Dacă o dreaptă nu se află într-un plan și nu este paralelă cu acesta, ea intersectează planul.
Sarcina de a determina punctul de intersecție al unei drepte cu un plan este următoarea:
1) desenarea unui plan auxiliar ( Se recomandă un plan auxiliar pentru a alege unul care va oferi cea mai simplă soluție grafică problemei.) prin această linie;
2) aflarea dreptei de intersecție a planului auxiliar cu planul dat;
3) determinarea punctului de intersecție a unei drepte date cu linia de intersecție a planelor și, în consecință, cu planul dat.

Exemplul 1. Pe (Fig.250, a) având în vedere planul δ (δ 1 ) și dreapta AB (A 1 B 1 și A 2 B 2 ); se cere determinarea punctului de intersectie a acestora.

În acest caz, nu este nevoie să se recurgă la un plan auxiliar, deoarece acest plan δ este proiectat orizontal. Conform proprietății planurilor de proiectare, proiecția orizontală a punctului de intersecție, care se află în planul δ, se contopește cu proiecția orizontală δ 1 .
Prin urmare, punctul K 1 al intersecției proiecției orizontale A 1 B 1 a dreptei AB cu proiecția orizontală δ 1 este proiecția orizontală a punctului de intersecție K; proiecţia frontală K 2 se determină prin trasarea unei linii verticale de comunicaţie până la intersectarea cu proiecţia frontală A 2 B 2 .
Exemplul 2 . Pe (fig.250,b) este prezentat un exemplu de intersecție a dreptei AB cu planul δ proiectat frontal.

Exemplul 1. Date: un plan în poziţia generală a şi o dreaptă în poziţia generală AB (A 1 B 1 A 2 B 2); se cere găsirea punctului de intersecție a acestora (Fig.251,a).
Desenăm un plan auxiliar prin dreapta AB, de exemplu orizontal – proiectant planul 5 (5 1 ), așa cum se arată în (Fig. 251b); va intersecta planul a de-a lungul dreptei NM (N 1 M 1, N 2 M 2), care, la rândul ei, va intersecta dreapta AB (A 1 B 1 A 2 B 2) în punctul C (C). 1 C 2), după cum se vede pe (Fig. 251, c). Punctul C este punctul de intersecție al dreptei AB cu planul a.

Exemplul 2. Pe (Fig.252) un exemplu de găsire a proiecțiilor punctului de intersecție al dreptei AB cu planul de poziție generală folosind orizontala h.
Exemplul 3. Dați: triunghiul ABC și dreapta NM ; este necesară determinarea punctului de intersecție a acestora (Fig.253,a).
Să luăm ca plan auxiliar un plan proiectat orizontal δ, atunci proiecția orizontală og se va îmbina cu proiecția orizontală N 1 M 1 dreapta NM și va intersecta proiecțiile laturilor triunghiului în punctele E 1 și F 1 (Fig. .253,b). Segmentul E 1 F 1 va fi o proiecție orizontală a liniei de intersecție. Apoi găsim proiecția frontală a dreptei de intersecție: folosind linii de comunicație verticale, obținem punctele E 2 și F 2, tragem o dreaptă E 2 F 2 prin ele, care va fi proiecția frontală a dreptei de intersecție.
Linia E 2 F 2 intersectează dreapta N 2 M 2 în punctul K 2 . Punctul K 2 va fi o proiecție frontală a punctului de intersecție a dreptei MN cu dreapta EF; proiecția orizontală K 1 a acestui punct se determină folosind o linie de comunicație verticală.
Punctul K (K 1 , K 2 ) va fi punctul de intersecție al dreptei date MN cu triunghiul dat ABC, ca aparținând acestora în același timp, deoarece dreapta MN se intersectează în ea cu dreapta EF situată în planul triunghiului ABC .

Exercitiul 1
Construiți un desen complex al triunghiului ABC având în vedere coordonatele vârfurilor. Găsiți dimensiunea naturală a laturilor triunghiului și construiți-l la dimensiunea naturală. Folosind aceleași coordonate, construiți o imagine vizuală
Exercițiul 2
În funcție de proiecția frontală a poligonului și proiecțiile orizontale a două laturi adiacente ale acestuia, completați proiecția orizontală a poligonului.
Construiți proiecțiile unui triunghi arbitrar în planul poligonului. Construiți un punct în afara poligonului, dar situat în același plan cu acesta (

Bună prieteni! Astăzi analizăm subiectul geometriei descriptive - intersecția unei drepte cu un planși determinarea vizibilității liniei.

Preluăm sarcina din colecția lui Bogolyubov, 1989, p. 63, var. 1. Trebuie să construim un desen complex al unui triunghi ABC și o dreaptă MN în funcție de coordonatele date. Găsiți punctul de întâlnire (intersecție) al dreptei cu planul opac ABC.Determinați secțiunile vizibile ale dreptei.

Intersecția unei drepte cu un plan

1. Pe baza coordonatelor punctelor A, B și C, construim un desen complex al unui triunghi și o dreaptă NM. Începem să desenăm cu o proiecție orizontală. Găsim coordonatele punctelor de proiecție folosind linii auxiliare.

2. Obținem un desen atât de complex.

3. A determina coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului hai sa facem urmatoarele.

a) Desenați un plan auxiliar P prin dreapta NM, adică. pe proiecția frontală trasăm o urmă a planului Pv, pe planul orizontal coborâm perpendiculara Pn - urma orizontală a planului P.

b) Găsim proiecția frontală a dreptei de intersecție a urmei planului P cu triunghiul ABC. Acesta este segmentul d'e'. Găsim proiecția orizontală de-a lungul liniilor de comunicație până la intersecția cu laturile ab (t. d) și ac (t. e) ale triunghiului. Conectăm punctele d și e.

c) Împreună, intersecția dintre de și nm va fi proiecția orizontală a punctului dorit intersecția unei drepte cu un plan k.

d) Tragem o linie de comunicație de la k până la intersecția cu d'e', obținem o proiecție frontală a punctului k'.

e) de-a lungul liniilor de comunicare găsim proiecția de profil a punctului k''.

Coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan K a găsit. Acest punct se mai numește și punctul de întâlnire al liniei și al planului.

Determinarea vizibilității liniei

Pentru determinarea vizibilității liniei utilizați metoda puncte concurente.

În ceea ce privește extragerea noastră, punctele concurente vor fi:

- puncte: d' aparținând lui a'b' și e' aparținând lui n'm' (concurență frontală),

- puncte: g aparținând lui bc și h Deținut nm (concurență pe orizontală),

- puncte: l'' aparţinând lui b''c'' și p'' aparținând lui n''m'' (concurență de profil).

Dintre cele două puncte concurente va fi vizibil cel cu cea mai mare înălțime. Linia de vedere este limitată de punctul K.

Pentru o pereche de puncte d’ și e’, vizibilitatea este definită astfel: coborâm perpendiculara pe intersecția cu ab și nm pe proiecția orizontală, găsim punctele d și f. Vedem ca coordonata y pentru punctul f este mai mare decat cea a lui d → punctul f este vizibil → linia directa nm este vizibila pe sectiunea f'k', iar pe sectiunea k'm' este invizibila.

Argumentăm în mod similar pentru o pereche de puncte g și h: pe proiecția frontală, coordonata z a punctului h' este mai mare decât cea a lui g' → punctul h' este vizibil, g' nu este → linia dreaptă nm este vizibil pe segmentul hk, dar invizibil pe segmentul kn.

Și pentru o pereche de puncte l''p'': pe proiecția frontală, coordonata x este mai mare decât cea a punctului p', ceea ce înseamnă că acoperă punctul l'' pe proiecția profilului → р'' este vizibil, l'' nu este → segmentul de linie n' 'k'' este vizibil, k''m'' este invizibil.

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan proeminent se reduce la construirea unei a doua proiecții a unui punct pe diagramă, deoarece o proiecție a unui punct se află întotdeauna pe urma planului de proiectare, deoarece tot ceea ce este în planul de proiectare este proiectat pe una dintre urmele planului. Pe fig. 224,a arată construcția punctului de intersecție al dreptei EF cu planul frontal al triunghiului ABC (perpendicular pe planul V) Pe planul V, triunghiul ABC este proiectat în segmentul a „c” a dreptei, iar punctul k "va fi de asemenea situat pe această linie și va fi în punctul de intersecție a lui e "f" cu un "c". O proiecție orizontală este construită folosind o linie de conexiune de proiecție. Vizibilitatea unui linia dreaptă relativă la planul triunghiului ABC este determinată de poziția relativă a proiecțiilor triunghiului ABC și a dreptei EF pe planul V. Direcția de vedere din Fig. 224, a este indicată printr-o săgeată Secțiunea respectivă a liniei drepte, a cărei proiecție frontală este deasupra proiecției triunghiului, va fi vizibilă. La stânga punctului k "proiecția liniei drepte este deasupra proiecției triunghiului, prin urmare, această secțiune este vizibilă pe planul H.

Pe fig. 224, b, dreapta EF intersectează planul orizontal P. Proiecția frontală k "a punctului K - punctul de intersecție al dreptei EF cu planul P - va fi în punctul de intersecție al proiecției e" f „cu urma planului Pv, întrucât planul orizontal este un plan frontal proiectat. Proiecția orizontală k a punctului K se găsește folosind linia de legătură a proiecției.

Construirea unei linii de intersecție a două plane se reduce la găsirea a două puncte comune acestor două planuri. Acest lucru este suficient pentru a construi o linie de intersecție, deoarece linia de intersecție este o linie dreaptă, iar o linie dreaptă este definită de două puncte. Când un plan proiectant se intersectează cu un plan în poziție generală, una dintre proiecțiile dreptei de intersecție coincide cu urma planului situat în planul proiecțiilor pe care planul proiectant este perpendicular. Pe fig. 225, iar proiecția frontală m „n” a dreptei de intersecție MN coincide cu urma Pv a planului P proeminent frontal, iar în fig. 225b, proiecția orizontală kl coincide cu traseul planului proiectat orizontal R. Alte proiecții ale liniei de intersecție sunt construite folosind linii de legătură de proiecție.

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan poziţia generală (Fig. 226, a) se realizează cu ajutorul unui plan auxiliar de proiectare R, care este trasat printr-o dreaptă dată EF. Se construiește o dreaptă de intersecție 12 a planului auxiliar R cu un plan dat al triunghiului ABC, se obțin două drepte în planul R: EF - o dreaptă dată și 12 - o dreaptă de intersecție construită, care se intersectează în punctul K. .

Găsirea proiecțiilor punctului K este prezentată în fig. 226b. Construcțiile sunt realizate în următoarea secvență.

Prin dreapta EF este trasat un plan auxiliar de proiecție orizontală R. Urma sa R ​​H coincide cu proiecția orizontală ef a dreptei EF.

O proiecție frontală 1"2" a dreptei de intersecție 12 a planului R cu planul dat al triunghiului ABC este construită folosind linii de proiecție, deoarece proiecția orizontală a dreptei de intersecție este cunoscută. Coincide cu urma orizontală R H a planului R.

Se determină proiecția frontală k" a punctului dorit K, care se află la intersecția proiecției frontale a acestei drepte cu proiecția 1"2" a liniei de intersecție. Proiecția orizontală a punctului se construiește folosind o proiecție. linie de conectare.

Vizibilitatea unei linii în raport cu planul triunghiului ABC este determinată de metoda punctelor concurente. Pentru a determina vizibilitatea unei linii drepte pe planul frontal al proiecțiilor (Fig. 226, b), comparăm coordonatele Y ale punctelor 3 și 4, ale căror proiecții frontale coincid. Coordonata Y a punctului 3, care se află pe dreapta BC, este mai mică decât coordonata Y a punctului 4, care se află pe dreapta EF. În consecință, punctul 4 este mai aproape de observator (direcția de vedere este indicată de o săgeată) și proiecția dreptei este reprezentată pe planul vizibil V. Linia trece prin fața triunghiului. La stânga punctului K" linia este închisă de planul triunghiului ABC.

Vizibilitatea pe planul orizontal de proiecție este afișată prin compararea coordonaților Z ale punctelor 1 și 5. Deoarece Z 1 > Z 5 , punctul 1 este vizibil. Prin urmare, în dreapta punctului 1 (până la punctul K), linia EF este invizibilă.

Pentru a construi o linie de intersecție a două plane în poziție generală, se folosesc plane secante auxiliare. Acest lucru este prezentat în fig. 227 a. Un plan este dat de triunghiul ABC, celălalt este dat de drepte paralele EF și MN. Planurile date (Fig. 227, a) sunt străbătute de al treilea plan auxiliar. Pentru ușurința construcției, planurile orizontale sau frontale sunt luate ca planuri auxiliare. În acest caz, planul auxiliar R este un plan orizontal. El intersectează planurile date de-a lungul liniilor drepte 12 și 34, care la intersecție dau punctul K, care aparține tuturor celor trei planuri și, în consecință, a două plane date, adică situate pe linia de intersecție a planurilor date. Al doilea punct se găsește folosind al doilea plan auxiliar Q. Cele două puncte K și L găsite determină linia de intersecție a celor două plane.

Pe fig. 227b, planul auxiliar R este dat de trezirea frontală. Proiecțiile frontale ale liniilor de intersecție 1 „2” și 3”4 ale planului R cu planurile date coincid cu trasarea frontală Rv a planului R, deoarece planul R este perpendicular pe planul V și tot ceea ce este în el (inclusiv liniile de intersecție) este proiectat pe traseul său frontal Rv. Proiecțiile orizontale ale acestor linii sunt construite folosind linii de legătură de proiecție trase din proiecțiile frontale ale punctelor 1", 2", 3", 4" la intersecție. cu proiecțiile orizontale ale liniilor corespunzătoare în punctele 1, 2, 3, 4. Construite proiecțiile orizontale ale liniilor de intersecție se prelungesc până se intersectează între ele în punctul k, care este proiecția orizontală a punctului K aparținând linia de intersecție a celor două plane.Proiecția frontală a acestui punct se află pe urma Rv.

Pentru a construi al doilea punct aparținând dreptei de intersecție, se trasează un al doilea plan auxiliar Q. Pentru comoditatea construcției, planul Q este trasat prin punctul C paralel cu planul R. Apoi, pentru a construi proiecții orizontale ale dreptelor de intersecție a planului Q cu planul triunghiului ABC și cu planul dat de drepte paralele, este suficient să găsiți două puncte: c și 5 și să trasați prin ele drepte paralele cu proiecțiile construite anterior ale dreptelor de intersecție 12 și 34, din moment ce planul Q ║ R. Continuând aceste drepte până se intersectează între ele, se obține o proiecție orizontală l a punctului L aparținând dreptei de intersecție a planurilor date. Proiecția frontală l" a punctului L se află pe traseul Q v și se construiește folosind linia conexiunii de proiecție. Prin legarea proiecțiilor cu același nume ale punctelor K și L se obțin proiecțiile dreptei de intersecție dorite. .

Dacă luăm o dreaptă într-unul dintre planurile care se intersectează și construim un punct de intersecție al acestei drepte cu un alt plan, atunci acest punct va aparține dreptei de intersecție a acestor plane, deoarece aparține ambelor plane date. Să construim al doilea punct în același mod, putem găsi linia de intersecție a două plane, deoarece două puncte sunt suficiente pentru a construi o dreaptă. Pe fig. 228 prezintă o astfel de construcție a dreptei de intersecție a două plane date prin triunghiuri.

Pentru această construcție se ia una dintre laturile triunghiului și se construiește punctul de intersecție al acestei laturi cu planul celuilalt triunghi. Dacă acest lucru nu reușește, luați cealaltă parte a aceluiași triunghi, apoi a treia. Dacă acest lucru nu a condus la găsirea punctului dorit, se construiesc punctele de intersecție a laturilor celui de-al doilea triunghi cu primul.

Pe fig. 228 se construiește punctul de intersecție al dreptei EF cu planul triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, se trasează un plan auxiliar care se proiectează orizontal S prin linia dreaptă EF și se construiește o proiecție frontală 1 „2” a liniei de intersecție a acestui plan cu planul triunghiului ABC. Proiecția frontală 1 „2” a dreptei de intersecție, care se intersectează cu proiecția frontală e „f” a dreptei EF, dă proiecția frontală m „a punctului de intersecție M. Proiecția orizontală m a punctului M se găsește folosind linia de legătură a proiecției.Al doilea punct aparținând dreptei de intersecție a planelor triunghiurilor date , - punctul N - punctul de intersecție a dreptei BC cu planul triunghiului DEF.Prin dreapta BC, un front- se desenează planul de proiectare R, iar pe planul H, intersecția proiecțiilor orizontale ale dreptei BC și dreapta de intersecție 34 dă punctul n - proiecția orizontală a punctului dorit.Secțiunile vizibile ale triunghiurilor date sunt determinate folosind puncte concurente. pentru fiecare plan de proiecție separat. Pentru a face acest lucru, selectați un punct pe unul dintre planurile de proiecție, care este proiecția a două puncte concurente. Vizibilitatea este determinată din a doua proiecție a acestor puncte comparând coordonatele acestora.

De exemplu, punctele 5 și 6 sunt punctele de intersecție ale proiecțiilor orizontale bc și de. Pe planul de proiecție frontală, proiecțiile acestor puncte nu coincid. Comparând coordonatele lor Z, ei descoperă că punctul 5 închide punctul 6, deoarece coordonata Z 5 este mai mare decât coordonata Z 6. Prin urmare, în stânga punctului 5, partea DE este invizibilă.

Vizibilitatea pe planul frontal al proiecțiilor se determină folosind punctele concurente 4 și 7 aparținând segmentelor DE și BC, comparând coordonatele lor Y 4 și Y 7 Deoarece Y 4 > Y 7, latura DE pe planul V este vizibilă.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se construiește punctul de intersecție al unei linii drepte cu planul unui triunghi, punctul de intersecție poate fi în afara planului triunghiului. În acest caz, conectând punctele obținute aparținând dreptei de intersecție, se conturează doar acea parte a acesteia care aparține ambelor triunghiuri.

ÎNTREBĂRI DE REVIZUIRE

1. Ce coordonate ale unui punct determină poziția sa în planul V?

2. Care este coordonatele Y și coordonatele Z ale unui punct?

3. Cum sunt situate pe diagramă proiecțiile segmentului perpendicular pe planul proiecțiilor H? Perpendicular pe planul de proiecție V?

4. Cum sunt situate proiecțiile orizontale și frontale pe diagramă?

5. Formulați poziția principală despre apartenența unui punct la o dreaptă.

6. Cum să distingem liniile care se intersectează de cele care se intersectează într-o diagramă?

7. Ce puncte se numesc concurente?

8. Cum se determină care dintre cele două puncte este vizibil dacă proiecțiile lor pe planul de proiecție frontală coincid?

9. Formulați poziția principală despre paralelismul unei drepte și al unui plan.

10. Care este procedura de construire a punctului de intersecție al unei drepte cu un plan în poziție generală?

11. Care este procedura de construire a unei linii de intersecție a două plane în poziție generală?

77*. Aflați punctul de intersecție al dreptei AB cu planul dat de triunghiul CDE (Fig. 75, a).

Decizie. După cum știți, pentru a găsi punctul de intersecție al unei drepte cu un plan în poziție generală, ar trebui să desenați un plan auxiliar (R) prin linie, să construiți o linie de intersecție a acestui plan cu un (1-2) dat și găsi

punctul de intersecție (K) al dreptelor date și construite. Punctul K este punctul de intersecție dorit al dreptei cu planul (Fig. 75, b). Ca plan auxiliar, se folosește de obicei un plan proiectat orizontal sau frontal.

Pe fig. 75, într-un plan frontal R este trasat prin dreapta AB, urma sa R ​​ϑ coincide cu un „b”. orizont. urma avionului nu este necesară în această problemă și de aceea nu este prezentată.

Construim o dreaptă de intersecție a planului R și a planului dat de triunghiul CDE (vezi problema 67 pentru un exemplu de astfel de construcție). După ce am construit linia 1-2 (Fig. 75, c), găsim punctul de intersecție al acesteia cu dreapta AB - punctul K (k, k ").

Pentru a determina secțiunile dreptei AB care vor fi închise de un triunghi, ar trebui să utilizați analiza poziției punctelor pe liniile oblice.

De exemplu, punctele 1 și 3 sunt pe drepte care se intersectează (respectiv) ED și AB. Proiecțiile frontale ale acestor puncte coincid, adică punctele 1 și 3 sunt îndepărtate în mod egal din pătrat. N. Dar distanta lor de piata. V sunt diferite: punctul 3 este mai departe de pătrat. V decât punctul 1. Prin urmare, în raport cu pl. V punctul 3 închide punctul 1 (direcția de vedere este indicată de săgeata S). Prin urmare, linia AB trece prin fața triunghiului CDE până la punctul K. Pornind din punctul K spre stânga, linia AB este închisă de un triunghi și, prin urmare, această secțiune a dreptei este prezentată printr-o linie întreruptă.

Pentru a dezvălui o zonă invizibilă la orizont. proiectia dreptei AB, consideram punctele 4 si, respectiv, situate pe liniile AB si CD.

Dacă ne uităm la aceste puncte în direcția s 1, vedem mai întâi punctul 5. Punctul 4 este închis de punctul 5. Prin urmare, linia AB este închisă în acest punct de triunghiul CDE, iar secțiunea proiecției sale de la punctul k la punctul 4 ar trebui să fie afișat printr-o linie întreruptă. În acest caz, punctul K se afla în interiorul conturului triunghiului CDE.

Cu o poziție reciprocă diferită a elementelor care se intersectează, este posibil un caz când punctul K este în afara triunghiului (Fig. 75, d). Aceasta înseamnă că linia AB intersectează planul dat de triunghiul CDE în afara conturului acestui triunghi. AB devine invizibil dincolo de punctul K (la stânga).

78. Aflați punctele de intersecție ale dreptei AB cu fețele piramidei (Fig. 76). Fețele piramidei ar trebui considerate planuri definite prin triunghiuri.

79. Aflați punctele de intersecție ale dreptei AB cu fețele prismei (Fig. 77). Fețele prismei trebuie considerate ca plane date de drepte paralele.

80*. Aflați punctele de intersecție ale dreptei AB cu planul P (Fig. 78, a).

Decizie. Desenăm prin dreapta AB (Fig. 78, b) planul proiectant frontal R (urma sa R ​​ϑ coincide cu un „b”) și construim dreapta MN a intersecției ambelor plane - dată și trasată prin AB ( construcţia este similară cu cea efectuată în problema 70). Punctul dorit K(k, k") al intersecției dreptei AB cu planul P se află în punctul de intersecție al lui MN cu AB.

În această problemă, vizibilitatea unei secțiuni a unei linii drepte de la punctul A la K este evidentă; cu toate acestea, în cazuri mai complexe, secțiunea vizibilă a liniei drepte ar trebui determinată pe baza

analiza poziției punctului. De exemplu, luând punctul 1 (pe linia AB) și punctul N (pe urma Р ϑ). vedem că punctul 1 este situat mai departe față de pătrat. V decât punctul N. Prin urmare, linia AB până la punctul K este vizibilă. În spatele punctului K, linia dreaptă este afișată printr-o linie întreruptă; este invizibilă. În mod similar, se determină vizibilitatea la orizont. proiecții.

81. Aflați punctul de intersecție al dreptei AB cu planul P (Fig. 79).

82*. Aflați punctul de intersecție al dreptei AB cu planul P (Fig. 80, a).

Decizie. Prin dreapta AB trasăm un plan R proiectat orizontal (urma R h coincide cu ab) și construim linia de intersecție a planurilor P și R,

folosind punctele M și N de intersecție ale urmelor lor cu același nume (Fig. 80, b și c). Punctul dorit (k", k) este situat în punctul de intersecție al lui MN cu AB. În Fig. 80, d, punctul K este construit folosind pătratul W. Deoarece pătratul P este proiectat în profil (Fig. 80, b).

atunci proiecția de profil k" se află în punctul de intersecție al urmei P ω cu un "b". Cunoscând k", construim k" pe un "b" și k pe ab. Secțiunile vizibile ale dreptei AB sunt determinate în la fel ca în problemele 77 și 80.

83. Aflați punctul de intersecție al dreptei AB cu planul P (Fig. 81).

84*. Aflați punctul de intersecție al dreptei AB cu planul dat de triunghiul CDE (Fig. 82, a).

Decizie. Prin dreapta AB desenăm (Fig. 82, b și c) pl. R, paralel cu pătratul. W. Intersectează planul dat de-a lungul dreptei MN (punctele m", n", m și n se află la intersecția urmelor R ϑ și R h cu aceleași proiecții ale laturilor corespunzătoare

triunghi CDE). Deoarece dreptele AB și MN sunt de profil, atunci pentru a găsi punctul (K) al intersecției lor, construim proiecții de profil a „b” și m „n”. Proiecția k" este la intersecția dintre a"b" și m"m". Din k" construim k" pe a"b" și k pe ab.

85. Aflați punctul de intersecție al dreptei EF cu planul dat de patrulaterul ABCD (Fig. 83).

Linia de intersecție a două plane este o dreaptă. Luați în considerare mai întâi un caz special (Fig. 3.9), când unul dintre planurile care se intersectează este paralel cu planul de proiecție orizontal (α π 1, f 0 α X). În acest caz, linia de intersecție a, aparținând planului α, va fi și ea paralelă cu planul π 1, (Fig. 3.9. a), adică va coincide cu orizontala planurilor care se intersectează (a ≡ h). ).

Dacă unul dintre planuri este paralel cu planul frontal al proiecțiilor (Fig. 3.9. b), atunci linia de intersecție a aparținând acestui plan va fi paralelă cu planul π 2 și va coincide cu fața planurilor care se intersectează ( a ≡ f).

.

.

Orez. 3.9. Un caz special de intersectie a planului de pozitie generala cu planele: a - nivel orizontal; b - nivel frontal

Un exemplu de construire a unui punct de intersecție (K) al unei drepte a (AB) cu un plan α (DEF) este prezentat în fig. 3.10. Pentru a face acest lucru, linia a este închisă într-un plan arbitrar β și se determină linia de intersecție a planurilor α și β.

În exemplul luat în considerare, dreptele AB și MN aparțin aceluiași plan β și se intersectează în punctul K și, deoarece dreapta MN aparține planului dat α (DEF), punctul K este și punctul de intersecție al linia a (AB) cu planul α. (Fig. 3.11).

.

Orez. 3.10. Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan

Pentru a rezolva o astfel de problemă pe un desen complex, este necesar să se poată găsi punctul de intersecție al unei drepte în poziție generală cu un plan în poziție generală.

Luați în considerare un exemplu de găsire a punctului de intersecție al dreptei AB cu planul triunghiului DEF prezentat în Fig. 3.11.

Pentru a găsi punctul de intersecție prin proiecția frontală a dreptei A 2 B 2 s-a trasat un plan frontal β care intersectează triunghiul în punctele M și N. Pe planul de proiecție frontală (π 2), aceste puncte sunt reprezentată de proiecţiile M 2 , N 2 . Din condiţia apartenenţei la un plan drept pe planul orizontal al proiecţiilor (π 1) se găsesc proiecţiile orizontale ale punctelor M 1 N 1 obţinute. La intersecția proiecțiilor orizontale ale dreptelor A 1 B 1 și M 1 N 1 se formează o proiecție orizontală a punctului de intersecție a acestora (K 1). După linia de comunicaţie şi condiţiile de apartenenţă pe planul frontal al proiecţiilor se constată proiecţia frontală a punctului de intersecţie (K 2).

.

Orez. 3.11. Un exemplu de determinare a punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan

Vizibilitatea segmentului AB în raport cu triunghiul DEF este determinată de metoda punctelor concurente.

Două puncte NEF și 1AB sunt considerate pe planul π 2. Conform proiecțiilor orizontale ale acestor puncte, se poate stabili că punctul N este situat mai aproape de observator (Y N >Y 1) decât punctul 1 (direcția liniei de vedere este paralelă cu S). În consecință, linia dreaptă AB, adică partea dreptei AB (K 1) este închisă de planul DEF pe planul π 2 (proiecția sa K 2 1 2 este arătată de linia întreruptă). Vizibilitatea pe planul π 1 se stabilește în mod similar.

Întrebări pentru autocontrol

1) Care este esența metodei de concurență a punctelor?

2) Ce proprietăți ale unei linii drepte cunoașteți?

3) Care este algoritmul pentru determinarea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan?

4) Ce sarcini se numesc pozițional?

5) Formulați condițiile de apartenență la un plan drept.

Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”