Momentele de inerție ale unui corp față de axe paralele. teorema lui Huygens.

Momentele de inerție ale unui corp dat față de diferite axe vor fi, în general, diferite. Să arătăm cum, cunoscând momentul de inerție față de orice axă desenată în corp, găsim momentul de inerție față de orice altă axă paralelă cu aceasta.

Fig.35

Să desenăm prin centrul de masă CU corpuri axe arbitrare Cx"y"z",și prin orice punct DESPRE pe axa Cx" - topoare Oxyz astfel încât Oh½½ Сy", Oz½½ Cz"(Fig. 35). Distanța pe osie Cz"Și Oz notează prin d. Apoi

dar, după cum se vede din figură, pentru orice punct al corpului sau, a. Înlocuind aceste valori , în expresia pentru și eliminarea factorilor comuni d 2 și 2d dincolo de paranteze, obținem

În partea dreaptă a egalității prima sumă este egală cu eu cz", iar al doilea - greutatea corporală M. Să aflăm valoarea celei de-a treia sume. Pe baza formulelor pentru coordonatele centrului de masă.Deoarece în cazul nostru punctul CU este originea coordonatelor, atunci X C = 0 și deci . În sfârșit obținem:

Formula exprimă următoarele teorema lui Huygens:

Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe date este egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu acesta, care trece prin centrul de masă al corpului, adăugat la produsul masei întregului corp cu pătratul de distanța dintre axe.

Să aflăm momentul de inerție al corpului față de axă u, trecând printr-un punct DESPRE(Fig. 36).

Fig.36

Prin definiție, moment de inerție.

Să punem la punct DESPRE originea axelor de coordonate x, y, z. Dintr-un triunghi dreptunghic OAM i urmează unde. Și din moment ce vectorul rază al unui punct, proiectează această egalitate pe axă u, obținem (, - unghiuri între axă uși topoare x, y, z).

Orez. 14.3.

După cum se știe din trigonometrie

Și, grupând termeni similari care conțin cosinusuri de unghiuri identice, obținem:

Dar - distanțe de la punct M i la topoare x, y, z, respectiv. De aceea

Unde I x , I y , I z– momentele de inerție ale corpului față de axele de coordonate; I xy, J yz, J xz - momentele de inerție centrifuge raportat la axele marcate în indici.

Dacă două momente de inerție centrifuge, ambele conținând numele unei axe în indicii lor, sunt egale cu zero, atunci această axă se numește axa principală de inerție. De exemplu, dacă J yz = 0și J xz= 0, apoi axa z– axa principală de inerție.

Deoarece toate momentele de inerție depind de locul în care se află punctul DESPRE, din alegerea originii coordonatelor, atunci este necesar să se indice pentru ce punct se determină aceste momente de inerție. Dacă originea coordonatelor este luată în centrul de masă CU, atunci se numesc toate axele principale de inerție principalele axe centrale de inerție.

Dacă la un punct dat axele de coordonate sunt axele principale de inerție (momentele de inerție centrifuge relativ la acestea sunt egale cu zero), atunci formula (2) se simplifică:

Uneori, pe baza unor semne, nu este greu de găsit principalele axe de inerție ale corpului.

1. Dacă un corp omogen are o axă de simetrie, atunci această axă este principala axă centrală de inerție.

Într-adevăr. Să direcționăm axa de coordonate z de-a lungul axei de simetrie. Apoi, pentru fiecare punct al corpului cu coordonatele ( x i, y i, z i) puteți găsi un punct cu coordonate ( -x i , -y i , -z i) și deci momentele centrifuge de inerție și. Deci axa z– axa principală de inerție, și axa centrală, deoarece centrul de masă, după cum se știe, este situat pe axa de simetrie. Mai mult, această axă va fi cea principală pentru orice punct situat pe axa de simetrie.

2. Dacă un corp omogen are un plan de simetrie, atunci orice axă perpendiculară pe acesta va fi axa principală de inerție pentru toate punctele acestui plan.

Să direcționăm axa z perpendicular pe planul de simetrie din orice punct al acestuia DESPRE, atribuind acolo originea coordonatelor. Apoi, pentru fiecare punct al corpului cu coordonatele ( x i, y i, z i) puteți găsi un punct simetric cu el cu coordonate ( x i , y i , - z i). Prin urmare, momentele centrifuge de inerție eu xzȘi eu yz va fi egal cu zero. Deci axa z– axa principală de inerție.

Exemplul 9. Să determinăm momentul de inerție al discului în raport cu axa u, situat în unghi față de axa de simetrie a discului z(Fig. 37).

Fig.37

Axe X yȘi z– principalele axe centrale de inerție, deoarece sunt axe de simetrie.

Apoi, unde este unghiul dintre axe uȘi z; unghi - unghiul dintre axe uȘi y, egal; unghi - unghiul dintre axe uȘi X, egal cu 90°. De aceea

Diferenţial ecuațiile de mișcare ale sistemului.

Luați în considerare un sistem format din P puncte materiale. Să selectăm un punct al sistemului cu masă. Să notăm rezultanta tuturor forțelor externe aplicate unui punct (atât legăturile active, cât și cele de reacție) prin , iar rezultanta tuturor forţelor interne - prin . Dacă punctul are o accelerație , apoi conform legii de bază a dinamicii

Obținem un rezultat similar pentru orice punct. Prin urmare, pentru întregul sistem va fi:

Aceste ecuații, din care se poate determina legea mișcării fiecărui punct al sistemului, se numesc ecuații diferențiale ale mișcării sistemului sub formă de vector. Ecuațiile sunt diferențiale deoarece; Forțele incluse în părțile din dreapta ale ecuațiilor vor depinde, în general, de timp, de coordonatele punctelor sistemului și de vitezele acestora.

Prin proiectarea pe unele axe de coordonate, putem obține ecuații diferențiale de mișcare ale sistemului în proiecții pe aceste axe.

O soluție completă a problemei principale de dinamică pentru un sistem ar consta în, cunoașterea forțelor date, integrarea ecuațiilor diferențiale corespunzătoare și determinarea în acest fel a legii de mișcare a fiecăruia dintre punctele sistemului separat.

Cu toate acestea, această soluție nu este utilizată de obicei din două motive. În primul rând, această cale este prea complicată și este aproape întotdeauna asociată cu dificultăți matematice insurmontabile. În al doilea rând, în majoritatea cazurilor, atunci când se rezolvă probleme de mecanică, este suficient să cunoaștem câteva caracteristici rezumative ale mișcării sistemului în ansamblu, și nu mișcarea fiecăruia dintre punctele sale separat. Aceste caracteristici rezumative sunt determinate folosind teoreme generale dinamica sistemului, la studiul căruia vom trece.

Principalul rol al ecuațiilor este că ele, sau consecințele din ele, sunt punctele de plecare pentru obținerea teoremelor generale corespunzătoare.

Teoreme generale ale dinamicii unui sistem mecanic: teoremele privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic și asupra modificării impulsului, teoremelor asupra modificării impulsului cinetic și energiei cinetice, sunt o consecință a ecuației de bază a dinamicii . Aceste teoreme nu iau în considerare mișcarea punctelor și corpurilor individuale incluse într-un sistem mecanic, ci unele caracteristici integrale, cum ar fi mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic, impulsul său, momentul cinetic și energia cinetică. Ca urmare, forțele interne necunoscute și, în unele cazuri, reacțiile de cuplare sunt excluse din considerare, ceea ce simplifică semnificativ soluția problemei.

Momentul de inerție al unui corp (sistem) în raport cu o axă dată Oz (sau momentul axial de inerție) este o mărime scalară care este diferită de suma produselor maselor tuturor punctelor corpului (sistemului) prin pătrate ale distanțelor lor față de această axă:

Din definiție rezultă că momentul de inerție al unui corp (sau al unui sistem) față de orice axă este o mărime pozitivă și nu este egală cu zero.

În viitor, se va demonstra că momentul axial de inerție joacă același rol în timpul mișcării de rotație a unui corp ca și masa în timpul mișcării de translație, adică că momentul axial de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul rotației. mişcare.

Conform formulei (2), momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale tuturor părților sale față de aceeași axă. Pentru un punct material situat la o distanță h de axă, . Unitatea de măsură a momentului de inerție în SI va fi de 1 kg (în sistemul MKGSS -).

Pentru a calcula momentele axiale de inerție, distanțele punctelor față de axe pot fi exprimate prin coordonatele acestor puncte (de exemplu, pătratul distanței față de axa Ox va fi etc.).

Atunci momentele de inerție în jurul axelor vor fi determinate de formulele:

Adesea în timpul calculelor este utilizat conceptul de rază de rotație. Raza de inerție a unui corp față de o axă este o mărime liniară determinată de egalitate

unde M este masa corporală. Din definiție rezultă că raza de inerție este geometric egală cu distanța față de axa punctului în care masa întregului corp trebuie să fie concentrată, astfel încât momentul de inerție al acestui punct să fie egal cu momentul de inerție. a întregului corp.

Cunoscând raza de inerție, puteți folosi formula (4) pentru a afla momentul de inerție al corpului și invers.

Formulele (2) și (3) sunt valabile atât pentru un corp rigid, cât și pentru orice sistem de puncte materiale. În cazul unui corp solid, împărțindu-l în părți elementare, constatăm că în limită suma în egalitate (2) se va transforma într-o integrală. Ca urmare, ținând cont de faptul că unde este densitatea și V este volumul, obținem

Integrala se extinde aici pe întregul volum V al corpului, iar densitatea și distanța h depind de coordonatele punctelor corpului. În mod similar, formulele (3) pentru corpurile solide iau forma

Formulele (5) și (5) sunt convenabile de utilizat la calcularea momentelor de inerție ale corpurilor omogene de formă regulată. În acest caz, densitatea va fi constantă și va cădea în afara semnului integral.

Să găsim momentele de inerție ale unor corpuri omogene.

1. O tijă subţire omogenă de lungime l şi masă M. Să-i calculăm momentul de inerţie faţă de axa perpendiculară pe tijă şi care trece prin capătul ei A (Fig. 275). Să direcționăm axa de coordonate de-a lungul AB. Atunci pentru orice segment elementar de lungime d valoarea este , iar masa este , unde este masa unei unități de lungime a tijei. Ca rezultat, formula (5) dă

Înlocuind aici cu valoarea sa, găsim în sfârșit

2. Un inel rotund subțire omogen de rază R și masă M. Să-i găsim momentul de inerție față de axa perpendiculară pe planul inelului și care trece prin centrul său C (Fig. 276).

Deoarece toate punctele inelului sunt situate la o distanță de axă, formula (2) dă

Prin urmare, pentru inel

Evident, același rezultat se va obține pentru momentul de inerție al unei învelișuri cilindrice subțiri de masă M și rază R față de axa acesteia.

3. O placă rotundă omogenă sau cilindru cu raza R și masa M. Să calculăm momentul de inerție al plăcii rotunde față de axa perpendiculară pe placă și care trece prin centrul acesteia (vezi Fig. 276). Pentru a face acest lucru, selectăm un inel elementar cu rază și lățime (Fig. 277, a). Aria acestui inel este , iar masa este unde este masa pe unitatea de suprafață a plăcii. Apoi, conform formulei (7) pentru inelul elementar selectat va exista și pentru întreaga placă

Când studiem rotația corpurilor rigide, vom folosi conceptul de moment de inerție.

Să împărțim corpul în părți atât de mici încât fiecare dintre ele poate fi considerată un punct material. Lăsa m i- greutate eu- punctul material, r i– distanța sa față de o anumită axă O.

Valoarea egală cu produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței sale celei mai scurte față de o axă dată se numește momentul de inerție al punctului material față de axă:

Se numește suma momentelor de inerție ale tuturor punctelor materiale ale corpului momentul de inerție al corpului raportat la unele axe:

Momentul de inerție al unui corp rigid depinde, așa cum este ușor de observat, de distribuția maselor în raport cu axa care ne interesează.

Dacă corpul este un cerc de masă m, a cărui grosime este mică în comparație cu raza R, atunci momentul său de inerție față de axa care trece prin centru și perpendicular pe planul cercului este egal cu

Pentru corpurile de formă mai complexă, însumarea expresiei (5.2) se realizează folosind metode de calcul integral conform formulei

unde integrarea se realizează pe întregul volum al corpului. Magnitudinea r
în acest caz există o funcţie a poziţiei punctului cu coordonate X,y,z.

Ca exemplu, să găsim momentul de inerție al unui disc omogen în jurul unei axe perpendiculare pe planul discului și care trece prin centrul acestuia. Să împărțim discul în straturi inelare de grosime d r.

Toate punctele unui strat vor fi la aceeași distanță de axă, egală cu r. Volumul unui astfel de strat este egal cu:

,

Unde b– grosimea discului. Deoarece discul este omogen, densitatea lui este aceeași în toate punctele și

unde D m – masa stratului inelar.

Acum, folosind formula (5.4), găsim momentul de inerție

,

Unde R– raza discului;

.

În cele din urmă, prin introducerea masei discului m egal cu produsul densității și volumului discului, obținem

Momentele de inerție ale unor corpuri solide omogene în jurul axei, trecând prin centrul de masă al corpului, sunt date în tabel. 5.1.

Tabelul 5.1

Dacă se cunoaște momentul de inerție al unui corp față de o axă care trece prin centrul său de masă, atunci poate fi găsit momentul de inerție față de orice altă axă paralelă. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați Teorema Huygens-Steiner:

momentul de inerție al corpului eu relativ la o axă arbitrară este egală cu momentul ei de inerție IC față de o axă paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă C corp adăugat la produsul masei corporale m pe pătrat de distanță A intre axe:

Să găsim legătura dintre momentele de inerție ale corpului față de două axe paralele, dintre care una trece prin centrul de masă. Să aflăm momentul de inerție al corpului față de axă z axa paralela z C. Axă z C trece prin centrul de masă al corpului. Să împărțim mental corpul în particule de masă m i, Unde i- număr de serie. Să determinăm poziția fiecărei particule în raport cu axele zȘi z C. În conformitate cu definiția momentului de inerție, unde este cea mai scurtă distanță până la axa de rotație (raza cercului pe care o descrie punctul în timpul mișcării sale în jurul axei de rotație).

În fig. 5.3 este clar că , atunci momentul de inerție al unui punct cu masă m i raportat la axa z este egal cu: , iar pentru întregul corp momentul de inerție în jurul axei z egal cu suma momentelor de inerție ale tuturor particulelor corpului față de aceeași axă:

(5.7)

A-prioriu – momentul de inerție al corpului față de axă z C, trecând prin centrul de masă al corpului; , Apoi . Expresie poate fi convertit . O valoare egală cu determină poziția centrului de masă al corpului față de axă z C. Din figură este clar că, pentru că centrul de masă se află pe axă z C.

Apoi primim

(5.8)

- moment de inerție eu z a unui corp față de o axă arbitrară este egală cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă paralelă cu acesta z C, trecând prin centrul de masă și mărimea ma 2 unde m- masa corpului, A- distanta dintre axe.

Exemplu. Momentul de inerție al unei tije subțiri (masa m iar lungimea ) față de axa perpendiculară pe tijă și care trece prin capătul acesteia este egală.

1.10. ECUAȚIA PENTRU DINAMICA MIȘCĂRII DE ROTAȚIE

Un corp solid ca sistem de puncte materiale. Mișcarea centrului de inerție al unui corp rigid. Energia cinetică a unui corp în rotație. Conceptul de moment de inerție relativ la o axă fixă. teorema lui Steiner. Momente de inerție ale unora cele mai simple corpuri. Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație față de o axă fixă.

Mișcarea unui corp rigid este în general determinată de două ecuații vectoriale. Una dintre ele este ecuația de mișcare a centrului de masă (4.11), cealaltă este ecuația momentelor din CU-sistem (6.24):

(10 . 1 )

Cunoscând legile forțelor exterioare care acționează, punctele de aplicare a acestora și condițiile inițiale, este posibil, folosind aceste ecuații, să găsim atât viteza, cât și poziția fiecărui punct al unui corp rigid în orice moment în timp, adică rezolva complet problema mișcării corpului. Totuși, în ciuda aparentei simplități a ecuațiilor (10.1), rezolvarea lor în cazul general este o sarcină foarte dificilă. Acest lucru se datorează în primul rând faptului că relația dintre momentul unghiular adecvat și vitezele punctelor individuale ale unui corp rigid în CU-sistemul se dovedește a fi complex, cu excepția câtorva cazuri speciale. Nu vom lua în considerare această problemă într-o formă generală (se rezolvă în cursul mecanicii teoretice) și în viitor ne vom limita doar la cazuri speciale individuale.

Dacă mișcăm forțele pe direcția acțiunii lor, atunci este clar că nici rezultatul lor, nici momentul lor total nu se vor schimba. În acest caz, ecuațiile (10.1) nu se vor schimba și, prin urmare, nici mișcarea corpului rigid nu se va modifica. Prin urmare, punctele de aplicare a forțelor externe pot fi transferate de-a lungul direcției de acțiune a forțelor - o tehnică convenabilă pentru rezolvarea problemelor care este utilizată în mod constant.

Să luăm acum în considerare conceptul de forță rezultantă. În cazurile în care momentul total al tuturor forțelor externe se dovedește a fi perpendicular pe forța rezultată, adică toate forțele externe pot fi reduse la unu forță care acționează de-a lungul unei anumite linii drepte. Într-adevăr, dacă este relativ la un anumit punct DESPRE moment total , atunci puteți găsi întotdeauna un astfel de vector (Fig. 10.1) care pentru dat și

În acest caz, alegerea este ambiguă: adăugând la ea orice vector ,

paralela nu va schimba ultima egalitate. Și aceasta înseamnă că această egalitate determină nu punctul de „aplicare” a forței, ci linia acțiunii acesteia. Cunoașterea modulelor M Și F vectori corespunzători, putem găsi umărul l forţe (Fig. 6.14): .

Astfel, dacă , sistemul de forțe care acționează asupra punctelor individuale ale unui corp rigid poate fi înlocuit cu unul forță rezultantă - o forță care este egală cu rezultanta și creează un moment egal cu momentul total al tuturor forțelor externe.

Un astfel de caz este acțiunea unui câmp de forță uniform, de exemplu un câmp gravitațional, în care forța care acționează asupra fiecărei particule are forma . În acest caz, momentul total de greutate relativ la orice punct DESPRE egală

Suma dintre paranteze este egală cu unde masa corpului este raza vectorului centrului său de masă în raport cu punctul O. De aceea

Aceasta înseamnă că rezultanta gravitației trece prin centrul de masă al corpului. Se spune de obicei că rezultanta forțelor de greutate se aplică centrului de masă al corpului sau centrului său de greutate. Momentul acestei forțe față de centrul de masă al corpului este zero.

Acum să trecem la luarea în considerare a cazurilor speciale de mișcare a unui corp rigid.

Rotație în jurul unei axe fixe.

Să luăm în considerare rotația unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Să găsim o expresie pentru momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu axa 00" (Fig. 6.15). Momentul unghiular al unei particule poate fi scris ca

unde și este masa și distanța față de axa de rotație a unei particule dintr-un corp solid și este viteza unghiulară a acesteia. Notând cantitatea din paranteze cu I, obținem

(10 .2)

Momentul de inerție al unui punct material raportat la axa de rotație se numește produsul dintre masa acestui punct cu pătratul celei mai mici distanțe față de axă.

Momentul de inerție al sistemului (corpuri) faţă de axa de rotaţie este o mărime fizică egală cu suma produselor maselor n punctele materiale ale sistemului prin pătratele distanțelor lor față de axa luată în considerare.

Momentul de inerție al unui corp rigid depinde de distribuția maselor față de axa care ne interesează și este o mărime aditivă. Momentul de inerție al corpului se calculează folosind formula

unde dm și dV sunt masa și volumul unui element al corpului situat la o distanță de axa z care ne interesează și este densitatea corpului într-un punct dat.

Momentele de inerție ale unor corpuri solide omogene în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului sunt date în următorul tabel (aici m este masa corpului):

Tip de solid	Poziția axei	Moment de inerție
Lungimea tijei subțiri L	Perpendicular pe tija
Cilindru solid cu raza R	Coincide cu axa cilindrului
Disc subțire cu raza R	La fel ca și diametrul discului
Minge cu raza R	Trece prin centrul mingii

Calcularea momentului de inerție al unui corp solid de formă arbitrară în raport cu una sau alta axă este, în general, o sarcină matematică destul de minuțioasă. Cu toate acestea, în unele cazuri, găsirea momentului de inerție este mult simplificată dacă utilizați teorema lui Steiner : moment de inerție eu raportat la o axă arbitrară z egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu cea dată și care trece prin centrul de masă CU corp, plus produsul masei T corpuri pe distanță pătrată A intre axe:

(10 . 4 )

Astfel, dacă se cunoaște momentul de inerție, atunci găsirea momentului de inerție eu elementar. De exemplu, momentul de inerție al unei tije subțiri (masa T si lungime l) faţă de axa perpendiculară pe tijă şi care trece prin capătul acesteia este egală cu

Energie kineticămișcare de rotație- energia unui corp asociată cu rotația acestuia. Să obținem o expresie pentru energia cinetică a unui corp rigid rotativ cu o axă de rotație fixă. Luând în considerare legătura dintre viteza unei particule dintr-un corp rigid rotativ și viteza unghiulară, scriem

sau, mai pe scurt

unde este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație care trece prin centrul său de masă, este viteza unghiulară a corpului, m este masa acestuia, este viteza centrului de inerție al corpului în K- cadru de referință. Prin urmare, energia cinetică a unui corp rigid în mișcare plană constă din energia de rotație în sistemul C și energia asociată cu mișcarea centrului de masă.

Să-l notăm ecuația de bază pentru dinamica rotației corpului rigid Cu axă fixă ​​de rotație. Această ecuație este ușor de obținut ca o consecință a ecuației momentelor pentru un punct material, dacă diferențiem (10.2) în raport cu timpul, atunci

(10 . 7 )

unde este momentul total al tuturor forțelor externe în raport cu axa de rotație, proiecția accelerației unghiulare pe axa de rotație. Din această ecuație, în special, este clar că momentul de inerție eu determină proprietățile inerțiale ale unui corp rigid în timpul rotației: pentru aceeași valoare a momentului de forță, un corp cu un moment de inerție mare capătă o accelerație unghiulară mai mică. Momentele de forță în jurul axei sunt mărimi algebrice: semnele lor depind de alegerea direcției pozitive a axei z, care coincide cu axa de rotație și din direcție

„rotația” momentului de forță corespunzător. De exemplu, alegerea direcției axei pozitive z, așa cum se arată în fig. 10.3, setăm astfel direcția pozitivă a unghiului de referință - ambele direcții sunt legate de regula șurubului drept. Se crede că, dacă un anumit moment „se rotește” în direcția pozitivă a unghiului, atunci este considerat pozitiv și invers. Și semnul momentului total determină, la rândul său, semnul proiecției vectorului accelerație unghiulară pe axa z.

Integrarea ecuației (10.7) luând în considerare condițiile inițiale - valorile vitezei unghiulare și unghiului și momentul inițial de timp - ne permite să rezolvăm complet problema de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, adică, aflați dependența de timp a vitezei unghiulare și a unghiului de rotație.

Rețineți că ecuația (10.7) este valabilă în orice un sistem de referință legat rigid de axa de rotație. Totuși, dacă cadrul de referință este neinerțial, atunci trebuie amintit că momentul forțelor include nu numai momentele forțelor de interacțiune cu alte corpuri, ci și momentele forțelor inerțiale.

Corpuri m pe pătrat de distanță d intre axe:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Unde m- greutatea corporală totală.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije față de o axă care trece prin capătul ei este egal cu:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri

Momente de inerție corpuri omogene de cea mai simplă formă relativ la anumite axe de rotație

Corp	Descriere	Poziția axei A	Moment de inerție J a
	Masa punctuală materială m	La distanta r dintr-un punct, staționar
	Cilindru gol cu ​​pereți subțiri sau inel cu rază rși mase m	Axa cilindrului	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Cilindru solid sau disc cu rază rși mase m	Axa cilindrului	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
	Cilindru de masă gol cu ​​pereți groși m cu raza exterioară r 2 și raza interioară r 1	Axa cilindrului	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2))+r_(1)^(2))(2)))
	Lungimea cilindrului solid l, raza rși mase m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Lungimea cilindrului (inel) cu pereți subțiri l, raza rși mase m	Axa este perpendiculară pe cilindru și trece prin centrul său de masă	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Tija de lungime subțire dreaptă lși mase m	Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin centrul său de masă	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
	Tija de lungime subțire dreaptă lși mase m	Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin capătul acesteia	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
	Sferă cu rază cu pereți subțiri rși mase m	Axa trece prin centrul sferei	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
	Bilă cu rază rși mase m	Axa trece prin centrul mingii	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
	Con de rază rși mase m	Axa conului	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
	Triunghi isoscel cu altitudinea h, baza A si masa m	Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin vârf	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
	Triunghi regulat cu latura A si masa m	Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin centrul de masă	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
	Patrat cu latura A si masa m	Axa este perpendiculară pe planul pătratului și trece prin centrul de masă	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
	Dreptunghi cu laturi AȘi b si masa m	Axa este perpendiculară pe planul dreptunghiului și trece prin centrul de masă	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
	N-gon regulat de rază r si masa m	Axa este perpendiculară pe plan și trece prin centrul de masă	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Torus (gol) cu raza cercului de ghidare R, raza cercului generator r si masa m	Axa este perpendiculară pe planul cercului de ghidare a torusului și trece prin centrul de masă	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right))

Formule derivate

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Să împărțim un cilindru cu pereți subțiri în elemente cu masă dmși momente de inerție dJ i. Apoi

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) se transformă în forma

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Cilindru cu pereți groși (inel, cerc)

Derivarea formulei

Să existe un inel omogen cu o rază exterioară R, raza interioara R 1, gros h iar densitatea ρ. Să-l rupem în inele subțiri groase dr. Masa și momentul de inerție al unui inel cu rază subțire r va fi

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Să găsim momentul de inerție al inelului gros ca integrală

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi\rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\dreapta)\stanga(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)

Deoarece volumul și masa inelului sunt egale

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

obţinem formula finală pentru momentul de inerţie al inelului

J = 12 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)

Disc omogen (cilindru solid)

Derivarea formulei

Considerând un cilindru (disc) ca un inel cu raza internă zero ( R 1 = 0 ), obținem formula momentului de inerție al cilindrului (discului):

J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Con solid

Derivarea formulei

Să spargem conul în discuri subțiri cu o grosime dh, perpendicular pe axa conului. Raza unui astfel de disc este egală cu

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Unde R– raza bazei conului, H– înălțimea conului, h– distanța de la vârful conului până la disc. Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrarea, obținem

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aliniat)))

Minge solidă omogenă

Derivarea formulei

Să spargem mingea în discuri subțiri de grosime dh, perpendicular pe axa de rotație. Raza unui astfel de disc situat la o înălțime h din centrul sferei, o găsim folosind formula

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\dreapta)dh.)

Găsim momentul de inerție al mingii prin integrare:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\dreapta)\dreapta|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

Sferă cu pereți subțiri

Derivarea formulei

Pentru a deduce acest lucru, folosim formula pentru momentul de inerție al unei bile omogene cu rază R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Să calculăm cât de mult se va schimba momentul de inerție al mingii dacă, la o densitate constantă ρ, raza acesteia crește cu o cantitate infinitezimală dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\dreapta)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aliniat)))

Tijă subțire (axa trece prin centru)

Derivarea formulei

Să spargem tija în mici fragmente de lungime dr. Masa și momentul de inerție ale unui astfel de fragment sunt egale cu

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrarea, obținem

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Tijă subțire (axa trece prin capăt)

Derivarea formulei

Când axa de rotație se mișcă de la mijlocul tijei până la capătul acesteia, centrul de greutate al tijei se mișcă față de axă cu o distanță l ⁄ 2. Conform teoremei lui Steiner, noul moment de inerție va fi egal cu

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Momente de inerție fără dimensiuni ale planetelor și sateliților

Momentele lor de inerție fără dimensiuni sunt de mare importanță pentru studiile structurii interne a planetelor și a sateliților lor. Momentul de inerție adimensional al unui corp cu rază rși mase m este egal cu raportul dintre momentul său de inerție față de axa de rotație și momentul de inerție al unui punct material de aceeași masă față de o axă fixă ​​de rotație situată la distanță r(egal cu Domnul 2). Această valoare reflectă distribuția masei pe adâncime. Una dintre metodele de măsurare a acestuia în apropierea planetelor și a sateliților este de a determina deplasarea Doppler a semnalului radio transmis de un AMS care zboară lângă o planetă sau satelit dat. Pentru o sferă cu pereți subțiri, momentul de inerție adimensional este de 2/3 (~0,67), pentru o bilă omogenă este de 0,4 și, în general, cu cât este mai mică, cu atât masa corpului este concentrată în centrul său. De exemplu, Luna are un moment de inerție adimensional apropiat de 0,4 (egal cu 0,391), deci se presupune că este relativ omogenă, densitatea ei se modifică puțin cu adâncimea. Momentul de inerție adimensional al Pământului este mai mic decât cel al unei mingi omogene (egal cu 0,335), ceea ce este un argument în favoarea existenței unui nucleu dens.

Momentul de inerție centrifugal

Momentele de inerție centrifuge ale unui corp în raport cu axele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt următoarele mărimi:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Unde X , yȘi z- coordonatele unui element mic al corpului cu volum dV, densitatea ρ și masa dm .

Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului, dacă momentele centrifuge de inerție J xyȘi J xz sunt simultan egale cu zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momente de inerție ale corpului raportat la cele trei axe principale de inerție desenate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție a acestui corp.

Se numesc principalele axe de inerție care trec prin centrul de masă al corpului principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principalele momente centrale de inerție. Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.

Momente geometrice de inerție

Momentul geometric de inerție al volumului

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

unde, ca înainte r- distanta fata de element dV la axa A .

Momentul geometric de inerție al ariei relativ la axă - o caracteristică geometrică a corpului, exprimată prin formula:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

unde integrarea se realizează pe suprafaţă S, A dS- element al acestei suprafeţe.

Dimensiune JSa- lungimea la a patra putere ( d i l J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), respectiv, unitatea de măsură SI este 4. În calcule de construcție, literatură și sortimente de metal laminat, este adesea indicat în cm 4.

Momentul de rezistență al secțiunii este exprimat prin momentul geometric de inerție al zonei:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Aici r max- distanta maxima de la suprafata la axa.

Momentele geometrice de inerție ale zonei unor figuri
Înălțimea dreptunghiului h (\displaystyle h)și lățimea b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Secțiune cutie dreptunghiulară cu înălțime și lățime de-a lungul contururilor externe H (\displaystyle H)Și B (\displaystyle B), iar pentru intern h (\displaystyle h)Și b (\displaystyle b) respectiv	J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Diametrul cercului d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Momentul de inerție față de plan

Momentul de inerție al unui corp rigid față de un anumit plan este o mărime scalară egală cu suma produselor masei fiecărui punct al corpului cu pătratul distanței de la acest punct la planul în cauză.

Dacă printr-un punct arbitrar O (\displaystyle O) desenați axele de coordonate x , y , z (\displaystyle x,y,z), apoi momentele de inerție relativ la planurile de coordonate x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)Și z O x (\displaystyle zOx) vor fi exprimate prin formulele:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\.)

În cazul unui corp solid, însumarea este înlocuită de integrare.

Momentul central de inerție

Momentul central de inerție (moment de inerție față de punctul O, moment de inerție față de pol, moment polar de inerție) J O (\displaystyle J_(O)) este cantitatea determinată de expresia:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Momentul central de inerție poate fi exprimat în termeni de momente de inerție axiale principale, precum și în termeni de momente de inerție față de plane:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \dreapta),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tensor de inerție și elipsoid de inerție

Momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară care trece prin centrul de masă și are o direcție specificată de vectorul unitar s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x), s_(y), s_(z)\dreapta\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\dreapta\vert =1), poate fi reprezentat sub forma unei forme patratice (bilineare):

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

unde este tensorul de inerție. Matricea tensorului de inerție este simetrică și are dimensiuni 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)și constă din componente ale momentelor centrifuge:

J ^ = ‖ J x x - J x y - J x z - J y x J y y - J y z - J z x - J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Prin alegerea sistemului de coordonate adecvat, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați problema cu valori proprii pentru matricea tensorială J ^ (\displaystyle (\pălărie (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\pălărie (J))_(d)=(\pălărie (Q))^(T)\cdot (\pălărie (J))\ cdot (\pălărie (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

Unde Q ^ (\displaystyle (\pălărie (Q)))- matricea ortogonală de tranziție la baza proprie a tensorului de inerție. În baza corectă, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului de inerție și, de asemenea, coincid cu semiaxele principale ale elipsoidului tensorului de inerție. Cantitati J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- principalele momente de inerție. Expresia (1) în propriul sistem de coordonate are forma:

Eu s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y) )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

din care obţinem ecuaţia elipsoidului în coordonatele proprii. Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu eu s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

și efectuarea de înlocuiri:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

obţinem forma canonică a ecuaţiei elipsoidului în coordonate ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Distanța de la centrul elipsoidului până la un anumit punct este legată de valoarea momentului de inerție al corpului de-a lungul unei drepte care trece prin centrul elipsoidului și acest punct.