1.Eksenel momentlar o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan inersiya x0y (uchburchakning tomonlari bilan mos tushadi) (2.17-rasm).
O'qga nisbatan inersiya momentini aniqlash X cheksiz kichik kenglikdagi chiziq shaklida elementar maydonni tanlang du, parallel o'q X, masofada da undan. Sayt maydoni
. Ip uzunligi b(y) uchburchaklarning asoslari bilan oʻxshashligini aniqlang b(y) va b,
qayerda 
. Keyin 
. Uni almashtirish uchun ifodalangan nisbat I x(2.21) va integratsiya chegaralarini belgilash "0- h", olamiz
.
Xuddi shunday ta'riflangan men y.
2. O’qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti x0y (uchburchakning tomonlari bilan mos keladi)
Ta'rifga ko'ra markazdan qochma inertsiya momenti ga teng
Biz avvalgidek bir xil elementar platformadan foydalanamiz (2.17-rasmga qarang). Koordinata sifatida X elementar maydonning og'irlik markazining koordinatasini qabul qilamiz
.
Biz ushbu ifodani, shuningdek, formulani almashtiramiz dA integral ostida va 0 dan oraliqda integrallash h
Shunday qilib, kesimning inersiya momentlari uchun formulalar, shaklda to'g'ri uchburchak, oyoqlarga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan, shaklga ega
E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan qism uchun uchburchakning oyoqlariga parallel bo'lgan markaziy o'qlarga (CO) nisbatan inersiya momentlari ko'proq qiziqish uyg'otadi.
3. O'zaro perpendikulyar CO larga nisbatan inersiya momentlari x c cy c (uchburchakning yon tomonlariga parallel)
To'g'ri burchakli uchburchakning o'qlarga nisbatan inersiya momentlari formulalari x c cy c(2.17-rasmga qarang) iboralar (2.24), shuningdek, teorema yordamida olish oson. parallel uzatish o'qlar, bunga ko'ra:
eksenel inersiya momentlari 
; 
;
markazdan qochma inersiya momenti 
.
Bu yerda: a, e koordinatalar tizimidagi kesmaning og'irlik markazining koordinatalari x0y
Ushbu ifodalarni, shuningdek (2.24) munosabatlarni yuqoridagi formulalarga almashtirib, olamiz
(2.25)
E'tibor bering, kesimning o'qlarga nisbatan yo'nalishi markazdan qochma inersiya momentining belgisiga ta'sir qiladi. Ko'rib chiqilgan yo'nalish uchun ma'lum bo'ldi<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ da(ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklari). Bu olingan markazdan qochma inertsiya momentining salbiy belgisini aniqlaydi. Quyida yon tomonlarga parallel ravishda CO ga nisbatan to'g'ri burchakli uchburchakning turli yo'nalishlari bo'lgan sxemalar mavjud, ular uchun belgi ko'rsatilgan.
Tuzilmalar qismlarining mustahkamligini tekshirganda, biz to'rtburchaklar va aylana uchun ishlatganimizdek, inertsiya momentini oddiy tarzda hisoblash mumkin bo'lmagan juda murakkab shakldagi qismlar bilan uchrashishimiz kerak.
Bunday bo'lim, masalan, Toros bo'lishi mumkin (5-rasm). a) bukuvchi trubaning (samolyot konstruksiyalari) halqasimon qismi (5-rasm, b), milya bo'yinining halqali qismi yoki undan ham murakkab bo'laklar. Ushbu bo'limlarning barchasini to'rtburchaklar, uchburchaklar, doiralar va boshqalar kabi eng oddiy qismlarga bo'lish mumkin. Ko'rsatish mumkinki, bunday murakkab figuraning inersiya momenti biz uni ajratadigan qismlarning inersiya momentlarining yig'indisidir.
5-rasm. Toros tipidagi bo'limlar - a) va halqa b)
Ma'lumki, har qanday figuraning o'qga nisbatan inersiya momenti da— da teng:
qayerda z— elementar maydonlarning o'qqa bo'lgan masofasi da—da.
Olingan maydonni to'rt qismga ajratamiz: , , va . Endi, inertsiya momentini hisoblashda, tanlangan to'rtta maydonning har biri uchun yig'indini alohida bajarish uchun integratsiyadagi shartlarni guruhlashingiz va keyin bu yig'indilarni qo'shishingiz mumkin. Bundan integralning qiymati o'zgarmaydi.
Bizning integralimiz to'rtta integralga bo'linadi, ularning har biri , va sohalaridan birini qamrab oladi:
Ushbu integrallarning har biri o'qqa nisbatan maydonning tegishli qismining inersiya momentini ifodalaydi da— da; Shunung uchun
o'qga nisbatan inersiya momenti qayerda da — da maydon, - maydon uchun bir xil va hokazo.
Olingan natijani quyidagicha shakllantirish mumkin: murakkab figuraning inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shunday qilib, biz har qanday figuraning uning tekisligida yotgan har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblay olishimiz kerak.
Ushbu muammoning yechimi hozirgi va keyingi ikkita intervyuning mazmunidir.
Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari.
Vazifa - har qanday o'qga nisbatan har qanday figuraning inersiya momentini hisoblash uchun eng oddiy formulalarni olish - bir necha bosqichda hal qilinadi. Agar biz bir-biriga parallel bo'lgan bir qator o'qlarni olsak, figuraning og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan uning inersiya momentini bilgan holda, bu o'qlarning istalganiga nisbatan figuraning inersiya momentlarini osongina hisoblash mumkin bo'ladi. tanlangan o'qlarga parallel.
1-rasm. Parallel o'qlar uchun inersiya momentlarini aniqlash uchun hisoblash modeli.
Og'irlik markazidan o'tadigan o'qlar chaqiriladi markaziy o'qlar. Keling, (1-rasm) ixtiyoriy raqamni olaylik. Markaziy o'qni chizish OU, bu o'qqa nisbatan inersiya momenti deyiladi. Shakl tekisligida o'qni chizing parallel boltalar da undan uzoqda. va - o'qga nisbatan inersiya momenti o'rtasidagi munosabat topilsin. Buning uchun va uchun ifodalar yozamiz. Keling, rasmning maydonini maydonlarga ajratamiz; har bir bunday platformaning o'qlarga bo'lgan masofasi da va qo'ng'iroq qiling va. Keyin
1-rasmdan bizda:
Ushbu uchta integraldan birinchisi markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentidir OU. Ikkinchisi - bir xil eksa bo'yicha statik moment; u nolga teng, chunki o'q da figuraning og'irlik markazidan o'tadi. Nihoyat, uchinchi integral rasmning maydoniga teng F. Shunday qilib,
| (1) |
ya'ni, har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti berilgan o'qga parallel ravishda chizilgan markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga, shuningdek, raqamning maydoni orasidagi masofaning kvadratiga ko'paytmasiga tengdir. boltalar.
Bu shuni anglatadiki, bizning vazifamiz endi faqat markaziy inersiya momentlarini hisoblashga qisqartirildi; agar biz ularni bilsak, biz har qanday boshqa o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblashimiz mumkin. (1) formuladan kelib chiqadiki markaziy inersiya momenti kamida parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasida va buning uchun biz olamiz:
Agar ma'lum bo'lsa, markaziy o'qlarga parallel bo'lgan o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentini ham topamiz (1-rasm). Ta'rifi bo'yicha
bu yerda: , keyin u keladi
Oxirgi ikkita integral maydonning markaziy o'qlarga nisbatan statik momentlari bo'lgani uchun OU va Oz keyin ular yo'qoladi va shuning uchun:
| (2) |
Markaziy o'qlarga parallel bo'lgan o'zaro perpendikulyar o'qlar tizimiga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti ushbu markaziy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentiga va figura maydonining uning og'irlik markazining yangi o'qlarga nisbatan koordinatalari ko'paytmasiga teng.
O'qlarni burishda inersiya momentlari orasidagi bog'liqlik.
Siz xohlagancha markaziy o'qlarni chizishingiz mumkin. Savol shundaki, bir yoki ikkita inersiya momentiga qarab har qanday markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentini ifodalash mumkinmi? aniq boltalar. Buning uchun ikkita o'zaro perpendikulyar o'qni burchak bo'ylab aylantirganda inersiya momentlari qanday o'zgarishini ko'rib chiqamiz.
Har qanday figurani oling va uning og'irlik markazi orqali chizing O ikkita o'zaro perpendikulyar o'q OU va Oz(2-rasm).
2-rasm. Aylanadigan o'qlar uchun inersiya momentlarini aniqlash uchun hisoblash modeli.
Ushbu o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlarini, shuningdek, markazdan qochma inersiya momentini bilib olaylik. Koordinata o'qlarining ikkinchi tizimini chizamiz va burchak ostida birinchisiga moyil; o'qlar nuqta atrofida aylantirilganda bu burchakning ijobiy yo'nalishi hisobga olinadi O soat miliga teskari. Kelib chiqishi O saqlang. Koordinata o'qlarining ikkinchi sistemasiga nisbatan momentlarni va ma'lum inersiya momentlari orqali ifodalaymiz va.
Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uchun ifodalarni yozamiz:
Xuddi shunday:
Muammolarni hal qilish uchun markazdan qochma inertsiya momenti uchun bir o'qdan ikkinchisiga o'tish uchun formulalar kerak bo'lishi mumkin. O'qlarni burishda (2-rasm) bizda:
bu erda va formulalar (14.10) bo'yicha hisoblanadi; keyin
O'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
| (7) |
Shunday qilib, har qanday markaziy o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblash uchun siz inersiya momentlarini va har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar markaziy o'qlar tizimini bilishingiz kerak. OU va Oz, bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti va o'qning o'qqa moyillik burchagi da.
Qiymatlarni hisoblash uchun \u003e siz o'qlarni tanlashingiz kerak da va z va har bir komponentning markaziy o'qlaridan ularga parallel bo'lgan o'qlarga o'tish formulalaridan foydalanib, ushbu hisob-kitobni amalga oshirish uchun shaklning maydonini shunday tarkibiy qismlarga bo'ling. Buni amalda qanday qilish kerakligi quyida misol bilan ko'rsatiladi. E'tibor bering, ushbu hisob-kitobda murakkab raqamlar shunday elementar qismlarga bo'linishi kerak, ular uchun, agar iloji bo'lsa, o'zaro perpendikulyar o'qlar tizimiga nisbatan markaziy inersiya momentlarining qiymatlari ma'lum.
E'tibor bering, agar koordinatalarning kelib chiqishi kesmaning og'irlik markazida emas, balki boshqa har qanday nuqtada olingan bo'lsa, chiqarish jarayoni va olingan natijalar o'zgarmas edi. O. Shunday qilib, (6) va (7) formulalar o'zaro perpendikulyar o'qlarning bir tizimidan ikkinchisiga o'tish uchun formulalar bo'lib, ular markaziy o'qlarmi yoki yo'qligidan qat'i nazar, biron bir burchak orqali aylantiriladi.
(6) formulalardan o'qlar aylantirilganda inersiya momentlari orasidagi yana bitta munosabatni olish mumkin. uchun ifodalarni qo'shish va biz olamiz
ya'ni har qanday o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan inersiya momentlarining yig'indisi da va z ular aylantirilganda o'zgarmaydi. Oxirgi ifodani va ularning qiymatlarini almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
platformalar masofasi qayerda dF nuqtadan O. Miqdor, allaqachon ma'lum bo'lganidek, nuqtaga nisbatan kesmaning qutbli inersiya momentidir O.
Demak, kesmaning har qanday nuqtaga nisbatan qutbli inersiya momenti shu nuqtadan o‘tuvchi o‘zaro perpendikulyar o‘qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlarining yig‘indisiga teng. Shuning uchun o'qlar aylantirilganda bu yig'indi doimiy bo'lib qoladi. Ushbu bog'liqlik (14.16) inersiya momentlarini hisoblashni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin.
Shunday qilib, doira uchun:
Chunki, aylana uchun simmetriya bo'yicha,
yuqorida integratsiya orqali olingan.
Xuddi shunday, yupqa devorli halqali qism uchun siz quyidagilarni olishingiz mumkin:
Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari.
Ma'lumki, ma'lum bir raqam uchun markaziy inersiya momentlarini bilib, va boshqa har qanday o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblash mumkin.
Bunday holda, asosiy o'qlar tizimi uchun formulalar sezilarli darajada soddalashtirilgan bunday tizimni olish mumkin. Ya'ni, markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'lgan koordinata o'qlari tizimini topish mumkin. Darhaqiqat, inersiya momentlari va har doim musbat shartlar yig'indisi sifatida, markazdan qochma moment esa
shartlar beri ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin zydF bo'lishi mumkin turli belgi belgilariga qarab z va da u yoki bu sayt uchun. Shunday qilib, u nolga teng bo'lishi mumkin.
Markazdan qochma inertsiya momenti yo'qoladigan o'qlar deyiladi asosiy o'qlar inertsiya. Agar bunday tizimning boshlanishi raqamning og'irlik markaziga joylashtirilsa, unda bular bo'ladi asosiy markaziy o'qlar. Bu o'qlarni belgilaymiz va ; ular uchun
Bosh o’qlar y va z markaziy o’qlarga qanday burchak ostida qiyaligini topamiz (198-rasm).
1-rasm. Asosiy inersiya o'qlarining holatini aniqlash uchun hisoblash modeli.
O'qlardan o'tish uchun taniqli iborada yz o'qlarga, markazdan qochma inersiya momenti uchun burchakka qiymat beramiz; u holda va , o'qlari asosiylari bilan mos keladi va markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'ladi:
| (1) |
Bu tenglama 180° ga farq qiladigan ning ikkita qiymati yoki 90° ga farq qiluvchi ning ikkita qiymati bilan qanoatlantiriladi. Shunday qilib, bu tenglama bizga pozitsiyani beradi ikkita aks ular orasida to'g'ri burchak hosil qiladi. Bu asosiy markaziy o'qlar bo'ladi va, buning uchun.
Ushbu formuladan foydalanib, biz ma'lum dan foydalanishimiz va asosiy inersiya momentlari va formulalarini olishimiz mumkin. Buning uchun biz yana eksenel inersiya momentlari uchun ifodalardan foydalanamiz umumiy pozitsiya. Ular almashtirish o'rniga qiymatlarni belgilaydilar va agar
| (2) |
Olingan munosabatlar muammolarni hal qilishda ishlatilishi mumkin. Inersiyaning asosiy momentlaridan biri, ikkinchisi.
Formulalar (2) qiymatidan xoli shaklga aylantirilishi mumkin. Birinchi formulada (2) ularning qiymatlarini ifodalash va almashtirish orqali biz (1) formuladan almashtirishni amalga oshiramiz:
Bu erda (1) formuladan kasr bilan almashtiriladi
olamiz
| (3) |
Xuddi shu ifodani ikkinchi formulani (3) o'xshash o'zgartirish orqali olish mumkin.
Markaziy o'qlarning asosiy tizimi uchun siz boshqasiga o'tishingiz mumkin, siz olmaysiz OU va Oz, va asosiy o'qlar va ; u holda markazdan qochma inersiya momenti () formulalarda ko'rinmaydi. O'qi tomonidan hosil qilingan burchakni belgilaymiz , (2-rasm) asosiy o'q bilan , orqali. , va ni hisoblash uchun, va o'qlaridan o'tib, va uchun ilgari topilgan ifodalarda , va orqali burchakni almashtiring va , va - orqali va . Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Bu formulalar o'z ko'rinishiga ko'ra ikki yo'nalishda taranglikka duchor bo'lgan elementdagi ikkita o'zaro perpendikulyar maydon ustidagi normal va kesish kuchlanishlari formulalariga to'liq o'xshaydi. Biz faqat ikkita burchak qiymatidan birinchisining og'ishiga mos keladiganini tanlashga imkon beradigan formulani ko'rsatamiz. asosiy o'q(maks J) o'qning dastlabki holatidan da:
Endi biz eng oddiy usulda har qanday o'qga nisbatan figuraning inersiya momentini hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun nima qilish kerakligini nihoyat shakllantirishimiz mumkin. Shaklning og'irlik markazi orqali o'qlarni chizish kerak OU va Oz Shunday qilib, raqamni eng oddiy qismlarga bo'lib, biz og'irlik markazidan uzoqda (2-rasm) o'tadigan momentlarni osongina hisoblashimiz mumkin:
Ko'p hollarda darhol rasmning asosiy o'qlarini chizish mumkin; agar rasmda simmetriya o'qi bo'lsa, bu asosiy o'qlardan biri bo'ladi. Haqiqatan ham, formulani olishda biz allaqachon integralni ko'rib chiqdik , bu o'qlar kesimining markazdan qochma inersiya momenti. da va z; o'qi bo'lsa ekanligi isbotlandi Oz simmetriya o'qi bo'lsa, bu integral yo'qoladi.
Shuning uchun, bu holda, o'qlar OU va Oz bor asosiy kesimning markaziy inersiya o'qlari. Shunday qilib, simmetriya o'qi- har doim asosiy markaziy o'q; ikkinchi uy markaziy o'q simmetriya o'qiga perpendikulyar og'irlik markazidan o'tadi.
Misol. To'rtburchakning (3-rasm) o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini toping va quyidagilarga teng:
O'qlarga nisbatan inersiya momentlari va quyidagilarga teng:
Markazdan qochma inertsiya momenti
Ba'zi bir o'qqa nisbatan kesmaning eksenel (yoki ekvatorial) inersiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab olingan elementar maydonlar mahsuloti va ularning ushbu o'qdan masofalari kvadratlari yig'indisidir, ya'ni.
Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutbli inersiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab olingan elementar maydonlar mahsuloti va ularning ushbu nuqtadan masofalari kvadratlari yig'indisidir, ya'ni.
Ba'zi ikkita o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inertsiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab qabul qilingan elementar maydonlar va ularning bu o'qlardan masofalari ko'paytmalarining yig'indisidir, ya'ni.
Inersiya momentlari va hokazolarda ifodalanadi.
Eksenel va qutbli inertsiya momentlari har doim ijobiy bo'ladi, chunki ularning integral belgilari ostida ifodalari maydonlarning qiymatlarini (har doim ijobiy) va ushbu maydonlarning ma'lum o'q yoki qutbdan masofalarining kvadratlarini o'z ichiga oladi.
Shaklda. 9.5, a maydoni F bo'lgan kesimni ko'rsatadi va y va z o'qlarini ko'rsatadi. Ushbu kesimning y o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlari:
Ushbu inersiya momentlarining yig'indisi
va shuning uchun
Shunday qilib, ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan kesmaning eksenel inersiya momentlarining yig'indisi ushbu o'qlarning kesishish nuqtasiga nisbatan ushbu kesimning qutb inersiya momentiga teng.
Santrifüj inertsiya momentlari ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, shaklda ko'rsatilgan kesimning markazdan qochma inersiya momenti. 9.5, a, y o'qlariga nisbatan va ijobiydir, chunki birinchi kvadrantda joylashgan ushbu bo'limning asosiy qismi uchun qiymatlar va shuning uchun ijobiydir.
Agar siz y o'qining ijobiy yo'nalishini o'zgartirsangiz yoki aksincha (9.5-rasm, b) yoki bu o'qlarning ikkalasini 90 ° ga aylantirsangiz (9.5-rasm, c), u holda markazdan qochma inertsiya momenti manfiy bo'ladi (uning mutlaq qiymat o'zgarmaydi), chunki asosiy qism bo'lim nuqtalari musbat y-koordinatalarga va manfiy z-koordinatalarga ega bo'lgan kvadrantda joylashgan bo'ladi. Agar ikkala o'qning ijobiy yo'nalishlari teskari bo'lsa, bu markazdan qochma inertsiya momentining belgisini ham, kattaligini ham o'zgartirmaydi.
Bir yoki bir nechta o'qlarga nisbatan simmetrik bo'lgan rasmni ko'rib chiqing (10.5-rasm). O'qlarni shunday chizamizki, ulardan kamida bittasi (bu holda y o'qi) figuraning simmetriya o'qiga to'g'ri keladi. O'qning o'ng tomonida joylashgan har bir sayt bu holda birinchisiga nosimmetrik tarzda, lekin y o'qining chap tomonida joylashgan bir xil saytga mos keladi. Bunday nosimmetrik joylashgan platformalarning har bir juftining markazdan qochma inersiya momenti quyidagilarga teng:
Demak,
Shunday qilib, bir yoki ikkalasi uning simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng.
Murakkab kesmaning ma'lum o'qga nisbatan eksenel inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qga nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisiga teng.
Xuddi shunday, kompleks kesmaning har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shuningdek, kompleks kesmaning ma'lum nuqtaga nisbatan qutb inersiya momenti uni tashkil etuvchi qismlarning bir nuqtaga nisbatan qutb inersiya momentlari yig'indisiga teng.
Shuni yodda tutish kerakki, turli o'qlar va nuqtalarga nisbatan hisoblangan inersiya momentlarini yig'ib bo'lmaydi.
tanasi m kvadrat masofaga d akslar orasida:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)qayerda m- umumiy tana vazni.
Masalan, novda uchidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti:
J \u003d J c + m d 2 \u003d 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 \u003d 1 3 m l 2. (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ chap ((\ frac (l) (2)) \ o'ng) ^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Ayrim jismlarning eksenel inersiya momentlari
| Tana | Tavsif | Eksa holati a | Inersiya momenti J a |
|---|---|---|---|
| Materialning massa nuqtasi m | Masofada r bir nuqtadan, sobit | ||
| Bo'shliq yupqa devorli silindr yoki radiusli halqa r va omma m | Silindr o'qi | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Qattiq silindr yoki disk radiusi r va omma m | Silindr o'qi | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Bo'shliq qalin devorli massa tsilindri m tashqi radius bilan r 2 va ichki radius r 1 | Silindr o'qi | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Qattiq silindr uzunligi l, radius r va omma m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \4 dan ortiq)m\cdot r^(2)+(1 \12 dan ortiq)m\cdot l^(2)) | ||
| Bo'shliq yupqa devorli silindr (halqa) uzunligi l, radius r va omma m | O'q silindrga perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \2 dan ortiq)m\cdot r^(2)+(1 \12 dan ortiq)m\cdot l^(2)) | |
| To'g'ri ingichka novda uzunligi l va omma m | O'q tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| To'g'ri ingichka novda uzunligi l va omma m | Eksa tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning uchidan o'tadi | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Radiusli yupqa devorli shar r va omma m | Eksa sharning markazidan o'tadi | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| to'p radiusi r va omma m | Eksa to'pning markazidan o'tadi | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Konusning radiusi r va omma m | konusning o'qi | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Balandligi bilan teng yonli uchburchak h, asos a va vazn m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, cho'qqidan o'tadi | 1 24 m (a 2 + 12 soat 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12s^(2)) | |
| Yon tomoni bilan to'g'ri uchburchak a va vazn m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Yoni bilan kvadrat a va vazn m | O'q kvadrat tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Yonlari bilan to'rtburchaklar a va b va vazn m | O'q to'rtburchakning tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)) | |
| Radiusning muntazam n-gonli r va vazn m | O'q tekislikka perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (p / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\chap) | |
| Qo'llanma aylana radiusi bo'lgan torus (ichi bo'sh). R, hosil qiluvchi aylana radiusi r va vazn m | O'q torusning yo'naltiruvchi doirasi tekisligiga perpendikulyar va massa markazidan o'tadi. | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\chap((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\o‘ng)) |
Formulalarni chiqarish
Yupqa devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Jismning inersiya momenti uning tarkibiy qismlari inersiya momentlarining yig'indisiga teng. Yupqa devorli silindrni massali elementlarga ajratamiz dm va inersiya momentlari DJ i. Keyin
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (bitta). (\ displaystyle J = \ sum dJ_ (i) = \ sum R_ (i) ^ (2) dm. \ qquad (1).)Yupqa devorli silindrning barcha elementlari aylanish o'qidan bir xil masofada joylashganligi sababli, formula (1) shaklga aylantiriladi.
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2. (\ displaystyle J = \ sum R ^ (2) dm = R ^ (2) \ sum dm = mR ^ (2).)Qalin devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Tashqi radiusli bir hil halqa bo'lsin R, ichki radius R 1, qalin h va zichlik r. Keling, uni qalinligi bilan ingichka halqalarga ajratamiz dr. Radiusli yupqa halqaning massasi va inersiya momenti r bo'ladi
d m = r d V = r ⋅ 2 p r h d r; d J = r 2 d m = 2 p r h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Qalin halqaning inersiya momentini integral sifatida topamiz
J = ∫ R 1 R d J = 2 p r h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 p r h r 4 4 | R 1 R = 1 2 p r h (R 4 - R 1 4) = 1 2 p r h (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\ displaystyle =2 \ pi \ rho h \ chap. (\ frac (r ^ (4)) (4)) \ o'ng | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ frac (1) (2) ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\o‘ng)\chap(R^(2)+R_(1)^(2)\o‘ng).)Ringning hajmi va massasi teng bo'lgani uchun
V = p (R 2 - R 1 2) h ; m = r V = p r (R 2 - R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\o‘ng)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)halqaning inersiya momentining yakuniy formulasini olamiz
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) m \ chap (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ o'ng).)Bir hil disk (qattiq silindr)
Formulaning kelib chiqishi
Tsilindrni (diskni) nol ichki radiusli halqa sifatida ko'rib chiqish ( R 1 = 0 ), silindrning (diskning) inersiya momenti formulasini olamiz:
J = 1 2 m R 2. (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) mR ^ (2).)qattiq konus
Formulaning kelib chiqishi
Konusni qalinlikdagi ingichka disklarga bo'ling dh konusning o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi
r = R h H , (\ displaystyle r = (\ frac (Rh) (H)),)qayerda R konusning asosining radiusi, H konusning balandligi, h- konusning yuqori qismidan diskgacha bo'lgan masofa. Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 p r r 4 d h = 1 2 p r (R h H) 4 d h; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\o'ng)^(4)dh;)Integratsiyalash, biz olamiz
J = ∫ 0 H d J = 1 2 p r (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 p r (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 p r R 4 H = (r ⋅ 1 3 p R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2. (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \o'ng)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\o'ng)^(4)\chap.(\frac (h^(5))(5))\o'ng|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(tekislangan)))Qattiq bir xil to'p
Formulaning kelib chiqishi
To'pni ingichka disklarga bo'ling dh, aylanish o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi balandlikda joylashgan h sharning markazidan formula bo'yicha topamiz
r = R 2 - h 2. (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2)))).)Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
d m = r d V = r ⋅ p r 2 d h; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 p r r 4 d h = 1 2 p r (R 2 - h 2) 2 d h = 1 2 p r (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\o‘ng)dh.)To'pning inersiya momenti integratsiya yo'li bilan topiladi:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = p r ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = p r (R 4 h - 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = p r (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 p r R 5 = = (4 3 p R 3 r) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2. (\displaystyle (\begin(hatlangan)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R) )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\o'ng|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\o‘ng) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \o'ng) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(hizalangan)))yupqa devorli shar
Formulaning kelib chiqishi
Chiqarish uchun biz radiusli bir hil sharning inersiya momenti formulasidan foydalanamiz. R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 p r R 5. (\ displaystyle J_ (0) = (\ frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)Agar doimiy zichlikda r radiusi cheksiz oshsa, to'pning inersiya momenti qancha o'zgarishini hisoblaylik. kichik miqdor dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 p r R 5) d R = = 8 3 p r R 4 d R = (r ⋅ 4 p R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (hizalangan) J&= (\ frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ frac (d) (dR)) \ chap ((\ frac (8) (15)) \ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\o'ng)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(hizalangan)))Yupqa novda (o'q markazdan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Keling, tayoqni uzunlikdagi kichik bo'laklarga ajratamiz dr. Bunday bo'lakning massasi va inersiya momenti
d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\ displaystyle dm = (\ frac (mdr) (l));\ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ frac (mr ^ (2) dr) (l)).)Integratsiyalash, biz olamiz
J = ∫ - l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2. (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\chap.(\frac (r^(3))(3))\o'ng|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)Yupqa novda (o'q oxiridan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Aylanish o'qini novda o'rtasidan oxirigacha siljitganda, novda og'irlik markazi o'qga nisbatan masofaga siljiydi. ⁄2. Shtayner teoremasiga ko'ra, inersiyaning yangi momenti ga teng bo'ladi
J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 \u003d 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 \u003d 1 3 m l 2. (\ displaystyle J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ chap ((\ frac (l) (2)) \ o'ng) ^ (2) = (\ frac (1) (" 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Sayyoralar va sun'iy yo'ldoshlarning o'lchovsiz inertsiya momentlari
Sayyoralar va ularning yo'ldoshlarining ichki tuzilishini o'rganish uchun ularning o'lchovsiz inertsiya momentlari katta ahamiyatga ega. Radiusli jismning o'lchovsiz inersiya momenti r va omma m uning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentining inersiya momentiga nisbatiga teng moddiy nuqta ga nisbatan bir xil massa sobit aks masofada joylashgan aylanish r(teng Janob 2). Bu qiymat massaning chuqurlikda taqsimlanishini aks ettiradi. Uni sayyoralar va sun'iy yo'ldoshlarda o'lchash usullaridan biri ma'lum bir sayyora yoki sun'iy yo'ldosh atrofida uchib yuruvchi AMS tomonidan uzatiladigan radiosignalning Doppler siljishini aniqlashdir. Yupqa devorli shar uchun o'lchovsiz inersiya momenti 2/3 ga (~ 0,67), bir hil to'p uchun - 0,4 ga teng va umuman olganda, qanchalik kichik bo'lsa, tananing massasi uning markazida to'plangan. Masalan, Oyning o'lchovsiz inersiya momenti 0,4 ga yaqin (0,391 ga teng), shuning uchun u nisbatan bir hil, deb taxmin qilinadi, uning zichligi chuqurlik bilan ozgina o'zgaradi. Yerning o'lchovsiz inertsiya momenti bir hil to'pnikidan kamroq (0,335 ga teng), bu unda zich yadro mavjudligi foydasiga dalildir.
markazdan qochma inersiya momenti
To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimining o'qlariga nisbatan jismning markazdan qochma inersiya momentlari quyidagi miqdorlardan iborat:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y r d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z r d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z r d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)qayerda x , y va z- jismning kichik elementining hajmi bilan koordinatalari dV, zichlik r va massa dm .
OX o'qi deyiladi tananing asosiy inertsiya o'qi agar markazdan qochma inersiya momentlari Jxy va Jxz bir vaqtning o'zida nolga teng. Tananing har bir nuqtasidan uchta asosiy inersiya o'qlarini o'tkazish mumkin. Bu o'qlar bir-biriga o'zaro perpendikulyar. Tananing inertsiya momentlari nisbatan uchta asosiy ixtiyoriy nuqtada chizilgan inersiya o'qlari O jismlar deyiladi inertsiyaning asosiy momentlari berilgan tana.
Jismning massa markazidan o'tuvchi bosh inersiya o'qlari deyiladi tananing inertsiyasining asosiy markaziy o'qlari, va bu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uning asosiy markaziy daqiqalar inertsiya. Bir jinsli jismning simmetriya oʻqi har doim uning asosiy markaziy inersiya oʻqlaridan biri hisoblanadi.
Geometrik inersiya momentlari
Hajmning geometrik inersiya momenti
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)qaerda, avvalgidek r- elementdan masofa dV o'qga a .
Maydonning geometrik inersiya momenti o'qga nisbatan - tananing geometrik xarakteristikasi, formula bilan ifodalanadi:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)bu erda integratsiya sirt ustida amalga oshiriladi S, a dS bu sirtning elementi hisoblanadi.
Hajmi J Sa- to'rtinchi darajagacha uzunlik ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), mos ravishda SI birligi 4 ga teng. Qurilish hisob-kitoblarida, adabiyotlarda va prokat metall assortimentida u ko'pincha sm 4 da ko'rsatiladi.
Maydonning geometrik inersiya momenti orqali kesma qarshiligi momenti ifodalanadi:
W = J S a r m a x. (\ displaystyle W = (\ frac (J_ (Sa)) (r_ (maks.))).)Bu yerda max- sirtdan eksagacha bo'lgan maksimal masofa.
| Ayrim figuralar maydonining geometrik inersiya momentlari | |
|---|---|
| To'rtburchak balandligi h (\displaystyle h) va kenglik b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Tashqi konturlar bo'ylab to'rtburchaklar quti qismi balandligi va kengligi H (\displaystyle H) va B (\displaystyle B), va ichki uchun h (\displaystyle h) va b (\displaystyle b) mos ravishda | J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Doira diametri d (\displaystyle d) | J y = J z = p d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Tekislikka nisbatan inersiya momenti
inersiya momenti qattiq tana ma'lum bir tekislikka nisbatan, tananing har bir nuqtasi massasi va ushbu nuqtadan ko'rib chiqilayotgan tekislikgacha bo'lgan masofaning kvadrati yig'indisiga teng bo'lgan skalyar qiymat deyiladi.
Agar ixtiyoriy nuqta orqali O (\displaystyle O) o'tkazish koordinata o'qlari x , y , z (\displaystyle x,y,z), keyin ga nisbatan inersiya momentlari koordinata tekisliklari x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) va zO x (\displaystyle zOx) formulalar bilan ifodalanadi:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2. (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Qattiq jismda jamlanma integrasiya bilan almashtiriladi.
Markaziy inersiya momenti
Markaziy inersiya momenti (O nuqtaga nisbatan inersiya momenti, qutbga nisbatan inersiya momenti, qutb inersiya momenti) J O (\displaystyle J_(O)) ifoda bilan aniqlanadigan qiymat:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) r r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Markaziy inersiya momentini asosiy eksenel inersiya momentlari, shuningdek tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari orqali ifodalash mumkin:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\chap(J_(x)+J_(y)+J_(z) \o'ng),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Inersiya tenzori va inersiya ellipsoidi
Massa markazidan o'tuvchi va birlik vektor tomonidan berilgan yo'nalishga ega bo'lgan ixtiyoriy o'qqa nisbatan jismning inersiya momenti s → = ‖ s x, s y, s z ‖ T, | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\o'ng\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s)) )\o'ng\vert=1), kvadratik (ikki chiziqli) shakl sifatida ifodalanishi mumkin:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\shapka (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)inertsiya tenzori qayerda. Inertsiya tensorining matritsasi nosimmetrik, o'lchamlari bor 3 × 3 (\displaystyle 3\ marta 3) va markazdan qochma momentlarning tarkibiy qismlaridan iborat:
Tegishli koordinatalar tizimini tanlab, inertsiya tensorining matritsasi diagonal shaklga keltirilishi mumkin. Buning uchun tenzor matritsasi uchun xos qiymat masalasini yechishimiz kerak J ^ (\ displaystyle (\ shapka (J))):
qayerda Q ^ (\ displaystyle (\ shapka (Q)))- inersiya tenzorining o'z asosiga o'tishning ortogonal matritsasi. O'z asosida koordinata o'qlari inertsiya tenzorining asosiy o'qlari bo'ylab yo'naltirilgan va inertsiya tenzor ellipsoidining asosiy yarim o'qlari bilan mos keladi. Miqdorlar J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z)) inersiyaning bosh momentlaridir. O'z koordinata tizimidagi (1) ifoda quyidagi shaklga ega:
bu yerdan ellipsoidning xos koordinatadagi tenglamasi olinadi. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lish I s (\displaystyle I_(lar))
va almashtirishlarni amalga oshirish:
p = s x I s , ē = s y I s , z = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)),))koordinatalarda ellipsoid tenglamaning kanonik shaklini olamiz p ē z (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
p 2 ⋅ J X + ķ 2 ⋅ J Y + z 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Ellipsoid markazidan uning ba'zi nuqtalarigacha bo'lgan masofa ellipsoid markazidan va shu nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq bo'ylab tananing inersiya momentining qiymati bilan bog'liq.
Dekart to'rtburchaklar koordinatalar sistemasini O xy kiritamiz. Koordinata tekisligida A maydoni bo'lgan ixtiyoriy kesmani (yopiq mintaqa) ko'rib chiqaylik (1-rasm).
statik momentlar
Koordinatali C nuqta (x C , y C)
chaqirdi bo'limning og'irlik markazi.
Agar koordinata o'qlari kesimning og'irlik markazidan o'tsa, u holda kesmaning statik momentlari nolga teng:
Eksenel inersiya momentlari x va y o'qlariga nisbatan kesmalar shaklning integrallari deyiladi:
Polar inersiya momenti Kelishuvning kelib chiqishiga nisbatan shaklning integrali deyiladi:
markazdan qochma inersiya momenti bo'lim shaklning integrali deb ataladi:
Kesimning asosiy inersiya o'qlari ikkita o'zaro perpendikulyar o'q deyiladi, ularga nisbatan I xy =0. Agar o'zaro perpendikulyar o'qlardan biri kesimning simmetriya o'qi bo'lsa, u holda I xy \u003d 0 va shuning uchun bu o'qlar asosiy hisoblanadi. Kesimning og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi kesimning asosiy markaziy inertsiya o'qlari
2. O'qlarni parallel ko'chirish haqidagi Shtayner-Gyuygens teoremasi
Shtayner-Gyuygens teoremasi (Shtayner teoremasi).
I kesmaning ixtiyoriy qo'zg'almas o'qga nisbatan eksenel inersiya momenti x bu kesmaning nisbiy o'qi x * parallel bo'lgan, kesimning massa markazidan o'tuvchi eksenel inersiya momenti yig'indisiga teng. , va A kesma maydonining ikki o'q orasidagi d masofaning kvadratiga ko'paytmasi.
Agar x va y o'qlariga nisbatan I x va I y inersiya momentlari ma'lum bo'lsa, u holda a burchak orqali aylantirilgan n va u o'qlariga nisbatan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
Buni yuqoridagi formulalardan ko'rish mumkin
Bular. o'zaro perpendikulyar o'qlar, ya'ni kesimning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'lgan u va v o'qlari aylanganda eksenel inersiya momentlari yig'indisi o'zgarmaydi I u va I v. max yoki min ekstremal qiymatlarga ega bo'lganlar bo'limning asosiy o'qlari deb ataladi. Kesimning og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi uchastkaning asosiy markaziy o'qlari. Nosimmetrik kesmalar uchun ularning simmetriya o'qlari doimo asosiy markaziy o'qlardir. Bo'limning asosiy o'qlarining boshqa o'qlarga nisbatan holati quyidagi nisbat yordamida aniqlanadi:
bu erda a 0 - x va y o'qlari asosiy bo'lishi uchun aylantirilishi kerak bo'lgan burchak (musbat burchakni soat miliga teskari, salbiyni - soat sohasi farqli ravishda chetga surib qo'yish odatiy holdir). Bosh o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari deyiladi inertsiyaning asosiy momentlari:
ikkinchi muddat oldidagi ortiqcha belgisi inersiyaning maksimal momentini, minus belgisi esa minimalni bildiradi.