Нелинейные колебания. Теория нелинейных колебаний

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример - это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

Если затухание отсутствует и имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой.

Рис. 1.7. Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (а и определяются в уравнении (1.2.4)).

Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика.

Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рис. 1.7. Как показано на этом рисунке, при постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия на рис. 1.7 неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания. Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( - целое число). Как мы увидим ниже, субгармоники играют важную роль в предхаотических колебаниях.

Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.

Самовозбуждающиеся колебания - другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил. На рис. 1.8 показаны несколько примеров.

Рис. 1.8. Примеры самовозбуждакяцихся колебаний: а - сухое трение между массой и движущимся ремием; б - аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло; в - отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня. Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске. В классическом примере из области электричества, показанном на рис. 1.9 и исследованном Ван дер Полем, в цепь включена электронная лампа.

Во всех этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В случае осциллятора Ван дер Поля источником энергии является постоянное напряжение.

Рис. 1.9. Схема цепи с вакуумной лампой, в которой происходят колебания на предельном цикле того же типа, который исследовал Ван дер Поль.

В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления:

Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.

В случае маятника Фруда (см., например, ), подвод энергии осуществляется стационарным вращением оси. При малых колебаниях нелинейное трение играет роль отрицательного затухания; между тем при сильных колебаниях амплитуда колебаний ограничивается нелинейным членом

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рис. 1.10 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (см. рис. 1.10 и 1.11, где ).

При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?

Рис. 1.10. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости.

Рис. 1.11. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля.

В случае уравнения Ван дер Поля удобно нормировать пространственную переменную на , а время - на так что уравнение принимает вид

где . При малых предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е.

где через обозначены гармоники третьего и более высоких порядков. При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рис. 1.11, с безразмерным периодом около 1.61 при

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

Поскольку эта система нелинейна, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда последняя близка к частоте предельного цикла. При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (рис. 1.12). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки - при фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

Рис. 1.12. Амплитудные кривые для вынужденного движения осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление - комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями. Комбинационные колебания имеют вид

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. - иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где - частота предельного цикла свободных колебаний (см., например, ).

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина

Физический факультет

Кафедра методики преподавания физики и ОТД

КУРСОВАЯРАБОТА

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

Выполнил студент группы ФИ-51

Пашкевич А.Я.

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент Ворсин Н.Н.

Брест, 2012

Введение

1.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы

2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами

2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой

2.2 Различные типы особенностей0

3. Незатухающие и релаксационные колебания

3.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля

3.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации

3.3 Основные уравнения

3.4 Колебания при большойрасстройке

3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды

3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла

Заключение

Список литературы

Введение

Нет ничего удивительного в том, что физик должен уметь находить решение нелинейных задач, поскольку множество явлений, которые совершаются в мире вокруг него, управляются нелинейными зависимостями. В процессе развития математических наук трудности нелинейного анализа мешали формулировке представлений о нелинейных движениях, которые позволили бы глубже понять такие явления.

Если оглянуться назад на историю достижений науки, поражает тот факт, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем и на линейных понятиях. Если в то же самое время бросить взгляд на окружающий нас мир, буквально на каждом шагу сталкиваешься с явлениями, которые нелинейны по своей природе. Линейные представления дают только поверхностное понимание многого из того, что встречается в природе. Чтобы сделать анализ более реалистичным, необходимо достичь более высокого уровня и большей легкости в понимании и использовании нелинейных представлений.

За последние годы получили развитие компьютерные методы анализа, и во многих случаях полагалось, что полученные решения могут дать лучшее понимание проявлений нелинейности. Вообще говоря, обнаружилось, что простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, чем, например, наблюдение за самой природой, «перемалывающей» решения такой конкретной нелинейной задачи, как погода. Похоже, что наше понимание основывается не на уравнениях или их решениях, а, скорее, на фундаментальных и хорошо усвоенных представлениях. Обычно мы понимаем окружающее, только когда можем описать его посредством понятий, которые настолько просты, что они могут быть хорошо усвоены, и настолько широки, чтобы можно было оперировать ими, не обращаясь к конкретной ситуации. Перечень таких понятий обширен и включает, например, такие термины как резонанс, гистерезис, волны, обратная связь, граничные слои, турбулентность, ударные волны, деформация, погодные фронты, иммунитет, инфляция, депрессия и т. д. Большинство наиболее полезных процессов нелинейны по своему характеру, и наша неспособность описать точным математическим языком такие повседневные явления, как поток воды в водосточном желобе или закручивание дыма от сигареты, частично кроется в том, что мы не желали ранее погрузиться в нелинейную математику и понять ее.

Явление резонанса, как известно, часто встречается в живой материи. Следуя Винеру , Сент-Дьердьи предположил важность резонанса для устройства мышц. Оказывается, что субстанции с сильными резонансными свойствами обычно обладают исключительной способностью запасать как энергию, так и информацию, а такое аккумулирование, несомненно, имеет место в мышце.

Нелинейные колебания, случайные нелинейные колебания и связанные (синхронизированные по фазе) нелинейные колебания составляют самую суть явлений во многих областях науки и техники, например связи и энергетики; ритмические процессы имеют место в биологических и физиологических системах. Биофизик, метеоролог, геофизик, физик-атомщик, сейсмолог - все они имеют дело с нелинейными колебаниями, часто в той или иной форме синхронизированными по фазе. Например, инженер-энергетик занимается проблемой устойчивости синхронных машин, инженер-связист - неустойчивостью временной селекции или синхронизации, физиолог имеет дело с клонусом, невропатолог - с атаксией, метеоролог - с частотой колебаний атмосферного давления, кардиолог - с колебаниями, вызванными работой сердца, биолог - с колебаниями, обусловленными ходом биологических часов.

Основная цель дипломной работы - рассмотреть ряд задач теории нелинейных колебаний, связанных с такими основополагающими понятиями, как захватывание (или синхронизация), слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Будет сделана попытка дать обзор нелинейных задач, представляющих практический интерес, решения которых записаны в доступной форме. Обзор не является исчерпывающим, но он включает примеры задач, которые служат иллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.

Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.

1. Свободные колебания в линейных системах

Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.

Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности, соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем

Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением

По аналогии имеем, что; ; и, причем токявляется аналогом смещения.

Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы

Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения

приводим (1.2) к виду

Поскольку, колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:

где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения

Таким образом, и заданы соотношениями

Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина: а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид

где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока) и скорости в некоторый начальный момент.

Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с. Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Нелинейность процессов, в том числе и колебаний, математически выражается в нелинейности соответствующих уравнений движения. С точки зрения физики нелинейность колебаний характеризуется двумя совершенно различными свойствами: ангармоничностью и неизохронностью. Под ангармоничностью понимают наличие в спектре колебаний частот, кратных основной, - Фурье-гармоник, или обертонов. Неизохронными называются колебания, частоты (основной и высших гармоник) которых зависят от амплитуды или энергии колебаний.

Классическим примером нелинейных колебаний может служить обращение планет вокруг Солнца - задача, с решения которой начались современные механика и физика. По третьему закону Кеплера, частота со обращения планет вокруг Солнца задаётся их полной энергией:

w=│E │ 3/2 .

Неизохронность, вообще говоря, не связана с ангармоничностью. Так, заряженная частица, движущаяся по круговой орбите в постоянном магнитном поле со скоростью, близкой к скорости света, совершает колебания чисто гармонические, а частота её обращения обратно пропорциональна энергии.

НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Линейный (в отсутствие затухания - гармонический) осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Его уравнение движения (по второму закону Ньютона):

где х - величина, колебания которой описывает модель (амплитуда смещения маятника, ток или напряжение в колебательном контуре, численность популяции и т. д.),- её «ускорение».

Нелинейный осциллятор - основная модель нелинейной теории колебаний. Его уравнение движения:

где f (.х ) - нелинейная функция, содержащая по крайней мере один нелинейный (не первой степени по х ) член. Полная энергия системы не зависит от времени, т. е. система консервативна.

Неизохронные колебания совершает, например, частица в плоской потенциальной яме - ящике с бесконечно высокими стенками:

U(x) =0 при - l / 2<х< l / 2; U(х) =¥ при х £- l / 2, х >l / 2.

Частица движется с постоянной скоростью внутри ящика, мгновенно упруго отражаясь на границах. Её кинетическая энергия Е к = mv 2 /2, т. е. скорость V = Ö (2Е к / m ) зависит от энергии. Период колебаний частицы выражается формулой

Из формулы (3) видно, что период колебаний убывает с ростом энергии (для других систем он может возрастать).

Закон сохранения энергии Е осциллятора (консервативной нелинейной системы) имеет вид

Полную качественную картину движения нелинейного осциллятора даёт его фазовый портрет. Из закона сохранения энергии можно вывести

ЛЕОНИД ИСААКОВИЧ МАНДЕЛЬШТАМ

Даже неполный перечень открытий и фундаментальных работ академика Леонида Исааковича Мандельштама (1879-1944) поражает разнообразием: комбинационное и флуктуационное рассеяние света, теория микроскопа, нелинейные колебания и радиотехника, теория резонансов, радиогеодезия, новый вид генераторов электромагнитных волн - параметрические машины. Исключительная, чтобы не сказать болезненная, требовательность Л. И. Мандельштама к результатам работы не позволила включить в этот перечень ряд других, не менее важных открытий, - например, экспериментальное обнаружение в 1912 г. (за несколько лет до классических опытов Стюарта и Толмена) инерции электронов в металлах.

Но за всем впечатляющим разнообразием достижений и широтой интересов в научном творчестве Мандельштама отчётливо прослеживается главная тема - теория колебаний. Впервые познакомившись с этой областью по двухтомной «Теории звука» лорда Рэлея, Мандельштам проникся красотой её идей и неоднократно прибегал к «колебательной помощи», позволявшей находить аналогии между результатами из разных разделов физики.

В Мандельштаме счастливо воплотилось редкое сочетание теоретика и экспериментатора, исследователя и лектора. Он говорил, что существует понимание первого рода, когда читают и понимают всё, что написано, могут вывести любую формулу, но ещё не способны самостоятельно ответить на любой вопрос из прочитанного, и понимание второго рода, когда ясна вся картина, вся связь идей, явлений. Глубокий и тонкий мыслитель, Мандельштам достиг понимания второго рода всей физики и щедро делился знаниями с многочисленными учениками (среди них А. А. Андронов, А. А. Витт, Г. С. Горелик, Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович, В. В. Мигулин, С. М. Рытов, С. П. Стрелков, И. Е. Тамм, С. Э. Хайкин, С. П. Шубин и др.) и студентами.

Родился Мандельштам в Могилёве в семье, давшей миру учёных, врачей и писателей. Вскоре семья переехала в Одессу. До 12 лет мальчик учился дома, затем в гимназии, которую окончил с золотой медалью. В 1897 г. он поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета (в Одессе). Через два года в связи со студенческими волнениями юношу исключили из университета. По совету родителей Мандельштам уехал в Страсбург, один из центров физических исследований, где и продолжил образование. В Страсбургском университете тогда преподавали математик Генрих Вебер (ученик Римана и автор классического курса «Дифференциальные уравнения математической физики»), физик Фердинанд Браун (по совместительству директор Физического института), кафедрой теоретической физики заведовал Эмиль Кон (автор известного труда «Электромагнитное поле»).

Далеко не при всяких колебаниях возвращающая сила пропорциональна отклонению (т. е. меняется по закону (- кх)). Рассмотрим, например, рессору, изображенную на рисунке 2.74. Она состоит из нескольких пластин. При небольших деформациях изгибаются только длинные пластины. При больших нагрузках изгибу подвергаются и более короткие (и более жесткие) пластины. Возвращающую силу теперь можно описать так:

бательный режим переходит в апериодический, когда колебания исчезают и тело просто медленно приближается к положению равновесия (рис. 2.72, б, в).

Введите вместо строки, где ставятся точки (t,x), строку, где будут ставиться точки (x,v ), и получите фазовые портреты затухающих колебаний при разном трении. Можно воспользоваться и одной из готовых программ Phaspdem* или Phport * из имеющихся в пакете ПАКПРО. Должны получаться диаграммы типа изображенных на рисунке 2.73.

Чтобы она была возвращающей, т. е. F и х всегда имели разные знаки, ее следует разложить в ряд по нечетным степеням х. Поскольку потенциальная энергия U связана с силой формулой F = - dU/dx , это означает, что

т. е. колебания происходят в потенциальной яме со стенками, более крутыми, чем у параболы (рис. 2.75, а). Трение пластин друг о друга обеспечивает затухание, необходимое для демпфирования колебаний.

Возможны колебания и в асимметричной яме, когда

(рис. 2.75, б). Возвращающая сила при этом будет равна

При решении задач на нелинейные колебания неизбежно использование компьютера, так как аналитических решений не существует. На компьютере же решение совсем не сложно. Нужно только в строке, где производится наращивание скорости (v = v + F At/m), полностью написать выражение для F, например -кх- гх 2 - рх 3 .

Пример. Программа для вычерчивания графика нелинейных колебаний приведена в пакете ПАКПРО под именем Nlkol. Запустите ее в работу. Должна получиться серия кривых для разных начальных отклонений. При х 0 большем некоторого значения колеблющаяся частица покидает потенциальную яму, преодолев потенциальный барьер.

Испытайте также работу программ Nlcol* и Nlosc.*, имеющихся в пакете ПАКПРО, а также программы, с помощью которых можно получить фазовые портреты нелинейных колебаний: Phaspnl.*, Phportnl*.

Отметим, что, строго говоря, почти любые колебания являются нелинейными. Только при малых амплитудах их можно считать линейными (пренебрегать членами с х 2 , х 3 и т. д. в формулах типа (2.117)).

Пусть на осциллятор, кроме возвращающей силы, обеспечивающей собственные колебания с частотой С0о, действует еще внешняя сила, причем меняющаяся периодически с частотой со, равной или не равной (Оо. Эта сила будет раскачивать тело с частотой со. Возникающие при этом колебания называются вынужденными.

Уравнение движения в этом случае будет таким:

Вначале происходит процесс установления колебаний. От первого толчка тело начинает колебаться с собственной частотой со 0 . Потом постепенно собственные колебания затухают, и вынуждающая сила начинает управлять процессом. Устанавливаются вынужденные колебания уже не с частотой (Оо, а с частотой вынуждающей силы со. Переходный процесс очень сложен, аналитического решения не существует. При решении задачи численным методом программа будет ничуть не сложнее, чем, скажем, программа для затухающих колебаний. Нужно только в строке, где в соответствии с уравнением движения производится наращивание скорости, добавить вынуждающую силу в виде FobiH = Focos(cot).

Пример. В пакете ПАКГ1РО дан пример программы для получения графика вынужденных колебаний на экране компьютера. См. также программы Ustvcol.pas и UstvcoW.pas. Получающийся график х(?) и фазовая диаграмма v(x) показаны на рисунке 2.76. При удачном подборе параметров хорошо видно, как постепенно устанавливаются вынужденные колебания. Установление вынужденных колебаний интересно наблюдать также на фазовой диаграмме (программа Phpforc.pas).

Когда колебания с частотой со уже установились, можно найти решение уравнения (2.118) в виде

Здесь Жо - амплитуда установившихся колебаний. Если подставить (2.119) в (2.118), найдя предварительно производные по времени х" и х" и учитывая, что к = соо 2 тп, то оказывается, что (2.119) будет решением уравнения (2.118) при условии, что

Трение не учитывалось, коэффициент а полагался равным нулю. Видно, что амплитуда колебаний резко возрастает при приближении со к Сйо (рис. 2.77). Это явление носит название резонанса.

Если бы трения действительно не было, амплитуда при со = (Оо была бы бесконечно большой. Реально так не бывает. На том же рисунке 2.77 показано, как с увеличением трения меняется резонансная кривая. Но все же при совпадении со и соо амплитуда может стать в десятки и сотни раз больше, чем при со Ф СОо. В технике это явление опасно, так как вынуждающие колебания двигателя могут попасть в резонанс с собственной частотой каких-либо частей машины, и она может разрушиться.

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример – это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

Если затухание отсутствует и , имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика (рисунок 1.54).

Рисунок 1.54 - Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (a и b определяются в уравнении)

При постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.

Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( –целое число).

Самовозбуждающиеся колебания – другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил (рисунок 1.55).

Рисунок 1.55 - Примеры самовозбуждающихся колебаний: а – сухое трение между массой и движущимся ремнем;

б – аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня.

Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых, стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске.

В этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления (уравнение Ван дер Поля):

При анализе уравнения Ван дер Поля, удобно перейти к безразмерным переменным, нормировав пространственную переменную на , а время – на , так что уравнение принимает вид

При решении уравнения его представляют в виде ситемы уравнений первого порядка

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рисунке 1.56 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (где ).

Рисунок 1.56 - Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости

При малых , предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е. , где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких порядков.

При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рисунке 1.57 с безразмерным периодом около 1.61 при .

Рисунок 1.57 Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

Поскольку система нелинейная, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда она близка к частоте предельного цикла.

При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (см. рисунок). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление – комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями, вида

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. – иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где – частота предельного цикла свободных колебаний (рисунок 1.58).

Рисунок 1.58 - Амплитудные кривые для вынужденного

движения осциллятора Ван дер Поля

Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения состоит из двух пиков при , )

Когда , и несоизмеримы, фазовый портрет решения представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ.

Делается стробоскопическая выборка с интервалом ; положим и обозначим , .

Тогда соотношение сводится к