Talasna jednačina, diferencijalna jednačina sa parcijalnim derivatima, koja opisuje proces širenja poremećaja u određenoj sredini Tikhonov A.N. i Samarsky A.A., Jednačine matematičke fizike, 3. izdanje, M., 1977. - str. 155....
Klasifikacije hiperboličkih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi
Toplotna jednačina je parcijalna diferencijalna jednačina paraboličkog tipa koja opisuje proces širenja toplote u neprekidnom mediju (gas...
Matematičke metode koje se koriste u teoriji sistema čekanja
Vjerovatnoće stanja sistema se mogu naći iz sistema Kolmogorovljevih diferencijalnih jednadžbi, koje se sastavljaju prema sljedećem pravilu: Na lijevoj strani svakog od njih nalazi se izvod vjerovatnoće i-tog stanja...
Nestacionarna Rikati jednadžba
1. Opća Riccati jednadžba ima oblik: , (1.1) gdje su P, Q, R kontinuirane funkcije od x kao x promjena u intervalu Jednačina (1.1) sadrži kao posebne slučajeve jednadžbe koje smo već razmatrali: sa dobijamo a linearna jednačina, sa -jednačinom Bernoulli...
Osnove naučnog istraživanja i planiranja eksperimenata u transportu
Dobijmo funkcionalnu zavisnost Y = f(X) (regresiona jednadžba) metodom najmanjih kvadrata (LSM). Koristite linearne (Y = a0 + a1X) i kvadratne zavisnosti (Y = a0 + a1X + a2X2) kao aproksimativne funkcije. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, vrijednosti a0...
Postavimo pol polarnog koordinatnog sistema na početak pravougaonog koordinatnog sistema, polarna osa je kompatibilna sa pozitivnom x-osom (slika 3). Rice. 3 Uzmite jednačinu prave u normalnom obliku: (3.1) - dužina okomice...
Polarni koordinatni sistem na ravni
Napravimo jednačinu u polarnim koordinatama za kružnicu koja prolazi kroz pol, sa centrom na polarnoj osi i poluprečnikom R. Iz pravouglog trokuta OAA dobijamo OA = OA (slika 4)...
Koncepti teorije uzorkovanja. Serija distribucije. Korelaciona i regresiona analiza
Proučavati: a) koncept uparene linearne regresije; b) sastavljanje sistema normalnih jednačina; c) svojstva procjena korištenjem metode najmanjih kvadrata; d) tehnika za pronalaženje jednačine linearne regresije. Pretpostavimo...
Konstrukcija rješenja diferencijalnih jednadžbi u obliku stepena niza
Kao primjer primjene izgrađene teorije, razmotrite Beselovu jednačinu: (6.1) Gdje. Singularna tačka z =0 je regularna. U završnom dijelu aviona nema drugih karakteristika. U jednačini (6.1), dakle, jednačina koja definiše ima oblik, tj.
Rješavanje matričnih jednadžbi
Matrična jednadžba XA=B također se može riješiti na dva načina: 1. Inverzna matrica se izračunava bilo kojom od poznatih metoda. Tada će rješenje matrične jednadžbe izgledati ovako: 2...
Rješavanje matričnih jednadžbi
Gore opisane metode nisu prikladne za rješavanje jednačina oblika AX=XB, AX+XB=C. Oni također nisu prikladni za rješavanje jednačina u kojima je barem jedan od faktora za nepoznatu matricu X singularna matrica...
Rješavanje matričnih jednadžbi
Jednačine oblika AX = HA rješavaju se na isti način kao u prethodnom slučaju, odnosno element po element. Rješenje se ovdje svodi na pronalaženje permutacijske matrice. Pogledajmo pobliže primjer. Primjer. Pronađi sve matrice...
Stacionarni rad mreže čekanja sa konturom u obliku dijamanta
Iz stanja može ići u jedno od sljedećih stanja: - zbog dolaska aplikacije u red prvog čvora sa intenzitetom; - zbog prijema aplikacije obrađene u njoj iz prvog čvora u red trećeg čvora intenziteta od...
Trigonometrijske funkcije
Arktangens broja je broj čiji je sinus jednak a: ako i. Svi korijeni jednadžbe mogu se pronaći pomoću formule:...
Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema
Centrirano u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.
tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .
kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .
Tangenta
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.
Grafikon tangentne funkcije, y = tan x
Kotangens
Gdje n- cela.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.
Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangente i kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.
Paritet
Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.
Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje
Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Obim i kontinuitet | ||
| Raspon vrijednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povećanje | - | |
| Silazno | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Nule, y = 0 | ||
| Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
;
;
;
;
;
Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike
Preostale formule je lako dobiti, na primjer
Proizvod tangenti
Formula za zbir i razliku tangenta
Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
;
;
Derivati
; .
.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >
Integrali
Proširenja serije
Da biste dobili ekspanziju tangente po stepenu x, potrebno je uzeti nekoliko članova proširenja u nizu stepena za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.
U .
u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije tangente i kotangensa su arktangens i arkkotangens, respektivno.
Arktangent, arctg
, Gdje n- cela.
Arkotangenta, arcctg
, Gdje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere, 2012.
>> Arktangenta i arkkotangensa. Rješavanje jednadžbi tgx = a, ctgx = a
§ 19. Arktangens i arkotangens. Rješavanje jednadžbi tgx = a, ctgx = a
U primjeru 2 iz §16 nismo uspjeli riješiti tri jednačine:
Dva od njih smo već riješili - prvi u § 17 i drugi u § 18, za to smo morali uvesti pojmove arc kosinus i arcsin. Razmotrimo treću jednačinu x = 2.
Grafovi funkcija y=tg x i y=2 imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, apscise svih ovih tačaka imaju oblik - apscisa tačke preseka prave linije y = 2 sa glavnom granom tangentoida (Sl. 90). Za broj x1 matematičari su smislili oznaku acrtg 2 (čitaj "lučni tangent dva"). Tada se svi korijeni jednačine x=2 mogu opisati formulom x=arctg 2 + pk.
Šta je agctg 2? Ovo je broj tangenta koji je jednak 2 i koji pripada intervalu
Razmotrimo sada jednačinu tg x = -2.
Grafovi funkcija 
imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, apscise svih ovih tačaka imaju oblik 
apscisa tačke preseka prave linije y = -2 sa glavnom granom tangentoida. Za broj x 2, matematičari su smislili oznaku arctg(-2). Tada se svi korijeni jednadžbe x = -2 mogu opisati formulom
Šta je acrtg(-2)? Ovo je broj čiji je tangent -2 i koji pripada intervalu. Imajte na umu (vidi sliku 90): x 2 = -x 2. To znači da je arctg(-2) = - arctg 2.
Hajde da formulišemo definiciju arktangensa u opštem obliku.
Definicija 1. arctg a (arc tangent a) je broj iz intervala čiji je tangent jednak a. dakle,
Sada smo u poziciji da izvučemo opšti zaključak o rješenju jednačine x=a: jednačina x = a ima rješenja
Gore smo napomenuli da je arctg(-2) = -arctg 2. Općenito, za bilo koju vrijednost a vrijedi formula
Primjer 1. Izračunati: 
Primjer 2. Riješite jednačine:
A) Kreirajmo formulu rješenja:
Vrijednost arktangensa u ovom slučaju ne možemo izračunati, pa ćemo rješenje jednadžbe ostaviti u dobijenom obliku.
odgovor:
Primjer 3. Riješite nejednačine: 
Nejednakosti oblika mogu se riješiti grafički, pridržavajući se sljedećih planova
1) konstruisati tangentu y = tan x i pravu liniju y = a;
2) odabrati za glavnu granu tangeisoida interval x ose na kome je zadovoljena data nejednakost;
3) uzimajući u obzir periodičnost funkcije y = tan x, napiši odgovor u opštem obliku.
Primijenimo ovaj plan da riješimo date nejednačine.
: a) Napravimo grafove funkcija y = tgh i y = 1. Na glavnoj grani tangentsoida one se sijeku u tački
Odaberimo interval x ose na kojem se nalazi glavna grana tangentoida ispod prave linije y = 1 - to je interval
Uzimajući u obzir periodičnost funkcije y = tgh, zaključujemo da je data nejednakost zadovoljena na bilo kojem intervalu oblika:
Unija svih takvih intervala predstavlja opšte rešenje zadate nejednakosti.
Odgovor se može napisati i na drugi način:
b) Napravimo grafove funkcija y = tan x i y = -2. Na glavnoj grani tangentoida (slika 92) seku se u tački x = arctg(-2).
Odaberimo interval x ose na kojem je glavna grana tangentoida
Razmotrimo jednačinu sa tan x=a, gdje je a>0. Grafovi funkcija y=ctg x i y =a imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, apscise svih ovih tačaka imaju oblik: x = x 1 + pk, gde je x 1 =arccstg a apscisa tačke preseka prave linije y=a sa glavnom granom tangentoida (slika 93). To znači da je arcstg a broj čiji je kotangens jednak a i koji pripada intervalu (0, n); na ovom intervalu se konstruiše glavna grana grafa funkcije y = stg x.
Na sl. 93 također predstavlja grafičku ilustraciju rješenja jednačine c1tg = -a. Grafovi funkcija y = stg x i y = -a imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, apscise svih ovih tačaka imaju oblik x = x 2 + pk, gdje je x 2 = agsstg (- a) apscisa tačka preseka prave y = -a sa tangentoidnom granom glavne linije. To znači da je arcstg(-a) broj čiji je kotangens jednak -a i koji pripada intervalu (O, n); na ovom intervalu se konstruiše glavna grana grafa funkcije Y = stg x.
Definicija 2. arccstg a (arc kotangens a) je broj iz intervala (0, n) čiji je kotangens jednak a.
dakle,
Sada možemo izvući opći zaključak o rješenju jednačine ctg x = a: jednačina ctg x = a ima rješenja:
Imajte na umu (vidi sliku 93): x 2 = n-x 1. To znači da
Primjer 4. Izračunati:
A) Recimo
Jednačina stg x=a se skoro uvek može pretvoriti u formu.Izuzetak je jednačina stg x =0. Ali u ovom slučaju, iskoristite činjenicu da možete otići
jednačina cos x=0. Dakle, jednačina oblika x = a nije od nezavisnog interesa.
A.G. Mordkovich algebra 10. razred
Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje
Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu, metodološke preporuke, programi diskusije Integrisane lekcijeRanije tokom programa učenici su stekli ideju o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, upoznali su se s pojmovima ark kosinusa i arc sinusa, te primjerima rješenja jednadžbi cos t = a i sin t = a. U ovom video tutorijalu ćemo pogledati rješavanje jednadžbi tg x = a i ctg x = a.
Za početak proučavanja ove teme, razmotrite jednadžbe tg x = 3 i tg x = - 3. Ako riješimo jednačinu tg x = 3 pomoću grafika, vidjet ćemo da je presjek grafova funkcija y = tg x i y = 3 ima beskonačan broj rješenja, gdje je x = x 1 + πk. Vrijednost x 1 je x koordinata presječne točke grafova funkcija y = tan x i y = 3. Autor uvodi koncept arktangenta: arktan 3 je broj čiji je tan jednak 3, a ovaj broj pripada intervalu od -π/2 do π/2. Koristeći koncept arktangensa, rješenje jednačine tan x = 3 može se zapisati kao x = arctan 3 + πk.
Analogno je riješena jednačina tg x = - 3. Iz konstruiranih grafova funkcija y = tg x i y = - 3 jasno je da će presječne točke grafova, a samim tim i rješenja jednadžbi, biti biti x = x 2 + πk. Koristeći arktangens, rješenje se može napisati kao x = arktan (- 3) + πk. Na sljedećoj slici vidimo da je arctg (- 3) = - arctg 3.
Opšta definicija arktangensa je sljedeća: arktangent a je broj iz intervala od -π/2 do π/2 čiji je tangent jednak a. Tada je rješenje jednačine tan x = a x = arctan a + πk.
Autor daje primjer 1. Nađite rješenje izraza arktan.Uvedite oznaku: arktangens broja je jednak x, tada će tg x biti jednak datom broju, gdje x pripada segmentu od -π /2 do π/2. Kao iu primjerima u prethodnim temama, koristit ćemo tablicu vrijednosti. Prema ovoj tabeli, tangent ovog broja odgovara vrijednosti x = π/3. Zapišimo rješenje jednačine: arktangens datog broja je jednak π/3, π/3 također pripada intervalu od -π/2 do π/2.
Primjer 2 - izračunati arktangens negativnog broja. Koristeći jednakost arctg (- a) = - arctg a, unosimo vrijednost x. Slično primjeru 2, zapisujemo vrijednost x koja pripada segmentu od -π/2 do π/2. Iz tabele vrijednosti nalazimo da je x = π/3, dakle, -- tg x = - π/3. Odgovor na jednačinu je - π/3.
Razmotrimo primjer 3. Riješite jednačinu tg x = 1. Napišite da je x = arctan 1 + πk. U tabeli, vrijednost tg 1 odgovara vrijednosti x = π/4, dakle, arctg 1 = π/4. Zamijenimo ovu vrijednost u originalnu formulu x i napišemo odgovor x = π/4 + πk.
Primjer 4: izračunajte tan x = - 4.1. U ovom slučaju x = arktan (- 4.1) + πk. Jer U ovom slučaju nije moguće pronaći vrijednost arctg; odgovor će izgledati kao x = arctg (- 4.1) + πk.
U primjeru 5 razmatra se rješenje nejednakosti tg x > 1. Da bismo je riješili, konstruiramo grafove funkcija y = tan x i y = 1. Kao što se može vidjeti na slici, ovi grafovi se sijeku u tačkama x = π/4 + πk. Jer u ovom slučaju tg x > 1, na grafu ističemo tangentoidno područje koje se nalazi iznad grafika y = 1, gdje x pripada intervalu od π/4 do π/2. Odgovor zapisujemo kao π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Zatim, razmotrite jednačinu cot x = a. Na slici su prikazani grafovi funkcija y = cot x, y = a, y = - a, koje imaju mnogo presječnih točaka. Rješenja se mogu zapisati kao x = x 1 + πk, gdje je x 1 = arcctg a i x = x 2 + πk, gdje je x 2 = arcctg (- a). Primjećuje se da je x 2 = π - x 1 . To implicira jednakost arcctg (- a) = π - arcctg a. Sljedeća je definicija kotangensa luka: arc kotangens a je broj iz intervala od 0 do π čiji je kotangens jednak a. Rješenje jednačine stg x = a zapisuje se kao: x = arcctg a + πk.
Na kraju video lekcije dolazi se još jedan važan zaključak - izraz ctg x = a može se napisati kao tg x = 1/a, pod uslovom da a nije jednako nuli.
DEKODIRANJE TEKSTA:
Razmotrimo rješavanje jednadžbi tg x = 3 i tg x = - 3. Grafički rješavajući prvu jednačinu vidimo da grafovi funkcija y = tg x i y = 3 imaju beskonačno mnogo presječnih točaka čije apscise pišemo u formi
x = x 1 + πk, gde je x 1 apscisa tačke preseka prave linije y = 3 sa glavnom granom tangentoida (slika 1), za koju je izmišljena oznaka
arctan 3 (lučni tangent od tri).
Kako razumjeti arctg 3?
Ovo je broj čiji je tangent 3 i ovaj broj pripada intervalu (- ;). Tada se svi korijeni jednadžbe tg x = 3 mogu napisati formulom x = arctan 3+πk.
Slično, rješenje jednačine tg x = - 3 može se zapisati u obliku x = x 2 + πk, gdje je x 2 apscisa točke presjeka prave linije y = - 3 sa glavnom granom linije tangentoid (slika 1), za koji je oznaka arctg(- 3) (lučna tangenta minus tri). Tada se svi korijeni jednadžbe mogu napisati formulom: x = arctan(-3)+ πk. Slika pokazuje da je arctg(- 3)= - arctg 3.
Hajde da formulišemo definiciju arktangensa. Arktangent a je broj iz intervala (-;) čiji je tangent jednak a.
Često se koristi jednakost: arctg(-a) = -arctg a, koja vrijedi za bilo koje a.
Poznavajući definiciju arktangensa, možemo donijeti opći zaključak o rješenju jednadžbe
tg x= a: jednadžba tg x = a ima rješenje x = arctan a + πk.
Pogledajmo primjere.
PRIMJER 1. Izračunajte arktan.
Rješenje. Neka je arctg = x, tada je tgh = i xϵ (- ;). Prikaži tablicu vrijednosti Dakle, x =, budući da je tg = i ϵ (- ;).
Dakle, arktan =.
PRIMJER 2. Izračunajte arktan (-).
Rješenje. Koristeći jednakost arctg(- a) = - arctg a, pišemo:
arctg(-) = - arctg . Neka je - arctg = x, zatim - tgh = i xϵ (- ;). Dakle, x =, pošto je tg = i ϵ (- ;). Prikaži tabelu vrijednosti
To znači - arctg=- tgh= - .
PRIMJER 3. Riješite jednačinu tgh = 1.
1. Zapišite formulu rješenja: x = arctan 1 + πk.
2. Pronađite vrijednost arktangensa
pošto je tg = . Prikaži tabelu vrijednosti
Dakle, arctan1= .
3. Stavite pronađenu vrijednost u formulu rješenja:
PRIMJER 4. Riješite jednačinu tgh = - 4.1 (tangenta x je jednaka minus četiri tačke jedan).
Rješenje. Napišimo formulu rješenja: x = arktan (- 4.1) + πk.
Ne možemo izračunati vrijednost arktangensa, pa ćemo rješenje jednadžbe ostaviti u dobijenom obliku.
PRIMJER 5. Riješite nejednačinu tgh 1.
Rješenje. Rešićemo to grafički.
- Konstruirajmo tangentu
y = tgx i prava y = 1 (slika 2). Seku se u tačkama kao što su x = + πk.
2. Odaberimo interval x-ose u kojem se glavna grana tangentoida nalazi iznad prave linije y = 1, pošto je po uslovu tgh 1. Ovo je interval (;).
3. Koristimo periodičnost funkcije.
Svojstvo 2. y=tg x je periodična funkcija s glavnim periodom π.
Uzimajući u obzir periodičnost funkcije y = tgh, pišemo odgovor:
(;). Odgovor se može napisati kao dvostruka nejednakost:
Pređimo na jednačinu ctg x = a. Predstavimo grafičku ilustraciju rješenja jednadžbe za pozitivno i negativno a (slika 3).
Grafovi funkcija y = ctg x i y = a i također
y=ctg x i y=-a
imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka čije apscise izgledaju ovako:
x = x 1 +, gde je x 1 apscisa tačke preseka prave linije y = a sa glavnom granom tangentoida i
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, gde je x 2 apscisa tačke preseka prave
y = - a sa glavnom granom tangentoida i x 2 = arcctg (- a).
Imajte na umu da je x 2 = π - x 1. Dakle, zapišimo važnu jednakost:
arcctg (-a) = π - arcctg a.
Formulirajmo definiciju: arc kotangens a je broj iz intervala (0;π) čiji je kotangens jednak a.
Rješenje jednačine ctg x = a zapisuje se u obliku: x = arcctg a + .
Imajte na umu da se jednadžba ctg x = a može transformirati u oblik
tg x = , osim kada je a = 0.
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!
Jednakost koja sadrži nepoznanicu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.
1. Jednačina `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednačina `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednačina `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednačina `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.
Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli
za sinus: 
za kosinus: 
Za tangentu i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.
Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcija na homogenu jednačinu
Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).
Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Prelazak na pola ugla
Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Uvođenje pomoćnog ugla
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:
`grijeh (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!
Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.