Proprietățile de bază ale integralei duble

Proprietățile unei integrale duble (și derivarea lor) sunt similare cu proprietățile corespunzătoare ale unei singure integrale definite.

1°. Aditivitate. Dacă funcţia f(X, y) este integrabil în domeniu D iar dacă zona D folosind o curbă G zona zero este împărțită în două regiuni conectate care nu au puncte interioare comune D 1 și D 2, apoi funcția f(X, y) este integrabil în fiecare dintre domenii D 1 și D 2, și

2°. Proprietate liniară. Dacă funcţiile f(X, y) Și g(X, y) sunt integrabile în domenii D, A α Și β - orice numere reale, apoi funcția [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] este de asemenea integrabil în domeniu D, și

3°. Dacă funcţiile f(X, y) Și g(X, y) sunt integrabile în domenii D, atunci produsul acestor funcții este integrabil în D.

4°. Dacă funcţiile f(X, y) Și g(X, y) ambele sunt integrabile în domeniul Dși peste tot în această zonă f(X, y) ≤ g(X, y), Acea

5°. Dacă funcţia f(X, y) este integrabil în domeniu D, apoi funcția | f(X, y)| integrabil în zone D, și

(Desigur, din integrabilitate | f(X, y)| V D integrabilitatea nu urmează f(X, y) V D.)

6°. Teorema valorii medii. Dacă ambele funcţii f(X, y) Și g(X, y) sunt integrabile în domenii D, funcție g(X, y) este nenegativ (nepozitiv) peste tot în această regiune, MȘi m- limitele superioare și inferioare exacte ale funcției f(X, y) în zonă D, apoi există un număr μ , satisfacerea inegalitatii m ≤ μ ≤ Mși astfel încât formula să fie valabilă

Proprietățile integralelor duble.

Unele dintre proprietățile integralelor duble decurg direct din definiția acestui concept și proprietățile sumelor integrale, și anume:

1. Dacă funcţia f(x, y) se integrează în D, Acea kf(x, y) este de asemenea integrabil în această regiune și (24.4)

2. Dacă se află în zonă D funcții integrabile f(x, y)Și g(x, y), apoi în acest domeniu funcțiile f(x, y) ± g(x, y), și în care

3. Dacă pentru cei care se integrează în zonă D funcții f(x, y)Și g(x, y) inegalitatea este valabilă f(x, y)≤g(x, y), Acea

(24.6)

Să mai demonstrăm câteva proprietăți ale integralei duble:

4. Dacă zona Dîmpărțit în două zone D 1 și D 2 fără puncte interioare comune și funcție f(x, y) continuu in regiune D, Acea

(24.7) Dovada . Sumă integrală asupra zonei D poate fi reprezentat ca:

unde este partiția de zonă D trasat astfel încât granița dintre D 1 și D 2 constă din limitele părților partiției. Trecând apoi la limita de la , obținem egalitatea (24.7).

5. În cazul integrabilităţii pe D funcții f(x, y)în acest domeniu funcţia este de asemenea integrabilă | f(x, y) |, iar inegalitatea este valabilă

(24.8)

Dovada.

de unde, folosind trecerea la limita la, obținem inegalitatea (24.8)

6. unde S D– zona regiunii D. Obținem dovada acestei afirmații prin substituirea în suma integrală f(x, y)≡ 0.

7. Dacă este integrat în zonă D funcţie f(x, y) satisface inegalitatea

m ≤ f(x, y) ≤ M,

Acea (24.9)

Dovada.

Demonstrarea se realizează prin trecerea la limita de la inegalitatea evidentă

Consecinţă.

Dacă împărțim toate părțile inegalității (24.9) la D, putem obține așa-numita teoremă a valorii medii:

În special, în condiția continuității funcției f V D există un astfel de punct în această regiune ( x 0, y 0), în care f(x 0, y 0) = μ , acesta este

O altă formulare a teoremei valorii medii.

Sensul geometric al integralei duble.

Luați în considerare corpul V, limitat de partea de suprafață dată de ecuație z = f(x, y), proiecție D această suprafață față de planul O X yși o suprafață cilindrică laterală obținută din generatrice verticale care leagă punctele limitei suprafeței cu proiecțiile lor.

z=f(x,y)

y P i D Fig.2.

Vom căuta volumul acestui corp ca limită a sumei volumelor cilindrilor ale căror baze sunt părți Δ S i regiune D, iar înălțimile sunt segmente de lungime f(P i), unde punctele P i aparțin lui Δ S i. Trecând la limita la , obținem asta

(24.11)

adică integrala dublă reprezintă volumul așa-numitului cilindroid, mărginit de sus de suprafață z = f(x, y), iar mai jos – regiunea D.

Calculul unei integrale duble prin reducerea ei la una repetată.

Luați în considerare zona D, delimitat de linii x = a, x = b(A< b ), unde φ 1 ( X) și φ 2 ( X) sunt continue pe [ a, b]. Apoi orice linie dreaptă paralelă cu axa de coordonate O la si trecand prin punctul interior al regiunii D, intersectează limita regiunii în două puncte: N 1 și N 2 (Fig. 1). Să numim această zonă corect Inna-

la Controlul axei O la. La fel, definirea

y=φ 2 (X) există o zonă corectă în direcție

N 2 axa O X. Zona în direcția corectă este

Nii ambelor axe de coordonate, vom

D spune-i bine. De exemplu,

zona corectă este prezentată în Fig. 1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Lasă funcția f(x, y) continuu in regiune D. Luați în considerare expresia

, (24.12)

numit integrală dublă din functie f(x, y) pe regiune D. Să calculăm mai întâi integrala internă (în paranteze) peste variabilă la, socoteală X permanent. Rezultatul este o funcție continuă a X:

Integram functia rezultata peste X variind de la A inainte de b. Drept urmare, obținem numărul

Să demonstrăm o proprietate importantă a integralei duble.

Teorema 1. Dacă zona D, corectați în direcția O la, împărțit în două zone D 1 și D 2 drepte paralele cu axa O la sau axa O X, apoi integrala dublă peste zonă D va fi egală cu suma acelorași integrale pe arii D 1 și D 2:

Dovada.

a) Să fie o linie dreaptă x = c pauze D pe D 1 și D 2, corectează în direcția O la. Apoi

b) Lasă linia y = h pauze D spre cele din dreapta in directia O la regiune D 1 și D 2 (Fig. 2). Să notăm prin M 1 (A 1 , h) Și M 2 (b 1 , h) punctele de intersecție ale dreptei y = h cu bordura L regiune D.

y Regiune D 1 delimitat de linii continue

y=φ 2 (X) 1) y = φ 1 (X);

D 2 2) curba A 1 M 1 M 2 ÎN, a cărui ecuație o scriem

h M 1 M 2 y = φ 1 *(X), Unde φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 și

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h la A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) drept x = a, x = b.

Regiune D 2 limitat de linii y = φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Să aplicăm teorema despre

partiţionarea intervalului de integrare:

O a a 1 b 1 b

Să prezentăm a doua dintre integralele obținute ca o sumă:

+ + .

Deoarece φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 și b 1 ≤ x ≤ b, prima și a treia dintre integralele rezultate sunt identic egale cu zero. Prin urmare,

I D = , acesta este .

Integrala dublă are proprietăți similare cu cele ale integralei definite. Să le notăm doar pe cele principale:

1. Dacă funcţiile şi
integrate în zone
, atunci suma și diferența lor sunt integrabile în ea și

2. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei duble:

3. Dacă
integrabil în zone
, iar această zonă este împărțită în două zone care nu se suprapun Și
, Acea

4. Dacă
Și
integrate în zone
, în care

, Acea

5. Dacă se află în zonă
funcţie
satisface inegalitățile

,Unde
Și
unele numere reale, atunci

Unde – zona regiunii
.

Demonstrațiile acestor proprietăți sunt similare cu demonstrațiile teoremelor corespunzătoare pentru integrala definită.

Calculul integralei duble în coordonate carteziene dreptunghiulare

Să presupunem că trebuie să calculăm integrala dublă
, unde zona - dreptunghi definit prin inegalităţi ,.

Să ne prefacem că
este continuă în acest dreptunghi și ia valori nenegative în el, atunci această integrală dublă este egală cu volumul corpului cu baza , delimitat deasupra de suprafață
, din laterale - avioane
,
,
,
:

Pe de altă parte, volumul unei astfel de cifre poate fi calculat folosind o integrală definită:

Unde
- aria secțiunii transversale a unui corp dat de un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe axă
. Și întrucât secțiunea luată în considerare este un trapez curbat
, mărginită mai sus de graficul funcției
, Unde fixă şi , Acea

Din aceste trei egalităţi rezultă că

Deci, calculul acestei integrale duble a fost redus la calculul a două integrale definite; la calcularea „integralei interioare” (scrisă între paranteze) considerat permanent.

Cometariu. Se poate dovedi că ultima formulă este valabilă și pentru
, și, de asemenea, în cazul în care funcția
schimbă semnul în dreptunghiul specificat.

Partea dreaptă a formulei se numește integrală iterată și se notează după cum urmează:

În mod similar, se poate demonstra că

Din cele de mai sus rezultă că

Ultima egalitate înseamnă că rezultatul integrării nu depinde de ordinea integrării.

Pentru a considera un caz mai general, introducem conceptul de domeniu standard. O regiune standard (sau regulată) în direcția unei axe date este o astfel de regiune pentru care orice linie dreaptă paralelă cu această axă intersectează limita regiunii în cel mult două puncte. Cu alte cuvinte, intersectează regiunea în sine și granița ei de-a lungul unui singur segment de linie dreaptă.

Să presupunem că zona limitată

și este mărginită mai sus de graficul funcției
, mai jos - graficul funcției
. Fie R( ,) - dreptunghiul minim care încadrează această zonă
.

Lasati in zona
funcţie definită şi continuă
. Să introducem o nouă funcție:

apoi, în conformitate cu proprietățile integralei duble

Prin urmare

De la segmentul
aparține în întregime regiunii
atunci, prin urmare,
la

, si daca se află în afara acestui segment, atunci
.

La fix putem scrie:

Deoarece prima și a treia integrală din partea dreaptă sunt egale cu zero, atunci

Prin urmare,

Din care obținem formula de calcul a integralei duble peste un standard de regiune în raport cu axa
prin reducerea acesteia la o integrală iterată:

Dacă zona
este standard în direcția axei
și este determinată de inegalități ,

, la fel se poate dovedi că

Cometariu. Pentru zonă
, standard în direcția axelor
Și
, ambele ultime egalități vor fi satisfăcute, așadar

Această formulă schimbă ordinea integrării atunci când se calculează integrala dublă corespunzătoare.

Cometariu. Dacă aria de integrare nu este standard (corectă) în direcția ambelor axe de coordonate, atunci este împărțită în suma ariilor standard, iar integrala este prezentată ca suma integralelor peste aceste zone.

Exemplu. Calculați integrală dublă
pe regiune
, delimitat de linii:
,
,
.

Soluţie.

Această zonă este standard în raport cu axa
, și relativ la axă
.

Să calculăm integrala, considerând că aria este standard în raport cu axa
.

Cometariu. Dacă calculăm integrala, luând în considerare standardul ariei în raport cu axa
, obținem același rezultat:

Exemplu. Calculați integrală dublă
pe regiune
, delimitat de linii:
,
,
.

Soluţie. Să descriem domeniul de integrare dat în figură.

Această zonă este standard în raport cu axa
.

Exemplu. Schimbați ordinea integrării în integrala repetată:

Soluţie. Să descriem regiunea de integrare în figură.

Din limitele integrării găsim liniile care limitează zona de integrare: ,
,
,
. Pentru a schimba ordinea integrării, ne exprimăm ca funcţii de și găsiți punctele de intersecție:

,
,
.

Întrucât pe unul dintre intervale funcţia este exprimată prin două expresii analitice, apoi regiunea de integrare trebuie împărțită în două regiuni, iar integrala repetată trebuie prezentată ca suma a două integrale.

O problemă care duce la conceptul de integrală dublă.

Să presupunem că funcția părților este definită și notează suma

care se numește integrală.

R: Sub integrala definită (d.i.) a funcției și a alegerii

Desemnare:

Numerele se numesc Riemann integrabile pe .

T. existenţa: Cu condiţia ca .

În conformitate cu definiția o.i. observăm că integrala depinde de tip, limite și, dar nu depinde de simbolul desemnării variabilei, altfel exprimat

În conformitate cu clauzele 17.1.1 și 17.1.2 și cu definiția o.i. Să scriem formula pentru aria unui trapez curbiliniu: , munca de forta

pe :

Conceptul de integrală dublă, sume integrale.

Existența unei integrale duble, adică o limită a sumei integrale pentru, pare evidentă, deoarece această limită dă volumul unui corp cilindric. Cu toate acestea, acest raționament nu este riguros. În cursurile mai complete, această afirmație este strict dovedită și se numește teorema existenței unei integrale duble.

Teorema existenței. Pentru orice funcție care este continuă într-o regiune închisă mărginită având aria a, există o integrală dublă, adică există o limită a sumelor integrale cu o creștere nelimitată a numărului de arii mici, cu condiția ca fiecare dintre ele să se contracte la o punct. Această limită nu depinde de metoda de împărțire a regiunii în părți sau de alegerea punctelor

În cele ce urmează vom lua în considerare numai funcțiile care sunt continue în domeniul integrării.

Din teorema existenței rezultă că putem, de exemplu, să împărțim regiunea a în dreptunghiuri mici cu laturile drepte paralele cu axele de coordonate (Fig. 230). în care. Apoi alegând un punct în fiecare dreptunghi mic, putem scrie, conform definiției integralei duble

Pentru a sublinia că integrala dublă poate fi obținută ca limită a unei sume a formei, în loc de notație, folosim și notația

Expresia se numește element de zonă în coordonate carteziene și este egală cu aria unui dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Rețineți că la compilarea sumei integrale, zonele adiacente graniței zonei a nu au forma dreptunghiurilor. Cu toate acestea, se poate dovedi că eroarea de la înlocuirea unor astfel de zone cu dreptunghiuri cu zone în limită va fi redusă la zero.

Proprietățile integralelor duble

Proprietățile unei integrale duble (și derivarea lor) sunt similare cu proprietățile corespunzătoare ale unei singure integrale definite.

3°. Dacă funcţiile f(X, y) Și g(X, y) sunt integrabile în domenii D, atunci produsul acestor funcții este integrabil în D.

4°. Dacă funcţiile f(X, y) Și g(X, y) ambele sunt integrabile în domeniul Dși peste tot în această zonă f(X, y) ≤ g(X, y), Acea

5°. Dacă funcţia f(X, y) este integrabil în domeniu D, apoi funcția | f(X, y)| integrabil în zone D, și

(Desigur, din integrabilitate | f(X, y)| V D integrabilitatea nu urmează f(X, y) V D.)

În special, dacă funcția f(X, y) este continuă în D, și zona D coerent, atunci în această regiune există un astfel de punct ( ξ , η ), Ce μ = f(ξ , η ), iar formula (11) ia forma

Tangent și normal la suprafață

Definiție. Normal fata de suprafata in punctul N 0 este o dreapta care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la aceasta suprafata.

În orice punct suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z = f(x, y), unde f(x, y) este o funcție derivabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), planul tangent în punctul N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalei la suprafață în acest punct este:

Simțul geometric diferența totală a unei funcții a două variabile f(x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonatele z) ale planului tangent la suprafață la deplasarea din punctul (x 0). , y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

Exemplu. Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

în punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

Calculul integralei duble în coordonate polare.

Fie aria D delimitată de o dreaptă r = r()și raze = Și = , unde și r– coordonatele polare ale unui punct de pe plan asociate cu coordonatele sale carteziene XȘi y

Relații (Fig. 5). În acest caz

Cometariu. Dacă regiunea D în coordonate carteziene este dată de o ecuație care conține un binar, de exemplu, etc., atunci este mai convenabil să se calculeze integrala dublă peste o astfel de regiune în coordonate polare.

Integrală dublă. Definiții și proprietăți de bază.

Integrale duble.

Să considerăm o curbă închisă pe planul a cărei ecuație este

Setul tuturor punctelor care se află în interiorul curbei și pe curba în sine va fi numit o regiune închisă D. Dacă selectați puncte din regiune fără a lua în considerare punctele situate pe curbă, regiunea va fi numită o regiune deschisă D.

Din punct de vedere geometric, D este aria figurii delimitată de contur.

Să împărțim regiunea D în n regiuni parțiale printr-o rețea de linii distanțate între ele de-a lungul axei x cu o distanță Dx i și de-a lungul axei y cu o distanță Dу i. În general, această ordine de împărțire este obligatorie; este posibilă împărțirea zonei în zone parțiale de formă și dimensiune arbitrară.

Constatăm că aria S este împărțită în dreptunghiuri elementare, ale căror arii sunt egale cu S i = Dx i × Dy i.

În fiecare regiune parțială, luați un punct arbitrar P(x i, y i) și compuneți suma integrală

unde f este o funcție continuă și neechivocă pentru toate punctele regiunii D.

Dacă creștem infinit numărul de regiuni parțiale D i , atunci, evident, aria fiecărei regiuni parțiale S i tinde spre zero.

Definiție: Dacă, pe măsură ce treapta de partiție a domeniului D se apropie de zero, sumele integrale au o limită finită, atunci această limită se numește integrală dublă din funcția f(x, y) peste domeniul D.

Ținând cont de faptul că S i = Dx i × Dy i obținem:

În notația de mai sus există două semne S, deoarece însumarea se realizează pe două variabile x și y.

Deoarece Împărțirea regiunii de integrare este arbitrară, iar alegerea punctelor Р i este, de asemenea, arbitrară, atunci, considerând toate ariile Si ca fiind aceleași, obținem formula:

Condiții pentru existența unei integrale duble.

Să formulăm condiții suficiente pentru existența unei integrale duble.

Teorema. Dacă funcția f(x, y) este continuă într-un domeniu închis D, atunci integrala dublă există

Teorema. Dacă funcția f(x, y) este mărginită într-un domeniu închis D și este continuă în el peste tot, cu excepția unui număr finit de linii netede pe bucăți, atunci integrala dublă există.

Proprietățile integralei duble.

3) Dacă D = D 1 + D 2, atunci

4) Teorema valorii medii. Integrala dublă a funcției f(x, y) este egală cu produsul dintre valoarea acestei funcții la un moment dat din domeniul de integrare și aria domeniului de integrare.

5) Dacă f(x, y) ³ 0 în domeniul D, atunci .

6) Dacă f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), atunci .

#43 Definiție Să presupunem că curba C este dat de o funcție vectorială unde variabila s− lungimea arcului de curbă. Apoi derivata funcției vectoriale

Este un vector unitar direcționat de-a lungul tangentei la această curbă (Figura 1).
În formula de mai sus α, β Și γ − unghiurile dintre direcţiile tangente şi pozitive ale axelor O X, O yși O z, respectiv.

Să introducem o funcție vectorială definită pe curbă C, astfel încât pentru o funcție scalară

A existat o integrală curbilinie, o astfel de integrală se numește integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție vectorială de-a lungul unei curbe Cși este notat ca

Astfel, prin definiție,

unde este vectorul unitar al tangentei la curbă C.
Ultima formulă poate fi rescrisă și în formă vectorială:

Unde.
Dacă curba C se află în planul O X y, apoi presupunând R= 0, primim

Proprietăți ale unei integrale curbilinii de al doilea fel

O integrală curbilinie de al doilea fel are următoarele proprietăți: Fie C denotă o curbă care începe într-un punct Ași punctul final B. Să notăm prin −C curbă în sens opus - de la B La A. Apoi

Dacă C− combinarea curbelor C 1 și C 2 (Figura 2 de mai sus), atunci Dacă curba C este dat parametric sub forma , atunci Dacă curba C se află în planul O X yși se dă ecuația Tm (se presupune că R= 0 și t = x), atunci ultima formulă este scrisă sub formă

Nr. 49 Suprafața F este dată explicit z = z(x,y), (x,y)О D (compact),

unde z(x,y) are derivate parțiale continue de ordinul întâi în D, funcția f(x,y,z) este definită și continuă pe F. Atunci există o integrală egală cu

Dovada. Pentru zonele pe care le primim

Atunci sumele integrale vor fi egale

Prima dintre sume este integrală pentru , a doua poate fi făcută arbitrar mică prin alegerea unei partiții suficient de mică. Acesta din urmă rezultă din continuitatea uniformă a funcției f(x,y,z(x,y)) pe D.

nr. 40 (continuare) O condiție suficientă pentru existența unei integrale curbilinii de primul fel va fi formulată mai târziu, când vom arăta cum să o calculăm.

Definiția unei integrale curbilinie de primul fel este aceeași ca structură cu definiția unei integrale definite. Prin urmare, o integrală curbilinie de primul fel are aceleași proprietăți ca și o integrală definită. Prezentăm aceste proprietăți fără dovezi.

PROPRIETATI DE INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL I

1. , unde este lungimea curbei.

2. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei curbilinii de primul fel, i.e.

3. Integrala curbilinie de primul fel din suma algebrică a două funcții (număr finit) este egală cu suma algebrică a integralelor curbilinie de primul fel din aceste funcții, i.e.

4. Dacă curba este împărțită în două părți și nu are puncte interne comune, atunci

(proprietatea de aditivitate a unei integrale curbilinii de primul fel).

5. Dacă funcția () este peste tot pe curbă, atunci

6. Dacă peste tot pe curbă (),

7. (o consecință a proprietăților 6 și 1) Dacă și sunt, respectiv, cele mai mici și, respectiv, cele mai mari valori ale funcției de pe curbă, atunci

unde este lungimea curbei.

8. (teorema valorii medii pentru o integrală curbilinie de primul fel) Dacă funcția este continuă pe curbă, atunci există un punct astfel încât egalitatea

unde este lungimea curbei.

Nr. 42 Lungimea curbei.

Dacă funcția integrand f(x, y, z) ≡ 1, atunci din definiția unei integrale curbilinie de primul fel constatăm că în acest caz este egală cu lungimea curbei de-a lungul căreia se realizează integrarea:

Masa curba.

Presupunând că funcția integrand γ (x, y, z) determină densitatea fiecărui punct al curbei, găsim masa curbei folosind formula

3. Vom găsi momentele curbei l, raționând în același mod ca și în cazul unei regiuni plane: -

momentele statice ale unei curbe plate l în raport cu axele Ox și Oy;

momentul de inerție al curbei spațiale față de origine;

· momentele de inerţie ale curbei faţă de axele de coordonate.

4. Coordonatele centrului de masă al curbei se calculează folosind formulele

Nr. 38(2) Modificarea variabilelor în integrale triple

Când se calculează o integrală triplă, ca o integrală dublă, este adesea convenabil să se facă o schimbare de variabile. Acest lucru vă permite să simplificați forma domeniului de integrare sau a integrandului.

Fie integrala triplă inițială dată în coordonatele carteziene x, y, z în domeniul U:

Este necesar să se calculeze această integrală în noi coordonate u, v, w. Relația dintre coordonatele vechi și cele noi este descrisă de relațiile:

Se presupune că sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. Funcțiile φ, ψ, χ sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale;

2. Există o corespondență unu-la-unu între punctele regiunii de integrare U din spațiul xyz și punctele regiunii U" din spațiul uvw;

3. Jacobian al transformării I (u,v,w), egal cu

este diferit de zero și menține un semn constant peste tot în domeniul integrării U.

Apoi formula pentru schimbarea variabilelor într-o integrală triplă se scrie astfel:

În expresia de mai sus înseamnă valoarea absolută a jacobianului.

Nr. 38 Integrale triple în coordonate sferice

Coordonatele sferice ale punctului M(x,y,z) sunt trei numere − ρ, φ, θ, unde

ρ este lungimea vectorului raza punctului M;

φ este unghiul format de proiecția vectorului rază pe planul Oxy și pe axa Ox;

θ este unghiul de abatere al vectorului rază față de direcția pozitivă a axei Oz (Figura 1).

Vă rugăm să rețineți că definițiile lui ρ, φ în coordonatele sferice și cilindrice sunt diferite una de cealaltă.

Coordonatele sferice ale unui punct sunt legate de coordonatele lui carteziene prin relații

Jacobianul trecerii de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice are forma:

Extinderea determinantului pe a doua coloană, obținem

În consecință, valoarea absolută a jacobianului este egală cu

Prin urmare, formula pentru modificarea variabilelor la conversia coordonatelor carteziene în coordonate sferice are forma:

Este mai convenabil să se calculeze integrala triplă în coordonate sferice atunci când domeniul de integrare U este o bilă (sau o parte a acesteia) și/sau când integrandul are forma f (x2 + y2 + z2).

Suprafaţă

Să selectăm un punct M0 pe o suprafață netedă (închisă sau delimitată de un contur neted) și să desenăm o normală la suprafață la el, alegând o anumită direcție pentru aceasta (una dintre două posibile). Să desenăm un contur închis de-a lungul suprafeței, începând și terminând în punctul M0. Să considerăm un punct M care ocolește acest contur și în fiecare dintre pozițiile sale tragem normala direcției în care trece continuu normala din punctul anterior. Dacă, după parcurgerea conturului, normala revine în punctul M0 la poziția inițială pentru orice alegere a punctului M0 de pe suprafață, suprafața se numește bifață. Dacă direcția normalei, după parcurgerea a cel puțin un punct, se schimbă în sens invers, suprafața se numește unilaterală (un exemplu de suprafață unilaterală este o bandă Mobius). Din cele de mai sus rezultă că alegerea direcția normalei într-un punct determină fără ambiguitate direcția normalei în toate punctele suprafeței.

Definiție

Mulțimea tuturor punctelor de pe suprafață cu aceeași direcție normală se numește latura suprafeței.

Orientare la suprafață.

Luați în considerare o suprafață deschisă netedă cu două fețe S, delimitată de un contur L și alegeți o latură a acestei suprafețe.

Definiție

Să numim pozitivă direcția de parcurgere a conturului L, în care mișcarea de-a lungul conturului are loc în sens invers acelor de ceasornic față de observatorul situat la punctul final al normalei la un punct al suprafeței S corespunzător laturii alese a suprafeței. Direcția inversă de parcurgere a conturului va fi numită negativă.

Fluxul câmpului vectorial.

Să considerăm un câmp vectorial A(M) definit într-un domeniu spațial G, o suprafață netedă orientată S G și un câmp de normale unitare n(M) pe o parte selectată a suprafeței S.

Definiție 13.3. Integrală de suprafață de primul fel, (13.1)

unde An este produsul scalar al vectorilor corespunzători și An este proiecția vectorului A pe direcția normală, numită fluxul câmpului vectorial A(M) prin partea selectată a suprafeței S.

Nota 1.

Dacă alegeți cealaltă parte a suprafeței, atunci normalul și, în consecință, fluxul își va schimba semnul.

Nota 2.

Dacă vectorul A specifică viteza curgerii fluidului într-un punct dat, atunci integrala (13.1) determină cantitatea de fluid care curge pe unitatea de timp prin suprafața S în direcție pozitivă (de unde termenul general „curgere”).

Nr. 53 Integrală de suprafață de al doilea fel. Definiție și sfinți.

Definiție

Să luăm în considerare o suprafață cu două fețe, netedă sau netedă pe bucăți și să fixăm oricare dintre cele două laturi ale acesteia, ceea ce este echivalent cu alegerea unei anumite orientări pe suprafață.

Pentru certitudine, să presupunem mai întâi că suprafața este dată de o ecuație explicită și punctul variază într-o regiune din planul delimitat de un contur neted pe bucăți.

Să se definească acum o anumită funcție în punctele acestei suprafețe. După ce am împărțit suprafața cu o rețea de curbe netede pe bucăți în părți și alegând un punct pe fiecare astfel de părți, calculăm valoarea funcției într-un punct dat și o înmulțim cu aria proiecției pe planul lui. elementul, dotat cu un anumit semn. Să facem o sumă integrală:

Limita finală a acestei sume integrale, deoarece diametrele tuturor pieselor tind spre zero, se numește integrala de suprafață a celui de-al doilea tip de

se răspândește pe partea selectată a suprafeței și este desemnată prin simbol

(aici) ne amintește de aria de proiecție a unui element de suprafață pe un plan

Dacă în loc de un plan proiectăm elemente de suprafață pe un plan sau , atunci obținem alte două integrale de suprafață de al doilea tip:

În aplicații, conexiunile integralelor de toate aceste tipuri sunt cel mai des întâlnite:

unde sunt funcțiile lui , definite în puncte ale suprafeței.

Relația dintre integralele de suprafață de al doilea și primul fel

Unde este vectorul normal unitar al suprafeței - ort.

Proprietăți

1. Linearitate: ;

2. Aditivitate: ;

3. Când se schimbă orientarea suprafeței, integrala suprafeței își schimbă semnul.

Nr. 60 Operatornabla (operatorul lui Hamilton)- operator diferenţial vectorial, notat cu simbolul (nabla). Pentru spațiul euclidian tridimensional în coordonate carteziene dreptunghiulare, operatorul nabla este definit după cum urmează: unde sunt vectorii unitari de-a lungul axelor x, y, z.

Proprietățile operatorului observabil. Acest vector are sens atunci când este combinat cu funcția scalară sau vectorială la care este aplicat.Dacă înmulțiți vectorul cu scalar φ, obțineți un vector care reprezintă gradientul funcției. Dacă un vector este înmulțit scalar cu un vector, rezultatul este scalar

adică divergenţa vectorului. Dacă înmulțiți cu vector, obțineți rotorul unui vector:

Notă: precum și pentru desemnarea produsului scalar și vectorial în general, atunci când sunt utilizate cu operatorul nabla, împreună cu cele utilizate mai sus, se folosesc adesea notații alternative echivalente, de exemplu, în loc să scrie adesea , și în loc de ele scrie ; acest lucru este valabil și pentru formulele prezentate mai jos.

În consecință, produsul scalar este un operator scalar numit operator Laplace. Acesta din urmă este de asemenea desemnat. În coordonatele carteziene, operatorul Laplace este definit astfel: Întrucât operatorul nabla este un operator diferențial, la transformarea expresiilor este necesar să se țină cont atât de regulile algebrei vectoriale, cât și de regulile de diferențiere. De exemplu:

Adică, derivata unei expresii care depinde de două câmpuri este suma expresiilor în fiecare dintre care este diferențiat un singur câmp. Pentru comoditatea de a indica asupra căror câmpuri acționează nabla, este general acceptat că în produsul câmpurilor și operatorilor, fiecare operator acționează asupra expresiei din dreapta acesteia și nu acționează asupra tuturor celor din stânga. Dacă operatorului i se cere să acționeze asupra unui câmp din stânga, acest câmp este marcat într-un fel, de exemplu, prin plasarea unei săgeți deasupra literei: Această formă de notație este de obicei folosită în transformările intermediare. Din cauza neplăcerilor sale, ei încearcă să scape de săgețile din răspunsul final.

№61 Operații diferențiale vectoriale de ordinul doi Următoarele cinci operații sunt numite:

1. unde este operatorul Laplace.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Iată mărimea vectorială obținută prin aplicarea operatorului Laplace la fiecare proiecție a vectorului.

- - - - - - - - - - - - - - -