Legmagasabb és legalacsonyabb értékek

A behatárolt zárt tartományban határolt függvény akár stacionárius, akár a tartomány határán fekvő pontokban éri el maximális és minimális értékét.

Egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékének megtalálásához a következőket kell tennie:

1. Keresse meg a területen belül elhelyezkedő stacionárius pontokat, és számítsa ki bennük a függvény értékét!

2. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét a régió határán!

3. Hasonlítsa össze az összes kapott függvényértéket: a legnagyobb (legkisebb) a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke lesz ezen a területen.

2. példa. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét: körben.

Megoldás.

állópont; .

2 .E zárt terület határa egy kör vagy , ahol .

A tartomány határán lévő függvény egy változó függvényévé válik: , ahol . Keressük meg ennek a függvénynek a legnagyobb és legkisebb értékét.

Ha x=0 ; (0,-3) és (0,3) kritikus pontok.

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén

3 . Összehasonlítjuk az értékeket egymással,

Az A és B pontokban.

A C és D pontokban.

3. példa Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az egyenlőtlenséggel meghatározott zárt tartományban:

Megoldás. A terület egy háromszög, amelyet a koordinátatengelyek és az x+y=1 egyenes határol.

1. Helyhez kötött pontokat találunk a régión belül:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

A stacionárius pont nem tartozik a vizsgált tartományba, így a benne lévő z érték nem kerül kiszámításra.

2 .Tanulmányozzuk a függvényt a határon. Mivel a határ három szakaszból áll, amelyeket három különböző egyenlet ír le, ezért minden szakaszon külön tanulmányozzuk a függvényt:

A) a 0A szakaszban: y=0 - 0A egyenlet, akkor ; az egyenletből jól látható, hogy a függvény 0A-val növekszik 0-ról 1-re. Ez azt jelenti.

b) a 0B szakaszban: x=0 - 0B egyenlet, akkor ; –6y+1=0; - kritikus pont.

V) az x+y = 1 egyenesen: y=1-x, akkor megkapjuk a függvényt

Számítsuk ki a z függvény értékét a B(0,1) pontban.

3 .A számokat összevetve azt kapjuk

Az AB egyenesen.

A B pontban.

A tudás önkontrollának tesztjei.

1 . A függvény extrémuma az

a) elsőrendű származékai

b) az egyenlete

c) az időbeosztását

d) maximuma vagy minimuma

2. Több változóból álló függvény extrémuma érhető el:

a) csak a definíciós tartományán belüli pontokban, ahol minden elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

b) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az összes elsőrendű parciális derivált kisebb, mint nulla

c) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nem egyenlők nullával

d) csak a definíciós tartományán belüli pontokban, ahol minden elsőrendű parciális derivált nulla

3. Egy korlátozott zárt tartományban folytonos függvény eléri maximális és minimális értékét:

a) álló pontokon

b) akár állópontokon, akár a régió határán fekvő pontokon

c) a régió határán fekvő pontokon

d) minden ponton

4. Több változó függvényének stacionárius pontjai a következők:

a) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nem egyenlő nullával

b) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

c) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nulla

d) amelyben minden elsőrendű parciális derivált kisebb, mint nulla

§ Extrém, több változó függvényének maximális és minimális értékei - 1/1. oldal

§ 8. Extréma Több változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékei.

1. Több változó függvényének extrémája.

repülőgép
,
pont ezen a területen.

Pont
hívott maximális pont funkciókat
, ha bármilyen pontra

egyenlőtlenség érvényesül

.

Hasonlóképpen pont
hívott minimum pont funkciókat
, ha bármilyen pontra
egy pont valamelyik környékéről
egyenlőtlenség érvényesül

.

Megjegyzések. 1) A definíciók szerint a függvény
a pont valamely szomszédságában kell meghatározni
. Azok. a függvény maximum és minimum pontja
a régiónak csak belső pontjai lehetnek
.

2) Ha van egy pont szomszédsága
, amelyben bármely pontra
különböző
egyenlőtlenség érvényesül

(

), akkor a lényeg
hívott szigorú maximum pont (illetőleg szigorú minimum pont ) funkciókat
. Ebben a vonatkozásban a fent meghatározott maximális és minimum pontokat néha nem szigorú maximum- és minimumpontoknak is nevezik.

Egy függvény maximális és minimum pontját nevezzük függvényének szélsőséges pontok . A függvényértékek a maximum és a minimum pontokban kerülnek meghívásra csúcsok És minimumok , vagy röviden, szélsőségek ezt a funkciót.

Az extrémák fogalmai lokális jellegűek: egy függvény értéke egy pontban
összehasonlítják a függvényértékekkel meglehetősen közeli pontokon. Egy adott területen egy függvénynek egyáltalán nincs szélsősége, vagy lehet több minimuma, több maximuma, sőt végtelen számú mindkettő. Ezen túlmenően egyes minimumok nagyobbak lehetnek, mint néhány maximum. Ne keverje össze egy függvény maximális és minimális értékét a maximális és minimális értékeivel.

Keressük meg az extrémumhoz szükséges feltételt. Legyen pl.
– a függvény maximális pontja
. Ezután definíció szerint van egy gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-a pont szomszédsága
oly módon, hogy
bármely pontra
ebből a közelből. Különösen,

(1)

Ahol
,
, És

(2)

Ahol
,
. De (1) azt jelenti, hogy egy változó függvénye
pontban van maximum vagy az intervallumon van
állandó. Ennélfogva,

vagy
- nem létezik,

⇒
vagy
- nem létezik.

Hasonlóan a (2)-ből azt kapjuk

vagy
- nem létezik.

Így érvényes a következő tétel.

8.1. TÉTEL. (az extrémumhoz szükséges feltételek). Ha a funkció
azon a ponton
szélsősége van, akkor ezen a ponton vagy mindkét elsőrendű parciális deriváltja egyenlő nullával, vagy ezek közül legalább az egyik parciális derivált nem létezik.

Geometriailag a 8.1. tétel azt jelenti, hogy ha
– a függvény szélsőpontja
, akkor a függvény grafikonjának érintősíkja a pontban vagy párhuzamos a síkkal
, vagy egyáltalán nem létezik. Ennek igazolására elég megjegyezni, hogyan találjuk meg a felület érintősíkjának egyenletét (lásd a (4.6) képletet).

A 8.1. Tétel feltételeit kielégítő pontokat nevezzük kritikus pontok funkciókat
. Csakúgy, mint egy változó függvényéhez, a szélsőséghez sem elegendőek a szükséges feltételek. Azok. egy függvénynek nem minden kritikus pontja lesz a szélsőpontja.

PÉLDA. Vegye figyelembe a funkciót
. Pont
kritikus ehhez a függvényhez, mivel ezen a ponton mindkét elsőrendű parciális deriváltja
És
egyenlők nullával. Ez azonban nem lesz szélsőséges pont. Igazán,
, de a pont bármely szomszédságában
vannak olyan pontok, ahol a függvény pozitív értékeket vesz fel, és vannak olyan pontok, ahol a függvény negatív értékeket vesz fel. Ez könnyen ellenőrizhető, ha elkészíti a függvény grafikonját - egy hiperbolikus paraboloidot.

Két változó függvényéhez a legkényelmesebb elégséges feltételeket a következő tétel adja meg.

TÉTEL 8.2. (elegendő feltétel két változó függvényének extrémumához). Hadd
– a funkció kritikus pontja
és a pont valamely szomszédságában
a függvénynek folyamatos parciális deriváltjai vannak egészen a másodrendűig. Jelöljük

,
,
.

Akkor 1) ha
, majd pont
nem szélsőséges pont;


Ha a kritikus pont vizsgálatára a 8.2. Tételt használjuk
sikertelen (pl. ha
vagy a függvénynek egyáltalán nincs értelme a szomszédságban
a szükséges sorrend folytonos parciális deriváltjai), a válasz egy pontban való jelenlétre vonatkozó kérdésre
Az extremum ezen a ponton adja meg a függvény növekedésének előjelét.

A definícióból valóban az következik, hogy ha a függvény
pontban van
szigorú maximum akkor

minden pontra
egy pont valamelyik környékéről
, vagy más módon

mindenkinek kellően kicsi
És
. Hasonlóképpen, ha
egy szigorú minimum pont, akkor mindenkinek elég kicsi
És
kielégül az egyenlőtlenség
.

Tehát, hogy megtudja, hogy a kritikus pont az
szélsőpont, ezen a ponton meg kell vizsgálni a függvény növekményét. Ha mindenkinek elég kicsi
És
megőrzi a jelet, majd a ponton
a függvénynek szigorú szélsőértéke van (minimum if
, és a maximum ha
).

Megjegyzés. A szabály továbbra is igaz a nem szigorú szélsőségekre, de a módosítással bizonyos értékekre
És
a függvény növekménye nulla lesz
PÉLDA. Keresse meg a függvények szélsőségeit:

1)
; 2)
.

1) Funkció

És
szintén mindenhol léteznek. Egyenletrendszer megoldása
,
találni két kritikus pontot
És
.

A kritikus pontok tanulmányozására a 8.2 Tételt alkalmazzuk. Nekünk van:

,
,
.

Fedezzük fel a lényeget
:

,
,
,

;
.

Ezért azon a ponton
ennek a függvénynek van egy minimuma, nevezetesen
.

A kritikus pont feltárása
:

,
,
,


.

Ezért a második kritikus pont nem a függvény szélsőpontja.

2) Funkció
mindenhol meghatározva. Elsőrendű parciális származékai
és mindenhol léteznek. Egyenletrendszer megoldása
,
megtalálni az egyetlen kritikus pontot
.

A kritikus pont tanulmányozásához a 8.2. Tételt alkalmazzuk. Nekünk van:

,
,
,

,
,
,

.

Határozza meg a szélsőség jelenlétét vagy hiányát egy ponton
a 8.2. tétel használata nem sikerült.

Vizsgáljuk meg a függvény növekményének előjelét a pontban
:

Ha
, Azt
;

Ha
, Azt
.

Mert a
nem őrzi meg a jelet egy pont szomszédságában
, akkor ezen a ponton a függvénynek nincs extrémuma.

A maximum és minimum meghatározása, valamint a szélsőséghez szükséges feltételek könnyen átvihetők három vagy több változó függvényeibe. Elegendő feltételek egy függvény szélsőértékéhez (
) változókat ebben a kurzusban komplexitásuk miatt nem vesszük figyelembe. Ebben az esetben a kritikus pontok jellegét a függvénynövekmény előjelével határozzuk meg.

2. A függvény legnagyobb és legkisebb értéke.

Legyen két változó függvénye
meghatározott területen
repülőgép
,
,
– e terület pontjai. Funkció értéke egy pontban
hívott A legnagyobb , ha bármilyen pontra
a régióból
egyenlőtlenség érvényesül

.

Hasonlóképpen a függvény értéke a pontban
hívott a legkisebb , ha bármilyen pontra
a régióból
egyenlőtlenség érvényesül

.

Korábban már mondtuk, hogy ha egy függvény folytonos és a terület
– zárt és korlátozott, akkor a függvény ezen a területen veszi fel a legnagyobb és legkisebb értékeit. Ugyanakkor pontok
És
mindkettő a területen belül feküdhet
, és a határán. Ha a lényeg
(vagy
) a régión belül található
, akkor ez lesz a függvény maximális (minimális) pontja
, azaz egy függvény kritikus pontja egy régión belül
. Ezért keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét
területen
kell:
.

A függvény szélsőértéke lokális, lokális jellegű tulajdonság (lásd a definíciót). A maximum (minimum) nem tévesztendő össze egy zárt területen lévő függvény legnagyobb (legkisebb) értékével D.

Meghatározás. Mondjuk a függvényt z = f(x, y) meghatározott és folyamatos bizonyos régiókban D, véges parciális származékai vannak ebben a régióban. Ekkor ebben a régióban lesznek olyan pontok, ahová a függvény elér legnagyobb és legkisebb a fennmaradó értékek értékei. Ezek a pontok a régión belül vagy annak határán helyezkedhetnek el.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához egy zárt régióban a következőkre van szüksége:

1) Keresse meg a régión belül elhelyezkedő stacionárius pontokat, és számítsa ki a függvény értékeit ezeken a pontokon.

Megjegyzés. A stacionárius pontokhoz olyan pontokat kapcsolunk, amelyeknél végtelen a derivált, vagy nem létezik (ha van ilyen).

2) Keresse meg a stacionárius pontokat a régió határán, és számítsa ki a függvény értékeit ezeken a pontokon.

3) Keresse meg a függvény értékeit a sarokpontokban - a határvonalak metszéspontjaiban.

4) Az összes talált érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Példa 1.22. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

z = 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x zárt területen D: –3 x 3, –3 y 3 (1.3. ábra).

Rizs. 1.3. Tanulmányi terület D

Megoldás. 1) Álló pontok keresése

Innen nál nél = –1, x= –2, állópont M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Tanulmányozzuk a függvényt a szegmensekből álló régió határán AB, DC, CB, AD.

a) Egyenes vonalon AB: nál nél= 3, és a függvény alakja

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ez egy független változó függvénye.

Határozzuk meg ennek a függvénynek a stacionárius pontjait:

ennélfogva, x = –2,5.

Meghatározzuk z nál nél x = –2,5, valamint a szegmens végein [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

átlag = 3,5, a = 57.

b) Tekintsük a szakaszt Nap:x = 3.

z = y 2 – 3y + 39; nál nél [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

Találunk z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Egy szakaszon CD: y = 3, z = 2x 2 + 4x+ 9; nál nél [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Több változó függvényei

1. Alapvető definíciók

1. definíció. Azt a megfelelést, amely megfelel az x és y változók értékének minden párjának (x; y), amelyek egy bizonyos D párhoz, egy és csak egy zÎR számhoz tartoznak, két változó függvényének nevezzük. állítsa be D-t R-ben lévő értékekkel. Ebben az esetben z = f (x;y)-t írunk. D = D(f) – az f függvény definíciós tartománya.

2. Két változó függvényének részleges és teljes növekménye

Ha két x és y változó z = f(x; y) függvényében rögzítjük az egyik értékét, például y = y 0, akkor z = f(x; y 0) függvényt kapunk, attól függően egy x változón.

Hasonlóképpen, ha az x = x 0 változót rögzítjük, akkor az egyik y változó z = f(x 0; y) függvényét kapjuk.

2. definíció. A D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0; y 0) mennyiséget ún. magán növekmény függvény z = f(x; y) az (x 0 ; y 0) pontban az x argumentumhoz képest.

3. definíció. A D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) mennyiséget ún. magán növekmény z = f(x; y) függvények az (x 0 ; y 0) pontban az y argumentum alapján.

4. definíció. A Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0; y 0) mennyiséget ún. teljes növekmény z = f(x; y) függvények az (x 0 ; y 0) pontban.

3. Két változó függvényének parciális deriváltjai

Legyen adott egy z = f(x; y) függvény két független x és y változóból. Az egyiket javítva, például y = const beállítással, egy x változó függvényéhez jutunk. Ezután bevezethetjük a kapott függvény deriváltjának fogalmát x-re vonatkozóan, amit jelölünk. Egy változó függvényének deriváltjának definíciója szerint van:

5. definíció. A z=f(x; y) függvény z=f(x; y) részleges növekményének az x változóhoz viszonyított arányának az x változó Dx növekményéhez viszonyított határát, mivel Dx nullára hajlik, ún. részleges származéka függvények x-ben, és jelölése ; ;

Hasonlóan meghatározott és jelölve részleges származéka z = f(x; y) függvények az y változóban.

1. példa Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Megoldás

1. Feltételezve, hogy y = const, és x-et független változónak tekintjük, azt találjuk

Hasonlóképpen x = const esetén azt kapjuk .

2. Amikor y = állandó

;

x = állandó

Minden, ami elhangzott, kiterjeszthető tetszőleges számú változó függvényére.

2. példa Keresse meg egy függvény parciális deriváltjait

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Megoldás

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = állandó, y = állandó.

Mivel több változó függvényének parciális deriváltjai általában több változó függvényei is, ezekre is számíthatunk parciális deriváltokat. Ezeket a származékokat ún magasabb rendű részszármazékok.

Például egy két változóból álló f(x; y) függvényhez a következő típusú másodrendű származékok állnak rendelkezésre:

- második parciális derivált az x-hez képest;

és = - vegyes parciális származékok

- második parciális derivált y vonatkozásában.

4. Két változó függvényének teljes differenciája

6. definíció. A két x és y változó z=f(x;y) függvényének teljes differenciája a Dz teljes növekmény fő része, lineárisan a Dx és Dy argumentumok növekményeihez képest.

Figyelembe véve, hogy Dx = dx és Dy = dy, a z = f(x; y) függvény teljes differenciáját a képlet segítségével számítjuk ki.

3. példa Számítsa ki egy függvény teljes differenciáját!

z = ln (x 2 + y 2).

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait

Miután behelyettesítettük őket a (3.5) képletbe, megkapjuk

dz =

Keresse meg a függvények parciális deriváltjait

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctán

Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Ezt ellenőrizd

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctán

Keresse meg a függvények teljes differenciáját

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Két változó függvényének szélsőértéke

Alapvető definíciók

1. definíció. Az M(x 0 ; y 0) pontot a z = f(x; y) függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük, ha az M pontnak olyan szomszédsága van, hogy ebből az összes (x; y) pontra szomszédságában a következő egyenlőtlenség érvényesül:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

1. tétel (az extrémum létezésének szükséges feltétele) . Ha egy z = f(x; y) differenciálható függvény extrémumot ér el az M(x 0 ; y 0) pontban, akkor elsőrendű parciális deriváltjai ebben a pontban nullával egyenlők, azaz. ;

Azokat a pontokat, ahol a parciális deriváltak egyenlők nullával, nevezzük helyhez kötött vagy kritikus pontok.

2. tétel (elegendő feltétel az extrémum meglétéhez)

Legyen z = f(x; y) függvény:

a) az (x 0 ; y 0) pont valamelyik szomszédságában definiált, amelyben És ;

b) ezen a ponton folytonos másodrendű parciális deriváltjai vannak

;

Ekkor, ha D = AC - B 2 > 0, akkor az (x 0 ; y 0) pontban a z = f(x; y) függvénynek szélsőértéke van, és ha A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (vagy C > 0) – minimum. Ha D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

1. példa Határozzuk meg a z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y függvény szélsőértékét!

Megoldás. Keressük az elsőrendű parciális deriváltokat:

Használjuk az extrémum létezéséhez szükséges feltételt:

Az egyenletrendszert megoldva megtaláljuk a stacionárius pontok x és y koordinátáit: x = 0; y = 3, azaz M(0; 3).

Számítsuk ki a másodrendű parciális deriváltokat, és keressük meg értéküket az M pontban.

A = = 2; C = = 2;

Tegyük fel a D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0 diszkriminánst. Ezért az M(0; 3) pontban az adott függvénynek van minimuma. A függvény értéke ezen a ponton z min = -9.

Keresse meg a függvények szélsőségeit

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értéke

Zárt területen

Annak érdekében, hogy megtalálja legnagyobbÉs legkevésbé egy függvény értékeit egy zárt régióban, akkor a következőket kell tennie:

1) keresse meg egy adott területen található kritikus pontokat, és számítsa ki ezeken a pontokon a függvényértékeket;

2) keresse meg a kritikus pontokat a régió határán, és számítsa ki a bennük lévő függvények legnagyobb és legkisebb értékét;

3) az összes talált érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

2. példa Keresse meg a z = függvény legnagyobb és legkisebb értékét a körben x 2 + y 2 £ 1.

Megoldás. Keressük meg a vizsgált tartományon belül elhelyezkedő kritikus pontok koordinátáit, amelyekhez kiszámítjuk a z függvény elsőrendű parciális deriváltjait, és egyenlővé tesszük őket nullával.

ahol x = 0, y = 0, és ezért M(0; 0) kritikus pont.

Számítsuk ki a z függvény értékét az M(0; 0) pontban: z(0; 0) = 2.

Keressük meg a terület határának kritikus pontjait - az x 2 + y 2 = 1 egyenlettel meghatározott kör. Ha y 2 = 1 - x 2-t behelyettesítünk a z = z(x; y) függvénybe, egy függvényt kapunk. egy változóból

z = ;

ahol xО[-1; 1].

A derivált kiszámítása után és nullával egyenlővé téve kritikus pontokat kapunk az x 1 = 0, x 2 = , x 3 = tartomány határán.

Keressük meg a z(x) = függvény értékét a kritikus pontokban és a szakasz végein [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Válasszuk ki a z függvény értékei közül a legnagyobbat és a legkisebbet a kör belsejében és határán található kritikus pontokban.

Tehát z max. = z(0; 0) = 2

z név = z

Feltételes szélsőség

2. definíció. A z = f(x; y) függvény feltételes szélsőértéke ennek a függvénynek a szélsőértéke, amelyet azzal a feltétellel érünk el, hogy az x és y változókat a j(x; y) = 0 egyenlet (kapcsolati egyenlet) kapcsolja össze. , y = .

Így a hipotenusznak akkor van a legkisebb értéke, ha a háromszög lábai egyenlőek egymással.

Keresse meg a függvények legnagyobb és legkisebb értékét:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x az x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0 egyenesek által határolt zárt területen.

333. z = xy + x + y az x = 1, x = 2, y = 2, y = 3 egyenesekkel határolt négyzetben.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y az x = 1, y = 1, x + y = 1 egyenesekkel határolt háromszögben.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) a 0 £ x £ , 0 £ y £ tartományban.

336. z = xy az x 2 + y 2 £ 1 körben.

337. z = 1 - x 2 - y 2 a körben (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 az (x - ) 2 + (y - ) 2 körben 9 £.

339. Határozzuk meg a z = x 2 + y 2 függvény szélsőértékét, ha x és y összefügg az = 1 egyenlettel!

340. Határozzuk meg a P kerületű háromszögek közül a legnagyobb területet.

341. Adott S területű téglalapok közül keressük meg azt, amelynek kerülete a legkisebb értékű.

342. Határozza meg a legkisebb felületű V térfogatú nyitott medence méreteit!

343. Határozzuk meg egy téglalap alakú paralelepipedon méreteit, amelynek maximális térfogata van egy adott S teljes felületre!

344. Határozza meg a legnagyobb térfogatú henger méreteit, feltéve, hogy teljes felülete S = 6p!

* A fogalmak alatt konvexÉs homorúság A függvénygrafikonokat meg kell érteni kidomborodikÉs le- illetőleg.

Definíció 1.11 Legyen két változó függvénye adott z=z(x,y), (x,y) D . Pont M 0 (x 0 ;y 0 ) - a terület belső pontja D .

Ha be D van ilyen környék U.M. 0 pontokat M 0 , amely minden pontra

majd pont M 0 helyi maximumpontnak nevezzük. És maga a jelentés z(M 0 ) - helyi maximum.

És ha minden pontra

majd pont M 0 a függvény lokális minimumpontjának nevezzük z(x,y) . És maga a jelentés z(M 0 ) - helyi minimum.

A lokális maximumot és a lokális minimumot a függvény lokális szélsőértékének nevezzük z(x,y) . ábrán. Az 1.4 elmagyarázza a helyi maximum geometriai jelentését: M 0 - maximum pont, hiszen a felszínen z =z (x,y) megfelelő pontja C 0 magasabb bármely szomszédos pontnál C (ez a maximum helye).

Vegye figyelembe, hogy általában vannak pontok a felületen (pl. BAN BEN ), amelyek fent találhatók C 0 , de ezek a pontok (pl. BAN BEN ) nem „szomszédos” a lényeghez C 0 .

Különösen pont BAN BEN megfelel a globális maximum fogalmának:

A globális minimum definíciója hasonló:

A globális maximumok és minimumok meghatározását az 1.10. szakasz tárgyalja.

1.3. Tétel (extrémum szükséges feltételei).

Legyen adott a függvény z =z (x,y), (x,y) D . Pont M 0 (x 0 ;y 0 D - helyi extrémum pont.

Ha ezen a ponton vannak z" x És z" y , Azt

A geometriai bizonyíték „nyilvánvaló”. Ha azon a ponton C 0 Rajzoljunk rá egy érintősíkot (1.4. ábra), akkor az „természetesen” vízszintesen, azaz szögben halad 0° a tengelyhez Ó és a tengelyhez OU .

Ezután a parciális deriváltak geometriai jelentésének megfelelően (1.3. ábra):

Q.E.D.

Meghatározás 1.12.

Ha azon a ponton M 0 (1.41) feltételek teljesülnek, akkor a függvény stacionárius pontjának nevezzük z(x,y) .

1.4. Tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez).

Adott legyen z =z (x,y), (x,y) D , amelynek a pont valamely szomszédságában másodrendű parciális deriváltjai vannak M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Ráadásul M 0 - állópont (azaz a szükséges feltételek (1.41) teljesülnek). Számoljunk:

A tétel bizonyítása olyan témákat használ (Taylor képlete több változó függvényére és a másodfokú alakok elmélete), amelyekkel ez az oktatóanyag nem foglalkozik.

1.13. példa.

Fedezd fel a végletekig:

1. Állandó pontok keresése az (1.41) rendszer segítségével:

vagyis négy stacionárius pontot találunk. 2.

az 1.4 Tétel szerint a pontban van egy minimum. Ráadásul

pontban az 1.4 Tétel szerint

Maximális. Ráadásul

§10 Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értéke egy zárt tartományban

1.5. Tétel Legyen zárt tartományban D funkció megadva z=z(x,y) , amelynek folyamatos elsőrendű parciális deriváltjai vannak. Határ G vidék D darabonként sima (azaz „sima tapintású” görbékből vagy egyenes vonalakból áll). Aztán a környéken D funkció z(x,y) eléri a legnagyobbat M és a legkevesebb m értékeket.

Nincs bizonyíték.

A következő tervet javasolhatja a megtaláláshoz M És m . 1. Építünk egy rajzot, kijelöljük a területhatár összes részét D és megtalálja a határ összes „sarok” pontját. 2. Keresse meg az álló pontokat belül D . 3. Keressen állópontokat az egyes határokon. 4. Minden álló- és sarokponton számolunk, majd kiválasztjuk a legnagyobbat M és a legkevésbé m jelentések.

1.14. példa Keresse meg a legnagyobbat M és a legkevésbé m függvényértékek z = 4x2-2xy+y2-8x zárt területen D , korlátozott: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Építsünk egy területet D (1.5. ábra) síkon Óóó .

Sarokpontok: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Határ G vidék D három részből áll:

2. Keressen helyhez kötött pontokat a régión belül D :

3. Álló pontok a határokon l 1 , l 2 , l 3 :

4. Hat értéket számítunk ki:

A kapott hat érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.