Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény

Középiskola a. Shlanly

Városi kerület Aurgazinsky kerület a Fehérorosz Köztársaságban

Kutatómunka

"SZOKATLAN SZORSZORZÁSI MÓDOK"

Vasziljev Nikolaj

felügyelő -

2013-2014-es tanév G.

1. Bemutatkozás……………………………………………………………......

2. Szokatlan szorzási módok…………………………………………

1) Egy kis történelem…………………………………………………….

2) Szorzás 9-cel ………………………………………………

3) Szorzás az ujjakon…………………………………………………………………

4) Pitagorasz-tábla ……………………………………………………

5) Okoneshnikov asztal…………………………………………….

6) Paraszti szorzásmód………………………….………….

7) Szorzás a „Kisvár” módszerrel………….……………….

8) Szorzás „féltékenység” módszerrel………………………………………………………….

9) Kínai szorzási mód ……………………………………………

10) Japán szorzási mód ……………………………………………

3. Következtetés…………………………………………………………………

4. Irodalomjegyzék……………………………………………………….

Bevezetés

Lehetetlen, hogy az ember számítások nélkül nélkülözze a mindennapi életben. Ezért a matematika órákon mindenekelőtt megtanítanak számokkal műveleteket végrehajtani, azaz számolni. Az iskolában tanult szokásos módszerekkel szorozunk, osztunk, összeadunk és kivonunk.

Egyik nap véletlenül ráakadtam az interneten egy olyan oldalra, amelyen egy szokatlan szorzási módszer szerepel, amit a kínai gyerekek használnak (ahogy ott írják). Olvastam, tanultam és tetszett ez a módszer. Kiderült, hogy nem csak úgy lehet szorozni, ahogy a matematika tankönyvekben javasolják nekünk. Kíváncsi voltam, van-e más számítási módszer. Végül is a számítások gyors elvégzésének képessége őszintén meglepő.

A modern számítástechnika folyamatos használata oda vezet, hogy a tanulók nehezen tudnak számításokat végezni anélkül, hogy táblázatok vagy számológép állna rendelkezésükre. Az egyszerűsített számítási technikák ismerete lehetővé teszi nemcsak az egyszerű számítások fejben történő gyors elvégzését, hanem a gépesített számítások eredményeként a hibák ellenőrzését, értékelését, megtalálását és javítását is. Emellett a számítási készségek elsajátítása fejleszti a memóriát, növeli a matematikai gondolkodási kultúra szintjét, segíti a fizikai és matematikai ciklus tantárgyainak maradéktalan elsajátítását.

A munka célja:

Mutasson szokatlan szorzási módokat.

Feladatok:

Ø Keressen minél több szokatlan számítási módszert.

Ø Tanuld meg használni őket.

Ø Válassza ki magának a legérdekesebbet vagy könnyebbet az iskolában kínáltaknál, és használja ezeket a számolás során.

Azon tűnődtem, hogy a modern iskolások, osztálytársaim és mások ismernek-e más módszereket az aritmetikai műveletek végrehajtására, az oszloppal való szorzáson és a „sarokkal” való osztáson kívül, és szeretnének-e új módszereket tanulni? Szóbeli felmérést végeztem. 5-7. évfolyamon 20 tanulót kérdeztek meg. Ez a felmérés azt mutatta, hogy a modern iskolások nem ismerik a cselekvések egyéb módjait, mivel ritkán fordulnak az iskolai tananyagon kívüli anyagokhoz.

A felmérés eredményei:

https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">

2) a) Tudod-e, hogyan kell szorozni, összeadni,

https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">

3) szeretnéd tudni?

Szokatlan szorzási módok.

Egy kis történelem

A most használt számítási módszerek nem mindig voltak ilyen egyszerűek és kényelmesek. A régi időkben körülményesebb és lassabb technikákat alkalmaztak. És ha egy 21. századi iskolás öt évszázadot vissza tudna utazni, számításai gyorsaságával és pontosságával ámulatba ejtené őseinket. A róla szóló pletykák elterjedtek volna a környező iskolákban és kolostorokban, elhomályosítva a korszak legképzettebb számológépeinek dicsőségét, és mindenhonnan érkeztek az emberek, hogy az új nagy mesterhez tanuljanak.

A szorzás és osztás műveletei különösen nehézkesek voltak a régi időkben. Akkor nem volt egyetlen gyakorlat által kifejlesztett módszer minden egyes akcióhoz. Ellenkezőleg, közel egy tucat különböző szorzási és osztási módszert használtak egyszerre - egyik bonyolultabb technikát a másiknál, amire egy átlagos képességű ember nem tudott emlékezni. Minden számlálótanár ragaszkodott kedvenc technikájához, minden „osztásmester” (voltak ilyen szakemberek) dicsérte a saját módját ennek a műveletnek.

V. Bellustin „Hogyan jutottak el az emberek fokozatosan a valódi aritmetikához” című könyvében 27 szorzási módszert vázolnak fel, és a szerző megjegyzi: „nagyon lehetséges, hogy a könyvtárak mélyedéseiben más módszerek is rejtőznek, amelyek számos, főként kézzel írt formában vannak elszórva. gyűjtemények.”

És mindezek a szorzási módszerek - „sakk vagy orgona”, „hajtogatás”, „kereszt”, „rács”, „hátul előre”, „gyémánt” és mások versenyeztek egymással, és nagy nehézségek árán tanulták meg.

Nézzük meg a szorzás legérdekesebb és legegyszerűbb módjait.

Szorozd meg 9-cel

A 9-es szám szorzása- 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - könnyebben törölhető a memóriából, és nehezebb manuálisan újraszámolni az összeadás módszerével, azonban kifejezetten a 9-es szám esetében a szorzás könnyen reprodukálható „az ujjakon”. Nyújtsa szét az ujjait mindkét kezére, és fordítsa el a kezét úgy, hogy a tenyere öntől elfelé nézzen. Gondolatban rendeljen 1-től 10-ig terjedő számokat az ujjaihoz, kezdve a bal keze kisujjával és a jobb kezének kisujjával (ez látható az ábrán).

számítások."

számlálógép" az ujjak nem feltétlenül nyúlnak ki. Vegyünk például 10 cellát egy jegyzetfüzetben. Húzd át a 8. cellát. A bal oldalon 7 cella maradt, a jobb oldalon 2 cella. Tehát 9 8 = 72. Minden Nagyon egyszerű.

7 cella 2 cella.

Szorzás az ujjakon

Az ujjakon történő szorzás régi orosz módszere az egyik leggyakrabban használt módszer, amelyet az orosz kereskedők évszázadok óta sikeresen alkalmaztak. Megtanulták ujjaikon szorozni az egyjegyű számokat 6-tól 9-ig, ebben az esetben elegendő volt az ujjszámlálás alapkészsége az „egységek”, „párok”, „hármasok”, „négyesek”, „ötösök” ill. „tízek”. Az ujjak itt kiegészítő számítástechnikai eszközként szolgáltak.

Ehhez egyrészt annyi ujjat nyújtottak ki, amennyi az első faktor meghaladja az 5-ös számot, másrészt ugyanezt tették a második faktorral is. A megmaradt ujjak be voltak hajlítva. Ezután vettük a kiterjesztett ujjak számát (összesen), és megszoroztuk 10-zel, majd a számokat megszoroztuk, megmutatva, hogy hány ujj hajlított meg, és az eredményeket összeadtuk.

Például szorozzuk meg a 7-et 8-cal. A vizsgált példában 2 és 3 ujj hajlított lesz. Ha összeadja a hajlított ujjak számát (2+3=5) és megszorozza a nem hajlottak számát (2 3=6), akkor a kívánt szorzat tízes, illetve egyes számait 56-ot kapjuk. Így kiszámíthatja bármely 5-nél nagyobb egyjegyű szám szorzatát.

Pitagorasz-tábla

Emlékezzünk vissza az ókori egyiptomi matematika főszabályára, amely szerint a szorzást a kapott eredmények megkettőzésével és összeadásával hajtják végre; vagyis minden duplázás egy szám hozzáadása önmagához. Ezért érdekes megnézni a számok és számok ilyen megkettőzésének eredményét, amelyet az „oszlopba” hajtogatás modern módszerével kaptak, amely még az általános iskolai osztályokban is ismert.

Okoneshnikov asztal

A tanulók megtanulhatnak verbálisan összeadni és szorozni milliókat, milliárdokat, sőt sextililliókat és kvadrilliókat is. Ebben pedig segítségükre lesz a filozófiai tudományok kandidátusa, Vaszilij Okonesnyikov, aki egyben egy új mentális számlálórendszer feltalálója is. A tudós azt állítja, hogy egy személy hatalmas mennyiségű információra képes emlékezni, a lényeg az, hogy hogyan rendezze el ezeket az információkat.

Maga a tudós szerint a legelőnyösebb ebben a tekintetben a kilencszeres rendszer - minden adat egyszerűen kilenc cellába kerül, amelyek úgy helyezkednek el, mint a számológép gombjai.

A tudós szerint, mielőtt számítástechnikai „számítógépgé” válna, meg kell jegyezni az általa készített táblázatot. A benne lévő számok kilenc cellában oszlanak el kényelmetlen módon. Okoneshnikov szerint az emberi szem és memóriája olyan ügyesen van megtervezve, hogy a módszere szerint elrendezett információk egyrészt gyorsabban, másrészt határozottan emlékeznek meg.

A táblázat 9 részre van osztva. A mini számológép elve szerint helyezkednek el: „1” a bal alsó sarokban, „9” a jobb felső sarokban. Mindegyik rész egy táblázat a számok 1-től 9-ig történő szorzásához (ismét a bal alsó sarokban 1-gyel, a jobb oldalon 2-vel stb., ugyanazzal a „nyomógombos” rendszerrel). Hogyan kell használni őket?
Például, szorozni kell 9 tovább 842 . Egyből eszünkbe jut a 9-es nagy „gomb” (jobbra fent van, és gondolatban megtaláljuk rajta a 8,4,2 kis gombokat (ezek is úgy vannak elhelyezve, mint a számológépen). Ezek a 72, 36, 18 számoknak felelnek meg. A kapott számokat külön-külön adjuk hozzá: az első számjegy 7 (változatlan marad), a 2-t gondolatban hozzáadjuk a 3-hoz, 5-öt kapunk - ez az eredmény második számjegye, 6-ot hozzáadunk 1-hez, megkapjuk a harmadik számjegyet - 7, és a kívánt szám utolsó számjegye marad - 8. Az eredmény 7578.
Ha két számjegy összeadásakor kilencnél nagyobb számot kapunk, akkor annak első számjegye hozzáadódik az eredmény előző számjegyéhez, a második pedig a „saját” helyére kerül.

Az Okoneshnikov-féle mátrixtáblázat segítségével maga a szerző szerint tanulhat idegen nyelveket és még a periódusos rendszert is. Az új technikát több orosz iskolában és egyetemen is tesztelték. Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma engedélyezte egy új szorzótábla közzétételét kockás füzetekben a szokásos Pitagorasz-táblázat mellett - egyelőre csak az ismerkedés kedvéért.

Példa : 15647 x 5

https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Figure5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.!}

Szorzás a „KIS VÁR” módszerrel

A számok szorzását ma már az iskola első osztályában tanulják. De a középkorban nagyon kevesen sajátították el a szorzás művészetét. Ritka arisztokrata volt, aki még akkor is dicsekedhetett a szorzótábla ismeretével, ha egy európai egyetemet végzett.

A matematika évezredes fejlődése során számos módszert találtak fel a számok szorzására. Luca Pacioli olasz matematikus „Az aritmetika, arányok és arányosság összege” című értekezésében (1494) nyolc különböző szorzási módszert ad meg. Az elsőt „Kisvárnak”, a másodikat pedig nem kevésbé romantikusan „Féltékenységnek vagy rácsos szorzásnak” hívják.

A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.

A felső szám számjegyeit a legjelentősebb számjegytől kezdve sorra megszorozzuk az alsó számmal, és egy oszlopba írjuk a szükséges számú nullával. Az eredményeket ezután összeadják.

Számok szorzása „féltékenység” módszerrel.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">

3. Így néz ki a rács minden kitöltött cellával.

1. rács

4. Végül add össze az átlós csíkokat követő számokat. Ha egy átló összege tízeseket tartalmaz, akkor adja hozzá őket a következő átlóhoz.

Rács1

A számok átlói mentén történő összeadásának eredményéből (sárgával vannak kiemelve) egy szám keletkezik 2355315 , ami a számok szorzata 6827 és 345, vagyis 6827 x 345 = 2355315.

Kínai szorzási mód

Most képzeljük el az interneten élénken tárgyalt szorzási módszert, amelyet kínai módszernek hívnak. A számok szorzásakor a vonalak metszéspontjait számítjuk ki, amelyek mindkét tényező egyes számjegyeinek számjegyeihez tartoznak.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46"> Példa : szorozzuk meg 21 tovább 13 . Az első faktor 2 tízesből és 1 egységből áll, ami azt jelenti, hogy 2 párhuzamos egyenest és 1 egyenest távolról építünk.

Az egyenesek olyan pontokban metszik egymást, amelyek száma a válasz, azaz 21 x 13 = 273

Vicces és érdekes, de 9 egyenes húzása 9-cel szorzáskor valahogy hosszú és érdektelen, majd a metszéspontokat számolni... Általában véve nem nélkülözheti a szorzótáblát!

Japán szorzási mód

A japán szorzási módszer egy grafikus módszer, amely köröket és vonalakat használ. Nem kevésbé vicces és érdekes, mint a kínai. Méghozzá némileg hasonlítani rá.

Példa: szorozzuk meg 12 tovább 34. Mivel a második tényező egy kétjegyű szám, és az első faktor első számjegye 1 , akkor a felső sorban két szimpla kört, az alsó sorban két bináris kört készítünk, mivel az első tényező második számjegye egyenlő 2 .

12 x 34

A válasz az, hogy hány részre vannak osztva a körök 12 x 34 = 408.

Az általam talált szokatlan számolási módszerek közül a „rácsos szorzás vagy féltékenység” módszer tűnt érdekesebbnek. Megmutattam az osztálytársaimnak és nekik is nagyon tetszett.

A legegyszerűbb módszernek a „kettőzés és hasítás” tűnt, amit az orosz parasztok használtak. Nem túl nagy számok szorzásakor használom (kétjegyű számok szorzásakor nagyon kényelmes a használata).

Úgy gondolom, hogy az oszlopos szorzás módszerünk nem tökéletes, és még gyorsabb és megbízhatóbb módszereket tudunk kitalálni.

Irodalom

1. „Történetek a matematikáról”. – Leningrád: Nevelés, 1954. – 140 p.

2. Az orosz szorzás jelensége. Sztori. http://számnautika. ru/

3. „Ősi szórakoztató problémák”. – M.: Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főszerkesztősége, 1985. – 160 p.

4. Perelman fiók. Harminc egyszerű fejszámolási technika. L., 1941 - 12 p.

5. Perelman aritmetika. M. Rusanova, 1994--205 p.

6. Enciklopédia „Felfedem a világot. Matematika". – M.: Astrel Ermak, 2004.

7. Enciklopédia gyerekeknek. "Matematika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 p.

A matematika világa nagyon nagy, de mindig is érdekeltek a szorzási módszerek. Miközben ezen a témán dolgoztam, sok érdekes dolgot tanultam, és megtanultam az olvasottak közül kiválasztani a szükséges anyagot. Megtanultam, hogyan lehet különféle szórakoztató feladatokat, feladványokat, szorzási példákat különböző módon megoldani, valamint hogy mire épülnek a számtani trükkök és az intenzív számítási technikák.

A SZORZÁSRÓL

Mi marad a legtöbb ember fejében abból, amit valaha az iskolában tanultak? Természetesen ez különböző embereknél más, de valószínűleg mindenkinek van szorzótáblája. A „lefúrására” tett erőfeszítések mellett emlékezzünk arra a több száz (ha nem ezer) problémára, amelyet a segítségével megoldottunk. Háromszáz évvel ezelőtt Angliában már tanult embernek számított az, aki ismerte a szorzótáblákat.

Sokféle szorzási módszert találtak ki. Luca Pacioli, a 15. század végének - 16. század eleji olasz matematikus aritmetikai értekezésében 8 különböző szorzási módszert ad meg. Az elsőben, amelyet „kis kastélynak” neveznek, a felső szám számjegyeit, a legmagasabbtól kezdve, felváltva megszorozzuk az alsó számmal, és egy oszlopba írjuk, hozzáadva a szükséges számú nullát. Az eredményeket ezután összeadják. Ennek a módszernek az az előnye a megszokottal szemben, hogy a legjelentősebb számjegyek számait már a kezdetektől meghatározzák, és ez fontos lehet a durva számításoknál.

A második módszer nem kevésbé romantikus neve „féltékenység” (vagy rácsszorzás). Egy rácsot rajzolunk, amelybe ezután beírjuk a közbenső számítások eredményeit, pontosabban a szorzótáblából származó számokat. A rács egy négyzet alakú cellákra osztott téglalap, amelyek viszont átlókkal vannak kettéosztva. Az első faktort balra írták (fentről lefelé), a másodikat pedig felülre. A megfelelő sor és oszlop metszéspontjába a bennük lévő számok szorzatát írtuk. Ezután a kapott számokat a húzott átlók mentén összeadtuk, és az eredményt egy ilyen oszlop végére írtuk. Az eredményt a téglalap alsó és jobb oldalán olvastuk le. „Egy ilyen rács – írja Luca Pacioli –, „a rácsos redőnyökre emlékeztet, amelyeket a velencei ablakokra akasztottak, és megakadályozzák, hogy a járókelők lássák az ablakoknál ülő hölgyeket és apácákat.”

A Luca Pacioli könyvében leírt szorzási módszerek mindegyike szorzótáblát használt. Az orosz parasztok azonban tudták, hogyan kell asztal nélkül szaporodni. Szorzási módszerük csak 2-vel való szorzást és osztást használt. Két szám szorzásához egymás mellé írták, majd a bal oldali számot elosztották 2-vel, a jobb oldali pedig 2-vel. Ha az osztás maradékot eredményezett, eldobták. Ezután a bal oldali oszlopban a páros számokat tartalmazó sorokat áthúztuk. A jobb oldali oszlopban lévő többi számot összeadtuk. Az eredmény az eredeti számok szorzata lett. Ellenőrizze több számpáron, hogy valóban ez a helyzet. A módszer érvényességének bizonyítását kettes számrendszerrel mutatjuk be.

Ősi orosz szorzási módszer.

Az ókortól kezdve és szinte a tizennyolcadik századig az orosz emberek szorzás és osztás nélkül végezték számításaikat: csak két számtani műveletet alkalmaztak - összeadást és kivonást, valamint az úgynevezett „kettőzést” és a „kettőzést”. Az ősi orosz szorzási módszer lényege, hogy bármely két szám szorzását egy szám egymást követő felezési sorozatára redukáljuk (szekvenciális, bifurkáció), miközben egyidejűleg a másik számot megduplázzuk. Ha egy szorzatban, például 24 x 5, a szorzó 2-szeresére csökken ("dupla"), és a szorzó 2-szeresére nő

("dupla"), akkor a termék nem változik: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Példa:

A szorzószám felezése addig folytatódik, amíg a hányados 1 nem lesz, miközben a szorzót megduplázzuk. Az utolsó duplázott szám adja a kívánt eredményt. Tehát 32 x 17 = 1 x 544 = 544.

Azokban az ókorban a duplázást és a kettéválást még speciális aritmetikai műveleteknek is tekintették. Milyen különlegesek. akciók? Hiszen például egy szám megkettőzése nem egy speciális művelet, hanem csak egy adott szám hozzáadása önmagához.

Vegye figyelembe, hogy a számok mindig oszthatók 2-vel, maradék nélkül. De mi van akkor, ha a szorzó osztható 2-vel a maradékkal? Példa:

Ha a szorzó nem osztható 2-vel, akkor először kivonunk belőle egyet, majd elosztjuk 2-vel. A páros szorzójú sorokat áthúzzuk, és a páratlan szorzójú sorok jobb oldali részeit összeadjuk.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 + 17.

Emlékezzünk a 17-es számra (az első sor nincs áthúzva!), és a 20 X 17 szorzatot cseréljük ki a 10 X 34 szorzatra. X 68; tehát a második sor át van húzva:

5 x 68 = (4 + 1) X 68 = 4 x 68 + 68.

Emlékezzünk a 68-as számra (a harmadik sor nincs áthúzva!), és cseréljük le a 4 X 68 szorzatot a 2 X 136 egyenlő szorzatra. De a 2 X 136 szorzat helyettesíthető az 1 X 272 egyenlő szorzattal; ezért a negyedik sor át van húzva. Ez azt jelenti, hogy a 21 x 17 szorzat kiszámításához hozzá kell adni a 17, 68, 272 számokat - a páratlan szorzószámú sorok jobb oldalát. A páros szorzószámú szorzatok mindig helyettesíthetők a szorzószám megduplázásával és a tényező kétszeresével egyenlő szorzattal; ezért az ilyen sorokat kizárják a végtermék számításából.

Megpróbáltam a régimódi módon szaporítani magam. Vettem a 39-es és 247-es számokat, és ezt kaptam:

Az oszlopok még az enyémnél is hosszabbak lesznek, ha a szorzót 39-nél nagyobbra vesszük. Aztán úgy döntöttem, ugyanaz a példa modern módon:

Kiderült, hogy a mi iskolai számszorzási módszerünk sokkal egyszerűbb és gazdaságosabb, mint a régi orosz módszer!

Csak nekünk kell ismernünk először is a szorzótáblát, de őseink nem ismerték. Ráadásul magát a szorzás szabályát is jól ismernünk kell, de ők csak a számok duplázását és duplázását tudták. Amint látja, sokkal jobban és gyorsabban lehet szorozni, mint az ókori Rusz leghíresebb számológépe. Egyébként több ezer évvel ezelőtt az egyiptomiak szinte pontosan ugyanúgy végezték a szorzást, mint a régi időkben az oroszok.

Nagyon jó, hogy a különböző országokból származó emberek ugyanúgy szaporodtak.

Nem is olyan régen, alig száz évvel ezelőtt a szorzótábla megtanulása nagyon nehéz volt a diákok számára. A matematikai könyvek szerzői régóta folyamodtak ahhoz, hogy a tanulókat meggyőzzék a táblázatok fejből való megismerésének szükségességéről. a költészethez.

Íme néhány sor egy számunkra ismeretlen könyvből: „De a szorzáshoz meg kell, hogy legyen a következő táblázat, csak legyen szilárdan a memóriájában, hogy minden szám, miután megszorozódott vele, minden beszédhaladás nélkül kimondja, ill. írd, még 2-szer 2 az 4, vagy 2-szer 3 az 6, és 3-szor 3 az 9 és így tovább."

Ha valaki nem ismétli a táblázatot, és büszke minden tudományra, nem mentes a kínoktól,

Koliko nem tudhatja számok tanítása nélkül, hogy a tonhal megsokszorozása lehangolja

Igaz, ebben a szakaszban és a versekben nem minden világos: valahogy nem egészen oroszul van megírva, mert mindezt több mint 250 évvel ezelőtt, 1703-ban írta Leonty Filippovich Magnitsky, egy csodálatos orosz tanár, és azóta az orosz a nyelv észrevehetően megváltozott.

L. F. Magnyitszkij írta és kiadta az első nyomtatott aritmetikai tankönyvet Oroszországban; előtte csak kézzel írt matematikai könyvek voltak. A nagy orosz tudós, M. V. Lomonoszov, valamint a tizennyolcadik század sok más kiemelkedő orosz tudósa L. F. Magnyitszkij „Aritmetikájából” tanult.

Hogyan szaporodtak el akkoriban, Lomonoszov idejében? Lássunk egy példát.

Mint tudjuk, a szorzás műveletét akkor szinte ugyanúgy leírták, mint korunkban. Csak a szorzót nevezték „mennyiségnek”, a szorzatot „terméknek”, ráadásul a szorzójelet nem írták ki.

Hogyan magyarázták akkor a szorzást?

Ismeretes, hogy M. V. Lomonoszov fejből ismerte Magnyitszkij teljes „aritmetikáját”. Ennek a tankönyvnek megfelelően a kis Misa Lomonoszov a 48 8-cal való szorzását így magyarázná: „8-szor 8 az 64, 4-et írok a sor alá, a 8 ellenében, és 6 tizedesjegy jár a fejemben. És akkor 8-szor 4 az 32, és a 3-at tartom a fejemben, és a 2-hez hozzáadok 6 tizedesjegyet, és 8 lesz. És ezt a 8-at írom a 4 mellé, sorban a bal kezemre, és Amíg a 3-as jár a fejemben, a 8-ashoz közel, balra írok egy sorban. A 48-at 8-cal megszorozva pedig 384 lesz a szorzat.”

Igen, és szinte ugyanúgy magyarázzuk, csak mi modern, nem ősi nyelven beszélünk, és ráadásul a kategóriákat is megnevezzük. Például a 3-at a harmadik helyre kell írni, mert ez több száz lesz, és nem csak „egy sorban a 8 mellett, balra”.

A „Masha egy varázsló” című történet.

„Nemcsak a születésnapot tudom kitalálni, mint legutóbb Pavlik, hanem a születési évét is” – kezdte Mása.

Szorozd meg 100-zal annak a hónapnak a számát, amelyben született, majd add hozzá a születésnapodat. , szorozzuk meg az eredményt 2-vel. , adjunk hozzá 2-t a kapott számhoz; szorozzuk meg az eredményt 5-tel, adjunk 1-et a kapott számhoz, adjunk hozzá nullát az eredményhez. , adj hozzá még 1-et a kapott számhoz, és végül add hozzá az éveid számát.

Kész, megvan a 20721. - mondom.

* Helyes – erősítettem meg.

És 81321-et kaptam” – mondja Vitya, a harmadik osztályos tanuló.

– Te, Mása, bizonyára tévedtél – kételkedett Petya. - Hogyan történik: Vitya harmadik osztályos, és szintén 1949-ben született, akárcsak Sasha.

Nem, Mása jól sejtette – erősíti meg Vitya. Csak én voltam sokáig beteg egy évig, és ezért kétszer jártam második osztályba.

* És kaptam a 111521-et” – számol be Pavlik.

Hogyan lehetséges, kérdezi Vasya, Pavlik is 10 éves, mint Sasha, és 1948-ban született. Miért nem 1949-ben?

Hanem azért, mert most szeptember van, és Pavlik novemberben született, és még mindig csak 10 éves, bár 1948-ban született” – magyarázta Mása.

Megtalálta három vagy négy másik diák születési dátumát, majd elmagyarázta, hogyan csinálta. Kiderült, hogy az utolsó számból kivonja a 111-et, majd a maradékot hozzáadja három oldalhoz jobbról balra, két-két számjegyet. A középső két számjegy a születésnapot, az első kettő vagy egy a hónapot, az utolsó két számjegy pedig az évek számát jelöli. Tudva, hogy hány éves az ember, nem nehéz meghatározni a születési évét. Például a 20721 számot kaptam. Ha levonsz belőle 111-et, akkor 20610-et kapsz. Ez azt jelenti, hogy most 10 éves vagyok, és február 6-án születtem. Mivel most 1959 szeptembere van, ez azt jelenti, hogy 1949-ben születtem.

Miért kell a 111-et kivonni és nem valami mást? - kérdeztük. -És miért pont így van elosztva a születésnap, a hónapszám és az évek száma?

De nézd – magyarázta Mása. - Például Pavlik, teljesítve a követelményeimet, a következő példákat oldotta meg:

1) 11 x 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Amint látható, a hónapszámot (11) megszorozta 100-zal, majd 2-vel, majd újabb 5-tel és végül még 10-zel (egy zsákot adott hozzá), és összesen 100 X 2 X 5 X 10-zel. azaz 10 000. Ez azt jelenti, hogy a 11-ből tízezrek lettek, vagyis ők alkotják a harmadik oldalt, ha jobbról balra számolunk két számjegyet. Így megtudják annak a hónapnak a számát, amelyben születtél. Születésnapját (14) megszorozta 2-vel, majd 5-tel, végül további 10-zel, és összesen 2 X 5 X 10-zel, azaz 100-zal. Ez azt jelenti, hogy a születésnapot százak között kell keresni, a második arc, de itt több száz idegen van. Nézd: összeadta a 2-es számot, amit 5-tel és 10-zel szorzott. Ez azt jelenti, hogy kapott plusz 2x5x10=100 - 1 százat. Ezt az 1 százat kivonom az 111521 szám 15 százasából, így 14 százast kapok. Így tudom meg a születésnapomat. Az évek számát (10) nem szorozták meg semmivel. Ez azt jelenti, hogy ezt a számot kell keresni az egységek között, az első lapon, de itt vannak idegen egységek. Nézd: hozzáadta az 1-es számot, amit megszorzott 10-zel, majd hozzáadott még egyet. Ez azt jelenti, hogy csak 1 x TO + 1 = 11 egységet kapott. Kivonom ezt a 11 egységet az 111521-es szám 21 egységéből, kiderül, hogy 10. Így megtudom az évek számát. És összesen, mint láthatod, az 111521 számból kivontam 100 + 11 = 111 Amikor kivontam a 111-et az 111521 számból, akkor kiderült, hogy PNU. Eszközök,

Pavlik november 14-én született és 10 éves. Most 1959 az év, de nem 1959-ből, hanem 1958-ból vontam ki a 10-et, hiszen Pavlik tavaly, novemberben töltötte be a 10. életévét.

Természetesen ez a magyarázat nem fog azonnal emlékezni, de megpróbáltam megérteni a saját példámmal:

1) 2 x 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 x 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 x 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2"OBT; 1959 - 10 = 1949;

Kirakós játék.

Első feladat: Délben egy utasszállító gőzhajó indul Sztálingrádból Kujbisev felé. Egy órával később egy áru- és személyszállító hajó elhagyja Kujbisevét Sztálingrádba, lassabban haladva, mint az első hajó. Amikor a hajók találkoznak, melyik lesz távolabb Sztálingrádtól?

Ez nem közönséges számtani feladat, hanem vicc! A gőzhajók azonos távolságra lesznek Sztálingrádtól, valamint Kujbisevtől.

És íme a második feladat: Múlt vasárnap a mi osztagunk és az ötödik osztályos osztag fákat ültetett a Bolshaya Pionerskaya utca mentén. A csapatoknak azonos számú fát kellett elültetniük az utca mindkét oldalán. Mint emlékeztek, csapatunk korán érkezett dolgozni, és az ötödikesek érkezése előtt sikerült 8 fát ültetni, de mint kiderült, nem a mi oldalunkon: izgultunk, és rossz helyen kezdtünk dolgozni. hely. Aztán a mi oldalunkon dolgoztunk. Az ötödik osztályosok korán végeztek munkájukkal. Viszont nem maradtak adósak velünk: átjöttek mellénk, és először 8 fát ültettek ("kifizették az adósságot"), majd további 5 fát, és a munkát befejeztük.

A kérdés az, hogy hány fát ültettek több fát az ötödikesek, mint mi?

: Természetesen az ötödikesek csak 5 fával ültettek többet, mint mi: amikor 8 fát ültettek a mi oldalunkon, ezzel visszafizették az adósságot; és amikor még 5 fát ültettek, olyan volt, mintha 5 fát adtak volna kölcsön. Így kiderült, hogy csak 5 fával ültettek több fát, mint mi.

Nem, az érvelés rossz. Az igaz, hogy az ötödikesek jót tettek nekünk azzal, hogy 5 fát ültettek nekünk. A helyes válaszhoz azonban így kell okoskodnunk: mi 5 fával alulteljesítettük a feladatunkat, míg az ötödikesek 5 fával múlták felül a sajátjukat. Így kiderül, hogy az ötödikesek által ültetett fa és az általunk ültetett fa között nem 5, hanem 10 fa a különbség!

És íme az utolsó rejtvényfeladat, a Labdázás, 16 diák került egy négyzet oldalára úgy, hogy mindkét oldalon 4 ember legyen. Aztán 2 diák elment, a többiek úgy mozdultak, hogy ismét 4-4 ember volt a tér mindkét oldalán. Végül még 2 diák távozott, de a többiek úgy letelepedtek, hogy a tér két oldalán még 4-4 ember volt. Hogyan történhetett ez meg?

Két trükk a gyors szorzáshoz

Egy nap egy tanár ezt a példát kínálta a tanítványainak: 84 X 84. Egy fiú gyorsan válaszolt: 7056. „Mit számoltál?” - kérdezte a tanárnő a diákot. „50 X 144-et vettem, és 144-et dobtam” – válaszolta. Nos, magyarázzuk el, hogyan gondolkodott a diák.

84 x 84 = 7 x 12 x 7 x 12 = 7 x 7 x 12 x 12 = 49 x 144 = (50 - 1) X 144 = 50 x 144 - 144, és 144 ötven az 72 száz, tehát 84 x 84 = 7200 - 144 =

Most ugyanígy számoljuk ki, hogy mennyi 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, azaz 64 ötven vagy 32 száz (3200), 64 nélkül, azaz egy szám 49-el való szorzásához ez kell számot szorozzuk meg 50-nel (ötvennel), és vonjuk ki ezt a számot a kapott szorzatból.

Itt vannak példák egy másik számítási módszerre, 92 X 96, 94 X 98.

Válaszok: 8832 és 9212. Példa, 93 X 95. Válasz: 8835. Számításaink ugyanazt a számot adtak.

Ilyen gyorsan csak akkor tudsz számolni, ha a számok közel vannak a 100-hoz. Ezeknek a számoknak a kiegészítéseit 100-ig találjuk: 93-hoz 7, 95-höz 5 lesz, az első megadott számból kivonjuk a komplementerét. a második: 93 - 5 = 88 - ez a százas szorzatban lesz, az összeadásokat szorozd meg: 7 X 5 = 3 5 - ennyi lesz az egységek szorzatában. Ez azt jelenti, hogy 93 X 95 = 8835. Hogy miért kell ezt pontosan megtenni, azt nem nehéz megmagyarázni.

Például a 93 a 100 a 7 nélkül, a 95 pedig a 100 az 5 nélkül. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Ha 5-ször 93-at akarsz kivonni, kivonhatsz 5-ször 100-at, de összeadhatsz 5-ször 7-et. Aztán kiderül:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 cella. - 5 száz. + 5 X 7 = (93 - 5) cella. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 x 94 = (97–6) X 100 + 3 × 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 × 95 = (91–5) × 100 + 9 × 5 = 8600 + 45 = 8645.

Szorzás c. dominó

Dominó segítségével könnyen ábrázolható néhány olyan eset, amikor a többjegyű számokat egyjegyű számmal kell szorozni. Például:

402 x 3 és 2663 x 4

Az lesz a győztes, aki egy bizonyos időn belül a legtöbb dominót tud használni, példákat készítve a három- és négyjegyű számok egyjegyű számmal való szorzására.

Példák négyjegyű számok egyjegyű számokkal való szorzására.

2234 x 6; 2425 x 6; 2336 X 1; 526 x 6.

Mint látható, csak 20 dominót használtak fel. Példákat állítottak össze arra, hogy ne csak a négyjegyű számokat szorozzák meg egyjegyű számmal, hanem a három-, öt- és hatjegyű számokat is egyjegyű számmal. 25 kockát használtunk, és a következő példákat állítottuk össze:

Mind a 28 kocka azonban továbbra is használható.

Történetek arról, hogy az öreg Hottabych milyen jól ismerte az aritmetikát.

A történet: „5-öst kapok a számtanból”.

Amint másnap elmentem Misához, azonnal megkérdezte: „Mi volt az új vagy érdekes a körórán?” Megmutattam Misának és barátainak, milyen okosak voltak régen az orosz emberek. Aztán megkértem őket, hogy fejben számolják ki, mennyi lesz a 97 X 95, 42 X 42 és 98 X 93. Természetesen ezt nem tudták megtenni ceruza és papír nélkül, és nagyon meglepődtek, amikor szinte azonnal megadtam a helyes válaszokat ezeket a példákat. Végül mindannyian közösen megoldottuk az otthonra adott problémát. Kiderül, hogy nagyon fontos, hogy a pöttyök hogyan helyezkednek el egy papírlapon. Ettől függően húzhat egy, négy vagy hat egyenest négy ponton keresztül, de többet nem.

Ezután felkértem a gyerekeket, hogy készítsenek példákat a dominó segítségével történő szorzásra, ahogy a bögrénél is tették. Sikerült 20, 24, sőt 27 kockát is felhasználnunk, de a 28-ból soha nem tudtunk példát alkotni, pedig sokáig ültünk ezen a feladaton.

Misha emlékezett, hogy ma az Old Man Hottabych című filmet mutatták be a moziban. Gyorsan végeztünk a számolással és rohantunk a moziba.

Micsoda kép! Bár mese, mégis érdekes: mesél rólunk, fiúkról, az iskolai életről, és a különc bölcsről, Genie Hottabychről is. Hottabych pedig nagy hibát követett el, amikor néhány földrajzi tippet adott Volkának! Nyilván a régmúlt időkben még az indiai bölcsek - a dzsinnek - is nagyon-nagyon rosszul ismerték a földrajzot.Kíváncsi vagyok, Hottabych hány évesen adott volna tanácsot, ha Volka sikeres számtanvizsgát tesz? Hottabych valószínűleg még a számtani sem tudott rendesen.

A szorzás indiai módja.

Tegyük fel, hogy meg kell szorozni 468-at 7-tel. A szorzót a bal oldalra, a szorzót a jobbra írjuk:

Az indiánoknál nem volt szorzójel.

Most megszorzom 4-et 7-tel, 28-at kapunk. Ezt a számot a 4-es számjegy fölé írjuk.

Most megszorozzuk a 8-at 7-tel, 56-ot kapunk. 5-öt adunk 28-hoz, 33-at kapunk; Töröljük ki a 28-at, írjuk fel a 33-at, a 8-as fölé írjuk a 6-ot:

Elég érdekesnek bizonyult.

Most megszorozzuk a 6-ot 7-tel, 42-t kapunk, 4-et adunk 36-hoz, 40-et kapunk; A 36-ot kitöröljük és a 40-et felírjuk; Írjunk 2-t a 6 fölé. Tehát 486-ot megszorozzuk 7-tel, így 3402-t kapunk:

A megoldás helyes volt, de nem túl gyorsan és kényelmesen!Pontosan így szoroztak az akkori leghíresebb számológépek.

Amint látja, az öreg Hottabych elég jól tudta a számolást. Ő azonban másként rögzítette tetteit, mint mi.

Réges-régen, több mint ezerháromszáz évvel ezelőtt az indiaiak voltak a legjobb számológépek. Papír azonban még nem volt, és minden számítást egy kis fekete táblán végeztek, nádtollal írtak rá, nagyon folyékony fehér festékkel, ami könnyen letörölhető nyomokat hagyott maga után.

Ha krétával írunk táblára, az kicsit az indiai írásmódra emlékeztet: fekete alapon fehér jelek jelennek meg, amelyeket könnyű kitörölni, korrigálni.

Az indiánok egy piros porral megszórt fehér táblán is számításokat végeztek, amelyre kis pálcikával jeleket írtak, így egy piros mezőn fehér karakterek jelentek meg. Körülbelül ugyanazt a képet kapjuk, ha krétával írunk egy piros vagy barna táblára - linóleumra.

A szorzójel ekkor még nem létezett, és csak egy bizonyos rés maradt a szorzó és a szorzó között. Az indiai módszer az lenne, ha egységekkel kezdjük a szorzást. Maguk az indiánok azonban a legmagasabb számjegytől kezdve végeztek szorzást, és a hiányos szorzatokat a szorzószám fölé írták fel, apránként. Ebben az esetben a komplett termék legjelentősebb számjegye azonnal látható volt, ráadásul az esetleges számjegyek kihagyása is megszűnt.

Példa a szorzásra indiai módon.

Arab szorzási módszer.

Nos, magában a dátumban hogyan lehet indiai módon szorzást végrehajtani, ha felírja papírra?

A papírra íráshoz ezt a szorzási módszert az arabok adaptálták.A híres ókori üzbég tudós, Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Musza fia, Mohamed Horezmből, a modern Üzbég Szovjetunió területén található városból) több mint ezer éve. ezelőtt szorzást hajtott végre pergamenen, így:

Nyilván nem törölte ki a felesleges számokat (ezt már papíron is kényelmetlen), hanem áthúzta; Az áthúzottak fölé természetesen felírta az új számokat, apránként.

Példa ugyanilyen szorzásra, jegyzetelés füzetbe.

Ez azt jelenti, hogy 7264 X 8 = 58112. De hogyan kell szorozni egy kétjegyű számmal, egy többjegyű számmal?

A szorzás módja változatlan marad, de a felvétel sokkal bonyolultabbá válik. Például meg kell szoroznia 746-ot 64-gyel. Először is szorozza meg 3 tízessel, kiderül

Tehát 746 x 34 = 25364.

Mint látható, a felesleges számjegyek áthúzása és új számjegyekkel való helyettesítése akár kétjegyű számmal történő szorzáskor is túl nehézkes rögzítéshez vezet. Mi történik, ha három-négyjegyű számmal szorozunk?!

Igen, az arab szorzási módszer nem túl kényelmes.

Ez a szorzási mód Európában a tizennyolcadik századig, teljes ezer évig fennmaradt. Ezt keresztmetódusnak, vagy chiasmusnak nevezték, mivel a szorzandó számok közé a görög X (chi) betű került, amelyet fokozatosan ferde kereszt váltott fel. Most már világosan látjuk, hogy a mi modern szorzási módszerünk a legegyszerűbb és legkényelmesebb, valószínűleg a legjobb az összes lehetséges szorzási módszer közül.

Igen, a mi iskolai módszerünk a többjegyű számok szorzására maga nagyon jó. A szorzást azonban más módon is meg lehet írni. Talán a legjobb módszer az lenne, ha például így csinálná:

Ez a módszer nagyon jó: a szorzás a szorzó legmagasabb számjegyétől kezdődik, a hiányos szorzatok legalsó számjegye a szorzó megfelelő számjegye alá kerül, ami kizárja a hiba lehetőségét abban az esetben, ha a szorzó bármely számjegyében nulla fordul elő. szorzó. Körülbelül így írják a csehszlovák iskolások a többjegyű számok szorzását. Ez érdekes. És azt gondoltuk, hogy a számtani műveleteket csak úgy lehet felírni, ahogyan nálunk szokás.

Még néhány rejtvény.

Íme az első, egyszerű feladat: Egy turista 5 km-t tud gyalogolni egy óra alatt. Hány kilométert fog gyalogolni 100 óra alatt?

Válasz: 500 kilométer.

És ez egy másik nagy kérdés! Pontosabban meg kell tudnunk, hogyan sétált a turista ezen a 100 órán keresztül: pihenés nélkül vagy szünetekkel. Vagyis tudnod kell: 100 óra az az idő, amit egy turista utazik, vagy egyszerűen az az idő, amit az úton tölt. Valószínűleg egy személy nem tud 100 órát egymás után mozgásban lenni: ez több mint négy nap; és a mozgás sebessége folyamatosan csökkenne. Más kérdés, hogy a turista ebédszünetekkel, alvással stb. járt-e. Akkor 100 óra mozgással meg tudja tenni a teljes 500 km-t; csak ő ne négy napig legyen úton, hanem kb tizenkét napig (ha átlagosan 40 km-t tesz meg naponta). Ha 100 órát volt úton, akkor csak körülbelül 160-180 km-t tudott megtenni.

Különféle válaszok. Ez azt jelenti, hogy valamit hozzá kell adni a problémafelvetéshez, különben nem lehet választ adni.

Most oldjuk meg a következő problémát: 10 csirke 10 nap alatt megeszik 1 kg gabonát. Hány kilogramm gabonát eszik meg 100 csirke 100 nap alatt?

Megoldás: 10 csirke 10 nap alatt 1 kg gabonát eszik meg, ami azt jelenti, hogy 1 csirke 10-szer kevesebbet eszik ugyanabban a 10 napban, azaz 1000 g: 10 = 100 g.

Egy nap alatt a csirke újabb 10-szer kevesebbet eszik meg, vagyis 100 g-ot: 10 = 10 g Most már tudjuk, hogy 1 csirke 1 nap alatt 10 g gabonát eszik meg. Ez azt jelenti, hogy napi 100 csirke 100-szor többet eszik, azaz

10 g x 100 = 1000 g = 1 kg. 100 nap alatt újabb 100-szor többet esznek, azaz 1 kg x 100 = 100 kg = 1 kg. Ez azt jelenti, hogy 100 csirke 100 nap alatt megeszik egy centner gabonát.

Van egy gyorsabb megoldás: 10-szer több csirke van, és 10-szer hosszabb ideig kell etetni őket, ami azt jelenti, hogy a teljes gabonaszükséglet 100-szor több, azaz 100 kg. Mindazonáltal ezekben az érvekben van egy hiányosság. Gondolkodjunk, és találjunk hibát az érvelésben.

: -Vigyázzunk az utolsó okfejtésre: „100 csirke egy nap alatt 1 kg gabonát eszik meg, 100 nap múlva pedig 100-szor többet. »

Hiszen 100 nap alatt (ez több mint három hónap!) a csirkék észrevehetően felnőnek, és már nem 10 gramm gabonát esznek meg naponta, hanem 40-50 grammot, mivel egy közönséges csirke körülbelül 100 gramm gabonát eszik naponta. . Ez azt jelenti, hogy 100 nap alatt 100 csirke nem 1 mázsa gabonát eszik meg, hanem sokkal többet: két-három mázsát.

És íme az utolsó rejtvényfeladat számodra a csomókötéssel kapcsolatban: „Az asztalon egy kötéldarab van egyenes vonalban kifeszítve. Egyik kezével meg kell venni az egyik végét, a másik kezével a másik végét, és anélkül, hogy a kötél végeit kiengedné a kezéből, csomót kell kötnie. „Köztudott tény, hogy egyes problémák könnyen elemezhetők, az adatoktól a problémakérdésig, míg mások éppen ellenkezőleg, a problémakérdéstől az adatokig.

Nos, megpróbáltuk elemezni ezt a problémát, a kérdéstől az adatok felé haladva. Legyen már csomó a kötélen, és a vége a kezedben legyen, és nem szabadul fel. Próbáljunk meg a megoldott feladattól visszatérni az adataihoz, az eredeti helyzethez: a kötél kifeszítve fekszik az asztalon, és a végei nem szabadulnak ki a kezek közül.

Kiderül, hogy ha kiegyenesítjük a kötelet anélkül, hogy kiengednénk a végeit a kezünkből, akkor a bal kéz a kinyújtott kötél alatt és a jobb kéz fölött haladva tartja a kötél jobb végét; a jobb kéz pedig a kötél fölött és a bal kéz alatt haladva tartja a kötél bal végét

Azt hiszem, a probléma elemzése után mindenki számára világossá vált, hogyan kell csomót kötni egy kötélre; mindent fordított sorrendben kell csinálni.

Még két gyors szorzási technika.

Megmutatom, hogyan lehet gyorsan szorozni számokat, például 24 és 26, 63 és 67, 84 és 86 stb. p., azaz amikor a faktorokban egyenlő számú tízes van, és az egyesek együtt pontosan 10-et adnak. Mondjon példákat!

* 34 és 36, 53 és 57, 72 és 78,

* Kapsz 1224, 3021, 5616.

Például meg kell szorozni az 53-at 57-tel. Megszorzom az 5-öt 6-tal (1-gyel több, mint 5), kiderül, hogy 30 - annyi száz a szorzatban; Megszorzom 3-at 7-tel, kiderül, hogy 21 - ennyi egység van a termékben. Tehát 53 x 57 = 3021.

* Hogyan magyarázható ez?

(50 + 3) X 57 = 50 × 57 + 3 × 57 = 50 × (50 + 7) + 3 × (50 + 7) = 50 × 50 + 7 × 50 + 3 × 50 + 3 × 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 száz. + 5 száz. +3 x 7 = 30 cella. + 3 x 7 = 5 x 6 cella. + 21.

Nézzük meg, hogyan lehet gyorsan megszorozni a kétjegyű számokat 20-on belül. Ha például 14-et 17-tel akarunk szorozni, össze kell adni a 4-es és a 7-es egységeket, így 11-et kapunk – ennyi tízes lesz a szorzatban (azaz 10 egység). Ezután meg kell szoroznia 4-et 7-tel, 28-at kap - ennyi egység lesz a termékben. Ezenkívül pontosan 100-at kell hozzáadni a kapott 110-es és 28-as számokhoz. Ez azt jelenti, hogy 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. Valójában:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 + (4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100 + 110 + + 28.

Ezt követően a következő példákat oldottuk meg: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 x 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Szorzás abakuszon

Íme néhány technika, amelyek használatával bárki, aki tudja, hogyan kell gyorsan összeadni egy abakuszra, gyorsan végre tudja hajtani a gyakorlatban tapasztalt szorzási példákat.

A 2-vel és 3-mal való szorzást felváltja a dupla és háromszoros összeadás.

Ha 4-gyel szoroz, először szorozzon 2-vel, és adja hozzá ezt az eredményt önmagához.

Egy szám 5-tel való szorzása egy abakuszon így történik: mozgassuk feljebb az egész egyes számú vezetéket, azaz szorozzuk meg 10-zel, majd ezt a 10-szeres számot osszuk ketté (mintha abakusz segítségével osztanák 2-vel.

A 6-tal való szorzás helyett szorozzon 5-tel, és adja hozzá a szorzást.

A 7-tel való szorzás helyett szorozzon 10-zel, és vonja ki a szorzatot háromszor.

A 8-cal való szorzás helyébe a 10 mínusz kettő szorzás lép.

Ugyanúgy szoroznak 9-cel: úgy helyettesítik, hogy 10 mínusz eggyel szorozzák.

Ha 10-zel szorozzuk, vigye át az összes számot, mint már mondtuk, egy vezetékkel magasabbra.

Az olvasó valószínűleg maga fogja kitalálni, hogyan kell eljárni, ha 10-nél nagyobb számokkal szoroz, és milyen helyettesítések lesznek itt a legkényelmesebbek. A 11-es tényezőt természetesen 10 + 1-re kell cserélni. A 12-es faktort 10 + 2-re vagy gyakorlatilag 2 + 10-re kell cserélni, vagyis először félreteszik a duplázott számot, majd hozzáadják a tízszeresét. A 13-as szorzót felváltja a 10 + 3 stb.

Nézzünk meg néhány speciális esetet az első száz szorzóhoz:

Könnyen belátható egyébként, hogy az abakusz segítségével nagyon kényelmesen lehet szorozni olyan számokkal, mint 22, 33, 44, 55 stb.; Ezért a tényezõk osztásakor törekednünk kell arra, hogy hasonló számokat használjunk azonos számjegyekkel.

Hasonló technikákat alkalmaznak 100-nál nagyobb számokkal való szorzásnál is. Ha az ilyen mesterséges technikák unalmasak, akkor természetesen mindig abakusz segítségével szorozhatunk az általános szabály szerint, a szorzó minden számjegyét megszorozva és felírva a részszorzatokat - ez még mindig csökkenti az időt.

"orosz" szorzási módszer

Nem szorozhat többjegyű számokat, még a kétjegyűeket sem, hacsak nem jegyzi meg az egyjegyű számok szorzásának összes eredményét, vagyis az úgynevezett szorzótáblát. Magnyitszkij ősi „aritmetikájában”, amelyet már említettünk, a szorzótáblák szilárd ismeretének szükségességét a következő versek dicsőítik (idegen a mai fül számára):

Ha valaki nem ismétel táblázatokat és nem büszke, nem tudja szám szerint mit szorozni

És minden tudomány szerint nem vagyok mentes a kínoktól, Koliko nem tanítja a tonhalat és lehangol.

És nem lesz előnyös, ha elfelejti.

E versek írója nyilvánvalóan nem tudta vagy figyelmen kívül hagyta, hogy van mód a számok szorzására a szorzótábla ismerete nélkül. Ezt a módszert, hasonlóan a mi iskolai módszereinkhez, az orosz parasztok mindennapi életében alkalmazták, és az ókortól örökölték.

Lényege, hogy bármely két szám szorzása az egyik szám egymást követő felezési sorozatára redukálódik, miközben egyidejűleg a másik számot megduplázza. Íme egy példa:

A felezés addig folytatódik, amíg), a hányadosban a hangmagasság nem lesz 1, miközben egyidejűleg a másik szám megduplázódik. Az utolsó duplázott szám adja a kívánt eredményt. Nem nehéz megérteni, mire alapoz ez a módszer: a szorzat nem változik, ha az egyik tényezőt felére, a másikat pedig megduplázzuk. Nyilvánvaló tehát, hogy ennek a műveletnek a többszöri megismétlése eredményeként a kívánt terméket kapjuk.

Mi a teendő azonban, ha ugyanakkor... Lehetséges-e páratlan számot kettéosztani?

A népi módszer könnyen legyőzi ezt a nehézséget. Szükséges, mondja a szabály, páratlan szám esetén dobjunk egyet, a maradékot pedig osszuk ketté; de akkor a jobb oldali oszlop egyetlen számához hozzá kell adni ennek az oszlopnak mindazokat a számokat, amelyek a bal oldali oszlop páratlan számával ellentétesek - az összeget kell keresni? dolgozom. A gyakorlatban ez úgy történik, hogy minden páros bal oldali számot tartalmazó sor át van húzva; Csak azok maradnak meg, amelyek bal oldalán páratlan számot tartalmaznak.

Íme egy példa (a csillagok azt jelzik, hogy ezt a sort át kell húzni):

Az át nem húzott számokat összeadva teljesen helyes eredményt kapunk: 17 + 34 + 272 = 32 Mire épül ez a technika?

A technika helyessége akkor derül ki, ha ezt figyelembe vesszük

19X17 = (18+1)X17=18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 stb.

Nyilvánvaló, hogy a páratlan szám felezésekor elveszett 17, 34 stb. számokat hozzá kell adni az utolsó szorzás eredményéhez, hogy megkapjuk a szorzatot.

Példák gyorsított szorzásra

Korábban említettük, hogy vannak kényelmes módszerek is azoknak az egyedi szorzási műveleteknek a végrehajtására, amelyekre a fenti technikák mindegyike összeomlik. Némelyikük nagyon egyszerű és kényelmesen alkalmazható; olyan egyszerűvé teszik a számításokat, hogy egyáltalán nem árt megjegyezni, hogy hétköznapi számításokhoz használhassuk.

Ez például a keresztszorzás technikája, amely nagyon kényelmes, ha kétjegyű számokkal dolgozik. A módszer nem új; a görögökig és a hindukig nyúlik vissza, és az ókorban „villám módszernek”, vagy „kereszttel való szorzásnak” nevezték. Mára feledésbe merült, és nem árt emlékeztetni rá1.

Tegyük fel, hogy 24x32-vel akar szorozni. Mentálisan rendezze el a számokat a következő séma szerint, egymás alá:

Most a következő lépéseket hajtjuk végre egymás után:

1) 4X2 = 8 az eredmény utolsó számjegye.

2) 2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - az eredmény utolsó előtti számjegye; 1 emlékszem.

3)2X3 = 6, és a szem előtt tartott mértékegység is megvan

A 7 az eredmény első számjegye.

A szorzat összes számjegyét megkapjuk: 7, 6, 8 -- 768.

Rövid gyakorlat után ez a technika nagyon könnyen megtanulható.

Egy másik módszer, amely az úgynevezett „összeadások” alkalmazásából áll, kényelmesen alkalmazható olyan esetekben, amikor a szorzandó számok közel vannak 100-hoz.

Tegyük fel, hogy 92x96-ot akar szorozni. Az „összeadás” 92-hez 100-hoz 8, 96-hoz 4 lesz. A művelet a következő séma szerint történik: szorzók: 92 és 96 „összeadás”: 8 és 4.

Az eredmény első két számjegyét úgy kapjuk meg, hogy egyszerűen kivonjuk a szorzó „kiegészítését” a szorzóból, vagy fordítva; azaz 92-ből 4-et, 96-ból 8-at vonunk le.

Mindkét esetben 88; ehhez a számhoz hozzáadjuk a „kiegészítések” szorzatát: 8X4 = 32. A 8832 eredményt kapjuk.

Hogy a kapott eredménynek helyesnek kell lennie, az jól látható a következő átalakításokból:

92x9b = 88x96 = 88(100-4) = 88x100-88x4

1 4x96 = 4 (88 + 8) = 4x 8 + 88x4 92x96 8832+0

Egy másik példa. A 78-at meg kell szoroznia 77-tel: tényezők: 78 és 77 „összeadások”: 22 és 23.

78-23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Harmadik példa. Szorozd meg 99x9-el.

szorzók: 99 és 98 „extrák”: 1 és 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

Ebben az esetben emlékeznünk kell arra, hogy a 97 itt százas számot jelent. Tehát összeadjuk.

A szorzás indiai módja

A matematikai tudás kincstárához a legértékesebb hozzájárulás Indiában történt. A hinduk azt a módszert javasolták, amellyel számokat írhatunk tíz jellel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Ennek a módszernek az alapja az az elképzelés, hogy ugyanaz a számjegy egységet, tízet, százat vagy ezret jelent, attól függően, hogy a számjegy hol helyezkedik el. Az elfoglalt helyet számjegyek hiányában a számokhoz rendelt nullák határozzák meg.

Az indiánok remekül tudtak számolni. Nagyon egyszerű módszert találtak ki a szorzásra. A szorzást a legjelentősebb számjegytől kezdve végezték, a hiányos szorzatokat pedig a szorzószám fölé írták fel, apránként. Ebben az esetben a komplett termék legjelentősebb számjegye azonnal látható volt, ráadásul az esetleges számjegyek kihagyása is megszűnt. A szorzójelet még nem ismerték, ezért hagytak egy kis távolságot a tényezők között. Például az 537-es módszerrel szorozzuk meg őket 6-tal:

Szorzás a „KIS VÁR” módszerrel

A matematika évezredes fejlődése során számos módszert találtak fel a számok szorzására. Luca Pacioli olasz matematikus „Az aritmetika, az arányok és az arányosság összege” című értekezésében (1494) nyolc különböző szorzási módszert ad meg. Az elsőt „Kisvárnak”, a másodikat pedig nem kevésbé romantikusan „Féltékenységnek vagy rácsos szorzásnak” hívják.

A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.

MBOU "Iskolaiskola" Volnoye" Kharabalinsky kerület, Astrakhan régió

Projekt a következőn:

« Szokatlan szaporodási módokés én»

A munkát befejezte:

5. osztályos tanulók :

Tuleseva Amina,

Szultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R projekt menedzser:

matematika tanár

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 év .

„Minden szám” – Pythagoras

Bevezetés

A 21. században elképzelhetetlen egy olyan ember élete, aki nem végez számításokat: vannak köztük eladók, könyvelők és hétköznapi iskolások.

Szinte bármilyen tantárgy iskolai tanulása jó matematikai tudást igényel, enélkül pedig lehetetlen ezeket a tárgyakat elsajátítani. A matematikában két elem dominál - a számok és az ábrák végtelen sokféle tulajdonsággal és a velük végzett műveletekkel.

Szerettünk volna többet megtudni a matematikai műveletek történetéről. Most, hogy a számítástechnika rohamosan fejlődik, sokan nem akarják magukat fejszámolással kínlódni. Ezért úgy döntöttünk, hogy nemcsak azt mutatjuk meg, hogy maga a műveletek végrehajtásának folyamata is érdekes lehet, hanem azt is, hogy a gyors számolás technikáinak alapos elsajátítása után versenyezhet a számítógéppel.

A téma aktualitása abban rejlik, hogy a nem szabványos technikák alkalmazása a számítási készségek kialakításában növeli a tanulók matematika iránti érdeklődését és elősegíti a matematikai képességek fejlődését.

A munka célja:

ÉStanuljon meg néhány nem szabványos szorzási technikát, és mutassa meg, hogy ezek használata racionálissá és érdekessé teszi a számítási folyamatotés amelyek kiszámításához elegendő a fejben történő számítás vagy a ceruza, toll és papír használata.

Hipotézis:

EHa őseink tudták, hogyan kell az ősi módszerekkel szaporodni, akkor a probléma szakirodalmának áttanulmányozása után egy modern iskolás megtanulhatja ezt, vagy szükség van valamilyen természetfeletti képességre?

Feladatok:

1. Találjon szokatlan módokat a szaporodásra.

2. Tanuld meg alkalmazni őket.

3. Válaszd ki magadnak az iskolában kínáltaknál a legérdekesebbet vagy könnyebbet, és használd ezeket a számolásnál!

4. Tanítsd meg az osztálytársakat az új használatáraeútsszorzás.

A vizsgálat tárgya: matematikai műveleti szorzás

Tanulmányi tárgy: szorzási módszerek

Kutatási módszerek:

Keresési módszer tudományos és oktatási irodalom, az internet felhasználásával;

Kutatási módszer a szorzási módszerek meghatározásában;

Gyakorlati módszer a példák megoldására;

- - a válaszadók felmérése a nem szabványos szorzási módszerek ismereteiről.

Történelmi hivatkozás

Vannak rendkívüli képességekkel rendelkező emberek, akik felvehetik a versenyt a számítógéppel a fejben végzett számítások sebességében. Ezeket „csodaszámlálóknak” hívják. És sok ilyen ember van.

Azt mondják, hogy Gauss apja, amikor a hét végén fizetett dolgozóinak, minden napi keresethez hozzáadta a túlórákért járó fizetést. Egy napon, miután Gauss atya befejezte a számításait, egy 3 éves gyermek, aki az apja műveleteit követte, felkiáltott: „Apa, a számítás nem helyes! Ennyinek kell lennie!” A számításokat megismételték, és meglepődve láttuk, hogy a fiú a helyes összeget tüntette fel.

A 20. század elején Oroszországban a „számítások mágusa”, az Arrago álnéven ismert Roman Semenovich Levitan tündökölt ügyességével. A fiú egyedi képességei már korán megjelentek. Néhány másodperc alatt tízjegyű számokat négyzetbe és kockába vágott, és különböző fokú gyököket húzott ki. Úgy tűnt, mindezt rendkívüli könnyedséggel tette. De ez a könnyedség megtévesztő volt, és sok agyi munkát igényelt.

2007-ben az akkor 2,5 éves Mark Cherry az egész országot lenyűgözte intellektuális képességeivel. A „Minute of Fame” show fiatal résztvevője fejben könnyedén számolta meg a többjegyű számokat, ezzel megelőzve szüleit és a számológépet használó zsűrit a számításokban. Már kétéves korában elsajátította a koszinusz- és szinusztáblázatot, valamint néhány logaritmust.

Az Ukrán Tudományos Akadémia Kibernetikai Intézetében versenyeket rendeztek számítógépek és emberek között. A versenyen egy fiatal ellenjelenség, Igor Shelushkov és a ZVM „Mir” vett részt. A gép néhány másodperc alatt számos összetett műveletet hajtott végre, de a győztes Igor Shelushkov lett.

Az indiai Sydney Egyetem ember-gép versenynek is otthont adott. Shakuntala Devi is megelőzte a számítógépet.

A legtöbb ilyen ember kiváló memóriával és tehetséggel rendelkezik. Néhányuk azonban nem rendelkezik speciális matematikai képességekkel. Tudják a titkot! És ez a titok abban rejlik, hogy megtanulták a gyors számolás technikáját, és több speciális képletet is megjegyeztek. Ez azt jelenti, hogy ezekkel a technikákkal mi is gyorsan és pontosan tudunk számolni.

A szorzás és osztás műveletei különösen nehézkesek voltak a régi időkben. Akkor nem volt egyetlen gyakorlat által kifejlesztett módszer minden egyes akcióhoz.

Ellenkezőleg, közel egy tucat különböző szorzási és osztási módszert használtak egyszerre - egyik bonyolultabb technikát a másiknál, amire egy átlagos képességű ember nem tudott emlékezni. Minden számlálótanár ragaszkodott kedvenc technikájához, minden „osztásmester” (voltak ilyen szakemberek) dicsérte a saját módját ennek a műveletnek.

Nézzük meg a szorzás legérdekesebb és legegyszerűbb módjait.

Régi orosz szorzási módszer az ujjakon

Ez az egyik leggyakrabban használt módszer, amelyet az orosz kereskedők évszázadok óta sikeresen alkalmaznak.

A módszer alapelve: egyjegyű számok szorzása 6-tól 9-ig az ujjakon.Az ujjak itt segédszámítógépként szolgáltak.

A 9-es szám szorzása nagyon könnyen reprodukálható „ujjain”

Racsillagokazokujjait mindkét kezére, és fordítsa el a kezét úgy, hogy a tenyere öntől elfelé nézzen. Gondolatban rendeljen 1-től 10-ig terjedő számokat az ujjaihoz, kezdve a bal keze kisujjával és a jobb keze kisujjával végződve. Tegyük fel, hogy meg akarjuk szorozni a 9-et 6-tal. Hajlítsuk meg az ujjunkat egy számmal, amely megegyezik azzal a számmal, amellyel kilencet megszorozunk. Példánkban a 6-os számú ujjat kell behajlítanunk. A hajlított ujjtól balra lévő ujjak száma a válaszban szereplő tízesek számát mutatja, a jobb oldali ujjak száma pedig az egyesek számát. A bal oldalon 5 nem hajlított ujjunk van, a jobb oldalon - 4 ujjunk. Így 9·6=54.

Szorzás 9-cel notebook cellák használatával

Vegyünk például 10 cellát egy jegyzetfüzetben. Húzd át a 8. cellát. A bal oldalon 7, a jobb oldalon 2 cella maradt. Tehát 9·8=72. Minden nagyon egyszerű!

7 2

Szorzási módszer "Kis kastély"

A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.A felső szám számjegyeit a legjelentősebb számjegytől kezdve sorra megszorozzuk az alsó számmal, és egy oszlopba írjuk a szükséges számú nullával. Az eredményeket ezután összeadják.

"Rács szorzás"

Először egy téglalapot rajzolunk, amelyet négyzetekre osztunk, és a téglalap oldalainak mérete megfelel a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek számának.

Ezután a négyzet alakú cellákat átlósan felosztjuk, és „... olyan képet kapunk, amely úgy néz ki, mint egy rácsos redőny. Ilyen redőnyöket akasztottak a velencei házak ablakaira..."

"orosz paraszti mód"

Oroszországban a parasztok körében elterjedt volt egy olyan módszer, amely nem követelte meg a teljes szorzótábla ismeretét. Csak a számok 2-vel való szorzásának és osztásának képességére van szüksége.

Egy sorba írjunk egy számot a bal oldalra, egy másikat a jobb oldalra. A bal oldali számot elosztjuk 2-vel, a jobb oldali számot megszorozzuk 2-vel, és az eredményeket egy oszlopba írjuk.

Ha az osztás során maradvány keletkezik, akkor azt el kell dobni. A szorzást és az osztást 2-vel addig folytatjuk, amíg a bal oldalon 1 nem marad.

Ezután kihúzzuk azokat a sorokat az oszlopból, amelyekben páros számok vannak a bal oldalon. Most adja össze a fennmaradó számokat a jobb oldali oszlopban.

Ez a szorzási módszer sokkal egyszerűbb, mint a korábban tárgyalt szorzási módszerek. De nagyon terjedelmes is.

"Kereszttel szorzás"

Az ókori görögök és hinduk az ókorban a keresztszorzás technikáját „villámmódszernek” vagy „kereszttel való szorzásnak” nevezték.

24 és 32

2 4

3 2

4x2=8 - az eredmény utolsó számjegye;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 az eredmény utolsó előtti számjegye, ne feledje az egységet;

2x3=6 és egy szám, amit szem előtt tartunk, 7-et kapunk - ez az eredmény első számjegye.

A termék összes számát megkapjuk: 7,6,8. Válasz:768.

A szorzás indiai módja

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Ennek a módszernek az alapja az az elképzelés, hogy ugyanaz a számjegy egységet, tízet, százat vagy ezret jelent, attól függően, hogy a számjegy hol helyezkedik el. Az elfoglalt területet számjegyek hiányában a számokhoz rendelt nullák határozzák meg.

UA szorzást a legmagasabb számjegytől kezdjük, és a hiányos szorzatokat közvetlenül a szorzó fölé írjuk, apránként. Ebben az esetben a teljes termék legjelentősebb számjegye azonnal látható, ráadásul a hiányzó számjegyek kiküszöbölésre kerülnek. A szorzójelet még nem ismerték, így a tényezők között kis távolságot hagytak

Kínai (rajzi) szorzási módszer

1. számú példa: 12 × 321 = 3852
Rajzoljunkelső szám fentről lefelé, balról jobbra: egy zöld bot (1 ); két narancssárga rúd (2 ). 12 rajzolt
Rajzoljunkmásodik szám alulról felfelé, balról jobbra: három kis kék pálcika (3 ); két piros (2 ); egy lila (1 ). 321 rajzolt

Most menjünk végig a rajzon egy egyszerű ceruzával, osszuk fel részekre a pálcaszámok metszéspontjait, és kezdjük el számolni a pontokat. Mozgás jobbról balra (óramutató járásával megegyezően):2 , 5 , 8 , 3 . Eredmény száma balról jobbra (az óramutató járásával ellentétes irányba) fogjuk „gyűjteni”, amit kaptunk3852

2. példa: 24 × 34 = 816
Ebben a példában vannak árnyalatok;-) Az első rész pontjainak számolásakor kiderült16 . Küldünk egyet és hozzáadjuk a második rész pontjaihoz (20 + 1 )…

3. példa: 215 × 741 = 159315

Miközben a projekten dolgoztunk, felmérést végeztünk. A tanulók az alábbi kérdésekre válaszoltak.

1. A mai embernek szüksége van fejszámolásra??

IgenNem

2. A hosszú szorzáson kívül tudsz más szorzási módokat is?

IgenNem

3. Használod őket??

IgenNem

4. Szeretné tudni, hogy más módon is szaporíthat??

Nem igazán

5-10. osztályos tanulókat kérdeztünk meg.

Ez a felmérés azt mutatta, hogy a modern iskolások nem ismerik a cselekvések egyéb módjait, mivel ritkán fordulnak az iskolai tananyagon kívüli anyagokhoz.

Következtetés:

A matematika történetében számos érdekes esemény, felfedezés történik, sajnos ezek az információk nem jutnak el hozzánk, modern diákokhoz.

Ezzel a munkával ezt a hiányt kívántuk legalább egy kicsit pótolni, és az ősi szorzási módszerekről információkat közölni társainkkal.

A robot során megismertük a szorzás műveletének eredetét. Régen nem volt könnyű feladat elsajátítani ezt a cselekvést, akkoriban, ahogy most sem, még nem volt gyakorlat által kifejlesztett technika. Ellenkezőleg, egyszerre csaknem egy tucat különböző szorzási módszert alkalmaztak – egyik bonyolultabb, mint a másik, határozottan, amire egy átlagos képességű ember nem tudott emlékezni. Minden számolás tanár ragaszkodott kedvenc technikájához, minden „mester” (voltak ilyen szakemberek) dicsérte a saját módját ennek a műveletnek. Még azt is felismerték, hogy a többjegyű számok gyors és pontos szorzásának művészetének elsajátításához különleges természetes tehetség, kivételes képességek szükségesek; Ez a bölcsesség hozzáférhetetlen a hétköznapi emberek számára.

Munkánkkal bebizonyítottuk, hogy hipotézisünk helyes, nem kell természetfeletti képességekkel rendelkezni ahhoz, hogy használni tudd az ősi szorzási módszereket. Megtanultuk továbbá az anyag kiválasztását, feldolgozását, vagyis a lényeg kiemelését, rendszerezését.

Miután megtanultunk minden bemutatott módon számolni, arra a következtetésre jutottunk, hogy a legegyszerűbb módszerek azok, amelyeket az iskolában tanulunk, vagy talán csak megszoktuk őket.

A modern szorzási módszer egyszerű és mindenki számára elérhető.

De úgy gondoljuk, hogy az oszlopos szorzás módszerünk nem tökéletes, és még gyorsabb és megbízhatóbb módszereket tudunk kitalálni.

Lehetséges, hogy sokan nem tudják gyorsan, a helyszínen elvégezni ezeket vagy más számításokat első alkalommal.

Nincs mit. Folyamatos számítástechnikai képzésre van szükség. Hasznos fejszámolási ismeretek elsajátításában segít!

Bibliográfia

1. Glazer, G. I. A matematika története az iskolában ⁄ G. I. Glazer ⁄⁄ A matematika története az iskolában: kézikönyv tanároknak ⁄ V. N. Molodshy szerkesztésében. – M.: Nevelés, 1964. – 376. o.

Perelman Ya. I. Szórakoztató aritmetika: Rejtvények és csodák a számok világában. – M.: Rusanova Kiadó, 1994. – 142. o.

Enciklopédia gyerekeknek. T. 11. Matematika / Fejezet. szerk. M. D. Aksenova. – M.: Avata+, 2003. – 130. o.

„Matematika” folyóirat 2011. 15. szám

Internetes források.

Néhány gyors módszer szóbeli szorzás Már kitaláltuk, most nézzük meg közelebbről, hogyan lehet gyorsan számokat szorozni fejben különféle segédmódszerekkel. Lehet, hogy már ismeri, és néhányuk egészen egzotikus, például az ősi kínai számszorzási módszer.

Elrendezés rangok szerint

Ez a legegyszerűbb technika a kétjegyű számok gyors szorzására. Mindkét tényezőt tízesre és egyesre kell osztani, majd ezeket az új számokat meg kell szorozni egymással.

Ez a módszer megköveteli, hogy egyszerre legfeljebb négy számot tároljon a memóriában, és ezekkel a számokkal tudjon számításokat végezni.

Például számokat kell szoroznia 38 És 56 . Mi így csináljuk:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Még egyszerűbb lesz kétjegyű számok szóbeli szorzása három művelettel. Először meg kell szorozni a tízeseket, majd össze kell adni két egyes szorzatát tízessel, majd az egyesek szorzatát eggyel. Ez így néz ki: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 A módszer sikeres használatához jól kell ismerni a szorzótáblát, gyorsan kell tudni két- és háromjegyű számokat összeadni, és a matematikai műveletek között váltani anélkül, hogy elfelejtené a közbenső eredményeket. Az utolsó készség segítséggel és vizualizációval érhető el.

Ez a módszer nem a leggyorsabb és leghatékonyabb, ezért érdemes más szóbeli szorzási módokat is megvizsgálni.

A számok illesztése

Megpróbálhatja az aritmetikai számítást kényelmesebb formába hozni. Például a számok szorzata 35 És 49 így lehet elképzelni: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Lehet, hogy ez a módszer hatékonyabb, mint az előző, de nem univerzális és nem minden esetben alkalmas. Nem mindig lehet megfelelő algoritmust találni a probléma egyszerűsítésére.

Ebben a témában eszembe jutott egy anekdota arról, hogy egy matematikus elhajózott a folyón egy farm mellett, és azt mondta beszélgetőpartnereinek, hogy gyorsan meg tudja számolni az ólban lévő birkák számát, 1358 bárányt. Amikor megkérdezték tőle, hogyan csinálta, azt mondta, hogy egyszerű - meg kell számolni a lábak számát, és el kell osztani 4-gyel.

Az oszlopos szorzás megjelenítése

Ez az egyik leguniverzálisabb módja a számok szóbeli szorzásának, fejleszti a térbeli képzeletet és a memóriát. Először is meg kell tanulnod megszorozni a kétjegyű számokat egyjegyű számokkal egy oszlopban a fejedben. Ezek után könnyedén, három lépésben szorozhatja meg a kétjegyű számokat. Először egy kétjegyű számot meg kell szorozni egy másik szám tízesével, majd meg kell szorozni egy másik szám egységeivel, majd össze kell adni a kapott számokat.

Ez így néz ki: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Vizualizáció számrendezéssel

A kétjegyű számok szorzásának egy nagyon érdekes módja a következő. Sorozatosan meg kell szoroznia a számjegyeket számokban, hogy százakat, egyeseket és tízeseket kapjon.

Tegyük fel, hogy szorozni kell 35 tovább 49 .

Először te szorozod 3 tovább 4 , kapsz 12 , akkor 5 És 9 , kapsz 45 . Felvétel 12 És 5 , köztük szóközzel, és 4 emlékezik.

Megkapod: 12 __ 5 (emlékezik 4 ).

Most te szaporodsz 3 tovább 9 , És 5 tovább 4 , és összefoglalva: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Most kell 47 add hozzá 4 amire emlékezünk. Kapunk 51 .

Mi írunk 1 közepén és 5 add hozzá 12 , kapunk 17 .

Összességében a keresett szám 1715 , ez a válasz:

35 * 49 = 1715
Próbáld meg szorozni a fejedben ugyanígy: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Kínai vagy japán szorzás

Az ázsiai országokban a számokat nem oszlopban, hanem vonalak húzásával szokás szorozni. A keleti kultúrák számára fontos a szemlélődés és a vizualizáció vágya, valószínűleg ezért találtak ki egy olyan gyönyörű módszert, amellyel bármilyen számot meg lehet szorozni. Ez a módszer csak első pillantásra bonyolult. Valójában a nagyobb áttekinthetőség lehetővé teszi, hogy ezt a módszert sokkal hatékonyabban használja, mint az oszlopokkal való szorzás.

Ráadásul ennek az ősi keleti módszernek az ismerete növeli műveltségét. Egyetértek, nem mindenki büszkélkedhet azzal, hogy ismeri az ősi szorzórendszert, amelyet a kínaiak 3000 évvel ezelőtt használtak.

Videó arról, hogyan szorozzák a kínaiak a számokat

Bővebb információt a „Minden kurzus” és a „Segédprogramok” rovatban kaphat, melyeket az oldal felső menüjéből érhet el. Ezekben a részekben a cikkek témakörök szerint vannak csoportosítva blokkokba, amelyek a legrészletesebb (lehetőleg) információkat tartalmazzák a különböző témákról.

Feliratkozhat a blogra, és értesülhet az összes új cikkről.
Nem sok időt vesz igénybe. Csak kattintson az alábbi linkre: