Matritsaning mohiyati

Ta'rif 1

Matritsa - bu raqamlarni o'z ichiga olgan va bir nechta qatorlar ($m$) va ustunlar ($n$) bo'lgan to'rtburchaklar jadval. Matritsaning satrlari chapdan o'ngga bir xil chiziqda joylashgan elementlar, ustunlar esa yuqoridan pastgacha bo'lgan bir xil chiziqda joylashgan elementlardir.

m va n raqamlari matritsaning tartibini (o'lchamini) aniqlaydi.

Matritsaning analogi oddiy ikki o'lchovli jadvaldir.

Matritsalar ustidagi asosiy amallar

Matritsalarda quyidagi asosiy amallarni bajarish mumkin:

Matritsa qo'shish;
Matritsani songa ko'paytirish;
Matritsalarni bir-biriga ko'paytirish (agar matritsalar bir-biriga mos kelsa, qo'llaniladi - ya'ni $A$ matritsasi $B$ matritsadagi qatorlar soniga teng ustunlar soniga ega bo'lishi kerak);
Matritsaning transpozitsiyasi; *Matritsani ustun vektor yoki qatorga ko'paytirish;
Matritsa determinantini hisoblash.

Qoida tariqasida $m\times n$ tartibli matritsa quyidagicha yoziladi:

$\left(\begin(massiv)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(massiv)\o'ng)$ yoki $\left(a_(ij) \o'ng)$ bunda $i=1... m ,j=1..n$.

Kamdan-kam hollarda, matritsa yozish uchun qavslar o'rniga qo'sh vertikal chiziqlar ishlatiladi, masalan, $\left\| a_(ij)\o'ng\| $, bu yerda $i=1...m,j=1..n$.

Izoh 1

Matritsa yozuvidagi $a_(ij)$ raqamlari matritsa elementlari deb ataladi, bunda $i$ — satr raqami, $j$ — ustun raqami.

Matritsani belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflari ko'pincha ishlatiladi: $A, B, C$ va boshqalar.

1-misol

Berilgan $A=\left(\begin(massiv)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(massiv)\right)$

Matritsa qanday o'lchamda ekanligini aniqlang va matritsa elementlarini raqamlari bilan yozing.

Yechim:

Matritsa tartibi $A$: $2\kart 2$.

A matritsa elementlari: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.

Matritsalarning bir nechta turlari mavjud:

Kvadrat va to'rtburchaklar;
Qator vektori va ustun vektori;
skalar;
Diagonal;
Yagona va nol;
Uchburchak.

Kvadrat matritsa$n$ tartibli matritsasi $n\times n$ o'lchovidir, ya'ni. satr va ustunlar soni bir xil, ya'ni satr va ustunlardagi elementlar soni teng.

To'rtburchaklar matritsa$m\times n$ o'lchamli matritsa deyiladi, ya'ni. satr va ustunlar soni bir xil emas.

Qator vektori faqat bitta qator elementlardan tashkil topgan matritsadir, ya'ni. matritsaning o'lchami $1\qat n$.

Ustun vektori faqat bitta ustundan tashkil topgan matritsadir, ya'ni. matritsaning o'lchami $ m \ marta 1 $.

skaler faqat bitta elementni o'z ichiga olgan matritsa deb ataladi, ya'ni. matritsaning o'lchami $1 \ karra 1 $.

2-misol

Matritsa ma'lumotlari:

$A=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(massiv)\o'ng), B=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(massiv)\o'ng),$ $C=\left(\begin(massiv)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(massiv)\o'ng), D=\ chap (\begin(massiv)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(massiv)\o'ng), F=\left(1\o'ng).$

Yechim:

$A=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(massiv)\right)$ - kvadrat matritsa;

$B=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(massiv)\o'ng)$ - to'rtburchaklar matritsa;

$C=\left(\begin(massiv)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(massiv)\right)$ - ustun vektori; $D=\left(\begin(massiv)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(massiv)\right)$ - qator vektori;

$F=\left(1\right)$ skalardir.

kvadrat matritsa asosiy va ikkilamchi diagonallarga ega va:

Asosiy diagonalning elementlari matritsaning yuqori chap burchagidan (element $a_(11)$) matritsaning pastki oʻng burchagiga (element $a_(nn)$) oʻtuvchi chiziqda joylashgan;
Ikkilamchi diagonalning elementlari matritsaning yuqori o'ng burchagidan (element $a_(1n) $) matritsaning pastki chap burchagiga (element $a_(n1) $) yo'naltirilgan chiziqda joylashgan.

Diagonal matritsa asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsadir.

Identifikatsiya matritsasi diagonal matritsa bo'lib, unda asosiy diagonaldagi barcha elementlar bittaga teng, bunday matritsadan transpozitsiya uchun foydalanish mumkin. Identifikatsiya matritsasi uchun belgi $E$.

Nol matritsa barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsadir.

uchburchak matritsa asosiy diagonal ostidagi yoki yuqoridagi elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsadir.

Izoh 2

Yuqori uchburchak va pastki uchburchak matritsalar mavjud. Birinchi holda nol elementlar asosiy diagonaldan pastda, ikkinchi holatda ular asosiy diagonaldan yuqorida joylashgan.

3-misol

Matritsa ma'lumotlari:

$A=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(massiv)\o'ng), B=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & (3) \end(massiv)\o'ng), C=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & (3) \end(massiv)\o'ng), E=\left(\begin(massiv)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(massiv)\o'ng), D=\left(\begin(massiv)( ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \end(massiv)\o'ng).$

Har bir matritsaning turini aniqlang.

Yechim:

$A=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(massiv)\right)$ - diagonal matritsa;

$B=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(massiv)\right)$ - pastki uchburchak matritsa;

$C=\left(\begin(massiv)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(massiv)\right)$ - yuqori uchburchak matritsa;

$E=\left(\begin(massiv)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) ) \end(massiv)\right)$ - identifikatsiya matritsasi;

$D=\left(\begin(massiv)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) ) \end(massiv)\right)$ - nol matritsa.

Ushbu mavzuda biz matritsa tushunchasini, shuningdek, matritsalarning turlarini ko'rib chiqamiz. Bu mavzuda atamalar ko'p bo'lgani uchun men qo'shib qo'yaman xulosa materialda harakat qilishni osonlashtirish uchun.

Matritsa va uning elementining ta’rifi. Belgilash.

Matritsa$m$ satr va $n$ ustunli jadval. Matritsaning elementlari butunlay xilma-xil tabiatga ega ob'ektlar bo'lishi mumkin: raqamlar, o'zgaruvchilar yoki, masalan, boshqa matritsalar. Masalan, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matritsasi 3 ta satr va 2 ta ustundan iborat; uning elementlari butun sonlardir. $\left(\begin(massiv) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & ut & 8\end(massiv) \right)$ matritsasi 2 qator va 4 ustundan iborat.

Matritsalarni yozishning turli usullari: ko'rsatish\yashirish

Matritsa faqat dumaloq qavs ichida emas, balki kvadrat yoki qo'sh to'g'ri qavs ichida ham yozilishi mumkin. Quyida turli belgilarda bir xil matritsa keltirilgan:

$$ \left(\begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \o'ng);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right]; \;\; \left \Vert \begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right \Vert $$

$m\times n$ mahsuloti deyiladi matritsa hajmi. Misol uchun, agar matritsa 5 qator va 3 ustundan iborat bo'lsa, u holda biri $5\kart 3$ matritsasi haqida gapiradi. $\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matritsasi $3 \karra 2$ oʻlchamiga ega.

Matritsalar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi: $A$, $B$, $C$ va hokazo. Masalan, $B=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right)$. Chiziqlarni raqamlash yuqoridan pastgacha boradi; ustunlar - chapdan o'ngga. Masalan, $B$ matritsasining birinchi qatorida 5 va 3 elementlar, ikkinchi ustunida esa 3, -87, 0 elementlar mavjud.

Matritsalar elementlari odatda kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, $A$ matritsasining elementlari $a_(ij)$ bilan belgilanadi. Qo'sh indeks $ij$ matritsadagi elementning o'rni haqida ma'lumotni o'z ichiga oladi. $i$ raqami qatorning raqami, $j$ soni esa ustunning raqami boʻlib, uning kesishmasida $a_(ij)$ elementi joylashgan. Masalan, matritsaning ikkinchi qatori va beshinchi ustuni kesishmasida $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(massiv) \oʻng)$ element $ a_(25)= $59:

Xuddi shunday, birinchi qator va birinchi ustunning kesishmasida $a_(11)=51$ elementi mavjud; uchinchi qator va ikkinchi ustun kesishmasida - element $a_(32)=-15$ va hokazo. E'tibor bering, $a_(32)$ "uch ikki" deb o'qiladi, lekin "o'ttiz ikki" emas.

Hajmi $m\xat n$ ga teng bo'lgan $A$ matritsasining qisqartirilgan belgilanishi uchun $A_(m\times n)$ belgisi qo'llaniladi. Ko'pincha quyidagi belgilar qo'llaniladi:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Bu yerda $(a_(ij))$ $A$ matritsa elementlarining belgilanishini bildiradi, ya'ni. $A$ matritsasining elementlari $a_(ij)$ sifatida belgilanishini aytadi. Kengaytirilgan shaklda $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsasini quyidagicha yozish mumkin:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(massiv) \o'ng) $$

Keling, boshqa atamani kiritaylik - teng matritsalar.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ oʻlchami bir xil boʻlgan ikkita matritsa deyiladi. teng agar ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa, ya'ni. Barcha $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1,n)$ uchun $a_(ij)=b_(ij)$.

$i=\overline(1,m)$ yozuvi uchun tushuntirish: ko'rsatish\yashirish

"$i=\overline(1,m)$" yozuvi $i$ parametrining 1 dan m gacha o'zgarishini bildiradi. Masalan, $i=\overline(1,5)$ yozuvida $i$ parametri 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini olishi aytiladi.

Shunday qilib, matritsalarning tengligi uchun ikkita shart talab qilinadi: o'lchamlarning mos kelishi va mos keladigan elementlarning tengligi. Masalan, $A=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matritsasi matritsaga teng emas $B=\left(\ begin(massiv)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(massiv)\right)$, chunki $A$ matritsasi $3\qat 2$ va $B$ matritsasi $2\ marta 2$. Shuningdek, $A$ matritsasi $C=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right) matritsasiga teng emas. $ chunki $a_( 21)\neq c_(21)$ (yaʼni $0\neq 98$). Lekin $F=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(massiv)\right)$ matritsasi uchun biz xavfsiz $A yozishimiz mumkin. =F$, chunki $A$ va $F$ matritsalarining oʻlchamlari va mos keladigan elementlari mos keladi.

№1 misol

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & matritsasining hajmini aniqlang. -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(massiv) \o'ng)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ elementlari nimaga tengligini belgilang.

Bu matritsa 5 ta satr va 3 ta ustunni oʻz ichiga oladi, shuning uchun uning oʻlchami $5\3$ ga teng. Ushbu matritsa uchun $A_(5\times 3)$ yozuvidan ham foydalanish mumkin.

$a_(12)$ elementi birinchi qator va ikkinchi ustunning kesishmasida joylashgan, shuning uchun $a_(12)=-2$. $a_(33)$ elementi uchinchi qator va uchinchi ustunning kesishmasida joylashgan, shuning uchun $a_(33)=23$. $a_(43)$ elementi toʻrtinchi qator va uchinchi ustunning kesishmasida joylashgan, shuning uchun $a_(43)=-5$.

Javob: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Matritsalarning kattaligiga qarab turlari. Asosiy va yon diagonallar. Matritsa izi.

Baʼzi $A_(m\times n)$ matritsasi berilgan boʻlsin. Agar $m=1$ bo'lsa (matritsa bitta qatordan iborat bo'lsa), u holda berilgan matritsa deyiladi. matritsa qatori. Agar $n=1$ bo'lsa (matritsa bitta ustundan iborat bo'lsa), unda bunday matritsa deyiladi ustun matritsasi. Masalan, $\left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ qator matritsasi va $\left(\begin(massiv) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(massiv) \o'ng)$ - ustun matritsasi.

Agar $A_(m\times n)$ matritsasi uchun $m\neq n$ sharti toʻgʻri boʻlsa (yaʼni satrlar soni ustunlar soniga teng boʻlmasa), u holda koʻpincha $A$ deb aytiladi. to'rtburchaklar matritsa. Masalan, $\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(massiv) \right)$ matritsasi $2\ marta 4 ga teng. $, bular. 2 qator va 4 ustundan iborat. Qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lmaganligi sababli, bu matritsa to'rtburchaklar shaklida bo'ladi.

Agar $A_(m\times n)$ matritsasi uchun $m=n$ sharti toʻgʻri boʻlsa (yaʼni satrlar soni ustunlar soniga teng boʻlsa), $A$ ning kvadrat matritsasi deyiladi. $n$ buyurtma qiling. Masalan, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikkinchi tartibli kvadrat matritsa; $\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(massiv) \right)$ 3-tartibli kvadrat matritsadir. IN umumiy ko'rinish$A_(n\times n)$ kvadrat matritsasi quyidagicha yozilishi mumkin:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(massiv) \o'ng) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elementlari yoqilgan deyiladi. asosiy diagonali matritsalar $A_(n\times n)$. Ushbu elementlar deyiladi asosiy diagonal elementlar(yoki faqat diagonal elementlar). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elementlari yoqilgan yon (ikkilamchi) diagonali; ular deyiladi ikkilamchi diagonal elementlar. Masalan, $C=\left(\begin(massiv)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() matritsasi uchun massiv) \right)$ bizda:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elementlari asosiy diagonal elementlardir; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elementlari ikkilamchi diagonal elementlardir.

Asosiy diagonal elementlarning yig'indisi deyiladi keyin matritsa keladi va $\Tr A$ (yoki $\Sp A$) bilan belgilanadi:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Masalan, $C=\left(\begin(massiv) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- matritsasi uchun 4 & -9 & 5 & 6 \end(massiv)\right)$ bizda:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diagonal elementlar tushunchasi kvadrat bo'lmagan matritsalar uchun ham qo'llaniladi. Masalan, $B=\left(\begin(massiv) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 matritsasi uchun & - 7 & -6 \end(massiv) \right)$ asosiy diagonal elementlar $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ boʻladi.

Elementlarining qiymatlariga qarab matritsalar turlari.

Agar $A_(m\times n)$ matritsasining barcha elementlari nolga teng boʻlsa, bunday matritsa deyiladi. null va odatda $O$ harfi bilan belgilanadi. Masalan, $\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(massiv) \right)$, $\left(\begin(massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(massiv) \right)$ nol matritsalardir.

$A$ matritsasining nolga teng bo'lmagan qatorini ko'rib chiqing, ya'ni. kamida bitta nolga teng bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan qator. yetakchi element nolga teng bo'lmagan satrning birinchi (chapdan o'ngga sanab) nolga teng bo'lmagan elementi deb ataymiz. Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqing:

$$W=\left(\begin(massiv)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(massiv)\oʻng)$ $

Ikkinchi qatorda to'rtinchi element etakchi bo'ladi, ya'ni. $w_(24)=12$, uchinchi qatorda esa yetakchi element ikkinchi element bo'ladi, ya'ni. $w_(32)=-9$.

$A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ matritsasi deyiladi. qadam tashladi agar u ikkita shartga javob bersa:

Null qatorlar, agar mavjud bo'lsa, barcha null bo'lmagan qatorlar ostida joylashgan.
Nolga teng bo'lmagan satrlarning etakchi elementlarining raqamlari qat'iy ravishda ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi, ya'ni. agar $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $A$ matritsasining noldan farqli qatorlarining yetakchi elementlari boʻlsa, $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt( k_r)$.

Bosqichli matritsalarga misollar:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv)\oʻng);\; \left(\begin(massiv)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(massiv)\o'ng). $$

Taqqoslash uchun: matritsa $Q=\left(\begin(massiv)(cccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(massiv)\right)$ qadamli matritsa emas, chunki bosqichli matritsani aniqlashda ikkinchi shart buzilgan. $q_(24)=7$ va $q_(32)=10$ ikkinchi va uchinchi qatorlardagi yetakchi elementlar $k_2=4$ va $k_3=2$ raqamlangan. Bosqichli matritsa uchun $k_2\lt(k_3)$ sharti bajarilishi kerak, bu holda bu buziladi. Shuni ta'kidlaymanki, agar biz ikkinchi va uchinchi qatorlarni almashtirsak, biz bosqichli matritsaga ega bo'lamiz: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(massiv)\o'ng)$.

Bosqichli matritsa deyiladi trapezoidal yoki trapezoidal, agar yetakchi elementlar $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ shartlarni qondirsa $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, ya'ni. diagonal elementlar yetakchilik qiladi. Umuman olganda, trapezoidal matritsani quyidagicha yozish mumkin:

$$ A_(m\times(n)) =\chap(\begin(massiv) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(massiv)\o'ng) $$

Trapezoidal matritsalarga misollar:

$$ \left(\begin(massiv)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv)\oʻng);\; \left(\begin(massiv)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(massiv)\o'ng). $$

Keling, kvadrat matritsalar uchun yana bir qancha ta'riflar beraylik. Agar barcha elementlar bo'lsa kvadrat matritsa Asosiy diagonal ostida joylashganlar nolga teng bo'lsa, bunday matritsa deyiladi yuqori uchburchak matritsa. Masalan, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(massiv) \right)$ - yuqori uchburchak matritsa. E'tibor bering, yuqori uchburchak matritsaning ta'rifi asosiy diagonal ustida yoki asosiy diagonalda joylashgan elementlarning qiymatlari haqida hech narsa aytmaydi. Ular nol bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, bu muhim emas. Masalan, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ham yuqori uchburchakli matritsadir.

Agar asosiy diagonal ustida joylashgan kvadrat matritsaning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, bunday matritsa deyiladi. pastki uchburchak matritsa. Masalan, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(massiv) \right)$ - pastki uchburchak matritsa. E'tibor bering, pastki uchburchak matritsaning ta'rifi asosiy diagonal ostida yoki ustida joylashgan elementlarning qiymatlari haqida hech narsa aytmaydi. Ular null bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, bu muhim emas. Masalan, $\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(massiv) \right)$ va $\left(\ begin (massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(massiv) \right)$ ham pastki uchburchak matritsalardir.

Kvadrat matritsa deyiladi diagonal agar bu matritsaning asosiy diagonalda bo'lmagan barcha elementlari nolga teng bo'lsa. Misol: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(massiv)\o'ng)$. Asosiy diagonaldagi elementlar har qanday bo'lishi mumkin (nolga teng yoki yo'q) - bu muhim emas.

Diagonal matritsa deyiladi yagona agar asosiy diagonalda joylashgan ushbu matritsaning barcha elementlari 1 ga teng bo'lsa. Masalan, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)\right)$ - 4-tartibli identifikatsiya matritsasi; $\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv)\right)$ ikkinchi tartibli identifikatsiya matritsasi.

Bugun bu juda oson: siz kompyuter oldiga borib, nima qilayotganingizni bilmay turib, hayratlanarli tezlikda aql-idrok va bema'ni narsalarni yaratishingiz mumkin. (J. Box)

Matritsa asoslari

Ushbu bo'limda biz statistikani tushunish va ma'lumotlarni tahlil qilish uchun zarur bo'lgan matritsalar haqida asosiy ma'lumotlarni taqdim etamiz.

o'lcham matritsasim x n (o'qing m ustida n) o'z ichiga olgan sonlarning to'rtburchaklar jadvali deyiladim chiziqlar va n ustunlar.

Matritsani tashkil etuvchi raqamlarga matritsa elementlari deyiladi.

Matritsalar lotin alifbosining bosh (katta) harflari bilan belgilanadi, masalan, A, B, C,….

Matritsa elementlari qo'sh indeksli kichik harflar bilan belgilanadi, masalan: aij , qayerda i - qator raqami, j- ustun raqami.

Masalan, matritsa:

Qisqartirilgan yozuvda biz belgilaymiz A =( aij) ; i=1,2,…m; j =1,2,…,n

Mana 2 ga 2 matritsaga misol:

Ko'ryapsizmi, a 11 = 1, a 12 = 0, a 21 = 2, a 22 =5

Qavslar bilan bir qatorda boshqa matritsa belgilari ham qo'llaniladi:

Bir xil o'lchamdagi ikkita A va B matritsalari deyiladi teng agar ular element bo'yicha mos kelsa, aij = b ij har qanday uchun i=1,2,…m; j =1,2,…n

Matritsalar turlari

Bitta satrdan iborat matritsa matritsa (vektor) - satr va bitta ustundan - matritsa (vektor) - ustun deb ataladi:

A =(a 11 , a 12 ,…, a 1n) - matritsa - qator

Matritsa kvadrat deb ataladi n th tartib, agar uning satrlari soni ustunlar soniga teng va teng bo'lsa n.

Misol uchun,

Matritsa elementlari aij , kimning ustun raqami qator raqamiga teng shakl asosiy diagonali matritsalar. Kvadrat matritsa uchun asosiy diagonal elementlardan hosil bo'ladi a 11, a 22,…, ann.

Agar kvadrat matritsaning diagonaldan tashqari barcha yozuvlari nolga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. diagonal.

Matritsa operatsiyalari

Matritsalarda, shuningdek, raqamlar ustida bir qancha amallarni bajarish mumkin, ularning ba'zilari sonlar ustidagi amallarga o'xshash, ba'zilari esa o'ziga xosdir.

1. Matritsani songa ko‘paytirish. A matritsaning songa ko‘paytmasiga B=A matritsa deyiladi, uning elementlari bij=aij uchun i=1,2,…m; j=1,2,…n

Natija: barcha matritsa elementlarining umumiy omili matritsa belgisidan chiqarilishi mumkin.

Xususan, A matritsa va 0 sonining ko'paytmasi nol matritsadir.

2. Matritsalarni qo‘shish. Bir xil o'lchamdagi m ikkita A va B matritsalarining yig'indisi C \u003d A + B matritsasi bo'lib, uning elementlari c ij =a ij +b ij uchun i=1,2,…m; j=1,2,…n(ya'ni matritsalar elementga element qo'shiladi).

3. Matritsani ayirish. Bir xil o'lchamdagi ikkita matritsaning farqi oldingi amallar orqali aniqlanadi: A -B =A +(-1)∙B .

4. Matritsalarni ko‘paytirish. A matritsasini B matritsasiga ko'paytirish birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng bo'lganda aniqlanadi. U holda A m ∙ B k matritsalarining ko‘paytmasi shunday C m matritsa bo‘lib, uning har bir elementi cij A matritsaning i-qatori elementlari va j- mos keladigan elementlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. B matritsasining ustuni:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Raqamlar bilan operatsiyalarga xos bo'lgan ko'plab xususiyatlar matritsalar bo'yicha operatsiyalar uchun ham amal qiladi (bu amallardan kelib chiqadi):

A+B=B+A

(A+B)+C=A +(B+C)

λ (A+B)= lA + lB

A( B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( lA )B=A(lB )

A( BC)=(AB)C

Biroq, matritsalarning o'ziga xos xususiyatlari ham mavjud. Shunday qilib, matritsalarni ko'paytirish amali raqamlarni ko'paytirishdan ba'zi farqlarga ega:

a) Agar AB mavjud bo'lsa, unda omillarni qayta tartiblagandan so'ng, BA matritsa mahsuloti mavjud bo'lmasligi mumkin.

Bu mavzuda matritsalarni qo‘shish va ayirish, matritsani songa ko‘paytirish, matritsani matritsaga ko‘paytirish, matritsani transpozitsiya qilish kabi amallar ko‘rib chiqiladi. Ushbu sahifada foydalanilgan barcha belgilar oldingi mavzudan olingan.

Matritsalarni qo'shish va ayirish.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalarining $A+B$ yigʻindisi $C_(m) matritsasidir. \times n) =(c_(ij))$, bunda $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline( 1, n) $.

Xuddi shunday ta'rif matritsalar farqi uchun ham kiritilgan:

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsalarining $AB$ farqi $C_(m\ marta) matritsasidir. n)=( c_(ij))$, bunda $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ barcha $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1, n) $.

$i=\overline(1,m)$ yozuvi uchun tushuntirish: ko'rsatish\yashirish

"$i=\overline(1,m)$" yozuvi $i$ parametrining 1 dan m gacha o'zgarishini bildiradi. Masalan, $i=\overline(1,5)$ yozuvida $i$ parametri 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini olishi aytiladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ayirish amallari faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Umuman olganda, matritsalarni qo'shish va ayirish intuitiv ravishda tushunarli bo'lgan operatsiyalardir, chunki ular aslida mos keladigan elementlarni yig'ish yoki ayirishni anglatadi.

№1 misol

Uchta matritsa berilgan:

$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)\;\; B=\left(\begin(massiv) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng); \;\; F=\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(massiv) \o'ng). $$

$A+F$ matritsasini topish mumkinmi? $C=A+B$ va $D=A-B$ boʻlsa, $C$ va $D$ matritsalarini toping.

$A$ matritsasi 2 satr va 3 ustundan iborat (boshqacha aytganda $A$ matritsasining oʻlchami $2\kart 3$), $F$ matritsasi esa 2 satr va 2 ustundan iborat. $A$ va $F$ matritsasining o'lchamlari mos kelmaydi, shuning uchun biz ularni qo'sha olmaymiz, ya'ni. bu matritsalar uchun $A+F$ operatsiyasi aniqlanmagan.

$A$ va $B$ matritsalarining oʻlchamlari bir xil, yaʼni. matritsa ma'lumotlarini o'z ichiga oladi teng miqdorda qatorlar va ustunlar, shuning uchun qo'shish amali ularga nisbatan qo'llaniladi.

$$ C=A+B=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)+ \left(\begin(massiv) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \o'ng) $$

$D=A-B$ matritsasini toping:

$$ D=AB=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(massiv) \o'ng)- \left(\begin(massiv)) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(massiv) \o'ng)=\\= \left(\begin(massiv) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng) $$

Javob: $C=\left(\begin(massiv) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(massiv) \right)$, $D=\left(\begin(massiv) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(massiv) \o'ng)$.

Matritsani songa ko'paytirish.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $\alpha$ sonining koʻpaytmasi $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matritsasidir, bunda $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ hamma uchun $i=\overline(1,m)$ va $j=\overline(1,n)$.

Oddiy qilib aytganda, matritsani qandaydir songa ko'paytirish, berilgan matritsaning har bir elementini shu raqamga ko'paytirishni anglatadi.

№2 misol

Berilgan matritsa: $ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ va $-A$ matritsalarini toping.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin( massiv) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin) (massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv)) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng). $$

$-A$ yozuvi $-1\cdot A$ ning qisqartmasi. Ya'ni $-A$ ni topish uchun $A$ matritsasining barcha elementlarini (-1) ga ko'paytirish kerak. Aslida, bu $A$ matritsasining barcha elementlarining belgisi teskari tomonga o'zgarishini anglatadi:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(massiv) \o'ng)= \ chap (\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng) $$

Javob: $3\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -5\cdot A=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(massiv) \o'ng);\; -A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng)$.

Ikki matritsaning mahsuloti.

Ushbu operatsiyaning ta'rifi og'ir va birinchi qarashda tushunarsizdir. Shuning uchun men birinchi navbatda ta'kidlayman umumiy ta'rif, va keyin biz bu nimani anglatishini va u bilan qanday ishlashni batafsil tahlil qilamiz.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ va $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matritsasining mahsuloti $C_(m\times k) matritsasiga teng. )=(c_( ij))$, buning uchun har bir element $c_(ij)$ mos keladigan elementlarning hosilalari yig‘indisiga teng. i-elementlar$B$ matritsasining j-ustunining elementlari boʻyicha $A$ matritsasining satrlari: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj) ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Bosqichma-bosqich, biz misol yordamida matritsalarni ko'paytirishni tahlil qilamiz. Biroq, barcha matritsalarni ko'paytirish mumkin emasligiga darhol e'tibor berishingiz kerak. Agar $A$ matritsasini $B$ matritsasiga koʻpaytirmoqchi boʻlsak, avvalo $A$ matritsasining ustunlari soni $B$ matritsasining satrlari soniga teng ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak (bunday matritsalar koʻpincha deyiladi. kelishilgan). Masalan, $A_(5\kart 4)$ matritsasi (matritsa 5 qator va 4 ta ustundan iborat) $F_(9\kart 8)$ (9 qator va 8 ustun) matritsasiga koʻpaytirib boʻlmaydi, chunki ustunlar soni $A $ matritsasi $F$ matritsasi qatorlari soniga teng emas, yaʼni. $4\neq 9$. Lekin $A_(5\kart 4)$ matritsasini $B_(4\kart 9)$ matritsasiga koʻpaytirish mumkin, chunki $A$ matritsasining ustunlari soni qatorlar soniga teng. $B$ matritsasi. Bunda $A_(5\qat 4)$ va $B_(4\kart 9)$ matritsalarini koʻpaytirish natijasi 5 qator va 9 ustundan iborat $C_(5\kart 9)$ matritsasi boʻladi:

№3 misol

Berilgan matritsalar: $ A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (massiv) \o'ng)$ va $ B=\left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) $. $C=A\cdot B$ matritsasini toping.

Boshlash uchun biz darhol $C$ matritsasining hajmini aniqlaymiz. $A$ matritsasi $3\kart 4$ va $B$ matritsasi $4\kart 2$ oʻlchamiga ega boʻlgani uchun $C$ matritsasining oʻlchami $3\kart 2$ boʻladi:

Demak, $A$ va $B$ matritsalarining koʻpaytmasi natijasida uchta qator va ikkita ustundan iborat $C$ matritsasini olishimiz kerak: $ C=\left(\begin(massiv) (cc) c_(11) & c_(12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(massiv) \o'ng)$. Agar elementlarning belgilanishi savollar tug'dirsa, u holda siz avvalgi mavzuni ko'rishingiz mumkin: "Matritsalar. Matritsalarning turlari. Asosiy atamalar", uning boshida matritsa elementlarining belgilanishi tushuntiriladi. Bizning maqsadimiz $C$ matritsasining barcha elementlarining qiymatlarini topishdir.

$c_(11)$ elementidan boshlaylik. $c_(11)$ elementini olish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlari ko‘paytmalari yig‘indisini topish kerak:

$c_(11)$ elementining o'zini topish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustunining mos keladigan elementlariga ko'paytirish kerak, ya'ni. birinchi element birinchi, ikkinchi ikkinchi, uchinchi uchinchi, to'rtinchi to'rtinchi. Olingan natijalarni umumlashtiramiz:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Keling, yechimni davom ettiramiz va $c_(12)$ topamiz. Buning uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va $B$ matritsasining ikkinchi ustuni elementlarini koʻpaytirish kerak:

Avvalgisiga o'xshab, bizda:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

$C$ matritsasining birinchi qatorining barcha elementlari topilgan. $c_(21)$ elementi bilan boshlanadigan ikkinchi qatorga o'tamiz. Uni topish uchun $A$ matritsasining ikkinchi qatori va $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlarini koʻpaytirish kerak:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Keyingi $c_(22)$ elementi $A$ matritsasining ikkinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish yoʻli bilan topiladi:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ ni topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining birinchi ustuni elementlariga ko‘paytiramiz:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Va nihoyat, $c_(32)$ elementini topish uchun $A$ matritsasining uchinchi qatori elementlarini $B$ matritsasining ikkinchi ustunining mos keladigan elementlariga koʻpaytirish kerak:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

$C$ matritsasining barcha elementlari topildi, faqat $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) ni yozish kerak. ) \right)$. Yoki to'liq yozish uchun:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng). $$

Javob: $C=\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(massiv) \o'ng)$.

Aytgancha, ko'pincha natija matritsasining har bir elementining joylashishini batafsil tavsiflash uchun hech qanday sabab yo'q. Hajmi kichik bo'lgan matritsalar uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin:

$$ \left(\begin(massiv) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(massiv)\right)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 4 & 9 \\ - 6 va 90 \end(massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(massiv) \o'ng) =\chap (\begin(massiv) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(massiv) \o'ng) $$

Shuni ham ta'kidlash kerakki, matritsalarni ko'paytirish kommutativ emas. Bu degani, umuman olganda $A\cdot B\neq B\cdot A$. Faqat matritsalarning ayrim turlari uchun, ular deyiladi almashtiruvchi(yoki qatnovda), $A\cdot B=B\cdot A$ tengligi toʻgʻri. Aynan ko'paytirishning o'zgarmasligi asosida ifodani u yoki bu matritsaga qanday ko'paytirishni aniq ko'rsatish talab qilinadi: o'ngda yoki chapda. Masalan, “$3EF=Y$ tenglikning ikkala tomonini oʻngdagi $A$ matritsasiga koʻpaytiring” iborasi quyidagi tenglikni olishni xohlayotganingizni bildiradi: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsasiga nisbatan koʻchirilgan $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matritsasi, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ boʻlgan elementlar uchun.

Oddiy qilib aytganda, $A^T$ koʻchirilgan matritsani olish uchun asl $A$ matritsasidagi ustunlarni ushbu tamoyilga muvofiq mos keladigan qatorlar bilan almashtirish kerak: birinchi qator bor edi - birinchi ustunga aylanadi; ikkinchi qator bor edi - ikkinchi ustun bo'ladi; uchinchi qator bor edi - uchinchi ustun bo'ladi va hokazo. Masalan, $A_(3\times 5)$ matritsasiga koʻchirilgan matritsani topamiz:

Shunga ko'ra, agar dastlabki matritsaning o'lchami $3\kart 5$ bo'lsa, u holda ko'chirilgan matritsaning o'lchami $5\kart 3$ bo'ladi.

Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari.

Bu yerda $\alpha$, $\beta$ ayrim raqamlar, $A$, $B$, $C$ matritsalar deb taxmin qilinadi. Birinchi to'rtta xususiyat uchun men nomlarni ko'rsatdim, qolganlarini birinchi to'rttasiga o'xshash tarzda nomlash mumkin.

Ta'rif 1. Matritsa A o'lchamim n raqamlar yoki boshqa matematik ifodalardan (matritsa elementlari deb ataladi) iborat m satr va n ta ustundan iborat toʻrtburchaklar jadval boʻlib, i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, yoki

Ta'rif 2. Ikki matritsa
Va
bir xil o'lchamlar deyiladi teng, agar ular element bo'yicha elementga mos keladigan bo'lsa, ya'ni. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matritsalar yordamida ba'zi iqtisodiy bog'liqliklarni, masalan, iqtisodiyotning ayrim tarmoqlari uchun resurslarni taqsimlash jadvallarini yozish oson.

Ta'rif 3. Agar matritsa satrlari soni uning ustunlari soniga to'g'ri kelsa, ya'ni. m = n, keyin matritsa chaqiriladi kvadrat tartibin, aks holda to'rtburchaklar.

Ta'rif 4. A matritsasidan A m matritsasiga o'tish deyiladi, bunda satrlar va ustunlar tartibni saqlagan holda almashtiriladi. transpozitsiya matritsalar.

Matritsalar turlari: kvadrat (hajmi 33) -
,

to'rtburchaklar (hajmi 25) -
,

diagonal -
, bitta -
, nol -
,

matritsa qatori -
, matritsa-ustun -.

Ta'rif 5. Bir xil indekslarga ega n tartibli kvadrat matritsaning elementlari asosiy diagonalning elementlari deb ataladi, ya'ni. bu elementlar:
.

Ta'rif 6. N tartibli kvadrat matritsaning elementlari, agar ularning indekslari yig'indisi n + 1 ga teng bo'lsa, ikkinchi darajali diagonal elementlar deb ataladi, ya'ni. bu elementlar: .

1.2. Matritsalar ustida amallar.

1 0 . so'm ikkita matritsa
Va
bir xil o'lchamdagi S = (s ij) matritsa deyiladi, uning elementlari ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2) bilan tenglik bilan aniqlanadi. ,3,…,n).

Matritsa qo'shish amalining xossalari.

Har qanday uchun A, B, C matritsalari bir xil o'lchamda quyidagi tengliklar bajariladi:

1) A + B = B + A (kommutativlik),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assotsiativlik).

2 0 . ish matritsalar
raqam uchun  matritsa deb ataladi
A matritsa bilan bir xil o'lcham va b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matritsani songa ko'paytirish amalining xossalari.

(A) = ()A (koʻpaytirishning assotsiativligi);

(A+V) = A+V (matritsa qoʻshishga nisbatan koʻpaytirishning taqsimlanishi);

(+)A = A+A (sonlarni qo'shishga nisbatan ko'paytirishning taqsimlanishi).

Ta'rif 7. Matritsalarning chiziqli birikmasi
Va
bir xil o'lchamdagi A + B ko'rinishdagi ifoda deyiladi, bu erda  va  ixtiyoriy sonlardir.

3 0 . Mahsulot A  Matritsalarda mn va nk o‘lchamdagi A va B mos ravishda mk o‘lchamli C matritsa deyiladi, shundayki ij bo‘lgan element i-qator elementlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. A matritsasining va B matritsasining j-ustunining, ya'ni ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj bilan.

AB mahsuloti faqat A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo‘lsagina mavjud bo‘ladi.

Matritsalarni ko'paytirish operatsiyasining xususiyatlari:

(AV)S = A(VS) (assotsiativlik);

(A+V)S = ASS+VS (matritsa qo‘shishga nisbatan taqsimot);

A(V+S) = AV+AS (matritsa qo‘shishga nisbatan taqsimot);

AV  VA (kommutativlik emas).

Ta'rif 8. AB = BA bo'lgan A va B matritsalari almashtirish yoki almashtirish deyiladi.

Har qanday tartibli kvadrat matritsani mos keladigan identifikatsiya matritsasiga ko'paytirish matritsani o'zgartirmaydi.

Ta'rif 9. Elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi amallar deyiladi:

Ikki qatorni (ustunlarni) almashtiring.

Qatorning (ustunning) har bir elementini nolga teng bo'lmagan raqamga ko'paytiring.

Bir qator (ustun) elementlariga boshqa qatorning (ustun) mos keladigan elementlarini qo'shish.

Ta'rif 10. A matritsadan elementar o'zgartirishlar yordamida olingan B matritsa deyiladi ekvivalent(BA bilan belgilanadi).

1.1-misol. Topmoq chiziqli birikma matritsalar 2A–3B, agar

,
.

,
,

Misol 1.2. Matritsalarning mahsulotini toping
, agar

Yechim: birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lganligi sababli, matritsa mahsuloti mavjud. Natijada biz yangi matritsani olamiz
, qayerda

Natijada, biz olamiz
.

Ma’ruza 2. Determinantlar. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash. Kvalifikator xususiyatlarin-chi tartib.