Cele mai mari și cele mai mici valori

O funcție delimitată într-o regiune închisă mărginită își atinge valorile maxime și minime fie în puncte staționare, fie în puncte situate la limita regiunii.

Pentru a găsi cele mai mari sau mai mici valori ale unei funcții, trebuie să:

1. Găsiți punctele staționare situate în interiorul acestei zone și calculați valoarea funcției la ele.

2. Găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției la limita regiunii.

3. Comparați toate valorile funcției obținute: cea mai mare (cea mai mică) va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției din această zonă.

Exemplul 2. Găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției: într-un cerc.

Soluţie.

punct staționar; .

2 . Limita acestei zone închise este un cerc sau , unde .

Funcția de la limita regiunii devine o funcție a unei variabile: , unde . Să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții.

Când x=0 ; (0,-3) și (0,3) sunt puncte critice.

Să calculăm valorile funcției de la capetele segmentului

3 . Comparând valorile între ele obținem,

În punctele A și B.

În punctele C și D.

Exemplul 3. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o regiune închisă definită de inegalitatea:

Soluţie. Aria este un triunghi mărginit de axele de coordonate și de dreapta x+y=1.

1. Găsim puncte staționare în interiorul regiunii:

; ; y = - 1/ 8; x = 1/8.

Punctul staționar nu aparține regiunii luate în considerare, astfel încât valoarea z din acesta nu este calculată.

2 .Studiam functia pe limita. Deoarece granița constă din trei secțiuni descrise de trei ecuații diferite, studiem funcția pe fiecare secțiune separat:

A) în secţiunea 0A: y=0 - ecuaţia 0A, atunci ; din ecuaţie este clar că funcţia creşte cu 0A de la 0 la 1. Aceasta înseamnă .

b) în secţiunea 0B: x=0 - ecuaţia 0B, atunci ; –6y+1=0; - punct critic.

V) pe linia x+y = 1: y=1-x, atunci obținem funcția

Să calculăm valoarea funcției z în punctul B(0,1).

3 .Comparând numerele obținem asta

Pe dreapta AB.

La punctul B.

Teste pentru autocontrolul cunoștințelor.

1 . Extremul funcției este

a) derivatele sale de ordinul întâi

b) ecuaţia acesteia

c) programul ei

d) maximul sau minimul acestuia

2. Extremul unei funcții a mai multor variabile poate fi realizat:

a) numai în punctele care se află în interiorul domeniului său de definiție, în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mari decât zero

b) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

c) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi nu sunt egale cu zero

d) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero

3. O funcție care este continuă într-o regiune închisă limitată își atinge valorile maxime și minime:

a) în punctele staţionare

b) fie în puncte staționare, fie în puncte situate la limita regiunii

c) în punctele situate la limita regiunii

d) în toate punctele

4. Punctele staționare pentru o funcție a mai multor variabile sunt punctele:

a) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi nu sunt egale cu zero

b) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mari decât zero

c) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero

d) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

§ Extrema, Valorile maxime si minime ale functiilor mai multor variabile - pagina Nr. 1/1

§ 8. Extrema. Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor mai multor variabile.

1. Extreme ale funcțiilor mai multor variabile.

avion
,
este un punct în acest domeniu.

Punct
numit punct maxim funcții
, dacă pentru orice punct

inegalitatea este valabilă

.

La fel punct
numit punct minim funcții
, dacă pentru orice punct
dintr-o vecinătate a unui punct
inegalitatea este valabilă

.

Note. 1) Conform definiţiilor, funcţia
trebuie definite într-o zonă oarecare a punctului
. Acestea. punctele maxime și minime ale funcției
pot exista doar puncte interne ale regiunii
.

2) Dacă există o vecinătate a punctului
, în care pentru orice punct
diferit de
inegalitatea este valabilă

(

), apoi punctul
numit punct maxim strict (respectiv punct minim strict ) funcții
. În acest sens, punctele maxime și minime definite mai sus sunt uneori numite puncte maxime și minime non-strictive.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc ei puncte extremum . Sunt numite valorile funcției la punctele maxime și, respectiv, minime înalte Și minime sau, pe scurt, extreme această funcție.

Conceptele de extrema sunt de natură locală: valoarea unei funcții într-un punct
este comparată cu valorile funcției în puncte destul de apropiate. Într-o zonă dată, o funcție poate să nu aibă deloc extreme sau poate avea mai multe minime, mai multe maxime și chiar un număr infinit de ambele. Mai mult, unele minime pot fi mai mari decât unele dintre maximele sale. Nu confundați valorile maxime și minime ale unei funcții cu valorile maxime și minime ale acesteia.

Să găsim condiția necesară pentru un extremum. Să, de exemplu,
– punctul maxim al funcției
. Apoi, prin definiție, există un gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-vecinația punctului
astfel încât
pentru orice punct
din această vecinătate. În special,

(1)

Unde
,
, Și

(2)

Unde
,
. Dar (1) înseamnă că o funcție a unei variabile
are la punct maxim sau este pe interval
constant. Prin urmare,

sau
- nu exista,

⇒
sau
- nu exista.

În mod similar din (2) obținem că

sau
- nu exista.

Astfel, următoarea teoremă este valabilă.

TEOREMA 8.1. (condiții necesare pentru un extremum). Dacă funcţia
la punct
are un extremum, atunci în acest moment fie ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero, fie cel puțin una dintre aceste derivate parțiale nu există.

Geometric, Teorema 8.1 înseamnă că dacă
– punctul extremum al funcției
, atunci planul tangent la graficul acestei funcții în punctul este fie paralel cu planul
, sau nu există deloc. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să ne amintim cum să găsiți ecuația unui plan tangent la o suprafață (vezi formula (4.6)).

Se numesc punctele care îndeplinesc condiţiile teoremei 8.1 puncte critice funcții
. La fel ca pentru o funcție a unei variabile, condițiile necesare pentru un extremum nu sunt suficiente. Acestea. nu fiecare punct critic al unei funcții va fi punctul său extrem.

EXEMPLU. Luați în considerare funcția
. Punct
este critic pentru această funcție, deoarece în acest moment ambele derivate parțiale de ordinul întâi
Și
sunt egale cu zero. Cu toate acestea, nu va fi un punct extrem. Într-adevăr,
, dar în orice vecinătate a punctului
există puncte în care funcția ia valori pozitive și puncte în care funcția ia valori negative. Acest lucru este ușor de verificat dacă construiți un grafic al funcției - un paraboloid hiperbolic.

Pentru o funcție a două variabile, cele mai convenabile condiții suficiente sunt date de următoarea teoremă.

TEOREMA 8.2. (condiții suficiente pentru extremul unei funcții a două variabile). Lăsa
– punctul critic al funcției
și într-o vecinătate a punctului
funcția are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Să notăm

,
,
.

Atunci 1) dacă
, apoi punct
nu este un punct extremum;


Dacă folosim teorema 8.2 pentru a investiga punctul critic
a eșuat (adică dacă
sau funcția nu are niciun rost în vecinătate
derivate parțiale continue de ordinul cerut), răspunsul la întrebarea despre prezența într-un punct
extremum va da semnul incrementului funcției în acest punct.

Într-adevăr, din definiţie rezultă că dacă funcţia
are la punct
maxim strict atunci

pentru toate punctele
dintr-o vecinătate a unui punct
, sau altfel

pentru toți suficient de mici
Și
. La fel, dacă
este un punct de minim strict, apoi pentru toți suficient de mic
Și
inegalitatea va fi satisfăcută
.

Deci, pentru a afla dacă punctul critic este
extremum, este necesar să se examineze incrementul funcției în acest punct. Dacă pentru toate destul de mici
Și
va păstra semnul, apoi la punct
funcția are un extremum strict (minimum dacă
, iar maximul dacă
).

cometariu. Regula rămâne valabilă pentru un extremum non-strict, dar cu modificarea că pentru unele valori
Și
incrementul funcției va fi zero
EXEMPLU. Găsiți extremele funcțiilor:

1)
; 2)
.

1) Funcție

Și
există și peste tot. Rezolvarea unui sistem de ecuații
,
găsiți două puncte critice
Și
.

Pentru a studia punctele critice, aplicăm Teorema 8.2. Avem:

,
,
.

Să explorăm ideea
:

,
,
,

;
.

Prin urmare, la punctul
această funcție are un minim și anume
.

Explorarea punctului critic
:

,
,
,


.

Prin urmare, al doilea punct critic nu este punctul extremum al funcției.

2) Funcția
definit peste tot. Derivatele sale parțiale de ordinul întâi
și există, de asemenea, peste tot. Rezolvarea unui sistem de ecuații
,
găsi singurul punct critic
.

Pentru a studia punctul critic, aplicăm Teorema 8.2. Avem:

,
,
,

,
,
,

.

Determinați prezența sau absența unui extremum într-un punct
folosind teorema 8.2 a eșuat.

Să examinăm semnul incrementului funcției la punctul
:

Dacă
, Acea
;

Dacă
, Acea
.

Deoarece
nu păstrează semnul în vecinătatea unui punct
, atunci în acest moment funcția nu are un extremum.

Definițiile maximului și minimului și condițiile necesare pentru un extremum sunt ușor de transferat la funcții a trei sau mai multe variabile. Condiții suficiente pentru un extremum pentru o funcție (
) variabilele nu sunt luate în considerare în acest curs din cauza complexității lor. În acest caz, vom determina natura punctelor critice prin semnul incrementului funcției.

2. Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției.

Fie funcția a două variabile
definite într-o anumită zonă
avion
,
,
– punctele acestei zone. Valoarea funcției într-un punct
numit cel mai mare , dacă pentru orice punct
din regiune
inegalitatea este valabilă

.

În mod similar, valoarea funcției la punctul
numit cel mai mic , dacă pentru orice punct
din regiune
inegalitatea este valabilă

.

Mai devreme, am spus deja că dacă o funcție este continuă și aria
– este închisă și limitată, atunci funcția își ia cele mai mari și cele mai mici valori în această zonă. În același timp, puncte
Și
se poate afla atât în ​​interiorul zonei
, iar pe hotarul ei. Dacă punctul
(sau
) se află în interiorul regiunii
, atunci acesta va fi punctul maxim (minim) al funcției
, adică punctul critic al unei funcții în interiorul unei regiuni
. Prin urmare, pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției
în zonă
trebuie sa:
.

Un extremum al unei funcții este o proprietate de natură locală, locală (vezi definiția). Maximul (minimul) nu trebuie confundat cu cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții într-o zonă închisă D.

Definiție. Să spunem funcția z = f(X y) este definită și continuă într-o anumită regiune D, are derivate parțiale finite în această regiune. Apoi, în această regiune vor exista puncte în care funcția ajunge cel mai mare și cel mai mic valorile valorilor rămase. Aceste puncte se pot afla în interiorul regiunii sau la granița acesteia.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, aveți nevoie de:

1) Găsiți puncte staționare situate în interiorul regiunii și calculați valorile funcției în aceste puncte.

Cometariu. Atașați punctelor staționare puncte la care derivatele sunt infinite sau nu există (dacă există).

2) Găsiți puncte staționare la limita regiunii și calculați valorile funcției în aceste puncte.

3) Găsiți valorile funcției la punctele de colț - punctele de intersecție ale liniilor de delimitare.

4) Din toate valorile găsite, selectați cea mai mare și cea mai mică.

Exemplul 1.22. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

z = 2X 2 – xy ++ y 2 + 7Xîntr-o zonă închisă D: –3 X 3, –3 y 3 (Fig. 1.3).

Orez. 1.3. Domeniu de studiu D

Soluţie. 1) Găsiți puncte staționare

De aici la = –1, X= –2, punct staționar M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Studiem funcția de la limita regiunii, care constă din segmente AB, DC, CB, AD.

a) Pe o linie dreaptă AB: la= 3, iar funcția are forma

z = 2X 2 + 3X + 9 + 7X =

= 2X 2 + 10X + 9, X [–3, 3].

Aceasta este o funcție a unei variabile independente.

Să determinăm punctele staționare ale acestei funcții:

prin urmare, X = –2,5.

Noi definim z la X = –2,5, precum și la capetele segmentului [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

înseamnă = 3,5, a = 57.

b) Luați în considerare segmentul Soare:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; la [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

Găsim z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Pe un segment CD: y = 3, z = 2X 2 + 4x+ 9; la [–3, 3],

= –4X + 4 = 0 Þ X = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Funcțiile mai multor variabile

1. Definiții de bază

Definiția 1. Corespondența care corespunde fiecărei perechi (x; y) a valorilor variabilelor x și y, aparținând unui anumit set de perechi D, unul și un singur număr zÎR, se numește funcție a două variabile definite pe setați D cu valori în R. În acest caz scriem z = f (x;y). D = D(f) – domeniul de definire al funcției f.

2. Creșteri parțiale și totale ale unei funcții a două variabile

Dacă într-o funcție z = f(x; y) a două variabile x și y fixăm valoarea uneia dintre ele, de exemplu y = y 0, atunci obținem o funcție z = f(x; y 0), în funcție de pe o variabilă x.

În mod similar, dacă fixăm variabila x = x 0, obținem funcția z = f(x 0; y) a unei variabile y.

Definiția 2. Mărimea D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0; y 0) se numește spor privat funcția z = f(x; y) în punctul (x 0 ; y 0) față de argumentul x.

Definiția 3. Mărimea D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) se numește spor privat funcțiile z = f(x; y) în punctul (x 0 ; y 0) prin argumentul y.

Definiția 4. Mărimea Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0; y 0) se numește increment complet funcțiile z = f(x; y) în punctul (x 0 ; y 0).

3. Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile

Fie dată o funcție z = f(x; y) din două variabile independente x și y. Fixând una dintre ele, de exemplu, setând y = const, ajungem la o funcție a unei variabile x. Apoi putem introduce conceptul de derivată a funcției rezultate față de x, pe care o notăm. Conform definiției derivatei unei funcții a unei variabile, avem:

Definiția 5. Limita raportului dintre incrementul parțial D x z al funcției z=f(x; y) față de variabila x și incrementul Dx al variabilei x, deoarece Dx tinde spre zero, se numește derivat parțial funcţionează în x şi se notează cu ; ;

În mod similar definite și notate derivat parțial funcțiile z = f(x; y) în variabila y.

Exemplul 1. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Soluţie

1. Presupunând y = const, și considerând x o variabilă independentă, găsim

În mod similar, pentru x = const, obținem .

2. Când y = const

;

pentru x = const

Tot ceea ce s-a spus poate fi extins la funcții de orice număr de variabile.

Exemplul 2. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Soluţie

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Deoarece derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt și, în general, funcții ale mai multor variabile, derivatele parțiale pot fi calculate și pentru ele. Aceste derivate se numesc derivate parțiale de ordin superior.

De exemplu, pentru o funcție f(x; y) a două variabile, sunt disponibile următoarele tipuri de derivate de ordinul doi:

- derivata a doua partiala fata de x;

și = - derivate parțiale mixte

- derivata a doua parțială față de y.

4. Diferenţial total al unei funcţii a două variabile

Definiția 6. Diferența totală a funcției z=f(x;y) a două variabile x și y este partea principală a incrementului total Dz, liniară în raport cu incrementele argumentelor Dx și Dy.

Ținând cont de faptul că Dx = dx și Dy = dy, diferența totală a funcției z = f(x; y) se calculează folosind formula

Exemplul 3. Calculați diferența totală a unei funcții

z = ln (x 2 + y 2).

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale ale acestei funcții

După înlocuirea lor în formula (3.5), obținem

dz =

Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctan

Găsiți derivate parțiale de ordinul doi

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Verifică asta

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctan

Găsiți diferența completă a funcțiilor

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Extreme ale unei funcții a două variabile

Definiții de bază

Definiția 1. Punctul M(x 0 ; y 0) se numește punctul maxim (minim) al funcției z = f(x; y) dacă există o vecinătate a punctului M astfel încât pentru toate punctele (x; y) din aceasta vecinătate este valabilă următoarea inegalitate:

f(x 0; y 0) ³ f(x; y), .

Teorema 1 (o condiție necesară pentru existența unui extremum) . Dacă o funcție diferențiabilă z = f(x; y) atinge un extrem în punctul M(x 0 ; y 0), atunci derivatele sale parțiale de ordinul întâi în acest punct sunt egale cu zero, i.e. ;

Se numesc punctele în care derivatele parțiale sunt egale cu zero staționar sau puncte critice.

Teorema 2 (condiție suficientă pentru existența unui extremum)

Fie funcția z = f(x; y):

a) definit într-o anumită vecinătate a punctului (x 0 ; y 0), în care Și ;

b) are derivate parțiale continue de ordinul doi în acest punct

;

Atunci, dacă D = AC - B 2 > 0, atunci în punctul (x 0 ; y 0) funcția z = f(x; y) are un extremum, iar dacă A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (sau C > 0) – minim. În cazul în care D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Exemplul 1. Aflați extremul funcției z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Să folosim condiția necesară pentru existența unui extremum:

Rezolvând sistemul de ecuații, găsim coordonatele x și y ale punctelor staționare: x = 0; y = 3, adică M(0; 3).

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul doi și să le găsim valorile în punctul M.

A = = 2; C = = 2;

Să alcătuim discriminantul D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Prin urmare, în punctul M(0; 3) funcția dată are un minim. Valoarea funcției în acest punct este z min = -9.

Găsiți extremele funcțiilor

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile

Într-o zonă închisă

Pentru a găsi cel mai mareȘi cel mai puţin valorile unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să:

1) găsiți punctele critice situate într-o zonă dată și calculați valorile funcției în aceste puncte;

2) găsiți punctele critice la limita regiunii și calculați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor la acestea;

3) dintre toate valorile găsite, selectați cea mai mare și cea mai mică.

Exemplul 2. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției z = în cercul x 2 + y 2 £ 1.

Soluţie. Să găsim coordonatele punctelor critice situate în interiorul regiunii luate în considerare, pentru care calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției z și le echivalăm cu zero.

de unde x = 0, y = 0 și, prin urmare, M(0; 0) este un punct critic.

Să calculăm valoarea funcției z în punctul M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Să găsim punctele critice de la limita zonei - un cerc definit de ecuația x 2 + y 2 = 1. Substituind y 2 = 1 - x 2 în funcția z = z(x; y), obținem o funcție a unei variabile

z = ;

unde xО[-1; 1].

După ce a calculat derivata și echivalând cu zero, obținem puncte critice la limita regiunii x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Să aflăm valoarea funcției z(x) = în punctele critice și la capetele segmentului [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Să alegem cea mai mare și cea mai mică dintre valorile funcției z în punctele critice situate în interiorul și la limita cercului.

Deci, z max. = z(0; 0) = 2

z nume = z

Extremum condiționat

Definiția 2. Extremul condiționat al unei funcții z = f(x; y) este extremul acestei funcții, realizat cu condiția ca variabilele x și y să fie legate prin ecuația j(x; y) = 0 (ecuația conexiunii). , y = .

Astfel, ipotenuza are cea mai mică valoare dacă catetele triunghiului sunt egale între ele.

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x într-o zonă închisă delimitată de dreptele x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y într-un pătrat mărginit de drepte x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y într-un triunghi mărginit de drepte x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) în regiunea 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy în cercul x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 în cerc (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 în cerc (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. Aflați extremul funcției z = x 2 + y 2 dacă x și y sunt legate prin ecuația = 1.

340. Dintre toate triunghiurile cu perimetrul P, găsiți cel mai mare ca suprafață.

341. Dintre toate dreptunghiurile cu o zonă S dată, găsiți-l pe cel al cărui perimetru are cea mai mică valoare.

342. Determinați dimensiunile unui bazin deschis de volum V, care are cea mai mică suprafață.

343. Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic care are un volum maxim pentru o suprafață totală dată S.

344. Să se determine dimensiunile cilindrului cu volumul cel mai mare, cu condiția ca suprafața sa totală să fie S = 6p.

* Sub concepte convexȘi concavitate Graficele de funcții trebuie înțelese umflaȘi jos respectiv.

Definiţia 1.11 Să fie dată o funcţie a două variabile z=z(x,y), (x,y) D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .

Dacă în D există un astfel de cartier U.M. 0 puncte M 0 , care pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punct maxim local. Și sensul în sine z(M 0 ) - maxim local.

Și dacă pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punctul minim local al funcției z(x,y) . Și sensul în sine z(M 0 ) - minim local.

Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . În fig. 1.4 explică semnificația geometrică a maximului local: M 0 - punct maxim, deoarece la suprafata z =z (x,y) punctul său corespunzător C 0 este mai înalt decât orice punct învecinat C (aceasta este localitatea maximului).

Rețineți că, în general, există puncte pe suprafață (de exemplu, ÎN ), care sunt situate deasupra C 0 , dar aceste puncte (de exemplu, ÎN ) nu sunt „vecinate” până la obiect C 0 .

În special, punctul ÎN corespunde conceptului de maxim global:

Minimul global este definit în mod similar:

Găsirea maximelor și minimelor globale va fi discutată în secțiunea 1.10.

Teorema 1.3 (condiții necesare pentru un extremum).

Să fie dată funcția z =z (x,y), (x,y) D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 D - punctul extremum local.

Dacă în acest moment există z" X Și z" y , Acea

Dovada geometrică este „evidentă”. Dacă la punct C 0 trageți un plan tangent pe (Fig. 1.4), apoi va trece „în mod natural” pe orizontală, adică într-un unghi 0° la axa Oh iar la axă OU .

Apoi, în conformitate cu semnificația geometrică a derivatelor parțiale (Fig. 1.3):

Q.E.D.

Definiția 1.12.

Dacă la punct M 0 sunt îndeplinite condițiile (1.41), atunci se numește punct staționar al funcției z(x,y) .

Teorema 1.4 (condiții suficiente pentru un extremum).

Să fie dat z =z (x,y), (x,y) D , care are derivate parțiale de ordinul doi într-o apropiere a punctului M 0 (X 0 ,y 0 ) D . în plus M 0 - punct staționar (adică sunt îndeplinite condițiile necesare (1.41). Să calculăm:

Demonstrarea teoremei folosește subiecte (formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile și teoria formelor pătratice) care nu sunt tratate în acest tutorial.

Exemplul 1.13.

Explorează până la extrem:

1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):

adică se găsesc patru puncte staţionare. 2.

prin teorema 1.4 în punctul în care există un minim. în plus

prin teorema 1.4 la punctul

Maxim. în plus

§10 Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-un domeniu închis

Teorema 1.5 Fie într-o regiune închisă D funcția specificată z=z(x,y) , având derivate parțiale continue de ordinul întâi. Frontieră G regiune D este netedă pe bucăți (adică este format din bucăți de curbe sau linii drepte „netede la atingere”). Apoi în zonă D funcţie z(x,y) atinge cea mai mare M și cel mai puțin m valorile.

Nicio dovadă.

Puteți propune următorul plan de găsire M Și m . 1. Construim un desen, selectăm toate părțile limitei zonei D și găsiți toate punctele „de colț” ale graniței. 2. Găsiți puncte staționare în interior D . 3. Găsiți puncte staționare pe fiecare dintre granițe. 4. Calculăm la toate punctele staționare și de colț, apoi îl selectăm pe cel mai mare M si cel putin m sensuri.

Exemplul 1.14 Găsiți cel mai mare M si cel putin m valorile funcției z = 4x2-2xy+y2-8x într-o zonă închisă D , limitat: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Să construim o zonă D (Fig. 1.5) pe un plan Ohoo .

Puncte de colț: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Frontieră G regiune D constă din trei părți:

2. Găsiți puncte staționare în interiorul regiunii D :

3. Puncte staţionare pe limite l 1 , l 2 , l 3 :

4. Calculăm șase valori:

Din cele șase valori obținute, selectați cea mai mare și cea mai mică.