Juftning algebraik momenti tushunchasidan foydalanish qulay, agar barcha juftliklar bir tekislikda yotsa. Endi tasavvur qiling-a, bir-biriga nisbatan harakat tekisliklari kosmosda joylashgan juftlarni ko'rib chiqish kerak. Bunda juftlikning vektor momenti tushunchasi kiritiladi. Markazdagi kuchning vektor momentiga o'xshab, juftlikning vektor momenti quyidagilarni aniqlashi kerak:

bu juftlikning harakat tekisligi;

bu tekislikdagi juftlikning aylanish yo'nalishi;

juftlik momentining raqamli qiymati.

Shunday qilib, bu vektorning moduli o'zboshimchalik bilan tanlangan shkala bo'yicha juftlik momentining raqamli qiymatini ifodalashi kerak va bu vektorning yo'nalishi tekislikka perpendikulyar yo'nalishni aniqlashi kerak.

er-xotinning harakatlari. Juftning vektor momentini uning tekisligiga perpendikulyar bo'ylab shu yo'nalishga yo'naltirish odatiy holdir, shunda juftlikka uning uchidan qarab,

bu juftlik tanani soat sohasi farqli ravishda aylantirayotganiga qarang (25-rasm).

Juftning jismga ta'siri uning harakat tekisligidagi holatiga bog'liq emasligiga asoslanib, juftlikning vektor momentini qo'llash nuqtasi muhim emas. An'anaviy ravishda bu nuqta ushbu juftlik kuchlarini qo'llash nuqtalarini bog'laydigan segmentning o'rtasi sifatida qabul qilinadi.

Juftlarni qo'shish. Juftlik muvozanat shartlari

Bir tekislikda yotgan juftlarni qo'shish teoremasi. Bir tekislikda yotgan juftliklar tizimi bir juftlikda yotadigan juftlikka tengdir.

tekislik va juftlik hadlari momentlarining algebraik yig'indisiga teng momentga ega.

Isbot: Uch juftlik tanada lahzalar bilan harakat qilsin ,
,
(26-rasm, a). Juftlik ekvivalentlik teoremasiga asoslanib, biz bu juftlarni uchta juft bilan almashtira olamiz
,
,
umumiy yelkaga ega bo'lish va bir xil fikrlar:
,
,
(26-rasm, b). Nuqtalarda qo'llaniladigan kuchlarni alohida qo'shish va , biz nuqtaga erishamiz kuch , va nuqtada kuch , bu mutlaq qiymatda teng bo'ladi (26-rasm, ichida).

Natijada, butun juftlik tizimi bir juftlik bilan almashtiriladi
bir lahza bilan. dan ish uchun » lahzalar bilan juftliklar ,
, …
, tizim moment bilan bir juft bilan almashtiriladi
. Agar juftliklar fazoda joylashgan bo'lsa, u holda vektor tengligiga o'tishimiz mumkin
. Ushbu vektor tengligini o'qda proyeksiya qilish Dekart tizimi koordinatalarini olamiz
,
,
.

Demak, biz juftliklar sistemasi uchun muvozanat shartini olamiz: juftlik tizimining muvozanati uchun hosil bo'lgan juftlik momenti nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir.
.

Geometrik muvozanat sharti : ixtiyoriy juftlik tizimining muvozanati uchun hosil boʻlgan juftlikning vektor momenti nolga teng boʻlishi zarur va yetarlidir.
.

Analitik muvozanat sharti :
yoki o'qlardagi proyeksiyalar orqali
,
,
. (7)

Mavzu 5. Kuchlar tizimini markazga keltirish

Tizimdan ruxsat bering " » bir tekislikda yotgan kuchlar.

M Agar ular bir nuqtada kesishsa yoki parallel bo'lsa, biz ularni qo'shishimiz mumkin. Biroq, agar bu kuchlar o'zboshimchalik bilan tekislikda joylashgan bo'lsa, unda bu kuchlarni qandaydir markazga olib kelish kerak bo'ladi. Keling, ushbu kuchni olib kelish tartibini ko'rsatamiz bu markaz bitta kuch misolida. Teorema. Har qanday berilgan kuch kuchlarning kattaligi va yo'nalishi bo'yicha bir xil, lekin tananing boshqa nuqtasida va ba'zi bir juftlikda qo'llaniladi.

Quvvat berilgan bir nuqtada qo'llaniladi (27-rasm, a). Bu kuchni o'zboshimchalik bilan tanlangan markazga olib kelish talab qilinadi va tananing holati o'zgarmasligi uchun. Nuqtaga murojaat qiling ikki qarama-qarshi kuch
va
, kattaligi kuchga teng (27-rasm, b). Keyin kuchlar va
juftlik hosil qiling. Shuning uchun, bu kuch teng kuch bilan almashtirilishi mumkin
tananing har qanday nuqtasida qo'llaniladi, va bir juft
moment bilan
, bu isbotlanishi kerak edi (27-rasm, ichida).

Isbotlangan teoremadan biz bu kuchni o'ziga parallel ravishda o'tkazish mumkinligini aniqlaymiz har qanday nuqta mos keladigan juftlikning ulanishi bilan tanasi. Shuning uchun, er-xotin
chaqirdi biriktirilgan . Biriktirilgan juftlikning moment moduli ga teng
. Boshqa tomondan, ish
kuch momentidir yangi ma'lumot markaziga nisbatan :
.Demak,
, biriktirilgan juftlikning momenti
kuch momentiga teng eski markazga biriktirilgan nisbatan yangi markaz .

Yassi kuchlar tizimini berilgan markazga keltirish. Maxsus qisqartirish holatlari

Tana ustida ishlasin ixtiyoriy tizim kuchlar ,, …,bir xil tekislikda yotish (28-rasm, a). Ushbu tekislikda ixtiyoriy nuqtani oling , biz uni chaqiramiz ma'lumot markazi, va yuqorida isbotlangan teoremadan foydalanib, biz barcha kuchlarni markazga keltiramiz (28-rasm, b).

Natijada, markazda Biz yaqinlashuvchi kuchlar tizimini va momentlari bo'lgan juft kuchlar tizimini olamiz:
,
, …,
. Birlashtiruvchi kuchlar tizimini yagona kuch bilan almashtirish mumkin , markazda qo'llaniladi , unda
. Xuddi shunday, juftlarni qo'shish teoremasiga ko'ra, barcha juftliklar bir xil tekislikda yotgan bir juft bilan almashtirilishi mumkin. Bu juftlikning momenti
.

Qiymat ga teng geometrik yig'indi sistemaning barcha kuchlari deyiladi tizimning asosiy vektori. qiymat
chaqirdi markaz haqida tizimning asosiy momenti .

Natijada, biz buni o'zboshimchalik bilan qisqartirganda qo'lga kiritdik tekis tizim har qanday markazga kuchlar , biz ikkita vektorni olamiz: sistemaning asosiy vektori hisoblanadi va
- Asosiy nuqta markazga nisbatan tizimlar .

Bu erda shuni ta'kidlash kerak asosiy tizim vektori qisqarish markaziga bog'liq emas, chunki barcha kuchlar o'zlariga parallel ravishda uzatiladi va tizimning asosiy nuqtasi
qisqarish markaziga bog'liq, chunki qisqarish markazi o'zgarganda, kuchlarning elkalari o'zgaradi.

Keling, tekis kuchlar tizimini qaysi oddiy shakllarga qisqartirish mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

a)
,
. Bunday holda, tizim darhol o'zgartiriladi natijasi, bu holda tizimning asosiy vektoriga teng bo'ladi va u nuqtadan o'tadi .

b )
,
. Bunday holda, tizim ham almashtiriladi natijasi, bu ham tizimning asosiy vektoriga teng bo'ladi, lekin u nuqtadan o'tmaydi , va nuqta orqali . Keling, bu haqiqatan ham shunday ekanligini ko'rsatamiz va nuqtaning o'rnini aniqlaymiz . Qisqartirish natijasida biz asosiy vektorni olamiz va asosiy nuqta
markazga nisbatan (29-rasm, a). Keling, bir nechta kuchlarni kuchlar bilan tasvirlaylik va
, va biz bu kuchlarni quyidagi tengliklarga ega bo'ladigan tarzda tanlaymiz:
,
(29-rasm, b). Keyin biz kuchlarni yo'qotamiz va muvozanatli bo'lib, tizim natija bilan almashtirilganligini aniqlaymiz
, lekin nuqta orqali o'tish (29-rasm, ichida). Nuqta pozitsiyasi nisbati bilan belgilanadi
.

Natija momenti haqidagi Varignon teoremasi

Tekislikdagi istalgan nuqtaga nisbatan hosil boʻlgan kuchlar sistemasining momenti bir xil nuqtaga nisbatan tashkil etuvchi kuchlar momentlarining algebraik yigʻindisiga teng.

Bir nuqtada kuchlarning tekis konvergent tizimini ko'rib chiqing (30-rasm, a).

ab c

Keling, ushbu kuchlar tizimini xuddi shu nuqtada qo'llaniladigan natijaviy kuch bilan almashtiramiz (30-rasm, b). Keling, ushbu natijaning nuqtaga nisbatan momentini aniqlaylik eksa ustida yotadi (30-rasm, ichida). Keling, natijani kengaytiraylik komponentlarga aylanadi va , ularning har biri aniqlanadi: ,. Bu proyeksiyalarning nuqtaga nisbatan momentini aniqlash (30-rasm, ichida), biz buni tushunamiz
, kabi nuqtani kesib o'tadi . Keyin. Xuddi shunday, har bir kuchni hisobga olgan holda (30-rasm, a), biz ularning har birining nuqtaga nisbatan momentini olamiz bu kuchlarning o'qga proyeksiyalash momenti bilan aniqlanadi nuqtaga nisbatan , ya'ni. , , . Shuni hisobga olsak, olamiz

. (8)

Quvvat juftligi- bir-biriga mos kelmaydigan harakat chizig'i bo'ylab harakat qiluvchi, mutlaq qiymatga teng ikkita qarama-qarshi yo'naltirilgan parallel kuchlar to'plami.

Juft kuchlar ta'sir qiladigan tekislik juftlikning ta'sir tekisligi deyiladi.

Bir juft kuch momenti arvoh markazini tanlashga bog'liq emas, balki faqat kuchlar modullari va l.f. orasidagi masofa bilan belgilanadi. - er-xotinning yelkasi.

Bir juft kuchning vektor momenti ga teng vektor hisoblanadi vektor mahsuloti radius vektor r, kuchlar vektoriga kuchlarni qo'llash nuqtalarini bog'laydigan va juft kuchlarning ta'sir tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan shunday yo'naltirilganki, unga qarab, kuchlar juftligi ta'sir tekisligini soat miliga teskari tomonga aylantirishga intiladi. .

Bir juft kuchning algebraik momenti juft va juftning qo'lini tashkil etuvchi kuchlardan birining modulining ko'paytmasiga teng va kuch momenti uchun belgi qoidasiga muvofiq belgiga ega.

Juft kuchlarning xossalari. Juftlik ekvivalenti. Juftlarning ekvivalentligi haqidagi teoremalar.

Quvvat juftligi xususiyatlari:

1) Tanadagi ta'sirni o'zgartirmasdan, bir nechta kuchlar harakat tekisligida aylantirilishi va shu tekislikning istalgan joyiga o'tkazilishi mumkin.

2) Siz juftlik va juftlik qo'lini tashkil etuvchi kuchlar modullarini o'zgartirishingiz mumkin, lekin juftlik momenti o'zgarmasdan qoladigan tarzda.

3) Bir juft kuch unga parallel harakat tekisligiga o'tkazilishi mumkin.

Ikki juft kuch deyiladi ekvivalent agar ular geometrik jihatdan teng momentlarga ega bo'lsa.

Demak, bir juft kuch masalalarni yechishda faqat juftlik momenti bilan xarakterlanadi va m=M0(F1;F2) bilan belgilanadi.

t-biz: (1) Kosmosda ixtiyoriy ravishda joylashgan ikki juft kuch momenti juftlar momentlarining geometrik yig'indisiga teng bo'lgan bir juft kuchga ekvivalentdir. (2) agar jismga ixtiyoriy juftlik tizimi ta'sir etsa, hosil bo'lgan juftlikning impuls vektori teng bo'ladi. vektor yig'indisi tashkil etuvchi juftlarning momentlari. (3) Agar barcha juft kuchlar bir tekislikka perpendikulyar joylashgan bo'lsa, u holda juftlik momentlarining vektorlari shu tekislikka u yoki bu yo'nalishda perpendikulyar yo'naltiriladi, shuning uchun juftlik momentlarini algebraik tarzda qo'shish mumkin. (4) kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan juftliklar tizimi ta'sirida jismning muvozanati uchun hosil bo'lgan juftlik momentining 0 ga teng bo'lishi zarur va etarli.

Kuchlar juftligini qo'shish. Juft kuchlar sistemasining muvozanat sharti.

Juft kuchlarni qo'shish teoremasi:

Kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan ikki juft kuch, juftlik momentlarining geometrik yig'indisiga teng bo'lgan moment bilan bir juftga ekvivalentdir.

Agar jismga ixtiyoriy (M1,M2,…,Mn) juftlar sistemasi ta’sir etsa, hosil bo‘lgan juftlikning moment vektori bu juftlikni tashkil etuvchi momentlarning vektor yig‘indisiga teng bo‘ladi. M=M1+M2+…+Mn=SMk (yuqoridagi vektorlar)

Agar ikkita juft kuch bir tekislikda joylashgan bo'lsa, u holda juftlik momentlarining vektorlari u yoki bu tekislikka perpendikulyar yo'naltiriladi. Shuning uchun juftlik momentlarini algebraik tarzda qo'shish mumkin. M=M1+M2+…+Mn=SMk

Juft kuchlar sistemasining muvozanat sharti:

Kosmosda o'zboshimchalik bilan joylashgan juftliklar tizimi ta'siri ostida tananing muvozanati uchun hosil bo'lgan (ekvivalent) juftlik momenti 0 ga teng bo'lishi zarur va etarli.

Agar barcha kuchlar juftligi bir tekislikda (yoki parallel tekisliklarda) joylashgan bo'lsa, muvozanat uchun uni tashkil etuvchi juftlik momentlarining algebraik yig'indisi 0 ga teng bo'lishi kerak.

Asosiy statik lemma haqida parallel uzatish kuch.

37-rasm

1. Vektor yordamida momentning tasviri. O markazga nisbatan kuch momenti (37-rasmga qarang) uning aylanish effektining xarakteristikasi sifatida quyidagi uchta element bilan aniqlanadi:

1) moment moduli, elkaning kuch modulining mahsulotiga teng, ya'ni; 2) kuch va markaz O ning ta'sir chizig'idan o'tuvchi OAB aylanish tekisligi; 3) bu tekislikdagi aylanish yo'nalishi. Barcha kuchlar va markaz O bir tekislikda yotsa, har safar OAB aylanish tekisligini ko'rsatish zaruriyati yo'qoladi va momentni ga teng skalyar algebraik kattalik sifatida aniqlash mumkin, bunda belgi aylanish yo'nalishini ko'rsatadi.

Lekin fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar holatida aylanish tekisliklari y turli kuchlar boshqacha bo'ladi va qo'shimcha ravishda ko'rsatilishi kerak. Tekislikning fazodagi o'rnini shu tekislikka perpendikulyar bo'lgan segmentni (vektorni) ko'rsatish orqali aniqlash mumkin. Agar bir vaqtning o'zida ushbu vektorning moduli kuch momentining moduliga teng tanlangan bo'lsa va bu vektorni uning yo'nalishi kuchning aylanish yo'nalishini aniqlaydigan tarzda yo'naltirishga kelishilgan bo'lsa, unda bunday vektor hamma narsani to'liq aniqlaydi. Bu kuchning O markaziga nisbatan momentini tavsiflovchi uchta element.

Shuning uchun, umumiy holatda, O markazga nisbatan kuchning momenti (37-rasm) O markazda qo'llaniladigan vektor bilan ifodalanadi, mutlaq qiymati (tanlangan masshtabda) ko'paytmasiga teng. kuch va qo'lning moduli h va markaz O va kuchdan o'tuvchi OAB tekisligiga perpendikulyar. Biz vektorni kuch bilan amalga oshirilgan aylanish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'ladigan tomonga yo'naltiramiz. Shunday qilib, vektor bir vaqtning o'zida moment modulini, turli kuchlar uchun har xil bo'lgan BAW ning aylanish tekisligini va bu tekislikdagi aylanish yo'nalishini tavsiflaydi. Vektorni qo'llash nuqtasi moment markazining holatini aniqlaydi.

2. Kuch momentini vektor ko`paytma yordamida ifodalash. Vektorlarning x vektor mahsulotini ko'rib chiqaylik va (37-rasm). A-prior, ,

vektorning modulidan boshlab ham 2 kv ga teng. . Tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan vektor (x). OAB, bilan eng qisqa kombinatsiya (agar ular bir nuqtadan ajratilgan bo'lsa) soat miliga teskari ko'rinadigan yo'nalishda, ya'ni xuddi vektor kabi. . Shuning uchun (x) vektorlari va moduli bo'yicha ham, yo'nalishi bo'yicha ham mos keladi va tekshirish oson bo'lganidek o'lchov bo'yicha, ya'ni bu vektorlarning ikkalasi bir xil miqdorni ifodalaydi. Bu yerdan

bu yerda = vektor nuqtaning radius vektori deyiladi LEKIN markazga nisbatan O.

Shunday qilib, markazga nisbatan kuch momenti O markazni tutashtiruvchi vektor radiusining vektor mahsulotiga teng O kuch qo'llash nuqtasi bilan LEKIN, kuchning o'zida. Muayyan teoremalarni isbotlashda ushbu ifodani kuch momenti uchun ishlatish qulay.

Bir juft kuchning jismga ta'siri quyidagilar bilan tavsiflanadi: 1) juft moment modulining qiymati, 2) ta'sir tekisligi, 3) bu tekislikdagi aylanish yo'nalishi. Bir tekislikda yotmaydigan juftlarni ko'rib chiqayotganda, har bir juftlikni tavsiflash uchun ushbu uchta elementni ko'rsatish kerak bo'ladi. Agar biz kuch momentiga o'xshatib, mos ravishda tuzilgan vektorda juftlik momentini ko'rsatishga rozi bo'lsak, buni amalga oshirish mumkin, ya'ni: biz m yoki M vektori bilan juftlik momentini ifodalaymiz, moduli juftlik momentining moduliga teng (tanlangan shkala bo'yicha), ya'ni. uning kuchlaridan birining yelkasidagi mahsuloti va juftlikning aylanishi soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'lgan ko'rinadigan yo'nalishda juftlikning harakat tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan (38-rasm).

Mexanikada kuchlar juftligi kuch tushunchasi bilan bir qatorda asosiy tushunchalardan biri sifatida qaraladi.

Quvvat juftligi – ikkita parallel, qarama-qarshi yo'naltirilgan va bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan kattaliklari teng kuchlar tizimi.

Bir juft kuchning harakat tekisligi – kuchlarning harakat chiziqlari joylashgan tekislik.

Quvvat juft yelkasi – juft kuchlarni tashkil etuvchi kuchlarning ta'sir chiziqlari orasidagi eng qisqa masofa (perpendikulyar uzunligi).

Shaklda. 1.34 ta'sir tekisligi OXY mos yozuvlar tizimi OXY tekisligida joylashgan kuchlar juftligini ko'rsatadi.

Kuchlar F 1 , F 2 bir juft kuch hosil qiladi. F 1 = F 2 ; F 1 = – F 2. Biroq, er-xotinning kuchlari muvozanatli emas, chunki ular bir tekis chiziqqa yo'naltirilmagan. Bir juft kuch, u qo'llaniladigan tananing aylanishini keltirib chiqarishga intiladi. Bir juft kuchning tanaga ta'siri uning momenti bilan tavsiflanadi.

Bir juft kuchning tanaga ta'sirini miqdoriy tavsiflash va bir juft kuchning tanani aylantirishga moyilligini ko'rsatish uchun kontseptsiya kiritilgan. bir juft kuchning algebraik momenti .

Bir juft kuchning algebraik momenti – tegishli belgi bilan olingan, uning qo'lidagi kuchlardan birining modulining mahsulotiga teng qiymat.

M = ± F 1 h = ± F 2 soat.

Bir juft kuchning algebraik momenti, agar juft kuchlar tanani soat yo'nalishi bo'yicha aylantirishga moyil bo'lsa, ijobiy, soat yo'nalishi bo'yicha aylanish yo'nalishi bo'yicha esa salbiy hisoblanadi. SI tizimida bir juft kuchning momenti Nm bilan o'lchanadi.

Shaklda. 1. 35 bir juft kuchlarni tasvirlaydi ( F 1 , F 2), harakat chiziqlari OXY tekisligida yotadi.

Bir juft kuch momenti – juft kuchlarning mexanik ta'sirining vektor o'lchovi, bu juftlik kuchlaridan birining boshqa kuchni qo'llash nuqtasiga nisbatan momentiga teng.

Bir juft kuchning momenti vektor bilan ifodalanadi M. Moment vektori M juft kuchlar ( F 1 , F 2) bir juft kuchning ta'sir tekisligiga perpendikulyar yon tomonga yo'naltirilgan bo'lib, u erdan soat yo'nalishi bo'yicha aylanishga teskari yo'nalishda o'z ta'sir tekisligini aylantirishga moyil bo'lgan bir juft kuch ko'rinadi. Ta'rifga ko'ra (1.35-rasmga qarang), M^ j, M^ i, M = F 1 × h = F 2 h. Shunday qilib, bir juft kuch to'liq momenti bilan tavsiflanadi M.

Teorema. Bir tekislikda yotgan kuchlar juftligi, agar ularning algebraik momentlari son jihatdan teng bo'lsa va bir xil ishoraga ega bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.

Bu teoremani isbotlash qiyin emas va bu yerda keltirilmagan.

Teoremadan kelib chiqadigan natijalar:

1. Bir juft kuch, tanaga ta'sirini o'zgartirmasdan, aylantirilishi va uning harakat tekisligining istalgan joyiga o'tkazilishi mumkin.

2. Bir juft kuch uchun siz juftlikning algebraik momentini va harakat tekisligini saqlab qolgan holda, elka va kuch modulini o'zgartirishingiz mumkin.

Teoremaning mohiyati va uning natijalari rasmda ko'rsatilgan. 1.36, bu ekvivalent algebraik va vektor momentlari bo'lgan kuchlar juftligini ko'rsatadi. Kuch juftlarining harakat tekisliklari YOZ tekisligi bilan mos tushadi.

Teorema. Kosmosdagi juft kuchlar, agar ularning momentlari geometrik jihatdan teng bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.

Bu teoremaning isboti ham juda oddiy va bu yerda keltirilmagan.

Kuchlar juftligi haqidagi teoremalardan kelib chiqadi Xulosa: bir juft kuchning tanaga ta'sirini o'zgartirmasdan, bir juft kuch har qanday tekislikka o'tkazilishi mumkin, tekislikka parallel uning harakatlari, shuningdek, momentning moduli va yo'nalishini o'zgarmagan holda, uning kuchi va leverageni o'zgartiradi.

Shunday qilib, bir juft kuch momentining vektori istalgan nuqtaga o'tkazilishi mumkin, ya'ni kuchlar juftligi momenti bepul vektor .

Bir juft kuch momentining vektori uchta elementni aniqlaydi: juftlikning harakat tekisligining holati; aylanish yo'nalishi; momentning raqamli qiymati (modul).

O'xshashlikka e'tibor bering: agar kuch vektorini qo'llash nuqtasi ushbu kuchning ta'sir chizig'ining istalgan joyiga joylashtirilishi mumkin bo'lsa ( siljish vektori ), u holda bir juft kuchning vektor momenti tananing istalgan nuqtasida qo'llanilishi mumkin ( bepul vektor ).

Kuchlar juftligi (yoki oddiygina juftlik) mutlaq qiymatiga teng, yo'nalishi qarama-qarshi bo'lgan va tananing turli nuqtalarida qo'llaniladigan ikkita parallel kuchlar to'plamidir (30-rasm). Bir juft kuch belgisi bilan belgilanadi. Kuchlar juft kuchlar deb ataladi; kuchlar yotadigan tekislik juftlikning harakat tekisligi deyiladi.

Juftlik kuchlarining ta'sir chiziqlari orasidagi eng qisqa masofa juftlikning yelkasi deb ataladi (1-rasmdagi AB segmentining uzunligi h).

o'ttiz). Kuchlar o'z harakat chizig'i bo'ylab harakatlanishi mumkinligi sababli, biz juftlik qo'llarining uchlariga qo'llaniladigan juftlik kuchlarini tasvirlaymiz.

Shuningdek, biz juftlikning oddiyroq belgilanishini shaklda ishlatamiz , unda kuchlarni qo'llash nuqtalari uchun belgilar mavjud emas.

Bir juft kuch xarakterlanadi maxsus turdagi jismlarning bir kuch bilan ifodalab bo'lmaydigan o'zaro ta'siri. Shuning uchun statikada kuchlar bilan bir qatorda o'ziga xos xossalari, qo'shish qoidalari va muvozanat shartlariga ega bo'lgan kuchlar juftlari ham alohida ko'rib chiqiladi.

Dastlab, kuchlar juftligi to'rt vektor (31-rasm.) - juftlik kuchlarining ikkita vektori va ikkita radius vektori - ularning qo'llanilishi nuqtalari bilan beriladi. Fazodagi istalgan nuqtani O momentlar markazi deb olaylik va juftlik kuchlarining shu markazga nisbatan momentlarini hisoblaymiz.

U holda oldingi gapni quyidagi ko rinishda ham ifodalash mumkin: juft kuchlar juftligi kuchlari vektorlari va bu kuchlarning ixtiyoriy O ga nisbatan momentlari orqali berilishi mumkin. Endi o zimizga savol beraylik: bu? bir juft kuchni boshqa yo'l bilan belgilash mumkinmi, yaxshisi kamroq miqdordagi aniqlovchi elementlar bilan?

Er-xotinning kuch vektorlarining geometrik yig'indisi har doim nolga teng, shuning uchun uni juftlikni tavsiflash uchun ishlatib bo'lmaydi. O nuqtaga nisbatan juftlik kuchlari momentlarining yig‘indisini hisoblaymiz:

Olingan natijada ikkita holat e'tiborga loyiqdir.

1. Er-xotinning kuch vektorlari yig'indisi har doim nolga teng bo'lsa, juftlik kuch momentlarining yig'indisi nolga teng emas.

2. Juftlik kuchlari momentlarining yig'indisi momentlar markazini tanlashga bog'liq emas - O nuqtasini tanlashga bog'liq vektorlar kerakli yig'indi uchun yakuniy ifodadan chiqib ketishdi.

Shunday qilib, juftlik kuchlari momentlarining yig'indisi faqat juftlikning o'zi elementlariga - juftlikning harakat tekisligiga, kuchlar moduliga va juftlikning yelkasiga bog'liq bo'lib chiqadi. Bu bu miqdorni bir juft kuchning xarakteristikasi sifatida ishlatishni taklif qiladi. Kelajakda juftlik kuchlari momentlarining yig'indisi ushbu juftlik momenti deb ataladi. Juftlik momenti momentlar markazini tanlashga bog'liq emasligi sababli, bu erkin vektor - u har qanday nuqtada qo'llanilishi mumkin. qattiq tana, unga berilgan kuchlar juftligi ta'sir qiladi.

Shunday qilib, bir juft kuchni soddaroq tarzda o'rnatish mumkinmi degan savolga ijobiy javob olindi: bir juft kuch faqat bitta vektorni - juftlik momentini o'rnatish bilan tavsiflanishi mumkin. Bir juft kuch momenti fazoning ixtiyoriy tanlangan O nuqtasiga nisbatan juftlik kuchlari momentlarining geometrik yig'indisiga teng bo'lgan erkin vektor deb ataladi.

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi dalillar juda taxminiydir va hozirgina tuzilgan xulosaning qat'iy isboti bo'la olmaydi. Biroq, statikada bir qator teoremalar mavjud bo'lib, ularda chiqarilgan xulosa qat'iy asoslanadi. Bu teoremalarni nazariy mexanika bo‘yicha to‘liq darsliklarda topish mumkin.

Juftlik momentini aniqlashda O nuqtani tanlashda o‘zboshimchalikdan foydalanib, ko‘proq fikrga kelish mumkin. oson yo'l moment hisoblari. Momentlar markazi sifatida -F kuchning qo'llanish nuqtasini olaylik (31-rasmdagi B nuqta). Keyin yozish mumkin

Bu erda hisobga olinadiki -F kuch B nuqtadan o'tgani uchun momentlar markazi sifatida F kuch qo'llaniladigan A nuqtani olsak, F kuch momenti yo'qoladi va biz shunday bo'lamiz.

Bu juftlik momentini hisoblashning yana bir qoidasiga olib keladi: bir juft kuchning momenti boshqa kuchning qo'llanilishi nuqtasiga nisbatan juftlik kuchlaridan birining momentiga teng.

Shunday qilib, juftlik momentini aniqlash, avvalroq ko'rib chiqilganga o'xshash nuqtaga nisbatan kuch momentini hisoblash va qurishga qisqartiriladi (12-betga qarang).

Natijada, biz quyidagi xulosaga kelamiz: kuchlar juftligi momenti juftlik kuchlari moduli va juftlik qo'lining ko'paytmasiga son jihatdan teng va juftlikning ta'sir tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan vektordir. juftlikning "aylanishi" soat sohasi farqli o'laroq ko'rinadigan yo'nalishda (gimlet qoidasi); juftlik momentini qo'llash nuqtasi sifatida tananing istalgan nuqtasini olish mumkin.

Juftlikning algebraik momenti juftlik kuchlari moduli va juftlik qo'lining mahsuloti bo'lib, agar juftlik o'z tekisligini soat miliga teskari "aylansa" ortiqcha belgisi bilan, aksincha bo'lsa - minus belgisi bilan olinadi.

Shaklda. 32 aylanish o'qiga perpendikulyar o'rnatilgan R radiusli disk tekisligida ta'sir qiluvchi kuchlar juftligini ko'rsatadi. Juftning qo'li diskning diametriga teng, juftlik momentining moduli

Juftlik momenti disk tekisligiga perpendikulyar yo'naltiriladi va diskning istalgan nuqtasida qo'llanilishi mumkin.

Shaklda. 33 shunga o'xshash holatni ko'rsatadi, lekin tekis proektsiyada tasvirlangan. Bu erda juft () kuchlari chizilgan tekisligiga perpendikulyar yo'naltiriladi (belgi yo'naltirilgan vektorlarni ifodalaydi, belgi - o'quvchidan). Juftlik momenti mutlaq qiymatda teng, disk tekisligiga perpendikulyar va chizma tekisligida yotadi (aniqrog'i, chizma tekisligida o'ziga parallel ravishda o'tkazilishi mumkin).

Juftlik momentini qurishning yana ikkita misoli rasmda ko'rsatilgan. 34. Tasvirlangan juftlik momentlarining modullari quyidagi qiymatlarga ega:

Juftlarning moment vektorlari proyeksiyalariga ega:

Majburiy juftlik xususiyatlari

1. Siz momentning kattaligini va juftlik kuchlarining "aylanish" yo'nalishini o'zgarmagan holda qoldirib, kuchlarning kattaligini va juftlik qo'lini o'zgartirishingiz mumkin.

2. Bir juft kuch uning harakat tekisligida istalgan usulda harakatlanishi mumkin.

3. Bir juft kuch har qanday tekislikda o'ziga parallel ravishda harakatlanishi mumkin, u doimo u qo'llaniladigan jism bilan bog'liq.

Ushbu xususiyatlarda sanab o'tilgan harakatlar juftlik momentining kattaligini ham, yo'nalishini ham o'zgartirmaydi, shuning uchun ular er-xotinning ekvivalent o'zgarishlaridir.

Yuqoridagi misollarda bu juftlikning berilgan elementlariga - harakat tekisligiga, kuchlarga va juftning yelkasiga ko'ra momentni qurish haqida edi. Shuningdek, siz teskari masalani qo'yishingiz mumkin - uning momentiga ko'ra bir juft kuch qurish. Uning M momentiga ko'ra bir juft kuch qurish talab qilinsin (35-rasm, a). Buning uchun biz momentning harakat chizig'iga perpendikulyar P tekislikni quramiz (35-rasm, b). Bu tekislik juftlikning harakat tekisligi bo'lib xizmat qiladi. Bu tekislikda bizda ikkita kuch bor