Issiqlik o'tkazuvchanligi issiqlik uzatish turlaridan biri hisoblanadi. Issiqlik uzatish turli mexanizmlar bilan amalga oshirilishi mumkin.
Barcha jismlar elektromagnit to'lqinlarni chiqaradi. Xona haroratida bu asosan infraqizil nurlanishdir. Bu shunday davom etadi radiatsion issiqlik uzatish.
Gravitatsion maydon mavjudligida suyuqliklarda issiqlik uzatishning boshqa mexanizmi bo'lishi mumkin konvektsiya. Agar suyuqlik yoki gaz bo'lgan idishga issiqlik tubidan berilsa, birinchi navbatda moddaning pastki qismlari isitiladi, ularning zichligi pasayadi, ular suzadi va olingan issiqlikning bir qismini yuqori qatlamlarga beradi.
Issiqlik o'tkazuvchanligi bilan energiya almashinuvi energiyani yuqori energiyaga ega bo'lgan zarrachalardan (molekulalar, atomlar, elektronlar) to'g'ridan-to'g'ri energiyaga ega bo'lgan zarrachalarga o'tkazish natijasida amalga oshiriladi.
Kursimizda issiqlikning o'tkazuvchanlik yo'li bilan uzatilishini ko'rib chiqamiz.
Keling, birinchi navbatda, harorat faqat bitta koordinataga bog'liq bo'lgan bir o'lchovli holatni ko'rib chiqaylik X. Ikkita vosita qalinlikdagi tekis qism bilan ajratilsin l(23.1-rasm). Media harorati T 1 va T 2 doimiy saqlanadi. Empirik tarzda, issiqlik miqdori aniqlanishi mumkin Q maydonga ega bo'linma qismi orqali uzatiladi S davomida t teng
, (23.1)
bu erda proportsionallik koeffitsienti k devor materialiga bog'liq.
Da T 1 > T 2 issiqlik musbat eksa yo'nalishi bo'yicha uzatiladi X, da T 1 < T 2 - salbiy. Agar (23.1) tenglamada () almashtirilsa, issiqlik tarqalish yo'nalishini hisobga olish mumkin. T 1 - T 2)/l ustida (- dT/dx). Bir o'lchovli holatda, hosila dT/dx o'zida aks ettiradi harorat gradienti. Eslatib o'tamiz, gradient - bu yo'nalishi eng tez o'sish yo'nalishiga to'g'ri keladigan vektor skalyar funksiya koordinatalar (bizning holimizda T), modul esa bu yo‘nalishda kichik siljishli funksiya o‘sishning bu o‘sish sodir bo‘lgan masofaga nisbatiga teng.
Issiqlik uzatishni tavsiflovchi tenglamalarni umumiy va universal shaklda berish uchun biz ko'rib chiqamiz issiqlik oqimining zichligi j - vaqt birligida maydon birligiga o'tkaziladigan issiqlik miqdori
U holda (23.1) munosabatni quyidagicha yozish mumkin
Bu erda minus belgisi issiqlik oqimining yo'nalishi harorat gradientining yo'nalishiga (uning o'sish yo'nalishi) qarama-qarshi ekanligini aks ettiradi. Shunday qilib, issiqlik oqimining zichligi vektor miqdori hisoblanadi. Issiqlik oqimining zichligi vektori haroratni pasaytirish yo'nalishi bo'yicha yo'naltiriladi.
Agar muhit harorati barcha uch koordinataga bog'liq bo'lsa, u holda (23.3) munosabatlar shaklni oladi
qayerda 
, - harorat gradienti ( e
1 ,e
2 ,e
3 - koordinata o'qlarining birlik vektorlari).
(23.3) va (23.4) munosabatlar issiqlik o'tkazuvchanligining asosiy qonunini ifodalaydi (Furye qonuni): issiqlik oqimining zichligi harorat gradientiga proportsionaldir. Proportsionallik koeffitsienti k deyiladi issiqlik o'tkazuvchanligi(yoki faqat issiqlik o'tkazuvchanligi). Chunki issiqlik oqimi zichligi o'lchami [ j] = J / (m 2 s) va harorat gradienti [ dT/dx] = K / m, keyin issiqlik o'tkazuvchanligining o'lchami [k] = J / (m × s × K).
Umuman olganda, notekis qizdirilgan moddaning turli nuqtalarida harorat vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Harorat faqat bitta fazoviy koordinataga bog'liq bo'lsa, bir o'lchovli holatni ko'rib chiqing X va vaqt t, va biz olamiz issiqlik tenglamasi funksiya qanoatlantiradigan differentsial tenglamadir T = T(x,t).
O'rtada silindr yoki prizma ko'rinishidagi kichik hajmli elementni aqliy ravishda ajratib ko'rsatamiz, ularning avlodlari o'qiga parallel. X, va asoslari perpendikulyar (23.2-rasm). Baza maydoni S, va balandligi dx. Bu hajmning massasi dm= r sdx, va uning issiqlik sig'imi c×dm Bu erda r - materiyaning zichligi, bilan - o'ziga xos issiqlik. Qisqa muddatga qoldiring dt tomonidan o'zgardi bu hajmdagi harorat dT. Buning uchun hajmdagi modda uning issiqlik sig'imi va harorat o'zgarishi mahsulotiga teng issiqlik miqdorini olishi kerak: 
. Boshqa tomondan, d Q hajmiga faqat silindr asoslari orqali kirishi mumkin: (issiqlik oqimlarining zichligi j ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin). d uchun iboralarni tenglashtirish Q, olamiz
.
Kichik o'sish nisbatlarini mos keladigan hosilalar bilan almashtirib, biz munosabatga kelamiz
. (23.5)
Issiqlik oqimining zichligini (23.5) formuladagi (23.3) o'rniga qo'ying.
. (23.6)
Olingan tenglama deyiladi issiqlik tenglamasi. Agar muhit bir hil bo'lsa va issiqlik o'tkazuvchanligi k haroratga bog'liq bo'lmasa, tenglama shaklni oladi.
, (23.7)
konstanta deyiladi termal diffuziya muhit.
(23.6) - (23.8) tenglamalar son-sanoqsiz funktsiyalar to'plami bilan bajariladi. T = T(x,t).
Issiqlik tenglamasining yagona yechimini ajratib olish uchun tenglamaga boshlang'ich va ni qo'shish kerak chegara shartlari.
Dastlabki shart - muhitda harorat taqsimotini o'rnatish T(X,0) dastlabki vaqtda t = 0.
Chegara sharoitlari chegaralardagi harorat rejimiga qarab farq qilishi mumkin. Ko'pincha harorat yoki issiqlik oqimining zichligi vaqt funktsiyasi sifatida chegaralarda ko'rsatilgan holatlar mavjud.
Ba'zi hollarda atrof-muhitda issiqlik manbalari bo'lishi mumkin. O'tish natijasida issiqlik chiqarilishi mumkin elektr toki, kimyoviy yoki yadroviy reaktsiyalar. Issiqlik manbalarining mavjudligi energiyani chiqarishning hajmli zichligini kiritish orqali hisobga olinishi mumkin q(x,y,z), soniga teng manbalar tomonidan vaqt birligida muhitning birlik hajmiga chiqariladigan issiqlik. Bunday holda, atama (23.5) tenglamaning o'ng tomonida paydo bo'ladi. q:
.
Har qanday fizik hodisani o'rganish ushbu hodisani tavsiflovchi miqdorlar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish uchun qisqartiriladi. Kompleks uchun jismoniy jarayonlar, bunda aniqlovchi miqdorlar makon va vaqtda sezilarli darajada farq qilishi mumkin, bu miqdorlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatish juda qiyin. Bunday hollarda matematik fizikaning usullari qo'llaniladi, ular vaqt oralig'i cheklanganligi va butun fazodan qandaydir elementar hajm ko'rib chiqilishidan iborat. Bu tanlangan hajm va ma'lum vaqt oralig'ida jarayonni tavsiflovchi miqdorlardagi o'zgarishlarni e'tiborsiz qoldirishga va bog'liqlikni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.
Shunday qilib, elementar hajm tanlangan dV va elementar vaqt oralig'i dt, uning doirasida jarayon ko'rib chiqiladi, bilan matematik nuqta Jismoniy nuqtai nazardan ular cheksiz kichik miqdorlardir va fizik nuqtai nazardan, miqdorlar hali ham etarlicha katta, shuning uchun ularning chegaralarida muhitni uning diskret tuzilishini e'tiborsiz qoldirib, uzluksiz deb hisoblash mumkin. Shunday qilib olingan bog'liqlik jarayonning umumiy differentsial tenglamasidir. Differensial tenglamalarni integrallash orqali butun integratsiya mintaqasi va butun ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'i uchun miqdorlar o'rtasidagi analitik bog'liqlikni olish mumkin.
Harorat maydonini topish bilan bog'liq masalalarni hal qilish uchun issiqlik o'tkazuvchanligi uchun differentsial tenglamaga ega bo'lish kerak.
Keling, quyidagi taxminlarni qilaylik:
tanasi bir hil va izotropik;
jismoniy parametrlar doimiy;
haroratning o'zgarishi bilan bog'liq bo'lgan ko'rib chiqilayotgan hajmning deformatsiyasi hajmning o'zi bilan solishtirganda juda kichik;
tanadagi issiqlikning ichki manbalari teng taqsimlanadi.
Issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasini olish uchun asos energiyaning saqlanish qonuni bo'lib, biz uni quyidagicha shakllantiramiz:
Issiqlik miqdoridQ, elementar jildga kiritilgandVvaqt uchun tashqaridadtissiqlik o'tkazuvchanligi tufayli, shuningdek, ichki manbalardan, elementar hajmdagi moddaning ichki energiyasi yoki entalpiyasining o'zgarishiga teng.
qayerda dQ 1 - elementar hajmga kiritilgan issiqlik miqdori dV vaqt o'tishi bilan issiqlik o'tkazuvchanligi bilan dt;
dQ 2 vaqt davomidagi issiqlik miqdori dt elementar hajmda ajralib turdi dV ichki manbalardan;
dQ- elementar hajmdagi moddaning ichki energiyasining o'zgarishi (izoxorik jarayon) yoki entalpiyasi (izobarik jarayon) dV davomida dt.
Tenglamani olish uchun tomonlari bo'lgan kub shaklida elementar hajmni ko'rib chiqing dx, dy, dz (1.2-rasmga qarang). Kub uning yuzlari mos keladigan koordinata tekisliklariga parallel bo'ladigan tarzda joylashtirilgan. Vaqt davomida elementar hajmning yuzlariga beriladigan issiqlik miqdori dt o'qlar yo'nalishi bo'yicha x, y, z mos ravishda belgilang dQ x , dQ y , dQ z .
Xuddi shu yo'nalishdagi qarama-qarshi yuzlar orqali chiqariladigan issiqlik miqdori mos ravishda belgilanadi dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .
Yuzga berilgan issiqlik miqdori dxdy eksa yo'nalishida x davomida dt, bu: 
qayerda q x issiqlik oqimi zichligining normalning belgilangan yuzga yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasidir. Shunga ko'ra, qarama-qarshi yuz orqali chiqarilgan issiqlik miqdori quyidagicha bo'ladi:
Elementar hajmga berilgan issiqlik miqdori va undan chiqarilgan issiqlik miqdori o'rtasidagi farq issiqlik hisoblanadi: 
Funktsiya q ko'rib chiqilgan intervalda uzluksiz bo'ladi dx va Teylor seriyasida kengaytirilishi mumkin:
Agar biz ketma-ketlikning dastlabki ikki sharti bilan cheklansak, tenglama quyidagi shaklda yoziladi: 
Xuddi shunday, siz qolgan ikkitasining yo'nalishi bo'yicha hajmga berilgan issiqlik miqdorini topishingiz mumkin koordinata o'qlari y va z.
Issiqlik miqdori dQ, issiqlik o'tkazuvchanligi natijasida ko'rib chiqilgan hajmga teng bo'ladi:
Ikkinchi muddatni ichki manbalar tomonidan vaqt birligida muhitning birlik hajmiga chiqaradigan issiqlik miqdorini belgilash orqali aniqlaymiz q v va keling, uni chaqiramiz ichki issiqlik manbalarining quvvati[Vt / m 3], keyin:
Bizning tenglamamizdagi uchinchi komponent tizimni o'zgartirish TD jarayonining tabiatiga qarab topiladi.
Izoxorik jarayonni ko'rib chiqishda elementar hajmga berilgan barcha issiqlik ushbu hajmdagi moddaning ichki energiyasini o'zgartirishga sarflanadi, ya'ni. dQ= dU.
Agar hajm birligining ichki energiyasini hisobga olsak u= f(t, v) , keyin biz yozishimiz mumkin:
, J / m 3
, J/kg
qayerda c v – izoxorik issiqlik sig'imi yoki hajm birliklari yoki massa birliklari, [J/m3];
ρ - zichlik, [kg / m 3].
Olingan iboralarni yig'amiz:
Olingan ifoda issiqlik uzatishning izoxorik jarayoni uchun energiya differensial tenglamasi.
Izobar jarayon uchun tenglama ham xuddi shunday olingan. Hajmga berilgan barcha issiqlik hajmdagi moddaning entalpiyasini o'zgartirish uchun ketadi.
Olingan nisbat izobarik jarayon uchun differensial energiya tenglamasi.
Qattiq jismlarda issiqlik almashinuvi Furye qonuniga muvofiq amalga oshiriladi 
, issiqlik sig'imi qiymatini olish mumkin 
. Eslatib o'tamiz, issiqlik oqimi zichligi vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyasi quyidagi ifodalar bilan aniqlanadi:
Oxirgi ifoda issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi deb ataladi. Bu issiqlik o'tkazuvchanligi jarayoni sodir bo'ladigan tananing istalgan nuqtasida haroratning vaqtinchalik va fazoviy o'zgarishlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi.
Qisman hosilalardagi eng umumiy differensial issiqlik tenglamasi bir xil shaklga ega, ammo undagi miqdorlar ρ , , bilan vaqt va makon funksiyalaridir. Ushbu tenglama amaliy qiziqish uyg'otadigan ko'plab issiqlik o'tkazuvchanlik muammolarini tavsiflaydi. Agar termofizik parametrlarni doimiy qabul qilsak, tenglama oddiyroq bo'ladi:
Belgilamoq 
, keyin:
Proportsionallik omili a[m 2 / s] termal diffuziya deb ataladi va moddaning fizik parametridir. Bu statsionar bo'lmagan issiqlik jarayonlari uchun zarur va harorat o'zgarishi tezligini tavsiflaydi. Agar issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti jismlarning issiqlik o'tkazish qobiliyatini tavsiflasa, u holda issiqlik tarqalish koeffitsienti tananing issiqlik inertial xususiyatlarining o'lchovidir. Masalan, suyuqliklar va gazlar katta issiqlik inertsiyasiga ega va shuning uchun past issiqlik tarqalish qobiliyatiga ega, metallar esa, aksincha, kichik termal inersiyaga ega.
Agar ichki issiqlik manbalari mavjud bo'lsa va harorat maydoni statsionar bo'lsa, biz Puasson tenglamasini olamiz:
Nihoyat, statsionar issiqlik o'tkazuvchanligi va ichki issiqlik manbalarining yo'qligi bilan biz Laplas tenglamasini olamiz:
Issiqlik o'tkazuvchanligi uchun o'ziga xoslik shartlari.
Issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasi fizikaning umumiy qonunlaridan kelib chiqqanligi sababli, u hodisalarning butun sinfini tavsiflaydi. Uni hal qilish uchun chegara shartlarini yoki yagonalik shartlarini belgilash kerak.
O'ziga xoslik shartlariga quyidagilar kiradi:
geometrik shartlar - tananing shakli va hajmini tavsiflaydi;
jismoniy sharoitlar xarakterlidir jismoniy xususiyatlar atrof-muhit va tana;
boshlang'ich (vaqtinchalik) sharoitlar - statsionar bo'lmagan jarayonlarni o'rganishda o'rnatiladigan vaqtning boshlang'ich momentida tanadagi haroratlarning taqsimlanishini tavsiflaydi;
chegaraviy shartlar - ko'rib chiqilayotgan jismning atrof-muhit bilan o'zaro ta'sirini tavsiflaydi.
Chegara shartlari bir necha usul bilan belgilanishi mumkin.
Birinchi turdagi chegara shartlari. Tana yuzasida haroratning taqsimlanishi har bir vaqt uchun o'rnatiladi:
t c = f(x, y, z, τ )
qayerda t c- tana harorati;
x, y, z tana sirtining koordinatalari.
Muayyan holatda, sirtdagi harorat issiqlik uzatish jarayonlarining butun vaqti davomida doimiy bo'lsa, tenglama soddalashtiriladi:
t c = const
Ikkinchi turdagi chegara shartlari. Issiqlik oqimining qiymatlari tana yuzasining har bir nuqtasi va har qanday vaqt uchun o'rnatiladi. Analitik jihatdan shunday ko'rinadi:
q c = f(x, y, z, τ )
Eng oddiy holatda, tananing yuzasida issiqlik oqimining zichligi doimiy bo'lib qoladi. Bunday holat metall buyumlar yuqori haroratli pechlarda qizdirilganda sodir bo'ladi.
Uchinchi turdagi chegara shartlari. Bu atrof-muhit haroratini o'rnatadi t Chorshanba va tananing yuzasi va atrof-muhit o'rtasidagi issiqlik almashinuvi qonuni. Issiqlik uzatish jarayonini tavsiflash uchun Nyuton-Rixman qonuni qo'llaniladi. Ushbu qonunga ko'ra, vaqt birligida tana sirtining birligi tomonidan chiqarilgan yoki qabul qilingan issiqlik miqdori tananing yuzasi va muhit o'rtasidagi harorat farqiga proportsionaldir:
qayerda α issiqlik uzatish koeffitsienti [W / (m 2 K)] deb ataladigan proportsionallik koeffitsienti issiqlik uzatish intensivligini tavsiflaydi. Raqamli bo'lib, u bir daraja harorat farqida vaqt birligida tana sirtining birligi tomonidan chiqarilgan issiqlik miqdoriga teng. Energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra, atrof-muhitga chiqarilgan issiqlik miqdori tananing ichki qismlaridan issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli berilgan issiqlikka teng bo'lishi kerak, ya'ni:
Oxirgi tenglama uchinchi turdagi chegaraviy shartdir.
Yuqorida sanab o'tilgan shartlarning hech biri o'rnatilishi mumkin bo'lmaganda, murakkabroq texnik muammolar mavjud va keyin konjugatsiya usuli bilan muammoni hal qilish kerak. Bunday muammoni hal qilishda interfeysning har ikki tomonidagi haroratlar va issiqlik oqimlarining tengligi shartlarini qondirish kerak. Umumiy holda, konjugatsiya shartlari quyidagicha yozilishi mumkin:
Qo'shma masalaning yechimi interfeysning har ikki tomonidagi harorat maydonlarini topish bilan bog'liq.
Harorat maydoni va issiqlik oqimini hisoblash uchun formulalar, xususan, statsionar va statsionar bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanligi muammolari, jarayonning matematik tavsifi (matematik modeli) asosida olinadi. Modelning asosi issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi bo'lib, u hech qanday ishlamaydigan jismlar uchun termodinamikaning birinchi qonuni va Furye issiqlik o'tkazuvchanligi qonuni yordamida chiqariladi. Jismoniy jarayonning differensial tenglamasi odatda jarayonni soddalashtiradigan ma'lum farazlar ostida olinadi. Shuning uchun hosil bo'lgan tenglama jarayonlar sinfini faqat qabul qilingan taxminlar doirasida tavsiflaydi. Har bir aniq vazifa tegishli o'ziga xoslik shartlari bilan tavsiflanadi. Shunday qilib, issiqlik o'tkazuvchanligi jarayonining matematik tavsifi differensial issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini va o'ziga xoslik shartlarini o'z ichiga oladi.
Issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasini quyidagi farazlar ostida chiqarishni ko'rib chiqing:
- a) tanasi bir jinsli va anizotrop;
- b) issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti haroratga bog'liq;
- v) haroratning o'zgarishi bilan bog'liq bo'lgan ko'rib chiqilayotgan hajmning deformatsiyasi hajmning o'ziga nisbatan juda kichik;
- d) tananing ichida teng taqsimlangan ichki issiqlik manbalari mavjud q v = f(x, y, z, m) = const;
- e) tana makrozarralarining bir-biriga nisbatan harakati yo'q (konveksiya).
Qabul qilingan xususiyatlarga ega tanada biz qirralari bilan parallelepiped shaklida elementar hajmni tanlaymiz dx, dy, dz, albatta e'tibor qaratiladi ortogonal tizim koordinatalari (14.1-rasm). Ishlamaydigan jismlar uchun termodinamikaning birinchi qonuniga muvofiq ichki energiyaning o'zgarishi dU vaqt o'tishi bilan ajratilgan hajmdagi moddalar dx berilgan issiqlik miqdoriga teng
Guruch. 14.1.
issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli hajm dQ x, va ichki manbalar tomonidan chiqariladigan issiqlik dQ2".
Termodinamikadan ma'lumki, hajmdagi moddaning ichki energiyasining o'zgarishi dV davomida dx teng
qayerda dG = p dv- moddaning massasi; p - zichlik; bilan - o'ziga xos massa issiqlik sig'imi (siqiladigan suyuqliklar uchun c = cv (izokorik issiqlik sig'imi)).
Ichki manbalar tomonidan ajratilgan energiya miqdori,
qayerda kv - ichki issiqlik manbalarining ommaviy zichligi, Vt / m 3.
Issiqlik o'tkazuvchanligi bo'yicha hajmga kiradigan issiqlik oqimi koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha uchta komponentga bo'linadi: 
Qarama-qarshi yuzlar orqali issiqlik bo'ladi
mos ravishda miqdorda olib tashlanishi kerak, berilgan va chiqarilgan issiqlik miqdori o'rtasidagi farq issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli ichki energiyaning o'zgarishiga ekvivalentdir. dQ v Biz ushbu qiymatni koordinata o'qlari bo'ylab komponentlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:
Keyin bizda x o'qi yo'nalishi bo'yicha
Shunchaki -
qarama-qarshi yo'nalishlarda issiqlik oqimining zichligi.
Funktsiya qx+dx ko'rib chiqilgan intervalda uzluksiz bo'ladi dx va Teylor seriyasida kengaytirilishi mumkin:
O'zimizni ketma-ketlikning dastlabki ikki sharti bilan cheklab, (14.6) ni almashtiramiz, biz
Xuddi shunday, biz ham olamiz:
(14.8) - (14.10) ni (14.4) ga almashtirgandan so'ng bizda
(14.1) ga (14.2), (14.3) va (14.11) ni almashtirib, ichki manbalarni hisobga olgan holda issiqlik o'tkazuvchanligi bilan issiqlik uzatishning differentsial tenglamasini olamiz:
Issiqlik o'tkazuvchanligining Furye qonuniga binoan issiqlik oqimi zichligining koordinata o'qlariga proyeksiyalar uchun ifodalarni yozamiz:
qayerda X x, X y, X z- koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlari (anizotropik jism).
Ushbu ifodalarni (14.12) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
(14.13) tenglama haroratga bog'liq bo'lmagan jismoniy xususiyatlarga ega bo'lgan anizotrop jismlar uchun differensial issiqlik tenglamasi deb ataladi.
Qabul qilsa X= const, va tanasi izotropik, issiqlik tenglamasi shaklini oladi
Bu yerda a = X/(sr), m 2 / s, - termal diffuziya,
isitish yoki sovutish jarayonlarida harorat o'zgarishi tezligini tavsiflovchi moddaning fizik parametri. Issiqlik tarqalish koeffitsienti yuqori bo'lgan moddadan yasalgan jismlar, ceteris paribus, tezroq qiziydi va soviydi.
Silindrsimon koordinatalar tizimida doimiy fizik xususiyatlarga ega bo'lgan izotrop jism uchun differensial issiqlik tenglamasi shaklga ega.
qayerda g, z, F - mos ravishda radial, eksenel va burchak koordinatalari.
(14.13), (14.14) va (14.15) tenglamalar issiqlik o'tkazuvchanligi jarayonini tavsiflaydi. umumiy ko'rinish. Maxsus vazifalar bir-biridan farq qiladi o'ziga xoslik shartlari, ya'ni. ko'rib chiqilayotgan jarayonning xususiyatlarini tavsiflash.
aniqlik uchun shartlar. Issiqlik o'tkazuvchanligining fizik tushunchalariga asoslanib, jarayonga ta'sir qiluvchi omillarni ajratib ko'rsatish mumkin: moddaning fizik xususiyatlari; tana hajmi va shakli; boshlang'ich harorat taqsimoti; tananing yuzasida (chegarasida) issiqlik uzatish shartlari. Shunday qilib, yagonalik shartlari fizik, geometrik, boshlang'ich va chegaraviy (chegara) bo'linadi.
jismoniy sharoitlar moddaning fizik parametrlari berilgan X, s, p va ichki manbalarni taqsimlash.
Geometrik atamalar jarayon sodir bo'lgan tananing shakli va chiziqli o'lchamlari o'rnatiladi.
Dastlabki shartlar vaqtning boshlang'ich momentida tanadagi harorat taqsimoti berilgan t= /(x, y, z) m = 0 da. Dastlabki shartlar statsionar bo'lmagan jarayonlarni ko'rib chiqishda muhim ahamiyatga ega.
Tananing chegarasida issiqlik uzatish xususiyatiga qarab, chegara (chegara) shartlari to'rt turga bo'linadi.
Birinchi turdagi chegara shartlari. Sirtdagi harorat taqsimotini belgilaydi t n jarayon davomida
Muayyan holatda sirt harorati doimiy bo'lib qolishi mumkin (/ n = const).
Birinchi turdagi chegara sharoitlari, masalan, kontrplakni yopishtirish, sunta va tolali plitalarni bosish va hokazo jarayonlarida kontaktli isitish paytida yuzaga keladi.
Ikkinchi turdagi chegara shartlari. Jarayon davomida issiqlik oqimining zichligi qiymatlarining tana yuzasida taqsimlanishi o'rnatiladi
Muayyan holatda, sirtdagi issiqlik oqimi doimiy bo'lib qolishi mumkin (
Uchinchi turdagi chegara shartlari sirtdagi konvektiv issiqlik uzatishga mos keladi. Bunday sharoitda jism joylashgan suyuqlikning harorati, Tf = /(t) va issiqlik uzatish koeffitsienti oc ni belgilash kerak. Umumiy holda, issiqlik uzatish koeffitsienti o'zgaruvchan qiymatdir, shuning uchun uning o'zgarishi qonuni a = / (t) o'rnatilishi kerak. Maxsus holat mumkin: / f = const; a = const.
To'rtinchi turdagi chegara shartlari Har xil issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlariga ega bo'lgan jismlarning ideal aloqada issiqlik almashinuvi shartlarini tavsiflang, agar issiqlik issiqlik o'tkazuvchanligi bilan uzatilganda va kontakt yuzasining qarama-qarshi tomonlarida issiqlik oqimlari teng bo'lsa:
Qabul qilingan fizik taxminlar, ushbu taxminlar bo'yicha olingan tenglama va yagonalik shartlari analitik tavsifni tashkil qiladi ( matematik model) issiqlik o'tkazish jarayonlari. Muayyan muammoni hal qilish uchun olingan modeldan foydalanishning muvaffaqiyati qabul qilingan taxminlar va o'ziga xoslik shartlari real sharoitlarga qanchalik mos kelishiga bog'liq bo'ladi.
(14.14) va (14.15) tenglamalar bir o'lchovli statsionar issiqlik rejimi uchun juda oddiy analitik tarzda echiladi. Yechimlar quyida muhokama qilinadi. Ikki o'lchovli va uch o'lchovli statsionar jarayonlar uchun taxminiy sonli usullar qo'llaniladi
Statsionar bo'lmagan issiqlik rejimi sharoitida (14.13) - (14.15) tenglamalarni echish uchun maxsus adabiyotlarda batafsil ko'rib chiqilgan bir qator usullar qo'llaniladi. Aniq va taxminiy analitik usullar, sonli usullar va boshqalar ma'lum.
Issiqlik tenglamasining sonli yechimi asosan chekli ayirma usuli bilan amalga oshiriladi. U yoki bu yechim usulini tanlash muammoning shartlariga bog'liq. Analitik usullar bilan yechish natijasida tegishli sharoitlarda bir qator muhandislik masalalarini echish uchun qo'llaniladigan formulalar olinadi. Raqamli usullar harorat maydonini olish imkonini beradi t=f(x, y, z, m) muayyan vazifa uchun belgilangan vaqtlarda turli nuqtalarda diskret harorat qiymatlari to'plami sifatida. Shuning uchun analitik usullardan foydalanish afzalroqdir, lekin bu ko'p o'lchovli muammolar va murakkab chegara shartlari uchun har doim ham mumkin emas.
Quyida biz nisbatan sodda geometrik va fizik sharoitlar uchun harorat maydonlarini aniqlash uchun bir nechta muammolarni ko'rib chiqamiz, bu oddiy shaklga ega bo'lgan analitik echimlarga imkon beradi va shu bilan birga qattiq jismda issiqlik almashinuvi bilan bog'liq xarakterli jismoniy jarayonlarning foydali tasvirini beradi.
Termal izolyatsiyalangan yon yuzasiga ega bo'lgan novdani ko'rib chiqing (38-rasm). Bunday holda, issiqlik uzatish novda bo'ylab sodir bo'lishi mumkin. Agar siz novdani eksa bilan birlashtirsangiz Dekart tizimi koordinatalar, keyin statsionar issiqlik tenglamasi shaklga ega bo'ladi
Issiqlik chiqarish hajmining issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientining doimiy qiymatlarida oxirgi tenglama ikki marta integrallanishi mumkin.
(75)
Integratsiya konstantalarini chegara shartlaridan topish mumkin. Masalan, tayoq uchlaridagi harorat , bo'lsa. Keyin (75) dan biz bor
Bu yerdan integrallash konstantalarini va ni topamiz. Belgilangan chegara sharoitidagi yechim shaklni oladi
Oxirgi formuladan ko'rinib turibdiki, issiqlik manbalari yo'qligi . Roddagi harorat bir chegara qiymatidan ikkinchisiga chiziqli ravishda o'zgaradi
Keling, chegara shartlarining yana bir kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik. Tashqi manba tayoqning chap uchida issiqlik oqimi hosil qilsin. Rodning o'ng uchida biz oldingi holatni saqlaymiz, shuning uchun biz bor
Bu shartlarni bosh integral (75) yordamida ifodalab, integrallash konstantalariga nisbatan sistema olamiz.
Hosil boʻlgan sistemadan nomaʼlum konstantalarni topib, koʻrinishdagi yechimga ega boʻlamiz
Oldingi misolda bo'lgani kabi, issiqlik chiqarishning ichki manbalari bo'lmasa, novda bo'ylab harorat taqsimoti chiziqli bo'ladi.
Bunday holda, tashqi issiqlik manbai joylashgan novda chap uchidagi harorat ga teng bo'ladi.
Keyingi misol sifatida uzluksiz uzun aylana silindrda radius bo‘yicha statsionar harorat taqsimotini topamiz (39-rasm). Bunday holda, silindrsimon koordinatalar tizimidan foydalanish vazifani sezilarli darajada soddalashtiradi. Katta uzunlik-radius nisbati va taqsimot konstantalari bo'lgan silindr holatida
Issiqlik chiqarishning ichki manbai sifatida silindrning uchlaridan uzoqda joylashgan haroratni silindrsimon tizimning eksenel koordinatasidan mustaqil deb hisoblash mumkin. Keyin statsionar issiqlik tenglamasi (71) shaklni oladi
Oxirgi tenglamaning ikkilamchi integratsiyasi (doimiy uchun) beradi
Tsilindrning o'qi bo'yicha harorat taqsimotining simmetriya sharti () beradi
Qayerdan olamiz
uchun oxirgi shart qondiriladi. Tsilindr yuzasida harorat o'rnatilsin (). Keyin tenglamadan ikkinchi integrasiya doimiysini topish mumkin
Bu yerdan biz yechimni yakuniy shaklda topamiz va yozamiz
Olingan natijani qo'llashning raqamli misoli sifatida radiusi mm bo'lgan silindrsimon yoy zaryadining plazmadagi harorat taqsimotini ko'rib chiqamiz. Bo'shatish kanalining chegarasi ionlanish jarayonlari to'xtaydigan hudud sifatida shakllanadi. Biz yuqorida ko'rdikki, isitish vaqtida gazning sezilarli ionlanishi K da to'xtaydi. Shuning uchun kamaytirilgan qiymatni chegara K sifatida qabul qilish mumkin. Chiqarish plazmasidagi issiqlik chiqarish quvvatining hajm zichligini Joul-Lenz qonunidan topish mumkin. , qayerda σ
plazmaning elektr o'tkazuvchanligi; E- kuchlanish elektr maydoni tushirish kanalida. Ark zaryadsizlanishi uchun xarakterli qiymatlar 1/Ohm m, V/m. Yoy plazmasining issiqlik o'tkazuvchanligi neytral gazga qaraganda yuqori, 10 000 K gacha bo'lgan haroratlarda uning qiymatini teng qabul qilish mumkin. Shunday qilib, parametr 
. Radius bo'ylab haroratning taqsimlanishi rasmda ko'rsatilgan. 39. Bu holda tushirish o'qi () harorati 8000 K bo'ladi.
Quyidagi misolda biz sferik simmetriyaga ega bo'lgan termal maydonni ko'rib chiqamiz. Bunday sharoitlar, xususan, kichik issiqlik manbai joylashgan bo'lsa paydo bo'ladi katta massiv, masalan, katta elektr mashinasining o'rashidagi interturn yoyi xatosi. Bunday holda, markazni tekislash sferik tizim issiqlik chiqarish manbai bilan koordinatalar, biz statsionar issiqlik tenglamasini (64) quyidagi shaklga keltiramiz:
Ushbu tenglamani ikki marta integrallab, topamiz
Keyin issiqlik tenglamasining integrali soddalashadi
Integratsiya konstantalarini hisoblash uchun biz birinchi navbatda zaryadsizlanish joyidan cheksiz uzoqda joylashgan nuqtalardagi shartdan foydalanamiz, bu erda C - atrof-muhit harorati. Oxirgi ifodadan biz topamiz. Konstantani aniqlash uchun biz zaryadsizlanish deb faraz qilamiz issiqlik energiyasi radiusli sferik bo'shliq yuzasida bir xilda taqsimlanadi. Shuning uchun, bo'shliqning chegarasida issiqlik oqimi bo'ladi
Shu darajada 
, keyin bizda oxirgi ikkita tenglamadan
va yakuniy qaror
Bunday holda, Vt / mK da bo'shliqning chegarasida (mm) harorat K bo'ladi (40-rasm).
Ushbu guruhning birinchi misoli sifatida, sovutish kanali bo'lgan dumaloq simning kesimidagi issiqlik maydonini ko'rib chiqing (41-rasm, a). Sovutish kanallari bo'lgan simlar kuchli magnit maydonlarni ishlab chiqarish uchun kuchli elektr mashinalari va sariqlarning o'rashlarida ishlatiladi. Ushbu qurilmalar yuzlab va hatto minglab amperli amplitudali oqimlarning uzoq oqimi bilan tavsiflanadi. Masalan, suv yoki gaz (vodorod, havo) kabi suyuqlik pompalanadi, bu kanalning ichki yuzasidan issiqlik energiyasini tanlashni va umuman simni sovutishni ta'minlaydi. Bunday holda, biz kanal sirtini majburiy konvektiv sovutish bilan shug'ullanamiz, buning uchun biz yuqorida (67) oqlangan uchinchi turdagi chegara holatidan foydalanishimiz mumkin. Agar silindrsimon koordinata tizimining o'qini simning o'qi bilan birlashtirsak, u holda harorat faqat radial koordinataga bog'liq bo'ladi. Ushbu holat uchun statsionar issiqlik tenglamasining umumiy integrali biz tomonidan ilgari olingan
Issiqlik chiqarish quvvatining hajm zichligi Joule-Lenz qonunidan topiladi: j- oqim zichligi, σ - elektr o'tkazuvchanligi,
qayerda R- sim kesimining radiusi, a- sovutish kanalining radiusi. Tel tashqi tomondan izolyatsiya qatlamlari bilan o'ralgan bo'lib, u o'tkazgich bilan solishtirganda nisbatan past issiqlik o'tkazuvchanligiga ega. Shuning uchun, birinchi yaqinlashishda biz simning tashqi yuzasini issiqlik izolyatsiyasi sifatida qabul qilamiz, ya'ni undagi issiqlik oqimi.
Sovutish kanalining yuzasida issiqlik oqimi uchinchi turdagi holat bilan belgilanadi
issiqlik uzatish koeffitsienti qayerda, sovutish oqimining harorati. O'ng tarafdagi minus belgisi kanalning ichki yuzasiga normal o'qga teskari yo'nalishda yo'naltirilganligi sababli olinadi.
Yozma chegara shartlarining birinchisiga harorat (76) ifodasini qo‘yib, hosil bo‘lamiz
qayerda. Ikkinchi chegara sharti beradi
qayerdan topamiz
Biroq, (76) dan
Oxirgi ikkita ifodani taqqoslab, biz topamiz
Topilgan konstantalarni umumiy yechimga (76) va o'zgartirishlarga almashtirib, olamiz
Olingan eritmadan sim qismining chegaralaridagi harorat formulalar bo'yicha hisoblanadi
Parametrlarga ega sovutish kanali bo'lgan sim uchun uchastka radiusi bo'ylab haroratni taqsimlash: A, Vt / mK, 
1/Ohm m, o C, mm, sm shaklda ko'rsatilgan. 41, b.
Anjirdan. 41, b Bundan kelib chiqadiki, sim kesimida harorat o'zgarishi uning o'rtacha qiymatiga nisbatan nisbatan kichik bo'lib, bu yuqori issiqlik o'tkazuvchanligi bilan izohlanadi. λ va simning nisbatan kichik tasavvurlar o'lchamlari.
Bir-biri bilan aloqa qiladigan alohida bo'limlardan iborat bo'lgan sim bo'ylab haroratni taqsimlashda boshqa holat yuzaga keladi. Bog'langan o'tkazgichlar orasidagi kontaktlarning sifati yomonlashishi simning o'zi bilan solishtirganda ikkita simning birlashmasida issiqlik hosil bo'lishining oshishiga olib keladi. Termal tasvirlar yoki pirometrlar yordamida sim haroratini masofadan o'lchash kontaktli ulanishlar sifatini diagnostika qilish imkonini beradi.Buzuq kontakt mavjudligida sim bo'ylab harorat taqsimotini hisoblaylik. Oldingi misol shuni ko'rsatdiki, hatto eng og'ir sharoitlarda ham, sim qismidagi harorat o'zgarishi juda kichik. Shuning uchun, bizning hisob-kitobimiz uchun, birinchi taxminiy xulosada, sim kesimidagi harorat taqsimoti bir xil deb taxmin qilishimiz mumkin. Tel bo'ylab issiqlik hosil bo'lishining taqsimlanishi taqsimotga bog'liq elektr qarshilik sim bo'ylab, kontaktdan bir xil bo'lgan va yaqinlashganda ortib boradi. Dekart koordinata tizimining o'qini simning o'qi bilan va koordinatalarning kelib chiqishini - kontakt maydonining markazi bilan birlashtiramiz (42-rasm). Qarshilikni sim bo'ylab taqsimlash modeli sifatida chiziqli qarshilikning quyidagi taqsimotini olamiz
bu erda, kontakt maydonining chiziqli hajmini tavsiflovchi parametr. Tel uzunligi birligiga issiqlik tarqalish quvvati . Hajm birligi uchun issiqlik chiqarish quvvati
qayerda S- simning kesimi. Tel, uning yuzasidan tabiiy konvektsiya bilan sovutiladi. Tel uzunligi birligiga to'g'ri keladigan konvektiv issiqlik oqimi
qayerda α - issiqlik uzatish koeffitsienti, - atrof-muhit havosi harorati, p- sim qismining perimetri. Supero'tkazuvchilar hajmi birlik uchun atrof-muhitga issiqlik uzatish bo'ladi
Sim bo'ylab statsionar harorat taqsimoti issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasiga bo'ysunadi
Olingan tenglamani keyingi o'zgartirishlar uchun biz sim bo'ylab issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti konstantasini olamiz, yuqoridagi ifodalarni va o'rniga, shuningdek, kerakli funktsiya o'rniga qo'yamiz. T olaylik:
chiziqli bir hil bo'lmagan holatga kelamiz differensial tenglama
Olingan tenglamaning yechimini umumiy yechim yig‘indisi ko‘rinishida izlaymiz bir jinsli tenglama
va o'ng tomon ko'rinishidagi ma'lum bir yechim
.
Issiqlik tenglamasini hosil qilish
Bir hil jismni tasavvur qiling va undan yon tomonlari bo'lgan elementar hajmni ajratib oling (1-rasm).
Shakl 1. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nazorat hajmi
Sirtlarga perpendikulyar joylashgan kiruvchi issiqlik oqimlari, deb belgilanadi. Qarama-qarshi yuzalardagi oqimlarni Teylor qatoridan ifodalash mumkin:
   |
Tananing ichida issiqlikning ichki manbalari ham bo'lishi mumkin, agar lavabolar mavjud bo'lsa, agar:
Ichki energiyaning o'zgarishi:
Olingan tenglamaga (1.1.1) tenglamalarni almashtiramiz (1.1.5):
Ularni (1.1.6) tenglamaga qo'yib, biz uch o'lchamli bo'shliq uchun umumiy shaklda issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini olamiz:
Biz issiqlik tarqalish koeffitsientini kiritamiz:
va ichki issiqlik manbalaridan voz keching. Biz issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini olamiz uch o'lchovli fazo ichki issiqlik manbalarisiz:
O'ziga xoslik shartlari
Tenglama (1.1) jarayonni umumiy ma'noda tavsiflaydi. Uni muayyan muammoga qo'llash uchun o'ziga xoslik shartlari deb ataladigan qo'shimcha shartlar talab qilinadi. Bu shartlarga geometrik (tananing shakli va o'lchamlari), fizik (tananing fizik xususiyatlari), vaqtinchalik (haroratning boshlang'ich taqsimoti) va chegara sharoitlari (issiqlik almashinuvi jarayonini tavsiflash) kiradi. muhit).
Chegaraviy shartlarni uchta asosiy turga bo'lish mumkin:
1. Dirixle chegara shartlari: chegaradagi funksiyaning qiymati berilgan.
Issiqlik o'tkazuvchanligi muammosi bo'lsa, tana yuzasida harorat qiymatlari o'rnatiladi.
2. Neyman chegara shartlari: chegaradagi funksiyaning normal hosilasi berilgan.
Tana yuzasida issiqlik oqimining zichligini o'rnating.
3. Robin chegara shartlari: berilgan chiziqli birikma funktsiyaning qiymatlari va uning chegaradagi hosilasi.
Nyuton-Rixman qonuni bo'yicha tananing yuzasi va atrof-muhit o'rtasidagi issiqlik almashinuvini tasvirlab bering.
Bu ishda qolgan chegara shartlarini amalga oshirishning murakkabligi tufayli faqat Dirixlet chegara shartlaridan foydalaniladi.