2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Per prima cosa devi trovare una radice usando il metodo di selezione. Di solito è un divisore del termine libero. In questo caso, i divisori del numero 12 Sono ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Iniziamo a sostituirli uno per uno:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ numero 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ numero -1 non è una radice di un polinomio
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ numero 2 è la radice del polinomio
Abbiamo trovato 1 delle radici del polinomio. La radice del polinomio è 2, il che significa che il polinomio originale deve essere divisibile per x-2. Per eseguire la divisione dei polinomi utilizziamo lo schema di Horner:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
I coefficienti del polinomio originale vengono visualizzati nella riga superiore. La radice che abbiamo trovato è posizionata nella prima cella della seconda riga 2. La seconda riga contiene i coefficienti del polinomio risultante dalla divisione. Si contano così:
|
Nella seconda cella della seconda riga scriviamo il numero 2, semplicemente spostandolo dalla cella corrispondente della prima riga. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
L'ultimo numero è il resto della divisione. Se è uguale a 0, allora abbiamo calcolato tutto correttamente.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Ma questa non è la fine. Puoi provare ad espandere il polinomio allo stesso modo 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Anche in questo caso cerchiamo una radice tra i divisori del termine libero. Divisori di numeri -6 Sono ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ numero 1 non è una radice di un polinomio
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ numero -1 non è una radice di un polinomio
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ numero 2 non è una radice di un polinomio
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ numero -2 è la radice del polinomio
Scriviamo la radice trovata nel nostro schema Horner e iniziamo a riempire le celle vuote:
|
Nella seconda cella della terza riga scriviamo il numero 2, semplicemente spostandolo dalla cella corrispondente della seconda riga. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Pertanto, abbiamo scomposto in fattori il polinomio originale:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinomio 2x2 + 5x - 3 può anche essere fattorizzato. Per fare questo, puoi risolvere l'equazione quadratica attraverso il discriminante, oppure puoi cercare la radice tra i divisori del numero -3. In un modo o nell'altro arriveremo alla conclusione che la radice di questo polinomio è il numero -3
|
Nella seconda cella della quarta riga scriviamo il numero 2, semplicemente spostandolo dalla cella corrispondente della terza riga. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Pertanto, abbiamo scomposto il polinomio originale in fattori lineari:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
E le radici dell'equazione sono.
Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.
Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:
- Non hanno radici;
- Avere esattamente una radice;
- Hanno due radici diverse.
Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.
Discriminante
Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.
Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:
- Se d< 0, корней нет;
- Se D = 0, esiste esattamente una radice;
- Se D > 0 ci saranno due radici.
Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:
Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Il discriminante è zero, la radice sarà uno.
Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.
A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.
Radici di un'equazione quadratica
Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:
Formula base per le radici di un'equazione quadratica
Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:
Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]
Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:
Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, annota ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.
Equazioni quadratiche incomplete
Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:
- x2 + 9x = 0;
- x2-16 = 0.
È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:
L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.
Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.
Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':
Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:
- Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
- Se (−c /a)< 0, корней нет.
Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.
Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:
Togliendo il fattore comune tra parentesiIl prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:
Compito. Risolvere equazioni quadratiche:
- x2-7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Il servizio di risoluzione di equazioni online ti aiuterà a risolvere qualsiasi equazione. Utilizzando il nostro sito Web, riceverai non solo la risposta all'equazione, ma vedrai anche una soluzione dettagliata, ovvero una visualizzazione passo passo del processo per ottenere il risultato. Il nostro servizio sarà utile agli studenti delle scuole superiori e ai loro genitori. Gli studenti potranno prepararsi per test ed esami, testare le proprie conoscenze e i genitori potranno monitorare la soluzione delle equazioni matematiche da parte dei propri figli. La capacità di risolvere equazioni è un requisito obbligatorio per gli scolari. Il servizio ti aiuterà a istruirti e a migliorare le tue conoscenze nel campo delle equazioni matematiche. Con il suo aiuto puoi risolvere qualsiasi equazione: quadratica, cubica, irrazionale, trigonometrica, ecc. I vantaggi del servizio online sono inestimabili, perché oltre alla risposta corretta, riceverai una soluzione dettagliata per ciascuna equazione. Vantaggi di risolvere equazioni online. Puoi risolvere qualsiasi equazione online sul nostro sito web in modo assolutamente gratuito. Il servizio è completamente automatico, non devi installare nulla sul tuo computer, ti basterà inserire i dati e il programma ti darà la soluzione. Sono esclusi eventuali errori di calcolo o refusi. Con noi, risolvere qualsiasi equazione online è molto semplice, quindi assicurati di utilizzare il nostro sito per risolvere qualsiasi tipo di equazione. Devi solo inserire i dati e il calcolo sarà completato in pochi secondi. Il programma funziona in modo indipendente, senza intervento umano, e ricevi una risposta accurata e dettagliata. Soluzione dell'equazione in forma generale. In tale equazione, i coefficienti variabili e le radici desiderate sono interconnessi. La potenza più alta di una variabile determina l'ordine di tale equazione. Sulla base di ciò, vengono utilizzati vari metodi e teoremi per trovare soluzioni alle equazioni. Risolvere equazioni di questo tipo significa trovare le radici richieste in forma generale. Il nostro servizio ti consente di risolvere online anche le equazioni algebriche più complesse. Puoi ottenere sia una soluzione generale dell'equazione che una particolare per i valori numerici dei coefficienti specificati. Per risolvere un'equazione algebrica sul sito è sufficiente compilare correttamente solo due campi: il lato sinistro e quello destro dell'equazione data. Le equazioni algebriche a coefficienti variabili hanno un numero infinito di soluzioni e, ponendo determinate condizioni, dall'insieme delle soluzioni vengono selezionate quelle parziali. Equazione quadrata. L'equazione quadratica ha la forma ax^2+bx+c=0 per a>0. Risolvere equazioni quadratiche implica trovare i valori di x per i quali vale l'uguaglianza ax^2+bx+c=0. Per fare ciò, trova il valore discriminante utilizzando la formula D=b^2-4ac. Se il discriminante è minore di zero, allora l'equazione non ha radici reali (le radici provengono dal campo dei numeri complessi), se è uguale a zero, allora l'equazione ha una radice reale, e se il discriminante è maggiore di zero , allora l'equazione ha due radici reali, che si trovano dalla formula: D = -b+-sqrt/2a. Per risolvere un'equazione quadratica online, devi solo inserire i coefficienti dell'equazione (interi, frazioni o decimali). Se in un'equazione sono presenti segni di sottrazione, è necessario anteporre il segno meno ai termini corrispondenti dell'equazione. Puoi risolvere un'equazione quadratica online in base al parametro, ovvero alle variabili nei coefficienti dell'equazione. Il nostro servizio online per la ricerca di soluzioni generali affronta bene questo compito. Equazioni lineari. Per risolvere equazioni lineari (o sistemi di equazioni), nella pratica vengono utilizzati quattro metodi principali. Descriveremo ciascun metodo in dettaglio. Metodo di sostituzione. Per risolvere le equazioni utilizzando il metodo di sostituzione è necessario esprimere una variabile in termini delle altre. Successivamente l'espressione viene sostituita in altre equazioni del sistema. Da qui il nome del metodo risolutivo, cioè al posto di una variabile, la sua espressione viene sostituita dalle restanti variabili. In pratica, il metodo richiede calcoli complessi, sebbene sia facile da capire, quindi risolvere un'equazione del genere online aiuterà a risparmiare tempo e a semplificare i calcoli. Devi solo indicare il numero di incognite nell'equazione e inserire i dati delle equazioni lineari, quindi il servizio effettuerà il calcolo. Metodo di Gauss. Il metodo si basa sulle trasformazioni più semplici del sistema per arrivare ad un sistema triangolare equivalente. Da esso, le incognite vengono determinate una per una. In pratica, è necessario risolvere un'equazione del genere online con una descrizione dettagliata, grazie alla quale avrai una buona conoscenza del metodo gaussiano per risolvere i sistemi di equazioni lineari. Annota il sistema di equazioni lineari nel formato corretto e prendi in considerazione il numero di incognite per risolvere accuratamente il sistema. Il metodo di Cramer. Questo metodo risolve sistemi di equazioni nei casi in cui il sistema ha un'unica soluzione. L'azione matematica principale qui è il calcolo dei determinanti della matrice. La risoluzione delle equazioni utilizzando il metodo Cramer viene eseguita online, ricevi immediatamente il risultato con una descrizione completa e dettagliata. È sufficiente riempire il sistema di coefficienti e selezionare il numero di variabili sconosciute. Metodo della matrice. Questo metodo consiste nel raccogliere i coefficienti delle incognite nella matrice A, le incognite nella colonna X e i termini liberi nella colonna B. Pertanto, il sistema di equazioni lineari è ridotto a un'equazione di matrice della forma AxX=B. Questa equazione ha un'unica soluzione solo se il determinante della matrice A è diverso da zero, altrimenti il sistema non ha soluzioni, oppure ha un numero infinito di soluzioni. Risolvere le equazioni utilizzando il metodo della matrice implica trovare la matrice inversa A.
Ricordiamo le proprietà fondamentali dei gradi. Sia a > 0, b > 0, n, m un numero reale qualsiasi. Poi
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\sinistra(\frac(a)(b) \destra)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, se a > 1, n > 0
8) un n. 1, n
9) a n > a m se 0
In pratica vengono spesso utilizzate funzioni della forma y = ax, dove a è un dato numero positivo, x è una variabile. Tali funzioni sono chiamate indicativo. Questo nome è spiegato dal fatto che l'argomento della funzione esponenziale è l'esponente e la base dell'esponente è il numero dato.
Definizione. Una funzione esponenziale è una funzione della forma y = a x, dove a è un dato numero, a > 0, \(a \neq 1\)
La funzione esponenziale ha le seguenti proprietà
1) Il dominio di definizione della funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri reali.
Questa proprietà deriva dal fatto che la potenza a x dove a > 0 è definita per tutti i numeri reali x.
2) L'insieme dei valori della funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri positivi.
Per verificarlo, è necessario dimostrare che l'equazione a x = b, dove a > 0, \(a \neq 1\), non ha radici se \(b \leq 0\), e ha radice per ogni b > 0 .
3) La funzione esponenziale y = a x è crescente sull'insieme di tutti i numeri reali se a > 1, e decrescente se 0. Ciò segue dalle proprietà di grado (8) e (9)
Costruiamo grafici delle funzioni esponenziali y = a x per a > 0 e per 0. Utilizzando le proprietà considerate, notiamo che il grafico della funzione y = a x per a > 0 passa per il punto (0; 1) e si trova sopra l'asse del bue.
Se x0.
Se x > 0 e |x| aumenta, il grafico sale rapidamente.
Grafico della funzione y = a x a 0 Se x > 0 e aumenta, allora il grafico si avvicina rapidamente all'asse Ox (senza attraversarlo). Pertanto, l'asse del bue è l'asintoto orizzontale del grafico.
Se x
Equazioni esponenziali
Consideriamo diversi esempi di equazioni esponenziali, ad es. equazioni in cui l'incognita è contenuta nell'esponente. Risolvere equazioni esponenziali spesso si riduce a risolvere l'equazione a x = a b dove a > 0, \(a \neq 1\), x è un'incognita. Questa equazione si risolve utilizzando la proprietà della potenza: potenze con la stessa base a > 0, \(a \neq 1\) sono uguali se e solo se i loro esponenti sono uguali.
Risolvi l'equazione 2 3x 3 x = 576
Poiché 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, l'equazione può essere scritta come 8 x 3 x = 24 2, oppure come 24 x = 24 2, da cui x = 2.
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Prendendo il fattore comune 3 x - 2 tra parentesi a sinistra, otteniamo 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
da cui 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 x = 7 x
Poiché \(7^x \neq 0 \) , l'equazione può essere scritta nella forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), da cui \(\left(\frac(3 )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Rispondi x = 0
Risolvi l'equazione 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Sostituendo 3 x = t, questa equazione si riduce all'equazione quadratica t 2 - 4t - 45 = 0. Risolvendo questa equazione, troviamo le sue radici: t 1 = 9, t 2 = -5, da cui 3 x = 9, 3 x = -5 .
L'equazione 3 x = 9 ha radice x = 2 e l'equazione 3 x = -5 non ha radici, poiché la funzione esponenziale non può assumere valori negativi.
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Scriviamo l'equazione nella forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, da cui
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x-2 = 0
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Poiché 3 > 0, \(3 \neq 1\), allora l'equazione originale è equivalente all'equazione |x-1| = |x+3|
Elevando al quadrato questa equazione si ottiene il suo corollario (x - 1) 2 = (x + 3) 2, da cui
x2 - 2x + 1 = x2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Il controllo mostra che x = -1 è la radice dell'equazione originale.
Risposta x = -1