Matematikada juda ko'p turli xil matematik ifodalar mavjud va ularning ba'zilari o'zlarining qattiq nomlariga ega. Biz ushbu tushunchalardan biri bilan tanishishimiz kerak - bu monomial.
Monomial - bu har biri ma'lum darajada ko'paytmaga kiritilishi mumkin bo'lgan raqamlar, o'zgaruvchilar ko'paytmasidan tashkil topgan matematik ifodadir. Yangi kontseptsiyani yaxshiroq tushunish uchun siz bir nechta misollar bilan tanishishingiz kerak.
Monomiallarga misollar
Ifodalar 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 singldirlar. Ko'rib turganingizdek, son yoki o'zgaruvchining o'zi (kuchli yoki kuchsiz) ham monomialdir. Lekin, masalan, 2+s, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 iboralari allaqachon mavjud. monomial emas chunki ular ta'rifga mos kelmaydi. Birinchi iborada ruxsat berilmagan "sum", ikkinchisi "bo'linish" dan, uchinchisi esa farqdan foydalanadi.
O'ylab ko'ring yana bir nechta misol.
Masalan, 2*a^3*b/3 ifodasi ham monomiyaldir, garchi u erda bo'linish mavjud. Ammo bu holda, bo'linish raqam bilan sodir bo'ladi va shuning uchun tegishli ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin: 2/3*a^3*b. Yana bir misol: 2/x va x/2 ifodalarining qaysi biri monomial, qaysi biri monomial emas? birinchi ifoda monomial emas, ikkinchisi, deb to'g'ri javob bering.
Monomialning standart shakli
Quyidagi ikkita monomial iboraga qarang: ¾*a^2*b^3 va 3*a*1/4*b^3*a. Aslida, bu ikkita bir xil monomialdir. Birinchi ibora ikkinchisiga qaraganda qulayroq ko'rinadi, shunday emasmi?
Buning sababi, birinchi ifoda standart shaklda yozilgan. Ko'phadning standart shakli son koeffitsienti va turli o'zgaruvchilarning darajalaridan tashkil topgan mahsulotdir. Raqamli omil monomial koeffitsient deb ataladi.
Monomialni standart shaklga keltirish uchun monomialda mavjud bo'lgan barcha sonli omillarni ko'paytirish va olingan sonni birinchi o'ringa qo'yish kifoya. Keyin bir xil harf bazasiga ega bo'lgan barcha kuchlarni ko'paytiring.
Monomialni standart shaklga qisqartirish
Agar ikkinchi ifodadagi misolimizda biz barcha sonli omillarni 3 * 1/4 ga ko'paytirsak va keyin a * a ni ko'paytirsak, biz birinchi monomialni olamiz. Bu harakat monomialni standart shaklga keltirish deb ataladi.
Agar ikkita monomiya faqat son koeffitsienti bilan farq qilsa yoki bir-biriga teng bo'lsa, matematikada bunday monomlar o'xshash deb ataladi.
Monomiallar maktab algebrasi kursining bir qismi sifatida o'rganiladigan ifodalarning asosiy turlaridan biridir. Ushbu materialda biz sizga bu iboralar nima ekanligini aytib beramiz, ularning standart shaklini aniqlaymiz va misollarni ko'rsatamiz, shuningdek, monomial darajasi va uning koeffitsienti kabi tegishli tushunchalarni ko'rib chiqamiz.
Monomial nima
Maktab darsliklarida odatda ushbu tushunchaga quyidagi ta'rif beriladi:
Ta'rif 1
Monomerlar kiradi raqamlar, o'zgaruvchilar, shuningdek, ularning darajalari bilan tabiiy ko'rsatkich va turli xil turlari ulardan yaratilgan asarlar.
Ushbu ta'rifdan kelib chiqib, bunday iboralarga misollar keltirishimiz mumkin. Demak, barcha 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 raqamlari monomiyalarga tegishli boʻladi. Barcha o'zgaruvchilar, masalan, x , a , b , p , q , t , y , z ham ta'rifi bo'yicha monomiallar bo'ladi. Bunga oʻzgaruvchilar va raqamlarning vakolatlari ham kiradi, masalan, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 va t 15, shuningdek, 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z va hokazo kabi ifodalar. E'tibor bering, monomial bitta son yoki o'zgaruvchini yoki bir nechtasini o'z ichiga olishi mumkin va ular bitta ko'phadning bir qismi sifatida bir necha marta esga olinishi mumkin.
Butun sonlar, ratsionallar, naturallar kabi son turlari ham monomiyalarga kiradi. Shuningdek, u haqiqiy va o'z ichiga olishi mumkin murakkab sonlar. Demak, 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 p x 3 kabi ifodalar ham monomial bo‘ladi.
Monomialning standart shakli nima va unga ifoda qanday o'zgartiriladi
Qulaylik uchun barcha monomiallar birinchi navbatda olib keladi maxsus turdagi standart deb ataladi. Keling, bu nimani anglatishini aniqlaylik.
Ta'rif 2
Monomialning standart shakli uni son omil va ko'paytmasi bo'lgan bunday shakl deb atash tabiiy darajalar turli o'zgaruvchilar. Raqamli omil, shuningdek, monomial koeffitsient deb ataladi, odatda chap tomondan birinchi bo'lib yoziladi.
Aniqlik uchun biz standart shakldagi bir nechta monomiallarni tanlaymiz: 6 (bu o'zgaruvchilarsiz monomial), 4 · a , - 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Bunga ifoda ham kiradi x y(bu erda koeffitsient 1 ga teng bo'ladi), − x 3(bu erda koeffitsient - 1).
Endi biz standart shaklga keltirilishi kerak bo'lgan monomiallarga misollar keltiramiz: 4 a a 2 a 3(bu erda siz bir xil o'zgaruvchilarni birlashtirishingiz kerak), 5 x (− 1) 3 y 2(bu erda siz chapdagi raqamli omillarni birlashtirishingiz kerak).
Odatda, monomial harflar bilan yozilgan bir nechta o'zgaruvchilarga ega bo'lsa, harf omillari alifbo tartibida yoziladi. Masalan, afzal qilingan yozuv 6 a b 4 c z 2, Qanday b 4 6 a z 2 c. Biroq, agar hisoblash maqsadi talab qilsa, tartib boshqacha bo'lishi mumkin.
Har qanday monomial standart shaklga tushirilishi mumkin. Buning uchun barcha kerakli bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak.
Monomialning darajasi haqida tushuncha
Monomialning darajasi haqidagi hamrohlik tushunchasi juda muhimdir. Keling, ushbu tushunchaning ta'rifini yozamiz.
Ta'rif 3
Monomial darajasi, standart shaklda yozilgan, uning yozuviga kiritilgan barcha o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisidir. Agar unda bitta o'zgaruvchi bo'lmasa va monomialning o'zi 0 dan farq qilsa, uning darajasi nolga teng bo'ladi.
Keling, monomialning darajalariga misollar keltiraylik.
1-misol
Demak, monomial a 1 darajaga ega, chunki a = a 1 . Agar bizda monomial 7 bo'lsa, u nol darajaga ega bo'ladi, chunki u hech qanday o'zgaruvchiga ega emas va 0 dan farq qiladi. Va bu erda kirish 7 a 2 x y 3 a 2 8-darajali monomial bo'ladi, chunki unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha darajalari ko'rsatkichlari yig'indisi 8 ga teng bo'ladi: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Standartlashtirilgan monom va asl polinom bir xil darajaga ega bo'ladi.
2-misol
Keling, monomial darajasini qanday hisoblashni ko'rsatamiz 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Standart shaklda u shunday yozilishi mumkin − 6 x 8 y 4. Biz darajani hisoblaymiz: 8 + 4 = 12 . Demak, asl ko'phadning darajasi ham 12 ga teng.
Monomial koeffitsient tushunchasi
Agar bizda kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standartlashtirilgan monomial bo'lsa, biz bu haqda bitta raqamli omilga ega mahsulot sifatida gaplashamiz. Bu omil sonli koeffitsient yoki monomial koeffitsient deb ataladi. Keling, ta'rifni yozamiz.
Ta'rif 4
Monomial koeffitsienti standart shaklga tushirilgan monomialning son koeffitsientidir.
Masalan, turli monomiallarning koeffitsientlarini olaylik.
3-misol
Shunday qilib, ifodada 8 a 3 koeffitsient 8 raqami bo'ladi va in (− 2 , 3) x y z ular qiladi − 2 , 3 .
Birga teng va minus koeffitsientlarga alohida e'tibor berilishi kerak. Qoida tariqasida, ular aniq ko'rsatilmaydi. Raqamli omil bo'lmagan standart shakldagi monomialda koeffitsient 1 ga teng, deb ishoniladi, masalan, a, x z 3, a t x ifodalarida, chunki ularni 1 a, x z 3 - deb hisoblash mumkin. kabi 1 x z 3 va hokazo.
Xuddi shunday, sonli koeffitsientga ega bo'lmagan va minus belgisi bilan boshlanadigan monomiallarda koeffitsient - 1 ni ko'rib chiqishimiz mumkin.
4-misol
Masalan, − x, − x 3 y z 3 ifodalar shunday koeffitsientga ega bo‘ladi, chunki ular − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 va hokazo ko‘rinishda ifodalanishi mumkin.
Agar monomialda bitta harfli ko'paytuvchi umuman bo'lmasa, bu holda ham koeffitsient haqida gapirish mumkin. Bunday monomial-sonlarning koeffitsientlari bu raqamlarning o'zi bo'ladi. Masalan, monomial 9 koeffitsienti 9 ga teng bo'ladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Monomial haqida tushuncha
Monomialning ta'rifi: Monomial faqat ko'paytirishdan foydalanadigan algebraik ifodadir.
Monomialning standart shakli
Monomialning standart shakli qanday? Monomial standart shaklda yoziladi, agar u birinchi o'rinda sonli koeffitsientga ega bo'lsa va bu koeffitsient bo'lsa, u monomial koeffitsienti deb ataladi, monomialda faqat bitta bo'ladi, monomialning harflari alifbo tartibida joylashtiriladi va har bir harf faqat bir marta uchraydi.
Standart shakldagi monomialga misol:
bu erda birinchi o'rinda raqam, monomialning koeffitsienti va bu raqam bizning monomialimizda faqat bitta, har bir harf faqat bir marta uchraydi va harflar alifbo tartibida joylashtirilgan, bu holda u lotin alifbosidir.
Standart shakldagi monomialning yana bir misoli:
har bir harf faqat bir marta uchraydi, ular lotin alifbosi tartibida joylashtirilgan, ammo monomial koeffitsienti qaerda, ya'ni. birinchi navbatda raqam omili kelishi kerakmi? Bu erda u bittaga teng: 1adm.
Monomial koeffitsient manfiy bo'lishi mumkinmi? Ha, ehtimol, misol: -5a.
Monomial koeffitsient kasr bo'lishi mumkinmi? Ha, ehtimol, misol: 5.2a.
Agar monomial faqat sondan iborat bo'lsa, ya'ni. harflari yo'q, uni standart shaklga qanday olib kelish kerak? Raqam bo'lgan har qanday monomial allaqachon standart shaklda, masalan: 5 raqami standart shakldagi monomialdir.
Monomiallarni standart shaklga qisqartirish
Qanday qilib monomialni standart shaklga keltirish mumkin? Misollarni ko'rib chiqing.
Monomial 2a4b berilsin, biz uni standart shaklga keltirishimiz kerak. Biz uning ikkita son koeffitsientini ko'paytiramiz va 8ab ni olamiz. Endi monomial standart shaklda yoziladi, ya'ni. faqat bitta raqamli omilga ega, birinchi navbatda yoziladi, monomialdagi har bir harf faqat bir marta keladi va bu harflar alifbo tartibida joylashtirilgan. Shunday qilib, 2a4b = 8ab.
Berilgan: monomial 2a4a, monomialni standart shaklga keltiring. Biz 2 va 4 raqamlarini ko'paytiramiz, mahsulot aa ikkinchi kuch bilan almashtiriladi a 2 . Biz olamiz: 8a 2 . Bu monomialning standart shakli. Shunday qilib, 2a4a = 8a 2.
O'xshash monomiyalar
O'xshash monomiylar nima? Agar monomiallar faqat koeffitsientlarda farq qilsa yoki teng bo'lsa, ular o'xshash deb ataladi.
Shu kabi monomiallarga misol: 5a va 2a. Ushbu monomiallar faqat koeffitsientlarda farqlanadi, ya'ni ular o'xshashdir.
5abc va 10cba monomiallari o'xshashmi? Biz ikkinchi monomialni standart shaklga keltiramiz, biz 10abc olamiz. Endi aniq bo'ldiki, 5abc va 10abc monomiallari faqat koeffitsientlari bilan farq qiladi, bu ularning o'xshashligini bildiradi.
Monomiallarning qo'shilishi
Monomiallarning yig'indisi qancha? Biz faqat o'xshash monomiallarni yig'ishimiz mumkin. Monomiallarni qo'shish misolini ko'rib chiqing. 5a va 2a monomlarning yig‘indisi nechaga teng? Ushbu monomiallarning yig'indisi ularga o'xshash monomial bo'ladi, ularning koeffitsienti atamalar koeffitsientlari yig'indisiga teng. Shunday qilib, monomiallarning yig'indisi 5a + 2a = 7a ga teng.
Monomiallarni qo'shishga ko'proq misollar:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Yana bir marta. Siz faqat o'xshash monomlarni qo'shishingiz mumkin; qo'shish ularning koeffitsientlarini qo'shishga kamayadi.
Monomiallarni ayirish
Monomiallarning farqi nimada? Biz faqat o'xshash monomiallarni ayirishimiz mumkin. Monomiallarni ayirish misolini ko'rib chiqing. 5a va 2a monomiallari o'rtasidagi farq nima? Ushbu monomiallarning farqi ularga o'xshash monomial bo'ladi, ularning koeffitsienti farqiga teng bu monomiallarning koeffitsientlari. Demak, monomiallarning ayirmasi 5a - 2a = 3a ga teng.
Monomiallarni ayirishning boshqa misollari:
10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Monomiallarni ko'paytirish
Monomiallarning hosilasi nima? Bir misolni ko'rib chiqing:
bular. monomiallarning ko'paytmasi omillari asl monomiallarning omillaridan tashkil topgan monomialga teng.
Yana bir misol:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12.
Bu natija qanday paydo bo'ldi? Har bir omil darajasida "a" ga ega: birinchisida - "a" 2 darajasida, ikkinchisida - "a" 5 darajasida. Bu mahsulot "a" darajasiga ega bo'lishini anglatadi. ning 7, chunki bir xil harflarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi:
A 2 * a 5 = a 7.
Xuddi shu narsa "b" omiliga ham tegishli.
Birinchi omilning koeffitsienti ikkiga, ikkinchisi esa birga teng, natijada biz 2 * 1 = 2 ni olamiz.
2a 7 b 12 natijasi shunday hisoblangan.
Ushbu misollardan ko'rinib turibdiki, monomiallarning koeffitsientlari ko'paytiriladi va bir xil harflar mahsulotdagi darajalari yig'indisi bilan almashtiriladi.
I. Raqamlar, o'zgaruvchilar va ularning darajalaridan ko'paytirish yordamida tuzilgan iboralar monomiylar deyiladi.
Monomiallarga misollar:
a) a; b) ab; ichida) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3; e)-123,45xy 5 z; g) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3).
II. Raqamli koeffitsient (koeffitsient) birinchi o'rinda, keyin o'z kuchlari bilan o'zgaruvchilar qo'yilganda, monomialning bunday turi monomialning standart turi deb ataladi.
Shunday qilib, yuqorida, harflar ostida berilgan monomiallar a B C), G) va e) standart shaklda, harflar ostida esa monomiallar yoziladi e) va g) uni standart shaklga, ya'ni son omili birinchi o'rinda bo'lganda va undan keyin ko'rsatkichlari bilan harfiy omillar yozilsa, bundan tashqari, harfiy ko'rsatkichlar alifbo tartibida bo'lganda bunday shaklga keltirish talab etiladi. Biz monomiallarni beramiz e) va g) standart ko'rinishga.
e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;
g) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3.
III.Monomialni tashkil etuvchi barcha o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi monomial darajasi deb ataladi.
Misollar. Monomillar qanday darajaga ega a) - g)?
a) a. Birinchidan;
b) ab. Ikkinchi: a birinchi darajali va b birinchi darajada - ko'rsatkichlar yig'indisi 1+1=2 ;
ichida) 12. Nol, chunki alifbo omillari yo'q;
G) -3c. Birinchidan;
e) -85,75a 2 b 3. Beshinchi. Biz bu monomialni standart shaklga tushirdik, bizda bor a ikkinchi darajali va b uchinchisida. Ko'rsatkichlarni qo'shish: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Ettinchi. Literal omillarning ko'rsatkichlari qo'shildi: 1+5+1=7 ;
g) -60a 3 c 3. Oltinchisi, literal multiplikatorlar ko'rsatkichlari yig'indisidan boshlab 3+3=6 .
IV. Harf qismi bir xil bo'lgan monomlar o'xshash monomlar deyiladi.
Misol. Berilgan monomiylar orasida o‘xshash monomiyalarni ko‘rsating 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.
Biz monomiallarni beramiz 1), 4) va 5) standart ko'rinishga. Keyin bu monomiallarning chizig'i quyidagicha ko'rinadi:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.
Xuddi shu harf qismiga ega bo'lganlar o'xshash bo'ladi, ya'ni. 1) va 3) ; 2) va 4); 5) va 6).
1) 3a 2 b 2 c va 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3bc va 4) 98,7a 3bc;
5) 10a 4 x va 6) -2,3a 4x.
Biz har qanday monomial bo'lishi mumkinligini ta'kidladik standart shaklga keltiring. Ushbu maqolada biz monomialni standart shaklga qisqartirish deb ataladigan narsani tushunamiz, qanday harakatlar bu jarayonni amalga oshirishga imkon beradi va batafsil tushuntirishlar bilan misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Monomialni standart shaklga keltirish nimani anglatadi?
Monomiallar standart shaklda yozilganda ular bilan ishlash qulay. Biroq, monomiallar odatda standartdan farqli shaklda beriladi. Bunday hollarda, har doim bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish orqali asl monomialdan standart shaklga o'tish mumkin. Bunday o'zgarishlarni amalga oshirish jarayoni monomialni standart shaklga keltirish deb ataladi.
Keling, yuqoridagi fikrni umumlashtiraylik. Monomialni standart shaklga keltiring- bu standart shaklga ega bo'lishi uchun u bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishni anglatadi.
Qanday qilib monomialni standart shaklga keltirish mumkin?
Monomiallarni standart shaklga qanday olib kelish kerakligini aniqlash vaqti keldi.
Ta'rifdan ma'lumki, nostandart shakldagi monomiallar raqamlar, o'zgaruvchilar va ularning kuchlari va, ehtimol, takrorlanuvchilarning mahsulotidir. Va standart shaklning monomiali o'z yozuvida faqat bitta raqamni va takrorlanmaydigan o'zgaruvchilarni yoki ularning darajalarini o'z ichiga olishi mumkin. Endi birinchi turdagi mahsulotlarni ikkinchisi shakliga qanday qisqartirish mumkinligini tushunish qoladi?
Buning uchun siz quyidagilarni ishlatishingiz kerak monomialni standart shaklga qisqartirish qoidasi ikki bosqichdan iborat:
- Birinchidan, sonli omillarni, shuningdek, bir xil o'zgaruvchilar va ularning darajalarini guruhlash amalga oshiriladi;
- Ikkinchidan, raqamlar mahsuloti hisoblanadi va qo'llaniladi.
Belgilangan qoidani qo'llash natijasida har qanday monomial standart shaklga tushiriladi.
Misollar, yechimlar
Misollarni echishda oldingi paragrafdagi qoidani qanday qo'llashni o'rganish qoladi.
Misol.
3·x·2·x 2 monomialni standart shaklga keltiring.
Qaror.
X o'zgaruvchisi bo'lgan sonli omillar va omillarni guruhlaymiz. Guruhlashtirgandan so'ng, asl monomial (3 2) (x x 2) ko'rinishini oladi. Birinchi qavsdagi sonlarning ko‘paytmasi 6 ga teng va darajalarni bir xil asoslar bilan ko‘paytirish qoidasi ikkinchi qavsdagi ifodani x 1 +2=x 3 ko‘rinishida ko‘rsatishga imkon beradi. Natijada 6·x 3 standart ko‘rinishdagi ko‘phadni olamiz.
Mana yechimning qisqacha mazmuni: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Javob:
3 x 2 x 2 =6 x 3.
Demak, monomialni standart shaklga keltirish uchun omillarni guruhlash, sonlarni ko'paytirish va kuchlar bilan ishlashni bilish kerak.
Materialni birlashtirish uchun yana bitta misolni hal qilaylik.
Misol.
Monomialni standart shaklda ifodalang va uning koeffitsientini ko'rsating.
Qaror.
Asl monomialning yozuvida bitta sonli koeffitsient -1 bor, keling, uni boshiga o'tkazamiz. Shundan so'ng biz omillarni a o'zgaruvchisi bilan alohida, alohida - b o'zgaruvchisi bilan guruhlaymiz va m o'zgaruvchisini guruhlash uchun hech narsa yo'q, uni shunday qoldiring, bizda bor 
. Qavslar ichidagi darajalar bilan operatsiyalarni bajargandan so'ng, monomial bizga kerak bo'lgan standart shaklni oladi, u erdan monomialning koeffitsientini ko'rishingiz mumkin, −1 ga teng. Minus bir minus belgisi bilan almashtirilishi mumkin: .