A kettős integrál alapvető tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

1°. Additivitás. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba Dés ha a terület D görbe segítségével G a nulla terület két összefüggő régióra oszlik, amelyeknek nincs közös belső pontja D 1 és D 2, majd a függvény f(x, y) minden tartományba integrálható D 1 és D 2, és

2°. Lineáris tulajdonság. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, A α És β - bármilyen valós szám, akkor a [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] is integrálható a tartományba D, és

3°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, akkor ezeknek a függvényeknek a szorzata integrálható D.

4°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) mindkettő tartományba integrálható Dés mindenhol ezen a területen f(x, y) ≤ g(x, y), Ez

5°. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba D, majd a | f(x, y)| területekbe integrálható D, és

(Természetesen az integrálhatóságból | f(x, y)| V D integrálhatóság nem következik f(x, y) V D.)

6°. Átlagérték tétel. Ha mindkét funkció működik f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, funkció g(x, y) nem negatív (nem pozitív) mindenhol ebben a régióban, MÉs m- a függvény pontos felső és pontos alsó határa f(x, y) területen D, akkor van egy szám μ , kielégítve az egyenlőtlenséget m ≤ μ ≤ Més úgy, hogy a képlet érvényes legyen

A kettős integrálok tulajdonságai.

A kettős integrálok néhány tulajdonsága közvetlenül következik e fogalom definíciójából és az integrálösszegek tulajdonságaiból, nevezetesen:

1. Ha a függvény f(x, y) beépül D, Azt kf(x, y) ebben a régióban is integrálható, és (24.4)

2. Ha a területen D integrálható funkciók f(x, y)És g(x, y), akkor ebben a tartományban a függvények f(x, y) ± g(x, y), és ahol

3. Ha a területbe integráltak számára D funkciókat f(x, y)És g(x, y) egyenlőtlenség érvényesül f(x, y)≤g(x, y), Azt

(24.6)

Bizonyítsuk be a kettős integrál még néhány tulajdonságát:

4. Ha a terület D két területre osztva D 1 és D 2 közös belső pontok és funkció nélkül f(x, y) folyamatos a régióban D, Azt

(24.7) Bizonyíték . A terület integrált összege D a következőképpen ábrázolható:

hol van a terület partíció D meghúzni úgy, hogy a határ között D 1 és D 2 a partíció részeinek határaiból áll. Ekkor a határértékre lépve megkapjuk a (24,7) egyenlőséget.

5. Integrálhatóság esetén be D funkciókat f(x, y) ebben a tartományban a függvény is integrálható | f(x, y) |, és az egyenlőtlenség fennáll

(24.8)

Bizonyíték.

ahonnan a határértékhez való áthaladás segítségével megkapjuk a (24.8) egyenlőtlenséget.

6. hol SD– a régió területe D. Ennek az állításnak a bizonyítását úgy kapjuk meg, hogy behelyettesítjük az integrál összegbe f(x, y)≡ 0.

7. Ha beépül a területbe D funkció f(x, y) kielégíti az egyenlőtlenséget

m ≤ f(x, y) ≤ M,

Hogy (24.9)

Bizonyíték.

A bizonyítást úgy hajtjuk végre, hogy a nyilvánvaló egyenlőtlenségből a határig haladunk

Következmény.

Ha a (24.9) egyenlőtlenség minden részét elosztjuk azzal D, megkaphatjuk az úgynevezett átlagérték tételt:

Különösen a funkció folytonosságának feltétele mellett f V D van egy ilyen pont ebben a régióban ( x 0, y 0), amelyben f(x 0, y 0) = μ , vagyis

Az átlagérték tétel másik megfogalmazása.

A kettős integrál geometriai jelentése.

Vegye figyelembe a testet V, amelyet a felület egyenlet által megadott része korlátoz z = f(x, y), kivetítés D ez a felület az O síkhoz xy valamint a felülethatár pontjait a vetületeikkel összekötő függőleges generatricákból nyert oldalsó hengeres felület.

z=f(x,y)

y P i D 2. ábra.

Ennek a testnek a térfogatát fogjuk keresni azon hengerek térfogatainak összegének határaként, amelyek alapjai Δ részek. S i vidék D, a magasságok pedig hosszszegmensek f(P i), ahol a pontok P iΔ-hez tartoznak S i. Ha elérjük a határértéket, megkapjuk azt

(24.11)

vagyis a kettős integrál a felület által felülről határolt, úgynevezett hengeroid térfogatát jelenti. z = f(x, y), alatta pedig a régió D.

Kettős integrál kiszámítása ismétlődőre redukálva.

Vegye figyelembe a területet D, vonalak határolják x = a, x = b(a< b ), ahol φ 1 ( x) és φ 2 ( x) folyamatosak a [ a, b]. Ezután bármely, az O koordinátatengellyel párhuzamos egyenest nál nélés áthalad a régió belső pontján D, két pontban metszi a régió határát: N 1 és N 2 (1. ábra). Nevezzük ezt a területet helyes na-

nál nél O tengely vezérlés nál nél. Hasonlóan meghatározó

y=φ 2 (x) van egy terület az irányban

N 2 O-tengely x. A megfelelő irányú terület a

Mindkét koordináta tengelyének Nii, mi

D csak hívd jól. Például,

a megfelelő területet az 1. ábra mutatja.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Legyen a függvény f(x, y) folyamatos a régióban D. Fontolja meg a kifejezést

, (24.12)

hívott kettős integrál funkcióból f(x, y) régiónként D. Számítsuk ki először a változó belső integrálját (zárójelben). nál nél, számolva xállandó. Az eredmény egy folyamatos függvénye x:

A kapott függvényt integráljuk x kezdve A előtt b. Ennek eredményeként megkapjuk a számot

Bizonyítsuk be a kettős integrál egy fontos tulajdonságát.

1. tétel. Ha a terület D, helyesen az O irányba nál nél, két területre osztva D 1 és D 2 egyenes az O tengellyel párhuzamosan nál nél vagy O tengely x, majd a kettős integrált a terület felett D egyenlő lesz ugyanazon integrálok összegével a területeken D 1 és D 2:

Bizonyíték.

a) Legyen egyenes x = c szünetek D tovább D 1 és D 2, helyesen az O irányba nál nél. Akkor

b) Legyen a vonal y = h szünetek D jobbra O irányba nál nél vidék D 1 és D 2 (2. ábra). Jelöljük azzal M 1 (a 1 , h) És M 2 (b 1 , h) az egyenes metszéspontjai y = h szegéllyel L vidék D.

y Vidék D 1, amelyet folytonos vonalak határolnak

y=φ 2 (x) 1) y = φ 1 (x);

D 2 2) görbe A 1 M 1 M 2 BAN BEN, amelynek egyenletét felírjuk

h M 1 M 2 y = φ 1 *(x), Ahol φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 és

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(x) = h nál nél A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) egyenes x = a, x = b.

Vidék D 2 vonalak korlátozzák y = φ 1 *(x),

A y= φ 2 (x),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Alkalmazzuk a kb. tételt

az integrációs intervallum felosztása:

O a a 1 b 1 b

Mutassuk be a kapott integrálok közül a másodikat összegként:

+ + .

Mert a φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 és b 1 ≤ x ≤ b, az eredményül kapott integrálok első és harmadika egyenlő nullával. Ennélfogva,

I D = , vagyis .

A kettős integrál tulajdonságai hasonlóak a határozott integráléhoz. Csak a főbbeket jegyezzük meg:

1. Ha a függvények és
területekbe integrálva
, akkor összegük és különbségük integrálható benne, és

2. A konstans tényező kivehető a kettős integrál előjeléből:

3. Ha
területekbe integrálható
, és ez a terület két nem átfedő területre oszlik És
, Azt

4. Ha
És
területekbe integrálva
, ahol

, Azt

5. Ha a területen
funkció
kielégíti az egyenlőtlenségeket

,Ahol
És
akkor néhány valós szám

Ahol – a régió területe
.

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítása hasonló a határozott integrálra vonatkozó megfelelő tételek bizonyításához.

Kettős integrál számítása derékszögű derékszögű koordinátákban

Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a kettős integrált
, ahol a terület - egyenlőtlenségekkel meghatározott téglalap ,.

Tegyünk úgy, mintha
folytonos ebben a téglalapban és nem negatív értékeket vesz fel benne, akkor ez a kettős integrál egyenlő a test térfogatával az alappal , felette a felszín határolja
, oldalról - síkok
,
,
,
:

Másrészt egy ilyen szám térfogata egy határozott integrál segítségével számítható ki:

Ahol
- egy adott test keresztmetszete egy ponton átmenő síkkal és merőleges a tengelyre
. És mivel a vizsgált szakasz egy ívelt trapéz
, amelyet fent a függvény grafikonja határol
, Ahol rögzített és , Azt

Ebből a három egyenlőségből az következik

Tehát ennek a kettős integrálnak a számítását két határozott integrál kiszámítására redukáltuk; a "belső integrál" kiszámításakor (zárójelben írva) állandónak tekinthető.

Megjegyzés. Bizonyítható, hogy az utolsó képlet arra is igaz
, és abban az esetben is, ha a függvény
megváltoztatja a jelet a megadott téglalapban.

A képlet jobb oldalát iterált integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

A fentiekből az következik

Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy az integráció eredménye nem függ az integráció sorrendjétől.

Egy általánosabb eset vizsgálatához bevezetjük a szabványos tartomány fogalmát. Egy adott tengely irányú szabványos (vagy szabályos) tartománynak nevezzük azt a tartományt, amelynél bármely, ezzel a tengellyel párhuzamos egyenes nem több mint két pontban metszi a tartomány határát. Más szóval, magát a régiót és annak határát csak egy egyenes szakasz mentén metszi.

Tegyük fel, hogy a korlátozott terület

és fent a függvény grafikonja határolja
, lent - függvénygrafikon
. Legyen R( ,) - az ezt a területet körülvevő legkisebb téglalap
.

Engedd be a környékre
meghatározott és folyamatos függvény
. Mutassunk be egy új funkciót:

akkor a kettős integrál tulajdonságainak megfelelően

És ezért

A szegmens óta
teljes egészében a régióhoz tartozik
akkor tehát
nál nél

, és ha akkor ezen a szegmensen kívül esik
.

Fixen tudunk írni:

Mivel a jobb oldalon lévő első és harmadik integrál nulla, akkor

Ennélfogva,

Ebből megkapjuk a képletet a kettős integrál kiszámításához egy régióstandard felett a tengelyhez képest
iterált integrállá redukálva:

Ha a terület
tengelyirányban szabványos
és az egyenlőtlenségek határozzák meg ,

, hasonlóan bizonyítható, hogy

Megjegyzés. Területre
, standard a tengelyek irányában
És
, ezért mindkét utolsó egyenlőség teljesül

Ez a képlet megváltoztatja az integráció sorrendjét a megfelelő kettős integrál kiszámításakor.

Megjegyzés. Ha az integrálási terület nem szabványos (helyes) mindkét koordinátatengely irányában, akkor felosztjuk a szabványos területek összegére, és az integrál ezeken a területeken lévő integrálok összegeként jelenik meg.

Példa. Dupla integrál kiszámítása
régiónként
, vonalakkal határolva:
,
,
.

Megoldás.

Ez a terület szabványos a tengelyhez képest
, és a tengelyhez képest
.

Számítsuk ki az integrált úgy, hogy a területet standardnak tekintjük a tengelyhez képest
.

Megjegyzés. Ha az integrált számoljuk, figyelembe véve a tengelyhez viszonyított területstandardot
, ugyanazt az eredményt kapjuk:

Példa. Dupla integrál kiszámítása
régiónként
, vonalakkal határolva:
,
,
.

Megoldás.Ábrázoljuk az adott integrációs tartományt az ábrán.

Ez a terület szabványos a tengelyhez képest
.

Példa. Módosítsa az integráció sorrendjét az iterált integrálban:

Megoldás.Ábrázoljuk az integrációs régiót az ábrán.

Az integráció határai közül az integráció területét korlátozó vonalakat találjuk: ,
,
,
. Az integráció sorrendjének megváltoztatásához kifejezzük függvényeiként és keresse meg a metszéspontokat:

,
,
.

Mivel az egyik intervallumon a függvény két analitikai kifejezéssel fejezzük ki, akkor az integrációs régiót két részre kell osztani, és az ismétlődő integrált két integrál összegeként kell bemutatni.

A kettős integrál fogalmához vezető probléma.

Tegyük fel, hogy a részek funkciója definiált és írd le az összeget

amelyet integrálnak nevezünk.

V: A függvény és a választás határozott integrálja (d.i.) alatt

Kijelölés:

A számokat Riemann integrálhatónak nevezzük.

T. létezés: Feltéve, hogy .

Az o.i definíciójának megfelelően. megjegyezzük, hogy az integrál függ a változó megnevezésének típusától, határértékeitől és, de nem függ a változó megnevezésének szimbólumától, egyébként kifejezve

A 17.1.1. és 17.1.2. pontokkal, valamint az o.i. Írjuk fel a görbe vonalú trapéz területének képletét: , erőmunka

tovább :

A kettős integrál fogalma, integrál összegek.

Kézenfekvőnek tűnik a kettős integrál létezése, vagyis az integrál összegének határa, mivel ez a határ adja meg a hengeres test térfogatát. Ez az érvelés azonban nem szigorú. A teljesebb kurzusokban ez az állítás szigorúan bizonyítva van, és a kettős integrál létezésének tételének nevezik.

Létezési tétel. Bármely függvényre, amely folytonos egy a területű korlátos zárt tartományban, van kettős integrál, vagyis van határa az integrálösszegeknek a kis területek számának korlátlan növekedésével, feltéve, hogy mindegyik összehúzódik egy pont. Ez a határ nem függ a régió részekre osztásának módjától vagy a pontok megválasztásától

A továbbiakban csak az integráció területén folytonos függvényeket fogjuk figyelembe venni.

A létezési tételből az következik, hogy például az a régiót feloszthatjuk kis téglalapokra, amelyeknek egyenes oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (230. ábra). Ahol. Ezután minden kis téglalapban kiválasztunk egy pontot, a kettős integrál definíciója szerint írhatunk

Annak hangsúlyozására, hogy a kettős integrál megkapható az alak összegének határaként, a jelölés helyett a jelölést is használjuk.

A kifejezést derékszögű koordinátákban területelemnek nevezik, és egyenlő egy olyan téglalap területével, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Figyeljük meg, hogy az integrálösszeg összeállításakor az a terület határával szomszédos területek nem téglalap alakúak. Azonban bebizonyosítható, hogy az ilyen területek téglalapokra való cseréjéből adódó hiba a határon belüli területekkel nullára csökken.

A kettős integrálok tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

3°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, akkor ezeknek a függvényeknek a szorzata integrálható D.

4°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) mindkettő tartományba integrálható Dés mindenhol ezen a területen f(x, y) ≤ g(x, y), Ez

5°. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba D, majd a | f(x, y)| területekbe integrálható D, és

(Természetesen az integrálhatóságból | f(x, y)| V D integrálhatóság nem következik f(x, y) V D.)

Különösen, ha a függvény f(x, y) folyamatos be D, és a terület D összefüggő, akkor ebben a régióban van egy ilyen pont ( ξ , η ), Mit μ = f(ξ , η ), és a (11) képlet alakját veszi fel

Érintő és normál felület

Meghatározás. Normál az N 0 pontban lévő felülethez az N 0 ponton átmenő egyenes vonal, amely merőleges a felület érintősíkjára.

A felületnek bármely pontján vagy csak egy érintősíkja van, vagy egyáltalán nincs.

Ha a felületet a z = f(x, y) egyenlet adja meg, ahol f(x, y) az M 0 (x 0, y 0) pontban differenciálható függvény, az érintősík az N 0 pontban ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) létezik, és a következő egyenlete:

A felület normáljának egyenlete ezen a ponton:

Geometriai érzék két f(x, y) változó függvényének teljes differenciája az (x 0, y 0) pontban az érintősík felületre vonatkoztatott alkalmazásának (z koordinátáinak) a növekedése az (x 0 pontból) , y 0) az (x 0 + Dx, y 0 +Dу) pontig.

Mint látható, két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése egy változó függvénye differenciáljának geometriai jelentésének térbeli analógja.

Példa. Határozzuk meg a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

az M(1, 1, 1) pontban.

Érintősík egyenlet:

Normál egyenlet:

Kettős integrál számítása polárkoordinátában.

Legyen a D terület határa egy egyenessel r = r()és sugarak = És = , hol és r– a sík egy pontjának polárkoordinátái, amelyek annak derékszögű koordinátáihoz vannak társítva xÉs y

Kapcsolatok (5. ábra). Ebben az esetben

Megjegyzés. Ha a D régiót derékszögű koordinátákban egy binárist tartalmazó egyenlet adja meg, például, akkor kényelmesebb egy ilyen tartományra poláris koordinátákban kiszámítani a kettős integrált.

Dupla integrál. Alapvető definíciók és tulajdonságok.

Kettős integrálok.

Tekintsünk egy zárt görbét azon a síkon, amelynek egyenlete:

A görbén belül és magán a görbén lévő összes pont halmazát zárt D régiónak nevezzük. Ha a régióban úgy választ ki pontokat, hogy nem veszi figyelembe a görbén fekvő pontokat, akkor a régiót D nyitott régiónak nevezzük.

Geometriai szempontból D az ábra kontúr által határolt területe.

Osszuk fel a D tartományt n részterületre olyan egyenesek rácsával, amelyek az x tengely mentén Dx i távolságra, az y tengely mentén pedig Dу i távolságra helyezkednek el. Általánosságban elmondható, hogy ez a felosztási sorrend kötelező, a területet tetszőleges alakú és méretű részterületekre lehet felosztani.

Azt találjuk, hogy az S terület elemi téglalapokra oszlik, amelyek területei egyenlők S i = Dx i × Dy i.

Minden részterületen vegyünk egy tetszőleges P(x i, y i) pontot, és állítsuk össze az integrál összeget

ahol f egy folytonos és egyértelmű függvény a D tartomány minden pontjára.

Ha végtelenül növeljük a D i részterületek számát, akkor nyilvánvalóan minden S i részterület területe nulla lesz.

Meghatározás: Ha a D tartomány felosztási lépése nullához közelít, az integrálösszegeknek véges határa van, akkor ezt a határértéket ún. kettős integrál az f(x, y) függvényből a D tartományon keresztül.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy S i = Dx i × Dy i, a következőt kapjuk:

A fenti jelölésben két S jel van, mert az összegzést két x és y változón hajtjuk végre.

Mert Az integrációs régió felosztása tetszőleges, és a Р i pontok megválasztása is tetszőleges, akkor minden Si területet azonosnak tekintve a következő képletet kapjuk:

A kettős integrál létezésének feltételei.

Fogalmazzunk meg elegendő feltételt a kettős integrál létezéséhez.

Tétel. Ha az f(x, y) függvény folytonos egy zárt D tartományban, akkor létezik a kettős integrál

Tétel. Ha az f(x, y) függvény egy zárt D tartományban korlátos, és mindenhol folytonos, kivéve véges számú darabonkénti sima egyenest, akkor létezik a kettős integrál.

A kettős integrál tulajdonságai.

3) Ha D = D 1 + D 2, akkor

4) Átlagérték tétel. Az f(x, y) függvény kettős integrálja megegyezik a függvény értékének szorzatával az integrációs tartomány egy bizonyos pontján és az integrációs tartomány területén.

5) Ha f(x, y) ³ 0 a D tartományban, akkor .

6) Ha f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), akkor .

#43 Meghatározás Tegyük fel, hogy a görbe C vektorfüggvény adja meg, ahol a változó s− a görbe ívének hossza. Ezután a vektorfüggvény deriváltja

Ez egy egységvektor, amely a görbe érintője mentén irányul (1. ábra).
A fenti képletben α, β És γ − az O tengely érintő és pozitív iránya közötti szögek x, O yés O z, ill.

Vezessünk be egy, a görbén definiált vektorfüggvényt C, így egy skaláris függvényhez

Volt egy görbe integrál, amelyet egy görbe mentén vett vektorfüggvény második fajtájának görbe vonalú integráljának nevezünk. Cés úgy jelöljük

Tehát definíció szerint

ahol a görbe érintőjének egységvektora C.
Az utolsó képlet vektoros formában is átírható:

Ahol.
Ha a görbe C az O síkban fekszik xy, akkor feltételezve R= 0, megkapjuk

Második típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai

A második típusú görbe vonalú integrál a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Legyen C pontból induló görbét jelöl Aés végpont B. Jelöljük azzal −C görbe az ellenkező irányba - -tól B Nak nek A. Akkor

Ha C− görbék kombinálása C 1 és C 2 (fenti 2. ábra), majd Ha a görbe C alakban paraméteresen adjuk meg, akkor Ha a görbe C az O síkban fekszik xyés a Tm egyenlet adott (feltételezzük, hogy R= 0 és t = x), akkor az utolsó képlet a formába kerül

49. sz. Az F felület explicit módon z = z(x,y), (x,y)О D (tömör),

ahol z(x,y) D-ben elsőrendű folytonos parciális deriváltjai vannak, az f(x,y,z) függvény definiált és folytonos F-en. Ekkor létezik egy integrál, amely egyenlő

Bizonyíték. Azokra a területekre, amelyeket kapunk

Ekkor az integrál összegek egyenlőek lesznek

Az összegek közül az első integrál -hoz, a második tetszőlegesen kicsinyíthető, ha kellően kicsi partíciót választunk. Ez utóbbi az f(x,y,z(x,y)) függvény D-n való egyenletes folytonosságából következik.

40. szám (folytatás) Az első típusú görbe integrál létezésének elégséges feltétele később fogalmazódik meg, amikor megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani.

Az első típusú görbe vonalú integrál definíciója szerkezetében megegyezik a határozott integrál definíciójával. Ezért az első típusú görbe vonalú integrál ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a határozott integrál. Ezeket a tulajdonságokat bizonyítás nélkül mutatjuk be.

AZ 1. TÍPUSÚ GÖRBELI INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI

1. , ahol a görbe hossza.

2. A konstans tényező kivehető az első típusú görbevonalas integrál előjeléből, azaz.

3. Két (véges számú) függvény algebrai összegéből származó első típusú görbe integrálja egyenlő az ezekből a függvényekből származó első típusú görbevonalas integrálok algebrai összegével, azaz.

4. Ha a görbe két részre oszlik, és nincs közös belső pontja, akkor

(az első típusú görbe vonalú integrál additivitásának tulajdonsága).

5. Ha a () függvény mindenhol ott van a görbén, akkor

6. Ha mindenhol a görbén (),

7. (a 6. és 1. tulajdonság következménye) Ha és a függvény legkisebb és legnagyobb értéke a görbén, akkor

hol van a görbe hossza.

8. (átlagérték tétel első típusú görbe integrálra) Ha a függvény folytonos a görbén, akkor van olyan pont, ahol az egyenlőség

hol van a görbe hossza.

42. sz. ív hossza.

Ha az f(x, y, z) integrandusfüggvény ≡ 1, akkor az 1. típusú görbe vonalú integrál definíciójából azt kapjuk, hogy ebben az esetben egyenlő annak a görbének a hosszával, amely mentén az integrációt végrehajtjuk:

Görbe tömeg.

Feltéve, hogy a γ (x, y, z) integrálfüggvény határozza meg a görbe egyes pontjainak sűrűségét, a görbe tömegét a képlet segítségével kapjuk meg.

3. Megkeressük az l görbe nyomatékait, úgy érvelve, mint egy sík régió esetében: -

egy lapos görbe l statikus nyomatékai az Ox és Oy tengelyekhez viszonyítva;

a térbeli görbe tehetetlenségi nyomatéka az origóhoz viszonyítva;

· a görbe tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest.

4. A görbe tömegközéppontjának koordinátáit a képletek segítségével számítjuk ki

38. szám (2) Változók változása hármas integrálokban

Egy hármas integrál kiszámításakor, mint a dupla integrál, gyakran célszerű megváltoztatni a változókat. Ez lehetővé teszi az integrációs tartomány vagy az integrandus alakjának egyszerűsítését.

Adjuk meg az eredeti hármas integrált x, y, z derékszögű koordinátákkal az U tartományban:

Ezt az integrált új u, v, w koordinátákkal kell kiszámítani. A régi és új koordináták közötti kapcsolatot a következő összefüggések írják le:

Feltételezhető, hogy a következő feltételek teljesülnek:

1. A φ, ψ, χ függvények parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak;

2. Egy az egyhez megfeleltetés van az U integrációs tartomány xyz térbeli pontjai és az uvw tér U" tartományának pontjai között;

3. Az I (u,v,w) transzformáció jakobiánusa, egyenlő

különbözik a nullától, és az U integráció területén mindenhol állandó előjelet tart fenn.

Ekkor a hármas integrál változóinak megváltoztatására szolgáló képlet a következőképpen íródik:

A fenti kifejezés a jakobi abszolút értékét jelenti.

38. sz. Háromszoros integrálok gömbkoordinátákban

Az M(x,y,z) pont gömbkoordinátái három szám − ρ, φ, θ, ahol

ρ az M pont sugárvektorának hossza;

φ a sugárvektornak az Oxy-síkra és az Ox-tengelyre való vetülete által bezárt szög;

θ a sugárvektornak az Oz tengely pozitív irányától való eltérési szöge (1. ábra).

Vegye figyelembe, hogy a ρ, φ gömb- és hengerkoordinátákban megadott definíciói eltérnek egymástól.

Egy pont gömbkoordinátáit az összefüggések a derékszögű koordinátáihoz viszonyítják

A derékszögű koordinátákról a gömbi koordinátákra való átmenet Jacobi-féle alakja a következő:

A determinánst kiterjesztve a második oszlopra, azt kapjuk

Ennek megfelelően a jakobi abszolút értéke egyenlő

Ezért a változók megváltoztatásának képlete a derékszögű koordináták gömbkoordinátává való konvertálásakor a következő:

Kényelmesebb a hármas integrált gömbkoordinátákban kiszámítani, ha az U integráció tartománya egy golyó (vagy annak egy része) és/vagy ha az integrandus f (x2 + y2 + z2) alakú.

Felület

Jelöljünk ki egy sima felületen egy M0 pontot (sima kontúrral zárva vagy határolva), és rajzoljunk rá egy normált a felületre, egy bizonyos irányt választva neki (a kettő közül az egyik). Rajzoljunk egy zárt kontúrt a felület mentén, amely az M0 pontban kezdődik és végződik. Tekintsünk egy M pontot, amely megkerüli ezt a kontúrt, és minden pozíciójában megrajzoljuk annak az iránynak a normálisát, amelybe az előző pontból származó normál folyamatosan halad. Ha a kontúr bejárása után a normál az M0 pontban visszatér eredeti helyzetébe bármely M0 pont választása esetén a felületen, akkor a felületet kétoldalinak nevezzük. Ha a normál iránya legalább egy pont bejárása után az ellenkezőjére változik, akkor a felületet egyoldalinak nevezzük (egyoldali felületre példa a Mobius csík) A fentiekből következik, hogy a a normál iránya egy pontban egyértelműen meghatározza a normál irányát a felület minden pontján.

Meghatározás

A felület összes, azonos normál irányú pontjának halmazát a felület oldalának nevezzük.

Felületi tájolás.

Tekintsünk egy nyitott sima kétoldali S felületet, amelyet egy L kontúr határol, és válasszuk ki ennek a felületnek az egyik oldalát.

Meghatározás

Nevezzük pozitívnak az L körvonal bejárási irányát, amelyben a körvonal mentén való mozgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik a normál végpontjában elhelyezkedő megfigyelőhöz képest az S felület valamely, a felület kiválasztott oldalának megfelelő pontjához képest. A kontúr mozgásának fordított irányát negatívnak nevezzük.

Vektor mező áramlás.

Tekintsünk egy G térbeli tartományban meghatározott A(M) vektormezőt, egy S G orientált sima felületet és egy n(M) egységnormális mezőt az S felület egy kiválasztott oldalán.

Meghatározás 13.3. 1. típusú felületi integrál, (13.1)

ahol An a megfelelő vektorok skaláris szorzata, An pedig az A vektor normál irányú vetülete, amelyet az A(M) vektormező áramlásának nevezünk az S felület kiválasztott oldalán keresztül.

1. megjegyzés.

Ha a felület másik oldalát választja, akkor a normál, és ennek következtében a fluxus előjelet vált.

Jegyzet 2.

Ha az A vektor a folyadék áramlási sebességét adja meg egy adott pontban, akkor a (13.1) integrál határozza meg az egységnyi idő alatt az S felületen pozitív irányban átáramló folyadék mennyiségét (innen az általános „áramlás”).

53. sz. Második típusú felületi integrál. Meghatározás és szentek.

Meghatározás

Tekintsünk egy kétoldalas, sima vagy darabonként sima felületet, és rögzítsük annak két oldalát, ami egyenértékű egy bizonyos tájolás kiválasztásával a felületen.

A határozottság kedvéért először tegyük fel, hogy a felületet egy explicit egyenlet adja meg, és a pont a síkon egy darabonként sima kontúrral határolt tartományban változik.

Határozzuk meg most ennek a felületnek a pontjain valamilyen függvényt. Miután a felületet darabonként sima görbék hálózatával részekre osztottuk, és mindegyik ilyen részen kiválasztunk egy pontot, kiszámítjuk a függvény értékét egy adott pontban, és megszorozzuk a vetület síkjára való vetület területével. az elem, egy bizonyos jellel ellátva. Készítsünk egy integrál összeget:

Ennek az integrálösszegnek a végső határát, mivel az összes rész átmérője nullára hajlik, a második típusú felületi integrálnak nevezzük.

a felület kiválasztott oldalára terjed, és a szimbólum jelöli

(itt) egy felületelem síkra vetítési területére emlékeztet

Ha sík helyett felületi elemeket vetítünk egy vagy síkra, akkor két másik, második típusú felületi integrált kapunk:

Az alkalmazásokban az összes ilyen típusú integrál kapcsolataival találkozhatunk leggyakrabban:

ahol a felület pontjain meghatározott függvényei.

A második és az első típusú felületi integrálok kapcsolata

Hol van a felület egységnyi normálvektora - ort.

Tulajdonságok

1. Linearitás: ;

2. Additivitás: ;

3. Amikor a felület orientációja megváltozik, a felületi integrál előjelet vált.

No. 60 Operatornabla (Hamilton operátora)- vektor differenciál operátor, szimbólummal (nabla) jelölve. Háromdimenziós euklideszi tér esetén derékszögű derékszögű koordinátákkal a nabla operátort a következőképpen definiáljuk: hol vannak az egységvektorok az x, y, z tengelyek mentén.

A megfigyelhető operátor tulajdonságai. Ennek a vektornak akkor van értelme, ha a skalárral vagy vektorfüggvénnyel kombináljuk, amelyre alkalmazzuk.Ha a vektort megszorozzuk a skalár φ-vel, akkor egy olyan vektort kapunk, amely a függvény gradiensét reprezentálja. Ha egy vektort skalárisan megszorozunk egy vektorral, az eredmény skalár

vagyis a vektor divergenciája. Ha vektorral szorozunk, megkapjuk egy vektor rotorját:

Megjegyzés: csakúgy, mint a skalár és a vektorszorzat jelölésére általában, amikor a nabla operátorral együtt használják őket, a fent használtakkal együtt gyakran egyenértékű alternatív jelöléseket használnak, például ahelyett, hogy gyakran írnák, és helyette ír ; ez vonatkozik az alább megadott képletekre is.

Ennek megfelelően a skalárszorzat egy skaláris operátor, amelyet Laplace-operátornak neveznek. Utóbbit meg is jelöljük . A derékszögű koordinátákban a Laplace-operátort a következőképpen definiáljuk: Mivel a nabla operátor differenciáloperátor, a kifejezések transzformációja során figyelembe kell venni mind a vektoralgebra, mind a differenciálás szabályait. Például:

Vagyis egy kifejezés két mezőtől függő deriváltja azoknak a kifejezéseknek az összege, amelyek mindegyikében csak egy mező van differenciálva. A nabla melyik mezőkre hatásos jelzésének megkönnyítése érdekében általánosan elfogadott, hogy a mezők és operátorok szorzatában minden operátor a tőle jobbra lévő kifejezésre hat, és nem hat mindenre a balra. Ha az operátornak egy bal oldali mezőn kell cselekednie, akkor ezt a mezőt valamilyen módon megjelöljük, például egy nyíllal a betű fölé: Ezt a jelölési formát általában köztes átalakításoknál használják. Kényelmetlensége miatt igyekeznek megszabadulni a nyilaktól a végső válaszban.

№61 Másodrendű vektoros differenciálműveletek A következő öt műveletet nevezzük:

1. hol van a Laplace operátor.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Itt van az a vektormennyiség, amelyet a Laplace-operátor alkalmazásával kapunk a vektor minden vetületére.

- - - - - - - - - - - - - - -