Test tehetetlenségi nyomatékai párhuzamos tengelyek körül. Huygens tétele.

Egy adott testnek a különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai általában eltérőek lesznek. Mutassuk meg, hogyan találjuk meg a tehetetlenségi nyomatékot a testben húzott bármely tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot bármely másik, vele párhuzamos tengely körül.

35. ábra

Rajzoljunk át a tömegközépponton VAL VEL testek tetszőleges tengelyek Cx"y"z",és bármely ponton keresztül RÓL RŐL a tengelyen Cx" - tengelyek Oxyz oly módon, hogy Ó½½ Сy", Oz½½ Cz"(35. ábra). Tengelytávolság Cz"És Ozáltal jelöljük d. Akkor

de, mint az ábrán látható, a test bármely pontjára vagy, a. Ezeket az értékeket helyettesítve , a közös tényezők kifejezésébe és eltávolításába d 2 és 2d zárójelben túl kapjuk

Az egyenlőség jobb oldalán az első összeg egyenlő én cz",és a második - testtömeg M. Keressük meg a harmadik összeg értékét. A tömegközéppont koordinátáira vonatkozó képletek alapján.Mivel esetünkben a pont VAL VEL akkor a koordináták origója x C = 0 és ezért . Végül megkapjuk:

A képlet a következőket fejezi ki Huygens tétele:

Egy testnek egy adott tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a vele párhuzamos, a test tömegközéppontján átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal, amely hozzáadódik az egész test tömegének szorzatához a test tömegének négyzetével. a tengelyek közötti távolság.

Határozzuk meg a test tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest u, áthalad egy bizonyos ponton RÓL RŐL(36. ábra).

36. ábra

Értelemszerűen tehetetlenségi nyomaték.

Tegyük a lényegre RÓL RŐL koordinátatengelyek origója x, y, z. Derékszögű háromszögből OAM i követi hol. És mivel egy pont sugárvektora, akkor ezt az egyenlőséget a tengelyre vetítve u, kapunk (, - szögeket a tengely között ués tengelyek x, y, z).

Rizs. 14.3.

Mint a trigonometriából ismeretes

És az azonos szögek koszinuszait tartalmazó hasonló kifejezéseket csoportosítva a következőket kapjuk:

De - távolságok a ponttól M i tengelyekhez x, y, z, illetőleg. Ezért

Ahol I x , I y , I z– a test tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest; I xy, J yz, J xz - centrifugális tehetetlenségi nyomatékok az indexekben jelölt tengelyekhez képest.

Ha két centrifugális tehetetlenségi nyomaték, amelyek indexei egy-egy tengely nevét tartalmazzák, egyenlő nullával, akkor ezt a tengelyt ún. fő tehetetlenségi tengely. Például ha J yz = 0és J xz= 0, majd a tengely z– fő tehetetlenségi tengely.

Mivel minden tehetetlenségi nyomaték a pont elhelyezkedésétől függ RÓL RŐL, a koordináták origójának megválasztásából, akkor jelezni kell, hogy ezek a tehetetlenségi nyomatékok melyik pontra vonatkoznak. Ha a koordináták origóját a tömegközéppontban vesszük fel VAL VEL, akkor az összes fő tehetetlenségi tengelyt nevezzük fő központi tehetetlenségi tengelyek.

Ha egy adott pontban a koordinátatengelyek a fő tehetetlenségi tengelyek (a hozzájuk viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékok egyenlők nullával), akkor a (2) képlet egyszerűsödik:

Néha bizonyos jelek alapján nem nehéz megtalálni a test fő tehetetlenségi tengelyeit.

1. Ha egy homogén testnek van szimmetriatengelye, akkor ez a tengely a fő központi tehetetlenségi tengely.

Igazán. Irányítsuk a koordinátatengelyt z a szimmetriatengely mentén. Ezután a test minden pontjára koordinátákkal ( x i, y i, z i) találhat egy pontot koordinátákkal ( -x i , -y i , -z i) és ezért a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok és. Tehát a tengely z– a fő tehetetlenségi tengely, és a központi tengely, mert a tömegközéppont, mint ismeretes, a szimmetriatengelyen helyezkedik el. Ezenkívül ez a tengely lesz a fő tengely a szimmetriatengelyen található bármely pontban.

2. Ha egy homogén testnek van szimmetriasíkja, akkor bármely rá merőleges tengely lesz a fő tehetetlenségi tengely e sík összes pontjára.

Irányítsuk a tengelyt z merőleges a szimmetriasíkra annak bármely pontjából RÓL RŐL, hozzárendelve ott a koordináták origóját. Ezután a test minden pontjára koordinátákkal ( x i, y i, z i) koordinátákkal találsz rá szimmetrikus pontot ( x i , y i , - z i). Ezért a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok én xzÉs én yz nullával lesz egyenlő. Tehát a tengely z– fő tehetetlenségi tengely.

9. példa. Határozzuk meg a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest u, amely a korong szimmetriatengelyéhez képest szöget zár be z(37. ábra).

37. ábra

Tengelyek x, yÉs z– a fő központi tehetetlenségi tengelyek, mert szimmetriatengelyek.

Ezután hol van a tengelyek közötti szög uÉs z; szög - a tengelyek közötti szög uÉs y, egyenlő; szög - a tengelyek közötti szög uÉs x, egyenlő 90°-kal. Ezért

Differenciális a rendszer mozgásegyenletei.

Tekintsünk egy rendszert, amely a következőkből áll P anyagi pontok. Válasszunk ki egy tömegpontot a rendszerből. Jelöljük a pontra ható összes külső erő eredőjét (aktív és reakció kötések egyaránt) , és minden belső erő eredője – keresztül . Ha a pontnak van gyorsulása , akkor a dinamika alaptörvénye szerint

Bármely pontra hasonló eredményt kapunk. Ezért az egész rendszerre ez lesz:

Ezeket az egyenleteket, amelyekből a rendszer egyes pontjainak mozgástörvénye meghatározható, nevezzük a rendszer mozgásának differenciálegyenletei vektoros formában. Az egyenletek differenciálisak, mert; Az egyenletek jobb oldalán szereplő erők általában az időtől, a rendszer pontjainak koordinátáitól és azok sebességétől függenek.

Néhány koordinátatengelyre vetítve megkaphatjuk a rendszer mozgásának differenciálegyenleteit ezekre a tengelyekre vetítve.

A dinamika fő problémájának teljes megoldása egy rendszer esetében abban állna, hogy az adott erők ismeretében integráljuk a megfelelő differenciálegyenleteket, és ily módon a rendszer minden pontjának mozgástörvényét külön-külön meghatározzuk.

Ezt a megoldást azonban általában két okból nem használják. Először is, ez az út túl bonyolult, és szinte mindig leküzdhetetlen matematikai nehézségekkel jár. Másodszor, a legtöbb esetben a mechanikai feladatok megoldása során elegendő a rendszer egészének mozgásának néhány összefoglaló jellemzőjét ismerni, nem pedig az egyes pontjainak mozgását külön-külön. Ezeket az összefoglaló jellemzőket a segítségével határozzuk meg általános tételek a rendszer dinamikája, amelynek tanulmányozásával folytatjuk.

Az egyenletek fő szerepe abban rejlik, hogy ezek, illetve az azokból származó következmények a megfelelő általános tételek megszerzésének kiindulópontjai.

A mechanikai rendszer dinamikájának általános tételei: a mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgására és az impulzus változására vonatkozó tételek, a mozgási impulzus és a mozgási energia változására vonatkozó tételek a dinamika alapegyenletének következményei. . Ezek a tételek nem a mechanikai rendszerben lévő egyes pontok és testek mozgását veszik figyelembe, hanem egyes integrált jellemzőket, mint például egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgását, lendületét, mozgási nyomatékát és mozgási energiáját. Ennek eredményeként az ismeretlen belső erők és esetenként a kapcsolási reakciók kizárásra kerülnek a számításból, ami jelentősen leegyszerűsíti a probléma megoldását.

Egy test (rendszer) tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengelyhez viszonyítva Oz (vagy axiális tehetetlenségi nyomaték) olyan skaláris mennyiség, amely különbözik a test (rendszer) összes pontja tömegeinek szorzatának összegétől. ettől a tengelytől való távolságuk négyzetei:

A definícióból az következik, hogy egy test (vagy rendszer) tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyhez képest pozitív mennyiség, és nem egyenlő nullával.

A jövőben be fog mutatni, hogy a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték ugyanazt a szerepet játszik a test forgási mozgása során, mint a tömeg a transzlációs mozgás során, vagyis hogy a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a test forgás közbeni tehetetlenségének mértéke. mozgás.

A (2) képlet szerint egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az összes része tehetetlenségi nyomatékainak összegével ugyanazon tengelyhez képest. Egy anyagpontra, amely a tengelytől h távolságra van, . A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége SI-ben 1 kg lesz (MKGSS rendszerben - ).

A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kiszámításához a pontok távolsága a tengelyektől kifejezhető e pontok koordinátáival (például az Ox tengelytől való távolság négyzete lesz stb.).

Ezután a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat a képletek határozzák meg:

A számítások során gyakran használják a forgási sugár fogalmát. A test tehetetlenségi sugara egy tengelyhez képest lineáris mennyiség, amelyet az egyenlőség határoz meg

ahol M a testtömeg. A definícióból az következik, hogy a tehetetlenségi sugár geometriailag egyenlő annak a pontnak a tengelyétől mért távolságával, amelyre az egész test tömegének koncentrálódnia kell úgy, hogy ennek az egy pontnak a tehetetlenségi nyomatéka egyenlő legyen a tehetetlenségi nyomatékkal. az egész testről.

A tehetetlenségi sugár ismeretében a (4) képlet segítségével megkeresheti a test tehetetlenségi nyomatékát és fordítva.

A (2) és (3) képlet merev testre és bármely anyagi pontrendszerre egyaránt érvényes. Szilárd test esetén elemi részekre bontva azt találjuk, hogy a határban a (2) egyenlőségben lévő összegből integrál lesz. Ennek eredményeként, figyelembe véve, hogy hol van a sűrűség és V a térfogat, megkapjuk

Az integrál itt a test teljes V térfogatára kiterjed, a h sűrűség és távolság pedig a test pontjainak koordinátáitól függ. Hasonlóképpen a szilárd testek (3) képlete is a következő alakot ölti

Az (5) és (5) képlet kényelmesen használható szabályos alakú homogén testek tehetetlenségi nyomatékának kiszámításakor. Ebben az esetben a sűrűség állandó lesz, és az integrál előjelen kívül esik.

Keressük meg néhány homogén test tehetetlenségi nyomatékát.

1. Vékony homogén, l hosszúságú és M tömegű rúd. Számítsuk ki a tehetetlenségi nyomatékát a rúdra merőleges és az A végén átmenő tengelyhez képest (275. ábra). Irányítsuk a koordinátatengelyt AB mentén, ekkor bármely d hosszúságú elemi szakasz értéke , tömege pedig , ahol a rúd egységnyi hosszának tömege. Ennek eredményeként az (5) képlet azt adja

Helyettesítve itt az értékét, végre megtaláljuk

2. R sugarú és M tömegű vékony, kerek homogén gyűrű. Határozzuk meg tehetetlenségi nyomatékát a gyűrű síkjára merőleges és a C középpontján átmenő tengelyhez képest (276. ábra).

Mivel a gyűrű minden pontja bizonyos távolságra van a tengelytől, a (2) képlet megadja

Ezért a gyűrűért

Nyilvánvalóan ugyanezt az eredményt kapjuk egy M tömegű és R sugarú vékony hengeres héj tehetetlenségi nyomatékára a tengelyéhez képest.

3. R ​​sugarú és M tömegű kerek homogén lemez vagy henger. Számítsuk ki a kerek lemez tehetetlenségi nyomatékát a lemezre merőleges és a középpontján átmenő tengelyhez képest (lásd 276. ábra). Ehhez kiválasztunk egy sugárral és szélességgel rendelkező elemi gyűrűt (277. ábra, a). Ennek a gyűrűnek a területe , a tömeg pedig ahol a lemez egységnyi területére eső tömeg. Ekkor a (7) képlet szerint a kiválasztott elemi gyűrűre lesz és az egész lemezre

A merev testek forgásának tanulmányozásakor a tehetetlenségi nyomaték fogalmát fogjuk használni.

Osszuk fel a testet olyan kis részekre, hogy mindegyik anyagi pontnak tekinthető. Hadd m i- súly én- anyagi pont, r i– távolsága valamely tengelytől O.

Azt az értéket, amely megegyezik egy anyagi pont tömegének az adott tengelyhez mért legrövidebb távolságának négyzetével, az anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának nevezzük a tengelyhez képest:

A test összes anyagi pontja tehetetlenségi nyomatékainak összegét ún a test tehetetlenségi nyomatéka valamilyen tengelyhez képest:

A merev test tehetetlenségi nyomatéka, amint az könnyen belátható, a tömegek eloszlásától függ a számunkra érdekes tengelyhez képest.

Ha a test tömeg karika m, melynek vastagsága a sugárhoz képest kicsi R, akkor tehetetlenségi nyomatéka a középponton átmenő és a karika síkjára merőleges tengelyhez képest egyenlő

Bonyolultabb alakú testeknél az (5.2) kifejezés összegzése integrálszámítási módszerekkel történik a képlet szerint

ahol az integráció a test teljes térfogatában történik. Nagyságrend r
ebben az esetben a pont pozíciójának függvénye van koordinátákkal x,y,z.

Példaként nézzük meg egy homogén korong tehetetlenségi nyomatékát a korong síkjára merőleges és a középpontján átmenő tengely körül. Osszuk fel a korongot d vastagságú gyűrűrétegekre r.

Egy réteg minden pontja azonos távolságra lesz a tengelytől, egyenlő r. Egy ilyen réteg térfogata egyenlő:

,

Ahol b– lemezvastagság. Mivel a korong homogén, sűrűsége minden pontban azonos és

ahol D m – a gyűrű alakú réteg tömege.

Most az (5.4) képlet segítségével megtaláljuk a tehetetlenségi nyomatékot

,

Ahol R– lemez sugara;

.

Végül a lemez tömegének megadásával m egyenlő a lemez sűrűségének és térfogatának szorzatával, azt kapjuk

Egyes homogén szilárd testek tehetetlenségi nyomatékai a tengely körül, áthalad a test tömegközéppontján táblázatban vannak megadva. 5.1.

5.1. táblázat

Ha ismert a test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő tengelyhez képest, akkor bármely más párhuzamos tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomaték megtalálható. Ehhez használni kell Huygens–Steiner tétel:

a test tehetetlenségi nyomatéka én tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő a tehetetlenségi nyomatékával Ic vele párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest C test hozzáadva a testtömeg szorzatához m távolság négyzetére a tengelyek között:

Keressük meg a kapcsolatot a test tehetetlenségi nyomatékai között két párhuzamos tengelyhez képest, amelyek közül az egyik átmegy a tömegközépponton. Határozzuk meg a test tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest z párhuzamos tengely z C. Tengely z Cáthalad a test tömegközéppontján. Osszuk fel mentálisan a testet tömegrészecskékre m i, Ahol én- sorozatszám. Határozzuk meg az egyes részecskék helyzetét a tengelyekhez képest zÉs z C. A tehetetlenségi nyomaték definíciója szerint hol a legrövidebb távolság a forgástengelytől (az a kör sugara, amelyet a pont a forgástengely körüli mozgása során ír le).

ábrán. 5.3 világos, hogy , akkor egy tömegű pont tehetetlenségi nyomatéka m i a tengelyhez képest z egyenlő: , és az egész testre a tengely körüli tehetetlenségi nyomaték z egyenlő a test összes részecskéjének ugyanazon tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak összegével:

(5.7)

A-priory – a test tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest z C, áthalad a test tömegközéppontján; , Akkor . Kifejezés átalakítható . Egyenlő érték meghatározza a test tömegközéppontjának helyzetét a tengelyhez képest z C. Az ábráról jól látszik, hogy mivel a tömegközéppont a tengelyen fekszik z C.

Akkor kapunk

(5.8)

- tehetetlenségi nyomaték Iz egy test tetszőleges tengelyéhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának összegével egy vele párhuzamos tengelyhez képest z C, áthalad a tömegközépponton, és a nagysága ma 2 hol m- testtömeg, a– a tengelyek közötti távolság.

Példa. Vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka (tömeg més hossza ) a rúdra merőleges és a végén áthaladó tengelyhez képest egyenlő.

1.10. A FORGÓ MOZGÁS DINAMIKÁJÁNAK EGYENLETE

Szilárd test mint anyagi pontok rendszere. Merev test tehetetlenségi középpontjának mozgása. Forgó test kinetikus energiája. A rögzített tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomaték fogalma. Steiner tétele. Egyesek tehetetlenségi pillanatai legegyszerűbb testek. A forgó mozgás dinamikájának egyenlete rögzített tengelyhez képest.

A merev test mozgását általában két vektoregyenlet határozza meg. Az egyik a tömegközéppont mozgásegyenlete (4.11), a másik a pillanatok egyenlete VAL VEL-rendszer (6.24):

(10 . 1 )

A ható külső erők törvényszerűségeinek, alkalmazási pontjainak és kezdeti feltételeinek ismeretében ezen egyenletek felhasználásával meg lehet határozni a merev test minden pontjának sebességét és helyzetét bármely pillanatban, azaz teljesen megoldja a testmozgás problémáját. A (10.1) egyenletek látszólagos egyszerűsége ellenére azonban ezek megoldása általános esetben igen nehéz feladat. Ez elsősorban annak a ténynek köszönhető, hogy a megfelelő szögimpulzus és a merev test egyes pontjainak sebessége közötti kapcsolat VAL VEL-a rendszer bonyolultnak bizonyul, néhány speciális esetet leszámítva. Ezt a problémát nem fogjuk általános formában megvizsgálni (az elméleti mechanika során oldjuk meg), és a jövőben csak egyedi speciális esetekre szorítkozunk.

Ha az erőket a hatásuk irányában mozgatjuk, akkor egyértelmű, hogy sem eredő, sem össznyomatékuk nem változik. Ebben az esetben a (10.1) egyenletek sem változnak, így a merev test mozgása sem változik. Ezért a külső erők alkalmazási pontjai átvihetők az erők működési iránya mentén - ez egy kényelmes technika a problémák megoldására, amelyet folyamatosan használnak.

Nézzük most az eredő erő fogalmát. Azokban az esetekben, amikor az összes külső erő össznyomatéka merőleges a keletkező erőre, azaz minden külső erő lecsökkenthető egy egy bizonyos egyenes mentén ható erő. Valóban, ha valamihez képest RÓL RŐL teljes momentum , akkor mindig találhat olyan vektort (10.1. ábra), hogy adott és

Ebben az esetben a választás nem egyértelmű: bármilyen vektort hozzáadunk,

párhuzamos nem változtatja meg az utolsó egyenlőséget. Ez pedig azt jelenti, hogy ez az egyenlőség nem az erő „alkalmazásának” pontját határozza meg, hanem a cselekvés irányát. A modulok ismerete M És F megfelelő vektorok, akkor megtaláljuk a vállát l erők (6.14. ábra): .

Így ha , egy merev test egyes pontjaira ható erőrendszer helyettesíthető eggyel eredő erő - olyan erő, amely egyenlő az eredővel, és az összes külső erő össznyomatékával egyenlő nyomatékot hoz létre.

Ilyen eset egy egyenletes erőtér, például egy gravitációs tér hatása, amelyben az egyes részecskékre ható erő alakja . Ebben az esetben bármely ponthoz viszonyított teljes gravitációs nyomaték RÓL RŐL egyenlő

A zárójelben lévő összeg egyenlő azzal, ahol a test tömege a tömegközéppontjának a ponthoz viszonyított sugárvektora O. Ezért

Ez azt jelenti, hogy a gravitáció eredője áthalad a test tömegközéppontján. Általában azt mondják, hogy a gravitációs erők eredője a test tömegközéppontjára vagy annak súlypontjára vonatkozik. Ennek az erőnek a nyomatéka a test tömegközéppontjához viszonyítva nulla.

Most térjünk át a merev test mozgásának speciális eseteinek vizsgálatára.

Rögzített tengely körüli forgás.

Tekintsük egy merev test fix tengely körüli forgását. Keressünk egy kifejezést egy merev test tengelyhez viszonyított szögimpulzusára 00" (6.15. ábra). Egy részecske szögimpulzusa így írható fel

ahol és egy szilárd test részecske tömege és forgástengelyétől való távolsága, és a szögsebessége. A zárójelben lévő mennyiséget I-vel jelölve azt kapjuk

(10 .2)

Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva e pont tömegének a tengelytől mért legrövidebb távolság négyzetével való szorzatának nevezzük.

A rendszer tehetetlenségi nyomatéka (testek) a forgástengelyhez képest egy fizikai mennyiség, amely egyenlő a tömegek szorzatainak összegével n a rendszer anyagi pontjai a vizsgált tengelytől való távolságuk négyzetével.

A merev test tehetetlenségi nyomatéka a tömegek számunkra érdekes tengelyhez viszonyított eloszlásától függ, és additív mennyiség. A test tehetetlenségi nyomatékát a képlet segítségével számítjuk ki

ahol dm és dV a test egy, a számunkra érdekes z tengelytől távol eső elem tömege és térfogata, valamint a test sűrűsége egy adott pontban.

Néhány homogén szilárd test tehetetlenségi nyomatékát a test tömegközéppontján átmenő tengely körül a következő táblázat tartalmazza (itt m a test tömege):

Szilárd anyag típusa	Tengelyhelyzet	Tehetetlenségi nyomaték
Vékony rúdhossz L	A rúdra merőlegesen
R sugarú tömör henger	Egybeesik a henger tengelyével
Vékony, R sugarú korong	Ugyanaz, mint a lemez átmérője
R sugarú golyó	Átpasszol a labda közepén

Egy tetszőleges alakú szilárd test egyik vagy másik tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása általánosságban véve meglehetősen fáradságos matematikai feladat. Azonban bizonyos esetekben a tehetetlenségi nyomaték megállapítása jelentősen leegyszerűsödik, ha használja Steiner tétele : tehetetlenségi nyomaték én tetszőleges tengelyhez képest z egyenlő az adott tengelyrel párhuzamos és a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal VAL VEL test, plusz a tömegszorzat T testek négyzettávolságonként A tengelyek között:

(10 . 4 )

Így, ha a tehetetlenségi nyomaték ismert, akkor a tehetetlenségi nyomaték meghatározása én alapvető. Például egy vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka (tömeg Tés hossza l) a rúdra merőleges és a végén áthaladó tengelyhez képest egyenlő

Kinetikus energiaforgó mozgás- a test forgásához kapcsolódó energiája. Adjuk meg a forgó, rögzített forgástengelyű merev test mozgási energiájának kifejezését. Figyelembe véve a forgó merev test részecske sebessége és a szögsebesség közötti kapcsolatot, írunk

vagy rövidebben

ahol a test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő forgástengelyhez képest, a test szögsebessége, m a tömege, a test tehetetlenségi középpontjának sebessége a K-ben referencia Keret. És így, egy merev test kinetikus energiája síkmozgásban a C-rendszerben lévő forgási energiából és a tömegközéppont mozgásához kapcsolódó energiából áll.

Írjuk fel a merev test forgásának dinamikájának alapegyenlete Val vel rögzített forgástengely. Ez az egyenlet könnyen megszerezhető egy anyagi pont pillanategyenletének következményeként, ha a (10.2)-t az idő függvényében differenciáljuk, akkor

(10 . 7 )

ahol az összes külső erő forgástengelyhez viszonyított össznyomatéka, a szöggyorsulás forgástengelyre vetítése. Ebből az egyenletből különösen világos, hogy a tehetetlenségi nyomaték én meghatározza a merev test tehetetlenségi tulajdonságait forgás közben: azonos erőnyomaték-érték mellett a nagy tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező test kisebb szöggyorsulást kap. A tengely körüli erőnyomatékok algebrai mennyiségek: előjelük a tengely pozitív irányának megválasztásától függ z, egybeesik a forgástengellyel, és irányból

a megfelelő erőnyomaték "forgása". Például a pozitív tengely irányának kiválasztása zábrán látható módon. 10.3, ezzel beállítjuk a szögreferencia pozitív irányát - mindkét irányt a jobb oldali csavar szabálya köti össze. Úgy gondolják, hogy ha egy bizonyos pillanat a szög pozitív irányába "forog", akkor azt pozitívnak tekintik, és fordítva. A teljes nyomaték előjele pedig meghatározza a szöggyorsulási vektor z tengelyre vetítésének előjelét.

A (10.7) egyenlet integrálása, figyelembe véve a kezdeti feltételeket - a szögsebesség és -szög értékeit, valamint a kezdeti időpillanatot - lehetővé teszi számunkra, hogy teljesen megoldjuk a merev test fix tengely körüli forgásának problémáját, azaz keresse meg a szögsebesség és a forgásszög időfüggését!

Vegye figyelembe, hogy a (10.7) egyenlet érvényes Bármi a forgástengelyhez mereven kapcsolódó referenciarendszer. Ha azonban a referenciakeret nem tehetetlen, akkor emlékeznünk kell arra, hogy az erőnyomaték nemcsak a más testekkel kölcsönhatásba lépő erők momentumait foglalja magában, hanem a tehetetlenségi erők nyomatékait is.

Testek m távolság négyzetére d tengelyek között:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Ahol m- teljes testtömeg.

Például egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó tengelyhez viszonyítva egyenlő:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\jobb)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai

A tehetetlenségi pillanatok egyes forgástengelyekhez képest a legegyszerűbb alakú homogén testek

Test	Leírás	Tengelyhelyzet a	Tehetetlenségi nyomaték J a
	Anyag ponttömeg m	Távolról r pontból, álló
	Üreges vékonyfalú henger vagy sugárgyűrű rés tömegek m	Henger tengelye	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Tömör henger vagy sugártárcsa rés tömegek m	Henger tengelye	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))mr^(2))
	Üreges vastag falú tömeghenger m külső sugárral r 2 és belső sugár r 1	Henger tengelye	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
	Tömör hengerhossz l, sugár rés tömegek m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Üreges vékonyfalú henger (gyűrű) hossza l, sugár rés tömegek m	A tengely merőleges a hengerre, és áthalad a tömegközéppontján	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Egyenes vékony hosszúságú rúd lés tömegek m	A tengely merőleges a rúdra, és átmegy a tömegközéppontján	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
	Egyenes vékony hosszúságú rúd lés tömegek m	A tengely merőleges a rúdra, és áthalad a végén	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
	Vékonyfalú sugarú gömb rés tömegek m	A tengely a gömb közepén halad át	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
	Sugárlabda rés tömegek m	A tengely áthalad a labda közepén	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2) (5))mr^(2))
	Sugárkúp rés tömegek m	Kúp tengely	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
	Egyenlőszárú háromszög magassággal h, alapja aés tömeg m	A tengely merőleges a háromszög síkjára, és átmegy a csúcson	1 24 m (a 2 + 12 óra 2) (\displaystyle (\frac (1) (24))m(a^(2)+12h^(2)))
	Szabályos háromszög oldallal aés tömeg m	A tengely merőleges a háromszög síkjára és átmegy a tömegközépponton	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (12))ma^(2))
	Négyzet oldallal aés tömeg m	A tengely merőleges a négyzet síkjára és átmegy a tömegközépponton	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1) (6))ma^(2))
	Téglalap oldalakkal aÉs bés tömeg m	A tengely merőleges a téglalap síkjára és átmegy a tömegközépponton	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1) (12))m(a^(2)+b^(2)))
	Szabályos n-szög sugarú rés tömeg m	A tengely merőleges a síkra és átmegy a tömegközépponton	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Torus (üreges) vezetőkör sugarával R, a generáló kör sugara rés tömeg m	A tengely merőleges a tórusz vezetőkör síkjára, és átmegy a tömegközépponton	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\jobbra))

Képletek származtatása

Vékonyfalú henger (gyűrű, karika)

A képlet levezetése

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az alkotórészei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Osszuk fel egy vékony falú hengert tömeges elemekre dmés a tehetetlenségi pillanatok dJ i. Akkor

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Mivel a vékonyfalú henger minden eleme azonos távolságra van a forgástengelytől, az (1) képletet alakra alakítjuk

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Vastag falú henger (gyűrű, karika)

A képlet levezetése

Legyen egy homogén külső sugarú gyűrű R, belső sugár R 1, vastag hés sűrűsége ρ. Vékony karikákra törjük vastagon dr. Vékony sugarú gyűrű tömege és tehetetlenségi nyomatéka r lesz

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Keressük a vastag gyűrű tehetetlenségi nyomatékát integrálként

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\jobb)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\jobbra)\balra(R^(2)+R_(1)^(2)\jobbra).

Mivel a gyűrű térfogata és tömege egyenlő

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\jobbra)h,)

megkapjuk a gyűrű tehetetlenségi nyomatékának végső képletét

J = 1,2 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\jobb.)

Homogén tárcsa (tömör henger)

A képlet levezetése

Ha egy hengert (lemezt) nulla belső sugarú gyűrűnek tekintünk ( R 1 = 0 ), megkapjuk a henger (tárcsa) tehetetlenségi nyomatékának képletét:

J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Tömör kúp

A képlet levezetése

A kúpot vastagságú vékony korongokra törjük dh, merőleges a kúp tengelyére. Egy ilyen lemez sugara egyenlő

r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Ahol R– a kúp alap sugara, H- a kúp magassága, h– távolság a kúp tetejétől a korongig. Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrációt kapunk

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 óra 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \jobbra)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\jobbra)^(4)\balra.(\frac (h^(5))(5))\jobbra|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\jobb)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(igazított)))

Szilárd homogén labda

A képlet levezetése

Törjük a labdát vékony vastagságú korongokra dh, merőleges a forgástengelyre. Egy ilyen korong sugara magasságban helyezkedik el h a gömb középpontjából a képlet segítségével találjuk meg

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Egy ilyen korong tömege és tehetetlenségi nyomatéka lesz

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\jobbra)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh.)

A golyó tehetetlenségi nyomatékát integrálással találjuk meg:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 óra 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\jobbra)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\jobbra)\jobbra|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\jobb) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \jobbra) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(igazított)))

Vékony falú gömb

A képlet levezetése

Ennek levezetéséhez egy homogén sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékának képletét használjuk R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Számítsuk ki, hogy mennyit fog változni a golyó tehetetlenségi nyomatéka, ha ρ állandó sűrűség mellett a sugara végtelenül kicsivel megnő dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\jobbra)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(igazított)))

Vékony rúd (a tengelye átmegy a közepén)

A képlet levezetése

Törjük a rudat kis hosszúságú darabokra dr. Egy ilyen töredék tömege és tehetetlenségi nyomatéka egyenlő

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrációt kapunk

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\bal.(\frac (r^(3))(3))\jobb|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Vékony rúd (a tengelye átmegy a végén)

A képlet levezetése

Amikor a forgástengely a rúd közepétől a vége felé mozog, a rúd súlypontja a tengelyhez képest egy távolságot elmozdul l ⁄ 2. Steiner tétele szerint az új tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Bolygók és műholdak dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékai

Dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatékaik nagy jelentőséggel bírnak a bolygók és műholdaik belső szerkezetének vizsgálata során. Egy sugarú test dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka rés tömegek m egyenlő a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának és az azonos tömegű anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának arányával egy bizonyos távolságban elhelyezkedő rögzített forgástengelyhez képest r(egyenlő úr 2). Ez az érték tükrözi a tömeg eloszlását a mélységben. A bolygók és műholdak közelében történő mérésének egyik módszere az adott bolygó vagy műhold közelében repülő AMS által sugárzott rádiójel Doppler-eltolódásának meghatározása. Egy vékony falú gömbnél a dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomaték 2/3 (~0,67), egy homogén golyónál 0,4, és általában minél kisebb, annál nagyobb a test tömege koncentrálódik a középpontjában. Például a Hold dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka közel 0,4 (0,391), ezért feltételezzük, hogy viszonylag homogén, sűrűsége alig változik a mélységgel. A Föld dimenzió nélküli tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint egy homogén golyóé (0,335), ami egy érv a sűrű mag létezése mellett.

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy test centrifugális tehetetlenségi nyomatékai a derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez képest a következő mennyiségek:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _(m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV)

Ahol x , yÉs z- egy kis testelem koordinátái a térfogattal dV, sűrűség ρ és tömeg dm .

Az OX tengelyt ún a test fő tehetetlenségi tengelye, ha a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok J xyÉs J xz egyidejűleg egyenlők nullával. A test minden pontján három fő tehetetlenségi tengely húzható át. Ezek a tengelyek egymásra merőlegesek. A test tehetetlenségi pillanatai egy tetszőleges pontban megrajzolt három fő tehetetlenségi tengelyhez képest O testeket hívnak fő tehetetlenségi nyomatékok ennek a testnek.

A test tömegközéppontján áthaladó fő tehetetlenségi tengelyeket ún a test fő központi tehetetlenségi tengelyei, és ezek a tengelyek tehetetlenségi nyomatékai annak fő központi tehetetlenségi nyomatékok. Egy homogén test szimmetriatengelye mindig az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

Geometriai tehetetlenségi nyomatékok

A térfogat geometriai tehetetlenségi nyomatéka

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

ahol, mint korábban r- távolság az elemtől dV a tengelyhez a .

A terület geometriai tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest - a test geometriai jellemzője, amelyet a képlet fejez ki:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

ahol az integráció a felületen keresztül történik S, A dS- ennek a felületnek az eleme.

Dimenzió JSa- hossza a negyedik hatványig ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), az SI mértékegysége 4. Építési számításokban, szakirodalomban és hengerelt fém választékban gyakran cm 4-ben tüntetik fel.

A metszet ellenállási nyomatékát a terület geometriai tehetetlenségi nyomatéka fejezi ki:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Itt r max- maximális távolság a felülettől a tengelyig.

Egyes alakzatok területének geometriai tehetetlenségi nyomatékai
Téglalap magasság h (\displaystyle h)és szélessége b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Téglalap alakú dobozrész magassággal és szélességgel a külső kontúrok mentén H (\displaystyle H)És B (\megjelenítési stílus B)és belső h (\displaystyle h)És b (\displaystyle b) illetőleg	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Kör átmérője d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

A síkhoz viszonyított tehetetlenségi nyomaték

A merev test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos síkhoz képest olyan skaláris mennyiség, amely egyenlő a test egyes pontjainak tömegének szorzatával az ettől a ponttól a kérdéses síkig mért távolság négyzetével.

Ha egy tetszőleges ponton keresztül O (\displaystyle O) rajzoljon koordinátatengelyeket x , y , z (\displaystyle x,y,z), akkor a koordinátasíkokhoz viszonyított tehetetlenségi nyomatékok x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)És z O x (\displaystyle zOx) képletekkel fejezzük ki:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

Szilárd test esetén az összegzést az integráció váltja fel.

Központi tehetetlenségi nyomaték

Központi tehetetlenségi nyomaték (tehetetlenségi nyomaték az O pont körül, tehetetlenségi nyomaték a pólus körül, poláris tehetetlenségi nyomaték) J O (\displaystyle J_(O)) a mennyiséget a következő kifejezés határozza meg:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _(m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

A központi tehetetlenségi nyomaték kifejezhető a fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokkal, valamint a síkok tehetetlenségi nyomatékaival:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \jobb),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tehetetlenségi tenzor és tehetetlenségi ellipszoid

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengelyhez képest, amely átmegy a tömegközépponton, és amelynek iránya az egységvektor által meghatározott s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s)) )\right\vert =1), másodfokú (bilineáris) alakban ábrázolható:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

hol van a tehetetlenségi tenzor. A tehetetlenségi tenzormátrix szimmetrikus és méretei vannak 3 × 3 (\displaystyle 3\x 3)és centrifugális nyomatékok összetevőiből áll:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(tömb) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(tömb))\jobbra\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m, J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

A megfelelő koordinátarendszer kiválasztásával a tehetetlenségi tenzormátrix diagonális formára redukálható. Ehhez meg kell oldani a tenzormátrix sajátérték-problémáját J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

Ahol Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- a tehetetlenségi tenzor saját bázisára való átmenet ortogonális mátrixa. A megfelelő alapon a koordinátatengelyek a tehetetlenségi tenzor fő tengelyei mentén vannak irányítva, és egybeesnek a tehetetlenségi tenzor ellipszoid fő féltengelyeivel is. Mennyiségek J X , J Y , J Z (\megjelenítési stílus J_(X), J_(Y), J_(Z))- fő tehetetlenségi nyomatékok. Az (1) kifejezés a saját koordinátarendszerében a következő alakú:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2, (\ displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

amelyből megkapjuk az ellipszoid egyenletét a saját koordinátáiban. Az egyenlet mindkét oldalát elosztva ezzel I s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\jobbra)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\jobbra)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\jobb)^(2)\cdot J_(Z)=1)

és a cserék elvégzése:

ξ = s x I s, η = s y I s, ζ = s z I s, (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

megkapjuk az ellipszoid egyenlet kanonikus alakját koordinátákban ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Az ellipszoid középpontjától egy bizonyos pontig mért távolság a test tehetetlenségi nyomatékának értékéhez kapcsolódik az ellipszoid középpontján és ezen a ponton áthaladó egyenes mentén.