Este dată o demonstrație a teoremei limitei Weierstrass. secvență monotonă. Sunt luate în considerare cazurile secvențelor mărginite și nemărginite. Se consideră un exemplu în care este necesar, folosind teorema Weierstrass, să se demonstreze convergența unei secvențe și să se găsească limita acesteia.

Conţinut

Vezi si: Limitele funcţiilor monotone

Orice succesiune mărginită monotonă ( x n ) are o limită finită egală cu limita superioară exactă, sup ( x n ) pentru limita inferioară exactă și nedescrescătoare, inf ( x n ) pentru o succesiune necrescătoare.
Orice succesiune monotonă nemărginită are o limită infinită egală cu plus infinitul pentru o secvență nedescrescătoare și minus infinit pentru o secvență necrescătoare.

Dovada

1) succesiune mărginită nedescrescătoare.

(1.1) .

Deoarece șirul este mărginit, are o limită superioară exactă finită
.
Înseamnă că:

• pentru toate n,
  (1.2) ;
• pentru oricine număr pozitiv, există un număr care depinde de ε astfel încât
  (1.3) .

.
Aici am folosit și (1.3). Combinând cu (1.2), găsim:
la .
De atunci
,
sau
la .
Se demonstrează prima parte a teoremei.

2) Acum să fie secvența succesiune mărginită necrescătoare:
(2.1) pentru toate n.

Deoarece șirul este mărginit, are o limită inferioară exactă finită
.
Aceasta înseamnă următoarele:

• pentru toți n sunt valabile următoarele inegalități:
  (2.2) ;
• pentru orice număr pozitiv , există un număr care depinde de ε pentru care
  (2.3) .

.
Aici am folosit și (2.3). Ținând cont de (2.2), găsim:
la .
De atunci
,
sau
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței.
Se demonstrează a doua parte a teoremei.

Acum luați în considerare șirurile nemărginite.
3) Lasă secvența să fie secvență nedescrescătoare nelimitată.

Deoarece succesiunea este nedescrescătoare, următoarele inegalități sunt valabile pentru tot n:
(3.1) .

Deoarece succesiunea este nedescrescătoare și nemărginită, este nemărginită pe partea dreaptă. Atunci pentru orice număr M există un număr în funcție de M pentru care
(3.2) .

Deoarece succesiunea este nedescrescătoare, atunci avem:
.
Aici am folosit și (3.2).

.
Aceasta înseamnă că limita secvenței este plus infinit:
.
Se demonstrează a treia parte a teoremei.

4) În cele din urmă, luați în considerare cazul când secvență necrescătoare nelimitată.

Ca mai sus, deoarece secvența nu crește, atunci
(4.1) pentru toate n.

Deoarece succesiunea este necrescătoare și nemărginită, este nemărginită pe partea stângă. Atunci pentru orice număr M există un număr în funcție de M pentru care
(4.2) .

Deoarece succesiunea nu este crescătoare, atunci avem:
.

Deci, pentru orice număr M, există un număr natural care depinde de M, astfel încât următoarele inegalități sunt valabile pentru toate numerele:
.
Aceasta înseamnă că limita secvenței este minus infinit:
.
Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de rezolvare a problemei

Toate exemplele Folosind teorema Weierstrass, demonstrați convergența șirului:
, , . . . , , . . .
Atunci găsește-i limita.

Să reprezentăm succesiunea sub formă de formule recurente:
,
.

Să demonstrăm că șirul dat este mărginit de sus de valoare
(P1) .
Demonstrarea se realizează prin metoda inducției matematice.
.
Lasa . Apoi
.
Inegalitatea (A1) este demonstrată.

Să demonstrăm că șirul este monoton crescător.
;
(P2) .
Deoarece , atunci numitorul fracției și primul factor din numărător sunt pozitive. Deoarece termenii șirului sunt mărginiți de inegalitate (P1), al doilea factor este de asemenea pozitiv. De aceea
.
Adică, secvența este strict crescătoare.

Deoarece șirul este crescător și mărginit de sus, este o secvență mărginită. Prin urmare, după teorema Weierstrass, are o limită.

Să găsim această limită. Să o notăm cu:
.
Să folosim ce
.
Aplicam acest lucru la (P2) folosind proprietatile aritmetice ale limitelor secventelor convergente:
.
Rădăcina satisface condiția.

Vezi si:

Definiție: dacă toată lumea n є N, aliniat X n є N, atunci ei spun că

formă numeric ulterior.

- membrii secvente

- general membru secvente

Definiția introdusă implică faptul că orice succesiune de numere trebuie să fie infinită, dar nu înseamnă că toți membrii trebuie să fie numere distincte.

Se ia în considerare șirul de numere dat, dacă este specificată o lege prin care poate fi găsit orice membru al secvenței.

Membrii sau elementele unei secvențe (1) toate numerotate numere naturaleîn ordinea crescătoare a numerelor. Pentru n+1 > n-1, termenul urmează (precede) termenului, indiferent dacă numărul în sine este mai mare decât, mai mic sau chiar egal cu numărul.

Definiție: O variabilă x care are o anumită secvență (1) valori, noi – urmând Ch. Meray – vom apela opțiune.

În cursul școlar de matematică, puteți găsi variabile doar de acest tip, cum ar fi opțiuni.

De exemplu, o secvență ca

(aritmetică) sau a formei

(progresie geometrică)

Termenul variabil al acestei sau aceleia progresii este opțiune.

În legătură cu definirea circumferinței unui cerc, se ia în considerare de obicei perimetrul unui poligon regulat înscris într-un cerc, obținut dintr-un hexagon prin dublarea succesivă a numărului de laturi. Astfel, această variantă ia succesiunea de valori:

Menționăm și aproximarea zecimală (prin lipsă) la, cu o acuratețe din ce în ce mai mare. Este nevoie de o succesiune de valori:

și prezintă, de asemenea, o opțiune.

Variabila x care trece prin secvența (1) este adesea notată cu, identificând-o cu variabila („comun”) membru al acestei secvențe.

Uneori varianta x n este dată de ceea ce indică direct expresia pentru x n; deci, în cazul aritmeticii sau progresie geometrică avem, respectiv, x n =a+(n-1) d sau x n =aq n-1 . Folosind această expresie, puteți calcula imediat orice valoare a variantelor după numărul dat, fără a calcula valorile anterioare.

Pentru perimetrul unui poligon regulat înscris, expresie generală posibil doar dacă introduceți numărul p; în general, perimetrul p m al unui m-gon înscris regulat este dat de formula

Definiția 1: O succesiune numerică ( x n ) se numește mărginită de sus (de jos) dacă un astfel de număr există M (T) că pentru orice element din această secvență există o inegalitate, în timp ce numărul M (m) este numit top (inferior) margine.

Definiția 2: O secvență numerică (x n ) se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și dedesubt, adică. există M, m astfel încât pentru orice

Notăm A = max (|M|, |m|), atunci este evident că șirul numeric va fi mărginit dacă egalitatea |xn |?A este valabilă pentru oricare, ultima inegalitate este condiția pentru mărginirea șirului numeric. .

Definiția 3: se numește șirul de numere la nesfârşit mare secvență, dacă pentru orice A>0, puteți specifica un număr N astfel încât pentru toate n>N, ||>A este adevărată.

Definiția 4: se numește șirul numeric (b n ). la nesfârşit mic secvență, dacă pentru orice e > 0 prespecificat, puteți specifica un astfel de număr N(e) încât pentru orice n > N(e) inegalitatea | b n |< е.

Definiția 5: se numește șirul de numere ( x n ). convergente, dacă există un astfel de număr a încât șirul (x n - a) să fie o succesiune infinitezimală. În același timp, un - limită iniţială numeric secvente.

Din această definiție rezultă că toate secvențele infinitezimale sunt convergente și limita acestor secvențe = 0.

Datorită faptului că conceptul de succesiune convergentă este legat de conceptul de infinit secvență mică, atunci definiția unei secvențe convergente poate fi dată sub altă formă:

Definiția 6: se numește șirul numeric ( x n ). convergente la un număr a dacă pentru orice arbitrar mic există astfel încât pentru tot n > N inegalitatea

a - limită de secvență

pentru că este echivalentă, iar aceasta înseamnă apartenența la intervalul x n є (a - e; a + e) ​​​​sau, ceea ce este același, aparține lui e - vecinătatea punctului a. Apoi putem da o altă definiție a unei secvențe numerice convergente.

Definiția 7: se numește șirul de numere ( x n ). convergente, dacă există un astfel de punct a încât în ​​orice vecinătate e suficient de mică a acestui punct să existe în mod arbitrar elemente ale acestei secvențe, pornind de la un număr N.

Notă: conform definițiilor (5) și (6), dacă a este limita șirului (x n ), atunci x n - a este un element al unei secvențe infinit de mici, i.e. x n - a = b n , unde b n este un element al unei secvențe infinitezimale. Prin urmare, x p \u003d a + b n și atunci avem dreptul să afirmăm că, dacă o succesiune numerică (x n) converge, atunci poate fi întotdeauna reprezentată ca suma limitei sale și un element dintr-o succesiune infinit de mică.

Este adevărat și invers: dacă orice element al șirului (x n) poate fi reprezentat ca suma unui număr constant și a unui element dintr-o secvență infinit de mică, atunci aceasta este o constantă și este limită dat secvente.

Definiție 8. Succesiunea nu crește (nu scade), dacă pentru.

Definiție 9. Succesiunea crește (scade), dacă pentru.

Definiție 10. Se numește o secvență strict crescătoare sau strict descrescătoare monoton secvenţă.