Vazifa kerak ikkita tekislikning kesishish chizig'ini toping va ulardan birining haqiqiy hajmini aniqlang tekislik-parallel harakat usuli.

Chizma geometriyadagi bunday klassik masalani hal qilish uchun siz quyidagi nazariy materialni bilishingiz kerak:

- berilgan koordinatalar bo'yicha kompleks chizma bo'yicha fazodagi nuqtalarning proyeksiyalarini chizish;

- murakkab chizmada tekislikni, umumiy va xususiy holat tekisligini ko'rsatish usullari;

- samolyotning asosiy chiziqlari;

- to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash (topish "uchrashuv nuqtalari");

- tekis figuraning tabiiy hajmini aniqlash uchun tekislik-parallel harakat usuli;

— to‘g‘ri chiziq va tekisliklarni chizishda ko‘rinishni raqobatdosh nuqtalar yordamida aniqlash.

Muammoni hal qilish tartibi

1. "Nuqta koordinatalari bo'yicha tayinlash" variantiga ko'ra, biz uchburchaklar shaklida ko'rsatilgan murakkab chizmaga ikkita tekislikni qo'yamiz. ABC(A', B', C'; A, B, C) va DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 1.1-rasm).

1.1-rasm

2 . Kesishma chizig'ini topish uchun biz foydalanamiz proyeksiya tekisligi usuli. Uning mohiyati shundaki, birinchi tekislikning (uchburchak) bir tomoni (chiziq) olinadi va proyeksiyalovchi tekislikda yotadi. Bu chiziqning ikkinchi uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi aniqlanadi. Ushbu vazifani yana takrorlaymiz, lekin ikkinchi uchburchakning chizig'i va birinchi uchburchakning tekisligi uchun biz kesishishning ikkinchi nuqtasini aniqlaymiz. Olingan nuqtalar bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lganligi sababli, ular ushbu tekisliklarning kesishish chizig'ida bo'lishi kerak. Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga ega bo'lamiz.

3. Muammo quyidagicha hal qilinadi:

lekin) proyeksiya tekisligiga o'rab olish F(F') tomoni AB(A’ B’) frontal proyeksiya tekisligidagi birinchi uchburchakning V. Yon tomonlari bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz DK Va DE ikkinchi uchburchak, ball olish 1(1') va 2(2'). Biz ularni aloqa liniyalari bo'ylab proektsiyalarning gorizontal tekisligiga o'tkazamiz H uchburchakning mos tomonlarida, nuqta 1 (1) yon tomonda DE va nuqta 2(2) yon tomonda DK.

1.2-rasm

b) nuqtalarning proyeksiyalarini ulash orqali 1 va 2, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz F. Keyin chiziqning kesishish nuqtasi AB uchburchak tekisligi bilan DKE proyeksiyalovchi tekislik proyeksiyasining kesishishi bilan birga (qoida bo'yicha) aniqlanadi. 1-2 va bir xil nomdagi proyeksiya AB. Shunday qilib, biz tekisliklarning birinchi kesishish nuqtasining gorizontal proyeksiyasini oldik - M, biz uning frontal proyeksiyasini aniqlaymiz (aloqa liniyalari bo'ylab loyihalash) - M’ to'g'ri chiziqda A’ B’ (shakl.1.2.a);

ichida) ikkinchi nuqtani ham xuddi shunday topamiz. Biz loyihalash tekisligida xulosa qilamiz G(G) ikkinchi uchburchakning tomoni DK(DK) . Birinchi uchburchakning tomonlari bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz ACVaMiloddan avvalgi gorizontal proyeksiyada, nuqtalarning proyeksiyalarini olish 3 va 4. Biz ularni frontal tekislikda mos keladigan tomonlarga proyeksiya qilamiz, olamiz 3’ va 4'. Ularni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz. Keyin tekisliklarning kesishishning ikkinchi nuqtasi chiziqning kesishmasida bo'ladi 3’-4’ uchburchakning yon tomoni bilan D’ K’ , u proyeksiyalovchi tekislikka o'ralgan edi. Shunday qilib, biz ikkinchi kesishish nuqtasining frontal proyeksiyasini oldik - N’ , aloqa liniyasi bo'ylab biz gorizontal proyeksiyani topamiz - N (shakl.1.2.b).

G) nuqtalarni ulash orqali MN(MN) Va (M’ N’) gorizontal va frontal tekisliklarda biz kerakli kesishish chizig'iga egamiz berilgan samolyotlar.

4. Raqobat nuqtalari yordamida biz samolyotlarning ko'rinishini aniqlaymiz. Masalan, bir juft raqobatdosh nuqtani oling, 1’=5’ frontal proyeksiyada. Biz ularni gorizontal tekislikda mos keladigan tomonlarga loyihalashtiramiz, olamiz 1 va 5. Biz shuni ko'ramiz 1 yon tomonda yotish DE o'qiga nisbatan katta koordinataga ega x nuqtadan ko'ra 5 yon tomonda yotish AIN. Shuning uchun, kattaroq koordinata qoidasiga ko'ra, nuqta 1 va uchburchakning yon tomoni D'E' frontal tekislikda ko'rinadi. Shunday qilib, gorizontal va frontal tekisliklarda uchburchakning har bir tomonining ko'rinishi aniqlanadi. Chizmalardagi ko'rinadigan chiziqlar yaxlit kontur chizig'i bilan, ko'rinmaydigan chiziqlar esa kesik chiziq bilan chiziladi. Eslatib o'tamiz, samolyotlarning kesishish nuqtalarida ( M— N VaM’- N’ ) ko'rinishni o'zgartiradi.

1.3-rasm

R1-rasm.4 .

Syujet qo'shimcha ravishda raqobatlashuvchi nuqtalardan foydalangan holda gorizontal tekislikda ko'rishning ta'rifini ko'rsatadi 3 Va 6 to'g'ri chiziqlarda DK Va AB.

5. Tekis-parallel siljish usulidan foydalanib, biz uchburchak tekisligining haqiqiy hajmini aniqlaymiz. ABC, sabab:

lekin) nuqta orqali belgilangan tekislikda C(C) frontal o'tkazish C— F(FROM-FVaC’- F’) ;

b) gorizontal proyeksiyada chizmaning bo'sh maydonida biz ixtiyoriy nuqtani olamiz (belgilaymiz) 1 dan, bu uchburchakning cho'qqilaridan biri deb faraz qilsak (aniqrog'i, cho'qqi) C). Undan biz frontal tekislikka perpendikulyarni tiklaymiz (orqali x o'qi);

1.5-rasm

ichida) tekislik-parallel harakat orqali biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini tarjima qilamiz ABC, yangi lavozimga A 1 B 1 C 1 shunday qilib, frontal proyeksiyada u proyeksiyalovchi pozitsiyani egallaydi (to'g'ri chiziqqa aylantiriladi). Buning uchun: nuqtadan perpendikulyar bo'yicha 1 dan, gorizontalning frontal proyeksiyasini kechiktiring C 1 — F 1 (uzunligi lCF) bir nuqtaga erishamiz F 1 . Nuqtadan kompasning yechimi F1 hajmi F-A biz yoy serifini qilamiz va bir nuqtadan C 1 - tirqish o'lchami CA, keyin yoy chiziqlari kesishmasida biz nuqta olamiz A 1 (uchburchakning ikkinchi uchi);

- xuddi shunday biz ham bir ochko olamiz B 1 (nuqtadan C 1 o'lchamiga ko'ra tirqish hosil qiling C— B(57 mm) va nuqtadan F 1 kattalik F— B(90 mm). E'tibor bering, qachon to'g'ri qaror uchta nuqta A 1 F’ 1 Va B’ 1 bitta to'g'ri chiziqda (uchburchakning yon tomoni) yotishi kerak A 1 — B 1 ) qolgan ikki tomon FROM 1 — A 1 Va C 1 — B 1 ularning uchlarini ulash orqali olinadi;

G) aylanish usulidan kelib chiqadiki, nuqtani biron bir proyeksiya tekisligida harakatlantirganda yoki aylantirganda - konjugat tekislikda bu nuqtaning proyeksiyasi to'g'ri chiziq bo'ylab, bizning misolimizda, to'g'ri parallel o'q bo'ylab harakatlanishi kerak. X. Keyin nuqtalardan chizamiz A’ B’ C’ Frontal proyeksiyadan bular to'g'ri chiziqlar (ular nuqtalarning aylanish tekisliklari deb ataladi) va ko'chirilgan nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan. A 1 IN 1C 1 perpendikulyarlarni tiklash (ulanish chiziqlari) ( 1.6-rasm).

1.6-rasm

Ushbu chiziqlarning mos keladigan perpendikulyarlar bilan kesishishi uchburchakning frontal proyeksiyasining yangi pozitsiyalarini beradi. ABC, xususan A’ 1 IN 1C’ 1 gorizontaldan boshlab proyeksiyalovchi (to'g'ri chiziq) bo'lishi kerak h 1 frontal proyeksiya tekisligiga perpendikulyar chizdik ( 1.6-rasm);

5) u holda uchburchakning tabiiy kattaligini olish uchun uning frontal proyeksiyasini gorizontal tekislik bilan parallellikka kengaytirish kifoya. Orqaga aylantirish nuqta orqali kompas yordamida amalga oshiriladi A' 1, uni aylanish markazi deb hisoblab, biz uchburchakni qo'yamiz A’ 1 IN 1C’ 1 o'qiga parallel X, olamiz A’ 2 IN 2C’ 2 . Yuqorida aytib o'tilganidek, nuqta aylanganda, konjugat (hozir gorizontal) proyeksiyada ular to'g'ri chiziqlar bo'ylab harakatlanadi. o'q parallel X. Nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan perpendikulyarlarni (bog'lanish chiziqlarini) chiqarib tashlash A’ 2 IN 2C’ 2 ularni mos keladigan chiziqlar bilan kesib o'tib, biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini topamiz ABC (A 2 IN 2C 2 ) haqiqiy o'lcham ( 1.7-rasm).

Guruch. 1.7

Menda bunday koordinatalar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun barcha tayyor echimlar bor, siz sotib olishingiz mumkin

Narxi 55 rubl, Frolov kitobidan tasviriy geometriya bo'yicha chizmalar, to'lovdan so'ng darhol osongina yuklab olishingiz mumkin yoki men sizga elektron pochta xabarini yuboraman. Ular ZIP arxivida turli formatlarda mavjud:
*.jpg – 300 dpi yaxshi ruxsatda 1 dan 1 gacha bo'lgan shkalada chizilgan odatiy rangli chizilgan;
*.cdw – dastur formati Compass 12 va undan yuqori yoki LT versiyasi;
*.dwg va .dxf — AUTOCAD, nanoCAD dasturi formati;

Bo'lim: Tasviriy geometriya /

IN ushbu bo'lim Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi mavzusini stereometriya nuqtai nazaridan o‘rganishni davom ettiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz uch o'lchamli fazodagi to'g'ri chiziqni ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida ko'rib chiqamiz.

Stereometriya aksiomalariga ko'ra, agar ikkita tekislik mos kelmasa va bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular ham bitta umumiy to'g'ri chiziqqa ega bo'lib, ikkala tekislik uchun umumiy bo'lgan barcha nuqtalar yotadi. Ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalaridan foydalanib, to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi to‘g‘ri chiziqni aniqlashimiz mumkin.

Mavzuni ko'rib chiqish jarayonida biz ko'plab misollar, bir qator grafik tasvirlar va materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun zarur bo'lgan batafsil echimlarni beramiz.

Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan va kesishgan ikkita tekislik berilsin. Ularni a tekislik va b tekislik deb belgilaymiz. Ularni O x y z to'rtburchaklar koordinatalar sistemasiga joylashtiramiz uch o'lchovli fazo.

Biz eslaganimizdek, to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi har qanday tekislik bilan aniqlanadi umumiy tenglama A x + B y + C z + D = 0 ko'rinishdagi tekisliklar. a tekislik A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 tenglamaga, b tekislik esa A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = tenglamaga mos keladi deb faraz qilamiz. 0 . Bunday holda, a va b n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) va n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) tekisliklarning normal vektorlari kollinear emas, chunki tekisliklar bir-biriga to'g'ri kelmaydi va e bir-biriga parallel joylashtiriladi. Bu shartni quyidagicha yozamiz:

n 1 → ≠ l n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ l A 2 , l B 2 , l C 2 , l ∈ R

"Samolyotlarning parallelligi" mavzusidagi materialni yangilash uchun veb-saytimizning tegishli bo'limiga qarang.

Samolyotlarning kesishish chizig'i harf bilan belgilanadi a . Bular. a = a ∩ b. Bu chiziq a va b tekisliklar uchun umumiy bo'lgan nuqtalar to'plamidir. Bu shuni anglatadiki, a to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tekislikning ikkala tenglamasini ham qanoatlantiradi. Aslida, ular A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tenglamalar tizimining o'ziga xos yechimidir.

Umumiy tizim yechimi chiziqli tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ikkita a va b tekislik kesishgan chiziqning barcha nuqtalarining koordinatalarini aniqlaydi. . Bu shuni anglatadiki, uning yordami bilan to'g'ri chiziqning to'rtburchaklar koordinata tizimidagi o'rnini O x y z aniqlashimiz mumkin.

Keling, ta'riflangan nazariyani yana bir bor, endi aniq bir misol bilan ko'rib chiqaylik.

1-misol

O x chizig'i - kesishgan chiziq koordinata tekisliklari O x y va O x z . O x y tekislikni z = 0 tenglama bilan, O x z tekislikni y = 0 tenglama bilan aniqlaymiz. Biz ushbu yondashuvni "Samolyotning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi" bo'limida batafsil muhokama qildik, shuning uchun qiyinchiliklar yuzaga kelganda, biz ushbu materialga yana murojaat qilishimiz mumkin. Bunda O x koordinata chizig'i uch o'lchovli koordinatalar sistemasida y = 0 z = 0 ko'rinishdagi ikkita tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi.

Tekisliklar kesishgan to'g'ri chiziqda yotgan nuqtaning koordinatalarini topish

Keling, muammoni ko'rib chiqaylik. Uch o'lchamli fazoda O x y z to'rtburchaklar koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsin. Ikki tekislik a ni kesishadigan chiziq A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tenglamalar tizimi bilan berilgan. M 0 x 0, y 0, z 0 uch o‘lchamli fazodagi nuqta berilgan.

M 0 x 0, y 0, z 0 nuqta berilgan to‘g‘ri chiziqqa tegishli ekanligini aniqlaymiz. a .

Masalaning savoliga javob olish uchun M 0 nuqtaning koordinatalarini tekislikning ikkita tenglamasining har biriga almashtiramiz. Agar almashtirish natijasida ikkala tenglama ham A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 va A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D tengliklariga aylansa. 2 = 0, u holda M 0 nuqta tekisliklarning har biriga tegishli bo'lib, berilgan chiziqqa tegishlidir. Agar A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 va A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 tengliklaridan kamida bittasi noto‘g‘ri bo‘lsa, u holda M 0 nuqtasi to'g'ri chiziqqa tegishli emas.

Misol yechimini ko'rib chiqing

2-misol

To'g'ri chiziq fazoda 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 ko'rinishdagi ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari bilan berilgan. M 0 (1, - 1, 0) va N 0 (0, - 1 3, 1) nuqtalar tekisliklar kesishgan to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligini aniqlang.

Yechim

M 0 nuqtasidan boshlaylik. Uning koordinatalarini tizimning ikkala tenglamasiga almashtiring 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

O'zgartirish natijasida biz to'g'ri tengliklarga erishdik. Demak, M 0 nuqta ikkala tekislikka tegishli va ularning kesishish chizig’ida joylashgan.

N 0 (0, - 1 3, 1) nuqtaning koordinatalarini tekislikning ikkala tenglamasiga almashtiramiz. Biz 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 ni olamiz.

Ko'rib turganingizdek, tizimning ikkinchi tenglamasi noto'g'ri tenglikka aylandi. Demak, N 0 nuqta berilgan chiziqqa tegishli emas.

Javob: M 0 nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli, N 0 nuqta esa tegishli emas.

Endi biz sizga to'g'ri chiziqqa tegishli ma'lum nuqtaning koordinatalarini topish algoritmini taklif qilamiz, agar O xyz to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi fazodagi to'g'ri chiziq kesishuvchi A 1 x + B 1 y + C tekisliklar tenglamalari bilan aniqlansa. 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Noma’lumlari A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 bo‘lgan ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari soni cheksizdir. Ushbu echimlarning har biri muammoning echimi bo'lishi mumkin.

Keling, bir misol keltiraylik.

3-misol

X + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ko'rinishdagi ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari bilan uch o'lchovli fazoda to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin. Ushbu chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini toping.

Yechim

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 tenglamalar tizimini qayta yozamiz.

1 0 2 3 = 3 ≠ 0 sistemaning bosh matritsasining bazis minori sifatida noldan boshqa ikkinchi tartibli minorni olaylik. Bu shuni anglatadiki z erkin noma'lum o'zgaruvchidir.

Erkin noma'lum o'zgaruvchi z bo'lgan shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Biz o'zboshimchalik bilan tanishtiramiz haqiqiy raqam l va z = l deb faraz qilaylik.

U holda x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 l 2 x + 3 y = - 2 - 3 l.

Olingan tenglamalar tizimini yechish uchun biz Kramer usulini qo'llaymiz:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 l 0 - - 3 l 3 = - 7 - 3 l 3 - 0 (- 2 - 3 l) = 21 - 9 l ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 l ∆ y = 1 - 7 - 3 l 2 - 2 - 3 l = 1 - 2 - 3 l - - 7 - 3 l = 12 + 3 l ⇒ y = ∆ y = 4 + l

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 tenglamalar tizimining umumiy yechimi x = - 7 - 3 l y = 4 + l z = l bo'ladi, bu erda l ∈ R. .

Berilgan chiziqqa tegishli nuqtaning kerakli koordinatalarini beradigan tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini olish uchun biz l parametrining o'ziga xos qiymatini olishimiz kerak. Agar l = 0 bo'lsa, x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 bo'ladi.

Bu bizga kerakli nuqtaning koordinatalarini olish imkonini beradi - 7, 4, 0.

Nuqtaning topilgan koordinatalarining to‘g‘riligini ularni ikkita kesishuvchi tekislikning boshlang‘ich tenglamalariga – 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 almashtirish orqali tekshiramiz. 0 = 0.

Javob: - 7 , 4 , 0

Ikki tekislik kesishgan chiziqning yo'nalish vektori

Kesishuvchi ikkita A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 va A 2 x + B 2 tekislik tenglamalari orqali berilgan toʻgʻri chiziqning yoʻnalish vektorining koordinatalarini qanday aniqlashni koʻrib chiqamiz. y + C 2 z + D 2 = 0. 0xz to'rtburchak koordinatalar tizimida to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini to'g'ri chiziqdan ajratib bo'lmaydi.

Ma’lumki, to‘g‘ri chiziq berilgan tekislikda yotgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, tekislikka perpendikulyar bo‘ladi. Yuqorida aytilganlarga asoslanib, tekislikning normal vektori berilgan tekislikda yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyardir. Bu ikki fakt to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topishda yordam beradi.

a va b tekisliklar chiziq bo'ylab kesishadi a . Yo'nalish vektori a → to'g'ri chiziq a A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 tekislikning normal vektor n 1 → = (A 1, B 1, C 1) va n 2 → = (A) normal vektoriga perpendikulyar. 2 , B 2 , C 2) tekisliklar A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

To'g'ri yo'nalish vektori a o'zida aks ettiradi vektor mahsuloti vektorlar n → 1 = (A 1, B 1, C 1) va n 2 → = A 2, B 2, C 2.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Chiziqning barcha yo'naltiruvchi vektorlari to'plamini l · a → = l · n 1 → × n 2 → deb belgilaymiz, bu erda l - noldan boshqa har qanday haqiqiy qiymatni qabul qila oladigan parametr.

4-misol

O x y z to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi fazodagi to'g'ri chiziq kesishuvchi ikkita tekislik x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 tenglamalari bilan berilgan bo'lsin. Ushbu chiziqning istalgan yo'nalish vektorining koordinatalarini toping.

Yechim

X + 2 y - 3 z - 2 = 0 va x - z + 4 = 0 tekisliklari normal vektorlarga ega n 1 → = 1, 2, - 3 va n 2 → = 1, 0, - 1. Berilgan ikkita tekislikning kesishmasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori sifatida normal vektorlarning vektor ko‘paytmasini olaylik:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - i → (- 3) 0 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

Javobni a → = - 2 , - 2 , - 2 koordinata shaklida yozamiz. Bu qanday amalga oshirilganini eslamaganlar uchun "To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektor koordinatalari" mavzusiga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Javob: a → = - 2 , - 2 , - 2

Fazoda to'g'ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalariga o'tish

Ba'zi muammolarni hal qilish uchun undan foydalanish osonroq parametrik tenglamalar fazodagi chiziq x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l z = z 1 + a z l yoki kanonik tenglamalar fazoda x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l z = z 1 + a z · l ko‘rinishdagi chiziq. Bu tenglamalarda ax , ay , az to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalari, x 1 , y 1 , z 1 to‘g‘ri chiziqdagi biror nuqtaning koordinatalari, l esa ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarni qabul qiluvchi parametrdir. .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ko‘rinishdagi to‘g‘ri chiziqli tenglamadan kanonik va parametrik tenglamalarga o‘tish mumkin. kosmosdagi to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozish uchun bizga to'g'ri chiziqdagi ma'lum nuqtaning koordinatalarini, shuningdek, to'g'ri chiziqning ba'zi bir yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini, kesishuvchi ikkita tenglamalar orqali berilgan koordinatalarini topish ko'nikmalari kerak bo'ladi. samolyotlar.

Keling, yuqoridagi misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol

Kesishgan ikkita tekislik tenglamalari orqali uch o'lchovli koordinatalar tizimida to'g'ri chiziqni o'rnatamiz 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Bu chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozamiz.

Yechim

2 x + y - z - 1 = 0 va n 2 → = (1) n 1 → = 2 , 1 , - 1 normal vektorlarining vektor ko'paytmasi bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini toping. , 3 , - 2) tekislikning x + 3 y-2z=0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - i → (- 1) 3 = i → + 3 j → + 5 k →

To'g'ri chiziqning yo'nalish vektor koordinatalari a → = (1 , 2 , 5) .

Keyingi qadam tenglamalar sistemasi yechimlaridan biri bo‘lgan berilgan to‘g‘ri chiziqning qaysidir nuqtasining koordinatalarini aniqlashdan iborat: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2. x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0.

Nolga teng bo'lmagan 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 determinantni tizimning minor matritsasi sifatida olaylik. Bunday holda, o'zgaruvchi z bepul. Biz u bilan atamalarni har bir tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz va o'zgaruvchiga ixtiyoriy l qiymatini beramiz:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + zx + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + l x + 3 y = 2 l , l ∈ R

Olingan tenglamalar tizimini yechish uchun biz Kramer usulini qo'llaymiz:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + l 1 2 l 3 = (1 + l) 3 - 1 2 l = 3 + l ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + l 5 = 3 5 + 1 5 l ∆ y = 2 1 + l 1 2 l = 2 2 l - (1 + l) 1 = - 1 + 3 l ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 l 5 = - 1 5 + 3 5 l

Biz olamiz: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = l

To'g'ri chiziqdagi nuqtaning koordinatalarini olish uchun l = 2 ni olaylik: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2. Endi bu chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini fazoda yozish uchun yetarli ma’lumotlarga egamiz: x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + ax l y = y 1 + ay l z = z 1 + az l ⇔ x = 1 + 1 l y = 1 + 3 l z = 2 + 5 l ⇔ x = 1 + l y = 1 + 3 l z = 2 + 5 l

Javob: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 va x = 1 + l y = 1 + 3 l z = 2 + 5 l

Bu muammoni hal qilishning yana bir usuli bor.

To'g'ri chiziqdagi ma'lum nuqtaning koordinatalarini topish A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 tenglamalar tizimini yechish orqali amalga oshiriladi. = 0.

Umumiy holatda uning yechimlarini x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l z = z 1 + a z · l fazoda to‘g‘ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalari ko‘rinishida yozish mumkin.

Kanonik tenglamalarni olish quyidagicha amalga oshiriladi: olingan tenglamalarning har birini l parametriga nisbatan echamiz, tenglikning to'g'ri qismlarini tenglashtiramiz.

x = x 1 + ax l y = y 1 + ay l z = z 1 + az l ⇔ l = x - x 1 ax l = y - y 1 ay l = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az

Qo'llanilishi mumkin Bu yerga muammoni hal qilish uchun.

6-misol

To'g'ri chiziqning o'rnini kesishuvchi ikkita tekislik tenglamalari orqali o'rnatamiz 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Ushbu to'g'ri chiziq uchun parametrik va kanonik tenglamalarni yozamiz.

Yechim

Uchta noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining yechimi xuddi oldingi misolda bo‘lgani kabi bajariladi. Biz olamiz: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 l y = - 1 5 + 3 5 l z = l .

Bular fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari.

Kanonik tenglamalar quyidagicha olinadi: x = 3 5 + 1 5 l y = - 1 5 + 3 5 l z = l ⇔ l = x - 3 5 1 5 l = y + 1 5 3 5 l = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Ikkala misolda olingan tenglamalar tashqi tomondan farqlanadi, lekin ular ekvivalentdir, chunki ular uch o'lchovli fazoda bir xil nuqtalar to'plamini va shuning uchun bir xil to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

Javob: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 va x = 3 5 + 1 5 l y = - 1 5 + 3 5 l z = l

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Agar ikkita samolyot bo'lsa kesishadi, keyin chiziqli tenglamalar tizimi fazodagi to'g'ri chiziq tenglamasini aniqlaydi.

Ya'ni, to'g'ri chiziq ikkita tekislik tenglamalari bilan berilgan. Oddiy va keng tarqalgan vazifa to'g'ri chiziq tenglamalarini kanonik shaklda qayta yozishdir:

9-misol

Yechim: Toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun nuqta va yoʻnalish vektorini bilish kerak. Va biz ikkita tekislikning tenglamalarini berdik ....

1) Birinchidan, berilgan chiziqqa tegishli nuqtani toping. Buni qanday qilish kerak? Tenglamalar tizimida siz ba'zi koordinatalarni tiklashingiz kerak. , keyin ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz: . Biz tenglamalarni had bo'yicha qo'shamiz va tizimning yechimini topamiz:

Shunday qilib, nuqta ushbu chiziqqa tegishli. Quyidagi texnik nuqtaga e'tibor bering: nuqtani topish maqsadga muvofiqdir butun koordinatalar. Agar biz tizimda "x" yoki "z" ni nolga tenglashtirsak, kasr koordinatalarisiz "yaxshi" nuqtani olishimiz haqiqat emas. Bunday tahlil va nuqtani tanlash aqliy yoki qoralama ustida amalga oshirilishi kerak.

Tekshiramiz: nuqta koordinatalarini dastlabki tenglamalar sistemasiga almashtiramiz: . To'g'ri tengliklar olinadi, demak .

2) To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori qanday topiladi? Uning joylashuvi quyidagi sxematik chizmada aniq ko'rsatilgan:

Chiziqimizning yo'nalish vektori tekisliklarning normal vektorlariga ortogonaldir. Va agar bo'lsa, u holda "pe" vektorini sifatida topamiz vektor mahsuloti normal vektorlar: .

Samolyotlar tenglamalaridan ularning normal vektorlarini olib tashlaymiz:

Va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topamiz:

Natijani qanday tekshirish mumkinligi maqolada muhokama qilindi Vektorlarning o‘zaro mahsuloti.

3) nuqta va yo‘naltiruvchi vektor bo‘yicha to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzamiz:

Javob:

Amalda siz tayyor formuladan foydalanishingiz mumkin: agar to'g'ri chiziq ikkita tekislikning kesishishi bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori hisoblanadi.

10-misol

Chiziqning kanonik tenglamalarini yozing

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Sizning javobingiz menikidan farq qilishi mumkin (qaysi nuqtani tanlaganingizga qarab). Agar farq bo'lsa, tekshirish uchun tenglamangizdan nuqta oling va uni mening tenglamamga almashtiring (yoki aksincha).

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Darsning ikkinchi qismida biz ko'rib chiqamiz o'zaro tartibga solish kosmosdagi chiziqlar, shuningdek, fazoviy chiziqlar va nuqtalar bilan bog'liq muammolarni tahlil qilish. Meni material munosib bo'ladi degan noaniq umidlar qiynayapti, shuning uchun alohida veb-sahifa yaratgan ma'qul.

Xush kelibsiz: Fazodagi to'g'ri chiziq bilan bog'liq masalalar >>>

Yechimlar va javoblar:

4-misol: Javoblar:

6-misol: Yechim: Toʻgʻri chiziqning yoʻnalish vektorini toping:

Nuqta va yo'nalish vektori bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamalarini tuzamiz:

Javob : ("y" - har qanday) :

Javob :

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ikki kesishuvchi tekislik tenglamalari orqali fazoda berilgan to‘g‘ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini toping. .

Yechim.

Keling, tenglamalar tizimini quyidagi ko'rinishda qayta yozamiz

Tizimning asosiy matritsasining bazis minori sifatida biz ikkinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minorini olamiz. , ya'ni z erkin noma'lum o'zgaruvchidir. Tarkibida z bo‘lgan hadlarni tenglamalarning o‘ng qismlariga o‘tkazamiz: .

Qabul qilaylik , ixtiyoriy haqiqiy son qayerda, keyin .

Olingan tenglamalar tizimini yechamiz:

Shunday qilib, tenglamalar tizimining umumiy yechimi shaklga ega, bu yerda.

Agar parametrning o'ziga xos qiymatini oladigan bo'lsak, u holda biz tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini olamiz, bu bizga berilgan chiziqda yotgan nuqtaning kerakli koordinatalarini beradi. Keling, uni qabul qilaylik , shuning uchun chiziqning kerakli nuqtasidir.

Topilgan nuqta koordinatalarini ikkita kesishuvchi tekislikning dastlabki tenglamalariga almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin:

Javob:

Ikki tekislik kesishgan chiziqning yo'nalish vektori.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini to'g'ri chiziqdan ajratib bo'lmaydi. Uch o'lchamli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi a chiziq kesishuvchi ikkita tekislik va tenglamalari bilan berilgan bo'lsa, u holda chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari ko'rinmaydi. Endi biz ularni qanday aniqlashni ko'rsatamiz.

Biz bilamizki, chiziq shu tekislikdagi istalgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, tekislikka perpendikulyar bo'ladi. U holda tekislikning normal vektori shu tekislikda yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar bo'ladi. Bu faktlardan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topishda foydalanamiz.

A chizig'i tekislikda ham, tekislikda ham yotadi. Demak, a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori ham normal vektorga perpendikulyar tekislik va normal vektor samolyotlar. Shunday qilib, a chiziqning yo'naltiruvchi vektori Va :

To'g'ri chiziqning barcha yo'nalish vektorlari to'plami va biz sifatida belgilashimiz mumkin , bu yerda noldan boshqa har qanday haqiqiy qiymatni qabul qiluvchi parametr.

Misol.

Oxyz to'rtburchaklar koordinatalar tizimida 3D fazoda ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari orqali berilgan chiziqning istalgan yo'nalish vektorining koordinatalarini toping. .

Yechim.

Samolyotlarning normal vektorlari va vektorlari Va mos ravishda. Berilgan ikkita tekislikning kesishmasi bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini normal vektorlarning vektor mahsulotini olamiz:

Javob:

Fazoda to'g'ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalariga o'tish.

To'g'ri chiziqni tasvirlash uchun kesishgan ikkita tekislik tenglamalaridan foydalanish unchalik qulay bo'lmagan holatlar mavjud. Agar shakl fazosida to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari mavjud bo'lsa, ba'zi muammolarni hal qilish osonroq yoki shakl fazosida to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari , bu yerda x 1 , y 1 , z 1 - chiziqning biron bir nuqtasining koordinatalari, a x , a y , a z - chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari va ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarni qabul qiluvchi parametr. Shaklning to'g'ridan-to'g'ri tenglamalaridan o'tish jarayonini tasvirlaylik fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalariga.

Oldingi paragraflarda biz toʻgʻri chiziqdagi maʼlum nuqtaning koordinatalarini, shuningdek, ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari orqali berilgan toʻgʻri chiziqning baʼzi yoʻnaltiruvchi vektorining koordinatalarini qanday topishni oʻrgandik. Bu ma'lumotlar fazoda to'rtburchak koordinatalar tizimida ushbu chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozish uchun etarli.

Misol yechimini ko'rib chiqamiz va shundan so'ng fazoda to'g'ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini topishning boshqa usulini ko'rsatamiz.

Misol.

Yechim.

Avval to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini hisoblaylik. Buning uchun normal vektorlarning vektor mahsulotini topamiz Va samolyotlar Va :

Ya'ni, .

Endi berilgan chiziqning qaysidir nuqtasining koordinatalarini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamalar sistemasining yechimlaridan birini topamiz .

Aniqlovchi noldan farq qiladi, biz uni tizimning asosiy matritsasining bazis minori sifatida olamiz. Keyin z o'zgaruvchisi bo'sh, biz u bilan atamalarni tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz va z o'zgaruvchisiga ixtiyoriy qiymat beramiz:

Olingan tenglamalar tizimini Kramer usuli bilan yechamiz:

Binobarin,

To'g'ri chiziq nuqtasining koordinatalarini olishda biz ni qabul qilamiz: .

Endi fazoda asl chiziqning kerakli kanonik va parametrik tenglamalarini yozishimiz mumkin:

Javob:

Va

Bu muammoni hal qilishning ikkinchi usuli.

To'g'ri chiziqda ma'lum bir nuqtaning koordinatalarini topishda biz tenglamalar tizimini yechamiz . Umuman olganda, uning yechimlari quyidagicha yozilishi mumkin .

Va bu kosmosdagi to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalari. Olingan tenglamalarning har biri parametrga nisbatan yechilsa va keyin tengliklarning o‘ng tomonlari tenglashtirilsa, u holda fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini olamiz.

Oldingi masalaning yechimini shu usul bilan ko'rsatamiz.

Misol.

Uch o'lchovli fazodagi to'g'ri chiziq ikkita kesishgan tekislik tenglamalari bilan berilgan . Bu chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozing.

Yechim.

Biz qaror qilamiz bu tizim uchta noma'lumli ikkita tenglamadan (yechish oldingi misolda berilgan, biz o'zimizni takrorlamaymiz). Shu bilan birga, biz olamiz . Bular fazodagi to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalari.

Kosmosdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini olish qoladi:

Olingan to'g'ri chiziq tenglamalari tashqi tomondan oldingi misolda olingan tenglamalardan farq qiladi, ammo ular ekvivalentdir, chunki ular uch o'lchovli fazoda bir xil nuqtalar to'plamini (va shuning uchun bir xil to'g'ri chiziq) belgilaydi.

Javob:

Va

Adabiyotlar ro'yxati.

• Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. Birinchi jild: Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometriya.