Lineáris egyenletek megoldása példákkal. Hogyan oldható meg egy egyenletrendszer? Egyenletrendszerek megoldási módszerei Az x 4 egyenlet megoldása

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Először meg kell találnia egy gyökeret a kiválasztási módszerrel. Általában a szabad kifejezés osztója. Ebben az esetben a szám osztói 12 vannak ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Kezdjük egyenként helyettesíteni őket:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ szám 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ szám -1 nem egy polinom gyöke

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ szám 2 a polinom gyöke

Megtaláltuk a polinom 1 gyökét. A polinom gyöke az 2, ami azt jelenti, hogy az eredeti polinomnak oszthatónak kell lennie x - 2. A polinomok felosztásához Horner sémáját használjuk:

	2	5	-11	-20	12
2

Az eredeti polinom együtthatói a felső sorban jelennek meg. A talált gyökér a második sor első cellájába kerül 2. A második sor az osztás eredményeként kapott polinom együtthatóit tartalmazza. Így számolják őket:

	2	5	-11	-20	12
2	2

A második sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen az első sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.

	2	5	-11	-20	12
2	2	9

2 ∙ 2 + 5 = 9

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7

2 ∙ 9 - 11 = 7

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6

2 ∙ 7 - 20 = -6

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0

2 ∙ (-6) + 12 = 0

Az utolsó szám az osztás maradéka. Ha egyenlő 0-val, akkor mindent helyesen számoltunk ki.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

De ez még nem a vége. Ugyanígy megpróbálhatja kibontani a polinomot 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Ismét a szabad kifejezés osztói között keresünk egy gyökeret. Számosztók -6 vannak ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ szám 1 nem egy polinom gyöke

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ szám -1 nem egy polinom gyöke

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ szám 2 nem egy polinom gyöke

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ szám -2 a polinom gyöke

Írjuk be a megtalált gyökeret a Horner-sémába, és kezdjük el kitölteni az üres cellákat:

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2

A harmadik sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen a második sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5

-2 ∙ 2 + 9 = 5

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5	-3

-2 ∙ 5 + 7 = -3

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5	-3	0

-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Így az eredeti polinomot figyelembe vettük:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)

Polinom 2x 2 + 5x - 3 is faktorizálható. Ehhez megoldhatja a másodfokú egyenletet a diszkriminánson keresztül, vagy megkeresheti a gyöket a szám osztói között -3. Így vagy úgy, de arra a következtetésre jutunk, hogy ennek a polinomnak a gyöke a szám -3

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5	-3	0
-3	2

A negyedik sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen a harmadik sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5	-3	0
-3	2	-1

-3 ∙ 2 + 5 = -1

	2	5	-11	-20	12
2	2	9	7	-6	0
-2	2	5	-3	0
-3	2	-1	0

-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Így az eredeti polinomot lineáris tényezőkre bontottuk:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (x + 3) (2x - 1)

Az egyenlet gyökerei pedig a következők.

A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulják, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége feltétlenül szükséges.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a, b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt vegye figyelembe, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

Nincsenek gyökerei;
Pontosan egy gyökér legyen;
Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség a másodfokú és a lineáris egyenletek között, ahol a gyök mindig létezik és egyedi. Hogyan állapítható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Legyen adott az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet, ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Hogy honnan származik, az most nem fontos. Még egy fontos dolog: a diszkrimináns előjele alapján meg lehet határozni, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

Ha D< 0, корней нет;
Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelzi, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamilyen okból sokan hiszik. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Írjuk ki az első egyenlet együtthatóit, és keressük meg a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Hasonló módon elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c=7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó hátralévő egyenlet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns nulla - a gyökér egy lesz.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden egyenlethez együtthatókat írtunk le. Igen, hosszú, igen, fárasztó, de nem fogod összekeverni az esélyeket és hülye hibákat elkövetni. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha rájön a dolog, egy idő után nem kell leírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbb ember ezt valahol 50-70 megoldott egyenlet után kezdi el – általában nem annyira.

Másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át magára a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

Másodfokú egyenlet gyökeinek alapképlete

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek a képletben. Itt is segít a fent leírt technika: nézze meg a képletet szó szerint, írjon le minden lépést - és hamarosan megszabadul a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy egy másodfokú egyenlet kissé eltér a definícióban megadottól. Például:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Könnyen észrevehető, hogy ezekből az egyenletekből hiányzik az egyik kifejezés. Az ilyen másodfokú egyenletek még könnyebben megoldhatók, mint a szabványosak: még a diszkrimináns kiszámítását sem igénylik. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b = c = 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 = 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 0.

Tekintsük a fennmaradó eseteket. Legyen b = 0, akkor egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletet kapunk. Alakítsuk át egy kicsit:

Mivel az aritmetikai négyzetgyök csak egy nem negatív szám esetében létezik, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (−c /a) ≥ 0. Következtetés:

Ha egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletben teljesül a (−c /a) ≥ 0 egyenlőtlenség, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
Ha (-c /a)< 0, корней нет.

Amint látja, nem volt szükség diszkriminánsra – a hiányos másodfokú egyenletekben egyáltalán nincsenek bonyolult számítások. Valójában nem is szükséges megjegyezni az egyenlőtlenséget (−c /a) ≥ 0. Elég, ha kifejezzük az x 2 értéket, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most nézzük meg az ax 2 + bx = 0 alakú egyenleteket, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elég a polinomot faktorozni:

A közös tényezőt zárójelből kivéve

A szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül nézzünk meg néhány ilyen egyenletet:

Feladat. Másodfokú egyenletek megoldása:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nincsenek gyökerek, mert négyzet nem lehet egyenlő negatív számmal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Az online egyenletmegoldó szolgáltatás bármilyen egyenlet megoldásában segít. Weboldalunk segítségével nemcsak az egyenletre adott választ kapja meg, hanem részletes megoldást is láthat, vagyis az eredmény megszerzésének folyamatának lépésről lépésre történő megjelenítését. Szolgáltatásunk hasznos lesz középiskolásoknak és szüleiknek. A tanulók felkészülhetnek a tesztekre, vizsgákra, összemérhetik tudásukat, a szülők pedig figyelemmel kísérhetik gyermekeik matematikai egyenletek megoldását. Az egyenletmegoldó képesség az iskolások számára kötelező követelmény. A szolgáltatás segíti önképzését és tudásának bővítését a matematikai egyenletek területén. Segítségével bármilyen egyenletet megoldhat: másodfokú, köbös, irracionális, trigonometrikus stb. Az online szolgáltatás előnyei felbecsülhetetlenek, hiszen a helyes válasz mellett minden egyenletre részletes megoldást kap. Az egyenletek online megoldásának előnyei. Weboldalunkon online bármilyen egyenletet teljesen ingyenesen megoldhat. A szolgáltatás teljesen automatikus, nem kell semmit telepítenie a számítógépére, csak be kell írnia az adatokat és a program ad megoldást. A számítási hibák és az elírások kizártak. Nálunk bármilyen egyenlet online megoldása nagyon egyszerű, ezért mindenképpen használja oldalunkat bármilyen egyenlet megoldásához. Csak az adatokat kell megadni, és pillanatok alatt elkészül a számítás. A program önállóan, emberi beavatkozás nélkül működik, pontos és részletes választ kap. Az egyenlet megoldása általános formában. Egy ilyen egyenletben a változó együtthatók és a kívánt gyökök összekapcsolódnak. Egy változó legnagyobb hatványa határozza meg egy ilyen egyenlet sorrendjét. Ennek alapján az egyenletekhez különféle módszereket és tételeket használnak a megoldások keresésére. Az ilyen típusú egyenletek megoldása a szükséges gyökök általános formában történő megtalálását jelenti. Szolgáltatásunk lehetővé teszi a legbonyolultabb algebrai egyenlet online megoldását is. Kaphat egy általános megoldást az egyenletre és egy konkrét megoldást az Ön által megadott együtthatók számértékeire. A weboldalon található algebrai egyenlet megoldásához elegendő csak két mezőt helyesen kitölteni: az adott egyenlet bal és jobb oldalát. A változó együtthatós algebrai egyenleteknek végtelen számú megoldása van, és bizonyos feltételek felállításával a megoldások halmazából kiválasztják a részlegeseket. Másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet alakja ax^2+bx+c=0, ha a>0. A másodfokú egyenletek megoldása magában foglalja az x azon értékeinek megtalálását, amelyekre az ax^2+bx+c=0 egyenlőség érvényes. Ehhez keresse meg a diszkrimináns értéket a D=b^2-4ac képlet segítségével. Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valódi gyöke (a gyökök a komplex számok mezőjéből származnak), ha egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és ha a diszkrimináns nagyobb nullánál , akkor az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a következő képlettel találunk meg: D = -b+-sqrt/2a. Egy másodfokú egyenlet online megoldásához csak meg kell adnia az egyenlet együtthatóit (egész számok, törtek vagy tizedesjegyek). Ha egy egyenletben kivonási előjelek vannak, akkor az egyenlet megfelelő tagjai elé mínuszjelet kell tenni. Másodfokú egyenletet online is meg tud oldani a paramétertől, vagyis az egyenlet együtthatóiban szereplő változóktól függően. Általános megoldásokat kereső online szolgáltatásunk jól megbirkózik ezzel a feladattal. Lineáris egyenletek. A lineáris egyenletek (vagy egyenletrendszerek) megoldására a gyakorlatban négy fő módszert alkalmaznak. Mindegyik módszert részletesen ismertetjük. Helyettesítő módszer. Az egyenletek helyettesítési módszerrel történő megoldásához az egyik változót a többivel kell kifejezni. Ezt követően a kifejezést behelyettesítjük a rendszer más egyenleteivel. Innen származik a megoldási metódus neve is, vagyis változó helyett a kifejezése a fennmaradó változókkal helyettesítődik. A gyakorlatban a módszer bonyolult számításokat igényel, bár könnyen érthető, így egy ilyen egyenlet online megoldása időt takarít meg és megkönnyíti a számításokat. Csak meg kell adni az ismeretlenek számát az egyenletben, és ki kell töltenie a lineáris egyenletek adatait, majd a szolgáltatás elvégzi a számítást. Gauss módszer. A módszer a rendszer legegyszerűbb transzformációin alapul, hogy egy ekvivalens háromszögrendszert kapjunk. Belőle sorra határozzák meg az ismeretleneket. A gyakorlatban meg kell oldania egy ilyen egyenletet online, részletes leírással, aminek köszönhetően jól ismeri a Gauss-módszert a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Írja fel a lineáris egyenletrendszert a megfelelő formátumban, és vegye figyelembe az ismeretlenek számát a rendszer pontos megoldása érdekében! Cramer módszere. Ez a módszer olyan egyenletrendszereket old meg, ahol a rendszernek egyedi megoldása van. A fő matematikai művelet itt a mátrix-determinánsok kiszámítása. Az egyenletek megoldása a Cramer módszerrel online történik, az eredményt azonnal megkapja teljes és részletes leírással. Elég csak kitölteni a rendszert együtthatókkal és kiválasztani az ismeretlen változók számát. Mátrix módszer. Ez a módszer abból áll, hogy az A mátrixban szereplő ismeretlenek, az X oszlopban lévő ismeretlenek és a B oszlopban lévő szabad tagok együtthatóit gyűjtjük össze. Így a lineáris egyenletrendszer egy AxX=B formájú mátrixegyenletre redukálódik. Ennek az egyenletnek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa különbözik nullától, ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Az egyenletek mátrixmódszerrel történő megoldása magában foglalja az A inverz mátrix megtalálását.

Emlékezzünk vissza a fokozatok alapvető tulajdonságaira. Legyen a > 0, b > 0, n, m bármilyen valós szám. Akkor
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, ha a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, ha 0

A gyakorlatban gyakran használnak y = a x alakú függvényeket, ahol a egy adott pozitív szám, x egy változó. Az ilyen függvényeket ún jelzésértékű. Ezt az elnevezést az magyarázza, hogy az exponenciális függvény argumentuma a kitevő, a kitevő alapja pedig az adott szám.

Meghatározás. Az exponenciális függvény y = a x alakú függvény, ahol a egy adott szám, a > 0, \(a \neq 1\)

Az exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik

1) Az exponenciális függvény definíciós tartománya az összes valós szám halmaza.
Ez a tulajdonság abból következik, hogy az a x hatvány, ahol a > 0, minden x valós számra definiálva van.

2) Az exponenciális függvény értékkészlete az összes pozitív szám halmaza.
Ennek ellenőrzéséhez meg kell mutatnia, hogy az a x = b egyenletnek, ahol a > 0, \(a \neq 1\), nincs gyöke, ha \(b \leq 0\), és van gyöke bármely b > 0 .

3) Az y = a x exponenciális függvény az összes valós szám halmazán növekszik, ha a > 1, és csökken, ha 0. Ez a (8) és (9) fok tulajdonságaiból következik.

Szerkesszük meg az y = a x exponenciális függvények gráfjait a > 0 és 0 esetén. A figyelembe vett tulajdonságok felhasználásával megjegyezzük, hogy az y = a x függvény grafikonja a > 0 esetén áthalad a (0; 1) ponton és felette helyezkedik el. az Ökör tengely.
Ha x 0.
Ha x > 0 és |x| növekszik, a grafikon gyorsan emelkedik.

Az y = a x függvény grafikonja 0-nál Ha x > 0 és növekszik, akkor a grafikon gyorsan megközelíti az Ox tengelyt (anélkül, hogy keresztezné azt). Így az Ox tengely a gráf vízszintes aszimptotája.
Ha x

Exponenciális egyenletek

Tekintsünk több példát az exponenciális egyenletekre, pl. olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen benne van a kitevőben. Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran az a x = a b egyenlet megoldásához vezet, ahol a > 0, \(a \neq 1\), x egy ismeretlen. Ezt az egyenletet a hatványtulajdonság segítségével oldjuk meg: az azonos bázisú a > 0, \(a \neq 1\) hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük egyenlő.

Oldja meg a 2 3x 3 x = 576 egyenletet
Mivel 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, az egyenlet felírható így: 8 x 3 x = 24 2, vagy 24 x = 24 2, amelyből x = 2.
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 egyenletet
A 3 x - 2 közös tényezőt a bal oldali zárójelekből kivéve 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
ahonnan 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 x = 7 x egyenletet!
Mivel \(7^x \neq 0 \) , az egyenlet \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \ alakban írható fel, amelyből \(\left(\frac(3) )( 7) \jobbra) ^x = 1 \), x = 0
Válasz x = 0

Oldja meg a 9 x - 4 3 x - 45 = 0 egyenletet
3 x = t helyettesítésével ez az egyenlet a t 2 - 4t - 45 = 0 másodfokú egyenletre redukálódik. Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: t 1 = 9, t 2 = -5, ahonnan 3 x = 9, 3 x = -5.
A 3 x = 9 egyenlet gyöke x = 2, a 3 x = -5 egyenletnek pedig nincs gyöke, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket.
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 egyenletet 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Írjuk fel az egyenletet a formába
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, ahonnan
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Válasz x = 2

Oldja meg a 3. |x - 1| egyenletet = 3 |x + 3|
Mivel 3 > 0, \(3 \neq 1\), akkor az eredeti egyenlet ekvivalens az |x-1| egyenlettel. = |x+3|
Ezt az egyenletet négyzetre emelve megkapjuk az (x - 1) 2 = (x + 3) 2 következményét, amelyből
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Az ellenőrzés azt mutatja, hogy x = -1 az eredeti egyenlet gyöke.
Válasz x = -1

Alkalmazás

Bármilyen típusú egyenlet megoldása online az oldalon diákok és iskolások számára a tanult anyag összevonására Egyenletek megoldása online. Egyenletek online. Léteznek algebrai, parametrikus, transzcendentális, funkcionális, differenciális és egyéb egyenletek Egyes egyenletosztályoknak vannak analitikus megoldásai, amelyek kényelmesek, mert nemcsak a gyök pontos értékét adják meg, hanem lehetővé teszik a megoldás beírását is a képlet formájában, amely paramétereket is tartalmazhat. Az analitikai kifejezések nemcsak a gyökerek kiszámítását teszik lehetővé, hanem azok létezésének és mennyiségének elemzését is a paraméterértékek függvényében, ami gyakorlati felhasználás szempontjából gyakran még fontosabb, mint a gyökerek konkrét értékei. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Az egyenlet megoldása az a feladat, hogy megtaláljuk az érvek olyan értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul. További feltételek (egész, valós stb.) szabhatók az argumentumok lehetséges értékeire. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Az egyenletet online azonnal és nagy pontossággal megoldhatja. A megadott függvények argumentumait (amelyeket néha "változóknak" is neveznek) egyenlet esetén "ismeretleneknek" nevezik. Az ismeretlenek értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul, az egyenlet megoldásainak vagy gyökereinek nevezzük. A gyökök állítólag kielégítik ezt az egyenletet. Egy egyenlet online megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldásának (gyöknek) halmazát, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Azokat az egyenleteket, amelyek gyökhalmazai egybeesnek, ekvivalensnek vagy egyenlőnek nevezzük. Azok az egyenletek is ekvivalensnek tekintendők, amelyeknek nincs gyökük. Az egyenletek ekvivalenciájának megvan a szimmetria tulajdonsága: ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, akkor a második egyenlet ekvivalens az elsővel. Az egyenletek ekvivalenciájának tranzitiv tulajdonsága van: ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, a második pedig egy harmadikkal, akkor az első egyenlet ekvivalens a harmadikkal. Az egyenletek ekvivalencia tulajdonsága lehetővé teszi, hogy transzformációkat hajtsunk végre velük, amelyekre a megoldási módszerek épülnek. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. A webhely lehetővé teszi az egyenlet online megoldását. Azok az egyenletek, amelyekre analitikai megoldások ismertek, magukban foglalják a legfeljebb negyedik fokú algebrai egyenleteket: a lineáris egyenletet, a másodfokú egyenletet, a köbegyenletet és a negyedik fokú egyenletet. A magasabb fokú algebrai egyenleteknek általában nincs analitikus megoldásuk, bár egyesek kisebb fokú egyenletekre redukálhatók. A transzcendentális függvényeket tartalmazó egyenleteket transzcendentálisnak nevezzük. Ezek közül néhány trigonometrikus egyenlet analitikus megoldása ismert, mivel a trigonometrikus függvények nullája jól ismert. Általános esetben, ha nem találunk analitikus megoldást, numerikus módszereket alkalmazunk. A numerikus módszerek nem adnak pontos megoldást, csak azt teszik lehetővé, hogy egy bizonyos előre meghatározott értékre szűkítsük azt az intervallumot, amelyben a gyök található. Egyenletek online megoldása. Online egyenletek. Online egyenlet helyett azt képzeljük el, hogy ugyanaz a kifejezés hogyan alkot lineáris kapcsolatot, nemcsak egy egyenes érintő mentén, hanem a gráf inflexiós pontján is. Ez a módszer mindenkor nélkülözhetetlen a tantárgy tanulmányozásában. Gyakran előfordul, hogy az egyenletek megoldása végtelen számok felhasználásával és vektorok írásával közelíti meg a végső értéket. A kiindulási adatok ellenőrzése szükséges és ez a feladat lényege. Ellenkező esetben a helyi feltétel képletté alakul. Egy adott függvényből egyenes vonalban történő inverzió, amelyet az egyenletszámoló nagy késedelem nélkül kiszámol a végrehajtás során, az eltolás térkiváltságként fog szolgálni. Szó lesz a hallgatók tudományos környezetben elért sikereiről. Azonban, mint a fentiek mindegyike, ez is segítségünkre lesz a keresési folyamatban, és amikor az egyenletet teljesen megoldja, a kapott választ tárolja az egyenes szakasz végén. A térbeli vonalak egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot az egyenesek által metszettnek nevezzük. A sorban lévő intervallum a korábban meghatározottak szerint jelenik meg. Megjelenik a matematikatudomány legmagasabb posztja. Egy paraméteresen megadott felületről argumentumérték hozzárendelése és az egyenlet online megoldása képes lesz felvázolni a függvény produktív hozzáférésének alapelveit. A Möbius-csík, vagy ahogy nevezik a végtelent, úgy néz ki, mint egy nyolcas szám. Ez egy egyoldalú felület, nem kétoldalas. A mindenki által általánosan ismert elv szerint objektíve a lineáris egyenleteket fogadjuk el alapmegjelölésnek, ahogy az a kutatás területén van. A szekvenciálisan megadott argumentumoknak csak két értéke képes felfedni a vektor irányát. Feltételezve, hogy az online egyenletek egy másik megoldása sokkal több, mint egyszerű megoldás, azt jelenti, hogy ennek eredményeként megkapjuk az invariáns teljes értékű változatát. Integrált megközelítés nélkül a tanulók nehezen tudják megtanulni ezt az anyagot. A korábbiakhoz hasonlóan minden speciális esetre kényelmes és intelligens online egyenletkalkulátorunk segít mindenkinek a nehéz időkben, mert csak meg kell adni a bemeneti paramétereket, és a rendszer maga számítja ki a választ. Mielőtt elkezdené az adatok bevitelét, szükségünk lesz egy beviteli eszközre, ami különösebb nehézség nélkül elvégezhető. Az egyes válaszbecslések száma másodfokú egyenlethez vezet következtetéseinkhez, de ezt nem olyan egyszerű megtenni, mert könnyű bizonyítani az ellenkezőjét. Az elméletet sajátosságaiból adódóan gyakorlati tudás nem támasztja alá. A válasz közzétételének szakaszában egy törtszámítógépet látni nem könnyű feladat a matematikában, hiszen a szám halmazra történő írásának alternatívája elősegíti a függvény növekedését. Helytelen lenne azonban nem beszélni a hallgatói képzésről, ezért mindannyian annyit mondunk, amennyit tenni kell. A korábban megtalált köbös egyenlet jogosan a definíció tartományába fog tartozni, és tartalmazza a számértékek terét, valamint a szimbolikus változókat. Tanulóink a tétel megtanulása vagy memorizálása után csak a legjobb formájukból mutatják meg magukat, mi pedig örülni fogunk nekik. Ellentétben a többszörös mezőmetszetekkel, online egyenleteinket egy mozgássíkkal írjuk le, két és három numerikus kombinált egyenes szorzásával. A matematikában egy halmaz nincs egyedileg definiálva. A hallgatók szerint a legjobb megoldás a kifejezés teljes rögzítése. Ahogy a tudományos nyelvezetben elhangzott, a szimbolikus kifejezések absztrakciója nem kerül a dolgok állapotába, de az egyenletek megoldása minden ismert esetben egyértelmű eredményt ad. A tanári óra időtartama a javaslat igényeitől függ. Az elemzés számos területen megmutatta az összes számítási technika szükségességét, és teljesen egyértelmű, hogy az egyenletszámológép nélkülözhetetlen eszköz egy tehetséges diák kezében. A matematika tanulmányozásának lojális megközelítése meghatározza a különböző irányokból érkező nézetek fontosságát. Meg akarja határozni az egyik kulcstételt, és úgy akarja megoldani az egyenletet, hogy melyik választól függően lesz további igény az alkalmazására. Az elemzés ezen a területen lendületet kap. Kezdjük elölről, és származtatjuk a képletet. A függvény növekedési szintjét áttörve, az inflexiós pont érintője mentén húzódó egyenes minden bizonnyal oda vezet, hogy az egyenlet online megoldása lesz az egyik fő szempont a függvény argumentumából ugyanezen gráf megalkotásában. Az amatőr megközelítést akkor lehet alkalmazni, ha ez a feltétel nem mond ellent a tanulók következtetéseinek. Ez az a részfeladat, amely a matematikai feltételek lineáris egyenletek elemzését az objektum létező definíciós tartományába háttérbe helyezi. Az ortogonalitás irányába történő nettósítás megszünteti az egyetlen abszolút érték előnyeit. A Modulo egyenletek online megoldása ugyanannyi megoldást ad, ha a zárójeleket először pluszjellel, majd mínuszjellel nyitja meg. Ebben az esetben kétszer annyi megoldás lesz, és az eredmény pontosabb lesz. A stabil és helyes online egyenletszámológép siker a kitűzött cél elérésében a tanár által kitűzött feladatban. Lehetségesnek tűnik a megfelelő módszer kiválasztása a nagy tudósok nézeteinek jelentős eltérései miatt. A kapott másodfokú egyenlet leírja a vonalak görbéjét, az úgynevezett parabolát, és az előjel határozza meg annak konvexitását a négyzet koordináta-rendszerben. Az egyenletből a diszkriminánst és magukat a gyököket is megkapjuk Vieta tétele szerint. Az első lépés a kifejezés megfelelő vagy helytelen törtként való megjelenítése, és törtszámító használata. Ennek függvényében alakul ki további számításaink terve. Az elméleti megközelítésű matematika minden szakaszban hasznos lesz. Az eredményt mindenképpen köbegyenletként fogjuk bemutatni, mert ennek a kifejezésnek a gyökereit rejtjük el, hogy leegyszerűsítsük az egyetemi hallgató feladatát. Bármely módszer jó, ha alkalmas felületes elemzésre. Az extra aritmetikai műveletek nem vezetnek számítási hibákhoz. Adott pontossággal határozza meg a választ. Az egyenletek megoldásával lássuk be, egy adott függvény független változójának megtalálása nem olyan egyszerű, különösen a végtelen párhuzamos egyenesek tanulmányozásának időszakában. A kivételre tekintettel a szükség nyilvánvaló. A polaritás különbség egyértelmű. Tanárunk az intézeti tanítás tapasztalataiból tanulta meg a fő leckét, amelyben az online egyenleteket teljes matematikai értelemben tanulmányozták. Itt nagyobb erőfeszítésekről és speciális készségekről volt szó az elmélet alkalmazásában. Következtetéseink mellett nem szabad prizmán keresztül nézni. Egészen a közelmúltig azt hitték, hogy a zárt halmaz gyorsan növekszik a régióban, ahogy van, és az egyenletek megoldását egyszerűen meg kell vizsgálni. Az első szakaszban nem vettünk figyelembe minden lehetséges lehetőséget, de ez a megközelítés minden eddiginél indokoltabb. A zárójeles kiegészítő műveletek indokolják az ordináta és az abszcissza tengelyek mentén történő előrelépést, amelyet szabad szemmel nem lehet kihagyni. A függvény kiterjedt arányos növekedésének értelmében van egy inflexiós pont. Ismét bebizonyítjuk, hogy a szükséges feltétel hogyan érvényesül a vektor egyik vagy másik csökkenő helyzetének csökkenése teljes intervallumában. Szűk térben kiválasztunk egy változót a szkriptünk kezdeti blokkjából. A három vektor mentén bázisként felépített rendszer felelős a fő erőnyomaték hiányáért. Az egyenlet-kalkulátor azonban létrehozta és segített megtalálni a felépített egyenlet összes tagját, mind a felszín felett, mind a párhuzamos egyenesek mentén. Rajzoljunk kört a kiindulási pont köré. Így elkezdünk felfelé haladni a metszetvonalak mentén, és az érintő leírja a kört annak teljes hosszában, ami egy evolvensnek nevezett görbét eredményez. Apropó, meséljünk egy kis történelmet erről a görbéről. A tény az, hogy a matematikában történelmileg nem létezett magának a matematikának a tiszta felfogása, mint ma. Korábban minden tudós egyetlen közös feladattal foglalkozott, ez a tudomány. Később, több évszázaddal később, amikor a tudományos világ hatalmas mennyiségű információval volt tele, az emberiség mégis számos tudományágat azonosított. Továbbra is változatlanok maradnak. Mégis, a tudósok világszerte minden évben megpróbálják bebizonyítani, hogy a tudomány határtalan, és az egyenletet csak akkor tudod megoldani, ha ismered a természettudományokat. Lehet, hogy ennek nem lehet végre véget vetni. Ezen gondolkodni éppoly értelmetlen, mint felmelegíteni a levegőt kint. Határozzuk meg azt az intervallumot, amelynél az argumentum, ha az értéke pozitív, erőteljesen növekvő irányban határozza meg az érték modulusát. A reakció segít megtalálni legalább három megoldást, de ezeket ellenőriznie kell. Kezdjük azzal, hogy az egyenletet online kell megoldanunk, weboldalunk egyedülálló szolgáltatásával. Adjuk meg a megadott egyenlet mindkét oldalát, kattintsunk a „MEGOLDÁS” gombra, és néhány másodpercen belül megkapjuk a pontos választ. Speciális esetekben vegyünk egy matematikai könyvet, és nézzük meg még egyszer a válaszunkat, nevezetesen, csak a választ nézzük, és minden kiderül. Ugyanez a projekt egy mesterségesen redundáns paralelepipedonra is kirepül. Létezik egy paralelogramma a párhuzamos oldalaival, és ez számos elvet és megközelítést magyaráz meg az üreges tér felhalmozódásának növekvő folyamatának térbeli kapcsolatának tanulmányozásában természetes formaképletekben. A kétértelmű lineáris egyenletek megmutatják a kívánt változó függőségét az általános megoldásunktól egy adott időpontban, és valahogyan le kell vezetnünk és egy nemtriviális esetre kell hoznunk a nem megfelelő törtet. Jelöljön ki tíz pontot az egyenesen, és rajzoljon egy görbét minden ponton az adott irányban, a konvex ponttal felfelé. Egyenlet-kalkulátorunk minden különösebb nehézség nélkül olyan formában jelenít meg egy kifejezést, hogy a szabályok érvényességének ellenőrzése már a felvétel elején is nyilvánvaló legyen. A matematikusok számára a stabilitás speciális reprezentációinak rendszere az első, ha a képlet másként nem rendelkezik. Erre egy részletes beszámolóval fogunk válaszolni, amely egy plasztikus testrendszer izomorf állapotáról szól, és az egyenletek online megoldása leírja az egyes anyagi pontok mozgását ebben a rendszerben. A mélyreható kutatás szintjén szükséges lesz legalább a tér alsó rétegének inverzióinak részletes tisztázása. A nem folytonos funkciójú szakaszban felfelé haladva egy kiváló kutató, egyébként honfitársunk általános módszerét alkalmazzuk, és az alábbiakban mesélünk a sík viselkedéséről. Egy analitikusan definiált függvény erős jellemzői miatt az online egyenletszámológépet a származtatott hatáskörökön belül csak rendeltetésszerűen használjuk. Tovább okoskodva, áttekintésünkben magának az egyenletnek a homogenitására fogunk összpontosítani, vagyis a jobb oldala nullával egyenlő. Még egyszer győződjünk meg arról, hogy a matematikai döntésünk helyes. Annak érdekében, hogy elkerüljük a triviális megoldás elérését, a rendszer feltételes stabilitásának problémájának kezdeti feltételeit módosítjuk. Hozzunk létre egy másodfokú egyenletet, amelyhez egy jól ismert képlettel írunk ki két bejegyzést, és keressük meg a negatív gyököket. Ha egy gyök öt egységgel nagyobb, mint a második és harmadik gyök, akkor a fő argumentum változtatásával torzítjuk a részfeladat kezdeti feltételeit. A matematikában valami szokatlan természeténél fogva mindig a pozitív szám századrészéig leírható. A törtszámítógép a szerverterhelés legjobb pillanatában többszörösen felülmúlja analógjait hasonló erőforrásokon. Az ordináta tengely mentén növekvő sebességvektor felületére hét, egymással ellentétes irányba hajlított vonalat húzunk. A hozzárendelt függvény argumentum összemérhetősége megelőzi a helyreállítási egyenleg számlálójának leolvasását. A matematikában ezt a jelenséget képzeletbeli együtthatós köbegyenleten, valamint csökkenő egyenesek bipoláris progressziójában ábrázolhatjuk. A hőmérséklet-különbség kritikus pontjai sok jelentésükben és progressziójukban egy összetett törtfüggvény faktorokra bontásának folyamatát írják le. Ha azt mondják, hogy oldjon meg egy egyenletet, ne rohanjon azonnal, először feltétlenül értékelje ki a teljes cselekvési tervet, és csak azután alkalmazza a megfelelő megközelítést. Biztosan lesznek előnyei. A munka egyszerűsége nyilvánvaló, és ugyanez igaz a matematikára is. Oldja meg az egyenletet online. Minden online egyenlet egy bizonyos típusú szám- vagy paraméterrekordot és egy meghatározandó változót jelent. Számítsa ki ezt a változót, azaz keresse meg egy értékkészlet meghatározott értékeit vagy intervallumait, amelyeken az identitás megmarad. A kezdeti és végső feltételek közvetlenül függenek. Az általános egyenletmegoldás általában tartalmaz néhány változót és állandót, amelyek beállításával teljes megoldáscsaládokat kapunk egy adott problémafelvetésre. Általában ez indokolja a 100 centiméteres oldalú térkocka funkcionalitásának növelésére fordított erőfeszítéseket. A válaszalkotás bármely szakaszában alkalmazhat egy tételt vagy lemmát. A webhely fokozatosan egyenlet-kalkulátort állít elő, ha a szorzatok összegzésének bármely intervallumában a legkisebb értéket kell mutatnia. Az esetek felében egy ilyen golyó, mivel üreges, már nem felel meg a köztes válasz beállításának. Legalábbis az ordináta tengelyen a csökkenő vektorreprezentáció irányában ez az arány kétségtelenül optimálisabb lesz, mint az előző kifejezés. Abban az órában, amikor egy teljes pontelemzést végzünk lineáris függvényeken, tulajdonképpen az összes komplex számunkat és bipoláris síkterünket összehozzuk. Ha a kapott kifejezésbe egy változót behelyettesít, lépésről lépésre megoldja az egyenletet, és nagy pontossággal adja meg a legrészletesebb választ. Jó formája lenne a tanulónak, ha még egyszer ellenőrizné a matematikából a tetteit. A törtek aránya a nulla vektor minden fontos tevékenységi területén rögzítette az eredmény integritását. A trivialitás a befejezett akciók végén megerősítést nyer. Egy egyszerű feladat esetén a tanulóknak nem okoz nehézséget, ha a lehető legrövidebb idő alatt online megoldják az egyenletet, de ne feledkezzünk meg a különböző szabályokról sem. A részhalmazok halmaza egy konvergens jelölésű tartományban metszi egymást. Különböző esetekben a termék nincs hibásan faktorálva. Segítséget kap az egyenlet online megoldásában az első szakaszunkban, amely a matematikai technikák alapjaival foglalkozik az egyetemi és műszaki főiskolai hallgatók számára fontos szakaszok számára. Nem kell néhány napot várnunk a válaszokra, hiszen a vektoranalízis legjobb interakcióját a szekvenciális megoldáskereséssel a múlt század elején szabadalmazták. Kiderült, hogy a környező csapattal való kapcsolatok kialakítására tett erőfeszítések nem voltak hiábavalók, először nyilvánvalóan valami másra volt szükség. Több generációval később a tudósok szerte a világon elhitették az emberekkel, hogy a matematika a tudományok királynője. Mindegy, hogy a bal vagy a jobb válaszról van szó, a kimerítő kifejezéseket három sorban kell felírni, mivel esetünkben biztosan csak a mátrix tulajdonságainak vektoranalíziséről lesz szó. A nemlineáris és lineáris egyenletek, valamint a biquadratikus egyenletek, különleges helyet foglaltak el könyvünkben, amely a zárt rendszer összes anyagi pontjának terében a mozgás pályájának legjobb kiszámítási módszereiről szól. Három egymást követő vektor skaláris szorzatának lineáris elemzése segít életre kelteni az ötletet. Az egyes utasítások végén a feladatot megkönnyíti az optimalizált numerikus kivételek megvalósítása a végrehajtott számtérfedvényeken. Egy eltérő megítélés nem fogja szembeállítani a talált választ a kör háromszögének tetszőleges alakjában. A két vektor közötti szög tartalmazza a szükséges százalékos határt, és az egyenletek online megoldása gyakran felfedi az egyenlet bizonyos közös gyökerét, szemben a kezdeti feltételekkel. A kivétel a katalizátor szerepét tölti be abban az elkerülhetetlen folyamatban, hogy pozitív megoldást találjunk a függvény meghatározása terén. Ha nem azt mondják, hogy nem tud számítógépet használni, akkor egy online egyenletszámológép pontosan megfelel a nehéz problémáknak. Csak meg kell adnia feltételes adatait a megfelelő formátumban, és szerverünk a lehető legrövidebb időn belül teljes értékű eredményt ad. Az exponenciális függvény sokkal gyorsabban növekszik, mint a lineáris. Az okos könyvtári irodalom Talmudjai erről tanúskodnak. Elvégzi az általános értelemben vett számítást, ahogy egy adott, három összetett együtthatóval rendelkező másodfokú egyenlet tenné. A félsík felső részében lévő parabola a pont tengelyei mentén egyenes vonalú párhuzamos mozgást jellemez. Itt érdemes megemlíteni a potenciálkülönbséget a test munkaterében. A szuboptimális eredményért cserébe törtkalkulátorunk joggal foglalja el az első helyet a szerveroldali funkcionális programok áttekintésének matematikai értékelésében. A szolgáltatás egyszerű használatát internetfelhasználók milliói fogják értékelni. Ha nem tudja, hogyan kell használni, szívesen segítünk. Külön is szeretnénk kiemelni és kiemelni a köbegyenletet számos általános iskolai feladatból, amikor gyorsan meg kell találni a gyökereit és meg kell alkotni a függvény grafikonját egy síkon. A magasabb fokú reprodukció az egyik összetett matematikai probléma az intézetben, amelynek tanulmányozására elegendő óraszám áll rendelkezésre. Mint minden lineáris egyenlet, a miénk sem kivétel számos objektív szabály szerint, nézzünk különböző nézőpontokból, és kiderül, hogy egyszerű és elegendő a kezdeti feltételek felállítása. A növekedési intervallum egybeesik a függvény konvexitási intervallumával. Egyenletek megoldása online. Az elmélet tanulmányozása a fő tudományág tanulmányozásának számos részéből származó online egyenleteken alapul. A bizonytalan problémák e megközelítése esetén nagyon egyszerű egyenletek megoldását előre meghatározott formában bemutatni, és nem csak következtetéseket vonni le, hanem egy ilyen pozitív megoldás kimenetelét is megjósolni. A matematika legjobb hagyományait követő szolgálat segít a tantárgy elsajátításában, ahogy az keleten szokás. Az időintervallum legjobb pillanataiban a hasonló feladatokat közös tízes tényezővel szorozták meg. Az egyenlet-kalkulátorban a többváltozós szorzatok bősége a minőséggel, nem pedig a mennyiségi változókkal, például tömeggel vagy testtömeggel szorozni kezdett. Az anyagrendszer kiegyensúlyozatlanságának elkerülése érdekében a háromdimenziós transzformátor levezetése a nem degenerált matematikai mátrixok triviális konvergenciáján teljesen nyilvánvaló számunkra. Végezze el a feladatot, és oldja meg az egyenletet a megadott koordinátákon, mivel a következtetés előre nem ismert, ahogy az utótéridőben szereplő összes változó sem. Rövid időre húzzuk ki a közös tényezőt a zárójelből, és előre osszuk el mindkét oldalt a legnagyobb közös tényezővel. A kapott számok lefedett részhalmazából rövid idő alatt részletesen kivonja egymás után harminchárom pontot. Ahhoz, hogy minden diák előretekintve a lehető legjobban meg tudjon oldani egy egyenletet online, legyen egy fontos, de kulcsfontosságú dolog, ami nélkül nehéz lesz a jövőben élni. A múlt században a nagy tudós számos mintát vett észre a matematika elméletében. A gyakorlatban az eredmény nem egészen az események által várt benyomást keltette. Elvileg azonban az egyenleteknek ez az online megoldása javítja a tanulmányozás holisztikus megközelítésének megértését és észlelését, valamint a hallgatók által lefedett elméleti anyag gyakorlati megszilárdítását. Tanulási idő alatt ezt sokkal könnyebb megtenni.