Esistono alcuni modi molto semplici ma inefficienti per convertire le cerchie in formato bitmap. Si consideri ad esempio per semplicità un cerchio centrato all'origine. La sua equazione è scritta come X 2 + y 2 =R 2. Risolvere questa equazione per y, noi abbiamo

Per rappresentare la quarta parte del cerchio, cambieremo X con un solo passaggio da 0 a R e ad ogni passo calcola y. Secondo metodo semplice raster scan circle è l'uso dell'informatica X e y formule X=R cosà, y=R sinα con variazione graduale dell'angolo α da 0 a 90.

Per semplificare l'algoritmo di scansione raster di un cerchio standard, puoi utilizzare la sua simmetria rispetto agli assi delle coordinate e alle linee rette y= ± X; nel caso in cui il centro del cerchio non coincida con l'origine, queste linee devono essere spostate parallelamente in modo che passino per il centro del cerchio. Pertanto, è sufficiente costruire una rappresentazione raster per 1/8 del cerchio e ottenere tutti i punti rimanenti per simmetria (vedi Fig. 2.15).

Riso. 2.15. Simmetria a otto lati

Considera una sezione di un cerchio dal secondo ottante XЄ. Successivamente, descriviamo l'algoritmo di Bresenheim per questa sezione del cerchio.

Ad ogni passaggio, l'algoritmo sceglie un punto P io (X io , y io) che è più vicino al cerchio vero. L'idea dell'algoritmo è selezionare il punto più vicino utilizzando variabili di controllo, i cui valori possono essere calcolati passo dopo passo utilizzando un piccolo numero di addizioni, sottrazioni e spostamenti.

Consideriamo una piccola area della griglia di pixel, nonché i possibili modi (da A a E) per far passare il vero cerchio attraverso la griglia (Fig. 2.16).

Assumiamo il punto P io - 1 è stato scelto come il più vicino al cerchio a X=X io- uno . Ora troviamo quale dei punti ( S io o T io) si trova più vicino al cerchio in X=X io- 1 + 1.

Riso. 2.16. Opzioni per far passare un cerchio attraverso una griglia raster

Si noti che l'errore nella scelta di un punto P io (X io , y io) era uguale a

D( P io) = (X io 2 + y io 2) –R 2 .

Scriviamo un'espressione per gli errori ottenuti nella scelta di un punto S io o T io :

D( S io) = [(X i-1 + 1) 2 + (y i-1) 2 ] – R 2 ;

D( T io) = [(X i-1 + 1) 2 + (y i-1 – 1) 2 ] – R 2 .

Se | D( S io) | ≥ |D( T io) |, allora T io più vicino al cerchio reale, altrimenti S io .

Presentiamo D io= |D( S io) | – |D( T io) |.

T io sarà selezionato a D io≥ 0, altrimenti verrà impostato S io .

Omettendo le trasformazioni algebriche, scriviamo D io e D io + 1 per diverse opzioni di selezione dei punti S io o T io .

D 1 = 3 – 2R.

Se selezionato S io(quando D io < 0), тоD io + 1 =D io + 4X io -1 + 6.

Se selezionato T io(quando D io≥ 0), quindi D io + 1 =D io + 4 (X io - 1 –y io - 1) + 10.

C'è una modifica dell'algoritmo di Bresenheim per l'ellisse.

1. Ombreggiatura dell'area specificata dal colore del bordo

Considera un'area delimitata da un insieme di pixel di un dato colore e un punto ( x, y) all'interno di questa regione.

Il compito di riempire un'area con un determinato colore nel caso in cui quest'area non sia convessa può essere piuttosto difficile.

L'algoritmo ricorsivo più semplice:

void PixelFill(int x, int y, int border_color, int color)

int c = getpixel(x, y);

if ((c != colore_bordo) && (c != colore))

putpixel(x, y, colore);

PixelFill(x - 1, y, colore_bordo, colore);

PixelFill(x + 1, y, border_color, colore);

PixelFill(x, y - 1, colore_bordo, colore);

PixelFill(x, y + 1, colore_bordo, colore);

Questo algoritmo è troppo inefficiente, perché per ogni pixel già disegnato, la funzione viene chiamata altre 4 volte e, inoltre, questo algoritmo richiede troppo spazio nello stack a causa della grande profondità di ricorsione. Pertanto, per risolvere il problema del riempimento di un'area, è preferibile utilizzare algoritmi in grado di elaborare interi gruppi di pixel contemporaneamente, ovvero sfruttarne la “connettività”. Se un dato pixel appartiene a un'area, molto probabilmente anche i suoi vicini più vicini appartengono a quest'area.

Un gruppo di tali pixel è solitamente una banda definita dal pixel destro. Uno stack viene utilizzato per memorizzare i pixel di definizione corretti. Descriveremo verbalmente un algoritmo migliorato che utilizza la coerenza dei pixel.

In primo luogo, una striscia orizzontale di pixel contenente punto di partenza. Quindi, per trovare il pixel più a destra di ogni riga, la riga che precede la barra appena riempita viene controllata da destra a sinistra. Gli indirizzi dei pixel trovati vengono inseriti nello stack. Lo stesso vale per la riga che segue e dopo l'ultima barra riempita. Quando una stringa viene elaborata in questo modo, il pixel il cui indirizzo è preso dallo stack viene utilizzato come nuovo punto di partenza. Per lui si ripete l'intera procedura descritta. L'algoritmo termina il suo lavoro se lo stack è vuoto.

È possibile in un libro di matematica, anche divulgativo, parlare, ad esempio, di coleotteri? Si scopre che puoi. Ma devi partire da lontano.

Riso. 78. Sviluppo di un cerchio.

Il cerchio, come ora sappiamo, non ha evoluta. Tutte le sue normali si intersecano in un punto, al centro. A volte si dice che l'evoluzione di un cerchio "degeneri" in un punto. Ma in compenso ha un'evolvente (nella quale però non c'è gran merito: in fondo ogni curva liscia ha uno sweep). Questo evolvente risulta essere un parente stretto delle curve cicloidali.

Iniziamo con un disegno. Facciamo un cerchio di compensato, fissiamolo su carta, incolliamo un filo e avvitiamo saldamente questo filo sul bordo del nostro cerchio.

Alla fine del filo faremo un cappio in cui inseriremo la punta della matita (Fig. 78). Se ora "avvolgiamo" il filo, la matita disegnerà automaticamente

Riso. 79 Rotolare dritto in cerchio.

Il filo, ovviamente, dovrebbe essere teso e la matita premuta saldamente contro la carta.

Lo sviluppo di un cerchio può essere ottenuto in un altro modo. Si consideri un cerchio fisso di raggio ce una retta AB che tocca questo cerchio in un punto (Fig. 79).

Riso. 80. Altalena semplice.

Se la retta AB rotola senza scivolare lungo il cerchio, allora il punto descriverà ovviamente lo sviluppo del cerchio. Infatti, per ogni punto M di questa curva, la retta di rotolamento KM funge da normale e la lunghezza del segmento KM è uguale alla lunghezza dell'arco di circonferenza fissa.

L'evolvente di un cerchio è quindi "una cicloide rovesciata". Nel caso di una cicloide, il cerchio rotola senza scivolare lungo una retta fissa. Nel caso dello sviluppo di una circonferenza, la retta rotola senza scivolare lungo una circonferenza fissa.

Sulla fig. 80 mostra lo swing più semplice. Una tavola AB è posta su un ceppo di albero in modo che il suo centro tocchi il ceppo. Cosa succede se la tavola è inclinata? Sappiamo che tornerà alla sua posizione originale, quindi per inerzia devierà dall'altra parte e oscillerà attorno alla posizione di equilibrio. In questo caso, ovviamente, sia la tavola che il moncone devono essere grezzi, altrimenti la tavola scivolerà nella direzione indicata dalla freccia nel disegno.

Perché il consiglio tornerà alla sua posizione originale? Questo non è difficile da immaginare. È noto che qualsiasi corpo si muove sotto l'influenza della gravità in modo tale che il suo centro di gravità cada. Per rispondere alla nostra domanda basta sapere quale traiettoria si muove il baricentro (centro) della tavola con le sue piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio.

Ma ora ci è chiaro! Il centro del tabellone descriverà l'arco del cerchio. Questa parte dello sweep è mostrata in Fig. 80 linee tratteggiate. Vediamo che con piccole deviazioni della tavola, il suo baricentro aumenta, e quindi la tavola tornerà alla posizione di equilibrio. L'equilibrio sarà ovviamente stabile.

L'affinità dello sviluppo di un cerchio con le curve cicloidali può essere scoperta in un altro modo. Abbiamo già detto che nel caso di un epicicloide o di un ipocicloide (Fig. 66), un aumento illimitato del raggio di un cerchio fisso con raggio costante di quello mobile porta ad una cicloide. Se ci rivolgiamo al pericicloide (p. 50) e, lasciando invariato il raggio del cerchio fisso, aumentiamo indefinitamente il raggio di quello mobile, "raddrizzandolo", per così dire (Fig. 81), allora il pericicloide trasformarsi in uno sviluppo del cerchio.

Non presenteremo qui la derivazione di formule per la lunghezza dell'arco dell'evolvente di un cerchio e l'area del suo settore.

Vi presentiamo il risultato finale (Fig. 82). Per la lunghezza l dell'arco di spazzata e per l'area S del settore avremo;

Queste formule sono interessanti in quanto il valore dell'angolo in esse contenuto deve essere elevato alla seconda e terza potenza, circostanza che può confondere un principiante.

Riso. 81. Aumento illimitato del cerchio mobile.

Riso. 82. La lunghezza dell'arco e l'area del settore ad evolvente del cerchio.

Sottolineiamo ancora una volta che in questo caso l'angolo deve essere espresso immancabilmente in radianti. Se l'angolo è espresso in gradi ed è uguale, ad esempio, a (e i gradi sono uguali a radianti), le formule assumeranno la forma seguente:

Attiriamo l'attenzione dei lettori sul fatto che l'angolo dei radianti (o gradi) è l'angolo del nostro disegno, e non l'angolo del settore dell'evolvente!

scarabeo matematico

Prendiamo un cerchio di carta (Fig. 83), taglialo dal bordo al centro (ad esempio lungo il raggio BUT) e pieghiamo il settore LCM in un tubo, come mostrato in figura.

Il tubo risulterà molto pulito: dopotutto è una superficie conica e tutte le generatrici di questa superficie, come i raggi dello stesso cerchio, sono uguali tra loro.

Riso. 83. Incollare un cono di carta.

Se tagliamo il cerchio come mostrato in Fig. 84, allora il tubo sarebbe risultato sciatto: i generatori della superficie conica non sarebbero stati uguali tra loro.

Prendiamo ora un foglio delimitato non da un cerchio, ma da qualche altra curva liscia, per esempio, come quella mostrata in fig. 85. Se prendi un punto all'interno della foglia, ad esempio il punto O, fai un taglio lungo OH e arrotola il tubo, il tubo risulterà cattivo, perché la generatrice della superficie conica sarà di lunghezze diverse . E non importa come scegliamo il punto O, non saremo in grado di ottenere un buon tubo, perché nessuna curva, tranne un cerchio, ha un punto equidistante da tutti gli altri suoi punti.

Riso. 84. Tubo difettoso.

Bene? Cerchiamo di essere intelligenti! Prendiamo un punto H sul bordo del foglio (Fig. 85) e tracciamo un piccolo arco NK. Considereremo questo arco come un arco di cerchio e troveremo il centro di questo cerchio. A tal fine, disegniamo le normali nei punti H e K. Il punto di intersezione delle normali a T sarà il centro desiderato. Quindi, considera l'arco KM. Può anche essere considerato un arco di cerchio senza un grosso errore, ma il centro di questo cerchio non coinciderà con il disegno di una normale al contorno del foglio nei punti K e M, troveremo il punto della loro intersezione che fa non coincide con il punto T.

Riso. 85. Come tagliare un foglio?

Resta da compiere l'ultimo passaggio: passare da una linea spezzata di centri a una curva continua in modo da fornire un tubo completamente liscio, privo di intagli. È chiaro che per questo è sufficiente sostituire la linea spezzata, i cui collegamenti collegano i punti di intersezione di coppie di normali "vicine", con una curva liscia - l'inviluppo di queste normali, cioè la curva TR mostrata in Fico. 86.

Ma l'inviluppo delle normali è, come sappiamo, l'evoluzione della curva data.

Ciò significa che per arrotolare il tubo più preciso da un foglio, è necessario prima tagliare il foglio prima lungo un pezzo della normale LT, e poi lungo l'evoluta TP del suo contorno.

Riso. 86. Come sbarazzarsi dei nick?

E tu, il lettore, e io, e chiunque altro, difficilmente avremo bisogno di arrotolare pezzi di carta in tubi (piegare una sigaretta - una "gamba di capra" - è fuori questione: in questo caso, non è necessario fare attenzione che tutti i generatori siano della stessa lunghezza!). Pertanto, il valore pratico del problema che abbiamo ora analizzato è trascurabile. Ma ecco la cosa interessante: c'è un coleottero, o meglio, diverse razze di coleotteri che fanno una casa di foglie per la loro futura prole, arrotolandola in un tubo.

Questo tubo deve essere forte e pulito. Non dovrebbe essere arruffato da venti e acquazzoni, non dovrebbe attirare nemici con il suo aspetto e le sue dimensioni pittoresche. E il nostro scarabeo fogliare (coleotteri dei generi Rhynchites, Byctiscus, ecc.) risolve perfettamente un complesso problema matematico. Rode il foglio lungo l'evoluzione del contorno e solo allora lo piega. Sulla fig. 87 mostra un girafoglie di betulla (a grandezza naturale) e una foglia tagliata (o meglio, rosicchiata) da esso.

Riso. 87 Sfogliatrice in betulla (dimensione naturale).

Riso. 88. Rullo a foglia d'uva e il suo tubo (ingrandito 2x).

Sulla fig. 88 mostra un foglio d'uva doppiamente ingrandito e il suo tubo.

Naturalmente, il bug del geometro risolve questo compito tutt'altro che semplice in modo completamente inconscio. Per molti anni, la selezione naturale ha favorito quegli insetti le cui case erano particolarmente curate. Il risultato è stato un istinto che viene ereditato di generazione in generazione. Questo istinto fa sì che l'insetto, non conoscendo la geometria, risolva un problema complesso. problema geometrico. Si noti che anche un altro insetto più noto - l'ape - risolve (inconsciamente, ovviamente) un compito altrettanto difficile: costruire favi in ​​modo che, per un dato numero e capacità di cellule, la loro superficie sia la più piccola.

In queste condizioni si ottiene l'uso più economico del materiale da costruzione (cera).

Spesso incontriamo scansioni di superficie nella vita di tutti i giorni, nella produzione e nella costruzione. Per realizzare una custodia per un libro (fig. 169), per cucire una copertina per una valigia, un copertone per una pallavolo, ecc., bisogna essere in grado di costruire una spazzata delle superfici di un prisma, una palla e altri . corpi geometrici. Uno sviluppo è una figura ottenuta combinando una superficie dato corpo con un aereo. Per alcuni corpi, le spazzate possono essere accurate, per altri possono essere approssimative. Gli sviluppi esatti hanno tutti i poliedri (prismi, piramidi, ecc.), Le superfici cilindriche e coniche e alcuni altri. Le spazzate approssimative hanno una sfera, un toro e altre superfici di rivoluzione con una generatrice curvilinea. Il primo gruppo di superfici sarà chiamato sviluppabile, il secondo - non sviluppabile.

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Quando si costruiscono sviluppi di poliedri, si dovrà trovare la dimensione effettiva dei bordi e delle facce di questi poliedri ruotando o modificando i piani di proiezione. Quando si costruiscono sviluppi approssimativi per superfici non sviluppabili, sarà necessario sostituire sezioni di queste ultime con superfici sviluppabili vicine a loro nella forma.

Per costruire uno sweep della superficie laterale del prisma (Fig. 170), si considera che il piano di scansione coincida con la faccia AADD del prisma; altre facce del prisma sono combinate con lo stesso piano, come mostrato in figura. La faccia CCBB è precombinata con la faccia AABB. Le linee di piegatura secondo GOST 2.303-68 sono disegnate con linee continue sottili con uno spessore di s / 3-s / 4. È consuetudine designare punti su uno sweep con le stesse lettere di un disegno complesso, ma con indice 0 (zero). Quando si costruisce una scansione di un prisma dritto secondo un disegno complesso (Fig. 171, a), l'altezza delle facce viene presa dalla proiezione frontale e la larghezza dall'orizzontale. È consuetudine costruire una scansione in modo che il lato anteriore della superficie sia rivolto verso l'osservatore (Fig. 171, b). Questa condizione è importante da osservare perché alcuni materiali (pelle, tessuti) hanno due facce: davanti e dietro. Le basi del prisma ABCD sono fissate su una delle facce della superficie laterale.

Se il punto 1 è impostato sulla superficie del prisma, viene trasferito alla scansione utilizzando due segmenti contrassegnati sul disegno complesso con uno e due tratti, il primo segmento C1l1 viene posizionato a destra del punto C0 e il secondo segmento - verticalmente (fino al punto l0).

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Allo stesso modo, costruiscono una scansione della superficie di un cilindro di rivoluzione (Fig. 172). La superficie del cilindro è divisa in un certo numero di parti uguali, ad esempio 12, e viene dispiegata la superficie inscritta di un prisma dodecagonale regolare. La lunghezza dello sweep con questa costruzione è leggermente inferiore alla lunghezza effettiva dello sweep. Se è richiesta una precisione significativa, viene utilizzato un metodo analitico grafico. Il diametro d della circonferenza della base del cilindro (Fig. 173, a) viene moltiplicato per il numero π \u003d 3,14; la dimensione risultante viene utilizzata come lunghezza dello sweep (Fig. 173, b) e l'altezza (larghezza) viene presa direttamente dal disegno. Le basi del cilindro sono fissate allo sviluppo della superficie laterale.

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Se il punto A è posto sulla superficie del cilindro, ad esempio, tra il 1° e il 2° generatore, la sua posizione sulla scansione si trova utilizzando due segmenti: una corda contrassegnata da una linea più spessa (a destra del punto l1), ed un segmento uguale alla distanza del punto A dalla base superiore del cilindro segnato nel disegno con due corse.

È molto più difficile costruire uno sweep piramidale (Fig. 174, a). I suoi bordi SA e SC sono diritti posizione generale e sono proiettati su entrambi i piani di proiezione per distorsione. Prima di costruire uno sweep, è necessario trovare il valore reale di ciascun bordo. Il valore dello spigolo SB si trova costruendo la sua terza proiezione, poiché questo spigolo è parallelo al piano П 3 . Gli spigoli SA e SC vengono ruotati attorno all'asse di proiezione orizzontale passante per il vertice S in modo che diventino paralleli al piano di proiezione frontale П, (il valore effettivo dello spigolo SB si trova allo stesso modo).

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Dopo tale rotazione, le loro sporgenze frontali S 2 A 2 e S 2 C 2 saranno uguali alla dimensione effettiva dei bordi SA e SC. I lati della base della piramide, come linee rette orizzontali, sono proiettati sul piano di proiezione P 1 senza distorsioni. Avendo tre lati di ciascuna faccia e usando il metodo serif, è facile costruire uno sweep (Fig. 174, b). La costruzione parte dalla facciata frontale; un segmento A 0 С 0 \u003d A 1 C 1 è posato su una linea orizzontale, la prima tacca è realizzata con un raggio di A 0 S 0 - A 2 S 2, la seconda è realizzata con un raggio di C 0 S 0 \u003d \u003d G 2 S 2; all'intersezione di serif si ottiene il punto S„. Accetta lato ordine A 0 S 0 ; dal punto A 0 fare una tacca con raggio A 0 B 0 \u003d A 1 B 1 dal punto S 0 fare una tacca con raggio S 0 B 0 \u003d S 3 B 3; all'intersezione di serif ottieni un punto B 0 . Allo stesso modo, la faccia S 0 B 0 C 0 è attaccata al lato S 0 G 0 . In conclusione, il triangolo della base A 0 G 0 S 0 è attaccato al lato A 0 С 0 . Le lunghezze dei lati di questo triangolo possono essere ricavate direttamente dallo sviluppo, come mostrato nel disegno.

Lo sviluppo del cono di rivoluzione è costruito allo stesso modo dello sviluppo della piramide. Dividi la circonferenza della base in parti uguali, ad esempio in 12 parti (Fig. 175, a), e immagina che nel cono sia inscritta una piramide dodecagonale regolare. Le prime tre facce sono mostrate nel disegno. La superficie del cono è tagliata lungo la generatrice S6. Come è noto dalla geometria, lo sviluppo di un cono è rappresentato da un settore di cerchio il cui raggio è uguale alla lunghezza l della generatrice del cono. Tutti i generatori di un cono circolare sono uguali, quindi la lunghezza effettiva della generatrice l è uguale alla proiezione frontale della generatrice sinistra (o destra). Dal punto S 0 (Fig. 175, b), un segmento 5000 \u003d l viene posato verticalmente. Questo raggio disegna un arco di cerchio. I segmenti Ol 0 \u003d O 1 l 1, 1 0 2 0 \u003d 1 1 2 1, ecc. vengono licenziati dal punto O 0. Dopo aver messo da parte sei segmenti, ottengono il punto 60, che è collegato alla parte superiore S0 . Allo stesso modo costruisci il lato sinistro dello sweep; la base del cono è attaccata dal basso.

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Se è necessario applicare il punto B allo sweep, viene disegnata la generatrice SB (nel nostro caso S 2), questa generatrice viene applicata allo scan (S 0 2 0); ruotando la generatrice con il punto B verso destra fino a farla coincidere con la generatrice S 3 (S 2 5 2), trovare la distanza effettiva S 2 B 2 e staccarla dal punto S 0. I segmenti trovati sono contrassegnati sui disegni con tre tratti.

Se non è necessario tracciare punti sullo sviluppo del cono, allora può essere costruito più velocemente e con maggiore precisione, poiché è noto che l'angolo del settore di sviluppo a=360°R/l è il raggio del cerchio di base , e l è la lunghezza della generatrice del cono.

Avrai bisogno

• Matita Righello compasso goniometro Formule per calcolare l'angolo dalla lunghezza dell'arco e raggio Formule per calcolare i lati delle forme geometriche

Istruzione

Su un foglio di carta, costruisci la base del corpo geometrico desiderato. Se ti viene data una scatola o , misura la lunghezza e la larghezza della base e disegna un rettangolo su un pezzo di carta con i parametri appropriati. Per costruire uno sweep di un cilindro o di un cilindro, è necessario il raggio del cerchio di base. Se non è specificato nella condizione, misurare e calcolare il raggio.

Considera un parallelepipedo. Vedrai che tutte le sue facce sono ad angolo rispetto alla base, ma i parametri di queste facce sono diversi. Misura l'altezza del corpo geometrico e usa un quadrato per disegnare due perpendicolari alla lunghezza della base. Metti da parte l'altezza del parallelepipedo su di essi. Collega le estremità dei segmenti risultanti con una linea retta. Fai lo stesso sul lato opposto dell'originale.

Dai punti di intersezione dei lati del rettangolo originale disegna le perpendicolari e alla sua larghezza. Mettere da parte l'altezza del parallelepipedo su queste rette e collegare i punti ottenuti con una retta. Fai lo stesso dall'altro lato.

Dal bordo esterno di uno qualsiasi dei nuovi rettangoli, la cui lunghezza è uguale alla lunghezza della base, costruisci la faccia superiore della scatola. Per fare ciò, disegna perpendicolari dai punti di intersezione delle linee di lunghezza e larghezza situate all'esterno. Metti da parte la larghezza della base su di essi e collega i punti con una linea retta.

Per costruire una spazzata conica attraverso il centro del cerchio di base, traccia un raggio attraverso un punto qualsiasi del cerchio e continua. Misurare la distanza dalla base alla sommità del cono. Metti da parte questa distanza dal punto di intersezione del raggio e del cerchio. Segna il punto più alto della superficie laterale. In base al raggio della superficie laterale e alla lunghezza dell'arco, che è uguale alla circonferenza della base, calcolare l'angolo di sviluppo e allontanarlo dalla retta già tracciata per la sommità della base. Usando una bussola, collega il punto di intersezione del raggio e del cerchio trovato in precedenza con questo nuovo punto. L'alesatura del cono è pronta.

Per costruire uno sweep piramidale, misura l'altezza dei suoi lati. Per fare ciò, trova il centro di ciascun lato della base e misura la lunghezza della perpendicolare caduta dalla sommità della piramide a questo punto. Dopo aver disegnato la base della piramide sul foglio, trova i punti medi dei lati e disegna perpendicolari a questi punti. Collega i punti ottenuti con i punti di intersezione dei lati della piramide.

Lo sviluppo di un cilindro è costituito da due cerchi e un rettangolo situato tra di loro, la cui lunghezza è uguale alla lunghezza del cerchio e l'altezza è uguale all'altezza del cilindro.

L'evolvente di un cerchio si ottiene avvolgendo un filo teso da una superficie cilindrica. La fine di questo thread descriverà l'evolvente.

Equazioni parametriche dell'evolvente di una circonferenza:

dov'è il raggio del cerchio; - angolo di rotazione del raggio del cerchio.

Costruzione dell'evolvente di una circonferenza di un dato diametro

C'è un cerchio con diametro e centrato a . Questo cerchio è diviso in dodici parti uguali. Nei punti 2, 3, 4, ... disegniamo tangenti al cerchio, dirette in una direzione. Troviamo i punti ad evolvente in base al fatto che quando si spiega il cerchio, il punto deve essere separato dal punto 2 ad una distanza uguale alla lunghezza dell'arco tra i punti 1 e 2, e il punto deve essere separato dal punto 3 ad una distanza uguale alla lunghezza dell'arco tra i punti 1 e 3 ( due lunghezze dell'arco precedente), ecc.

Otteniamo l'esatta posizione dei punti dell'evolvente tracciando le lunghezze degli archi corrispondenti lungo le tangenti. La lunghezza dell'arco tra i punti 1 e 2 è determinata dalla formula , dove è il diametro del cerchio; - il numero di parti in cui è diviso il cerchio.

Dopo aver ricevuto un numero di punti ad evolvente, li colleghiamo con una linea liscia.

In questo caso, un cerchio con un diametro è Evoluzione a questo evolvente.

Evoluzione circolare

Letteratura

1. Bogdanov V. N., Malezhik I. F., Verkhola A. P. et al. Guida di riferimento al disegno.. - M.: Mashinostroenie., 1989. - S. 438-480. - 864 pag. - ISBN 5-217-00403-7

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