Traiectoria mișcării unui punct material prin vectorul rază

După ce am uitat această secțiune a matematicii, în memoria mea, ecuațiile de mișcare ale unui punct material au fost întotdeauna reprezentate folosind dependența familiară nouă tuturor. y(x), și uitându-mă la textul sarcinii, am fost puțin surprins când am văzut vectorii. S-a dovedit că există o reprezentare a traiectoriei unui punct material folosind raza-vector- un vector care specifică poziția unui punct în spațiu față de un punct prefixat, numit origine.

Formula pentru traiectoria unui punct material, în plus față de vectorul rază, este descrisă în același mod orts- vectori unitari i, j, kîn cazul nostru coincizând cu axele sistemului de coordonate. Și, în sfârșit, luați în considerare un exemplu de ecuație pentru traiectoria unui punct material (în spațiul bidimensional):

Ce este interesant în acest exemplu? Traiectoria mișcării punctului este dată de sinusuri și cosinusuri, cum credeți că va arăta graficul în reprezentarea familiară a lui y(x)? „Probabil un fel de înfiorător”, te-ai gândit, dar totul nu este atât de dificil pe cât pare! Să încercăm să construim traiectoria punctului material y(x), dacă acesta se mișcă conform legii prezentate mai sus:

Aici am observat pătratul cosinusului, dacă vedeți pătratul sinusului sau cosinusului în orice exemplu, aceasta înseamnă că trebuie să aplicați identitatea trigonometrică de bază, ceea ce am făcut (a doua formulă) și am transformat formula de coordonate y pentru a înlocui formula de schimbare în ea în loc de sinus X:

Drept urmare, legea teribilă a mișcării unui punct s-a dovedit a fi obișnuită parabolă ale căror ramuri sunt îndreptate în jos. Sper că înțelegeți algoritmul aproximativ pentru construirea dependenței y(x) din reprezentarea mișcării prin vectorul rază. Acum să trecem la întrebarea noastră principală: cum să găsiți vectorul viteză și accelerație al unui punct material, precum și modulele acestora.

Vector viteza punctului material

Toată lumea știe că viteza unui punct material este valoarea distanței parcurse de punct pe unitatea de timp, adică derivata formulei legii mișcării. Pentru a găsi vectorul viteză, trebuie să luați derivata în funcție de timp. Să ne uităm la un exemplu specific de găsire a vectorului viteză.

Un exemplu de găsire a vectorului viteză

Avem legea deplasării unui punct material:

Acum trebuie să luați derivata acestui polinom, dacă ați uitat cum se face acest lucru, atunci aici sunteți. Ca rezultat, vectorul viteză va arăta astfel:

Totul s-a dovedit a fi mai ușor decât credeați, acum să găsim vectorul de accelerație al unui punct material conform aceleiași legi prezentate mai sus.

Cum să găsiți vectorul de accelerație al unui punct material

Vector de accelerație punctual aceasta este o mărime vectorială care caracterizează modificarea modulului și a direcției vitezei unui punct în timp. Pentru a găsi vectorul de accelerație al unui punct material în exemplul nostru, trebuie să luați derivata, dar din formula vectorului viteză prezentată chiar mai sus:

Modulul vector al vitezei punctului

Acum să găsim modulul vectorului viteză al unui punct material. După cum știți din clasa a IX-a, modulul unui vector este lungimea acestuia, în coordonate carteziene dreptunghiulare este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale. Și de unde cereți de la vectorul viteză pe care l-am obținut mai sus să ia coordonatele? Totul este foarte simplu:

Acum este suficient doar să înlocuiți timpul specificat în sarcină și să obțineți o anumită valoare numerică.

Modulul vectorului de accelerație

După cum ați înțeles din cele scrise mai sus (și din clasa a IX-a), găsirea modulului vectorului accelerație se întâmplă în același mod ca și modulul vectorului viteză: extragem rădăcina pătrată din suma pătratelor vectorului. coordonate, totul este simplu! Ei bine, iată un exemplu pentru tine:

După cum puteți vedea, accelerația unui punct material conform legii date mai sus nu depinde de timp și are o mărime și o direcție constante.

Mai multe exemple de soluții la problema găsirii vectorului viteză și accelerație

Și aici puteți găsi exemple de rezolvare a altor probleme din fizică. Și pentru cei care nu prea înțeleg cum să găsească vectorul viteză și accelerație, iată câteva exemple din rețea fără nicio explicație suplimentară, sper că vă vor ajuta.

Dacă aveți întrebări, le puteți adresa în comentarii.

Cinci minute:Legea mișcării unui punct este dată de ecuații

x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2

Găsiți coordonatele unui punct pentru punctele de timp 0, 0.5s, 1s, 1.5s, 2s. Marcați poziția punctului în sistemul de coordonate X-Y, trasați o traiectorie, determinați viteza punctului (|v|) în funcție de timp.

Din formula (1.3) rezultă că viteza oricărei mișcări poate fi reprezentată ca rezultat al adunării vitezelor a trei mișcări rectilinii de-a lungul axelor de coordonate X, Y și Z, adică. orice mişcare complexă poate fi reprezentată ca suma mişcărilor rectilinie (principiul suprapunerii mişcărilor). Folosind acest principiu, să determinăm, de exemplu, valoarea primei viteze cosmice, adică. o astfel de viteză, paralelă cu suprafața pământului, pe care trebuie să o aibă un corp pentru a nu cădea niciodată pe pământ. Problema poate fi rezolvată în felul următor. Mișcarea unui corp de-a lungul suprafeței pământului poate fi reprezentată ca suma a două mișcări: mișcare orizontală uniformă cu o viteză de aruncare v și cădere liberă a corpului spre suprafața pământului cu accelerația g (accelerarea căderii libere).

Pentru o perioadă mică de timp Dt, corpul va trece, deplasându-se perpendicular pe raza pământului, din punctul A în punctul B. (vezi fig. 1.9). În acest caz, vectorul său cu rază se va roti printr-un unghi mic β. În același timp, viteza corpului va primi o creștere ∆v=g∆t de-a lungul razei pământului, adică vectorul viteză se va roti și cu un anumit unghi. Pentru ca corpul să se miște în continuare de-a lungul suprafeței pământului, acest unghi trebuie să coincidă cu unghiul de rotație al vectorului rază al corpului. Prin urmare, unghiul de rotație al vectorului viteză este și unghiul β. Să echivalăm tangenta β găsită din triunghiul deplasării și triunghiul vitezei:

(1.7)

După aceea, exprimăm valoarea vitezei:

După cum se poate observa din derivarea expresiei pentru prima viteză cosmică, orice corp care se mișcă în jurul Pământului cu această viteză schimbă direcția vitezei din cauza unei căderi constante la sol. iar această modificare duce la faptul că vectorul viteză este întotdeauna paralel cu suprafața pământului.

Mișcarea cu un vector viteză constantă se numește uniformă. În general, viteza variază atât ca mărime, cât și ca direcție.

Pentru a caracteriza rata de schimbare a vitezei, este introdus conceptul accelerare. Accelerația este raportul dintre creșterea vitezei pe un interval de timp infinitezimal și acest interval, adică derivată a vitezei în raport cu timpul

Vectorul de accelerație poate fi, de asemenea, extins de-a lungul axelor de coordonate:

Modulul vectorului de accelerație este egal cu:

. (1.11)

Înlocuind în (1.9) expresia vitezei ca derivată a vectorului rază al corpului, obținem expresia accelerației sub forma derivatei a doua a vectorului rază în raport cu timpul:

Exemplu. Vectorul rază al unui punct în mișcare este dat de următoarea expresie:

Determinați natura mișcării, viteza și accelerația.

Pentru a determina natura mișcării, calculăm modulul vectorului rază:

Astfel, când punctul se deplasează |r|-const. Putem concluziona că aceasta este o mișcare de-a lungul unui cerc de rază R centrat la origine.

Calculați viteza punctului:

Modul de viteza:

De asemenea, modulul de viteză nu se modifică în timp, prin urmare, este o mișcare într-un cerc cu o viteză modulo constantă.

Să definim accelerația unui punct:

Comparând formulele pentru vectorul rază al unui punct și accelerația acestuia, vedem că acestea exprimă vectori direcționați opus. Dacă vectorul rază este îndreptat de la centrul traiectoriei către punct, atunci vectorul de accelerație este direcționat din punct spre centrul traiectoriei. În acest caz, modulul de accelerație nu se modifică în timp și este egal cu |a|=Rω 2 . Să calculăm produsul scalar al vectorilor viteză și accelerație:

Prin urmare, în acest exemplu, vectorii viteză și accelerație sunt perpendiculari unul pe celălalt.

În cazul general, vectorii viteză și accelerație formează un fel de unghi. Este convenabil să descompuneți vectorul de accelerație în două componente. Unul dintre ele este paralel (sau antiparalel) cu vectorul viteză și se numește tangenţial componenta de accelerare. Celălalt este perpendicular pe vectorul viteză, se numește normal componenta de accelerare. Componenta tangenţială a acceleraţiei exprimă modificarea modulului de viteză, iar componenta normală - schimbarea direcţiei vitezei. În exemplul discutat mai sus, componenta tangenţială a acceleraţiei este zero. Ca urmare, viteza se schimbă doar în direcție, modulul său rămâne neschimbat.

În cazul general, modulul de accelerație totală este determinat de teorema lui Pitagora:

1.3. Cinematica mișcării de rotație, vectorul vitezei unghiulare, relația dintre viteza liniară și unghiulară a unui punct, vectorul accelerației unghiulare.

Mișcarea circulară este un tip privat, dar foarte comun de mișcare. Pentru aceasta, sunt introduse astfel de caracteristici cinematice suplimentare ca viteza unghiulara - ωși accelerația unghiulară - ε.

Valoarea vitezei unghiulare w este definită ca raportul dintre incrementul unghiului - dj, prin care vectorul rază al punctului se va întoarce în timpul dt, la acest interval de timp adică.

Aceasta este o definiție foarte naturală. Totuși, conform (1.18), atât unghiul de rotație, cât și viteza unghiulară au fost definite ca mărimi vectoriale. În viitor, vom vedea că o astfel de definiție a cantităților unghiulare se dovedește a fi foarte convenabilă și productivă. Direcția vectorului unghiului de rotație este determinată de regula șurubului drept: dacă șurubul din dreapta este rotit în direcția creșterii unghiului pozitiv, atunci mișcarea de translație a șurubului va indica direcția vectorului de creștere a unghiului.

O definiție similară a fost deja întâlnită astăzi în definiția unui produs vectorial. Într-adevăr, dacă exprimăm incrementul vectorului rază a unui punct care se deplasează de-a lungul unui cerc atunci când acesta se rotește printr-un unghi ∆φ, atunci obținem următoarea formulă

(1.19)

Vectorul viteză liniară atunci când un punct se mișcă de-a lungul unui cerc cu o viteză unghiulară ω este determinat pe baza (1.19)

> Viteza medie vectorială: interpretare grafică

viteza medie după mărime vectorială: definiție, cum se află viteza medie a unui corp, unitatea de măsură a vitezei vectoriale, formulă și calcul.

Viteza medie a vectorului– schimbarea poziţiei în timpul mişcării.

Sarcina de invatare

• Înțelegeți viteza constantă și fizică.

Puncte cheie

• Viteza medie se calculează determinând deplasarea totală împărțită la timpul călătoriei.
• Viteza medie nu spune nimic despre ceea ce se întâmplă cu un obiect între două puncte.
• Viteza medie vectorială diferă de cea scalară prin faptul că ia în considerare direcția de mișcare și schimbarea generală a poziției.

Termen

Viteza vectorială este o mărime care indică viteza de schimbare a poziției în timp sau direcție.

Dacă vorbim despre viața de zi cu zi, atunci viteza vectorială și scalară se numesc pur și simplu viteză și nu fac nicio diferență. Dar în fizică ele sunt clar vizibile. Viteza scalară are doar mărime, în timp ce viteza medie vectorială adaugă direcția mărimii.

Viteza scalară medie este calculată ca distanță parcursă în timpul total de călătorie. Un vector este o schimbare a poziției pe tot parcursul mișcării.

Vmean = Δx/t

Unitatea SI pentru viteza este m/s, dar poate fi si km/h, mph, cm/s. Să presupunem că unui pasager din tren i-a luat 5 secunde să se deplaseze -4m (semnul negativ indică mișcarea înapoi). Atunci viteza medie a vectorului:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 m/s.

Cu toate acestea, aceste date nu spun nimic despre ceea ce s-a întâmplat cu obiectul dintre cele două puncte. Nu vom putea afla dacă s-a oprit sau s-a întors. Pentru a afla detaliile, va trebui să vă aprofundați în intervale de timp mai mici.

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a desena o linie clară între vitezele vectoriale și scalare. Să presupunem că te găsești într-un dreptunghi mic. Vă deplasați 3m nord, 4m est, 3m sud și 4m vest. Toate acestea au durat o jumătate de minut. Calculul scalarului va începe prin acoperirea întregii distanțe (3 + 4 + 3 + 4 = 14 m), iar de aici - 14/30 = 0,47 m/s.

Cu toate acestea, vectorul reacționează la deplasare în timp. Te-ai întors la punctul de pornire, deci offset-ul = 0. Prin urmare, viteza medie a vectorului este 0 m/s.

(1 evaluări, medie: 5,00 din 5)

Viteza este o mărime vectorială care caracterizează nu numai viteza de mișcare a unei particule de-a lungul unei traiectorii, ci și direcția în care particula se mișcă în fiecare moment de timp.

Viteza medie în timp din t1 inainte de t2 este egal cu raportul dintre mișcarea din acest timp și intervalul de timp pentru care a avut loc această mișcare:

Faptul că aceasta este viteza medie pe care o vom nota prin includerea valorii medii între paranteze unghiulare:<...>, așa cum s-a făcut mai sus.

Formula de mai sus pentru vectorul viteză medie este o consecință directă a definiției matematice generale a valorii medii<f(x)> funcție arbitrară f(x) pe intervalul [ a,b]:

Într-adevăr

Viteza medie poate fi prea aspră caracteristică mișcării. De exemplu, viteza medie într-o perioadă de oscilații este întotdeauna zero, indiferent de natura acestor oscilații, din simplul motiv că într-o perioadă - prin definiția unei perioade - un corp oscilant se va întoarce la punctul său de pornire și, prin urmare, deplasarea pe o perioadă este întotdeauna zero. Din acest motiv și din multe alte motive, este introdusă viteza instantanee - viteza la un moment dat în timp. Pe viitor, implicând viteza instantanee, vom scrie simplu: „viteză”, omițând cuvintele „instantaneu” sau „la un moment dat de timp” ori de câte ori acest lucru nu poate duce la neînțelegeri. Pentru a obține viteză la un moment dat. t trebuie să facem lucrul evident: să calculăm limita raportului când intervalul de timp tinde să t2 – t1 la zero. Să redenumim: t1 = tși t 2 \u003d t +și rescrieți relația superioară ca:

Viteza la timp t este egală cu limita raportului mișcării în timp cu intervalul de timp în care a avut loc această mișcare, când aceasta din urmă tinde spre zero

Orez. 2.5. La definirea vitezei instantanee.

Momentan nu luăm în considerare problema existenței acestei limite, presupunând că aceasta există. Rețineți că, dacă există o deplasare finită și un interval finit de timp, atunci și sunt valorile lor limită: o deplasare infinitezimală și un interval infinitezimal de timp. Deci partea dreaptă a definiției vitezei

nu este altceva decât o fracție - un coeficient de împărțire cu , deci ultimul raport poate fi rescris și este destul de des folosit sub forma

După semnificația geometrică a derivatei, vectorul viteză în fiecare punct al traiectoriei este direcționat tangențial la traiectoria în acest punct în direcția sa de mișcare.

Video 2.1. Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie. Experiment de ascuțit.

Orice vector poate fi extins într-o bază (pentru vectorii unitari ai bazei, cu alte cuvinte, vectorii unitari care determină direcțiile pozitive ale axelor BOU,OY,oz folosim notația , , sau , respectiv). Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele corespunzătoare. Următorul este important: în algebra vectorilor, se demonstrează că expansiunea din punct de vedere al bazei este unică. Să extindem vectorul rază a unui punct material în mișcare în termeni de bază

Ținând cont de constanța vectorilor unitari cartezieni , , , vom diferenția această expresie în raport cu timpul

Pe de altă parte, expansiunea în funcție de baza vectorului viteză are forma

comparând ultimele două expresii, ținând cont de unicitatea expansiunii oricărui vector în ceea ce privește baza, dă următorul rezultat: proiecțiile vectorului viteză pe axele carteziene sunt egale cu derivatele în timp ale coordonatelor corespunzătoare, că este

Modulul vectorului viteză este

Să obținem încă o expresie importantă pentru modulul vectorului viteză.

S-a remarcat deja că pentru valoarea || din ce în ce mai puțin diferit de calea corespunzătoare (vezi fig. 2). Asa de

si in limita (>0)

Cu alte cuvinte, modulul de viteză este derivata distanței parcurse în raport cu timpul.

În sfârșit avem:

Modulul mediu al vectorului viteză, este definită după cum urmează:

Valoarea medie a modulului vectorului viteză este egală cu raportul dintre distanța parcursă și timpul în care a fost parcurs această cale:

Aici s(t1,t2)- cale în timp de la t1 inainte de t2și în mod corespunzător, s(t0,t2)- cale în timp de la t0 inainte de t2și s(t0,t2)- cale în timp de la t0 inainte de t1.

Vectorul viteză medie, sau pur și simplu viteza medie ca mai sus, este

Rețineți că, în primul rând, acesta este un vector, modulul său - modulul vectorului viteză medie nu trebuie confundat cu valoarea medie a modulului vectorului viteză. În cazul general, ele nu sunt egale: modulul vectorului mediu nu este deloc egal cu modulul mediu al acestui vector. Două operații: calculul modulului și calculul mediei, în cazul general, nu pot fi schimbate.

Luați în considerare un exemplu. Lăsați punctul să se miște într-o direcție. Pe fig. 2.6. arată un grafic al drumului pe care a parcurs-o s la momentul respectiv (pentru timpul de la 0 inainte de t). Folosind semnificația fizică a vitezei, utilizați acest grafic pentru a afla momentul în care viteza instantanee este egală cu viteza medie la sol pentru primele secunde ale mișcării punctului.

Orez. 2.6. Determinarea vitezei instantanee și medii a corpului

Modulul de viteză la un moment dat

fiind derivata traseului în raport cu timpul, este egal cu coeficientul unghiular al balansării față de graficul de dependență până la punctul corespunzător momentului de timp t*. Modulul mediu de viteză pentru o perioadă de timp de la 0 inainte de t* este panta secantei care trece prin punctele aceluiași grafic corespunzătoare începutului t = 0 si sfarsit t = t* interval de timp. Trebuie să găsim un astfel de moment în timp t* când ambele pante sunt aceleași. Pentru a face acest lucru, trasăm o linie dreaptă prin originea coordonatelor, tangentă la traiectorie. După cum se poate observa din figură, punctul de contact al acestei linii drepte Sf)și dă t*. În exemplul nostru, obținem