Opštinska budžetska obrazovna ustanova

Srednja škola sa. Shlanly

Opštinski okrug Aurgazinski okrug Republike Bjelorusije

Istraživački rad

"NEOBIČNI NAČINI MNOŽENJA"

Vasiliev Nikolay

Supervizor -

2013-2014 akademska godina G.

1. Uvod……………………………………………………………......

2. Neobični načini množenja…………………………………………

1) Malo istorije………..………..……………………………………………..

2) Množenje sa 9 ………………………………………………………….

3) Množenje na prstima…………………………………………………………………………

4) Pitagorina tablica ………………………………………………………

5) Sto okonešnjikova………………………………………………………….

6) Seljački način množenja………………………………………....

7) Množenje metodom “Mali dvorac”………….……………….

8) Množenje metodom “ljubomora”………………………………………………………………….

9) Kineski način množenja …………………………………………

10) Japanski način množenja …………………………………………

3. Zaključak………………………………………………………………………………………

4. Spisak referenci………………………………………………………………….

Uvod

Čovjeku je nemoguće bez kalkulacija u svakodnevnom životu. Stoga nas na časovima matematike prije svega uče da izvodimo operacije nad brojevima, odnosno brojimo. Množimo, dijelimo, sabiramo i oduzimamo na uobičajene načine koji se uče u školi.

Jednog dana sam slučajno naišla na stranicu na internetu sa neobičnom metodom množenja koju koriste djeca u Kini (kako tamo piše). Čitala sam, proučavala i svidjela mi se ova metoda. Pokazalo se da možete množiti ne samo onako kako nam sugeriraju u udžbenicima matematike. Pitao sam se da li postoje neke druge metode izračunavanja. Uostalom, sposobnost brzog izvođenja proračuna je iskreno iznenađujuća.

Stalna upotreba savremene kompjuterske tehnologije dovodi do toga da studenti teško mogu da izvrše bilo kakve proračune, a da nemaju na raspolaganju tablice ili računsku mašinu. Poznavanje pojednostavljenih tehnika proračuna omogućava ne samo brzo izvođenje jednostavnih proračuna u umu, već i kontrolu, procjenu, pronalaženje i ispravljanje grešaka kao rezultat mehaniziranih proračuna. Osim toga, ovladavanje računalnim vještinama razvija pamćenje, povećava nivo matematičke kulture mišljenja i pomaže u potpunom savladavanju predmeta fizičko-matematičkog ciklusa.

Cilj rada:

Pokažite neobične načine množenja.

Zadaci:

Ø Pronađite što više neobičnih metoda izračunavanja.

Ø Naučite ih koristiti.

Ø Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola i koristite ih prilikom brojanja.

Pitao sam se da li savremeni školarci, moji drugovi iz razreda i drugi, znaju druge načine za izvođenje računskih operacija osim množenja kolonom i dijeljenja „uglom“ i da li bi željeli naučiti nove načine? Uradio sam usmenu anketu. Anketirano je 20 učenika 5-7 razreda. Ovo istraživanje je pokazalo da savremeni školarci ne poznaju druge načine izvođenja radnji, jer se rijetko okreću gradivu van školskog programa.

Rezultati ankete:

https://pandia.ru/text/80/266/images/image002_6.png" align="left" width="267" height="178 src=">

2) a) Znate li množiti, sabirati,

https://pandia.ru/text/80/266/images/image004_2.png" align="left" width="264 height=176" height="176">

3) želite da znate?

Neobični načini množenja.

Malo istorije

Metode izračunavanja koje sada koristimo nisu uvijek bile tako jednostavne i zgodne. U starim danima koristile su se glomaznije i sporije tehnike. A kada bi školarac 21. veka mogao da putuje pet vekova unazad, zadivio bi naše pretke brzinom i preciznošću svojih proračuna. Glasine o njemu proširile bi se po okolnim školama i manastirima, pomračivši slavu najveštijih kalkulatora tog doba, a ljudi bi dolazili sa svih strana da uče kod novog velikog majstora.

Operacije množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena. Tada nije postojala jedinstvena metoda koju je praksa razvila za svaku akciju. Naprotiv, bilo je u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja i dijeljenja u isto vrijeme – tehnika koje su jedna složenije od druge, koje osoba prosječnih sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja držao se svoje omiljene tehnike, svaki „majstor podjele“ (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način izvođenja ove radnje.

U knjizi V. Bellustina “Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike” ocrtano je 27 metoda množenja, a autor napominje: “Vrlo je moguće da postoje i druge metode skrivene u udubljenjima knjižara, rasutih u brojnim, uglavnom rukom pisanim kolekcije.”

I sve ove metode množenja - "šah ili orgulje", "preklapanje", "križ", "rešetka", "pozadi naprijed", "dijamant" i druge su se takmičile jedni s drugima i naučile su se s velikim poteškoćama.

Pogledajmo najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.

Pomnožite sa 9

Množenje za broj 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - lakše je zaboraviti iz memorije i teže je ručno ponovo izračunati metodom sabiranja, međutim, posebno za broj 9, množenje se lako reproducira "na prste". Raširite prste na obe ruke i okrenite ruke sa dlanovima okrenutim od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke (ovo je prikazano na slici).

kalkulacije."

mašina za brojanje" prsti ne moraju nužno viriti. Uzmimo, na primjer, 10 ćelija u bilježnici. Precrtaj 8. ćeliju. lijevo je 7 ćelija, desno 2 ćelije. Dakle, 9 8 = 72. Sve je veoma jednostavno.

7 ćelija 2 ćelije.

Množenje na prstima

Staroruska metoda množenja na prstima jedna je od najčešće korištenih metoda, koju su ruski trgovci uspješno koristili dugi niz stoljeća. Naučili su da prstima množe jednocifrene brojeve od 6 do 9. U ovom slučaju bilo je dovoljno imati osnovne vještine brojanja prstiju u „jedinicama“, „parovima“, „trojkama“, „četvorkama“, „peticama“ i “desetice”. Prsti su ovdje služili kao pomoćni računarski uređaj.

Da bi to učinili, s jedne strane su pružili onoliko prstiju koliko je prvi faktor veći od broja 5, a na drugoj su isto učinili za drugi faktor. Preostali prsti su savijeni. Zatim je uzet broj (ukupno) ispruženih prstiju i pomnožen sa 10, zatim su brojevi množeni, pokazujući koliko je prstiju savijeno, a rezultati se zbrajaju.

Na primjer, pomnožimo 7 sa 8. U razmatranom primjeru, 2 i 3 prsta će biti savijena. Ako saberete broj savijenih prstiju (2+3=5) i pomnožite broj nesavijenih (2 3=6), dobićete brojeve desetica i jedinica željenog proizvoda 56, respektivno. Na ovaj način možete izračunati proizvod bilo kojeg jednocifrenog broja većeg od 5.

Pitagorina tablica

Prisjetimo se glavnog pravila staroegipatske matematike, koje kaže da se množenje vrši udvostručavanjem i sabiranjem dobivenih rezultata; to jest, svako udvostručenje je dodavanje broja samom sebi. Stoga je zanimljivo pogledati rezultat ovakvog udvostručavanja brojeva i cifara, ali dobivenog modernom metodom savijanja „u stupcu“, poznatom još u osnovnim razredima škole.

Okoneshnikov sto

Učenici će moći da nauče da verbalno sabiraju i množe milione, milijarde, pa čak i sekstilione i kvadrilione. A u tome će im pomoći i kandidat filozofskih nauka Vasilij Okonešnjikov, koji je i izumitelj novog mentalnog sistema brojanja. Naučnik tvrdi da je osoba sposobna zapamtiti ogromnu količinu informacija, glavna stvar je kako urediti te informacije.

Prema samom naučniku, najpovoljniji u tom pogledu je devetostruki sistem - svi podaci se jednostavno smještaju u devet ćelija, smještenih poput dugmadi na kalkulatoru.

Prema naučniku, prije nego što postane kompjuterski "kompjuter", potrebno je zapamtiti tabelu koju je napravio. Brojevi u njemu su raspoređeni u devet ćelija na neugodan način. Prema Okonešnjikovu, ljudsko oko i njegovo pamćenje su tako pametno dizajnirani da se informacije raspoređene prema njegovoj metodi pamte, prvo, brže, a drugo, čvršće.

Tabela je podijeljena na 9 dijelova. Nalaze se po principu mini kalkulatora: "1" u donjem lijevom uglu, "9" u gornjem desnom uglu. Svaki dio je tablica za množenje brojeva od 1 do 9 (opet u donjem lijevom kutu za 1, pored desnog za 2, itd., koristeći isti sistem “push-dugme”). Kako ih koristiti?
Na primjer, potrebno je pomnožiti 9 on 842 . Odmah se setimo velikog “dugma” 9 (gore desno je i na njemu mentalno pronalazimo mala dugmad 8,4,2 (takođe se nalaze kao na kalkulatoru). Odgovaraju brojevima 72, 36, 18 Dobivene brojeve dodajemo odvojeno: prva znamenka je 7 (ostaje nepromijenjena), 2 se mentalno dodaje na 3, dobivamo 5 - ovo je druga znamenka rezultata, 6 se dodaje na 1, dobivamo treću cifru - 7, a zadnja cifra željenog broja ostaje - 8. Rezultat je 7578.
Ako se pri sabiranju dvije znamenke dobije broj veći od devet, tada se njegova prva znamenka dodaje prethodnoj znamenki rezultata, a druga se upisuje na svoje „vlastito“ mjesto.

Koristeći Okonešnjikovljevu matričnu tablicu, prema samom autoru, možete proučavati strane jezike, pa čak i periodni sistem. Nova tehnika je testirana u nekoliko ruskih škola i univerziteta. Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije dozvolilo je objavljivanje nove tablice množenja u kariranim sveskama uz uobičajenu Pitagorinu tablicu - za sada samo za upoznavanje.

Primjer : 15647 x 5

https://pandia.ru/text/80/266/images/image015_0.jpg" alt="Figure5" width="220 height=264" height="264"> 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.!}

Množenje metodom “MALI DVORAC”.

Množenje brojeva se sada uči u prvom razredu škole. Ali u srednjem vijeku, vrlo malo njih je ovladalo umijećem množenja. Bio je to rijedak aristokrata koji se mogao pohvaliti poznavanjem tablice množenja, čak i ako je diplomirao na europskom univerzitetu.

Tokom milenijuma razvoja matematike, izmišljeni su mnogi načini množenja brojeva. Italijanski matematičar Luca Pacioli, u svojoj raspravi "Summa of Arithmetic, Ratios and Proportionality" (1494), daje osam različitih metoda množenja. Prvi od njih se zove "Mali dvorac", a drugi se ne manje romantično naziva "Ljubomora ili umnožavanje rešetki".

Prednost metode množenja “Mali dvorac” je u tome što se vodeće znamenke određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.

Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije cifre, množe se redom s donjim brojem i upisuju u kolonu sa dodanim potrebnim brojem nula. Rezultati se zatim zbrajaju.

Množenje brojeva metodom "ljubomore".

https://pandia.ru/text/80/266/images/image018.jpg" width="303" height="192 id=">.jpg" width="424 height=129" height="129">

3. Ovako izgleda mreža sa popunjenim svim ćelijama.

Mreža 1

4. Na kraju, zbrojite brojeve koji slijede dijagonalne pruge. Ako zbir jedne dijagonale sadrži desetice, dodajte ih sljedećoj dijagonali.

Grid1

Od rezultata zbrajanja brojeva duž dijagonala (označeni su žutom bojom) formira se broj 2355315 , što je proizvod brojeva 6827 i 345, to je 6827 x 345 = 2355315.

Kineski način množenja

Sada zamislimo metodu množenja, o kojoj se intenzivno raspravlja na internetu, a koja se naziva kineska metoda. Prilikom množenja brojeva računaju se presječne točke pravih koje odgovaraju broju cifara svake cifre oba faktora.

https://pandia.ru/text/80/266/images/image024_0.png" width="92" height="46"> Primjer : množimo se 21 on 13 . Prvi faktor sadrži 2 desetice i 1 jedinicu, što znači da gradimo 2 paralelne i 1 ravnu na udaljenosti.

Prave se seku u tačkama čiji je broj odgovor, tj 21 x 13 = 273

Smiješno je i zanimljivo, ali crtanje 9 pravih linija pri množenju sa 9 je nekako dugo i nezanimljivo, a zatim brojanje presječnih tačaka... Općenito, ne možete bez tablice množenja!

Japanski način množenja

Japanska metoda množenja je grafička metoda koja koristi krugove i linije. Ništa manje smiješan i zanimljiv od kineskih. Čak donekle sličan njemu.

primjer: množimo se 12 on 34. Pošto je drugi faktor dvocifreni broj, a prva cifra prvog faktora 1 , konstruiramo dva pojedinačna kruga u gornjem redu i dva binarna kruga u donjem redu, jer je druga znamenka prvog faktora jednaka 2 .

12 x 34

Broj dijelova na koje su krugovi podijeljeni je odgovor, tj 12 x 34 = 408.

Od svih neobičnih metoda brojanja koje sam pronašao, metoda „množenja mreže ili ljubomore“ činila mi se zanimljivijom. Pokazala sam je svojim kolegama iz razreda i i njima se jako svidjelo.

Činilo mi se da je najjednostavniji metod „udvostručavanje i cepanje“, koji su koristili ruski seljaci. Koristim ga pri množenju ne prevelikih brojeva (vrlo je zgodno koristiti ga pri množenju dvocifrenih brojeva).

Mislim da naša metoda množenja po stupcu nije savršena i možemo smisliti još brže i pouzdanije metode.

Književnost

1. “Priče o matematici.” – Lenjingrad: Prosveta, 1954. – 140 str.

2. Fenomen ruskog umnožavanja. Priča. http://numbernautics. ru/

3. “Drevni zabavni problemi.” – M.: Nauka. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, 1985. – 160 str.

4. Perelmanov račun. Trideset jednostavnih tehnika mentalnog brojanja. L., 1941. - 12 str.

5. Perelmanova aritmetika. M. Rusanova, 1994--205 str.

6. Enciklopedija „Istražujem svijet. matematike“. – M.: Astrel Ermak, 2004.

7. Enciklopedija za djecu. "Matematika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 str.

Svijet matematike je veoma velik, ali oduvijek su me zanimale metode množenja. Radeći na ovoj temi, naučio sam mnogo zanimljivih stvari i naučio da odaberem materijal koji mi je potreban iz pročitanog. Naučio sam kako na različite načine rješavati određene zabavne zadatke, zagonetke i primjere množenja, kao i na čemu se baziraju aritmetički trikovi i intenzivne tehnike računanja.

O MNOŽENJU

Šta većini ljudi ostaje u mislima od onoga što su nekada učili u školi? Naravno, različito je za različite ljude, ali svi vjerovatno imaju tablicu množenja. Pored napora uloženih da ga „izbušimo“, prisjetimo se stotina (ako ne i hiljada) problema koje smo uz njegovu pomoć riješili. Prije tri stotine godina u Engleskoj se osoba koja je poznavala tablice množenja već smatrala učenom osobom.

Izmišljene su mnoge metode množenja. Italijanski matematičar s kraja 15. - početka 16. stoljeća, Luca Pacioli, u svojoj raspravi o aritmetici, daje 8 različitih metoda množenja. U prvom, koji se zove "mali dvorac", cifre gornjeg broja, počevši od najvećeg, pomnože se redom s donjim brojem i upisuju u kolonu s dodanim potrebnim brojem nula. Rezultati se zatim zbrajaju. Prednost ove metode u odnosu na uobičajenu je u tome što se brojevi najznačajnijih cifara određuju od samog početka, a to može biti važno za grube proračune.

Druga metoda ima ništa manje romantično ime "ljubomora" (ili množenje mreže). Ucrtava se rešetka u koju se zatim unose rezultati međuproračuna, tačnije brojevi iz tablice množenja. Mreža je pravougaonik podijeljen na kvadratne ćelije, koje su dijagonalama podijeljene na pola. Prvi faktor je napisan lijevo (od vrha do dna), a drugi na vrhu. Na presjeku odgovarajućeg reda i stupca ispisan je proizvod brojeva u njima. Zatim su rezultirajući brojevi zbrajani duž nacrtanih dijagonala, a rezultat je upisan na kraju takvog stupca. Rezultat je očitan duž donje i desne strane pravougaonika. “Takva rešetka,” piše Luca Pacioli, “podsjeća na rešetkaste kapke koje su bile obješene na venecijanske prozore, sprečavajući prolaznike da vide dame i časne sestre kako sjede na prozorima.”

Sve metode množenja opisane u knjizi Luce Paciolija koristile su tablicu množenja. Međutim, ruski seljaci su znali kako se množe bez stola. Njihova metoda množenja koristila je samo množenje i dijeljenje sa 2. Da bi se pomnožila dva broja, pisali su se jedan pored drugog, a zatim je lijevi broj podijeljen sa 2, a desni pomnožen sa 2. Ako je dijeljenje rezultiralo ostatkom, odbačeno je. Zatim su oni redovi u lijevoj koloni koji sadrže parne brojeve precrtani. Preostali brojevi u desnoj koloni su zbrojeni. Rezultat je bio proizvod originalnih brojeva. Provjerite na nekoliko parova brojeva da li je to zaista tako. Dokaz validnosti ove metode prikazan je korišćenjem binarnog brojevnog sistema.

Drevna ruska metoda množenja.

Od davnina, pa sve do osamnaestog veka, ruski ljudi su računali bez množenja i dijeljenja: koristili su samo dvije aritmetičke operacije - sabiranje i oduzimanje, kao i takozvano „udvostručavanje“ i „bifurkaciju“. Suština drevne ruske metode množenja je da se množenje bilo koja dva broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola (uzastopno, bifurkacijsko) dok se istovremeno udvostručuje drugi broj. Ako se u proizvodu, na primjer 24 X 5, množitelj smanji za 2 puta („dvostruko“), a množitelj se poveća za 2 puta

(„dvostruko“), tada se proizvod neće promijeniti: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. primjer:

Dijeljenje množenika na pola nastavlja se sve dok se količnik ne pokaže jednakim 1, dok se množitelj udvostručuje. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Dakle 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

U ta davna vremena, udvostručavanje i bifurkacija su čak uzimani kao posebne aritmetičke operacije. Kako su samo posebni. akcije? Uostalom, na primjer, udvostručavanje broja nije posebna radnja, već samo dodavanje datog broja samom sebi.

Imajte na umu da su brojevi djeljivi sa 2 cijelo vrijeme bez ostatka. Ali šta ako je množenik djeljiv sa 2 s ostatkom? primjer:

Ako množenik nije djeljiv sa 2, tada se od njega prvo oduzima jedan, a zatim dijeli sa 2. Pravovi s parnim množenicima se precrtavaju, a desni dijelovi pravih s neparnim množenicima se dodaju.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Prisjetimo se broja 17 (prvi red nije precrtan!) i zamijenimo proizvod 20 X 17 jednakim proizvodom 10 X 34. Ali proizvod 10 X 34, zauzvrat, može se zamijeniti jednakim proizvodom 5 X 68; pa je drugi red precrtan:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Prisjetimo se broja 68 (treći red nije precrtan!) i zamijenimo proizvod 4 X 68 jednakim proizvodom 2 X 136. Ali proizvod 2 X 136 može se zamijeniti jednakim proizvodom 1 X 272; stoga je četvrti red precrtan. To znači da da biste izračunali proizvod 21 X 17, trebate dodati brojeve 17, 68, 272 - desne strane linija s neparnim množenicima. Proizvode s parnim množenicima uvijek možemo zamijeniti udvostručavanjem množenika i udvostručavanjem faktora jednakim umnožacima; stoga su takve linije isključene iz obračuna konačnog proizvoda.

Pokušao sam da se umnožim na starinski način. Uzeo sam brojeve 39 i 247, i evo šta sam dobio:

Kolone će ispasti čak i duže od mojih ako uzmemo množenik veći od 39. Onda sam odlučio, isti primjer na moderan način:

Ispostavilo se da je naša školska metoda množenja brojeva mnogo jednostavnija i ekonomičnija od stare ruske metode!

Samo mi moramo znati, prije svega, tablicu množenja, ali naši preci je nisu znali. Osim toga, moramo dobro poznavati samo pravilo množenja, ali oni su znali samo udvostručiti i udvostručiti brojeve. Kao što vidite, možete množiti mnogo bolje i brže od najpoznatijeg kalkulatora u drevnoj Rusiji. Inače, Egipćani su prije nekoliko hiljada godina vršili množenje gotovo na potpuno isti način kao i ruski narod u stara vremena.

Sjajno je da su se ljudi iz različitih zemalja razmnožili na isti način.

Ne tako davno, prije samo stotinjak godina, učenje tablice množenja učenicima je bilo veoma teško. Da bi uvjerili učenike u potrebu poznavanja tablica napamet, autori matematičkih knjiga dugo su pribjegavali. do poezije.

Evo nekoliko redova iz nama nepoznate knjige: „Ali za množenje morate imati sljedeću tabelu, samo je čvrsto držite u sjećanju, tako da svaki broj, pomnoživši se s njom, bez ikakvog zastoja u govoru, kaže ili napišite, također 2 puta 2 je 4, ili 2 puta 3 je 6, a 3 puta 3 je 9 i tako dalje.”

Ako neko ne ponavlja tabelu i ponosi se svom naukom, nije oslobođen muke,

Koliko ne može znati bez učenja brojem da će ga umnožavanje tune deprimirati

Istina, u ovom odlomku i stihovima nije sve jasno: nekako nije baš napisano na ruskom, jer je sve ovo napisao pre više od 250 godina, 1703. godine, Leontij Filipovič Magnicki, divni učitelj ruskog jezika, a od tada ruski jezik se primetno promenio.

L. F. Magnitsky je napisao i objavio prvi štampani udžbenik aritmetike u Rusiji; prije njega postojale su samo rukom pisane matematičke knjige. Veliki ruski naučnik M. V. Lomonosov, kao i mnogi drugi istaknuti ruski naučnici osamnaestog veka, proučavali su iz „Aritmetike“ L. F. Magnitskog.

Kako su se oni umnožavali tih dana, u vreme Lomonosova? Pogledajmo primjer.

Kako razumijemo, radnja množenja je tada bila zapisana gotovo na isti način kao u naše vrijeme. Samo se množenik zvao „količina“, a proizvod se zvao „proizvod“, a uz to nije bio napisan znak množenja.

Kako su onda objasnili množenje?

Poznato je da je M.V. Lomonosov znao napamet čitavu "aritmetiku" Magnitskog. U skladu sa ovim udžbenikom, mali Miša Lomonosov bi množenje 48 sa 8 objasnio na sledeći način: „8 puta 8 je 64, pišem 4 ispod crte, nasuprot 8, i imam 6 decimala u mislima. I onda 8 puta 4 je 32, i ja imam 3 u mislima, a na 2 ću dodati 6 decimala, i biće 8. I napisaću ovo 8 pored 4, u redu sa moje lijeve ruke, i dok mi je 3 u mislima, pisaću u redu blizu 8, na levu ruku. A od množenja 48 sa 8 proizvod će biti 384.”

Da, i mi to objašnjavamo gotovo na isti način, samo što govorimo modernim, a ne drevnim, i, osim toga, imenujemo kategorije. Na primjer, 3 treba napisati na trećem mjestu jer će to biti stotine, a ne samo „u redu pored 8, s lijeve strane“.

Priča "Maša je mađioničar".

„Mogu da pogodim ne samo rođendan, kao Pavlik prošli put, već i godinu rođenja“, počela je Maša.

Pomnožite broj mjeseca u kojem ste rođeni sa 100, a zatim dodajte svoj rođendan. , pomnožite rezultat sa 2. , dodajte 2 rezultirajućem broju; pomnožite rezultat sa 5, dodajte 1 rezultirajućem broju, dodajte nulu rezultatu. , dodajte još 1 na rezultirajući broj i, na kraju, dodajte broj svojih godina.

Gotovo, dobio sam 20721. - Kažem.

* Tačno,” potvrdio sam.

I dobio sam 81321”, kaže Vitya, učenik trećeg razreda.

„Ti, Maša, mora da si pogrešila“, sumnjala je Petja. - Kako se to dešava: Vitya je iz trećeg razreda, a takođe je rođen 1949. godine, kao i Saša.

Ne, Maša je tačno pogodila”, potvrđuje Vitya. Jedino sam ja bio dugo bolestan godinu dana i zato sam dva puta išao u drugi razred.

* I dobio sam 111521”, prenosi Pavlik.

Kako je moguće, pita Vasja, Pavlik takođe ima 10 godina, kao i Saša, a rođen je 1948. Zašto ne 1949. godine?

Ali zato što je sada septembar, a Pavlik je rođen u novembru, a još mu je samo 10 godina, iako je rođen 1948.“, objasnila je Maša.

Pogodila je datume rođenja još tri ili četiri studenta, a zatim objasnila kako je to uradila. Ispostavilo se da ona oduzima 111 od posljednjeg broja, a zatim se ostatak dodaje na tri strane s desna na lijevo, po dvije znamenke. Srednje dvije cifre označavaju rođendan, prve dvije ili jedna označavaju mjesec, a posljednje dvije cifre označavaju broj godina. Znajući koliko godina ima osoba, nije teško odrediti godinu rođenja. Na primjer, dobio sam broj 20721. Ako od njega oduzmete 111, dobijete 20610. To znači da sada imam 10 godina, a rođen sam 6. februara. Pošto je sada septembar 1959, to znači da sam rođen 1949.

Zašto trebate oduzeti 111, a ne neki drugi broj? - pitali smo. -A zašto su rođendan, broj mjeseca i broj godina raspoređeni baš na ovaj način?

Ali vidi”, objasnila je Maša. - Na primjer, Pavlik je, ispunjavajući moje zahtjeve, riješio sljedeće primjere:

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Kao što vidite, pomnožio je broj mjeseca (11) sa 100, zatim sa 2, zatim sa još 5 i na kraju sa još 10 (dodao je vreću), a ukupno sa 100 X 2 X 5 X 10, odnosno za 10 000. To znači , 11 je postalo desetine hiljada, to jest, oni čine treću stranu, ako računate dvije cifre s desna na lijevo. Ovako saznaju broj mjeseca u kojem ste rođeni. Pomnožio je svoj rođendan (14) sa 2, zatim sa 5 i, na kraju, sa još 10, a ukupno sa 2 X 5 X 10, odnosno sa 100. To znači da se rođendan mora tražiti među stotinama, u drugo lice, ali ovde ima na stotine stranaca. Vidite: dodao je broj 2, koji je pomnožio sa 5 i 10. To znači da je dobio dodatnih 2x5x10=100 - 1 sto. Oduzimam ovu stotinu od 15 stotina u broju 111521, što rezultira 14 stotina. Ovako saznajem svoj rođendan. Broj godina (10) nije pomnožen ni sa čim. To znači da se ovaj broj mora tražiti među jedinicama, u prvom licu, ali ovdje ima stranih jedinica. Vidite: dodao je broj 1, koji je pomnožio sa 10, a zatim dodao još 1. To znači da je dobio samo dodatnih 1 x TO + 1 = 11 jedinica. Oduzmem ovih 11 jedinica od 21 jedinice u broju 111521, ispadne 10. Ovako saznam broj godina. A ukupno, kao što vidite, od broja 111521 oduzeo sam 100 + 11 = 111 Kada sam oduzeo 111 od broja 111521, onda je ispalo da je PNU. znači,

Pavlik je rođen 14. novembra i ima 10 godina. Sada je 1959. godina, ali ja sam 10 oduzeo ne od 1959, nego od 1958, pošto je Pavlik prošle godine, u novembru, napunio 10 godina.

Naravno, ovog objašnjenja nećete se odmah sjetiti, ali pokušao sam ga razumjeti na svom primjeru:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2"OBT; 1959 - 10 = 1949;

Puzzle.

Prvi zadatak: U podne putnički parobrod kreće iz Staljingrada za Kujbišev. Sat vremena kasnije, robni i putnički brod kreće iz Kujbiševa za Staljingrad, krećući se sporije od prvog broda. Kada se sastanu brodovi, koji će biti dalje od Staljingrada?

Ovo nije običan aritmetički problem, već šala! Parobrodi će biti na istoj udaljenosti od Staljingrada, kao i od Kujbiševa.

A evo i drugog zadatka: Prošle nedjelje, naš odred i odred petog razreda zasadili su drveće duž ulice Bolshaya Pionerskaya. Timovi su morali posaditi jednak broj stabala sa svake strane ulice. Kao što se sjećate, naš tim je rano došao na posao, a prije dolaska učenika petog razreda uspjeli smo zasaditi 8 stabala, ali, kako se ispostavilo, ne na našoj strani ulice: oduševili smo se i krenuli u posao pogrešno mjesto. Onda smo radili na našoj strani ulice. Učenici petog razreda rano su završili posao. Međutim, nisu nam ostali dužni: prešli su na našu stranu i zasadili prvo 8 stabala („oddužili dug”), a onda još 5 stabala i mi smo završili posao.

Pitanje je koliko su više stabala posadili učenici petog razreda nego mi?

: Naravno, petaci su posadili samo 5 stabala više od nas: kada su sa naše strane posadili 8 stabala, time su vratili dug; a kad su posadili jos 5 stabala, kao da su nam dali 5 stabala na zajam. Tako ispada da su zasadili samo 5 stabala više od nas.

Ne, obrazloženje je pogrešno. Istina je da su nam učenici petog razreda učinili uslugu posadivši nam 5 stabala. Ali onda, da bismo dobili tačan odgovor, potrebno je ovako rasuđivati: mi smo svoj zadatak premašili za 5 stabala, dok su učenici petog razreda svoj premašili za 5 stabala. Dakle, ispada da razlika između broja drveća koje su posadili učenici petog razreda i broja stabala koje smo posadili nije 5, već 10 stabala!

I evo posljednjeg zadatka slagalice, Igranje loptom, 16 učenika je postavljeno na stranice kvadratnog područja tako da je bilo po 4 osobe sa svake strane. Zatim su otišla 2 učenika, a ostali su se preselili tako da je ponovo bilo po 4 osobe sa svake strane trga. Konačno su otišla još 2 učenika, ali su se ostali smjestili tako da je još uvijek bilo po 4 osobe sa svake strane trga. Kako se to moglo dogoditi?

Dva trika za brzo množenje

Jednog dana učitelj je svojim učenicima ponudio ovaj primjer: 84 X 84. Jedan dječak je brzo odgovorio: 7056. „Šta ste izbrojali?” - upitala je učiteljica učenika. “Uzeo sam 50 X 144 i bacio 144,” odgovorio je. Pa, hajde da objasnimo kako je učenik razmišljao.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, a 144 pedeset je 72 stotine, dakle 84 X 84 = 7200 - 144 =

Sada izračunajmo na isti način koliko je 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, odnosno 64 pedeset ili 32 stotine (3200), bez 64, tj. da pomnožite broj sa 49, treba vam ovo broj pomnožite sa 50 (pedeset) i oduzmite ovaj broj od rezultirajućeg proizvoda.

Evo primjera za drugu metodu izračunavanja, 92 X 96, 94 X 98.

Odgovori: 8832 i 9212. Primjer, 93 X 95. Odgovor: 8835. Naši proračuni su dali isti broj.

Možete računati tako brzo samo kada su brojevi blizu 100. Ovim brojevima nalazimo komplemente do 100: za 93 će biti 7, a za 95 će biti 5, od prvog datog broja oduzimamo komplement od drugi: 93 - 5 = 88 - ovo će biti u proizvodu stotina, pomnožite dodatke: 7 X 5 = 3 5 - ovo je koliko će biti u proizvodu jedinica. To znači 93 X 95 = 8835. A zašto bi to trebalo tačno da se uradi nije teško objasniti.

Na primjer, 93 je 100 bez 7, a 95 je 100 bez 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Da biste oduzeli 5 puta 93, možete oduzeti 5 puta 100, ali dodajte 5 puta 7. Tada ispada:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 ćelije. - 5 stotina. + 5 X 7 = (93 - 5) ćelija. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Množenje c. domino

Uz pomoć domina lako je prikazati neke slučajeve množenja višecifrenih brojeva jednocifrenim brojem. Na primjer:

402 X 3 i 2663 X 4

Pobjednik će biti onaj koji u određenom vremenu bude u stanju da iskoristi najveći broj domina, sastavljajući primjere množenja trocifrenih i četverocifrenih brojeva jednocifrenim brojem.

Primjeri za množenje četverocifrenih brojeva sa jednocifrenim brojevima.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

Kao što vidite, korišteno je samo 20 domina. Sastavljeni su primjeri za množenje ne samo četvorocifrenih brojeva jednocifrenim, već i trocifrenih, petocifrenih i šestocifrenih brojeva jednocifrenim brojem. Upotrijebljeno je 25 kockica i sastavljeni su sljedeći primjeri:

Međutim, svih 28 kockica se i dalje može koristiti.

Priče o tome koliko je stari Hottabych znao aritmetiku.

Priča “Dobijam 5 u aritmetici.”

Čim sam sutradan otišao kod Miše, on je odmah pitao: „Šta je bilo novo ili zanimljivo u krugu?” Pokazao sam Miši i njegovim prijateljima koliko su ruski ljudi bili pametni u stara vremena. Zatim sam ih zamolio da mentalno izračunaju koliko bi bilo 97 X 95, 42 X 42 i 98 X 93. Oni to, naravno, ne bi mogli bez olovke i papira i bili su veoma iznenađeni kada sam skoro istog trenutka dao tačne odgovore na ovi primjeri. Konačno smo svi zajedno riješili problem dat za kuću. Ispostavilo se da je veoma važno kako se tačke nalaze na listu papira. Ovisno o tome, možete nacrtati jednu, četiri ili šest pravih linija kroz četiri tačke, ali ne više.

Zatim sam pozvala djecu da kreiraju primjere množenja koristeći domine, baš kao što su to radili na šolji. Uspjeli smo iskoristiti 20, 24, pa čak i 27 kockica, ali od svih 28 nikada nismo uspjeli napraviti primjere, iako smo dugo sjedili na ovom zadatku.

Miša se prisjetio da se danas u bioskopu prikazuje film „Starac Hottabych“. Brzo smo završili s aritmetikom i otrčali u bioskop.

Kakva slika! Iako je bajka, ipak je zanimljiva: govori o nama momcima, o školskom životu, a takođe i o ekscentričnom mudracu - Genie Hottabych. A Hottabych je napravio veliku grešku kada je Volki dao nekoliko savjeta za geografiju! Kao što vidite, u davno prošla vremena, čak su i indijski mudraci - džini - poznavali geografiju vrlo, vrlo slabo. Pitam se koliko bi star Hottabych davao savjete da je Volka položio ispit iz aritmetike? Hottabych vjerovatno nije ni znao aritmetiku kako treba.

Indijski način množenja.

Recimo da trebamo 468 pomnožiti sa 7. Napišemo množenik lijevo, a množitelj desno:

Indijanci nisu imali znak množenja.

Sada pomnožim 4 sa 7, dobijemo 28. Ovaj broj pišemo iznad cifre 4.

Sada množimo 8 sa 7, dobijamo 56. Dodajemo 5 na 28, dobijamo 33; Izbrišemo 28, zapiši 33, napiši 6 iznad broja 8:

Ispalo je prilično zanimljivo.

Sada pomnožimo 6 sa 7, dobijemo 42, dodamo 4 na 36, dobijemo 40; Izbrisat ćemo 36 i zapisati 40; Napišimo 2 iznad broja 6. Dakle, pomnožite 486 sa 7, dobićete 3402:

Rješenje je bilo tačno, ali ne baš brzo i povoljno!Tako su se množili najpoznatiji kalkulatori tog vremena.

Kao što vidite, stari Hottabych je prilično dobro znao aritmetiku. Međutim, on je svoje postupke bilježio drugačije od nas.

Davno, prije više od hiljadu i trista godina, Indijanci su bili najbolji kalkulatori. Međutim, oni još nisu imali papir, a svi proračuni su rađeni na maloj crnoj tabli, na njoj se pisalo olovkom od trske i koristeći vrlo tekuću bijelu boju, koja je ostavljala tragove koji su se lako brisali.

Kada pišemo kredom na tabli, to malo podsjeća na indijski način pisanja: na crnoj pozadini pojavljuju se bijele oznake koje je lako izbrisati i ispraviti.

Indijanci su računali i na bijeloj ploči posutoj crvenim prahom, na kojoj su malim štapićem ispisivali znakove, tako da su se na crvenom polju pojavili bijeli znakovi. Približno ista slika se dobija kada kredom pišemo na crvenoj ili smeđoj ploči - linoleumu.

Znak množenja tada još nije postojao, a između množenika i množitelja ostavljen je samo određeni razmak. Indijski način bi bio množenje počevši od jedinica. Međutim, sami Indijanci su vršili množenje počevši od najviše cifre i zapisivali nepotpune proizvode odmah iznad množenika, malo po malo. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda bila je odmah vidljiva i, osim toga, eliminisano je izostavljanje bilo koje cifre.

Primjer množenja na indijski način.

Arapska metoda množenja.

Pa, kako u samom datumu možete izvesti množenje na indijski način, ako to zapišete na papir?

Ovu metodu množenja za pisanje na papiru prilagodili su Arapi.Čuveni drevni uzbekistanski naučnik Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Muhamed sin Muse iz Horezma, grada koji se nalazi na teritoriji savremene Uzbekistanske SSR) više od hiljadu godina prije izvršio množenje na pergamentu ovako:

Očigledno, nije izbrisao nepotrebne brojeve (već je nezgodno to raditi na papiru), već ih je precrtao; Zapisivao je nove brojeve iznad precrtanih, naravno, malo po malo.

Primjer množenja na isti način, pravljenje bilješki u bilježnici.

To znači 7264 X 8 = 58112. Ali kako pomnožiti sa dvocifrenim brojem, sa višecifrenim brojem?

Metoda množenja ostaje ista, ali snimanje postaje mnogo komplikovanije. Na primjer, trebate pomnožiti 746 sa 64. Prvo, pomnožite sa 3 desetice, ispada

Dakle 746 X 34 = 25364.

Kao što vidite, precrtavanje nepotrebnih znamenki i njihovo zamjenjivanje novim znamenkama pri množenju čak i dvocifrenim brojem dovodi do preglomaznog snimanja. Šta se dešava ako pomnožite sa trocifrenim ili četvorocifrenim brojem?!

Da, arapska metoda množenja nije baš zgodna.

Ova metoda množenja opstala je u Evropi sve do osamnaestog veka, punih hiljadu godina. Nazvana je križna metoda ili chiasmus, jer se između brojeva koji se množe stavljalo grčko slovo X (chi), koje je postepeno zamijenjeno kosim križem. Sada jasno vidimo da je naša moderna metoda množenja najjednostavnija i najpogodnija, vjerovatno najbolja od svih mogućih metoda množenja.

Da, naša školska metoda množenja višecifrenih brojeva je sama po sebi vrlo dobra. Međutim, množenje se može napisati i na drugi način. Možda bi najbolji način bio da to učinite, na primjer, ovako:

Ova metoda je zaista dobra: množenje počinje od najviše cifre množitelja, najniža znamenka nepotpunih proizvoda upisuje se ispod odgovarajuće znamenke množitelja, što eliminira mogućnost greške u slučaju kada se u bilo kojoj znamenki množitelja pojavi nula. multiplikator. Otprilike ovako čehoslovački školarci pišu množenje višecifrenih brojeva. To je zanimljivo. A mislili smo da se računske operacije mogu pisati samo na način koji je uobičajen kod nas.

Još nekoliko zagonetki.

Evo vašeg prvog, jednostavnog zadatka: turist može prepješačiti 5 km za sat vremena. Koliko će kilometara prepješačiti za 100 sati?

Odgovor: 500 kilometara.

A ovo je još jedno veliko pitanje! Moramo preciznije znati kako je turist hodao ovih 100 sati: bez odmora ili sa pauzama. Drugim riječima, morate znati: 100 sati je vrijeme koje turista putuje ili jednostavno vrijeme koje provede na putu. Osoba vjerovatno nije u stanju da bude u pokretu 100 sati zaredom: to je više od četiri dana; a brzina kretanja bi se stalno smanjivala. Druga je stvar da li je turist hodao sa pauzama za ručak, spavanje itd. Onda za 100 sati kretanja može preći čitavih 500 km; samo da treba da bude na putu ne četiri dana, već oko dvanaest dana (ako dnevno pređe u proseku 40 km). Ako je bio na putu 100 sati, mogao bi preći samo otprilike 160-180 km.

Razni odgovori. To znači da treba nešto dodati u navod problema, inače je nemoguće dati odgovor.

Rešimo sada sledeći problem: 10 pilića pojede 1 kg žitarica za 10 dana. Koliko će kilograma žitarica pojesti 100 pilića za 100 dana?

Rješenje: 10 pilića pojede 1 kg žitarica za 10 dana, što znači da 1 kokoška pojede 10 puta manje za istih 10 dana, odnosno 1000 g: 10 = 100 g.

U jednom danu piletina pojede još 10 puta manje, odnosno 100 g: 10 = 10 g. Sada znamo da 1 kokoška pojede 10 g žitarica u jednom danu. To znači da 100 pilića dnevno pojede 100 puta više, tj

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. Za 100 dana poješće još 100 puta više, odnosno 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. To znači da 100 pilića pojede cijeli centner zrna za 100 dana.

Postoji brže rješenje: pilića ima 10 puta više i treba ih hraniti 10 puta duže, što znači da je ukupno potrebno zrno 100 puta više, odnosno 100 kg. Međutim, u svim ovim argumentima postoji jedan propust. Hajde da razmislimo i pronađemo grešku u zaključivanju.

: -Obratimo pažnju na poslednje rezonovanje: „100 pilića pojede 1 kg žita u jednom danu, a za 100 dana poješće 100 puta više. »

Uostalom, za 100 dana (to je više od tri mjeseca!) pilići će primjetno porasti i više neće jesti 10 grama žitarica dnevno, već 40-50 grama, jer obična kokoška pojede oko 100 grama žitarica dnevno . To znači da će za 100 dana 100 pilića pojesti ne 1 kvintal žitarica, već mnogo više: dva ili tri kvintala.

A evo i posljednjeg zadatka slagalice o vezivanju čvora: „Na stolu je komad užeta ispružen u pravoj liniji. Trebate jednom rukom uzeti jedan kraj, drugom rukom i, ne puštajući krajeve užeta iz ruku, vezati čvor. “Opšte je poznata činjenica da je neke probleme lako analizirati, idući od podataka do problemskog pitanja, dok drugi, naprotiv, idu od problemskog pitanja do podataka.

Pa, pokušali smo da analiziramo ovaj problem, prelazeći od pitanja do podataka. Neka već postoji čvor na užetu, a njegovi krajevi su u vašim rukama i ne oslobađaju se. Pokušajmo se sa riješenog problema vratiti na njegove podatke, u prvobitni položaj: uže leži ispruženo na stolu, a njegovi krajevi se ne oslobađaju iz ruku.

Ispada da ako ispravite uže ne ispuštajući njegove krajeve iz ruku, tada lijeva ruka, prolazeći ispod ispruženog užeta i iznad desne ruke, drži desni kraj užeta; a desna ruka, idući iznad užeta i ispod lijeve ruke, drži lijevi kraj užeta

Mislim da je nakon ove analize problema svima postalo jasno kako vezati čvor na užetu; sve morate učiniti obrnutim redoslijedom.

Još dvije tehnike brzog množenja.

Pokazat ću vam kako brzo pomnožiti brojeve kao što su 24 i 26, 63 i 67, 84 i 86, itd. p., odnosno kada u činiocima ima jednakih brojeva desetica, a jedinice zajedno čine tačno 10. Navedite primjere.

* 34 i 36, 53 i 57, 72 i 78,

* Dobijate 1224, 3021, 5616.

Na primjer, trebate pomnožiti 53 sa 57. Pomnožim 5 sa 6 (1 više od 5), ispada 30 - toliko stotina u proizvodu; Pomnožim 3 sa 7, ispada 21 - to je koliko jedinica ima u proizvodu. Dakle 53 X 57 = 3021.

* Kako to objasniti?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 stotina. + 5 stotina. +3 X 7 = 30 ćelija. + 3 X 7 = 5 X 6 ćelija. + 21.

Da vidimo kako možete brzo pomnožiti dvocifrene brojeve unutar 20. Na primjer, da pomnožite 14 sa 17, trebate sabrati jedinice 4 i 7, dobijete 11 - to je koliko će desetica biti u proizvodu (da je, 10 jedinica). Zatim trebate pomnožiti 4 sa 7, dobijete 28 - to je koliko će jedinica biti u proizvodu. Osim toga, rezultirajućim brojevima 110 i 28 mora se dodati tačno 100. To znači da je 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. U stvari:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Nakon toga riješili smo sljedeće primjere: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Množenje na abakusu

Evo nekoliko tehnika pomoću kojih će svako ko zna brzo sabirati na abakusu moći brzo izvesti primjere množenja koje se susreću u praksi.

Množenje sa 2 i 3 zamjenjuje se dvostrukim i trostrukim sabiranjem.

Kada množite sa 4, prvo pomnožite sa 2 i dodajte ovaj rezultat sebi.

Množenje broja sa 5 radi se na abakusu ovako: pomaknite cijeli broj za jednu žicu više, odnosno pomnožite ga sa 10, a zatim podijelite ovaj deseterostruki broj na pola (kao dijeljenje sa 2 pomoću abakusa.

Umjesto da množite sa 6, pomnožite sa 5 i dodajte ono što se množi.

Umjesto da množite sa 7, pomnožite sa 10 i oduzmite pomnoženo tri puta.

Množenje sa 8 zamjenjuje se množenjem sa 10 minus dva pomnožena.

Oni množe sa 9 na isti način: zamenjuju ga množenjem sa 10 minus jedan koji se množi.

Kada množite sa 10, prenesite, kao što smo već rekli, sve brojeve za jednu žicu više.

Čitalac će vjerovatno sam shvatiti kako postupiti pri množenju brojevima većim od 10 i koje će zamjene ovdje biti najpogodnije. Faktor 11 se, naravno, mora zamijeniti sa 10 + 1. Faktor 12 mora se zamijeniti sa 10 + 2 ili praktično 2 + 10, odnosno prvo se odvoji udvostručeni broj, a zatim se zbroji desetostruki. Množilac od 13 zamjenjuje se sa 10 + 3, itd.

Pogledajmo nekoliko posebnih slučajeva za prvih sto množitelja:

Usput, lako je vidjeti da je uz pomoć abakusa vrlo zgodno množiti brojevima kao što su 22, 33, 44, 55, itd.; Stoga, prilikom dijeljenja faktora, moramo težiti korištenju sličnih brojeva sa istim znamenkama.

Slične tehnike se koriste i kod množenja brojevima većim od 100. Ako su takve umjetne tehnike zamorne, onda, naravno, uvijek možemo množiti pomoću abakusa po opštem pravilu, množenjem svake znamenke množitelja i zapisivanjem parcijalnih proizvoda - ovo ipak daje određeno smanjenje vremena.

"Ruski" način množenja

Ne možete množiti višecifrene brojeve, čak ni dvocifrene, osim ako ne zapamtite sve rezultate množenja jednocifrenih brojeva, odnosno onoga što se zove tablica množenja. U drevnoj "Aritmetici" Magnitskog, koju smo već spomenuli, potreba za čvrstim poznavanjem tablice množenja veliča se u sljedećim stihovima (tuđim modernim ušima):

Osim ako neko ne ponavlja tabele i nije ponosan, ne može znati brojem šta da množi

I po svim naukama nisam slobodna od muke, Koliko ne uči tunu i deprimira me

I neće biti od koristi ako zaboravi.

Autor ovih stihova očigledno nije znao ili je prevideo da postoji način da se množe brojevi bez poznavanja tablice množenja. Ovaj metod, sličan našim školskim metodama, koristio se u svakodnevnom životu ruskih seljaka i od njih je naslijedio od davnina.

Njegova suština je da se množenje bilo koja dva broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola dok se istovremeno udvostručuje drugi broj. Evo primjera:

Dijeljenje na pola se nastavlja sve dok), visina u količniku ne ispadne 1, dok se istovremeno udvostručuje drugi broj. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Nije teško razumjeti na čemu se zasniva ova metoda: proizvod se ne mijenja ako se jedan faktor prepolovi, a drugi udvostruči. Jasno je, dakle, da se kao rezultat višestrukog ponavljanja ove operacije dobije željeni proizvod.

Međutim, šta učiniti ako u isto vrijeme... Da li je moguće neparan broj podijeliti na pola?

Narodna metoda lako prevazilazi ovu poteškoću. Potrebno je, kaže pravilo, u slučaju neparnog broja baciti jedan, a ostatak podijeliti na pola; ali tada ćete jednom broju u desnoj koloni morati dodati sve one brojeve u ovoj koloni koji su nasuprot neparnim brojevima u lijevoj koloni - zbroj će biti ono što tražite? ja radim. U praksi se to radi na način da se precrtaju svi redovi s parnim lijevim brojevima; Ostaju samo oni koji sadrže neparan broj lijevo.

Evo primjera (zvjezdice označavaju da ovu liniju treba precrtati):

Sabiranjem brojeva koji nisu precrtani dobijamo potpuno tačan rezultat: 17 + 34 + 272 = 32 Na čemu se zasniva ova tehnika?

Ispravnost tehnike postaće jasna ako to uzmemo u obzir

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34, itd.

Jasno je da se brojevi 17, 34 itd., izgubljeni pri dijeljenju neparnog broja na pola, moraju dodati rezultatu posljednjeg množenja da bi se dobio proizvod.

Primjeri ubrzanog množenja

Ranije smo spomenuli da postoje i pogodni načini za izvođenje onih pojedinačnih operacija množenja na koje se svaka od gore navedenih tehnika raspada. Neki od njih su vrlo jednostavni i zgodno primjenjivi; čine proračune toliko lakim da ih uopće ne škodi zapamtiti kako biste ih koristili u običnim proračunima.

Ovo je, na primjer, tehnika unakrsnog množenja, koja je vrlo zgodna kada radite s dvocifrenim brojevima. Metoda nije nova; datira još od Grka i Hindusa i u antičko doba se zvalo “metoda munje”, ili “množenje krstom”. Sada je zaboravljeno, i ne škodi podsjetiti se na to1.

Pretpostavimo da želite da pomnožite 24X32. Mentalno rasporedite brojeve prema sljedećoj shemi, jedan ispod drugog:

Sada izvodimo sljedeće korake uzastopno:

1)4X2 = 8 je posljednja znamenka rezultata.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - pretposljednja cifra rezultata; 1 zapamti.

3)2X3 = 6, kao i jedinica koja je zadržana na umu, imamo

7 je prva znamenka rezultata.

Dobijamo sve cifre proizvoda: 7, 6, 8 -- 768.

Nakon kratke vježbe, ova tehnika se vrlo lako uči.

Druga metoda, koja se sastoji u korištenju takozvanih "sabiraka", prikladno se koristi u slučajevima kada su brojevi koji se množe blizu 100.

Recimo da želite da pomnožite 92X96. "Zbirka" za 92 do 100 bit će 8, za 96 - 4. Radnja se provodi prema sljedećoj shemi: množitelji: 92 i 96 "zbrajanja": 8 i 4.

Prve dvije cifre rezultata se dobijaju jednostavnim oduzimanjem "komplementa" množenika od množitelja ili obrnuto; tj. 4 se oduzima od 92 ili 8 oduzima se od 96.

U oba slučaja imamo 88; proizvod “sabiraka” se dodaje ovom broju: 8X4 = 32. Dobijamo rezultat 8832.

Da dobijeni rezultat mora biti tačan jasno se vidi iz sljedećih transformacija:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Još jedan primjer. Trebate pomnožiti 78 sa 77: faktori: 78 i 77 „sabirci“: 22 i 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Treći primjer. Pomnožite 99 X 9.

množitelji: 99 i 98 “ekstri”: 1 i 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

U ovom slučaju, moramo zapamtiti da 97 ovdje znači broj stotina. Tako da to zbrajamo.

Indijski način množenja

Najvredniji doprinos riznici matematičkog znanja dat je u Indiji. Hindusi su predložili metodu kojom zapisujemo brojeve koristeći deset znakova: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Osnova ove metode je ideja da ista cifra predstavlja jedinice, desetice, stotine ili hiljade, u zavisnosti od toga gde cifra zauzima. Zauzeti prostor, u nedostatku bilo koje cifre, određen je nulama dodijeljenim brojevima.

Indijanci su bili odlični u brojanju. Smislili su vrlo jednostavan način množenja. Izvodili su množenje počevši od najznačajnije cifre i zapisivali nepotpune proizvode odmah iznad množenika, malo po malo. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda bila je odmah vidljiva i, osim toga, eliminisano je izostavljanje bilo koje cifre. Znak množenja još nije bio poznat, pa su ostavili malu udaljenost između faktora. Na primjer, pomnožimo ih metodom 537 sa 6:

Množenje metodom “MALI DVORAC”.

Tokom milenijuma razvoja matematike, izmišljeni su mnogi načini množenja brojeva. Italijanski matematičar Luca Pacioli, u svojoj raspravi "Zbir aritmetike, omjera i proporcionalnosti" (1494), daje osam različitih metoda množenja. Prvi od njih se zove "Mali dvorac", a drugi se ne manje romantično naziva "Ljubomora ili umnožavanje rešetki".

Prednost metode množenja “Mali dvorac” je u tome što se vodeće znamenke određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.

Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije cifre, množe se redom s donjim brojem i upisuju u kolonu sa dodanim potrebnim brojem nula. Rezultati se zatim zbrajaju.

MBOU "Skolska skola" Volnoye" Kharabalinski okrug, oblast Astrahan

Projekt na:

« Neobični načini množenjai ja»

Radove su završili:

Učenici 5. razreda :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R projekt menadžer:

nastavnik matematike

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 godine .

"Sve je broj" Pitagora

Uvod

U 21. vijeku nemoguće je zamisliti život osobe koja ne vrši proračune: to su prodavači, računovođe i obični školarci.

Učenje gotovo svakog predmeta u školi zahtijeva dobro poznavanje matematike, a bez njega je nemoguće savladati ove predmete. U matematici dominiraju dva elementa - brojevi i figure sa svojom beskonačnom raznolikošću svojstava i radnji s njima.

Hteli smo da saznamo više o istoriji matematičkih operacija. Sada kada se računarska tehnologija ubrzano razvija, mnogi ne žele da se zamaraju mentalnom aritmetikom. Stoga smo odlučili pokazati ne samo da sam proces izvođenja radnji može biti zanimljiv, već i da se, nakon što ste u potpunosti savladali tehnike brzog brojanja, možete takmičiti s kompjuterom.

Relevantnost ove teme leži u činjenici da korištenje nestandardnih tehnika u formiranju računskih vještina povećava interesovanje učenika za matematiku i potiče razvoj matematičkih sposobnosti.

Cilj rada:

Inaučiti neke nestandardne tehnike množenja i pokazati da njihova upotreba čini proces računanja racionalnim i zanimljivima za čije izračunavanje je dovoljan mentalni proračun ili upotreba olovke, olovke i papira.

hipoteza:

EAko su naši preci znali kako se razmnožavaju na drevne načine, onda nakon proučavanja literature o ovom problemu, može li moderni školarac to naučiti ili su potrebne neke natprirodne sposobnosti?

Zadaci:

1. Pronađite neobične načine za množenje.

2. Naučite ih primijeniti.

3. Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola i koristite ih pri brojanju.

4. Naučite drugove iz razreda da koriste novoenačinsmnoženje.

Predmet proučavanja: matematička operacija množenje

Predmet studija: metode množenja

Metode istraživanja:

Metoda pretraživanja pomoću znanstvene i obrazovne literature, interneta;

Metoda istraživanja u određivanju metoda množenja;

Praktična metoda rješavanja primjera;

- - anketiranje ispitanika o njihovom poznavanju nestandardnih metoda množenja.

Istorijska referenca

Postoje ljudi sa izuzetnim sposobnostima koji mogu da se takmiče sa kompjuterima u brzini mentalnih proračuna. Zovu se „čudesni brojači“. A takvih je mnogo.

Navodi se da je Gaussov otac, kada je plaćao svoje radnike na kraju sedmice, na svakodnevnu zaradu dodao plaćanje za prekovremene sate. Jednog dana, nakon što je otac Gaus završio svoje proračune, trogodišnje dijete koje je pratilo očeve operacije uzviknulo je: „Tata, računica nije tačna! Ovo bi trebao biti iznos!” Proračuni su se ponovili i bili smo iznenađeni kada smo vidjeli da je dječak naveo tačan iznos.

U Rusiji je početkom 20. veka svojim umećem zablistao „mađioničar proračuna“ Roman Semenovič Levitan, poznat pod pseudonimom Arrago. Dječakove jedinstvene sposobnosti počele su se pojavljivati u ranoj dobi. Za nekoliko sekundi kvadrirao je i kockao desetocifrene brojeve i izvukao korijene različitih stupnjeva. Činilo se da sve to radi sa izuzetnom lakoćom. Ali ova lakoća je bila varljiva i zahtijevala je mnogo mozga.

Godine 2007. Mark Cherry, tada star 2,5 godine, zadivio je cijelu zemlju svojim intelektualnim sposobnostima. Mladi učesnik emisije "Minute slavnih" lako je brojao višecifrene brojeve u glavi, nadmašujući svoje roditelje i žiri koji je koristio kalkulatore u proračunima. Već sa dvije godine savladao je tablicu kosinusa i sinusa, kao i neke logaritme.

U Institutu za kibernetiku Ukrajinske akademije nauka održana su takmičenja između računara i ljudi. Na takmičenju su učestvovali mladi kontrafenomen Igor Šeluškov i ZVM „Mir“. Mašina je izvela mnoge složene operacije za nekoliko sekundi, ali je pobjednik bio Igor Shelushkov.

Univerzitet u Sidneju u Indiji takođe je bio domaćin takmičenja čovek-mašina. Šakuntala Devi je takođe bio ispred kompjutera.

Većina ovih ljudi ima odlično pamćenje i talenat. Ali neki od njih nemaju nikakve posebne sposobnosti u matematici. Oni znaju tajnu! A ova tajna je da su naučili tehnike brzog brojanja i zapamtili nekoliko posebnih formula. To znači da i mi možemo brzo i precizno računati koristeći ove tehnike.

Operacije množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena. Tada nije postojala jedinstvena metoda koju je praksa razvila za svaku akciju.

Naprotiv, bilo je u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja i dijeljenja u isto vrijeme – tehnika koje su jedna složenije od druge, koje osoba prosječnih sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja držao se svoje omiljene tehnike, svaki „majstor podjele“ (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način izvođenja ove radnje.

I sve ove metode množenja - "šah ili orgulje", "preklapanje", "križ", "rešetka", "pozadi naprijed", "dijamant" i druge su se takmičile jedni s drugima i naučile su se s velikim poteškoćama.

Pogledajmo najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.

Stara ruska metoda množenja na prstima

Ovo je jedna od najčešće korištenih metoda, koju ruski trgovci uspješno koriste stoljećima.

Princip ove metode: množenje jednocifrenih brojeva od 6 do 9 na prstima.Prsti su ovde služili kao pomoćni računarski uređaj.

Množenje za broj 9 je vrlo lako reproducirati "na prste"

Razvijezdeoneprste na obe ruke i okrenite ruke sa dlanovima okrenutim od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10, počevši od malog prsta lijeve ruke i završite malim prstom desne ruke. Recimo da želimo da pomnožimo 9 sa 6. Prst savijamo sa brojem jednakim broju kojim ćemo pomnožiti devet. U našem primjeru trebamo saviti prst sa brojem 6. Broj prstiju lijevo od savijenog prsta pokazuje nam broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno pokazuje broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 5 nesavijenih prstiju, na desnoj - 4 prsta. Dakle, 9·6=54.

Množenje sa 9 pomoću ćelija u bilježnici

Uzmimo, na primjer, 10 ćelija u bilježnici. Precrtajte 8. kvadratić. Na lijevoj strani je 7 ćelija, na desnoj 2 ćelije. Dakle 9·8=72. Sve je vrlo jednostavno!

7 2

Metoda množenja "Mali dvorac"

Prednost metode množenja “Mali dvorac” je u tome što se vodeće znamenke određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.Cifre gornjeg broja, počevši od najznačajnije cifre, množe se redom s donjim brojem i upisuju u kolonu sa dodanim potrebnim brojem nula. Rezultati se zatim zbrajaju.

„Rešetka množenje"

Prvo se nacrta pravougaonik, podijeljen na kvadrate, a dimenzije stranica pravokutnika odgovaraju broju decimalnih mjesta množenika i množitelja.

Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno i “...dobijete sliku koja izgleda kao rešetkaste kapke. Takvi kapci su kačili na prozore venecijanskih kuća..."

"ruski seljački način"

U Rusiji je među seljacima bila uobičajena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Sve što vam treba je sposobnost množenja i dijeljenja brojeva sa 2.

Napišimo jedan broj lijevo, a drugi desno u jednu liniju. Lijevi broj ćemo podijeliti sa 2, a desni broj pomnožiti sa 2 i rezultate upisati u kolonu.

Ako ostatak nastane tokom dijeljenja, on se odbacuje. Množenje i dijeljenje sa 2 nastavljaju se sve dok s lijeve strane ne ostane 1.

Zatim precrtavamo one redove iz kolone u kojoj se nalaze parni brojevi na lijevoj strani. Sada saberite preostale brojeve u desnoj koloni.

Ova metoda množenja je mnogo jednostavnija od prethodno razmatranih metoda množenja. Ali je i veoma glomazan.

"Množenje sa krstom"

Stari Grci i Hindusi u antičko doba nazivali su tehniku križnog množenja „metodom munje“ ili „množenjem križem“.

24 i 32

2 4

3 2

4x2=8 - zadnja cifra rezultata;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 je pretposljednja znamenka rezultata, zapamtite jedinicu;

2x3=6 i takođe broj koji imamo na umu, imamo 7 - ovo je prva cifra rezultata.

Dobijamo sve brojeve proizvoda: 7,6,8. odgovor:768.

Indijski način množenja

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

UPočinjemo množenje od najviše cifre, a nepotpune proizvode zapisujemo malo po malo iznad množenika. U ovom slučaju, najznačajnija cifra kompletnog proizvoda je odmah vidljiva i, osim toga, eliminiše se cifra koja nedostaje. Znak množenja još nije bio poznat, pa je ostavljena mala udaljenost između faktora

Kineska (crtačka) metoda množenja

Primjer br. 1: 12 × 321 = 3852
Hajde da crtamoprvi broj odozgo prema dolje, s lijeva na desno: jedan zeleni štap (1 ); dva štapića narandže (2 ). 12 nacrtao
Hajde da crtamodrugi broj odozdo prema gore, s lijeva na desno: tri mala plava štapića (3 ); dva crvena (2 ); jedan jorgovan (1 ). 321 nacrtao

Sada prođimo kroz crtež jednostavnom olovkom, podijelimo točke presjeka brojeva štapića na dijelove i počnimo brojati točke. Kretanje s desna na lijevo (u smjeru kazaljke na satu):2 , 5 , 8 , 3 . Broj rezultata "skupljamo" s lijeva na desno (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) koje smo dobili3852

Primjer br. 2: 24 × 34 = 816
U ovom primjeru ima nijansi;-) Prilikom brojanja bodova u prvom dijelu, pokazalo se16 . Šaljemo jedan i dodajemo ga tačkama drugog dijela (20 + 1 )…

Primjer br. 3: 215 × 741 = 159315

U toku rada na projektu sproveli smo anketu. Učenici su odgovarali na sljedeća pitanja.

1. Da li je modernom čovjeku potrebna mentalna aritmetika??

Dabr

2. Da li znate druge načine množenja osim dugog množenja?

Dabr

3. Da li ih koristite??

Dabr

4. Želite li znati druge načine razmnožavanja??

Ne baš

Anketirali smo učenike 5-10 razreda.

Ovo istraživanje je pokazalo da savremeni školarci ne poznaju druge načine izvođenja radnji, jer se rijetko okreću gradivu van školskog programa.

zaključak:

Mnogo je zanimljivih događaja i otkrića u istoriji matematike, ali, nažalost, ne dopiru svi ti podaci do nas, savremenih učenika.

Ovim radom željeli smo barem malo popuniti ovu prazninu i našim vršnjacima prenijeti informacije o drevnim metodama množenja.

Tokom robota smo učili o porijeklu akcije množenja. U starim danima nije bio lak zadatak savladati ovu radnju; tada, kao ni sada, još nije postojala ni jedna tehnika razvijena praksom. Naprotiv, bilo je u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja u isto vrijeme – metoda koje su jedna zamršenija od druge, čvrste, kojih osoba prosječne sposobnosti nije mogla zapamtiti. Svaki učitelj brojanja pridržavao se svoje omiljene tehnike, svaki "majstor" (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način izvođenja ove akcije. Čak je prepoznato da je za ovladavanje umijećem brzog i preciznog množenja višecifrenih brojeva potreban poseban prirodni talenat, izuzetne sposobnosti; Ova mudrost je nedostupna običnim ljudima.

Svojim radom smo dokazali da je naša hipoteza tačna; ne morate imati natprirodne sposobnosti da biste mogli koristiti drevne metode množenja. Naučili smo i kako odabrati materijal, obraditi ga, odnosno istaknuti ono glavno i sistematizirati ga.

Naučivši računati na sve prikazane načine, došli smo do zaključka da su najjednostavniji metodi oni koje učimo u školi, ili smo možda na njih navikli.

Moderna metoda množenja je jednostavna i dostupna svima.

Ali mislimo da naša metoda množenja po stupcu nije savršena i da možemo smisliti još brže i pouzdanije metode.

Moguće je da mnogi ljudi neće moći brzo, na licu mjesta, prvi put izvršiti ove ili druge proračune.

Nema problema. Potrebna je stalna računarska obuka. Pomoći će vam da steknete korisne mentalne aritmetičke vještine!

Bibliografija

1. Glazer, G. I. Istorija matematike u školi ⁄ G. I. Glazer ⁄⁄ Istorija matematike u školi: priručnik za nastavnike ⁄ priredio V. N. Molodshy. – M.: Prosveta, 1964. – P. 376.

Perelman Ya. I. Zabavna aritmetika: Zagonetke i čuda u svijetu brojeva. – M.: Izdavačka kuća Rusanova, 1994. – Str. 142.

Enciklopedija za djecu. T. 11. Matematika / Pogl. ed. M. D. Aksenova. – M.: Avata+, 2003. – Str. 130.

Časopis "Matematika" br.15 2011

Internet resursi.

Nekoliko brzih načina usmeno množenje Već smo to shvatili, sada pobliže pogledajmo kako brzo pomnožiti brojeve u svojoj glavi koristeći različite pomoćne metode. Možda već znate, a neke od njih su prilično egzotične, kao što je drevni kineski način množenja brojeva.

Raspored po činovima

To je najjednostavnija tehnika za brzo množenje dvocifrenih brojeva. Oba faktora treba podijeliti na desetice i jedinice, a zatim se svi ovi novi brojevi međusobno pomnožiti.

Ova metoda zahtijeva sposobnost držanja do četiri broja u memoriji u isto vrijeme i da se sa tim brojevima vrše proračuni.

Na primjer, trebate pomnožiti brojeve 38 I 56 . Mi to radimo na ovaj način:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Biće još lakše uraditi usmeno množenje dvocifrenih brojeva u tri operacije. Prvo morate pomnožiti desetice, zatim dodati dva proizvoda jedinica sa deseticama, a zatim dodati proizvod jedinica po jedinici. izgleda ovako: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Da biste uspješno koristili ovu metodu, morate dobro poznavati tablicu množenja, biti u stanju brzo sabirati dvocifrene i trocifrene brojeve i prelaziti između matematičkih operacija bez zaboravljanja međurezultata. Posljednja vještina se postiže kroz pomoć i vizualizaciju.

Ova metoda nije najbrža i najefikasnija, pa je vrijedno istražiti druge metode usmenog množenja.

Uklapanje brojeva

Možete pokušati dovesti aritmetičko izračunavanje u pogodniji oblik. Na primjer, proizvod brojeva 35 I 49 može se zamisliti na ovaj način: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Ova metoda može biti efikasnija od prethodne, ali nije univerzalna i nije prikladna za sve slučajeve. Nije uvijek moguće pronaći odgovarajući algoritam za pojednostavljenje problema.

Na ovu temu prisjetio sam se jedne anegdote o tome kako je jedan matematičar plovio rijekom pored farme i rekao svojim sagovornicima da je uspio brzo izbrojati broj ovaca u toru, 1358 ovaca. Na pitanje kako je to uradio, rekao je da je jednostavno - potrebno je izbrojati broj nogu i podijeliti sa 4.

Vizualizacija stupnog množenja

Ovo je jedan od najuniverzalnijih načina usmenog množenja brojeva, razvijajući prostornu maštu i pamćenje. Prvo, treba da naučite da množite dvocifrene brojeve jednocifrenim brojevima u koloni u vašoj glavi. Nakon toga možete lako množiti dvocifrene brojeve u tri koraka. Prvo, dvocifreni broj se mora pomnožiti s deseticama drugog broja, zatim pomnožiti s jedinicama drugog broja, a zatim zbrojiti rezultirajuće brojeve.

izgleda ovako: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Vizuelizacija sa rasporedom brojeva

Vrlo zanimljiv način množenja dvocifrenih brojeva je sljedeći. Morate uzastopno množiti cifre u brojevima da dobijete stotine, jedinice i desetice.

Recimo da trebate množiti 35 on 49 .

Prvo se množite 3 on 4 , shvatate 12 , onda 5 I 9 , shvatate 45 . Snimanje 12 I 5 , sa razmakom između njih, i 4 zapamti.

dobijate: 12 __ 5 (zapamti 4 ).

Sada se množite 3 on 9 , And 5 on 4 , i sumiramo: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Sada moramo 47 dodati 4 koje pamtimo. Dobijamo 51 .

Mi pišemo 1 u sredini i 5 dodaj 12 , dobijamo 17 .

Ukupno, broj koji smo tražili je 1715 , to je odgovor:

35 * 49 = 1715
Pokušajte množiti u svojoj glavi na isti način: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Kinesko ili japansko množenje

U azijskim zemljama uobičajeno je da se brojevi množe ne u koloni, već crtanjem linija. Za istočnjačke kulture važna je želja za kontemplacijom i vizualizacijom, zbog čega su vjerovatno smislili tako lijepu metodu koja vam omogućava da množite bilo koje brojeve. Ova metoda je komplikovana samo na prvi pogled. Zapravo, veća jasnoća vam omogućava da koristite ovu metodu mnogo efikasnije od množenja po koloni.

Osim toga, poznavanje ove drevne orijentalne metode povećava vašu erudiciju. Slažete se, ne mogu se svi pohvaliti da znaju drevni sistem množenja koji su Kinezi koristili prije 3000 godina.

Video o tome kako Kinezi množe brojeve

Detaljnije informacije možete dobiti u odjeljcima “Svi kursevi” i “Uslužni programi”, kojima se može pristupiti preko gornjeg menija stranice. U ovim odjeljcima, članci su grupirani po temama u blokove koji sadrže najdetaljnije (koliko je moguće) informacije o različitim temama.

Također se možete pretplatiti na blog i saznati više o svim novim člancima.
Ne treba puno vremena. Samo kliknite na link ispod: