Система линейных уравнений называется неоднородной если. Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые , поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений .

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов . Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо .

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Влайков Н.Д.

Решение однородных СЛАУ

Методические указания для проведения упражнений

по курсу аналитической геометрии

Калуга 2011г.

Цели занятия стр.4

План занятия стр.4

Необходимые теоретические сведения стр.5

Практическая часть стр.10

Контроль освоения пройденного материала стр.13

Домашнее задание стр.14

Количество часов: 2

Цели занятия:

Систематизировать полученные теоретические знания о видах СЛАУ и способах их решения.

Получить навыки решения однородных СЛАУ.

План занятия:

Кратко изложить теоретический материал.

Решить однородную СЛАУ.

Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ.

Найти частное решение однородной СЛАУ.

Сформулировать алгоритм решения однородной СЛАУ.

Проверить выполнение текущего домашнего задания.

Провести проверочную работу.

Представить тему следующего семинара.

Выдать текущее домашнее задание.

Необходимые теоретические сведения.

Ранг матрицы.

Опр. Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров. Ранг матрицы обозначают .

Если квадратная матрица невырождена, то ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырождена, то ее ранг меньше ее порядка.

Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов.

Теор. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, т.е.
.

Теор. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразования ее строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре.

Опр. Минор
матрицы называют базисным, если выполнены два условия:

а) он не равен нулю;

б) его порядок равен рангу матрицы .

Матрица может иметь несколько базисных миноров.

Строки и столбцы матрицы , в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теор. Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы , соответствующие любому ее базисному минору
, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы , не входящие в
, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Теор. Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

Вычисление ранга матрицы. Метод элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк.

СЛАУ. Основные определения.

Опр. Система

(15.1)

Числа называют коэффициентами СЛАУ. Числа
называют свободными членами уравнений.

Запись СЛАУ в виде (15.1) называют координатной.

Опр. СЛАУ называют однородной, если
. Иначе ее называют неоднородной.

Опр. решением СЛАУ называют такой набор значений неизвестных, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ так же называют ее частным решением.

Решить СЛАУ – значит решить две задачи:

Выяснить, имеет ли СЛАУ решения;

Найти все решения, если они существуют.

Опр. СЛАУ называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае ее называют несовместной.

Опр. Если СЛАУ (15.1) имеет решение, и притом единственное, то ее называют определенной, а если решение не единственное – то неопределенной.

Опр. Если в уравнении (15.1)
,СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ.

Кроме координатной формы (15.1) записи СЛАУ часто используют и друге ее представления.

(15.2)

Соотношение называют векторной формой записи СЛАУ.

Если же взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (15.1) можно записать так:

(15.3)

или
.

Запись СЛАУ (15.1) в виде (15.3) называют матричной.

Однородные СЛАУ.

Однородная система
линейных алгебраических уравнений с неизвестными представляет собой систему вида

Однородные СЛАУ всегда совместны, поскольку всегда имеется нулевое решение.

Критерий существования ненулевого решения. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена.

Теор. Если столбцы
,
, …,
- решения однородной СЛАУ, то и любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие . Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечное множество решений.

Естественно попытаться найти такие решения
,
, …,
системы, чтобы любое другое решение представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Опр. Любой набор из
линейно независимых столбцов
,
, …,
, являющихся решениями однородной СЛАУ
, где - число неизвестных, а - ранг ее матрицы , называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных уравнений в матрице системы будем фиксировать базисный минор. Базисному минору будут соответствовать базисные столбцы и, следовательно, базисные неизвестные. Остальные неизвестные будем называть свободными.

Теор. О структуре общего решения однородной СЛАУ. Если
,
, …,
- произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ
, то любое ее решение можно представить в виде

Где , …,- некоторые постоянные.

Т.о. общее решение однородной СЛАУ имеет вид

Практическая часть.

Рассмотреть возможные множества решений следующих видов СЛАУ и их графическую интерпретацию.

;
;
.

Рассмотреть возможность решения данных систем по формулам Крамера и матричным методом.

Изложить суть метода Гаусса.

Решить следующие задачи.

Пример 1. Решить однородную СЛАУ. Найти ФСР.

Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

система будет иметь бесконечно много решений. ФСР будет состоять из
столбцов.

Отбросим нулевые строки и снова запишем систему:

Будем считать базисным минор стоящий в левом верхнем углу. Т.о.
- базисные неизвестные, а
- свободные. Выразим
через свободные
:

;

Положим
.

Окончательно имеем:

- координатная форма ответа, или

- матричная форма ответа, или

- векторная форма ответа (вектор - столбцы являются столбцами ФСР).

Алгоритм решения однородной СЛАУ.

Найти ФСР и общее решение следующих систем:

№2.225(4.39)

. Отв.:

№2.223(2.37)

. Отв.:

№2.227(2.41)

. Отв.:

Решить однородную СЛАУ:

. Отв.:

Решить однородную СЛАУ:

. Отв.:

Представление темы следующего семинара.

Решение систем линейных неоднородных уравнений.

Контроль освоения пройденного материала.

Проверочная работа 3 - 5 минут. Участвует 4 студента с нечетными номерами по журналу, начиная с №10

Выполнить действия:

;
;

Выполнить действия:

Вычислить определитель:

Выполнить действия:

не определено

Выполнить действия:

Найти матрицу обратную данной:

Вычислить определитель:

Домашнее задание:

1. Решить задачи:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2.Проработать лекции на темы:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера - Капелли совместности СЛАУ. Неоднородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Линейная система называется однородной , если все ее свободные члены равны 0.

В матричном виде однородная система записывается:
.

Однородная система (2) всегда совместна . Очевидно, что набор чисел
,
, …,
удовлетворяет каждому уравнению системы. Решение
называетсянулевым илитривиальным решением. Таким образом, однородная система всегда имеет нулевое решение.

При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения?

Теорема 1.3 Однородная система (2)имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда рангr ее основной матрицыменьше числа неизвестныхn .

Система (2) – неопределенная
.

Следствие 1. Если число уравненийm однородной системы меньше числа переменных
, то система является неопределенной и имеет множество ненулевых решений.

Следствие 2. Квадратная однородная система
имеет ненулевые решения тогда и тогда, когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель
.

В противном случае, если определитель
, квадратная однородная система имеетединственное нулевое решение
.

Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные решения.

Пусть и- частные решения этой системы, т.е.
и
.

Свойства решений однородной системы

Действительно, .

Объединяя, свойства 1) и 2), можно сказать, что если

…,
- решения однородной системы (2), то и всякая их линейная комбинация- также является ее решением. Здесь
- произвольные действительные числа.

Можно найти
линейно независимых частных решений однородной системы (2), с помощью которых можно получить любое другое частное решение данной системы, т.е. получить общее решение системы (2).

Определение 2.2 Совокупность
линейно независимых частных решений

…,
однородной системы (2) таких, что каждое решение системы (2) можно представить в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы (2).

Пусть

…,
- фундаментальная система решений, тогда общее решение однородной системы (2) можно представить в виде:

Где

.

Замечание. Чтобы получить ФСР, нужно найти частные решения

…,
, придавая поочередно какой-либо одной свободной переменной значение «1», а всем остальным свободным переменным – значения «0».

Получим ,, …,- ФСР.

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поставив на первое место последнее уравнение системы, и приведем ее к ступенчатому виду. Поскольку правые части уравнений в результате элементарных преобразований не меняются, оставаясь нулями, столбец

можно не выписывать.

̴
̴
̴

Ранг системы где
- число переменных. Система неопределенная, имеет множество решений.

Базисный минор при переменных
отличен от нуля:
выбираем
в качестве базисных переменных, остальные
- свободные переменные (принимают любые действительные значения).

Последней в цепочке матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

(3)

Выразим базисные переменные
через свободные переменные
(обратный ход метода Гаусса).

Из последнего уравнения выразим :
и подставим в первое уравнение. Получим. Раскроем скобки, приведем подобные и выразим:
.

Полагая
,
,
, где
, запишем

- общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений

,,.

Тогда общее решение однородной системы можно записать в виде:

Замечание. ФСР можно было найти другим путем, без предварительного отыскания общего решения системы. Для этого полученную ступенчатую систему (3) нужно было решить трижды, полагая для:
; для:
; для:
.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений , где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы , мы продолжим шлифовать техникуэлементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Пример 1

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы . И тогда неизбежно появление общего решения:

Пример 3

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем . Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ : общее решение:

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений . Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии , поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в общем алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы . Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто.