18-19.10.2010 г.
Тема : «ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»
Цель: познакомить учащихся с законами арифметических действий.
Задачи урока:
раскрыть на конкретных примерах переместительный и сочетательный законы сложения и умножения учить их применять при упрощении выражений;
формировать умения упрощать выражения;
работать над развитием логического мышления и речи детей;
воспитывать самостоятельность, любознательность, интерес к предмету.
УУД: умение действовать со знаково-символическими символами,
умение выбирать основания, критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
Оборудование: учебник, ТПО,презентация
Рис. 30 Рис. 31
Используя рисунок 30, объясните, почему справедливо равенство
а + b = b + а.
Это равенство выражает известное вам свойство сложения. Постарайтесь вспомнить какое.
Проверьте себя:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
Это свойство - переместительный закон сложения.
Какое равенство можно записать по рисунку 31? Какое свойство сложения выражает это равенство?
Проверьте себя.
Из рисунка 31 следует, что (а + b) + с = а + (b + с): если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых.
Вместо (а + b) + с, так же как и| вместо а + (b + с), можно писать просто а + b + с.
Это свойство - сочетательный закон сложения.
В математике законы арифметических действий записывают как в| словесной форме, так и в виде равенств с использованием букв:
Объясните, как, используя законы сложения, можно упростить следующие вычисления, и выполните их:
212.
а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 +
75;
б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;
в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 16 + 234;
г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.
213. Используя рисунок 32, объясните, почему справедливо равенство ab = b а.
Вы догадались, какой закон иллюстрирует это равенство? Можно ли утверждать, что для
умножения справедливы те же законы, что и для сложения? Постарайтесь их сформулировать,
а затем проверьте себя:
Используя законы умножения, значения следующих выражений вычислите устно:
214. а) 76 · 5 · 2; в) 69 · 125 · 8; д) 8 · 941 · 125; В С
б) 465 · 25 · 4; г) 4 · 213 · 5 ·
5; е) 2 · 5 · 126 ·4 · 25.
215. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 33) двумя способами.
216. Используя рисунок 34, объясните, почему справедливо равенство: а(b + с) = ab + ас.
Рис. 34 Какое свойство арифметических действий оно выражает?
Проверьте себя. Это равенство иллюстрирует следующее свойство: при умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Можно это свойство сформулировать и по-другому: сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей.
Это свойство еще один закон арифметических действий - распределительный . Как видим, словесная формулировка этого закона очень громоздкая, и математический язык - это то средство, которое делает ее краткой и понятной:
Подумайте, как устно выполнить вычисления в заданиях № 217 – 220 и выполните их.
217. а) 15 · 13; б) 26 · 22; в) 34 · 12; г) 27 · 21.
218. а) 44 · 52; б) 16 · 42; в) 35 · 33; г) 36 · 26.
219. а) 43 · 16 + 43 · 84; д) 62 · 16 + 38 · 16;
б) 85 · 47 + 53 · 85; е) 85 · 44 + 44 · 15;
в) 54 · 60 + 460 · 6. ж) 240 · 710 + 7100 · 76;
г) 23 · 320 + 230 · 68; з) 38 · 5800 + 380 · 520.
220. а) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6; в) 17 · 27 + 23 · 17 + 50 · 19;
б) 7 · 125 + 3 · 62 + 63 · 3; г) 38 · 46 + 62 · 46 + 100 · 54.
221. Сделайте в тетради рисунок, подтверждающий равенство а ( b - с) = а b - ас
222. Вычислите устно, применив распределительный закон: а) 6 · 28; б) 18 · 21; в) 17 · 63; г) 19 · 98.
223. Вычислите устно: а) 34 · 84 – 24 · 84; в) 51· 78 – 51· 58;
б) 45 · 40 – 40 ·25; г) 63 · 7 – 7· 33
224 Вычислите: а) 560 · 188 – 880 · 56; в) 490 · 730 – 73 · 900;
б) 84 · 670 – 640 · 67; г) 36 · 3400 – 360 · 140.
Вычислите устно, используя известные вам приемы:
225. а) 13 · 5 + 71 · 5; в) 87 · 5 – 23 · 5; д) 43 · 25 + 25 · 17;
б) 58 · 5 – 36 · 5; г) 48 · 5 + 54 · 5; е) 25 · 67 – 39 · 25.
226. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545; в) 532 · (618 – 436) и 532 · 618 –532 · 436;
б) 751· (339 + 564) и 751· 340 + 751· 564; г) 496 · (862 – 715) и 496 · 860 – 496 · 715.
227.
Заполните таблицу:
Надо ли было производить вычисления, чтобы заполнить вторую строчку?
228. Как изменится данное произведение, если множители изменить следующим образом:
229. Запишите, какие натуральные числа расположены на координатном луче:
а) левее числа 7; в) между числами 2895 и 2901;
б) между числами 128 и 132; г) правее числа 487, но левее числа 493.
230. Вставьте знаки действий, чтобы получилось верное равенство: а) 40 + 15 ? 17 = 72; в) 40 ? 15 ? 17 = 8;
б) 40 ? 15 ? 17 = 42; г) 120 ? 60 ? 60 = 0.
231 . В одной коробке носки голубые, а в другой - белые. Голубых носков на 20 пар больше, чем белых, а всего в двух коробках 84 лары носков. Сколько пар носков каждого цвета?
232 . В магазине имеется крупа трех видов: гречка, перловка и рис, всего 580 кг. Если бы продали 44 кг гречки, 18 кг перловки и 29 риса, то масса круп всех видов стала бы одинаковой. Сколько кил граммов крупы каждого вида имеется в магазине.
Цель: проверить сформированность умений выполнять вычисления по формулам; познакомить детей с переместительным, сочетательным и распределительным законами арифметических действий.
- познакомить с буквенной записью законов сложения и умножения; научить применять законы арифметических действий для упрощения вычислений и буквенных выражений;
- развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;
- воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.
Тип урока: комбинированный.
- проверка ранее усвоенных знаний;
- подготовка учащихся к усвоению нового материала
- изложение нового материала;
- восприятие и осознание учащимися нового материала;
- первичное закрепление изученного материала;
- подведение итогов урока и постановка домашнего задания.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация.
План:
1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с
учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний
(самостоятельная работа).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент
Учитель: Добрый день, дети! Наш урок мы начинаем со стихотворения – напутствия. Обратите внимание на экран. (1 слайд) . Приложение 2 .
Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!
2. Повторение материала
Повторим пройденный материал. Я приглашаю к экрану ученика. Задача: соединить с помощью указки записанную формулу с её названием и ответить на вопрос, что с помощью данной формулы можно ещё найти. (2 слайд).
Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран. (3 слайд).
Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).
12 + 5 + 8 25 10 250 – 50 200 – 170 30 + 15 45: 3 15 + 30 45 – 17 28 25 4
Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)
– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)
Проблемная ситуация
– Какие свойства сложения и умножения вы знаете из начальной школы? Умеете ли вы их записывать с помощью буквенных выражений? (Ответы детей).
3. Изучение нового материала
– И так, тема сегодняшнего урока “Законы
арифметических действий” (6 слайд).
– Запишите в тетради тему урока.
– Что нового мы должны узнать на уроке? (Вместе с
детьми формулируются цели урока).
– Смотрим на экран. (7 слайд)
.
Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).
– Следующий слайд (8 слайд).
Разбираем законы умножения.
– А теперь познакомимся с очень важным распределительным законом (9 слайд).
– Подведём итог. (10 слайд).
– Для чего необходимо знать законы арифметических действий? Пригодятся ли они в дальнейшей учёбе, при изучении каких предметов? (Ответы детей.)
– Запишите законы в тетрадь.
4. Закрепление материала
– Откройте учебник и найдите № 212 (а, б, д) устно.
№ 212 (в, г, ж, з) письменно на доске и в тетрадях. (Проверка).
– Устно работаем над № 214.
– Выполняем задачу № 215. Какой закон используется при решении данного номера? (Ответы детей).
– Запишите на карточке ответ и сравните ваши результаты с соседом по парте. А теперь внимание на экран. (11 слайд). (Проверка самостоятельной работы).
6. Итог урока
– Внимание на экран. (12 слайд). Закончите предложение.
Оценки за урок.
7. Домашнее задание
§13, № 227, 229.
8. Рефлексия
Тема № 1.
Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений
Основные понятия
· Натуральные числа
· Десятичная запись числа
· Противоположные числа
· Целые числа
· Обыкновенная дробь
· Рациональные числа
· Бесконечная десятичная дробь
· Период числа, периодическая дробь
· Иррациональные числа
· Действительные числа
· Арифметические действия
· Числовое выражение
· Значение выражения
· Обращение десятичной дроби в обыкновенную
· Обращение обыкновенной дроби в десятичную
· Обращение периодической дроби в обыкновенную
· Законы арифметических действий
· Признаки делимости
Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.
Например : 24; 3711; 40125.
Множество натуральных чисел принято обозначать N .
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.
Например , числа 7 и – 7.
Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .
Например : – 37; 0; 2541.
Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Например : , .
Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .
Например : ; – 17,55; .
Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.
Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.
Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .
Например : ; 0,(23); 41,3574…
Число 
является иррациональным.
Для всех чисел определены действия трёх ступеней:
· действия I ступени: сложение и вычитание;
· действия II ступени: умножение и деление;
· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.
Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.
Например
: 
; .
Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .
Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.
При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.
Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.
При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.
Например : ; .
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Например
: 
;
;
.
Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:
1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;
2) записать эту разность числителем;
3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;
4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например
: 
; 
.
Законы арифметических действий над действительными числами
1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:
2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:
3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:
4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:
.
5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:
Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.
Признаки делимости
Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.
Например : 12834; –2538; 39,42.
Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например : 2742; –17940.
Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
Например : 15436; –372516.
Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Например : 754570; –4125.
Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например : 846; –76455.
В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображёнными цифрами или буквами (безразлично), нам придётся во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.
Напомним их.
1. Переместительный закон сложения.
Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.
Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:
где а и - любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.
2. Сочетательный закон сложения.
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.
Для суммы трёх слагаемых имеем:
Например, сумму можно вычислить двумя способами так:
Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.
Так, в сумме четырёх слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:
Например, мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:
Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.
Поменяем местами два последних слагаемых, получим:
Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.
Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.
Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:
Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:
Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:
3. Переместительный закон умножения.
Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:
где - любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.
4. Сочетательный закон умножения.
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.
Для произведения трёх сомножителей имеем:
Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4 можно вычислить так:
Для произведения четырёх сомножителей имеем:
Например, то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:
Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.
Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:
Теперь умножение легко выполнится в уме.