Диспут

Формула Кардано

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.
О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.
Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.
Начал Тарталья.

Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».
Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы - мой учитель и я - не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?
Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно...

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.
Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас - Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной...

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

Если положить , то мы приведем уравнение (1) к виду

, (2)

где , .
Введем новое неизвестное с помощью равенства .
Внося это выражение в (2), получим

. (3)

Отсюда
,

следовательно,
.

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для оказывается симметричным относительно знаков «» и «», то окончательно получим

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться ).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от вновь к , то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
Пусть
- (1)

Общее уравнение 4-й степени.
Если положить , то уравнение (1) можно привести к виду

, (2)

где , , - некоторые коэффициенты, зависящие от , , , , . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

. (3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).
Выберем параметр так, чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно ), стоящего справа:
. (4)

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

Отсюда
.

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения (2), а, следовательно, и (1).
За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21сентября 1576 г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано - астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,
.

Симонян Альбина

В работе рассмотрены приёмы и методы решения кубических уравнений. Применение формулы Кардано для решения задач при подготовке к ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

Исследовательская работа

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна

Г.Сальск 2010

Введение …………………………………………………………………………….3
Основная часть…………………………………………………………………….4
Практическая часть……………………………………………………………10-13
Заключение………………………………………………………………………….14
Литература…………………………………………………………………………..15
Приложения

1.Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х 3 + 2х 2 - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 а +3а 2 х+а 3 . Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х 2 в 3х 2 а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2х 2 = 3х 2 а . Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х 3 + 2х 2 -5х-6=0

(х 3 +3х 2 а+ 3х . +) - 3х . - - 5х - 6= (х+) 3 - 6х - 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у - у 3 - 6(у -) - 6=0; у 3 - 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у 3 - 6у - 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+ 3а 2 х + а 3 . Отыскала такое а, чтобы 3а 2 х = -5х ; т.е. чтобы а 2 = - Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у 3 - 6у - 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах 3 +вх 2 +сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х 3 +рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х 3 +рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х 3 +рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть - ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких - же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: (-) 3 +3 (-)=q. Раскрыли скобки: t - 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = () 3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х 3 +рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Вот она!

Выражение, стоящее под корнем - дискриминант. D = () 2 + () 3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у 3 - 6у - 2=0, где р= - 6=-; q = - 2 = - . Легко подсчитать, что () 3 = =- и () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

составила уравнение, имеющее корень х= - 4.

х 3 +15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила, можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х 3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

подобрала уравнение х 3 +6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = - И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х 3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х 3 +рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х 3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х 3 +рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=() 2 +() 3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод : формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х 3 +рх+q=0.

3. Практическая часть .

Работа над проектом «… очень помогла мне при решении некоторых задач с параметрами. Например: 1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3 -3х+4=а имеет 1 решение? Уравнение переписали в виде х 3 -3х+4-а=0; р= -3; q=4-а. По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0 Найдем D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == а 2 -8а+12>0

А (-∞;2) (6; ∞)

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х 3 +х 2 -8х+2-а=0 имеет три корня?

Уравнение х 3 +3х 2 -24х+6-3а=0 приводим к виду у 3 +ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q = - + и 3 p = q=32-3а; р=-27. Для данного вида уравнения D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 а 1 = ==28, а 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

А (-7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала: 28.

Ответ.28

3. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х 3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

При а (-∞;-2) (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

1.Сколько корней имеют уравнения:

1) х 3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2) х 3 -9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х 3 +рх+8=0 имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

2.в) 3.

3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет (1540-1603) за 400 лет до нас (Приложение 4) смог установить связь корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

Х 1 +х 2 =-р;

Х 1 ∙х 2 =q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова эта связь? Так возник мой мини – проект. Я решила использовать имеющиеся навыки работы в области квадратных уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии. Взяла уравнение х 3 +рх 2 +qх+r =0. Если обозначим корни уравнения х 1 , х 2 , х 3 , то уравнение можно записать в виде (х-х 1 ) (х-х 2 ) (х-х 3 )=0 Раскрыв скобки, получим: х 3 -( х 1 +х 2 +х 3 )х 2 +(х 1 х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 )х - х 1 х 2 х 3 =0. Получили следующую систему:

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

Таким образом, можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами. Что же в интересующем меня вопросе можно извлечь из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х 3 + 2х 2 -5х-6=0. Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение х 3 +2х 2 -5х-6=0 разложением на множители. х 3 +2х 2 -5х-6=х 3 +(3х 2 - х 2 )-3х-2х-6=х 2 (х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)(х 2 –х-2)= =(х+3)(х 2 +х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2) Исходное уравнение равносильно такому: (х+2)(х+1)(х-2)=0. А у этого уравнения три корня: -3;-1;2. Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета я решила такое уравнение: х 3 -12х+16=0 х 1 х 2 х 3 = -16. Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16. х 3 -12х+16= х 3 -4х-8х+16= (х 3 -4х)-(8х-16)=х(х 2 -4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х 2 +2х-8) (х-2)(х 2 +2х-8)=0 х-2=0 или х 2 +2х-8=0 х=2 х 1 =-4; х 2 =2. Ответ. -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты уравнения .

Тесты:

1. Уравнение х 3 +рх 2 + 19х - 12=0 имеет корни 1, 3, 4. Найти коэффициент р; Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8 2. Уравнение х 3 – 10 х 2 + 41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r; Ответ. а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.

Задания на применение результатов данного проекта в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

№6.354

4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения: где D==() 2 + () 3 D>0, 1 решение. Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического уравнения

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 . х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 = q;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.

5. Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Заглянем в мир формул

уравнение имеет вид (1) преобразуем уравнение так, чтобы выделить точный куб: умножим (1) уравнения на 3 (2) преобразуем (2) уравнения получим следующее уравнение возведем в третью степень правую и левую часть (3) уравнения найдем корни уравнения Примеры решения уравнения кубического вида

Квадратные уравнения уравнения вида где дискриминант Среди действительных чисел корней нет

Уравнение третей степени

Историческая справка: В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

уравнение имеет вид (1) применим формулу 1) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство преобразуем левую часть (1) уравнение следующим образом: выделение полного куба взять в качестве у сумму получим уравнение относительно у (2) упростим (2) уравнение (3) В (3) уравнении исчез член содержавший квадрат неизвестного, но член содержавший первую степень неизвестного остался 2) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство Такое равенство невозможно так как слева стоит положительное число а слева отрицательное Если мы пойдем по этому пути то застрянем….На избранном пути нас постигнет неудача. Уравнение мы пока не можем решить.

Кубические уравнения уравнения вида где (1) 1. Упростим уравнения разделить на а, то коэффициент при "x" станет равен 1, следовательно решение любого кубического уравнения опирается на формулу куба суммы: (2) если взять то уравнения (1) отличается от уравнения (2) только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнения (1) и (2) и приведем подобные: если здесь сделать замену получим кубическое уравнение относительно у без члена:

Кардано Джироламо

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени;указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют кардановым движением. Биография Кардано Джироламо

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро. Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись 30 задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но так как Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за два часа. Фиор же не смог решить ни одну задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен.Тот простой прием, с помощью которого мы смогли справиться с членом уравнения, содержащим квадрат неизвестной величины (выделения полного куба), тогда еще не был открыт и решение уравнений разных видов не было приведено в систему. Поединок Фиора с Тартальей

уравнение вида из данного уравнения а посчитаем дискриминант уравнения Мало того, что корень данного уравнение не извлекается нацело, так ведь еще надо его извлекать из отрицательного числа. В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь D

Корни кубического уравнения зависят от дискриминанта уравнение имеет 1 решение уравнение имеет 3 решения уравнение имеет 2 решения Вывод

уравнение имеет вид найдем корни уравнения по формуле Кардано Примеры решения кубических уравнений по формуле Кардано

уравнение вида (1) из данного уравнения а так как по условию данное уравнение должно иметь 1 решение значит Посчитаем дискриминант (1) уравнения + - + 2 6 Ответ: наименьше натуральное значение а из этого промежутка - это 1 При каком наименьшем натуральном значении а уравнение имеет 1 решение?

Решение кубических уравнений по методу Виета Уравнения имеет вид

Решить уравнение, если известно, что произведение двух его корней равно 1 по теореме Виета и условию имеем или значение подставим в первое уравнение или подставим значение из третьего уравнения в первое получим найдем корни уравнения или Ответ:

Используемая литература: « Математика. Учебно-методическое пособие » Ю.А.Гусман, А.О.Смирнов. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год. « Математика. Учебно-методическое пособие » В.Т. Лисичкин. Пособие для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Единый Государственный экзамен по математике – 2004г.

Спасибо за внимание

Диспут

Формула Кардано

Мостового

г. Одесса

Диспут

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3- Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач - 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы - мой учитель и я - не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …

…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас - Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Если положить

, то мы приведем уравнение (1) к виду

Введем новое неизвестное U с помощью равенства

Внося это выражение в (2) , получим

следовательно

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p ).

Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть (1)

- общее уравнение 4-й степени.

Если положить ,

то уравнение (1) можно привести к виду

где p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2) .

Выберем параметр t так,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y ), стоящего справа:

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3) , теперь примет вид

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2) , а следовательно и (1) .

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано - астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,

При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если . Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x . Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень x при . Исследуя график кубического трехчлена ,нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень при . При имеется три вещественных корня. При имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при -трехкратный корень x=0 .

Продолжим исследование формулы при . Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение имеет единственный корень (вещественный) - x=1 . Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения . Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.

О проблеме Кардано - Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулой Кардано .

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

МУНИЦИПАЛЬНАЯ VII УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «Формула Кардано: история и применение»

МКОУ Аннинская СОШ №3, 9 «В» класс

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - итальянский математик.

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словами, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы - мой учитель и я - не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно...

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас - Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной...

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

x 3 + ax 2 + bx + c = 0,

(1)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (1) переменную х на новую переменную y по формуле:

x 3 +ax 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3y 2 + 3y + a(y 2 2y + by = y 3 y 3 + (b

то уравнение (1) примет вид y 3 + ( b

Если ввести обозначения p = b , q = ,

то уравнение примет вид y 3 + py + q = 0.

Это и есть знаменитая формула Кардано.

Корни кубического уравнения y 3 + py + q = 0 зависят от дискриминанта

D =

Если D > 0, то кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.

Если D < 0, то кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Если D = 0, он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один единственный вещественный корень кратности 3).

2.4. Примеры универсальных способов решения кубических уравнений

Попробуем применить формулу Кардана к решению конкретных уравнений.

Пример 1: x 3 +15 x +124 = 0

Здесь p = 15; q = 124.

Ответ: х

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = - B A 3 , а квадратный трехчлен - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 - 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения - A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

Корень уравнения равен х = - 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B - A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Если х = - 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

Упростим выражение.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x - x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х. Получаем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 · (- 1) 2 + 24 · (- 1) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = - 1 – это корень. Значит, x = y 2 = - 1 2 .

Имеем, что

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 - 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что - 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = - B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению - p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y - B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = - 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = - 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 11 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Если k = 2 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим - p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 - i · 3 2 , - 7 6 и - 7 6 , 7 6 1 2 - i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter