vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy- vektorlar deb ataladigan elementlar to'plami bo'lgan matematik struktura, ular uchun bir-biriga qo'shish va songa ko'paytirish amallari - skalyar aniqlanadi. Bu operatsiyalar sakkizta aksiomaga bo'ysunadi. Skalyarlar haqiqiy, murakkab yoki boshqa har qanday raqam maydonining elementlari bo'lishi mumkin. Bunday fazoning alohida holati odatiy uch o'lchovli Evklid fazosidir, uning vektorlari, masalan, jismoniy kuchlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, vektor fazoning elementi sifatida yo'naltirilgan segment sifatida ko'rsatilishi shart emas. "Vektor" tushunchasini har qanday tabiatdagi vektor fazosining elementiga umumlashtirish nafaqat atamalarni chalkashtirib yubormaydi, balki ixtiyoriy tabiatli bo'shliqlar uchun amal qiladigan bir qator natijalarni tushunish yoki hatto taxmin qilish imkonini beradi. .

Vektor fazolar chiziqli algebraning o'rganish predmeti hisoblanadi. Vektor fazosining asosiy xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir. O'lchov - fazoning chiziqli mustaqil elementlarining maksimal soni, ya'ni qo'pol geometrik talqinga murojaat qilish orqali, faqat skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari orqali bir-biri bilan ifodalab bo'lmaydigan yo'nalishlar soni. Vektor maydoni qo'shimcha tuzilmalar bilan ta'minlanishi mumkin, masalan, norma yoki nuqta mahsuloti. Bunday bo'shliqlar tabiiy ravishda hisob-kitoblarda, asosan cheksiz o'lchovli funktsiya fazolarida paydo bo'ladi. (inglizcha), bu erda vektorlar funktsiyalardir. Tahlilning ko'pgina muammolari vektorlar ketma-ketligi berilgan vektorga yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashni talab qiladi. Bunday savollarni ko'rib chiqish qo'shimcha tuzilishga ega vektor fazolarida, ko'p hollarda yaqinlik va uzluksizlik tushunchalarini aniqlash imkonini beradigan mos topologiyada mumkin. Bunday topologik vektor fazolar, xususan Banax va Gilbert fazolari chuqurroq o‘rganish imkonini beradi.

Vektor fazosi kontseptsiyasining kiritilishini kutgan birinchi ishlar 17-asrga to'g'ri keladi. Analitik geometriya, matritsalar haqidagi ta'limot, chiziqli tenglamalar tizimlari va Evklid vektorlari o'z rivojlanishini o'sha paytda oldi.

Ta'rif

Chiziqli yoki vektor fazosi V (F) (\ displaystyle V \ chap (F \ o'ng)) maydon ustida F (\displaystyle F) tartiblangan to'rtlikdir (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), qayerda

• V (\displaystyle V)- ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning bo'sh bo'lmagan to'plami, deyiladi vektorlar;
• F (\displaystyle F)- elementlari chaqiriladigan maydon skalyarlar;
• Operatsiya aniqlandi qo'shimchalar vektorlar V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), har bir juft elementga mos keladigan x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) to'plamlar V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) ularni chaqirish so'm va belgilandi x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operatsiya aniqlandi vektorlarni skalyarlarga ko'paytirish F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), bu har bir elementga mos keladi l (\displaystyle \lambda) dalalar F (\displaystyle F) va har bir element x (\displaystyle \mathbf (x)) to'plamlar V (\displaystyle V) to'plamning yagona elementi V (\displaystyle V), belgilangan l ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) yoki l x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Bir xil elementlar to'plamida, lekin turli maydonlarda aniqlangan vektor bo'shliqlari turli vektor bo'shliqlar bo'ladi (masalan, haqiqiy sonlar juftligi to'plami). R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) haqiqiy sonlar maydoni yoki bir o'lchovli - kompleks sonlar maydoni ustidagi ikki o'lchovli vektor fazo bo'lishi mumkin).

Eng oddiy xususiyatlar

1. Vektor fazosi qoʻshish yoʻli bilan abel guruhidir.
2. neytral element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) har kim uchun.
4. Har kim uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) qarama-qarshi element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) guruh xususiyatlaridan kelib chiqadigan yagona narsa.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) har kim uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− a) ⋅ x = a ⋅ (− x) = − (a x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) har qanday va uchun x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. a ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) har kim uchun a ∈ F (\displaystyle \alfa \da F).

Tegishli ta'riflar va xususiyatlar

pastki fazo

Algebraik ta'rif: Chiziqli pastki fazo yoki vektor pastki fazosi bo'sh bo'lmagan kichik to'plamdir K (\displaystyle K) chiziqli fazo V (\displaystyle V) shu kabi K (\displaystyle K) da belgilanganlarga nisbatan o‘zi chiziqli fazodir V (\displaystyle V) skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari. Barcha kichik bo'shliqlar to'plami odatda sifatida belgilanadi L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Kichik to'plam pastki bo'shliq bo'lishi uchun bu zarur va etarli

Oxirgi ikkita bayonot quyidagilarga ekvivalentdir:

Har qanday vektorlar uchun x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K da) vektor a x + b y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) ham tegishli edi K (\displaystyle K) har qanday uchun a , b ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \F ichida).

Xususan, faqat bitta nol vektordan iborat vektor fazo har qanday fazoning pastki fazosi hisoblanadi; har qanday fazo o'zining pastki fazosidir. Bu ikkisiga to'g'ri kelmaydigan pastki fazolar deyiladi Shaxsiy yoki ahamiyatsiz.

Subfazo xususiyatlari

Chiziqli birikmalar

Ko'rishning yakuniy yig'indisi

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a nxn (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Chiziqli birikma deyiladi:

Asos. Hajmi

Vektorlar x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots,\mathbf (x) _(n)) chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ularning qiymati nolga teng bo'lgan ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa; ya'ni

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a nxn = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

ba'zi koeffitsientlar bilan a 1 , a 2 , … , a n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\F ichida) va koeffitsientlardan kamida bittasi a i (\displaystyle \alpha _(i)) noldan farq qiladi.

Aks holda, bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Ushbu ta'rif quyidagi umumlashtirishga imkon beradi: cheksiz vektorlar to'plami V (\displaystyle V) chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ba'zi final uning kichik to'plami va chiziqli mustaqil, agar mavjud bo'lsa final kichik to'plam chiziqli mustaqildir.

Asosiy xususiyatlar:

x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a nxn (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Chiziqli qobiq

Chiziqli qobiq kichik to'plamlar X (\displaystyle X) chiziqli fazo V (\displaystyle V)- barcha kichik fazolarning kesishishi V (\displaystyle V) o'z ichiga olgan X (\displaystyle X).

Chiziqli qobiq pastki fazodir V (\displaystyle V).

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo X (\displaystyle X). Bundan tashqari, chiziqli oraliq deyiladi V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- bo'sh joy, ustiga cho'zilgan kopgina X (\displaystyle X).

dan vektorlar sistemasi bo'lsin. Chiziqli qobiq vektor tizimlari berilgan tizim vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plami deyiladi, ya'ni.

Chiziqli qobiq xossalari: Agar , u holda va uchun.

Chiziqli qobiq chiziqli amallarga (songa qo'shish va ko'paytirish amallari) nisbatan yopiqlik xususiyatiga ega.

Fazoning sonlarga qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiqlik xususiyatiga ega bo‘lgan kichik to‘plami deyiladi.fazoning chiziqli pastki fazosi .

Vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i fazoning chiziqli pastki fazosidir.

dan vektorlar sistemasi bazis deb ataladi ,agar

Har qanday vektor bazaviy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin:

2. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil.

Lemma vektor kengayish koeffitsientlari asos nuqtai nazaridan yagona tarzda belgilanadi.

Vektor , vektorning kengayish koeffitsientlaridan tashkil topgan asosida vektorning koordinata vektori deyiladi asosda .

Belgilanish . Ushbu yozuv vektorning koordinatalari asosga bog'liqligini ta'kidlaydi.

Chiziqli bo'shliqlar

Ta'riflar

Ixtiyoriy xarakterdagi elementlar to'plami berilgan bo'lsin. Bu to‘plamning elementlari uchun ikkita amal aniqlansin: qo‘shish va istalganga ko‘paytirish haqiqiy raqam: , va o'rnating yopiq Ushbu operatsiyalar bo'yicha: . Ushbu operatsiyalar aksiomalarga bo'ysunsin:

3. uchun xossaga ega nol vektor mavjud;

4. har biri uchun xossaga ega teskari vektor mavjud;

6. , uchun;

7. , uchun;

Keyin bunday to'plam chaqiriladi chiziqli (vektor) fazo, uning elementlari deyiladi vektorlar, va - ularning raqamlardan farqini ta'kidlash uchun - ikkinchisi deyiladi skalyarlar biri). Faqat bitta nol vektordan tashkil topgan fazo deyiladi ahamiyatsiz .

Agar 6 - 8 aksiomalarda biz murakkab skalerlar bilan ko'paytirishga ruxsat etilsa, unda bunday chiziqli fazo deyiladi. keng qamrovli. Fikrni soddalashtirish uchun quyida hamma joyda faqat haqiqiy bo'shliqlarni ko'rib chiqamiz.

Chiziqli fazo qo'shish amaliga ko'ra guruh va Abel guruhidir.

Nol vektorning yagonaligini va vektorga teskari vektorning yagonaligini isbotlash elementardir: , odatda, deb ataladi.

Chiziqli fazoning o'zi chiziqli bo'shliq bo'lgan kichik to'plami (ya'ni vektorni qo'shish va ixtiyoriy skalerga ko'paytirish ostida yopiq) deyiladi. chiziqli pastki fazo bo'shliqlar. Arzimas pastki bo'shliqlar chiziqli fazoning o'zi va bitta nol vektordan tashkil topgan fazo deyiladi.

Misol. Haqiqiy sonlarning tartiblangan uchliklari fazosi

Tenglik bilan aniqlangan operatsiyalar:

Geometrik talqin ravshan: kosmosdagi vektor, kelib chiqishiga "biriktirilgan" uning oxiri koordinatalarida berilishi mumkin. Rasmda fazoning tipik pastki fazosi ham ko'rsatilgan: boshlang'ich nuqtadan o'tadigan tekislik. Aniqroq aytganda, elementlar boshidan boshlanib, tekislik nuqtalarida tugaydigan vektorlardir. Vektorlarning qo'shilishi va ularning kengayishi 2) ostida bunday to'plamning yopilishi aniq.

Ushbu geometrik talqinga asoslanib, ko'pincha ixtiyoriy chiziqli fazoning vektori haqida gapiriladi kosmosdagi nuqta. Bu nuqta ba'zan "vektorning oxiri" deb ataladi. Assotsiativ idrok qilish qulayligidan tashqari, bu so'zlarga hech qanday rasmiy ma'no berilmaydi: chiziqli fazo aksiomatikasida "vektor oxiri" tushunchasi yo'q.

Misol. Xuddi shu misolga asoslanib, vektor fazosining yana bir talqinini berish mumkin (aytmoqchi, "vektor" 3 so'zining kelib chiqishiga xosdir)) - u nuqtalarning "siljishlari" to'plamini belgilaydi. bo'sh joy. Ushbu siljishlar - yoki har qanday fazoviy figuraning parallel tarjimalari - tekislikka parallel bo'lishi uchun tanlangan.

Umuman olganda, vektor tushunchasining bunday talqinlari bilan narsalar unchalik oddiy emas. Uning jismoniy ma'nosiga - ega bo'lgan ob'ekt sifatida murojaat qilishga urinishlar qiymat Va yo'nalishi- qattiq matematiklarning adolatli qarshiligini uyg'oting. Vektorning vektor fazosining elementi sifatida ta'rifi bilan epizodni juda eslatadi qabrlar Stanisław Lemning mashhur fantastik hikoyasidan (qarang: ☞SHU YERDA). Keling, rasmiyatchilikka berilmaylik, balki bu loyqa ob'ektni o'ziga xos ko'rinishlarida o'rganamiz.

Misol. Tabiiy umumlashma fazodir: qatorlar yoki ustunlarning vektor fazosi . Pastki bo'shliqni aniqlashning usullaridan biri cheklovlar to'plamini aniqlashdir.

Misol. Chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimining yechimlari to'plami:

fazoning chiziqli pastki fazosini hosil qiladi. Haqiqatan ham, agar

Shunday qilib, tizimning yechimi

Har qanday uchun bir xil yechim. Agar

Tizim uchun yana bir yechim

Bu ham uning yechimi bo'ladi.

Nima uchun tizim echimlari juda ko'p heterojen tenglamalar chiziqli pastki fazo hosil qilmaydi?

Misol. Keyinchalik umumlashtirib, biz "cheksiz" satrlar yoki bo'shliqni ko'rib chiqishimiz mumkin ketma-ketliklar , odatda matematik tahlil ob'ekti - ketma-ketliklar va qatorlarni ko'rib chiqishda. Siz satrlarni (ketma-ketlikni) "har ikki yo'nalishda ham cheksiz" deb hisoblashingiz mumkin - ular SIGNAL NAZARIYASIda qo'llaniladi.

Misol. Matritsalarni qo‘shish va haqiqiy sonlarga ko‘paytirish amallari bilan haqiqiy elementlarga ega -matritsalar to‘plami chiziqli fazoni hosil qiladi.

Kvadrat tartibli matritsalar fazosida ikkita kichik fazoni ajratish mumkin: simmetrik matritsalarning pastki fazosi va qiyshaygan simmetrik matritsalarning pastki fazosi. Bundan tashqari, pastki bo'shliqlar to'plamlarning har birini tashkil qiladi: yuqori uchburchak, pastki uchburchak va diagonal matritsalar.

Misol. dan koeffitsientlariga to'liq teng bo'lgan bir o'zgaruvchan darajali ko'phadlar to'plami (bu erda to'plamlardan birortasi yoki ) polinomlarni qo'shish va dan raqamga ko'paytirish odatiy operatsiyalari bilan. shakllanmaydi chiziqli fazo. Nega? - Chunki qo'shish ostida yopiq emas: ko'phadlar yig'indisi va th darajali ko'ph bo'lmaydi. Ammo bu erda darajali polinomlar to'plami mavjud yuqori emas

chiziqli fazo shakllari; faqat shu to'plamga bir xil nol ko'phad ham berilishi kerak 4) . Aniq pastki bo'shliqlar. Bundan tashqari, pastki bo'shliqlar eng ko'p darajali juft va toq polinomlar to'plami bo'ladi. Barcha mumkin bo'lgan ko'phadlar to'plami (darajalar bo'yicha cheklovlarsiz) ham chiziqli bo'shliqni hosil qiladi.

Misol. Oldingi holatni umumlashtirish - koeffitsientlari ko'pi bilan bir necha darajali o'zgaruvchilarning polinomlari fazosi. Masalan, chiziqli ko'phadlar to'plami

chiziqli fazoni hosil qiladi. Darajali bir jinsli koʻphadlar (shakllar) toʻplami (bu toʻplamga bir xil nol koʻphad biriktirilgan) ham chiziqli fazodir.

Yuqoridagi ta'rif nuqtai nazaridan, butun komponentli satrlar to'plami

ga komponentlar bo'yicha qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan ko'rib chiqiladi butun son skaler, chiziqli fazo emas. Biroq, agar biz faqat butun son skayarlari bilan ko'paytirishga ruxsat bersak, barcha 1 - 8 aksiomalar o'rinli bo'ladi. Ushbu bo'limda biz ushbu ob'ektga e'tibor qaratmaymiz, lekin u diskret matematikada juda foydali, masalan, ☞ KODLASH NAZARIYASI. Cheklangan maydonlar ustidagi chiziqli fazolar ☞ SHU YERDA muhokama qilinadi.

O'zgaruvchilar th tartibli simmetrik matritsalar fazosiga izomorf bo'ladi. Izomorfizm yozishmalar bilan o'rnatiladi, biz buni misol uchun ko'rsatamiz:

Izomorfizm tushunchasi shunday kiritilganki, algebraning turli sohalarida paydo boʻladigan, lekin operatsiyalarning “oʻxshash” xossalariga ega boʻlgan obʼyektlarni oʻrganish bitta namuna misolidan foydalanib, u boʻyicha natijalarni ishlab chiqish orqali amalga oshiriladi, keyinchalik u arzon boʻlishi mumkin. takrorlangan. Qaysi chiziqli bo'shliq "namuna uchun" olinadi? - Keyingi paragrafning oxiriga qarang

1. Polinomlar to'plami P n (x) darajalar yuqori emas n.

2. Kopgina n-term ketma-ketliklari (terminal qo'shish va skalerga ko'paytirish bilan).

3 . Ko'p xususiyatlar C [ lekin , b ] davomli [ lekin, b] va nuqta boʻyicha qoʻshish va skalerga koʻpaytirish bilan.

4. [ da belgilangan funksiyalar toʻplami lekin, b] va ba'zi bir qattiq ichki nuqtada g'oyib bo'ladi c: f (c) = 0 va skalerga qo'shish va ko'paytirishning nuqtaviy amallari bilan.

5. Agar R + to'plami x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Pastki fazo ta'rifi

To'plamga ruxsat bering V chiziqli fazoning kichik to'plamidir V (V  V) va shunga o'xshash

a)  x, yV  x ⊕ yV;

b)  xV,    ⊙ xV.

Bu erda qo'shish va ko'paytirish amallari fazodagi kabi V(ular kosmik induktsiya deb ataladi V).

Bunday ko'pchilik V fazoning pastki fazosi deyiladi V.

7  . pastki fazo V o'zi makondir.

◀ Buni isbotlash uchun neytral element va qarama-qarshi element mavjudligini isbotlash kifoya. Tenglik 0⊙ x=  va (–1)⊙ X = –X zarurligini isbotlash.

Faqat neytral element () va fazoning o'zi bilan mos keladigan pastki fazodan iborat pastki fazo V, fazoning trivial pastki fazolari deyiladi V.

§to'qqiz. Vektorlarning chiziqli birikmasi. Vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i

Vektorlarga ruxsat bering e 1 ,e 2 , …e n V va  1,  2 , …  n .

Vektor x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = chiziqli deb ataladi vektorlar birikmasi e 1 , e 2 , … , e n 1 koeffitsientlari bilan,  2 , …  n .

Agar chiziqli kombinatsiyadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, u holda chiziqli birikma chaqirdi ahamiyatsiz.

Vektorlarning ko'p mumkin bo'lgan chiziqli birikmalari
chiziqli oraliq deb ataladi bu vektorlar sistemasi quyidagi bilan belgilanadi:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Skayarga qoʻshish va koʻpaytirishning toʻgʻriligi shundan kelib chiqadiki, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) - barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalar to'plami. Neytral element arzimas chiziqli birikmadir. Element uchun X=
qarama-qarshi element hisoblanadi x =
. Amaliyotlar qanoatlantirishi kerak bo'lgan aksiomalar ham qondiriladi. Shunday qilib, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) chiziqli fazodir.

Har qanday chiziqli fazoda, umumiy holatda, cheksiz sonli boshqa chiziqli bo'shliqlar (pastki bo'shliqlar) - chiziqli qobiqlar mavjud.

Kelajakda biz quyidagi savollarga javob berishga harakat qilamiz:

Turli vektor sistemalarining chiziqli oraliqlari qachon bir xil vektorlardan iborat (ya’ni mos keladi)?

2) Bir xil chiziqli oraliqni aniqlaydigan vektorlarning minimal soni qancha?

3) Asl fazo ba'zi vektorlar sistemasining chiziqli oralig'imi?

§10. To'liq vektor tizimlari

Agar kosmosda bo'lsa V vektorlarning chekli to'plami mavjud
shunday, ℒ
 V, keyin vektorlar sistemasi
yaxlit tizim deb ataladi V, va fazo chekli o'lchovli deyiladi. Shunday qilib, vektorlar tizimi e 1 , e 2 , …, e n V to'liq deb ataladi V tizim, ya'ni. agar

XV   1 ,  2 , …  n shunday x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Agar kosmosda bo'lsa V chekli to'liq tizim mavjud emas (va to'liq tizim har doim mavjud - masalan, barcha fazo vektorlari to'plami V), keyin bo'sh joy V cheksiz deb ataladi.

9  . Agar
to'la V vektorlar tizimi va y V, keyin ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ham to'liq tizimdir.

◀ Chiziqli birikmalarda yetarli y 0 ga teng qabul qiling.

Vektor fazodan vektorlar sistemasi bo'lsin V maydon ustida P.

Ta'rif 2: Chiziqli qobiq L tizimlari A sistema vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plamidir A. Belgilanish L(A).

Buni har qanday ikkita tizim uchun ko'rsatish mumkin A Va B,

A orqali chiziqli ifodalanadi B agar va faqat agar. (bir)

A ga teng B agar va faqat agar L(A)=L(B). (2)

Dalil avvalgi mulkdan kelib chiqadi

3 Har qanday vektorlar sistemasining chiziqli oralig'i fazoning pastki fazosidir V.

Isbot

Istalgan ikkita vektorni oling va L(A) dan vektorlarda quyidagi kengayishlarga ega A: . Mezonning 1) va 2) shartlarining maqsadga muvofiqligini tekshiramiz:

Chunki u tizim vektorlarining chiziqli birikmasi A.

Chunki u ham tizim vektorlarining chiziqli birikmasidir A.

Endi matritsani ko'rib chiqing. Matritsa qatorlarining chiziqli qobig'i A matritsaning qator fazosi deyiladi va belgilanadi L r (A). Matritsa ustunlarining chiziqli o'rami A ustun fazosi deb ataladi va belgilanadi L c (A). Matritsaning satr va ustun bo'shliqlari uchun ekanligini unutmang A turli arifmetik fazolarning pastki fazolaridir P n Va Pm mos ravishda. (2) bayonotidan foydalanib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:

3-teorema: Agar bitta matritsa boshqasidan elementar o'zgarishlar zanjiri orqali olingan bo'lsa, unda bunday matritsalarning qator bo'shliqlari mos keladi.

Pastki bo'shliqlar yig'indisi va kesishishi

Bo'lsin L Va M- kosmosning ikkita pastki fazosi R.

Miqdori L+M vektorlar to'plami deyiladi x+y , qayerda x ∈L Va y ∈M. Shubhasiz, vektorlarning har qanday chiziqli birikmasi L+M tegishli L+M, Binobarin L+M fazoning pastki fazosidir R(bo'sh joy bilan mos kelishi mumkin R).

kesib o'tish L∩M pastki bo'shliqlar L Va M- bir vaqtning o'zida pastki fazolarga tegishli vektorlar to'plami L Va M(faqat null vektordan iborat bo'lishi mumkin).

6.1 teorema. Ixtiyoriy pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisi L Va M chekli o'lchovli chiziqli fazo R bu pastki bo'shliqlar yig'indisining o'lchamiga va ushbu pastki bo'shliqlarning kesishish o'lchamiga teng:

xira L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Isbot. Belgilamoq F=L+M Va G=L∩M. Bo'lsin G g- o'lchovli pastki fazo. Biz unda asosni tanlaymiz. Chunki G⊂L Va G⊂M, shuning uchun asos G asosga qo'shilishi mumkin L va bazaga M. Pastki fazoning asosi bo'lsin L va pastki fazoning asosi bo'lsin M. Keling, vektorlar ekanligini ko'rsatamiz

(6.1) asosini tashkil qiladi F=L+M. (6.1) vektorlar fazoning asosini tashkil etishi uchun F ular chiziqli mustaqil va har qanday kosmik vektor bo'lishi kerak F vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin (6.1).

(6.1) vektorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaymiz. Nol fazo vektori bo'lsin F(6.1) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.3) ning chap tomoni pastki fazo vektoridir L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M. Shuning uchun vektor

(6.4) pastki fazoga tegishli G=L∩M. Boshqa tomondan, vektor v pastki fazoning bazis vektorlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin G:

(6.5) (6.4) va (6.5) tenglamalardan bizda:

Ammo vektorlar pastki fazoning asosidir M, shuning uchun ular chiziqli mustaqil va. Keyin (6.2) quyidagi shaklni oladi:

Pastki fazo asosining chiziqli mustaqilligi tufayli L bizda ... bor:

(6.2) tenglamadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lganligi sababli vektorlar

chiziqli mustaqildir. Lekin har qanday vektor z dan F(pastki bo'shliqlar yig'indisining ta'rifi bo'yicha) yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin x+y , qayerda x ∈ Ly ∈ M. O'z navbatida x a vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi y - vektorlarning chiziqli birikmasi. Demak (6.10) vektorlar pastki fazoni hosil qiladi F. (6.10) vektorlar bazis tashkil qilishini aniqladik F=L+M.

Pastki fazolar asoslarini o'rganish L Va M va pastki fazo asosi F=L+M(6.10), bizda: xira L=g+l, xira M=g+m, xira (L+M)=g+l+m. Natijada:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Pastki bo'shliqlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi

Ta'rif 6.2. Kosmos F pastki bo'shliqlarning bevosita yig'indisidir L Va M, agar har bir vektor x bo'sh joy F faqat yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin x=y+z , qayerda y ∈L va z ∈M.

To'g'ridan-to'g'ri yig'indisi belgilanadi L⊕M. Agar shunday deyishadi F=L⊕M, keyin F uning pastki bo'shliqlarining bevosita yig'indisiga parchalanadi L Va M.

6.2 teorema. Uchun n- o'lchovli fazo R pastki bo'shliqlarning bevosita yig'indisi edi L Va M, buning kesishishi kifoya L Va M faqat nol elementni o'z ichiga oladi va R o'lchami pastki bo'shliqlar o'lchamlari yig'indisiga teng L Va M.

Isbot. L kichik fazoda qandaydir bazisni va M kichik fazoda qandaydir bazis tanlaylik. Buni isbotlaylik

(6.11) makonning asosidir R. Teorema gipotezasiga ko'ra, fazoning o'lchami R n pastki bo'shliqlar yig'indisiga teng L Va M (n=l+m). Elementlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash kifoya (6.11). Nol fazo vektori bo'lsin R(6.11) vektorlarning bir necha koeffitsientli chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi:

(6.13)Chunki (6.13) ning chap tomoni pastki fazo vektoridir L, va o'ng tomoni pastki fazo vektoridir M Va L∩M=0 , keyin

(6.14) Ammo vektorlar va pastki fazolarning asoslari L Va M mos ravishda. Shuning uchun ular chiziqli mustaqildir. Keyin

(6.15) Biz (6.12) faqat (6.15) shartdagina to'g'ri ekanligini aniqladik va bu (6.11) vektorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaydi. Shuning uchun ular asosni tashkil qiladi R.

x∈R bo'lsin. Biz uni asos bo'yicha kengaytiramiz (6.11):

(6.16) (6.16) dan bizda:

(6.18) (6.17) va (6.18) dan har qanday vektor kelib chiqadi R vektorlar yig‘indisi bilan ifodalanishi mumkin x 1 ∈L Va x 2 ∈M. Bu vakillik noyob ekanligini isbotlash uchun qoladi. (6.17) tasvirga qo'shimcha ravishda quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:

(6.19) (6.17) dan (6.19) ayirib, hosil bo'lamiz

(6.20) dan beri, va L∩M=0 , keyin va . Demak va . ■

Pastki fazolar yig'indisining o'lchami haqidagi 8.4-teorema. Agar va chekli o'lchamli chiziqli fazoning pastki fazolari bo'lsa, u holda pastki fazolar yig'indisining o'lchami ularning kesishish o'lchamisiz o'lchamlari yig'indisiga teng ( Grassman formulasi):

(8.13)

Haqiqatan ham, kesishuvning asosi bo'lsin. Keling, uni quyi fazo asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami va pastki fazo asosigacha bo'lgan tartiblangan vektorlar to'plami bilan to'ldiramiz. Bunday qo'shish teorema 8.2 bo'yicha mumkin. Ushbu uchta vektor to'plamidan biz tartiblangan vektorlar to'plamini tuzamiz. Keling, ushbu vektorlar fazoning generatorlari ekanligini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, bu fazoning har qanday vektorini tartiblangan to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish mumkin

Binobarin, . Jeneratörlerin lineer mustaqil ekanligini isbotlaylik va shuning uchun ular makonning asosidir. Haqiqatan ham, keling, ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni nol vektorga tenglashtiramiz: . Ushbu kengayishning barcha koeffitsientlari nolga teng: ikki chiziqli shaklga ega vektor fazosining pastki bo'shliqlari dan har bir vektorga ortogonal bo'lgan barcha vektorlar to'plamidir. Bu to'plam vektor pastki fazo bo'lib, u odatda bilan belgilanadi.

L- kesishma M barcha pastki bo'shliqlar L o'z ichiga olgan X .

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo X. Odatda belgilanadi. Bundan tashqari, chiziqli oraliq deyiladi ustiga cho'zilgan kopgina X .

Xususiyatlari

Shuningdek qarang

Havolalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

• Jangar
• To'lov balansi

Boshqa lug'atlarda "Chiziqli qobiq" nima ekanligini ko'ring:

Chiziqli qobiq- Avektor fazosining to'plamini o'z ichiga olgan M barcha pastki fazolarning kesishishi E. Bu holda, Mnas. shuningdek, A. M. I. Voitsexovskiy tomonidan yaratilgan pastki fazo ... Matematik entsiklopediya

Vektorlarning chiziqli konverti

Vektorlarning chiziqli konverti- barcha mumkin bo'lgan koeffitsientlar (a1, …, a) bilan ∑aiai vektorlarining chiziqli birikmalari to'plami ... Iqtisodiy va matematik lug'at

vektorlarning chiziqli oralig'i- Bu vektorlarning barcha mumkin bo'lgan koeffitsientlari (?1, ..., ?n) bilan chiziqli birikmalar to'plami ??iai. Mavzular Iqtisodiyot EN chiziqli korpus …

chiziqli algebra- Matematik intizom, algebraning, xususan, chiziqli tenglamalar, matritsalar va determinantlar nazariyasini, shuningdek vektor (chiziqli) fazolar nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limi. Chiziqli bog'liqlik "shaklning munosabati: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Chiziqli bog'liqlik- “shakldagi munosabat: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, bu erda a1, a2, …, an raqamlar, ulardan kamida bittasi noldan farq qiladi; x1, x2, …, xn - qo'shish amallari aniqlangan ma'lum matematik ob'ektlar ... Iqtisodiy va matematik lug'at

qobiq- chiziqli qobiqqa qarang ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Chiziqli bog'liqlik

Chiziqli birikma- Chiziqli fazo yoki vektor fazo chiziqli algebraning asosiy o`rganish ob'ektidir. Mundarija 1 Ta'rif 2 Eng oddiy xususiyatlar 3 Tegishli ta'riflar va xususiyatlar ... Vikipediya

LINE GROUP- chekli o'lchamli n bo'lgan V vektor fazoning ba'zi K jism ustidagi chiziqli o'zgarishlar guruhidir. V fazoda asos tanlash L. r.ni amalga oshiradi. Matematik entsiklopediya

Kitoblar

• Chiziqli algebra. Ochiq kodli dasturiy ta'minot uchun darslik va seminar 1471 UAHga sotib oling (faqat Ukrainada)
• Chiziqli algebra. Akademik bakalavriat uchun darslik va amaliy seminar, Kremer N.Sh.. Ushbu darslikda matritsa normasi, bazisni to‘ldirish usuli, chiziqli fazolar izomorfizmi, chiziqli pastki fazolar, chiziqli kabi bir qator yangi tushunchalar va qo‘shimcha savollar kiritilgan. ...