Acţiunea forţei de răsucire a inerţiei explică erodarea malului drept al râurilor din emisfera nordică (legea lui Bahr) La fel explică uzura mai mare a şinei drepte a căilor ferate cu două căi din această emisferă.

Pochozhich că trenul se deplasează de-a lungul meridianului din emisfera nordică (Fig. 123, a) Apoi viteza de-a lungul meridianului v poate fi descompusă în două componente: una (r^) este paralelă cu axa pământului, a doua (r> ,) este perpendiculara pe aceasta Directia si valoarea componentei vitezei r>c nu se va modifica datorita rotatiei Pamantului, prin urmare, aceasta componenta nu este legata de fortele de inertie.Acelasi lucru se va intampla si cu cea de-a doua componenta. ,

la fel ca în cazul vitezei unui corp care se deplasează de-a lungul razei unui disc rotativ. Prin urmare, forța de inerție va acționa asupra trenului

FK \u003d 2tsh1 \u003d 2mm sin f, (49 1)

unde tn este masa trenului, a (p este latitudinea). uzura șinei drepte x) poate fi văzută numai pe șină dublă căi ferate, unde mișcarea de-a lungul acestei piste

Rețineți că forța de rotație a inerției există și atunci când trenul se mișcă și nu de-a lungul meridianului. De fapt, chiar și atunci când se deplasează de-a lungul paratelului (Fig. 124), acesta va avea o accelerație de rotație 2coi îndreptată spre axa de rotație dacă trenul se deplasează spre est, și departe de axa de rotație - când se deplasează spre vest. Prin urmare, există o forță de inerție

FK = 2mcoy, (49 2)

direcționat de pe axa Pământului (sau către axa acestuia); proiecția acestei forțe pe un plan orizontal este egală cu

FK sin f = 2mva sin f, (49.3)

adică aceeași valoare ca atunci când se deplasează de-a lungul meridianului și este, de asemenea, direcționată spre dreapta în raport cu mișcarea trenului.

Același lucru trebuie spus și despre estomparea malurilor râului: estomparea malului drept în emisfera nordică (stânga - în sud) are loc indiferent de direcția curgerii râului.

Cititorul este invitat să analizeze în mod independent următoarea întrebare: apare forța de viraj a inerției atunci când trenurile se deplasează de-a lungul terenului în apropierea ecuatorului și afectează uzura șinei acolo?

Pe drumurile din emisfera sudică - stânga.

Dacă mișcarea unui corp în cădere liberă este legată de cadrul de referință asociat Pământului, atunci în timpul căderii corpului acţionează trei forţe asupra acestuia, forţa gravitaţională şi două forţe de inerţie, centrifuge şi rotative. forțele la căderea de la o înălțime mică (comparativ cu raza Pământului) vor fi mici. Accelerația centrifugă este

(2~t)2 6400 Yuz CO2/? cos 242 363 10* C0S F M/,°2 "" cos F m/s2"

unde si - viteză unghiulară rotația Pământului, R - raza Pământului, f - latitudinea La ecuator, accelerația centrifugă este de aproximativ 0,3% din accelerația gravitației, prin urmare, cu un calcul aproximativ al influenței schimbării g)

Vedere din stâlp

poate fi neglijată forța centrifugă cu înălțimea căderii.Mult mai vizibilă este influența forței de întoarcere, care va face ca corpul în cădere să devieze spre est. Deviația unui corp în cădere spre est poate fi pur și simplu imaginată „deoarece corpul din punctul de sus din cauza rotației Pământului are o viteză mai mare (față de sistemul de coordonate nerotitor asociat cu centrul Pământului) decât locul pe care cade, presupunând că viteza de cădere a corpului<о в первом приближении направ­лена вниз и величина ее равна gt, как при падении на невращающейся Земле (t -» время падения)

Forța centrală de inerție este egală cu -2t [<ог>], sau aproximativ valoarea sa corespunde lui 2tsh1 cos f. Prin urmare, accelerația spre est a corpului care căde este aproximativ egală cu

a = 2tog^ cos f. (49 5)

Integrând accelerația de două ori, obținem că valoarea deplasării corpului care cade spre est este aproximativ egală cu 3)

5 \u003d 4 "SchR cos f.

J) Rețineți că este important pentru noi să cunoaștem schimbarea forței centrifuge cu înălțimea și nu mărimea acestei forțe în sine

t t t

2) s = | JK dt, unde wK = ij a dt = 2a>g cos

În acest calcul, am presupus că forța Coriolis a fost întotdeauna îndreptată spre est și am neglijat schimbarea direcției vitezei v și, prin urmare, schimbarea direcției forței de întoarcere. 80 m) corpul se va deplasa către la est cu aproximativ 3 cm Experimentele atente în care au fost verificate deplasările spre est confirmă rezultatele calculelor

Aceste fapte oferă o dovadă mecanică a rotației Pământului. Ei arată că cadrul de referință asociat Pământului este un cadru de referință non-inerțial; numai în acele cazuri când forțele care acționează asupra corpului sunt mult mai mari decât forțele de rotație și centrifuge de inerție, putem considera aproximativ cadrul de referință asociat Pământului ca fiind inerțial.

Rețineți că forța centrifugă de inerție are o anumită direcție și magnitudine într-un loc dat, indiferent de mișcarea corpului, deci se manifestă și este de fapt luată în considerare împreună cu forța gravitațională care acționează asupra corpului. Prezența forței centrifuge de inerție din cauza rotației Pământului duce la faptul că forța gravitațională a corpului și forța greutății corpului sunt în general diferite; ele diferă prin valoarea forței centrifuge de inerție. într-un loc dat (Fig. 125, a).

Aici vorbeam doar despre rotația zilnică a Pământului în jurul axei sale. Este ușor de observat că influența forțelor de inerție care decurg din rotația Pământului în jurul Soarelui va fi incomparabil mai mică. Evident, forța de rotație a inerției va fi de aproximativ 360 de ori mai mică decât forța de rotație a inerției din cauza rotației zilnice a Pământului. Forța centrifugă de inerție datorată rotației în jurul Soarelui va fi de aproximativ 0,2 din forța centrifugă datorată rotației zilnice la ecuator.

Când corpurile se deplasează în apropierea suprafeței Pământului, forțele inerțiale asociate cu rotația Pământului în jurul Soarelui și forțele de atracție

corpurile către Soare se compensează practic reciproc și, în majoritatea cazurilor, pot să nu fie luate în considerare deloc. Pentru a arăta acest lucru, notăm ecuația completă a mișcării unui punct material de masă m în spațiul apropiat Pământului. Să luăm centrul de masă al Pământului ca început al sistemului de referință non-inerțial (Fig. 125, b):

tMg> tMg „ „ _

mr^-y-^r-y-^R-mao + Ft + FM. (49,6)

Aici, în ordinea succesiunii, sunt scrise: forța de atracție a unui punct material m de către Pământ; forța atracției sale de către Soare; forța de inerție care decurge din mișcarea Pământului în jurul Soarelui pe o orbită eliptică; Forța de inerție Coriolis și forța de inerție centrifugă.

Accelerația a0= - y-w-Ro este raportată la centrul de masă al Pământului

forța sa de atracție față de soare. Distanța de la Pământ la Soare R0 da 1,5-108 km.

O comparație numerică a termenilor reprezentând în ecuația (49.6) forța de inerție asociată cu denivelarea mișcării orbitale a cadrului de referință și forța de atracție a unui punct material de către Soare, arată că acestea se compensează reciproc cu precizie. Prin urmare, contribuția lor totală la ecuația (49.6) poate fi considerată egală cu zero.

Într-adevăr, = 10~4 și R - R0-\-rp&R0. De aici

urmează că

Denumirea, după cum s-a indicat mai sus (vezi Fig. 125, a), a sumei forțelor de atracție ale corpului de către Pământ și a forței centrifuge cu greutatea corpului P peste un punct dat de pe suprafața pământului, ecuația (49.6). ) se poate scrie sub următoarea formă:

mf=P+FK==mgr9-2m[(o©OTH], (49,7)

unde gb este P/m. Ecuația (49.7) descrie mișcarea corpurilor în spațiul apropiat de Pământ în raport cu sistemul de referință asociat Pământului.

Astfel, doar aproximativ unul poate considera cadrul de referință legat de Pământ ca fiind inerțial.

Omul de știință francez Foucault, observând oscilațiile pendulului, a demonstrat rotația lui Zemchi (1852).

pendulul se va întoarce încet în direcția opusă rotației Pământului.Această rotație a planului de oscilații se vede dacă observăm urma oscilațiilor unui pendul suspendat deasupra unui disc rotativ (Fig. 126) Dacă facem pendulul vibrați într-un anumit plan și apoi aduceți discul în rotație, apoi nisipul care se revarsă din pâlnia pendulului, care este suspendată în loc de încărcare, ne va arăta urma mișcării pendulului deasupra discului.

Într-un cadru de referință fix, nu există forțe care să determine pendulul să-și schimbe planul de oscilație și îl va menține neschimbat în spațiu, în timp ce discul (sau Pământul) se rotește sub el. Este evident că planul de oscilație. a pendulului de la pol se va roti cu viteza unghiulară de rotație a Pământului.(15 ° pe oră) Dacă atribuim oscilațiile pendulului de la pol sistemului de coordonate asociat Pământului, atunci rotația planului de oscilație. poate fi imaginat ca rezultat al forței Coriolis. Într-adevăr, este perpendicular pe viteza de rotație și se află tot timpul în plan orizontal. Această forță este proporțională cu viteza de mișcare i a pendulului și cu viteza unghiulară de rotație a Pământului și este dirijată în așa fel încât acțiunea sa transformă traiectoria în direcția corectă.

Urma pendulului pe Pământ va fi diferită în funcție de modul în care facem pendulul să oscileze.Traiem traseul pendulului pe un disc rotativ (vezi Fig. 126) cu două moduri de pornire a pendulului.la în momentul lansării pendulului, pâlnia va primi aceeași viteză ca și punctul discului deasupra căruia se află, urma traiectoriei va fi un „asterisc” (Fig. 127, a) Traiectoria la polul pământului va fie aceeași dacă pendulul este lansat dintr-o poziție deviată

Altă dată, vom face pendulul să oscileze cu un disc staționar, iar apoi discul se va roti.În acest caz, traiectoria este o „rozetă”> (Fig. 127, b) Pe Pământ, o astfel de formă a traiectoriei va fi în cazul în care pendulul oscilează după o lovitură puternică la

greutatea de repaus. În ambele cazuri, traiectorii se îndoaie în aceeași direcție sub acțiunea forței Coriolis.

Astfel, atunci când pendulul oscilează la pol, urma traiectoriei pendulului se va îndoi și, în consecință, planul de oscilație se va roti treptat sub acțiunea forței Coriolis.

care se află tot timpul într-un plan orizontal și este întotdeauna îndreptată spre dreapta de-a lungul greutății.

Experiența lui Foucault poate fi observată și în sala de clasă, ar trebui realizat doar un dispozitiv care să numere rotația traiectoriei pentru timpul până când oscilațiile pendulului sunt amortizate. Pentru experiență, faceți lungimea pendulului cât mai mare posibil,

pentru a crește perioada oscilațiilor sale; atunci procesul de oscilații va dura mai mult și Pământul în acest timp se va muta la un unghi mai mare.

Pentru a marca unghiul de rotație al traiectoriei la pornire, pendulul este pus să oscileze în planul fasciculului de lumină care vine de la o sursă punctuală către ecran, astfel încât la început doar o linie de umbră fixă ​​clară din suspensie. firul este vizibil pe ecran în timpul oscilațiilor. După ceva timp (5-10 minute) planul oscilațiilor se va întoarce, iar deplasările umbrei din fir vor fi vizibile pe ecran.

Pentru a determina unghiul de rotație al planului de oscilație al pendulului, sursa de lumină este deplasată în lateral până când o umbră clară și nemișcată din fir este din nou vizibilă. Măsurând deplasarea umbrei firului și distanța de la fir la ecran, ei găsesc unghiul cu care s-a întors planul de oscilații într-un timp dat. Experiența arată că viteza unghiulară de rotație a planului de oscilație al pendulului este egală cu

cu sin f \u003d 15 sin<р град/ч,

unde f este latitudinea locului (Fig. 128). Rotația în jurul verticalei la latitudinea φ nu va avea loc cu o viteză unghiulară co, ci cu o viteză unghiulară egală cu proiecția to a vectorului pe verticală, adică viteza unghiulară de rotație va fi egală cu sin φ.

Scăderea vitezei unghiulare de rotație a planului de oscilație poate fi explicată și prin faptul că proiecția forței Coriolis pe planul orizontal la o anumită locație va diferi cu un factor sin f de valoarea sa la pol. Într-adevăr, rotația planului de balansare va provoca doar această proiecție. Forța Coriolis care acționează asupra greutății pendulului într-un loc dat se află într-un plan perpendicular pe<а и v, и пропорциональна синусу угла между ними. Только в том случае, когда вектор v лежит в плоскости меридиана, кориолисова сила направлена горизонтально; при всех других направлениях эта сила не лежит в горизонтальной плоскости.

Globul face o mișcare complexă: se rotește în jurul axei sale, se mișcă pe orbită în jurul Soarelui. Este destul de clar că Pământul nu este un cadru de referință inerțial. Cu toate acestea, folosim cu succes legea lui Newton în condiții terestre. Cu toate acestea, într-un număr de cazuri, natura non-inerțială a Pământului afectează destul de puternic. Aceste cazuri trebuie să le studiem.

Influența rotației Pământului asupra formei sale. Greutate corporala.

Dacă nu luăm în considerare rotația Pământului, atunci corpul aflat pe suprafața sa ar trebui considerat ca oscilant.

Suma forțelor care acționează asupra acestui corp ar fi atunci egală cu zero. De fapt, orice punct de pe suprafața globului, situat la latitudinea geografică, se deplasează în jurul axei globului, adică într-un cerc de rază, raza Pământului, considerată în prima aproximare ca o minge), cu o viteză unghiulară. Prin urmare, suma forțelor care acționează în acest punct, diferită de zero, este egală cu produsul dintre masă și accelerație și este direcționată de-a lungul

Evident, prezența unei astfel de forțe rezultate (Fig. 13)

posibil numai dacă reacția suprafeței pământului și forța gravitațională sunt direcționate în unghi una față de cealaltă. Atunci corpul va apăsa pe suprafața Pământului (conform legii a treia a lui Newton) cu o forță.Dacă globul ar fi în repaus, atunci această forță ar fi egală cu forța gravitației și ar coincide cu ea în direcție.

Să descompunăm forța în două: direcționată de-a lungul razei și de-a lungul tangențialei Prezența rotației Pământului duce, după cum vedem din desen, la două fapte. În primul rând, greutatea (presiunea corpului pe Pământ) a devenit mai mică decât forța gravitației. Întrucât această scădere este egală cu În al doilea rând, apare o forță care tinde să aplatizeze Pământul, să deplaseze materia către ecuator; această forță. O astfel de aplatizare a avut loc de fapt; Pământul nu are forma unei bile, ci o formă apropiată de un elipsoid de revoluție. Ca urmare a acestei acțiuni, raza ecuatorială a Pământului devine cu aproximativ o fracțiune mai mare decât raza polară.

Forțele de aplatizare au forțat masele globului să se miște până când a căpătat o formă de echilibru. Când procesul de deplasare s-a încheiat, forțele de aplatizare aparent au încetat să mai acționeze. În consecință, forțele de presiune care acționează pe suprafața „globului” terestre sunt direcționate de-a lungul normalului la suprafață.

Să revenim acum la mărimea presiunii corpului asupra solului, adică la acea mărime fizică, care se numește în mod obișnuit greutate. Calculul făcut pentru o minge (forța gravitației minus, desigur, este nedrept pentru cifra adevărată a Pământului. Cu toate acestea, pentru calcule aproximative, acest rezultat poate fi folosit.

La pol, greutatea corpului este egală cu forța gravitației. Se notează prin forța gravitațională a corpului la pol. Atunci presiunea corpului pe suprafața pământului în orice punct de pe glob, cu alte cuvinte, greutatea corpului, va fi egală, după cum sa menționat mai sus, cu diferența dintre forța gravitațională și forța, adică.

1

Bairashev K.A.

O soluție exactă la problema influenței rotației Pământului asupra mișcării unui punct material din emisfera nordică se obține fără a lua în considerare rezistența aerului în condiții inițiale diferite de zero. Sunt luate în considerare mai multe opțiuni specifice pentru setarea vitezei inițiale a punctului. Se arată că, cu viteza inițială îndreptată spre est, deviația punctului spre sud este proporțională cu prima putere a vitezei unghiulare de rotație a Pământului. Când viteza inițială este îndreptată spre nord sau de-a lungul unui plumb în jos, abaterea punctului spre est este mai mare decât atunci când căderea fără o viteză inițială. Soluția obținută în lucrare poate fi aplicată pentru a evalua influența rotației planetelor sistemului solar asupra mișcării unui punct material din apropierea suprafețelor acestora.

1. Se are în vedere problema influenței rotației Pământului asupra căderii unui punct material greu din emisfera nordică, cunoscută și sub denumirea de problema devierii corpurilor în cădere spre est. Mișcarea unui punct este determinată în raport cu un cadru de referință neinerțial Оxyz, fixat pe Pământul în rotație. Originea coordonatelor este în general situată la o anumită înălțime deasupra suprafeței sferice a Pământului.

Axa Oz este îndreptată în jos de-a lungul liniei plumb, axa Оx - în planul meridian la nord, axa Оy - de-a lungul paralelei la est (Fig. 1).

Când un punct material se mișcă în apropierea suprafeței Pământului, este afectat de forța gravitațională, de forțele de inerție portabile și Coriolis. Rezistența aerului nu este luată în considerare. Înlocuirea sumei forței gravitaționale și a forței de inerție portabilă cu gravitația și a forței de inerție Coriolis cu formula

Avem următoarea ecuație pentru mișcarea relativă a unui punct material în formă vectorială

(1)

Aici m, și, respectiv, masa, viteza și accelerația punctului M, este vectorul vitezei unghiulare al Pământului, este accelerația gravitației.

Rețineți că viteza unui punct de cădere liberă M, începând să se deplaseze dintr-o stare de repaus relativ, este aproape paralelă cu plumbul. Prin urmare, forța de inerție Coriolis este aproape perpendiculară pe planul meridianului și este îndreptată spre est.

Proiectând (1) pe axele de coordonate și urmând , obținem un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul 2

(2)

unde punctele de pe x, y, z înseamnă derivatele lor temporale, φ este latitudinea geografică a locului, adică. unghiul plumbului cu planul ecuatorului. Condițiile inițiale sunt următoarele:

acestea. în momentul inițial de timp, punctul este în repaus relativ. În cursurile de mecanică teoretică se oferă de obicei o soluție aproximativă a problemei influenței rotației Pământului asupra căderii unui punct material fără viteză inițială. În cartea academicianului N.A. Kilchevsky, soluția exactă a sistemului de ecuații este dată, coincizând cu (2) până la semne, în condiții inițiale zero (3). În această lucrare, se obține o soluție exactă a sistemului (2) pentru condiții inițiale diferite de zero (vezi Secțiunea 4.). Problema (2) - (3) este rezolvată preliminar (vezi punctul 2.).

2. Integrând fiecare dintre ecuațiile sistemului (2), găsim

Ținând cont de (3), obținem valorile constantelor de integrare: c 1 = c 2 = c 3 = 0.

Exprimând din (4) în termeni de yși substituind în a doua ecuație a sistemului (2), avem

(5)

Ecuația diferențială (5) este una liniară neomogenă. Prin urmare, decizia lui

y = +Y,

unde este soluția generală a unei ecuații omogene, Y este o soluție particulară a unei ecuații neomogene. Rădăcinile ecuației caracteristice

pur imaginar Prin urmare, soluția generală a ecuației omogene

în funcție de două constante de integrare , se poate scrie sub forma

Soluție privată

unde A și B sunt coeficienți nedefiniti. Înlocuirea părții drepte a lui (6) în (5)

ținând cont că obținem

Reducand cu 2ω si egaland intre ei coeficientii la primele puteri ale lui t si termenii liberi, gasim

Astfel, soluția generală este

Satisfacand conditia initiala y 0 = 0, obtinem c 1 * = 0. Conditia da

Prin urmare,

(7)

De remarcat că în expresia pentru y conține o greșeală de tipar - în al doilea termen, coeficientul din numitor la ω 2 este egal cu unu.

Înlocuind partea dreaptă a lui (7) în loc de y în prima și a treia ecuație a sistemului (4), integrând și îndeplinind condițiile inițiale X 0 = z 0 = 0, obținem

Deoarece orientarea axelor Xși z este opus celui adoptat în , formulele (8)-(9) diferă în semne de formulele corespunzătoare derivate de N.A. Kilcevski.

Scăzând expresia (8) din (9) pentru , avem

Diferențiând în funcție de timp, obținem

Pe baza (8), este ușor de demonstrat că pentru un punct în mișcare, deci, inegalitatea

(11)

În consecință, luând în considerare forța de inerție Coriolis, viteza verticală de cădere a unui punct este mai mică decât fără a o lua în considerare. Cu alte cuvinte, neglijarea rotației Pământului supraestimează viteza verticală a căderii unui punct în comparație cu viteza reală în vid. Această concluzie, care este doar de interes teoretic, este valabilă pentru toți φ din interval.De exemplu, diferența de distanțe parcurse de un punct în 10 s de cădere fără a lua în considerare și ținând cont de rotația Pământului la o latitudine de φ=450 nu depăşeşte 5 . zece -5 m, adică valoarea este neglijabilă.

3. Scriem rezolvarea problemei (2)-(3) sub forma unor serii convergente. Să folosim expansiuni

Înlocuind părțile corecte ale acestor formule în (7)-(9), după transformări obținem

Presupunând în (12) ω=0, avem x=y=0. Același rezultat poate fi obținut din (7)-(9) la ω→0.

,

Rezolvarea problemei (2), (13) poate fi obținută prin metoda descrisă în detaliu în Secțiunea 2. În cazul condițiilor inițiale diferite de zero, calculele sunt mai greoaie, deci sunt omise aici. Soluția arată ca

Înlocuirea în (2) a derivatelor corespunzătoare obținute din (14) arată că fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o identitate. Condițiile inițiale (13) sunt, de asemenea, exact îndeplinite. Se presupune că există o soluție unică la problema Cauchy pentru sistemul (2). Strict vorbind, soluția (14) ar trebui să fie de acord cu datele experimentale numai într-o astfel de vecinătate a punctului inițial M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) , unde valorile latitudinii geografice și ale accelerației gravitației diferă puțin de cele din acest punct de plecare. Pentru a extinde domeniul soluției, este posibil să se organizeze o procedură iterativă pas cu pas, dependentă de timp, introducând corecții în (14) la următorul pas de timp care iau în considerare modificările. φ , gși luând pentru condițiile inițiale valorile corespunzătoare calculate la pasul anterior.

Este ușor de observat că pentru de la (14) urmează egalități (7) - (9). Dirijarea ω la zero (ω → 0), din (14) se poate obține o soluție a problemei în condiții inițiale diferite de zero fără a lua în considerare rotația Pământului:

În acest caz, traiectoria punctului este o curbă plată - o parabolă, deci două ecuații sunt de obicei suficiente.

5. Luați în considerare încă șase opțiuni pentru specificarea condițiilor inițiale, în toate, pentru simplitate, presupunem x0 = y 0 =z 0 = 0.

Opțiunea I. Lăsați , i.e. viteza inițială este îndreptată spre est. Apoi, forța de inerție Coriolis, care acționează asupra punctului în momentul inițial de timp, se află în planul paralelei și este direcționată din axa de rotație a Pământului. Din (14), urmând abordarea punctului 3., lăsând în mod explicit doar primii termeni ai seriei, obținem

Punctul deviază spre est și spre sud (sud-est).Formula (15) arată că abaterea traiectoriei punctului spre sud este proporțională cu primul grad al vitezei unghiulare. ω . De exemplu, când t = 10c este egală cu aproximativ 5 cm.În absenţa unei viteze iniţiale, deviaţia traiectoriei punctului spre sud datorită rotaţiei Pământului este proporţională cu pătratul vitezei unghiulare. Acest rezultat binecunoscut rezultă din formula pentru x în sistemul (12).

Opțiunea II. Să , adică viteza inițială a punctului este îndreptată spre nord, prin urmare, forța de inerție Coriolis care acționează asupra punctului material la t=0 este îndreptată spre est. Efectuând aceleași calcule ca în cazul precedent, avem

Punctul deviază spre nord și spre est (nord-est). Din formula (19) se poate observa că există doi termeni pozitivi proporționali cu prima putere a vitezei unghiulare ω, iar al doilea termen apare datorită vitezei inițiale îndreptate spre nord. Prin urmare, abaterea spre est este mai mare decât atunci când un punct cade într-un gol fără viteza inițială. Această concluzie se face ținând cont de faptul că viteza unghiulară de rotație a Pământului este mică în comparație cu unitatea. Prin urmare, termenii care conțin ω la o putere mai mare decât a doua pentru mic t iar υ 0 poate fi neglijat.

Opțiunea III. Să , adică viteza inițială este direcționată în jos pe plumb. Forța de inerție Coriolis este îndreptată spre est pe toată perioada de cădere a punctului. Soluția obținută similar celor două opțiuni anterioare are forma

Din (21) se poate observa că abaterea punctului spre sud este neglijabil de mică. Formula (22) arată că, ca și în versiunea anterioară, deviația punctului spre est este mai mare decât la cădere fără o viteză inițială.

Opțiunea IV. Lasa acestea. viteza inițială este îndreptată spre vest. Forța de inerție Coriolis la t = 0 se află în planul paralelei și este direcționat către axa de rotație a Pământului. Soluția este dată de formulele (15 - 17) ținând cont de semnul negativ . Dacă suma primilor doi termeni din (16) este negativă, punctul se abate în momentul de timp considerat spre vest și nord (nord-vest), dacă este pozitiv, atunci spre nord și est (nord-est). Pentru ca acest din urmă caz ​​să aibă loc, căderea liberă a punctului este necesară pentru o perioadă de timp relativ lungă. De exemplu, când g = 9,81 Domnișoară punctul trebuie să scadă peste 77 cu, adică de la o înălțime mai mare de 29,1 km. Punctul începe să cadă în direcția vest, sub influența forței de inerție Coriolis, se întoarce spre dreapta, traversează planul meridian și își schimbă direcția spre nord-est.

unde semnele plus și minus sunt alese în același mod ca în (24) și (25).

Opțiunea V. Let acestea. viteza inițială este îndreptată spre sud. Forța de inerție Coriolis la t=0îndreptată spre vest. Soluția este dată de formulele (18) - (20) ținând cont de semn .

Opțiunea VI. Punctul este aruncat vertical în sus: . Forța de inerție Coriolis atunci când punctul este ridicat este aproape perpendiculară pe planul meridianului și este îndreptată spre vest. Formulele (21) - (23) pot fi folosite ca soluție, dar trebuie să țineți cont de faptul că trebuie îndeplinite condițiile .

În această lucrare, sa presupus, așa cum este de obicei acceptat, că punctul este situat în emisfera nordică. Este posibil să se rezolve în mod similar problema mișcării unui punct material într-un gol lângă suprafața Pământului în emisfera sudică.

În cele din urmă, observăm că formulele (14) - (23) pot fi aplicate pentru a evalua influența rotației planetelor Sistemului Solar asupra mișcării unui punct material din apropierea suprafețelor lor.

BIBLIOGRAFIE

1. Kilchevsky N.A. Curs de mecanică teoretică, vol. I (cinematică, statică, dinamică a punctelor). - Ed. a II-a. - M.: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1977.
2. Probleme și exerciții de analiză matematică. Editat de Demidovich B.P. - M.: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1978. - 480 p.

Link bibliografic

Bairashev K.A. DESPRE PROBLEMA INFLUENȚEI ROTAȚIEI PĂMÂNTULUI ASUPRA MIȘCĂRII UNUI PUNCT MATERIAL // Cercetare fundamentală. - 2006. - Nr. 10. - P. 9-15;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5388 (data accesului: 15/01/2020). Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”

Ministerul Educației al Federației Ruse. Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

„UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT SAMARA”

Departamentul „MECANICA”

DINAMICA MIȘCĂRII RELATIVE A UNUI PUNCT MATERIAL

Acest manual este inclus într-o serie de manuale electronice de mecanică teoretică, elaborate la Departamentul de Mecanică a Universității Tehnice de Stat Samara.

Manualul este destinat studiului independent de către studenți a temei „Dinamica mișcării relative a unui punct material”.

Cap Catedra - Doctor în Științe Tehnice, prof. Ya.M.Klebanov, Dezvoltatori - L.B.Chernyakhovskaya, L.A.Shabanov.

Samara - 2008.

Mișcare portabilă, relativă și absolută.

Luați în considerare mișcarea punctului M în raport cu două cadre de referință, unul

	dintre care O 1 x 1 y 1 z 1 se deplasează în raport cu un altul, staționar,
	Citirea Oxyz (Fig. 1).
	Relativ			numit
	mişcare		M relativ
	cadru de referință în mișcare O 1 x 1 y 1 z 1 .
	portabil			numit
	mişcare,	comis		mobil
	sistem
	invariabil	legate de
	puncte de spațiu relativ la
	cadru fix de referință.
	Absolutul se numește
	mișcarea punctului față de x 1

la un cadru de referinţă fix O 1 x 1 y 1 z 1 .

Toate caracteristicile cinematice legate de mișcarea relativă li se atribuie indicele r, caracteristicile cinematice ale mișcării portabile - indicele e.

Viteza relativă V r este viteza punctului în raport cu cadrul de referință în mișcare.

viteza portabila V e se numește viteza punctului respectiv, neschimbată

asociat cu un cadru de referință în mișcare, cu care punctul M coincide la un moment dat, raportat la cadrul de referință fix.

Viteza absolută V este viteza punctului în raport cu cadrul fix de referință. Ruda

accelerația a r , accelerația de translație a e și accelerația absolută a .

Teorema adiției vitezei.Într-o mișcare complexă, viteza absolută a unui punct este egală cu suma geometrică a vitezelor de translație și relative.

V = Ve + Vr

Teorema de adunare a accelerației . Cu o mișcare complexă, accelerația unui punct este egală cu suma geometrică a accelerațiilor portabile, relative și a accelerației Coriolis.

a = a e + a r + a c

Egalitatea rezultată exprimă teorema Coriolis:

Accelerația Coriolis este egal cu dublul produsului vectorial dintre viteza unghiulară portabilă și viteza relativă a punctului.

a c = 2 ω e × V r

Modulul de accelerație Coriolis este egal cu

și C \u003d 2ω e V r sinα,

unde α este unghiul dintre vectorii ω e şi V r .

Direcția a c se determină după regula generală

produs vectorial.

Accelerația Coriolis este zero în următoarele cazuri:

1) când ω e = 0, i.e. când mişcarea portabilă este

progresivă

2) când V r = 0 , i.e. în caz de repaus relativ,

3) când unghiul α = 0, i.e. în cazurile în care vectorii ω e şi V r

sunt paralele.

O legea principală a mișcării relative a unui punct material.

Luați în considerare mișcarea unui punct material în raport cu un sistem de coordonate non-inerțial, de ex. în raport cu un sistem de coordonate care se deplasează arbitrar în raport cu unul fix.

În cazul unei mișcări complexe a unui punct, accelerația absolută este determinată de teorema Coriolis:

Înmulțim egalitatea (1) cu masa unui punct material în mișcare:

m a = m a e + m a r + m a k .

Remarcam în egalitatea dobândită termenul care caracterizează mișcarea relativă a punctului material

ma r = ma − ma e − ma c

ma =

Unde

În conformitate cu a doua lege a lui Newton, înlocuim

rezultanta tuturor fortelor aplicate unui punct material.

Să introducem notația:

Ф e = − m a e ,

F c = − m a c .

m a r =

F e + F c

Vectorul Ф e = - m a e se numește forța de inerție portabilă, vectorul Ф c = - m a c - forța de inerție Coriolis.

Egalitatea (2) este legea de bază a mișcării relative a unui punct material:

În ceea ce privește un cadru de referință neinerțial (în mișcare), un punct material se mișcă ca și cum, pe lângă forța care acționează, i s-ar aplica o forță de inerție portabilă și forța de inerție Coriolis.

Vectorii Ф e și Ф с pot fi considerați modificări la legea a doua

Newton pentru un punct material, a cărui mișcare este considerată relativ la un cadru de referință non-inerțial.

Cazuri speciale.

unu . Lăsați cadrul de referință în mișcare în raport cu cadrul inerțial să se deplaseze înainte. În acest caz, viteza unghiulară

mișcarea portabilă ω e \u003d 0, prin urmare, accelerația Coriolis și forța de inerție Coriolis vor fi egale cu zero: a c \u003d 2 ω e × V r \u003d 0,

Ф c = −m a c = 0.

Legea mișcării relative a unui punct material (2) ia forma: m a r = F + Ф e

2. Lăsați cadrul de referință în mișcare să se deplaseze înainte în linie dreaptă și uniform. Cu o astfel de mișcare, a e = 0, prin urmare,

Ф e = − m a e = 0 . În plus, ω e \u003d 0, a c \u003d 0, Ф c \u003d - m a c \u003d 0. Atunci egalitatea (2) ia forma:

ma r = F

În consecință, legea de bază a mișcării relative a unui punct în acest caz coincide cu legea de bază a mișcării unui punct în raport cu

cadru inerțial de referință. De aici rezultă principiul relativității, descoperit de Galileo:

Niciun experiment mecanic nu poate detecta dacă un anumit cadru de referință este în repaus sau efectuează o mișcare de translație, uniformă, rectilinie în raport cu un cadru de referință inerțial (fix).

Astfel, toate cadrele de referință care se deplasează translațional, uniform și rectiliniu în raport cu cadrul inerțial, sunt inerțiale.

3. Condiția de echilibru relativ. În acest caz

V r = 0 și

a r \u003d 0, prin urmare, a c \u003d 2

ω e × V r

Фс = − m a с

Atunci ecuația (2) ia forma:

Ф e = 0

Această ecuație se numește ecuația echilibrului relativ al unui punct material.

Influența rotației Pământului asupra echilibrului corpurilor.

Luați în considerare forțele care acționează asupra unui punct material M suspendat pe un fir (Fig. 2) și în repaus față de Pământ.

Punctul M este afectat de forța de atracție F îndreptată spre centrul Pământului, forța de întindere a firului T și forța de transfer de inerție Ф e = − m a e , îndreptată în direcția opusă accelerației normale a punctului.

a e n , care la rândul său este îndreptată de-a lungul

raza de rotație OM = r față de axa de rotație a Pământului.

ae n = ω 2 OM = ω 2 r.

Când un punct este în echilibru pe suprafața Pământului, suma geometrică a forțelor aplicate punctului și forța de transfer a inerției este egală cu zero:

F + T + Fe = 0.

O M F e

ω F

C ψ ϕ m g

	direcția verticalei într-un punct dat de pe suprafața Pământului și planul,
	perpendicular pe forța T este un plan orizontal. Din
	egalitatea (2.5) rezultă că
	T \u003d - (F + Fe)
	Forța m g, egală în valoare absolută și îndreptată opus forței T,
	numită forța gravitației.
	mg = − T = F + Fe .
	Forța gravitațională este egală cu suma geometrică a forței gravitaționale
	și forța de inerție datorată rotației zilnice a Pământului.
	Astfel, la determinarea forței se ține cont de rotația Pământului
	gravitația, incluzând în ea forța portabilă a inerției.
	Modulul forței de inerție
	Fe \u003d mae n \u003d mω 2 r.
	Mărimea acestei forțe, având în vedere micimea valorii lui ω 2	foarte mic. Cel mai grozav
	valoarea forței F e pe care o are la ecuator și este acolo 0,034% din
	magnitudinea forței de atracție.
	Influența rotației Pământului asupra mișcării corpurilor în ea		suprafete
	Luați în considerare mișcarea unui punct material de-a lungul meridianului de la sud la nord
	(Fig. 3) și, întrucât forța de transfer a inerției este inclusă în forța gravitațională, atunci
	analiza impactul asupra acestei miscari
	Forța de inerție Coriolis. Accelerare
	Coriolis a C = 2 ω e × V r este îndreptat de-a lungul
	paralele la vest și forța de inerție Coriolis
	îndreptată în sens opus faţă de
	Est. Prin urmare, punctul material
	în timpul mișcării sale se va abate prin
	Est. Calculele arată că forța
	Inerția Coriolis este mică în comparație cu
	gravitația, deci majoritatea
	calcule de inginerie, unde viteza de mișcare
	mic, forța de inerție este neglijată și
	sistem conectat cu Pământul, luați în considerare
	inerțială. Cu toate acestea, luarea în considerare a rotației Pământului devine importantă în acestea
	cazurile în care mişcarea continuă mult timp şi acţiunea forţei
	Se acumulează inerția Coriolis. Această împrejurare explică de ce

că în emisfera nordică râurile erodează malul drept, în emisfera sudică, cel stâng. În mod similar, în emisfera nordică, atunci când se conduce pe o cale ferată, presiunea pe șina dreaptă este mai mare decât pe cea stângă.

Forța de inerție Coriolis trebuie luată în considerare și la tragerea la distanțe mari, de exemplu, la calcularea traiectoriilor rachetelor balistice intercontinentale.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme privind dinamica mișcării relative a unui punct material.

O bilă de masă m = 0,1 kg, atașată la capătul unui arc orizontal, al cărui coeficient de rigiditate este c = 2 N/m, se află într-un tub care se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω = 4 1/c în jurul verticalei. axa z1. Lungimea arcului neformat l0 = 0,2 m.

Determinați ecuația pentru mișcarea relativă a bilei, găsiți coordonatele acesteia, presiunea pe peretele tubului, precum și viteza absolută și accelerația absolută la momentul t = 0,2 s.

							Să legăm mobilul
				Fs			cadru de referință Oxyz cu
					Fe		tub rotativ,
							direcționând de-a lungul axei x
		ae n					tub și plasând începutul
							coordonatele în punctul O
							(fig.4), axa z este compatibilă cu
							axa de rotatie a tubului, axa
							vom cheltui
							perpendicular
							avionul Oxz.

Mișcarea mingii, luată ca punct material M, în interiorul tubului este relativă, portabilă - mișcarea de rotație a tubului în jurul axei Oz. asupra punctului acţionează forţa gravitaţiei m g , forţa elastică F şi reacţia peretelui tubului N.

Legea de bază a mișcării relative a unui punct:

ma r = mg + F + N + Fe + Fs , (a)

unde Ф e = − m a e - forța de inerție portabilă; F c \u003d - m a c - forța de inerție a lui Coriolis.

Forța portabilă de inerție este îndreptată opus accelerației portabile a punctului. Deoarece rotația tubului are loc cu o constantă

viteza unghiulara, atunci acceleratia de translatie este normala si

îndreptată de-a lungul axei x până la punctul O. Prin urmare, Ф e este îndreptată de-a lungul axei x spre dreapta.

Accelerația normală a unui punct este: a e n = ω e 2 OM = ω e 2 x . Modulul Fe \u003d ma e \u003d m ω e 2 x.

Accelerația Coriolis este definită de ecuația vectorială a c = 2 ω e × V r ,

conform căruia vectorul a c în acest caz este direcționat

perpendicular pe planul Oxz în direcția pozitivă a axei Oy (Fig. 4), prin urmare, forța de inerție Coriolis este îndreptată dincolo de desen.

Modulul forței de inerție Coriolis este Ф c = 2m ω e V r , deoarece vectorii ω e și V r sunt perpendiculari.

Sub acțiunea forței de inerție Coriolis, mingea va fi apăsată pe peretele din spate al tubului, așa că descompunem reacția normală totală a peretelui în două componente reciproc perpendiculare N y și N z .

N = N y + Nz

Forța elastică este egală cu coeficientul de rigiditate a arcului înmulțit cu alungirea sa F = c l și este îndreptată în direcția opusă alungirii, a cărei valoare este l = c (x − l 0 ) .

Să compunem o ecuație diferențială pentru mișcarea relativă a mingii:

		F e - F
			x − c(x − l0 ) .
		M ωe

După reducerea cu m și transformări elementare, obținem

	+ (m		−ω		) x = m l0
Înlocuiți valorile numerice
x + 4 x = 4 .

Soluția generală a ecuației diferențiale obținute are forma:

x = x1 + x2.

unde х1 este soluția generală a ecuației diferențiale omogene corespunzătoare, х2 este o soluție particulară a ecuației diferențiale (b).

Compunem ecuația caracteristică și îi găsim rădăcinile:

r 2 + 4 r = 0 . r = ± 2 i .

Astfel, soluția generală a ecuației omogene are forma

x1 \u003d C1 cos 2t + C2 sin2t

Găsim o soluție particulară a ecuației (b) sub forma x2 = B. Aici B-

constant. Inlocuim aceasta valoare in ecuatia (b), tinand cont
că x 2 \u003d 0, obținem B \u003d 1.
Soluția (c) a ecuației diferențiale a mișcării relative
punctul M ia forma
x \u003d C1 cos 2t + C2 sin2t +1.
Viteza acestei mișcări
x \u003d -2C1 sin2t + C2 cos2t.
Inlocuind conditiile initiale t = 0, x0 = 0,2 m,		0 în ecuațiile (d) și (e),

obținem valorile constantelor de integrare:

C1 \u003d - 0,8, C2 \u003d 0.

Ecuația pentru mișcarea relativă a punctului M ia forma:

x \u003d - 0,8 cos 2t +1.						X = 1,6sin2t.
Viteza relativă a mingii
Accelerație relativă
a r =				(1,6sin2t) = 3,2cos2t.
La t = 0,2 s:

x \u003d - 0,8 cos 0,4 + 1 \u003d - 0,8 cos 22,90 + 1 \u003d 0,264. m. Vr \u003d 1,6 sin 0,4 \u003d 1,6 sin 22,90 \u003d 1,024 m / s.

ar \u003d 3,2 cos 0,4 \u003d 3,2 cos22,90 \u003d 2,94 m / s.

Accelerația Coriolis la t = 0,2 s. Egal cu ac \u003d 2 ωe Vr \u003d 8,1 m / s.

Pentru a determina componentele de reacție ale peretelui tubului N y și N z, scriem proiecțiile egalității vectoriale (a) pe axele y și z.

0 = Ny -Fs, 0 = Nz -mg, de unde Ny = Fs, Nz = mg.

Forța de inerție Coriolis

Фс = 2m ωe Vr = 2 0,1 4 1,024 = 0,81H. Prin urmare, Ny \u003d Fs \u003d 0,81 (N), Nz \u003d mg \u003d 9,81 (N).

Reacția peretelui tubului N = N y 2 + N z 2 = 0,81 2 + 0,981 2 = 1,2 H Viteza absolută a bilei

V = Ve + Vr

Viteza portabilă V e este perpendiculară pe OM și îndreptată în direcția de rotație a tubului.

Ve = ωe OM = ωe x = 4 0,264 = 1,056 m/s.

Deoarece vectorii V e și V r sunt reciproc perpendiculari, modulul

Accelerație absolută a mingii

a = a e + a r + a c .

Modulul de accelerație portabil este egal cu

ae \u003d ωe 2 OM \u003d ωe 2 x1 \u003d 4,22 m / s.

Să găsim proiecțiile accelerației absolute pe axele Ox și Oy:

ax \u003d - ae + ar \u003d -4,33 + 2,94 \u003d - 2,39,

ay = ak = 8,44.

Modulul de accelerație absolută este egal cu

a \u003d a x 2 + a y 2 \u003d (− 1,39) 2 + 8,442 \u003d 8,55 m / s.

Întrebări de testare.

1. Ce cadru de referință se numește inerțial?

2. Care cadru de referință nu este inerțial?

3. Ce mișcare a unui punct se numește relativă?

4. Scrieți legea de bază a mișcării relative a unui punct.

5. Ce mișcare a unui punct se numește portabilă?

6. Care este forța de transfer a inerției?

7. Cu ce ​​este egală forța de inerție portabilă și cum este direcționată dacă mișcarea portabilă este de translație?

8. Cum se determină forța portabilă de inerție dacă mișcarea portabilă este o rotație uniformă în jurul unei axe fixe?

9. Care este forța de inerție Coriolis?

10. Cum este direcționat vectorul viteză unghiulară?

11. Cum este direcționată forța de inerție Coriolis?

12. Notați modulul forței de inerție Coriolis.

13. Scrieți ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material în raport cu un sistem de coordonate care se deplasează înainte

14. Scrieți ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct în raport cu un sistem de coordonate care se rotește în jurul unei axe fixe.

Atunci când rezolvăm majoritatea problemelor tehnice, considerăm că cadrul de referință asociat Pământului este fix (inerțial). Astfel, nu ținem cont de rotația zilnică a Pământului și de mișcarea acestuia pe orbită în jurul Soarelui. Astfel, considerând cadrul de referință asociat Pământului ca fiind inerțial, neglijăm în esență rotația lui zilnică cu Pământul în raport cu stelele. Această rotație are loc la o viteză de: 1 rotație în 23 ore 56 minute 4 secunde, adică cu o viteză unghiulară

Să investigăm cum o astfel de rotație destul de lentă afectează echilibrul și mișcarea corpurilor.

1. Repaus relativ pe suprafața Pământului. Gravitatie. Luați în considerare un punct material situat pe un plan „orizontal” neted care este nemișcat în raport cu Pământul (Fig. 13). Condiția echilibrului său față de Pământ este aceea că , unde este forța de atracție a Pământului, este reacția planului, este forța portabilă de inerție. Deoarece , atunci forța are doar o componentă normală direcționată perpendicular pe axa de rotație a Pământului. Adăugăm forțele și introducem notația

Fig.13

Apoi la obiect M vor acţiona două forţe , echilibrându-se reciproc. Puterea este puterea pe care o numim gravitatie.

Direcția forței va fi direcția verticalei în punctul dat de pe suprafață, iar planul perpendicular pe va fi planul orizontal. Modul (r- distanta punctuala M din axa pământului) iar valoarea este mică în comparație cu , deoarece valoarea este foarte mică. Direcția forței diferă puțin de direcția .

Când cântărim corpurile, determinăm forța, deoarece. cu o asemenea forţă corpul apasă pe corpul solzilor. Adică, introducând forța gravitației în ecuațiile de echilibru, introducem și forța în ele, adică. luăm în considerare de fapt influența rotației Pământului.

Prin urmare, la compilarea ecuațiilor de echilibru ale corpurilor în raport cu Pământul, nu ar trebui introduse corecții pentru rotația Pământului. În acest sens, echilibrul față de Pământ poate fi considerat absolut.

a) Mișcarea pe suprafața pământului. Când un punct se mișcă de-a lungul meridianului din emisfera nordică de la nord la sud, accelerația Coriolis este direcționată spre est, iar forța este direcționată către vest. Când se deplasează de la sud la nord, forța va fi în mod evident îndreptată spre est. În ambele cazuri, după cum vedem, această forță va devia punctul dreapta din direcția mișcării sale. Dacă punctul se mișcă de-a lungul paralelei spre est, atunci accelerația va fi direcționată de-a lungul razei DOMNIȘOARĂ paralele (Fig. 14), iar forța în sens opus. Componenta verticală a acestei forțe (de-a lungul OM) va modifica ușor greutatea corpului, iar componenta orizontală va fi îndreptată spre sud și va deviați și punctul spre dreapta direcției de mișcare. Obținem un rezultat similar când ne deplasăm de-a lungul paralelei spre vest.

Fig.14

Prin urmare, tragem concluzia că în emisfera nordică, un corp care se deplasează de-a lungul suprafeței pământului în orice direcție se va abate, din cauza rotației pământului, la dreapta direcției de mișcare.În emisfera sudică, deviația se va produce spre stânga.

Această împrejurare explică de ce râurile care curg în emisfera nordică spală malul drept (legea lui Beer). Acesta este și motivul abaterilor vânturilor de direcție constantă (alizozii) și a curenților marini.