Elementar matritsa konvertatsiyalariga quyidagilar kiradi:

1. Qatorlar (ustunlar) tartibini o'zgartirish.

2. Nol qatorlarni (ustunlarni) tushirish.

3. Har qanday qator (ustun) elementlarini bitta raqamga ko'paytirish.

4. Har qanday satr (ustun) elementlariga boshqa qator (ustun) elementlarini bir raqamga ko'paytiruvchi qo'shish.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari slu (Asosiy tushunchalar va ta'riflar).

1. Tizim m chiziqli tenglamalar bilan n noma'lum deb ataladi shakldagi tenglamalar tizimi:

2.Qaror(1) tenglamalar sistemasiga sonlar to'plami deyiladi x 1 , x 2 , … , x n , tizimning har bir tenglamasini o'ziga xoslikka aylantirish.

3. (1) tenglamalar sistemasi deyiladi qo'shma agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa; agar tizimda yechimlar bo'lmasa, u deyiladi mos kelmaydigan.

4. (1) tenglamalar sistemasi deyiladi aniq agar u faqat bitta yechimga ega bo'lsa va noaniq agar u bir nechta yechimga ega bo'lsa.

5. Elementar transformatsiyalar natijasida sistema (1) unga ekvivalent (ya’ni bir xil yechimlar to‘plamiga ega) sistemaga aylanadi.

Elementar o'zgarishlarga Chiziqli tenglamalar tizimiga quyidagilar kiradi:

1. Null satrlarni tushirish.

2. Chiziqlar tartibini o'zgartirish.

3. Har qanday qatorning elementlariga boshqa qatorning elementlarini bitta raqamga ko'paytirish.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari.

1) n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun teskari matritsa usuli (matritsa usuli).

tizimi n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum deb ataladi shakldagi tenglamalar tizimi:

(2) sistemani matritsa shaklida yozamiz, buning uchun belgini kiritamiz.

O'zgaruvchilardan oldingi koeffitsient matritsasi:

X = ‒ o'zgaruvchilar matritsasi.

B = erkin shartlar matritsasi.

Keyin tizim (2) quyidagi shaklni oladi:

A× X = B‒ matritsa tenglamasi.

Tenglamani yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:

X = A -1 × B

Misol:

; ;

1) │A│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matritsa A -1 mavjud.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Javob:

2) n - n - noma'lumli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer qoidasi.

2 - noma'lumli 2 - x chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

Ushbu tizimni almashtirish usuli yordamida hal qilaylik:

Birinchi tenglamadan quyidagicha:

Ikkinchi tenglamani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Formuladagi qiymatni o'rniga qo'yamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Determinant D - sistema matritsasi determinanti;

Δ x 1 - o'zgaruvchan aniqlovchi x 1 ;

Δ x 2 - o'zgaruvchan aniqlovchi x 2 ;

Formulalar:

x 1 =;x 2 =;…,x n = ;D  0;

deyiladi Kramer formulalari.

Noma'lumlarning determinantlarini topishda X 1 , X 2 ,…, X n determinanti topilgan o‘zgaruvchining koeffitsientlar ustuni bo‘sh a’zolar ustuni bilan almashtiriladi.

Misol: Tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching

Qaror:

Birinchidan, biz ushbu tizimning asosiy determinantini tuzamiz va hisoblaymiz:

D ≠ 0 bo'lgani uchun tizim Kramer qoidasi yordamida topilishi mumkin bo'lgan yagona yechimga ega:

Bu yerda D 1, D 2, D 3 aniqlovchi D dan mos ravishda 1, 2 yoki 3-ustunlarni erkin shartlar ustuni bilan almashtirish orqali olinadi.

Shunday qilib:

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss usuli.

Tizimni ko'rib chiqing:

(1) tizimning kengaytirilgan matritsasi quyidagi shakldagi matritsadir:

Gauss usuli bo'ylab ikkinchi tenglamadan boshlab, tizim tenglamalaridan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usulidir. m- bu tenglama.

Bunday holda, elementar transformatsiyalar orqali tizim matritsasi uchburchakka qisqartiriladi (agar m = n va tizim determinanti ≠ 0) yoki bosqichma-bosqich (agar m< n ) shakl.

Keyin, raqam bo'yicha oxirgi tenglamadan boshlab, barcha noma'lumlar topiladi.

Gauss usuli algoritmi:

1) Bo'sh a'zolar ustunini o'z ichiga olgan tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzing.

2) Agar a 11  0, keyin biz birinchi qatorni ajratamiz a 11 va ko'paytiring (- a 21) va ikkinchi qatorni qo'shing. Xuddi shunday, erishish m- bu qatordan:

I sahifa bo'linadi a 11 va ko'paytiring (- a m 1) va qo'shing m- o'sha sahifa

Bunday holda, tenglamalardan, ikkinchidan boshlab m- ya'ni o'zgaruvchi chiqarib tashlanadi x 1 .

3) 3-bosqichda ikkinchi satr 3-bosqichdan satrlarning o'xshash elementar o'zgarishi uchun ishlatiladi. m- thuyu. Bu o'zgaruvchini olib tashlaydi x 2 , 3-qatordan pastga qarab m- thuja va boshqalar.

Ushbu o'zgarishlar natijasida tizim uchburchak yoki pog'onali shaklga tushadi (uchburchak shaklda asosiy diagonal ostida nollar mavjud).

Tizimni uchburchak yoki bosqichli shaklga keltirish deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli, va hosil bo'lgan sistemadan noma'lumlarni topish deyiladi orqaga.

Misol:

To'g'ridan-to'g'ri harakat. Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini taqdim qilaylik

bosqichli shaklga elementar transformatsiyalar yordamida. Matritsaning birinchi va ikkinchi qatorlarini almashtiring A b dan matritsani olamiz:

Olingan matritsaning ikkinchi qatorini birinchi qatorni (‒2) ga, uchinchi qatorini esa birinchi qatorni (‒7) ko’paytiramiz. Matritsani oling

Olingan matritsaning uchinchi qatoriga biz (‒3) ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shamiz, buning natijasida biz qadam matritsasini olamiz.

Shunday qilib, biz ushbu tenglamalar tizimini bosqichma-bosqich shaklga keltirdik:

,

Teskari harakat. Olingan bosqichma-bosqich tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan boshlab, biz ketma-ket noma'lumlarning qiymatlarini topamiz:

§7. Chiziqli tenglamalar sistemalari

Muvozanat tizimlari. Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar transformatsiyalari.

Bo'lsin Bilan- maydon murakkab sonlar. Tenglama turi

qayerda
, bilan chiziqli tenglama deyiladi n noma'lum
. buyurtma qilingan to'plam
,
bo'lsa (1) tenglamaning yechimi deyiladi.

tizimi m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum shakldagi tenglamalar tizimi:

- chiziqli tenglamalar tizimining koeffitsientlari; - bepul a'zolar.

to'rtburchaklar stol

,

hajmi matritsasi deb ataladi
. Belgini kiritamiz: - i-matritsaning qatori,
- k-matritsaning ustuni. Matritsa LEKIN ham bildiradi
yoki
.

Quyidagi matritsa qatorlarini o'zgartirish LEKIN elementar deyiladi.
) null qatorli istisno; ) har qanday satrning barcha elementlarini songa ko'paytirish
; ) har qanday boshqa satrning har qanday satriga qo'shish, ko'paytiriladi
. Xuddi shunday matritsa ustun o'zgarishlari LEKIN elementar matritsa transformatsiyalari deyiladi LEKIN.

Har qanday matritsa qatorining nolga teng bo'lmagan birinchi elementi (chapdan o'ngga sanab). LEKIN bu satrning yetakchi elementi deyiladi.

Ta'rif. Matritsa
Agar quyidagi shartlar bajarilsa, bosqichma-bosqich deyiladi:

1) matritsaning nol qatorlari (agar mavjud bo'lsa) nolga teng bo'lmagan satrlardan past;

2) agar
matritsa satrlarining yetakchi elementlari, keyin

Har qanday nolga teng bo'lmagan A matritsasini satr elementar o'zgartirishlar orqali bosqichli matritsaga keltirish mumkin.

Misol. Biz matritsani taqdim etamiz
qadam matritsasiga:
~
~
.

Tizim koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa chiziqli tenglamalar (2) sistemaning asosiy matritsasi deyiladi. Matritsa
, erkin shartlar ustunini qo'shish natijasida olingan, tizimning kengaytirilgan matritsasi deyiladi.

Tartiblangan to'plam chiziqli tenglamalar tizimining (2) yechimi deyiladi, agar u ushbu tizimning har bir chiziqli tenglamasining yechimi bo'lsa.

Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa konsentsion, yechimlari boʻlmasa nomuvofiq deyiladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lsa, aniq, bir nechta yechimga ega bo‘lsa, noaniq deyiladi.

Chiziqli tenglamalar tizimining quyidagi o'zgarishlari elementar deyiladi:

) shaklning tenglamalar tizimidan chiqarib tashlash;

) har qanday tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish
,
;

) har qanday boshqa tenglamaning har qanday tenglamasiga qo'shish, , ga ko'paytiriladi.

dan ikkita chiziqli tenglamalar tizimi n noma'lumlar mos kelmasa yoki ularning yechimlari to'plami bir xil bo'lsa, ekvivalent deyiladi.

Teorema. Agar chiziqli tenglamalarning bir sistemasi boshqasidan ), ), ) tipidagi elementar o'zgartirishlar yordamida olingan bo'lsa, u asl tizimga ekvivalent bo'ladi.

Noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechish (Gauss usuli bilan).

Tizimga ruxsat bering m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

Agar tizim (1) shaklning tenglamasini o'z ichiga olsa

keyin bu tizim mos kelmaydi.

Faraz qilaylik (1) sistemada (2) ko‘rinishdagi tenglama yo‘q. (1) sistemaga o'zgaruvchining koeffitsienti kiritilsin x Birinchi tenglamada 1
(agar bunday bo'lmasa, tenglamalarni joylarda qayta tartibga solish orqali biz bunga erishamiz , chunki hamma koeffitsientlar ham emas. x 1 nolga teng). Chiziqli tenglamalar tizimiga (1) quyidagi elementar o'zgartirishlar zanjirini qo'llaymiz:

, ikkinchi tenglamaga qo'shing;

Birinchi tenglama ko'paytiriladi
, uchinchi tenglamaga qo'shing va hokazo;

Birinchi tenglama ko'paytiriladi
, tizimning oxirgi tenglamasiga qo'shing.

Natijada, biz (1) tizimga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz (keyingi o'rinlarda chiziqli tenglamalar tizimi uchun CLE qisqartmasidan foydalanamiz). Olingan tizimda raqam bilan bitta tenglama yo'qligi ma'lum bo'lishi mumkin i, i 2, noma'lumni o'z ichiga olmaydi x 2. Bo'lsin k eng kami hisoblanadi natural son, bu noma'lum x k soni bilan kamida bitta tenglamada mavjud i, i 2. U holda hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Tizim (3) tizim (1) ga teng. Hozir quyi tizimga murojaat qiling
chiziqli tenglamalar tizimlari (3) SLE (1) ga qo'llaniladigan fikrlash. Va boshqalar. Ushbu jarayon natijasida biz ikkita natijadan biriga erishamiz.

1. Biz (2) shakldagi tenglamani o'z ichiga olgan SLEni olamiz. Bunday holda, SLE (1) mos kelmaydi.

2. SLE (1) ga qo'llaniladigan elementar transformatsiyalar (2) ko'rinishdagi tenglamani o'z ichiga olgan tizimga olib kelmaydi. Bunday holda, SLE (1) elementar transformatsiyalar bilan
shakldagi tenglamalar tizimiga keltiriladi:

(4)

qayerda, 1< k < l < . . .< s,

(4) ko'rinishdagi chiziqli tenglamalar tizimi bosqichma-bosqich deyiladi. Bu erda quyidagi ikkita holat mumkin.

LEKIN) r= n, keyin sistema (4) shaklga ega bo'ladi

(5)

Tizim (5) noyob yechimga ega. Shunday qilib, tizim (1) ham o'ziga xos echimga ega.

B) r< n. Bunday holda, noma'lum
(4) sistemada asosiy noma’lumlar, bu sistemada qolgan noma’lumlar esa erkin deyiladi (ularning soni teng n- r). Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan raqamli qiymatlarni tayinlaymiz, keyin SLE (4) tizim (5) bilan bir xil shaklga ega bo'ladi. Undan asosiy noma'lumlar noyob tarzda aniqlanadi. Shunday qilib, tizim yechimga ega, ya'ni u qo'shmadir. Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan raqamli qiymatlar berilganligi sababli Bilan, u holda (4) tizim noaniqdir. Demak, (1) tizim ham noaniqdir. SLE (4) da asosiy noma’lumlarni erkin noma’lumlar ko’rinishida ifodalab, (1) sistemaning umumiy yechimi deb ataladigan sistemaga erishamiz.

Misol. Usul yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching G aussa

Biz chiziqli tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar qator o'zgartirishlar yordamida uni bosqichli matritsaga keltiramiz:

~

~
~
~

~ . Olingan matritsadan foydalanib, chiziqli tenglamalar tizimini tiklaymiz:
Bu tizim asl tizimga teng. Asosiy noma'lumlar sifatida biz keyin olamiz
bepul noma'lum. Bosh noma’lumlarni faqat erkin noma’lumlar bilan ifodalaymiz:

Biz SLE ning umumiy yechimini oldik. Unda ruxsat bering

(5, 0, -5, 0, 1) SLE ning alohida yechimidir.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Noma'lumlarni yo'q qilib, tenglamalar tizimining umumiy va bitta maxsus yechimini toping:

1)
2)

4)
6)

2. Turli parametr qiymatlarida toping a tenglamalar tizimining umumiy yechimi:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§sakkiz. Vektor bo'shliqlari

Vektor fazo tushunchasi. Eng oddiy xususiyatlar.

Bo'lsin V ≠ Ø, ( F, +,∙) – maydon. Maydonning elementlari skalerlar deb ataladi.

Displey φ : F× V –> V to‘plam elementlarini ko‘paytirish amali deyiladi V daladan skalyarlarga F. Belgilamoq φ (l,a) orqali la element mahsuloti a skalerga λ .

Ta'rif. Bir guruh V to'plam elementlarini qo'shishning berilgan algebraik amali bilan V va to‘plam elementlarini ko‘paytirish V daladan skalyarlarga F Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa, F maydoni ustidagi vektor fazosi deyiladi:

Misol. Bo'lsin F dala, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). To'plamning har bir elementi F n chaqirdi n-o'lchovli arifmetik vektor. Biz qo'shish operatsiyasini kiritamiz n-o'lchovli vektorlar va ko'paytirish n-o'lchovli vektor maydondan skalerga F. Bo'lsin
. Keling, = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , l a 2 , … , l a n). Bir guruh F Kiritilgan amallarga nisbatan n vektor fazo va u deyiladi n-maydon ustidagi o'lchovli arifmetik vektor fazosi F.

Bo'lsin V- maydon ustidagi vektor fazosi F, ,
. Quyidagi xususiyatlar sodir bo'ladi:

1)
;

3)
;

4)
;

Mulkni tasdiqlovchi hujjat 3.

Guruhdagi qisqarish qonuniga ko'ra tenglikdan ( V,+) bizda bor
.

Chiziqli bog'liqlik, vektorlar sistemalarining mustaqilligi.

Bo'lsin V maydon ustidagi vektor fazosidir F,

. Vektor deyiladi chiziqli birikma vektor tizimlari
. Vektorlar sistemasining barcha chiziqli birikmalari to'plami deyiladi chiziqli qobiq bu vektorlar sistemasining va bilan belgilanadi.

Ta'rif. Agar shunday skalyarlar mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deyiladi
hammasi nolga teng emas, qaysi

Agar tenglik (1) bajarilsa, faqat va faqat λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, u holda vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil deyiladi.

Misol. Vektorlar sistemasi ekanligini aniqlang = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) bo'shliqlar R 3 chiziqli bog'liq yoki mustaqil.

Qaror. l 1 , l 2 , l 3 boʻlsin
va

 |=> (0,0,0) – sistemaning yechimi. Shuning uchun vektorlar tizimi chiziqli mustaqildir.

Xususiyatlari chiziqli bog'liqlik va vektorlar tizimining mustaqilligi.

1. Kamida bitta nol vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

2. Chiziqli bog'liq quyi tizimni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

3. Vektorlar sistemasi , bu yerda
chiziqli bog'liq bo'ladi, agar bu tizimning vektordan farq qiladigan kamida bitta vektori o'zidan oldingi vektorlarning chiziqli birikmasi bo'lsa.

4. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil, vektorlar sistemasi esa
chiziqli bog'liq, keyin vektor vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda ifodalanishi mumkin.

Isbot. Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lgani uchun, demak
hammasi nolga teng emas, qaysi

Vektor tengligida (2) λ m+1 ≠ 0. Faraz qilsak λ m+1 =0, keyin (2) dan => Bundan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq ekan, chunki λ 1 , λ 2 , … , λ m hammasi ham nolga teng emas. Biz shartga zid keldik. (1) => qayerdan
.

Vektorni quyidagicha ifodalash mumkin bo'lsin: Keyin vektor tengligidan
tufayli chiziqli mustaqillik vektorlar tizimi shundan kelib chiqadi
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Ikki vektor sistemasi va bo'lsin
, m>k. Agar vektorlar tizimining har bir vektorini vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Vektorlar sistemasining asosi, darajasi.

Fazoviy vektorlarning chekli tizimi V maydon ustida F bilan belgilang S.

Ta'rif. Vektorlar tizimining har qanday chiziqli mustaqil quyi tizimi S vektorlar sistemasining asosi deyiladi S, tizimning har qanday vektori bo'lsa S vektorlar sistemasining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Misol. Vektorlar sistemasining asosini toping = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqildir, chunki 5-xususiyatga muvofiq vektorlar sistemasi vektorlar sistemasidan olinadi. nafaqa asoslar elektromekanotronika: tarbiyaviynafaqa asoslar elektrotexnika"; ...

O‘quv adabiyotlari 2000-2008 (1)

Adabiyot

Matematika Matematika Lobkova N.I. Asoslar chiziqli algebra va analitik geometriya: tarbiyaviynafaqa/ N.I.Lobkova, M.V.Lagunova ... uchun loyihalash asoslar elektromekanotronika: tarbiyaviynafaqa/ PGUPS. Bo'lim "Nazariy asoslar elektrotexnika"; ...

Ta'rif 5. Elementar transformatsiyalar chiziqli tenglamalar tizimi uning quyidagi o'zgarishlari deyiladi:

1) har qanday ikkita tenglamani joylarda almashtirish;

2) bir tenglamaning ikkala qismini istalgan songa ko'paytirish;

3) bir tenglamaning ikkala qismiga ikkinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini istalgan raqamga ko'paytirish k;

(boshqa barcha tenglamalar o'zgarishsiz qoladi).

Nol tenglama quyidagi tenglamani chaqiramiz:

Teorema 1. Elementar o'zgarishlarning har qanday chekli ketma-ketligi va nol tenglamani o'chirishning transformatsiyasi bir chiziqli tenglamalar tizimini unga ekvivalent chiziqli tenglamalarning boshqa tizimiga aylantiradi.

Isbot. Oldingi bo'limning 4-xususiyatiga ko'ra, har bir transformatsiya uchun teoremani alohida isbotlash kifoya.

1. Tizimdagi tenglamalar qayta tashkil etilganda, tenglamalarning o'zi o'zgarmaydi, shuning uchun ta'rifiga ko'ra, hosil bo'lgan tizim asl tizimga ekvivalent bo'ladi.

2. Isbotning birinchi qismi tufayli birinchi tenglama uchun tasdiqni isbotlash kifoya. Biz (1) tizimning birinchi tenglamasini raqamga ko'paytiramiz , biz tizimni olamiz

(2)

Bo'lsin  tizimlar (1) . Keyin raqamlar (1) tizimning barcha tenglamalarini qanoatlantiradi. Birinchisidan tashqari (2) sistemaning barcha tenglamalari (1) sistemaning tenglamalariga to'g'ri kelganligi sababli, raqamlar bu tenglamalarning barchasini qanoatlantiradi. Raqamlar tizimning birinchi tenglamasini (1) qanoatlantirganligi sababli, to'g'ri raqamli tenglik sodir bo'ladi:

Uni raqamga ko'paytirish K, biz to'g'ri raqamli tenglikni olamiz:

Bu. buni aniqlaymiz  tizimlar (2).

Aksincha, agar (2) sistemaning yechimi, keyin raqamlar (2) sistemaning barcha tenglamalarini qanoatlantiradi. Birinchisidan tashqari (1) sistemaning barcha tenglamalari (2) sistemaning tenglamalariga to'g'ri kelganligi sababli, raqamlar bu tenglamalarning barchasini qanoatlantiradi. Raqamlar sistemaning birinchi tenglamasini (2) qanoatlantirganligi sababli, sonli tenglik (4) o'rinli bo'ladi. Uning ikkala qismini songa bo'lib, (3) sonli tenglikni olamiz va buni isbotlaymiz  sistemaning yechimi (1).

Demak, 4-ta'rifga ko'ra (1) tizim (2) ga ekvivalentdir.

3. Isbotning birinchi qismi tufayli sistemaning birinchi va ikkinchi tenglamalari uchun tasdiqni isbotlash kifoya. Tizimning birinchi tenglamasining ikkala qismiga ikkinchisining mos keladigan qismlarini songa ko'paytiramiz. K, biz tizimni olamiz

(5)

Bo'lsin sistemaning yechimi (1) . Keyin raqamlar (1) tizimning barcha tenglamalarini qanoatlantiradi. Birinchisidan tashqari (5) sistemaning barcha tenglamalari (1) sistemaning tenglamalariga to'g'ri kelganligi sababli, raqamlar bu tenglamalarning barchasini qanoatlantiradi. Raqamlar tizimning birinchi tenglamasini (1) qanoatlantirganligi sababli, to'g'ri raqamli tengliklar sodir bo'ladi:

Birinchi tenglikka ikkinchi muddat qo'shib, songa ko'paytiriladi K to'g'ri sonli tenglikni olamiz.

Bir to'plamdan ikkita chiziqli tenglamalar tizimi x 1 ,..., x n noma'lumlar va mos ravishda m va p tenglamalardan

Agar ularning yechimlari to'plamlari va mos kelsa (ya'ni, kichik to'plamlar va K n da mos kelsa, ) ular ekvivalent deb ataladi. Bu shuni anglatadiki, ularning ikkalasi ham bo'sh kichik to'plamlardir (ya'ni, ikkala tizim (I) va (II) ham mos kelmaydi) yoki ular bir vaqtning o'zida bo'sh emas va (ya'ni, I tizimning har bir yechimi II tizimning va har bir yechim tizimining II yechimidir. I sistemaning yechimidir).

3.2.1-misol.

Gauss usuli

Gauss tomonidan taklif qilingan algoritm rejasi juda oddiy edi:

1. echimlar to'plamini o'zgartirmaydigan chiziqli tenglamalar tizimiga ketma-ket o'zgartirishlarni qo'llang (shunday qilib, biz dastlabki tizimning echimlar to'plamini saqlaymiz) va "oddiy shakl" (qadam deb ataladigan) bo'lgan ekvivalent tizimga o'ting. shakl);
2. uchun " oddiy shakl"tizimning (bosqichli matritsa bilan) dastlabki tizimning echimlari to'plamiga to'g'ri keladigan echimlar to'plamini tavsiflaydi.

E'tibor bering, "fan-chen" bir-biriga chambarchas bog'liq bo'lgan usul qadimgi Xitoy matematikasida allaqachon ma'lum bo'lgan.

Chiziqli tenglamalar sistemalarining elementar transformatsiyalari (matritsalar qatorlari)

Ta'rif 3.4.1 (asosiy turdagi 1 konvertatsiya). Tizimning i-tenglamasi songa ko‘paytiriladigan k-tenglamaga qo‘shilganda (belgi: (i)"=(i)+c(k) ; ya'ni faqat bitta i-tenglama (i) almashtiriladi. yangi tenglama bilan (i)"=(i)+c(k) ). Yangi i - tenglama shaklga ega (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k, yoki, qisqacha,

Ya'ni, yangi i-tenglamada a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Ta'rif 3.4.2 (elementar turdagi 2 konvertatsiya). i - va k - tenglamalar o'zaro almashtiriladi, qolgan tenglamalar o'zgarmaydi (belgisi: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; koeffitsientlar uchun bu quyidagini bildiradi: j=1 uchun ,.. .,n

Eslatma 3.4.3. Qulaylik uchun, aniq hisob-kitoblarda siz 3-turdagi elementar o'zgartirishni qo'llashingiz mumkin: i - tenglama nolga teng bo'lmagan raqamga ko'paytiriladi. , (i)"=c(i) .

Taklif 3.4.4. Agar I sistemadan II sistemaga 1 va 2 tipdagi chekli sonli elementar o zgartirishlar yordamida o tgan bo lsak, II sistemadan I tizimga 1 va 2 tipdagi elementar o zgarishlar orqali ham qaytishimiz mumkin.

Isbot.

Eslatma 3.4.5. Bayonot elementar transformatsiyalar soniga 3-turdagi elementar transformatsiyani kiritish bilan ham to'g'ri keladi. Agar a va (i)"=c(i) , keyin va (i)=c -1 (i)" .

3.4.6 teorema.Chiziqli tenglamalar sistemasiga 1- yoki 2-turdagi chekli sonli elementar oʻzgarishlar ketma-ket qoʻllanilgandan soʻng, dastlabkisiga ekvivalent boʻlgan chiziqli tenglamalar sistemasi olinadi.

Isbot. E'tibor bering, bitta elementar transformatsiya yordamida I tizimdan II tizimga o'tish holatini ko'rib chiqish va echimlar to'plamiga kiritilganligini isbotlash kifoya qiladi (chunki isbotlangan taklifga ko'ra II tizimdan qaytish mumkin). tizimga I va shuning uchun biz inklyuziyaga ega bo'lamiz, ya'ni tenglik isbotlangan bo'ladi).

Quyida EXTENDED o'zgaruvchilar maydoni bo'yicha chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi ekvivalent deyiladi, agar ushbu tizimlardan birining har bir yechimi boshqa tizimning yechimi bo'lsa.

Quyidagi jumlalar ekvivalentlik xususiyatlarini ifodalaydi, ular ekvivalentlik ta'rifi va yuqorida qayd etilgan tizimlar ketma-ketligi xususiyatlaridan kelib chiqadi.

TAKLIF 2.2. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ushbu tizimlarning har biri boshqa tizimning natijasi bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.

TAKLIF 2.3. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar bir tizimning barcha yechimlari to‘plami boshqa tizimning barcha yechimlari to‘plamiga to‘g‘ri kelsagina ekvivalent hisoblanadi.

TAKLIF 2.4. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ushbu tizimlar tomonidan aniqlangan predikatlar ekvivalent bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.

TA'RIF. Quyidagi o'zgarishlar chiziqli tenglamalar tizimining elementar o'zgarishlari deyiladi:

a) sistemaning ba'zi tenglamalarining ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan skalerga ko'paytirish;

(P) sistemaning har qanday tenglamasining ikkala qismiga sistemaning boshqa tenglamasining mos keladigan qismlarini skalyarga ko‘paytiruvchi qo‘shish (ayirish);

Nol koeffitsientli va nol bo'sh a'zoli chiziqli tenglamani tizimdan chiqarib tashlash yoki tizimga qo'shish.

TEOREMA 2.5. Agar bir chiziqli tenglamalar sistemasi boshqa chiziqli tenglamalar sistemasidan elementar o zgarishlar zanjiri natijasida olingan bo lsa, bu ikki sistema ekvivalent hisoblanadi.

Isbot. Tizimga ruxsat bering

Agar biz uning tenglamalaridan birini, masalan, birinchisini nolga teng bo'lmagan skaler X ga ko'paytirsak, biz tizimni olamiz.

(1) sistemaning har bir yechimi ham (2) sistemaning yechimidir.

Aksincha, (2) sistemaning yechimi bo'lsa,

keyin birinchi tenglikni ko‘paytirib, keyingi tengliklarni o‘zgartirmasdan, vektor (1) sistemaning yechimi ekanligini ko‘rsatuvchi tengliklarni olamiz. Shuning uchun (2) tizim dastlabki tizimga (1) ekvivalentdir. Elementar o'zgartirish (P) yoki tizim (1) ning yagona qo'llanilishi dastlabki tizimga (1) ekvivalent tizimga olib kelishini tekshirish ham oson. Ekvivalentlik munosabati o'tish xususiyatiga ega bo'lganligi sababli, elementar o'zgarishlarni takroran qo'llash dastlabki tizimga (1) ekvivalent tenglamalar tizimini keltirib chiqaradi.

Xulosa 2.6. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi tenglamalaridan biriga tizimning boshqa tenglamalarining chiziqli birikmasini qo'shsak, u holda biz asl tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamalar tizimini olamiz.

Xulosa 2.7. Agar chiziqli tenglamalar tizimidan chiqarib tashlasak yoki unga tizimning boshqa tenglamalarining chiziqli birikmasi bo'lgan tenglamani qo'shsak, u holda biz dastlabki tizimga ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz.