23. Il concetto di differenziale di una funzione. Proprietà. Applicazione del differenziale in approssimazionei calcoli.

Il concetto di funzione differenziale

Lascia che la funzione y=ƒ(x) abbia una derivata diversa da zero nel punto x.

Quindi, secondo il teorema sulla connessione di una funzione, il suo limite e una funzione infinitamente piccola, possiamo scrivere ∆х+α ∆х.

Pertanto, l'incremento della funzione ∆у è la somma di due termini ƒ "(х) ∆х e a ∆х, che sono infinitesimi a ∆x→0. In questo caso, il primo termine è infinito piccola funzione dello stesso ordine di ∆x, poiché e il secondo termine è una funzione infinitesimale di più ordine elevato di ∆x:

Pertanto, viene chiamato il primo termine ƒ "(x) ∆x la parte principale dell'incremento funzioni ∆у.

differenziale di funzione y \u003d ƒ (x) nel punto x è chiamata la parte principale del suo incremento, uguale al prodotto della derivata della funzione e dell'incremento dell'argomento, ed è indicata con dу (o dƒ (x)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Viene anche chiamato il differenziale dу differenziale del primo ordine. Troviamo il differenziale della variabile indipendente x, cioè il differenziale della funzione y=x.

Poiché y"=x"=1, allora, secondo la formula (1), abbiamo dy=dx=∆x, cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all'incremento di questa variabile: dx=∆x.

Pertanto, la formula (1) può essere scritta come segue:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

in altre parole, il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata di questa funzione per il differenziale della variabile indipendente.

Dalla formula (2), segue l'uguaglianza dy / dx \u003d ƒ "(x). Ora la designazione

la derivata dy/dx può essere vista come il rapporto dei differenziali dy e dx.

Differenzialeha le seguenti proprietà principali.

1. d(insieme a)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(insieme au)=insieme ad(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

La forma del differenziale è invariante (invariante): è sempre uguale al prodotto della derivata della funzione e del differenziale dell'argomento, indipendentemente dal fatto che l'argomento sia semplice o complesso.

Applicazione del differenziale a calcoli approssimativi

Come già noto, l'incremento ∆у della funzione y=ƒ(х) nel punto x può essere rappresentato come ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, dove α→0 come ∆х→0, oppure dy+α ∆x Scartando l'infinitesimo α ∆x di ordine superiore a ∆x, otteniamo l'uguaglianza approssimativa

∆y≈dy, (3)

inoltre, tale uguaglianza è tanto più precisa quanto minore è ∆x.

Questa uguaglianza ci consente di calcolare approssimativamente l'incremento di qualsiasi funzione derivabile con grande precisione.

Il differenziale di solito si trova molto più facile dell'incremento della funzione, quindi la formula (3) è ampiamente utilizzata nella pratica computazionale.

24. Funzione antiderivativa e indefinitaesimo integrale.

IL CONCETTO DI FUNZIONE DERIVATA E INDETERMINATO INTEGRALE

Funzione F (X) è chiamato funzione antiderivativa per questa funzione f (X) (o, in breve, primitivo questa funzione f (X)) su un dato intervallo, se su questo intervallo . Esempio. La funzione è l'antiderivata della funzione sull'intero asse dei numeri, poiché per qualsiasi X. Si noti che insieme alla funzione antiderivativa for c'è qualsiasi funzione del form , dove Insieme a- un numero costante arbitrario (ciò deriva dal fatto che la derivata della costante è uguale a zero). Questa proprietà vale anche nel caso generale.

Teorema 1. Se e sono due antiderivate per la funzione f (X) in un certo intervallo, allora la differenza tra loro in questo intervallo è uguale a un numero costante. Segue da questo teorema che se si conosce qualche antiderivata F (X) di questa funzione f (X), quindi l'intera serie di antiderivati ​​per f (X) è esaurito dalle funzioni F (X) + Insieme a. Espressione F (X) + Insieme a, dove F (X) è l'antiderivata della funzione f (X) e Insieme aè una costante arbitraria, chiamata integrale indefinito dalla funzione f (X) ed è indicato dal simbolo , e f (X) è chiamato integrando ; - integrando , X - variabile di integrazione ; ∫ - segno integrale indefinito . Quindi per definizione Se . Sorge la domanda: per ogni funzioni f (X) esiste un'antiderivata, e quindi un integrale indefinito? Teorema 2. Se la funzione f (X) continuo sul [ un ; b], quindi su questo segmento per la funzione f (X) esiste un primitivo . Di seguito parleremo di antiderivati ​​solo per funzioni continue. Pertanto, gli integrali considerati di seguito in questa sezione esistono.

25. Proprietà dell'indefinitoeintegrante. Integrantes dalle funzioni elementari di base.

Proprietà dell'integrale indefinito

Nelle formule sottostanti f e g- funzioni variabili X, F- antiderivata di funzione f, a, k, C sono valori costanti.







Integrali di funzioni elementari

Elenco degli integrali di funzioni razionali

(l'antiderivata di zero è una costante; in qualsiasi intervallo di integrazione, l'integrale di zero è uguale a zero)

Elenco di integrali di funzioni logaritmiche

Elenco di integrali di funzioni esponenziali

Elenco di integrali da funzioni irrazionali

("logaritmo lungo")

elenco di integrali di funzioni trigonometriche , elenco di integrali di funzioni trigonometriche inverse

26. Metodo delle sostituzionis variabile, metodo di integrazione per parti nell'integrale indefinito.

Metodo di sostituzione delle variabili (metodo di sostituzione)

Il metodo di integrazione per sostituzione consiste nell'introdurre una nuova variabile di integrazione (cioè una sostituzione). In questo caso, l'integrale dato si riduce a un nuovo integrale, che è tabulare o ad esso riducibile. Non ci sono metodi generali per selezionare le sostituzioni. La capacità di determinare correttamente la sostituzione viene acquisita con la pratica.

Sia richiesto per calcolare l'integrale Facciamo una sostituzione dove è una funzione che ha una derivata continua.

Quindi e in base alla proprietà di invarianza della formula per integrare l'integrale indefinito, otteniamo formula di integrazione per sostituzione:

Integrazione per parti

Integrazione per parti - applicando la seguente formula per l'integrazione:

In particolare, con l'aiuto n-fold applicando questa formula, si trova l'integrale

dove è un polinomio del esimo grado.

30. Proprietà di un integrale definito. Formula di Newton-Leibniz.

Proprietà fondamentali di un integrale definito

Proprietà dell'integrale definito

Formula di Newton-Leibniz.

Lascia che la funzione f (X) è continua sull'intervallo chiuso [ a, b]. Se un F (X) - antiderivato funzioni f (X) sul[ a, b], poi

Valore approssimativo della funzione incremento

Per incrementi sufficientemente piccoli la funzione è approssimativamente uguale al suo differenziale, cioè dy » dy e, quindi,

Esempio 2 Trova il valore approssimativo dell'incremento della funzione y= quando l'argomento x cambia dal valore x 0 =3 a x 1 =3,01.

Decisione. Usiamo la formula (2.3). Per fare questo, calcoliamo

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, quindi

Fare " .

Valore approssimativo di una funzione in un punto

In accordo con la definizione dell'incremento della funzione y = f(x) nel punto x 0, quando l'argomento Dx (Dx®0) viene incrementato, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) e si può scrivere la formula (3.3).

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Casi particolari di formula (3.4) sono le espressioni:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Qui, come prima, si assume che Dx®0.

Esempio 3 Trova il valore approssimativo della funzione f (x) \u003d (3x -5) 5 nel punto x 1 \u003d 2,02.

Decisione. Per i calcoli, utilizziamo la formula (3.4). Rappresentiamo x 1 come x 1 = x 0 + Dx. Allora x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Esempio 4 Calcola (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Decisione

1. Usiamo la formula (3.4a). Per fare ciò, rappresentiamo (1.01) 5 come (1+0.01) 5 .

Quindi, supponendo Dx = 0,01, n = 5, otteniamo

(1.01) 5 = (1 + 0.01) 5 » 1 + 5 × 0.01 = 1.05.

2. Rappresentando nella forma (1 - 0.006) 1/6, secondo (3.4a), otteniamo

(1 - 0,006) 1/6"1+ .

3. Considerando che ln(1.02) = ln(1 + 0.02) e assumendo Dx=0.02, dalla formula (3.4b) otteniamo

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Allo stesso modo

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Trova incrementi approssimativi di funzioni

155. y = 2x 3 + 5 quando l'argomento x cambia da x 0 = 2 a x 1 = 2.001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 per x 0 \u003d 3 e Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 con x 0 \u003d 2 e Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x at x 0 \u003d 10 e Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x con x 0 \u003d 3 e Dx \u003d 0,01

Trova i valori approssimativi delle funzioni

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 a x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 a x 1 \u003d 3,02

162.y= al punto x 1 = 1,1

163. y \u003d nel punto x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d nel punto x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d sin 2x a x 1 \u003d 0,015

Calcola approssimativamente

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1.003×e) 179 ln(1.05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Esplorazione di funzioni e tracciatura

Segni di monotonia di una funzione

Teorema 1 (condizione necessaria funzione crescente (decrescente)) . Se una funzione derivabile y = f(x), xн(a; b) aumenta (decrementa) sull'intervallo (a; b), allora per ogni x 0 н(a; b).

Teorema 2 (condizione sufficiente per funzioni crescenti (decrescenti)) . Se una funzione y = f(x), xн(a; b) ha una derivata positiva (negativa) in ogni punto dell'intervallo (a; b), allora questa funzione aumenta (diminuisce) su questo intervallo.

Estremi di funzione

Definizione 1. Il punto x 0 è chiamato il punto massimo (minimo) della funzione y \u003d f (x) se per tutto x da qualche d-quartiere del punto x 0 la disuguaglianza f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) per x ¹ x 0 .

Teorema 3 (fattoria) (condizione necessaria per l'esistenza di un extremum) . Se il punto x 0 è il punto estremo della funzione y = f(x) e c'è una derivata a questo punto, allora

Teorema 4 (la prima condizione sufficiente per l'esistenza di un extremum) . Sia la funzione y = f(x) derivabile in qualche d-intorno del punto x 0 . Quindi:

1) se la derivata, passando per il punto x 0, cambia segno da (+) a (-), allora x 0 è il punto massimo;

2) se la derivata, passando per il punto x 0, cambia segno da (-) a (+), allora x 0 è il punto minimo;

3) se la derivata non cambia segno passando per il punto x 0, allora nel punto x 0 la funzione non ha un estremo.

Definizione 2. Vengono chiamati i punti in cui la derivata di una funzione svanisce o non esiste criticità del primo tipo.

usando la derivata prima

1. Trovare il dominio di definizione D(f) della funzione y = f(x).

2. Calcola la derivata prima

3. Trova i punti critici del primo tipo.

4. Collocare i punti critici nel dominio di definizione D(f) della funzione y = f(x) e determinare il segno della derivata negli intervalli in cui i punti critici dividono il dominio della funzione.

5. Selezionare i punti massimo e minimo della funzione e calcolare i valori della funzione in questi punti.

Esempio 1 Esamina la funzione y \u003d x 3 - 3x 2 per un estremo.

Decisione. In accordo con l'algoritmo per trovare l'estremo di una funzione usando la derivata prima, abbiamo:

1. D(f): xn(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 sono punti critici del primo tipo.

Derivata quando si passa per il punto x = 0

cambia segno da (+) a (-), quindi è un punto

Massimo. Quando passa per il punto x \u003d 2, cambia segno da (-) a (+), quindi questo è il punto minimo.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Coordinate massime (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Coordinate minime (2; -4).

Teorema 5 (la seconda condizione sufficiente per l'esistenza di un extremum) . Se la funzione y = f(x) è definita e differenziabile due volte in qualche intorno del punto x 0 , e , allora nel punto x 0 la funzione f(x) ha un massimo se e un minimo se .

Algoritmo per trovare l'estremo di una funzione

usando la derivata seconda

1. Trovare il dominio di definizione D(f) della funzione y = f(x).

2. Calcola la derivata prima

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

Ma Δ y = Δ f(X 0) è l'incremento della funzione, e f (X 0) Δ x = df(X 0) è la funzione differenziale.

Pertanto, finalmente otteniamo

Teorema 1. Sia la funzione y = f(X) al punto x 0 ha una derivata finita f (X 0)≠0. Quindi per valori sufficientemente piccoli Δ x, si verifica l'uguaglianza approssimativa (1), che diventa arbitrariamente esatta per Δ X→ 0.

Quindi, il differenziale di una funzione in un punto X 0 è approssimativamente uguale all'incremento della funzione in quel punto.

Perché quindi dall'uguaglianza (1) otteniamo

A Δ X→ 0 (2)

A X→ X 0 (2  )

Poiché l'equazione della tangente al grafico della funzione y= f(X) al punto X 0 ha la forma

Quella uguaglianze approssimate (1)-(2) significano geometricamente che vicino al punto x=x 0 grafico della funzione y \u003d f(X) è approssimativamente sostituito dalla tangente alla curva y = f(X).

Per valori sufficientemente piccoli pieno incremento funzioni e differenziale differiscono leggermente, ad es. . Questa circostanza viene utilizzata per calcoli approssimativi.

Esempio 1 Calcola approssimativamente .

Decisione. Considera una funzione e un insieme X 0 = 4, X= 3,98. Allora Δ X =X –X 0 = – 0,02, f(X 0)= 2. Da allora, allora f (X 0)=1/4=0,25. Pertanto, secondo la formula (2), otteniamo infine: .

Esempio 2 Utilizzando il differenziale della funzione, determinare in che modo cambierà approssimativamente il valore della funzione y=f(X)=(3X 3+5)∙tg4 X quando si diminuisce il valore del suo argomento X 0 = 0 per 0,01.

Decisione. In virtù della (1), la modifica della funzione y = f(X) al punto X 0 è approssimativamente uguale al differenziale della funzione a questo punto per valori sufficientemente piccoli di D X:

Calcola il differenziale della funzione df(0). Abbiamo D X= -0,01. Come f (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ cos 2 4 X)∙4, quindi f (0)=5∙4=20 e df(0)=f (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.

Pertanto, Δ f(0) ≈ –0,2, cioè quando si diminuisce il valore X 0 = 0 argomento della funzione per 0,01 valore della funzione stessa y=f(X) diminuirà di circa 0,2.

Esempio 3 Sia la funzione di domanda per un prodotto. È necessario trovare la quantità richiesta per un prodotto a un prezzo p 0 \u003d 3 den. e stabilire come approssimativamente la domanda aumenterà con una diminuzione del prezzo dei beni di 0,2 unità monetarie.

Decisione. Ad un prezzo p 0 \u003d 3 den. volume della domanda Q 0 =D(p 0)=270/9=30 unità merce. Variazione di prezzo Δ p= -0,2 den. unità A causa di (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Calcoliamo il differenziale del volume della domanda del prodotto.

Da allora D (3) = –20 e

differenziale di volume della domanda dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20 (–0,2) = 4. Pertanto, Δ Q(3) ≈ 4, cioè quando il prezzo delle merci diminuisce p 0 \u003d 3 per 0,2 unità monetarie. il volume della domanda del prodotto aumenterà di circa 4 unità del prodotto e diventerà pari a circa 30 + 4 = 34 unità del prodotto.

Domande per l'autoesame

1. Come si chiama differenziale di una funzione?

2. Che cos'è senso geometrico funzione differenziale?

3. Elencare le principali proprietà della funzione differenziale.

3. Scrivi formule che ti permettano di trovare il valore approssimativo di una funzione usando il suo differenziale.

Errore assoluto

Definizione

Il valore della differenza assoluta tra il valore u0 esatto e quello approssimativo della grandezza è chiamato errore assoluto del valore u0 approssimativo. L'errore assoluto è indicato da $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Molto spesso, il valore esatto di u, e quindi l'errore assoluto $\Delta $u, è sconosciuto. Viene quindi introdotto il concetto di limite di errore assoluto.

Errore limite del valore approssimativo

Definizione

Qualsiasi numero positivo maggiore o uguale all'errore assoluto è il margine di errore del valore approssimativo:

\[|u-u_(0) |=\Delta _(u) \le \overline(\Delta _(u) )\]

Quindi, il valore esatto della quantità è contenuto tra $u_(0) -\overline(\Delta _(u) )$ e $u_(0) +\overline(\Delta _(u) )$

Se il limite di errore assoluto nella ricerca di un valore u è $\overline(\Delta _(u) )$, si dice che il valore u è trovato con una precisione di $\overline(\Delta _(u) )$.

Errore relativo e suo limite

Definizione

L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto $\Delta $u e il modulo del valore approssimativo u0 del valore misurato.

Denotando l'errore relativo con il simbolo $\delta $u, otteniamo

\[\delta _(u) =\frac(\Delta _(u) )(\left|u_(0) \right|) \]

Definizione

Il limite di errore relativo è il rapporto tra il limite di errore assoluto e il modulo del valore approssimativo del valore misurato:

\[\overline(\delta _(u) )=\frac(\overline(\Delta _(u) ))(\left|u_(0) \right|) \]

$\delta _(u) $ e $\overline(\delta _(u) )$ sono spesso espressi come percentuali.

Differenziale di funzione

Il differenziale di una funzione è indicato con dy e ha la forma:

dy = f "(x) $\Delta $x

A alcuni casi, il calcolo dell'incremento della funzione è sostituito da calcolo differenziale funzioni con una certa approssimazione. Il differenziale di una funzione è più facile da calcolare, perché richiede di trovare solo la sua derivata per calcolare il prodotto con la variabile indipendente:

\[\Delta y\circa gg\]

Nella misura in cui

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Il valore incrementato della funzione è simile a:

Usando questa formula approssimativa, puoi trovare il valore approssimativo della funzione nel punto $x + \Delta x$, vicino a x per il valore noto della funzione.

Per calcoli approssimativi, viene utilizzata la formula:

\[(1+\Delta x)^(n) \circa 1+n\Delta x\]

Per esempio:

1. Calcola approssimativamente $(1,02)^3$

Dove $\Delta $x = 0,03, n = 5

\[(1,02)^(3) \circa 1+0,02\cpunto 3\]

Dove $\Delta $x = 0,03, n = 5

\[(1,02)^(3) \circa 1,06\]

2. Calcola approssimativamente $\sqrt(1.005) $

Dove $\Delta $x = 0,005, n = 0,5

\[\sqrt(1.005) \circa 1+0.5\cdot 0.005\] \[\sqrt(1.005) \circa 1.0025\]

Esempio 1

Calcolare approssimativamente l'aumento di volume cilindro con altezza H = 40 cm. e raggio di base R = 30 cm con un aumento del raggio di base di 0,5 cm.

Decisione. Il volume di un cilindro V ad altezza costante H e raggio di base variabile R è funzione della forma:

Scriviamo la funzione incremento:

\ \[\Delta V\circa 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Sostituiamo le quantità note

\[\Delta V\circa 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \circa 3770 cm^(3) \]

Esempio 2

Mediante la misurazione diretta, è stato riscontrato che il diametro del cerchio è 5,2 cm e l'errore di misurazione massimo è 0,01. Trova gli errori relativi e percentuali approssimativi nell'area calcolata di questo cerchio.

L'errore relativo nel calcolo dell'area si trova dalla formula:

\[\delta _(i) =\frac(\Delta s)(i) \]

Un valore approssimativo si ottiene sostituendo $\Delta $s con ds. Pertanto, verrà effettuato un calcolo approssimativo secondo la formula:

\[\delta_(s)=\frac(ds)(s)\]

Poiché l'area di una circonferenza di raggio x è:

\ \

Così,

\[\delta _(s) =\frac(\frac(1)(2) \pi xdx)(\frac(1)(4) \pi x^(2) ) =2\frac(dx)(x )\]

Sostituisci x e dx con valori numerici

\[\delta_(s)=2\frac(0.01)(5.2) \circa 0.004\]

(che è un errore del 4%)