodisalar va ko'paytirish qoidasi

Siz tangani ikki marta aylantirasiz va u ikkala marta ham yuqoriga chiqishini xohlaysiz. Buning ehtimoli qanday?

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqamiz va ularning qancha ekanligini aniqlaymiz:

Burgut-burgut, dum-burgut, burgut-dum, dum-dum. Yana nima?

Butun variant. Ulardan faqat bittasi bizga mos keladi: Eagle-Eagle. Demak, ehtimollik teng.

Yaxshi. Endi tanga aylantiramiz. O'zingizni hisoblang. Bo'ldimi? (javob).

Siz har bir keyingi otish qo'shilishi bilan ehtimollik bir marta kamayishini payqagan bo'lishingiz mumkin. Umumiy qoida deyiladi ko'paytirish qoidasi:

Mustaqil hodisalarning ehtimoli o'zgaradi.

Mustaqil hodisalar nima? Hammasi mantiqiy: bular bir-biriga bog'liq bo'lmaganlar. Misol uchun, biz tangani bir necha marta tashlaganimizda, har safar yangi otish amalga oshiriladi, uning natijasi avvalgi barcha otishlarga bog'liq emas. Xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz bir vaqtning o'zida ikkita turli tanga tashlashimiz mumkin.

Ko'proq misollar:

1. O'lik ikki marta tashlanadi. Ikki marta paydo bo'lish ehtimoli qanday?
2. Tanga bir marta tashlandi. Avval bosh, keyin ikki marta dum olish ehtimoli qanday?
3. O'yinchi ikkita zar tashlaydi. Ulardagi sonlar yig'indisi teng bo'lish ehtimoli qanday?

Javoblar:

1. Hodisalar mustaqil, ya'ni ko'paytirish qoidasi ishlaydi: .
2. Burgutning ehtimoli teng. Quyruq ehtimoli ham. Biz ko'paytiramiz:
3. 12 ni faqat ikkita -ki tushib qolganda olish mumkin: .

Mos kelmaydigan hodisalar va qo'shish qoidasi

Mos kelmaydigan hodisalar bir-birini to'liq ehtimollik darajasida to'ldiradigan hodisalardir. Nomidan ko'rinib turibdiki, ular bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Misol uchun, agar biz tanga tashlasak, boshlar yoki dumlar tushishi mumkin.

Misol.

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil yoki qizil rangni chizish ehtimoli qanday?

Qaror.

Yashil qalam chizish ehtimoli teng. Qizil -.

Hammaning xayrli hodisalari: yashil + qizil. Shunday qilib, yashil yoki qizil chizish ehtimoli teng.

Xuddi shu ehtimollik quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin: .

Bu qo'shimcha qoida: mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

Aralash vazifalar

Misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Rulolarning natijasi boshqacha bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror.

Bu shuni anglatadiki, agar boshlar birinchi bo'lib chiqsa, quyruqlar ikkinchi bo'lishi kerak va aksincha. Ma’lum bo‘lishicha, bu yerda ikki juft mustaqil hodisa mavjud bo‘lib, bu juftliklar bir-biriga mos kelmaydi. Qaerga ko'paytirish va qaerga qo'shish haqida qanday qilib chalkashmaslik kerak.

Bunday holatlar uchun oddiy qoida mavjud. Voqealarni "VA" yoki "YOKI" uyushmalari bilan bog'lash orqali nima bo'lishi kerakligini tasvirlashga harakat qiling. Masalan, bu holatda:

Dumalash kerak (boshlar va quyruqlar) yoki (dumlar va boshlar).

Birlashma "va" bo'lgan joyda ko'paytirish bo'ladi va "yoki" qo'shilish bo'ladi:

O'zingiz sinab ko'ring:

1. Ikki tanga otishning ikkala tomoni ham bir xil bo'lishi ehtimoli qanday?
2. O'lik ikki marta tashlanadi. Yig'indi ball tushishi ehtimoli qanday?

Yechimlar:

1. (Bosh ko'tariladi va tepaga ko'tariladi) yoki (dumlari yuqoriga va yuqoriga ko'tariladi): .
2. Variantlar qanday? va. Keyin:
   Rolled (va) yoki (va) yoki (va): .

Yana bir misol:

Biz bir marta tanga tashlaymiz. Boshlarning kamida bir marta paydo bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror:

Oh, qanday qilib men variantlarni saralashni xohlamayman ... Bosh-quyruq-dumlar, Eagle-bosh-quyruq, ... Lekin kerak emas! Keling, to'liq ehtimollik haqida gapiraylik. Esingizdami? Burgutning ehtimoli qanday hech qachon tushmaydi? Bu oddiy: dumlar doimo uchib ketadi, bu degani.

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. ASOSIY HAQIDA QISQA

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati.

Mustaqil hodisalar

Agar birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, ikkita hodisa mustaqildir.

To'liq ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli ().

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli - bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli minus.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Mustaqil hodisalarning ma'lum bir ketma-ketligining ehtimoli har bir hodisaning ehtimollik ko'paytmasiga teng.

Mos kelmaydigan hodisalar

Mos kelmaydigan hodisalar - tajriba natijasida bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan hodisalar. Bir qator mos kelmaydigan hodisalar to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

Nima bo'lishi kerakligini tasvirlab, "VA" yoki "YOKI" birlashmalaridan foydalanib, "VA" o'rniga biz ko'paytirish belgisini qo'yamiz va "OR" o'rniga - qo'shish.

YouClever talabasi bo'ling,

OGE yoki matematikadan foydalanishga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever oʻquv qoʻllanmasiga cheksiz kirish huquqiga ega boʻling...

Ehtimollik hodisa - bu ma'lum bir hodisani qo'llab-quvvatlaydigan elementar natijalar sonining ushbu hodisa sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha teng darajada mumkin bo'lgan tajriba natijalari soniga nisbati. A hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi (bu yerda P fransuzcha probabilite – ehtimollik so‘zining birinchi harfi). Ta'rifga ko'ra
(1.2.1)
bu yerda A hodisaga mos keladigan elementar natijalar soni; - hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalarining soni.
Ehtimollikning bunday ta'rifi klassik deb ataladi. U ehtimollar nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida paydo bo'lgan.

Hodisa ehtimoli quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng. Keling, ma'lum bir voqeani harf bilan belgilaylik. Shuning uchun ma'lum bir hodisa uchun
(1.2.2)
2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz imkonsiz hodisani harf bilan belgilaymiz. Shuning uchun imkonsiz hodisa uchun
(1.2.3)
3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli birdan kichik musbat son sifatida ifodalanadi. Chunki tengsizliklar , yoki tasodifiy hodisa uchun qanoatlansa, keyin
(1.2.4)
4. Har qanday hodisaning ehtimoli tengsizliklarni qanoatlantiradi
(1.2.5)
Bu (1.2.2) -(1.2.4) munosabatlaridan kelib chiqadi.

1-misol Bir urnada bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi 10 ta shar bor, ulardan 4 tasi qizil va 6 tasi ko'k. To'pdan bitta to'p olinadi. Chizilgan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror. "Chizilgan to'p ko'k bo'lib chiqdi" hodisasi A harfi bilan belgilanadi. Bu test 10 ta teng mumkin bo'lgan elementar natijalarga ega, ulardan 6 tasi A hodisasini qo'llab-quvvatlaydi. (1.2.1) formulaga muvofiq, biz olamiz.

2-misol 1 dan 30 gacha bo'lgan barcha natural sonlar bir xil kartochkalarga yoziladi va urnaga joylashtiriladi. Kartalarni yaxshilab aralashtirgandan so'ng, bitta karta urnadan chiqariladi. Chizilgan kartadagi raqam 5 ga karrali bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror.“Olingan kartadagi raqam 5 ga karrali” hodisasini A bilan belgilang. Ushbu testda 30 ta teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud bo'lib, ulardan 6 tasi A hodisasini qo'llab-quvvatlaydi (5, 10, 15, 20, 25, 30 raqamlari). Demak,

3-misol Ikkita zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Kublarning yuqori yuzlari jami 9 ballga ega bo'lishidan iborat bo'lgan B hodisasining ehtimolini toping.

Qaror. Ushbu sinovda 6 2 = 36 teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud. B hodisasi 4 ta natija bilan ma'qullanadi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), shuning uchun

4-misol. 10 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo‘lish ehtimoli qanday?

Qaror.“Tanlangan son tub” hodisasini C harfi bilan belgilang. Bu holda n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 tub sonlar). Shuning uchun, kerakli ehtimollik

5-misol Ikkita simmetrik tanga tashlangan. Ikkala tanganing ustki tomonida raqamlar bo'lishi ehtimoli qanday?

Qaror.“Har bir tanganing yuqori tomonida raqam bor edi” hodisasini D harfi bilan belgilaymiz. Ushbu testda 4 ta teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G, C) yozuvi birinchi tangada gerb, ikkinchisida raqam borligini bildiradi). D hodisasi bitta elementar natija (C, C) tomonidan ma'qullanadi. m = 1 bo'lgani uchun, n = 4, demak

6-misol Tasodifiy tanlangan ikki xonali sondagi raqamlar bir xil bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror. Ikki xonali sonlar - 10 dan 99 gacha bo'lgan raqamlar; jami 90 ta shunday raqamlar mavjud.9 ta raqam bir xil raqamlarga ega (bular 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 raqamlari). Chunki bu holda m = 9, n = 90, u holda
,
Bu erda A - "bir xil raqamlarga ega bo'lgan raqam" hodisasi.

7-misol So'zning harflaridan differensial bitta harf tasodifiy tanlanadi. Bu harfning bo'lish ehtimoli qanday: a) unli b) undosh c) harf h?

Qaror. Differensial so'zda 12 ta harf mavjud bo'lib, shundan 5 tasi unli, 7 tasi undosh. Xatlar h bu so'z yo'q. Hodisalarni belgilaymiz: A - "unli", B - "undosh", C - "harf h". Qulay elementar natijalar soni: - A hodisasi uchun, - B hodisasi uchun, - C hodisasi uchun. n \u003d 12 dan beri, keyin
, va .

8-misol Ikkita zar tashlanadi, har bir zarning yuqori yuzidagi ochkolar soni qayd etiladi. Ikkala zarning ham bir xil miqdordagi ochkoga ega bo'lish ehtimolini toping.

Qaror. Bu hodisani A harfi bilan belgilaymiz. A hodisasi 6 ta elementar natija bilan yoqlanadi: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Hammasi bo'lib hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud, bu holda n=6 2 =36. Shunday qilib, kerakli ehtimollik

9-misol Kitob 300 sahifadan iborat. Tasodifiy ochilgan sahifaning 5 ga karrali tartib raqamiga ega bo'lish ehtimoli qanday?

Qaror. Masala shartlaridan kelib chiqadiki, hodisalarning to‘liq guruhini tashkil etuvchi barcha teng darajada mumkin bo‘lgan elementar natijalardan n=300 tasi bo‘ladi.Ulardan m=60tasi ko‘rsatilgan hodisaning sodir bo‘lishini ma’qullaydi. Darhaqiqat, 5 ga karrali son 5k ko'rinishga ega bo'lib, bu erda k natural son va , bu erdan . Demak,
, bu erda A - "sahifa" hodisasi 5 ga karrali tartib raqamiga ega.

10-misol. Ikkita zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 7 yoki 8 ball olish ehtimoli qanday?

Qaror. Hodisalarni belgilaymiz: A - "7 ball tushib ketdi", B - "8 ball tushdi". A hodisasi 6 ta elementar natija bilan ma'qullanadi: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) va B hodisasi - tomonidan 5 ta natija: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Hamma teng mumkin bo‘lgan elementar natijalardan n = 6 2 = 36 ta mavjud.Demak, va .

Demak, P(A)>P(B), ya’ni jami 7 ball olish, jami 8 ball olishdan ko‘ra ko‘proq ehtimoliy hodisadir.

Vazifalar

1. 30 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning 3 ga karrali bo‘lish ehtimoli qanday?
2. urna ichida a qizil va b bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi ko'k sharlar. Ushbu urnadan tasodifiy olingan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?
3. 30 dan oshmaydigan son tasodifiy tanlanadi.Bu son zo ning bo‘luvchisi bo‘lish ehtimoli qanday?
4. Urun ichida a ko'k va b bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi qizil to'plar. Ushbu urnadan bitta to'p chiqariladi va chetga qo'yiladi. Bu to'p qizil. Keyin urnadan yana bir to'p chiqariladi. Ikkinchi to'pning ham qizil bo'lish ehtimolini toping.
5. 50 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo‘lish ehtimoli qanday?
6. Uchta zar tashlanadi, yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Nima ko'proq - jami 9 yoki 10 ball olish uchun?
7. Uchta zar tashlanadi, tushgan ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 11 (A hodisasi) yoki 12 ball (B hodisasi) olish ehtimoli qanday?

Javoblar

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - jami 9 ball olish ehtimoli; p 2 \u003d 27/216 - jami 10 ball olish ehtimoli; p2 > p1 7 . P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A) > P (B).

Savollar

1. Hodisa yuzaga kelishi ehtimoli nima deyiladi?
2. Muayyan hodisaning ehtimoli qanday?
3. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nimaga teng?
4. Tasodifiy hodisaning ehtimollik chegaralari qanday?
5. Har qanday hodisaning ehtimollik chegaralari qanday?
6. Ehtimolning qanday ta’rifi klassik deyiladi?

Ko'p odamlar ko'proq yoki kamroq tasodifiy hodisalarni hisoblash mumkinmi, deb o'ylashlari dargumon. Oddiy qilib aytganda, o'limning qaysi tomoni keyingi tushishini bilish haqiqatmi? Hodisa ehtimoli ancha keng o‘rganiladigan ehtimollar nazariyasi kabi fanga asos solgan ikki buyuk olim mana shu savolni bergan edi.

Kelib chiqishi

Agar siz ehtimollik nazariyasi kabi tushunchaga ta'rif berishga harakat qilsangiz, siz quyidagilarni olasiz: bu tasodifiy hodisalarning doimiyligini o'rganadigan matematikaning bo'limlaridan biridir. Albatta, bu kontseptsiya haqiqatan ham butun mohiyatni ochib bermaydi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Men nazariyani yaratuvchilardan boshlamoqchiman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ulardan ikkitasi bor edi va ular birinchilardan bo'lib, formulalar va matematik hisob-kitoblar yordamida hodisaning natijasini hisoblashga harakat qilishdi. Umuman olganda, bu fanning boshlanishi o'rta asrlarda paydo bo'lgan. O'sha paytda turli mutafakkirlar va olimlar qimor o'yinlarini, masalan, ruletka, craps va hokazolarni tahlil qilishga harakat qilishdi va shu bilan ma'lum bir raqamning tushib qolish naqshini va foizini o'rnatdilar. XVII asrda yuqorida tilga olingan olimlar tomonidan asos solingan.

Avvaliga ularning ishlarini bu sohadagi katta yutuqlar bilan bog‘lab bo‘lmasdi, chunki ular qilgan hamma narsa shunchaki empirik faktlar bo‘lib, tajribalar formulalardan foydalanmasdan vizual tarzda o‘rnatildi. Vaqt o'tishi bilan zar otishni kuzatish natijasida paydo bo'lgan ajoyib natijalarga erishildi. Aynan shu vosita birinchi tushunarli formulalarni olishga yordam berdi.

Hamfikr odamlar

“Ehtimollar nazariyasi” (hodisa ehtimoli aynan shu fanda yoritilgan) mavzuni o‘rganish jarayonida Kristian Gyuygens kabi shaxsni tilga olmaslik mumkin emas. Bu odam juda qiziq. U, yuqorida keltirilgan olimlar singari, tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini matematik formulalar shaklida olishga harakat qildi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u buni Paskal va Fermat bilan birga qilmagan, ya'ni uning barcha asarlari hech qanday tarzda bu aqllar bilan kesishmagan. Gyuygens olib chiqdi

Qizig'i shundaki, uning ishi kashfiyotchilarning ish natijalaridan ancha oldin, aniqrog'i, yigirma yil oldin paydo bo'lgan. Belgilangan tushunchalar orasida eng mashhurlari:

• tasodifning kattaligi sifatidagi ehtimollik tushunchasi;
• diskret holatlar uchun matematik kutish;
• ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish teoremalari.

Muammoni o'rganishga kimning ham katta hissa qo'shganini eslamaslik ham mumkin emas. Hech kimdan mustaqil ravishda o'z sinovlarini o'tkazar ekan, u katta sonlar qonunining isbotini keltira oldi. O'z navbatida, XIX asr boshlarida ishlagan olimlar Puasson va Laplas asl teoremalarni isbotlay oldilar. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi kuzatishlar jarayonida xatolarni tahlil qilish uchun qo'llanila boshlandi. Rus olimlari, aniqrog'i Markov, Chebishev va Dyapunovlar ham bu fanni chetlab o'ta olmadilar. Buyuk daholar qilgan ishlardan kelib chiqib, bu fanni matematikaning bir tarmog‘i sifatida mustahkamladilar. Bu raqamlar o'n to'qqizinchi asrning oxirida allaqachon ishlagan va ularning hissasi tufayli quyidagi hodisalar mavjud:

• katta sonlar qonuni;
• Markov zanjirlari nazariyasi;
• markaziy chegara teoremasi.

Shunday qilib, fanning tug'ilish tarixi va unga ta'sir ko'rsatgan asosiy odamlar bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Endi barcha faktlarni aniqlashtirish vaqti keldi.

Asosiy tushunchalar

Qonunlar va teoremalarga to'xtashdan oldin, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalarini o'rganishga arziydi. Unda bosh rolni voqea egallaydi. Bu mavzu juda katta, ammo usiz hamma narsani tushunish mumkin bo'lmaydi.

Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu tajriba natijalarining har qanday to'plamidir. Ushbu hodisa haqida juda ko'p tushunchalar mavjud emas. Xullas, bu sohada ish olib borayotgan olim Lotmanning aytishicha, bu holatda gap "bo'lmagan bo'lsa ham, sodir bo'lgan" haqida ketmoqda.

Tasodifiy hodisalar (ehtimollik nazariyasi ularga alohida e'tibor beradi) - bu sodir bo'lish qobiliyatiga ega bo'lgan mutlaqo har qanday hodisani nazarda tutadigan tushuncha. Yoki, aksincha, bu stsenariy ko'p shartlar bajarilganda sodir bo'lmasligi mumkin. Bu sodir bo'lgan hodisalarning butun hajmini qamrab oladigan tasodifiy hodisalar ekanligini ham bilish kerak. Ehtimollar nazariyasi barcha shartlar doimiy ravishda takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. Aynan ularning xatti-harakatlari "tajriba" yoki "sinov" deb nomlangan.

Muayyan hodisa - bu berilgan testda 100% sodir bo'ladigan hodisa. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea sodir bo'lmaydigan voqeadir.

Bir juft harakatlar birikmasi (shartli ravishda A va B hollari) bir vaqtning o'zida sodir bo'ladigan hodisadir. Ular AB sifatida belgilanadi.

A va B hodisa juftlarining yig'indisi C ga teng, boshqacha qilib aytganda, agar ulardan kamida bittasi ro'y bersa (A yoki B), u holda C olinadi.Tasvirlangan hodisaning formulasi quyidagicha yoziladi: C \u003d A + B.

Ehtimollar nazariyasidagi ajratilgan hodisalar bu ikki holat bir-birini istisno qilishini anglatadi. Ular hech qachon bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Ehtimollar nazariyasidagi qo'shma hodisalar ularning antipodidir. Bu shuni anglatadiki, agar A sodir bo'lgan bo'lsa, u hech qanday tarzda B ga to'sqinlik qilmaydi.

Qarama-qarshi hodisalar (ehtimollar nazariyasi ular bilan batafsil shug'ullanadi) tushunish oson. Taqqoslashda ular bilan shug'ullanish yaxshidir. Ular ehtimollik nazariyasidagi mos kelmaydigan hodisalar bilan deyarli bir xil. Ammo ularning farqi shundaki, har qanday holatda ham ko'p hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak.

Teng ehtimolli hodisalar - takrorlanish ehtimoli teng bo'lgan harakatlar. Aniqroq bo'lishi uchun, biz tanga otilishini tasavvur qilishimiz mumkin: uning bir tomonini yo'qotish ikkinchisidan tushish ehtimoli teng.

Qulay hodisani misol bilan ko'rish osonroq. Aytaylik, B epizod va A epizodlari bor. Birinchisi, toq sonning ko'rinishi bilan matritsaning rulosi, ikkinchisi esa besh raqamining matritsada ko'rinishi. Keyin ma'lum bo'ladiki, A B.

Ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalar faqat ikki yoki undan ortiq holatlarga prognoz qilinadi va har qanday harakatning boshqasidan mustaqilligini bildiradi. Masalan, A - tanga otishda quyruqlarni tushirish va B - kemadan jek olish. Ular ehtimollar nazariyasida mustaqil hodisalardir. Shu nuqtada, bu aniqroq bo'ldi.

Ehtimollar nazariyasidagi qaram hodisalar ham faqat ularning to'plami uchun joizdir. Ular birining ikkinchisiga bog'liqligini bildiradi, ya'ni B hodisasi faqat A sodir bo'lgan yoki aksincha, bu B uchun asosiy shart bo'lganda sodir bo'lmagan bo'lishi mumkin.

Bir komponentdan tashkil topgan tasodifiy tajriba natijasi elementar hodisalardir. Ehtimollar nazariyasi bu faqat bir marta sodir bo'lgan hodisa ekanligini tushuntiradi.

Asosiy formulalar

Demak, yuqorida “hodisa”, “ehtimollar nazariyasi” tushunchalari ko‘rib chiqildi, bu fanning asosiy atamalarining ta’rifi ham berildi. Endi muhim formulalar bilan bevosita tanishish vaqti keldi. Bu iboralar ehtimollar nazariyasi kabi murakkab mavzudagi barcha asosiy tushunchalarni matematik jihatdan tasdiqlaydi. Bu erda voqea ehtimoli ham katta rol o'ynaydi.

Asosiylaridan boshlash yaxshidir.Va ularga o'tishdan oldin, bu nima ekanligini ko'rib chiqishga arziydi.

Kombinatorika birinchi navbatda matematikaning bir bo'limi bo'lib, u juda ko'p sonlarni o'rganish bilan shug'ullanadi, shuningdek, raqamlarning o'zlari va ularning elementlari, turli xil ma'lumotlar va boshqalarni o'rganish bilan shug'ullanadi, bu esa bir qator kombinatsiyalarning paydo bo'lishiga olib keladi. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, bu soha statistika, informatika va kriptografiya uchun muhimdir.

Shunday qilib, endi siz formulalarning o'zlari va ularning ta'rifi taqdimotiga o'tishingiz mumkin.

Ulardan birinchisi almashtirishlar sonining ifodasi bo'ladi, u quyidagicha ko'rinadi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Tenglama faqat elementlarning tartibida farq qilsagina amal qiladi.

Endi joylashtirish formulasi ko'rib chiqiladi, u quyidagicha ko'rinadi:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifoda nafaqat elementning tartibiga, balki uning tarkibiga ham tegishli.

Kombinatorikaning uchinchi tenglamasi va u ham oxirgisi, kombinatsiyalar soni formulasi deb ataladi:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinatsiya navbati bilan tartiblanmagan tanlov deb ataladi va bu qoida ularga tegishli.

Kombinatorika formulalarini aniqlash oson bo'lib chiqdi, endi biz ehtimolliklarning klassik ta'rifiga o'tishimiz mumkin. Bu ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu formulada m - A hodisasi uchun qulay shartlar soni, n - mutlaqo barcha teng mumkin bo'lgan va elementar natijalar soni.

Ko'p sonli iboralar mavjud, maqola ularning barchasini qamrab olmaydi, lekin ulardan eng muhimi, masalan, voqealar yig'indisining ehtimoli kabilarga to'xtalib o'tadi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorema faqat mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish uchun;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - va bu faqat mos keladiganlarni qo'shish uchun.

Hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - bu teorema mustaqil hodisalar uchun;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - va bu qaramlar uchun.

Voqea formulasi ro'yxatni tugatadi. Ehtimollar nazariyasi Bayes teoremasi haqida gapirib beradi, u quyidagicha ko'rinadi:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Ushbu formulada H 1, H 2, …, H n gipotezalarning to'liq guruhidir.

Misollar

Agar siz matematikaning biron bir sohasini diqqat bilan o'rgansangiz, u mashqlarsiz va namunali echimlarsiz to'liq bo'lmaydi. Ehtimollar nazariyasi ham shunday: hodisalar, misollar bu erda ilmiy hisob-kitoblarni tasdiqlovchi ajralmas komponentdir.

O'zgartirishlar soni uchun formula

Aytaylik, kartalar to'plamida nominal qiymatidan boshlab o'ttizta karta bor. Keyingi savol. Bir va ikkita nominal qiymatiga ega bo'lgan kartalar bir-birining yonida bo'lmasligi uchun palubalarni yig'ishning nechta usuli bor?

Vazifa qo'yildi, endi uni hal qilishga o'tamiz. Avval siz o'ttiz elementning almashtirish sonini aniqlashingiz kerak, buning uchun biz yuqoridagi formulani olamiz, P_30 = 30 chiqadi!.

Ushbu qoidaga asoslanib, biz pastki qavatni turli yo'llar bilan katlamaning qancha variantlari borligini bilib olamiz, ammo ulardan birinchi va ikkinchi kartalar keyingisini olib tashlashimiz kerak. Buning uchun birinchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan variantdan boshlaylik. Ma'lum bo'lishicha, birinchi karta yigirma to'qqizta o'rinni egallashi mumkin - birinchidan yigirma to'qqizinchigacha, ikkinchi karta esa ikkinchidan o'ttizinchigacha, u bir juft karta uchun faqat yigirma to'qqizta o'rinni egallaydi. O'z navbatida, qolganlari yigirma sakkizta o'rinni egallashi mumkin va har qanday tartibda. Ya'ni, yigirma sakkizta kartani almashtirish uchun P_28 = 28 yigirma sakkizta variant mavjud!

Natijada, agar birinchi karta ikkinchisidan yuqori bo'lsa, echimni ko'rib chiqsak, 29 ⋅ 28 qo'shimcha imkoniyatlar mavjud! = 29!

Xuddi shu usuldan foydalanib, birinchi karta ikkinchisining ostida bo'lgan holat uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblashingiz kerak. Bundan tashqari, 29 ⋅ 28 chiqadi! = 29!

Bundan kelib chiqadiki, 2 ⋅ 29! qo'shimcha variant bor, shu bilan birga paluba qurishning 30 ta zarur usuli mavjud! - 2 ⋅ 29!. Faqat hisoblash uchun qoladi.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Endi siz birdan yigirma to'qqizgacha bo'lgan barcha raqamlarni o'zaro ko'paytirishingiz kerak va oxirida hamma narsani 28 ga ko'paytirishingiz kerak. Javob: 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Misol yechim. Joylashtirish raqami uchun formula

Ushbu muammoda siz o'n besh jildni bitta javonga qo'yishning qancha usullari borligini, lekin jami o'ttiz jild bo'lishi sharti bilan bilib olishingiz kerak.

Ushbu muammoni hal qilish avvalgisiga qaraganda biroz sodda. Ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, o'n beshta o'ttiz jilddan tartiblarning umumiy sonini hisoblash kerak.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720703

Javob mos ravishda 202 843 204 931 727 360 000 ga teng bo'ladi.

Endi vazifani biroz qiyinroq hal qilaylik. Bitta javonda faqat o'n besh jild bo'lishi mumkin bo'lsa, ikkita kitob javonida o'ttizta kitobni joylashtirishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak.

Yechimni boshlashdan oldin, men aniqlik kiritmoqchimanki, ba'zi muammolar bir necha usul bilan hal qilinadi, shuning uchun buning ikkita usuli bor, lekin ikkalasida ham bir xil formuladan foydalaniladi.

Ushbu muammoda siz avvalgisidan javob olishingiz mumkin, chunki u erda biz javonni o'n beshta kitob bilan necha marta turli yo'llar bilan to'ldirishingiz mumkinligini hisoblab chiqdik. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 bo'lib chiqdi.

Biz ikkinchi javonni almashtirish formulasi bo'yicha hisoblaymiz, chunki unda o'n beshta kitob joylashtirilgan, faqat o'n beshtasi qolgan. Biz P_15 = 15 formulasidan foydalanamiz!.

Ma'lum bo'lishicha, jami A_30^15 ⋅ P_15 yo'llari bo'ladi, lekin qo'shimcha ravishda o'ttizdan o'n oltigacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasini birdan o'n beshgacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga ko'paytirish kerak bo'ladi, natijada birdan o'ttizgacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasi olinadi, ya'ni javob 30 ga teng!

Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin - osonroq. Buning uchun siz o'ttizta kitob uchun bitta javon borligini tasavvur qilishingiz mumkin. Ularning barchasi ushbu tekislikda joylashtirilgan, ammo shart ikkita javon bo'lishini talab qilganligi sababli, biz bitta uzunni yarmini kesib tashladik, har biri ikkita o'n beshta bo'lib chiqadi. Bundan ma'lum bo'ladiki, joylashtirish variantlari P_30 = 30 bo'lishi mumkin!.

Misol yechim. Kombinatsiyalangan raqam uchun formula

Endi biz kombinatorikadan uchinchi masala variantini ko'rib chiqamiz. O'ttizta mutlaqo bir xil kitobdan tanlash kerak bo'lsa, o'n beshta kitobni tartibga solishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak.

Yechim uchun, albatta, kombinatsiyalar sonining formulasi qo'llaniladi. Shartdan ma'lum bo'ladiki, bir xil o'n besh kitobning tartibi muhim emas. Shuning uchun, dastlab siz o'n beshdan o'ttizta kitobning umumiy sonini bilib olishingiz kerak.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : o'n besh ! = 155 117 520

Hammasi shu. Ushbu formuladan foydalanib, eng qisqa vaqt ichida bunday muammoni hal qilish mumkin edi, javob mos ravishda 155 117 520 ni tashkil qiladi.

Misol yechim. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Yuqoridagi formuladan foydalanib, oddiy masalada javob topishingiz mumkin. Ammo bu harakatlarni vizual ravishda ko'rish va kuzatishga yordam beradi.

Muammo shundaki, urnada o'nta mutlaqo bir xil to'p bor. Ulardan to‘rttasi sariq, oltitasi ko‘k rangda. Idishdan bitta to'p olinadi. Siz ko'k rangga ega bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

Muammoni hal qilish uchun ko'k to'pni olishni A hodisasi sifatida belgilash kerak. Bu tajriba o'nta natijaga ega bo'lishi mumkin, bu esa, o'z navbatida, elementar va bir xil ehtimolga ega. Shu bilan birga, o'ndan oltitasi A hodisasi uchun qulaydir. Biz formuladan foydalanib hal qilamiz:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ushbu formulani qo'llash orqali biz ko'k to'pni olish ehtimoli 0,6 ekanligini aniqladik.

Misol yechim. Hodisalar yig'indisining ehtimoli

Endi hodisalar yig'indisining ehtimollik formulasi yordamida hal qilinadigan variant taqdim etiladi. Shunday qilib, ikkita quti borligini hisobga olsak, birinchisida bitta kulrang va beshta oq sharlar, ikkinchisida sakkizta kulrang va to'rtta oq sharlar mavjud. Natijada, ulardan biri birinchi va ikkinchi qutilardan olingan. Chiqarilgan to'plarning kulrang va oq bo'lishi ehtimoli qanday ekanligini aniqlash kerak.

Ushbu muammoni hal qilish uchun voqealarni belgilash kerak.

• Shunday qilib, A - birinchi qutidan kulrang to'pni oling: P (A) = 1/6.
• A '- ular birinchi qutidan ham oq to'pni olishdi: P (A ") \u003d 5/6.
• B - kulrang to'p allaqachon ikkinchi qutidan chiqarilgan: P (B) = 2/3.
• B' - ikkinchi qutidan kulrang to'pni olishdi: P (B") = 1/3.

Muammoning shartiga ko'ra, hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak: AB 'yoki A'B. Formuladan foydalanib, biz olamiz: P (AB") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Endi ehtimollikni ko'paytirish formulasi qo'llanildi. Keyinchalik, javobni bilish uchun siz ularni qo'shish uchun tenglamani qo'llashingiz kerak:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Shunday qilib, formuladan foydalanib, siz shunga o'xshash muammolarni hal qilishingiz mumkin.

Natija

Maqolada voqea ehtimoli hal qiluvchi rol o'ynaydigan "Ehtimollar nazariyasi" mavzusi haqida ma'lumot berilgan. Albatta, hamma narsa hisobga olinmadi, lekin taqdim etilgan matnga asoslanib, matematikaning ushbu bo'limi bilan nazariy jihatdan tanishish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan fan nafaqat professional ishda, balki kundalik hayotda ham foydali bo'lishi mumkin. Uning yordami bilan siz har qanday hodisaning har qanday imkoniyatini hisoblashingiz mumkin.

Matnda, shuningdek, ehtimollik nazariyasi fan sifatida shakllanish tarixidagi muhim sanalar va unga asarlari sarmoya qilingan odamlarning ismlari to'g'risida gapirildi. Shunday qilib, insonning qiziqishi odamlarning tasodifiy hodisalarni ham hisoblashni o'rganishiga olib keldi. Bir paytlar ular shunchaki qiziqqan edilar, ammo bugun hamma bu haqda biladi. Va hech kim bizni kelajakda nima kutayotganini, ko'rib chiqilayotgan nazariya bilan bog'liq yana qanday ajoyib kashfiyotlar qilishini aytmaydi. Ammo bir narsa aniq - tadqiqot to'xtamaydi!

Iqtisodiyotda, shuningdek, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, tovarlarni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shu sababli, ishlab chiqarish va sotishni tashkil qilishda bunday faoliyat natijalarini yoki o'zining oldingi tajribasi yoki boshqa odamlarning shunga o'xshash tajribasi yoki sezgi asosida bashorat qilish kerak, bu ham asosan eksperimental ma'lumotlarga asoslanadi.

Ko'rib chiqilayotgan voqeani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiy agar tajriba natijasida u sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Tadbir deyiladi ishonchli, bu tajriba natijasida, albatta, paydo bo'lsa, va imkonsiz agar bu tajribada ko'rinmasa.

Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ma'lum bir hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishi mumkin bo'lmagan hodisa sifatida qaralishi mumkin.

Ehtimollar nazariyasining asosiy muammolaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash muammosidir.

Hodisalar algebrasi

Agar bir xil tajribada ularni birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.

so'm hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa

Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.

ish hodisalar bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisa deyiladi

Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita tovarning paydo bo'lishidan iborat bo'lgan voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning ko'rinishi.

Voqealar hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi, agar ulardan kamida bittasi tajribada sodir bo'lsa.

Misol. Portda kemalar uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.

Agar qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari

Bir xil darajada mumkin bo'lgan sinov natijalarining (tajribalarning) har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Masalan, zar tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra oltita elementar natija bo'lishi mumkin.

Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.

Hodisa ehtimolining ikkita ta'rifi eng keng tarqalgan: klassik va statistik.

Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.

Chiqish deyiladi qulay bu hodisa, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.

Berilgan misolda ko'rib chiqilayotgan hodisa tushirilgan chekkadagi nuqtalarning juft soni bo'lib, uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Shunday qilib, bu erda siz hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanishingiz mumkin.

Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir

hodisaning ehtimoli qayerda , hodisa uchun qulay natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.

Ko'rib chiqilgan misolda

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Hodisa sodir bo'lishining nisbiy chastotasi formula bo'yicha hisoblanadi

qayerda - bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo'lish soni.

Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashtirilgan (o'rnatilgan) soni.

Amaliy masalalarda yetarlicha ko'p sonli sinovlar uchun nisbiy chastota hodisaning ehtimoli sifatida qabul qilinadi.

Hodisa ehtimolining ushbu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo amal qiladi

(1.1) formula asosida hodisa ehtimolini aniqlash uchun qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi.